Struktura općih rješenja linearnih homogenih diferencijalnih jednadžbi. Struktura općeg rješenja

Za linearnu nehomogenu diferencijalna jednadžba n- prva narudžba

y(n) + a 1(x)y(n- 1) + ... + an- 1 (x) y" + an(x)y = f(x),

Gdje y = y(x) - Ne poznata funkcija, a 1(x),a 2(x), ..., an- 1(x), an(x), f(x) - poznato, kontinuirano, fer:
1) ako y 1(x) I y 2(x) - dva rješenja Ne homogena jednačina, zatim funkciju
y(x) = y 1(x) - y 2(x) - rješenje odgovarajuće homogene jednačine;
2) ako y 1(x) rješenje nehomogene jednačine, i y 2(x) je rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, zatim funkcija
y(x) = y 1(x) + y 2(x) - rješenje nehomogene jednačine;
3) ako y 1(x), y 2(x), ..., yn(x) - n linearno nezavisna rješenja homogene jednadžbe, i ych(x) - proizvoljna odluka nehomogena jednačina,
onda za bilo koji početne vrijednosti
x 0, y 0, y 0,1, ..., y 0,n- 1
Izraz
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) +ych(x)
pozvao opšta odluka linearna nehomogena diferencijalna jednadžba n-th red.

Za pronalaženje parcijalnih rješenja nehomogenih diferencijalnih jednadžbi sa konstantni koeficijenti sa desnom stranom obrasca:
Pk(x)exp(a x)cos( bx) + Q m(x)exp(a x)grijeh( bx),
Gdje Pk(x), Q m(x) - polinomi stepena k I m Shodno tome, postoji jednostavan algoritam za konstruisanje određenog rješenja, tzv metod selekcije.

Metoda izbora ili metoda neizvesni koeficijenti, je kako slijedi.
Traženo rješenje jednačine zapisuje se kao:
(Pr(x)exp(a x)cos( bx) + Qr(x)exp(a x)grijeh( bx))xs,
Gdje Pr(x), Qr(x) - polinomi stepena r= max( k, m) Sa nepoznato koeficijenti
pr , pr- 1, ..., str 1, str 0, qr, qr- 1, ..., q 1, q 0.
dakle, naći opšte rešenje slijedi linearna nehomogena diferencijalna jednadžba sa konstantnim koeficijentima
pronaći opšte rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe (napisati karakterističnu jednačinu, pronaći sve korijene karakteristična jednačina l 1, l 2, ... , ln, zapišite fundamentalni sistem rješenja y 1(x), y 2(x), ..., yn(x));
pronaći bilo koje posebno rješenje nehomogene jednačine ych(x);
zapišite izraz za opšte rješenje
y(x)=c 1 y 1(x) + c 2 y 2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x);

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda sa konstantnim koeficijentima s desna strana poseban tip. Metoda neodređenih koeficijenata.

Diferencijalna jednadžba oblika (1)

gdje je , f poznata funkcija, nazvana linearna diferencijalna jednadžba n-tog reda sa konstantnim koeficijentima. Ako je , tada se jednačina (1) naziva homogena, u suprotnom - nehomogena.

Za linearne nehomogene jednadžbe sa konstantnim koeficijentima i sa desnom stranom posebnog oblika, odnosno koje se sastoje od zbira i proizvoda funkcija, određeno rješenje može se tražiti metodom neodređenih koeficijenata. Vrsta određenog rješenja ovisi o korijenima karakteristične jednadžbe. Ispod je tabela tipova parcijalnih rješenja linearne nehomogene jednadžbe sa posebnom desnom stranom.

Kompleksna ravan. Modul i argument kompleksnog broja. Glavno značenje argumenta. Geometrijsko značenje

Kompleksni brojevi se zapisuju u obliku: a+ bi. Ovdje su a i b realni brojevi, a i je imaginarna jedinica, tj. i 2 = –1. Broj a naziva se apscisa, a b je ordinata kompleksnog broja a+bi. Dva kompleksna broja a+ bi i a – bi nazivaju se konjugirani kompleksni brojevi.

Geometrijski prikaz kompleksni brojevi. Realni brojevi predstavljeni su tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje tačka A označava broj –3, tačka B predstavlja broj 2, a O označava nulu. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama koordinatna ravan. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Onda kompleksni broj a+ bi će biti predstavljen tačkom P sa apscisom a i ordinatom b (vidi sliku). Ovaj koordinatni sistem se naziva kompleksna ravan.

Modul kompleksnog broja je dužina vektora OP koji predstavlja kompleksni broj na koordinatnoj (kompleksnoj) ravni. Modul kompleksnog broja a+ bi se označava sa | a+ bi | ili slovo r i jednako je:

Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul. __

Argument kompleksnog broja je ugao između ose OX i vektora OP koji predstavlja ovaj kompleksni broj. Dakle, tan = b/a.

D U višeg reda

Kao što smo već rekli, diferencijalne jednadžbe mogu sadržavati derivate različitog reda.

Takve diferencijalne jednadžbe imaju rješenja koja sadrže onoliko proizvoljnih integracionih konstanti → koji je red diferencijalne jednačine, tj. za diferencijalnu jednačinu 2. reda postojaće dvije proizvoljne konstante C1 i C2, za 3. reda →C1, C2 i C3, itd.

Dakle, opće rješenje (opći integral) takve diferencijalne jednadžbe će biti funkcija

Da bi se dobilo određeno rješenje takvih diferencijalnih jednadžbi, potrebno je postaviti onoliko početnih uslova koliko je redoslijed diferencijalne jednadžbe, odnosno koliko proizvoljnih konstanti se dobije u općem rješenju.

D U in puni diferencijali. Integrirajući faktor

Diferencijalna jednadžba oblika naziva se diferencijalna jednadžba u potpunim diferencijalima ako je njena lijeva strana potpuni diferencijal nekog glatka funkcija, tj. Ako , . Neophodan i dovoljno stanje da takva funkcija postoji ima oblik:

Da biste riješili diferencijalnu jednadžbu u totalnim diferencijalima, morate pronaći funkciju. Tada se opće rješenje diferencijalne jednadžbe može zapisati u obliku za proizvoljnu konstantu C.

Integrirajući faktor za diferencijalnu jednačinu

naziva se takva funkcija, nakon množenja kojom se diferencijalna jednadžba pretvara u jednadžbu u totalnim diferencijalima. Ako funkcije M i N u jednadžbi imaju kontinuirane parcijalne izvode i ne nestaju istovremeno, tada postoji integrirajući faktor. Kako god, opšta metoda nema načina da se nađe.

Struktura generalnog rješenja LNDU

Razmotrimo linearnu nehomogenu diferencijalnu jednačinu

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = f(x).

− bez obzira na početnu tačku (x0, y0, ), x0∈, postoje vrijednosti C1 =C10, ..., Cn = Cn0 takve da funkcija y = Φ(x, C10, ..., Cn0) zadovoljava početni uslovi y(x0) = y0, y "(x0) ,..., (x0) = .

Tačna je sljedeća tvrdnja (teorema o strukturi općeg rješenja linearne nehomogene jednačine).

Ako su svi koeficijenti jednadžbe linearne homogene diferencijalne jednadžbe kontinuirani na intervalu , a funkcije y1(x), y2(x),..., yn(x) formiraju sistem rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe , tada opće rješenje nehomogene jednadžbe ima oblik

y(x,C1,..., Cn) = C1 y1(x) + C2 y2(x) + ... + Cn yn(x) + y*(x),

gdje su C1,...,Cn proizvoljne konstante, y*(x) je posebno rješenje nehomogene jednačine.

LNDU 2. reda

Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Jednadžba oblika y" + py" + qy = f(x), gdje je p i q - realni brojevi, f(x) - kontinuirana funkcija, naziva se linearna nehomogena jednadžba drugog reda sa konstantnim koeficijentima.

Opće rješenje jednačine je zbir određenog rješenja nehomogene jednačine i opšteg rješenja odgovarajuće homogene jednačine. Proučavano je pronalaženje opšteg rješenja homogene jednačine. Za pronalaženje određenog rješenja koristit ćemo metodu neodređenih koeficijenata, koja ne sadrži proces integracije.

Hajde da razmotrimo različite vrste desne strane jednačine y" + py" + qy = f(x).

1) Desna strana ima oblik F(x) = Pn(x), gdje je Pn(x) polinom stepena n. Tada se određeno rješenje y može tražiti u obliku gdje je Qn (x) polinom istog stepena kao Pn (x), a r je broj korijena karakteristične jednadžbe jednak nuli.

Primjer. Pronađite opšte rješenje jednačine y" – 2y" + y = x+1.

Rješenje: Opće rješenje odgovarajuće homogene jednačine ima oblik Y = ex (C1 + C2x). Kako nijedan od korijena karakteristične jednadžbe k2 – 2k + 1 = 0 nije jednak nuli (k1 = k2 = 1), tražimo određeno rješenje u obliku gdje su A i B nepoznati koeficijenti. Dvaput diferencirajući i zamjenjujući " i " u ovu jednačinu, nalazimo -2A + Ax + B = x + 1.

Izjednačavajući koeficijente za iste potencije x na obje strane jednakosti: A = 1, –2A + B = 1, nalazimo A = 1, B = 3. Dakle, određeno rješenje zadata jednačina ima oblik = x + 3, a njegovo opće rješenje je y = ex (C1 + C2x) + x + Z.

2) Desna strana ima oblik f(x) = eax Pn(x), gdje je Rn (x) polinom stepena n. Tada treba tražiti određeno rješenje u obliku gdje je Qn(x) polinom istog stepena kao Pn (x), a r je broj korijena karakteristične jednadžbe jednak a. Ako je a = 0, onda je f(x) = Pn (x), tj. javlja se slučaj 1.

LOD sa konstantnim koeficijentima.

Razmotrimo diferencijalnu jednačinu

gdje su realne konstante.

Da bismo pronašli opće rješenje jednačine (8), radimo ovo. Sastavljamo karakterističnu jednačinu za jednačinu (8): (9)

Neka su korijeni jednadžbe (9), a među njima može biti višekratnika. Moguće sledećim slučajevima:

a) - pravi i drugačiji. Opće rješenje homogene jednačine će biti ;

b) korijeni karakteristične jednačine su realni, ali među njima ima višekratnika, tj. , onda će generalno rješenje biti

c) ako su korijeni karakteristične jednadžbe kompleksni (k=a±bi), onda opšte rješenje ima oblik .

Opća struktura rješenja za LDE 2. reda

Razmotrimo linearnu homogenu diferencijalnu jednačinu

+ (x) + ... + (x)y" + (x)y = 0.

Opće rješenje ove jednadžbe na intervalu je funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn), ovisno o n proizvoljnih konstanti C1,..., Cn i zadovoljava sledećim uslovima:

− za bilo koje prihvatljive vrijednosti konstanti C1,..., Cn funkcija y = Φ(x, C1,..., Cn) je rješenje jednadžbe na ;

− bez obzira na početnu tačku (x0, y0, ), x0∈, postoje vrijednosti C1 =C10, ..., Cn = Cn0 takve da funkcija y = Φ(x, C10, ..., Cn0) zadovoljava početni uslovi y(x0) = y0, y "(x0) = y1,0 ,..., (x0) = .

Poznavanje osnovnog sistema rješenja jedne jednačine omogućava konstruisanje opšteg rješenja ove jednačine. Prisjetimo se definicije općeg rješenja diferencijalne jednadžbe P-th red

Funkcija
, definiran u nekom domenu varijacije varijabli
, u čijoj svakoj tački postoji postojanje i jedinstvenost rješenja za Cauchyjev problem, i koja ima kontinuirane parcijalne izvode u odnosu na X po narudžbi P uključujući, naziva se opšte rješenje jednadžbe (15) u naznačenom području ako:

sistem jednačina

rješivo u navedenom području s obzirom na proizvoljne konstante
, Dakle

(16)

2. funkcija
je rješenje jednadžbe (15) za sve vrijednosti proizvoljnih konstanti
, izraženo formulama (16), kada je tačka
pripada području koje se razmatra.

Teorema 1. (o strukturi općeg rješenja linearne homogene diferencijalne jednadžbe). Ako funkcije
,
, …,
formiraju osnovni sistem rješenja homogene linearne jednačine P-th red
u intervalu
, tj. u intervalu kontinuiteta koeficijenata, zatim funkcija
je opšte rešenje ove jednačine u regionu D:
,
,
.

Dokaz. U svakoj tački naznačene regije postoji postojanje i jedinstvenost rješenja za Cauchyjev problem. Pokažimo sada da je funkcija
zadovoljava definiciju općeg rješenja jednačine P-th red.

sistem jednačina

rješivo u domenu D u odnosu na proizvoljne konstante
budući da je determinanta ovog sistema determinanta Wronskog za osnovni sistem rješenja (12) i stoga je različita od nule.

2. Funkcija
po svojstvu rješenja homogene linearne jednadžbe, to je rješenje jednačine
za sve vrijednosti proizvoljnih konstanti
.

Stoga funkcija
je opšte rješenje jednačine
u oblasti D. Teorema je dokazana.

Primjer.

Rješenja ove jednadžbe su očigledno funkcije
,
. Ove odluke čine temeljni sistem odluka, budući da

Stoga je opće rješenje izvorne jednadžbe funkcija.

Struktura općeg rješenja nehomogene linearne jednadžbe n-tog reda.

Razmotrimo nehomogeno linearna jednačina P-th red

Pokažimo da se, kao iu slučaju linearne nehomogene jednačine prvog reda, integracija jednačine (1) svodi na integraciju homogene jednačine ako je poznato jedno određeno rješenje nehomogene jednačine (1).

Neka
- određeno rješenje jednačine (1), tj.

,
. (2)

Hajde da stavimo
, Gdje z– nova nepoznata funkcija od X. Tada će jednačina (1) poprimiti oblik

ili
,

odakle, na osnovu identičnosti (2), dobijamo

. (3)

Ovo je homogena linearna jednačina čija je lijeva strana ista kao i nehomogena jednačina (1) koja se razmatra. One. dobili smo homogenu jednačinu koja odgovara ovoj nehomogenoj jednačini (1).

,
, …,
,

je osnovni sistem rješenja homogene jednačine (3). Tada su sva rješenja ove jednadžbe sadržana u formuli za njeno opće rješenje, tj.

Zamijenimo ovu vrijednost z u formulu
, dobijamo

Rezultirajuća funkcija je opšte rješenje jednačine (1) u regiji D.

Tako smo pokazali da je opšte rješenje linearne nehomogene jednadžbe (1) jednako zbroju nekog posebnog rješenja ove jednačine i opšteg rješenja odgovarajuće homogene linearne jednačine.

Primjer. Pronađite opšte rješenje jednačine