Svojstvo susjednih uglova paralelograma. paralelogram i njegova svojstva

Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane parno paralelne. Sljedeća slika prikazuje paralelogram ABCD. Ima stranu AB paralelnu sa stranicom CD i stranu BC paralelnu sa stranicom AD.

Kao što ste možda pretpostavili, paralelogram je konveksan četvorougao. Razmotrimo osnovna svojstva paralelograma.

Svojstva paralelograma

1. U paralelogramu su suprotni uglovi i suprotne stranice jednaki. Dokažimo ovo svojstvo - razmotrimo paralelogram prikazan na sljedećoj slici.

Dijagonala BD ga dijeli na dva jednaka trougla: ABD i CBD. Oni su jednaki po strani BD i dva susedna ugla, pošto su uglovi koji leže na sekanti BD paralelne prave BC i AD i AB i CD, redom. Dakle, AB = CD i
BC=AD. A iz jednakosti uglova 1, 2, 3 i 4 proizilazi da je ugao A = ugao1 + ugao3 = ugao2 + ugao4 = ugao C.

2. Dijagonale paralelograma su prepolovljene točkom presjeka. Neka je tačka O tačka preseka dijagonala AC i BD paralelograma ABCD.

Tada su trougao AOB i trougao COD jednaki jedan drugom, duž stranice i dva susedna ugla. (AB=CD pošto su suprotne strane paralelograma. I ugao1 = ugao2 i ugao3 = ugao4 kao uglovi koji se nalaze ukršteno na preseku pravih AB i CD sekantima AC i BD, respektivno.) Iz toga sledi da je AO = OC i OB = OD, što je i trebalo dokazati.

Sva glavna svojstva su ilustrovana na sljedeće tri slike.

Koncept paralelograma

Definicija 1

Paralelogram je četverougao u kojem su suprotne strane paralelne jedna s drugom (slika 1).

Slika 1.

Paralelogram ima dva glavna svojstva. Razmotrimo ih bez dokaza.

Nekretnina 1: Suprotne strane i uglovi paralelograma su međusobno jednaki.

Nekretnina 2: Dijagonale povučene u paralelogramu su prepolovljene točkom preseka.

Karakteristike paralelograma

Razmotrite tri karakteristike paralelograma i predstavite ih u obliku teorema.

Teorema 1

Ako su dvije strane četverougla međusobno jednake i paralelne, onda će ovaj četverokut biti paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je dat četverougao $ABCD$. U kojoj su $AB||CD$ i $AB=CD$ Nacrtajmo dijagonalu $AC$ u njoj (slika 2).

Slika 2.

Razmotrite paralelne prave $AB$ i $CD$ i njihov sekans $AC$. Onda

\[\ugao CAB=\ugao DCA\]

kao poprečni uglovi.

Prema $I$ kriteriju za jednakost trouglova,

pošto je $AC$ njihova zajednička strana, a $AB=CD$ po pretpostavci. Sredstva

\[\ugao DAC=\ugao ACB\]

Razmotrimo prave $AD$ i $CB$ i njihov sekans $AC$; posljednjom jednakošću uglova koji se nalaze ukršteno, dobijamo da je $AD||CB$.) Prema tome, prema definiciji $1$, ovaj četverougao je paralelogram.

Teorema je dokazana.

Teorema 2

Ako su suprotne strane četverougla jednake, onda je to paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je dat četverougao $ABCD$. U kojoj je $AD=BC$ i $AB=CD$. Nacrtajmo dijagonalu $AC$ u njoj (slika 3).

Slika 3

Pošto je $AD=BC$, $AB=CD$ i $AC$ zajednička strana, onda testom jednakosti trougla $III$,

\[\trokut DAC=\trokut ACB\]

\[\ugao DAC=\ugao ACB\]

Razmotrimo prave $AD$ i $CB$ i njihov sekans $AC$, po zadnjoj jednakosti uglova koji se nalaze ukršteno dobijamo da je $AD||CB$. Prema tome, prema definiciji $1$, ovaj četverougao je paralelogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Razmotrimo prave $AB$ i $CD$ i njihov sekans $AC$, po zadnjoj jednakosti uglova koji se nalaze ukršteno dobijamo da je $AB||CD$. Dakle, prema definiciji 1, ovaj četverougao je paralelogram.

Teorema je dokazana.

Teorema 3

Ako su dijagonale povučene u četverokutu podijeljene na dva jednaka dijela točkom presjeka, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Dokaz.

Neka nam je dat četverougao $ABCD$. Nacrtajmo dijagonale $AC$ i $BD$ u njemu. Neka se sijeku u tački $O$ (slika 4).

Slika 4

Budući da su po uslovu $BO=OD,\ AO=OC$ i uglovi $\ugao COB=\ugao DOA$ vertikalni, onda, prema $I$ testu jednakosti trougla,

\[\trokut BOC=\trokut AOD\]

\[\ugao DBC=\ugao BDA\]

Razmotrimo prave $BC$ i $AD$ i njihov sekans $BD$, posljednjom jednakošću križno ležećih uglova dobijamo da je $BC||AD$. Također $BC=AD$. Dakle, prema teoremi $1$, ovaj četverougao je paralelogram.

Pregled lekcije.

Algebra 8 razred

Učitelj Sysoi A.K.

Škola 1828

Tema lekcije: "Paralelogram i njegova svojstva"

Vrsta lekcije: kombinovana

Ciljevi lekcije:

1) Osigurati asimilaciju novog pojma - paralelograma i njegovih svojstava

2) Nastaviti razvijati vještine i sposobnosti rješavanja geometrijskih zadataka;

3) Razvijanje kulture matematičkog govora

Plan lekcije:

1. Organizacioni momenat

(Slajd 1)

Na slajdu je prikazana izjava Lewisa Carrolla. Učenici su upoznati sa svrhom nastave. Provjerava se spremnost učenika za nastavu.

2. Ažuriranje znanja

(Slajd 2)

Na tabli zadaci za usmeni rad. Nastavnik poziva učenike da razmisle o ovim problemima i dignu ruke na one koji razumiju kako riješiti problem. Nakon rješavanja dva zadatka, učenik se poziva na ploču da dokaže teoremu o zbiru uglova, koji samostalno pravi dodatne konstrukcije na crtežu i usmeno dokazuje teoremu.

Učenici koriste formulu za zbir uglova poligona:

3. Glavno tijelo

(Slajd 3)

Na tabli je definicija paralelograma. Nastavnik govori o novoj figuri i formuliše definiciju, dajući potrebna objašnjenja koristeći crtež. Zatim, na kariranom dijelu prezentacije, pomoću markera i ravnala pokazuje kako se nacrta paralelogram (moguće je nekoliko slučajeva)

(Slajd 4)

Nastavnik formuliše prvo svojstvo paralelograma. Poziva učenike da prema slici kažu šta je dato, a šta treba dokazati. Nakon toga, dati zadatak se pojavljuje na tabli. Učenici pogađaju (možda uz pomoć nastavnika) da se željene jednakosti moraju dokazati kroz jednakosti trouglova, što se može dobiti crtanjem dijagonale (na tabli se pojavljuje dijagonala). Zatim učenici pogađaju zašto su trokuti jednaki i nazivaju znak jednakosti trouglova (pojavljuje se odgovarajući obrazac). Usmeno saopćite činjenice koje su neophodne za jednakost trouglova (kako ih nazivaju, pojavljuje se odgovarajuća vizualizacija). Dalje, učenici formulišu svojstvo jednakih trokuta, ono se pojavljuje u obliku tačke 3 dokaza, a zatim samostalno usmeno završavaju dokaz teoreme.

(Slajd 5)

Nastavnik formuliše drugu osobinu paralelograma. Na ploči se pojavljuje crtež paralelograma. Nastavnik nudi da iz slike kaže šta je dato, šta treba dokazati. Nakon što učenici tačno saopšte šta je dato, a šta treba dokazati, pojavljuje se uslov teoreme. Učenici pogađaju da se jednakost dijelova dijagonala može dokazati jednakošću trokutaAOB i COD. Koristeći prethodno svojstvo paralelograma, pogodite o jednakosti stranicaAB i CD. Tada shvate da je potrebno pronaći jednake uglove i, koristeći svojstva paralelnih pravih, dokazuju jednakost uglova susednih jednakim stranicama. Ove faze su vizualizirane na slajdu. Istinitost teoreme proizlazi iz jednakosti trouglova - učenici izgovaraju odgovarajuću vizualizaciju na slajdu.

(Slajd 6)

Nastavnik formuliše treću osobinu paralelograma. U zavisnosti od vremena koje je preostalo do kraja časa, nastavnik može dati mogućnost učenicima da sami dokažu ovo svojstvo, ili ga ograničiti na njegovu formulaciju, a sam dokaz ostaviti učenicima kao domaći zadatak. Dokaz se može zasnivati na zbiru uglova upisanog mnogougla, koji je ponovljen na početku lekcije, ili na zbiru unutrašnjih jednostranih uglova za dve paralelne praveAD i BC, i sekansa, na primjerAB.

4. Učvršćivanje materijala

U ovoj fazi učenici, koristeći prethodno proučene teoreme, rješavaju zadatke. Ideje za rješavanje problema učenici sami biraju. Budući da postoji mnogo mogućih dizajnerskih opcija i sve zavise od toga kako će učenici tražiti rješenje problema, nema vizualizacije rješenja problema, već učenici samostalno crtaju svaku fazu rješenja na posebnoj tabli. sa rešenjem zapisanim u svesci.

(Slajd 7)

Pojavljuje se uslov zadatka. Nastavnik predlaže formulisanje „Dato“ u skladu sa uslovom. Nakon što učenici pravilno zapišu uslov, na tabli se pojavljuje „Dato“. Proces rješavanja problema može izgledati ovako:

Visina crtanja BH (rendered)

Trougao AHB je pravougli trokut. Ugao A jednak je uglu C i jednak je 30 0 (po svojstvu suprotnih uglova u paralelogramu). 2BH =AB (prema svojstvu kateta naspram ugla od 30 0 u pravokutnom trokutu). Dakle AB = 13 cm.

AB \u003d CD, BC \u003d AD (po svojstvu suprotnih strana u paralelogramu) Dakle AB = CD \u003d 13cm. Budući da je perimetar paralelograma 50 cm, tada je BC \u003d AD \u003d (50 - 26): 2 \u003d 12 cm.

odgovor: AB=CD=13cm, BC=AD=12cm.

(Slajd 8)

Pojavljuje se uslov zadatka. Nastavnik predlaže formulisanje „Dato“ u skladu sa uslovom. Tada se na ekranu pojavljuje „Dano“. Uz pomoć crvenih linija odabire se četverougao za koji morate dokazati da je paralelogram. Proces rješavanja problema može izgledati ovako:

Jer BK i MD su okomite na istu pravu, tada su prave BK i MD paralelne.

Kroz susedne uglove može se pokazati da je zbir unutrašnjih jednostranih uglova za prave BM i KD i sekante MD 180 0 . Dakle, ove prave su paralelne.

Pošto su suprotne strane četvorougla BMDK po paru paralelne, ovaj četvorougao je paralelogram.

5. Kraj lekcije. ishod ponašanja.

(Slajd 8)

Na slajdu se pojavljuju pitanja o novoj temi na koja učenici odgovaraju.

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

Srednja škola Savinskaya

Istraživački rad

Paralelogram i njegova nova svojstva

Uradio: učenik 8B razreda

Srednja škola MBOU Savinskaya

Kuznjecova Svetlana, 14 godina

Voditelj: nastavnik matematike

Tulchevskaya N.A.

Savino

Ivanovska oblast, Rusija

2016

I. Uvod _______________________________________________ strana 3

II. Iz istorije paralelograma ___________________________________ strana 4

III Dodatna svojstva paralelograma ___________________strana 4

IV. Dokaz imovine ___________________________________ strana 5

V. Rješavanje problema korištenjem dodatnih svojstava __________ stranica 8

VI. Primjena svojstava paralelograma u životu ___________________strana 11

VII. Zaključak ___________________________________________________ strana 12

VIII. Literatura ________________________________________________strana 13

Uvod

"Među jednakim umovima

at sličnost drugih uslova

superiorniji od onih koji znaju geometriju"

(Blejz Paskal).

Proučavajući temu „Paralelogram“ na časovima geometrije, razmatrali smo dva svojstva paralelograma i tri karakteristike, ali kada smo počeli rješavati probleme, pokazalo se da to nije dovoljno.

Imao sam pitanje da li paralelogram ima još neka svojstva i kako će pomoći u rješavanju problema.

I odlučio sam da proučim dodatna svojstva paralelograma i pokažem kako se ona mogu primijeniti za rješavanje problema.

Predmet studija : paralelogram

Predmet proučavanja : svojstva paralelograma
Cilj:

formulacija i dokazivanje dodatnih svojstava paralelograma koja se ne izučavaju u školi;

primjena ovih svojstava za rješavanje problema.

Zadaci:

Proučavati istoriju paralelograma i istoriju razvoja njegovih svojstava;

Pronađite dodatnu literaturu o pitanju koje se proučava;

Proučiti dodatna svojstva paralelograma i dokazati ih;

Pokažite primjenu ovih svojstava za rješavanje problema;

Razmotrimo primjenu svojstava paralelograma u životu.
Metode istraživanja:

Rad sa obrazovnom i naučno – popularnom literaturom, internet resursima;

Proučavanje teorijskog materijala;

Izbor niza zadataka koji se mogu riješiti korištenjem dodatnih svojstava paralelograma;

Posmatranje, poređenje, analiza, analogija.

Trajanje studija : 3 mjeseca: januar-mart 2016

U udžbeniku geometrije čitamo sljedeću definiciju paralelograma: Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima.

Riječ "paralelogram" prevodi se kao "paralelne linije" (od grčkih riječi Parallelos - paralela i gramme - prava), ovaj termin je uveo Euklid. U svojoj knjizi Elementi, Euklid je dokazao sljedeća svojstva paralelograma: suprotne strane i uglovi paralelograma su jednaki, a dijagonala ga prepolovi. Euklid ne pominje tačku preseka paralelograma. Tek krajem srednjeg veka razvijena je kompletna teorija paralelograma, a tek u 17. veku u udžbenicima se pojavljuju teoreme o paralelogramu, koje se dokazuju Euklidovom teoremom o svojstvima paralelograma.

III Dodatna svojstva paralelograma

U udžbeniku geometrije data su samo 2 svojstva paralelograma:

Suprotni uglovi i stranice su jednaki

Dijagonale paralelograma se sijeku, a tačka preseka je prepolovljena

U različitim izvorima o geometriji mogu se pronaći sljedeća dodatna svojstva:

Zbir susjednih uglova paralelograma je 180 0

Simetrala ugla paralelograma odsijeca od njega jednakokraki trokut;

Simetrale suprotnih uglova paralelograma leže na paralelnim pravima;

Simetrale susjednih uglova paralelograma seku se pod pravim uglom;

Simetrale svih uglova paralelograma formiraju pravougaonik kada se sijeku;

Udaljenosti od suprotnih uglova paralelograma do jedne te iste dijagonale su jednake.

Ako spojite suprotne vrhove u paralelogramu sa sredinama suprotnih strana, dobićete još jedan paralelogram.

Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegovih susjednih stranica.

Ako povučemo visine iz dva suprotna ugla u paralelogramu, dobićemo pravougaonik.

IV Dokaz svojstava paralelograma

Zbir susjednih uglova paralelograma je 180 0

Dato:

ABCD je paralelogram

dokazati:

A+
B=

dokaz:

A i
B - unutrašnji jednostrani uglovi sa paralelnim ravnim linijama BC AD i sekansa AB, dakle
A+
B=

Dato: A B C D - paralelogram,

AK -simetrala
ALI.

dokazati: AVK - jednakokraki

dokaz:

1)
1=
3 (ukršteno sa BC AD i sekant AK),

2)
2=
3 jer je AK simetrala,

znači 1=
2.

3) ABK je jednakokraka jer su 2 ugla trougla jednaka

. Simetrala ugla paralelograma odsijeca od njega jednakokraki trougao

Dato: ABCD je paralelogram

AK je simetrala od A,

SR je simetrala od C.

dokazati: AK ║ SR

dokaz:

1) 1=2 pošto je AK-simetrala

2) 4=5 jer SR - simetrala

3) 3=1 (poprečni uglovi u

BC ║ AD i AK-sekant),

4) A \u003d C (po svojstvu paralelograma), što znači 2 \u003d 3 = 4 \u003d 5.

4) Iz st. 3 i 4 proizilazi da je 1 = 4, a ti uglovi odgovaraju pravim AK i SR i sekantom BC,

dakle, AK ║ SR (na osnovu paralelnih pravih)

. Simetrale suprotnih uglova paralelograma leže na paralelnim pravima

Simetrale susjednih uglova paralelograma seku se pod pravim uglom

Dato: ABCD - paralelogram,

AC simetrala A,

DP-simetrala D

dokazati: DP AK.

dokaz:

1) 1=2, jer AK - simetrala

Neka je 1=2=x, zatim A=2x,

2) 3=4, jer D P - simetrala

Neka je 3=4=y, zatim D=2y

3) A + D \u003d 180 0, jer zbir susednih uglova paralelograma je 180

2) Razmotrite A OD

1+3=90 0 onda
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Simetrale svih uglova paralelograma formiraju pravougaonik kada se sijeku

Dato: ABCD - paralelogram, AK-simetrala A,

DP-simetrala D,

CM je simetrala od C,

BF -simetrala od B.

Dokazati: KRNS -pravougaonik

dokaz:

Na osnovu prethodnog svojstva 8=7=6=5=90 0 ,

znači KRNS je pravougaonik.

Udaljenosti od suprotnih uglova paralelograma do jedne te iste dijagonale su jednake.

Dato: ABCD-paralelogram, AC-dijagonala.

VC AU, D.P. AC

dokazati: BK=DP

dokaz: 1) DCP \u003d KAB, kao unutrašnji poprečno leži na AB ║ CD i sekant AC.

2) AKB= CDP (duž strane i dva ugla uz nju AB=CD CD P=AB K).

A u jednakim trokutima odgovarajuće stranice su jednake, tako da je DP \u003d BK.

Ako spojite suprotne vrhove u paralelogramu sa sredinama suprotnih strana, dobićete još jedan paralelogram.

Dato: ABCD paralelogram.

dokazati: VKDP je paralelogram.

dokaz:

1) BP=KD (AD=BC, tačke K i P

prepoloviti ove strane)

2) BP ║ KD (leži na AD prije Krista)

Ako su suprotne strane četverougla jednake i paralelne, onda je ovaj četverokut paralelogram.

Ako povučemo visine iz dva suprotna ugla u paralelogramu, dobićemo pravougaonik.

Zbir kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbiru kvadrata njegovih susjednih stranica.

Dato: ABCD je paralelogram. BD i AC su dijagonale.

dokazati: AC 2 + BD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

dokaz: 1)PITAJ: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (prema Pitagorinoj teoremi)

3) AC ²+ BD ²=SC²+A K²+B R²+RD ²

4) SK = BP = H(visina )

5) AC 2 +VD 2 = H 2 + A To 2 + H 2 +PD 2

6) Neka D K=A P=x, onda C ToD : H 2 = CD 2 - X 2 prema Pitagorinoj teoremi )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ²=2CD 2 -2x 2 + A To 2 +PD 2

8) A To=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ ATD²=2 ODD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ ATD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 + AD 2 ).

V . Rješavanje problema korištenjem ovih svojstava

Točka presjeka simetrala dvaju uglova paralelograma susednih jednoj strani pripada suprotnoj strani. Kraća stranica paralelograma je 5 . Nađi njegovu veliku stranu.

Dato: ABCD je paralelogram,

AK - simetrala
ALI,

D K - simetrala
D, AB=5

Nađi: sunce

rješenje

Rješenje

Jer AK - simetrala
A, tada je ABC jednakokraka.

Jer D K - simetrala
D, onda DCK - jednakokraki

DC \u003d C K \u003d 5

Tada je VS=VK+SK=5+5 = 10

Odgovor: 10

2. Nađite obim paralelograma ako simetrala jednog od njegovih uglova dijeli stranicu paralelograma na segmente od 7 cm i 14 cm.

1 slučaj

Dato:
ALI,

VK=14 cm, KS=7 cm

Pronađite: R paralelogram

Rješenje

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Jer AK - simetrala
A, tada je ABC jednakokraka.

AB=BK=14cm

Zatim P = 2 (14 + 21) = 70 (cm)

dešava

Dato: ABCD je paralelogram,

D K - simetrala
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

Nađi: R paralelogram

Rješenje

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Jer D K - simetrala
D, onda DCK - jednakokraki

DC \u003d C K \u003d 7

Zatim, P = 2 (21 + 7) = 56 (cm)

odgovor: 70 cm ili 56 cm

3. Stranice paralelograma su 10 cm i 3 cm. Simetrale dvaju ugla susednih većoj strani dele suprotnu stranu na tri segmenta. Pronađite ove segmente.

1 slučaj: simetrale se sijeku izvan paralelograma

Dato: ABCD - paralelogram, AK - simetrala
ALI,

D K - simetrala
D , AB=3 cm, BC=10 cm

Nađi: BM, MN, NC

Rješenje

Jer AM - simetrala
I tada je AVM jednakokračan.

Jer DN - simetrala
D, onda DCN - jednakokraki

DC=CN=3

Zatim, MN = 10 - (BM + NC) = 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 slučaj: simetrale se sijeku unutar paralelograma

Jer AN - simetrala
A, tada je ABN jednakokračan.

AB=BN = 3 D

I klizna rešetka - pomaknite se na potrebnu udaljenost u vratima

Paralelogramski mehanizam- mehanizam sa četiri veze, čije karike čine paralelogram. Koristi se za implementaciju translacijskog kretanja zglobnih mehanizama.

Paralelogram sa fiksnom vezom- jedna karika je nepomična, suprotna vrši ljuljanje, ostajući paralelna sa nepokretnom. Dva paralelograma povezana jedan iza drugog daju konačnoj karici dva stepena slobode, ostavljajući je paralelnom sa fiksnom.

Primjeri: brisači vjetrobranskog stakla autobusa, viljuškari, tronošci, vješalice, vješalice za automobile.

Paralelogram sa fiksnom šarkom- svojstvo paralelograma se koristi za održavanje konstantnog omjera udaljenosti između tri tačke. Primjer: pantograf za crtanje - uređaj za skaliranje crteža.

Rhombus- sve karike su iste dužine, približavanje (kontrakcija) para suprotnih šarki dovodi do proširenja druge dvije šarke. Svi linkovi rade u kompresiji.

Primjeri su auto dijamantska dizalica, tramvajski pantograf.

makaze ili Mehanizam u obliku slova X, također poznat kao Nirnberg makaze- varijanta romba - dvije karike povezane u sredini šarkom. Prednosti mehanizma su kompaktnost i jednostavnost, nedostatak je prisustvo dva klizna para. Dva (ili više) takvih mehanizama, povezanih u seriju, formiraju romb (e) u sredini. Koristi se u liftovima, dječjim igračkama.

VII Zaključak

Ko se matematikom bavi od detinjstva,

razvija pažnju, trenira svoj mozak,

vlastitu volju, neguje istrajnost

i istrajnost u postizanju cilja

A. Markushevich

U toku rada dokazao sam dodatna svojstva paralelograma.

Bio sam uvjeren da primjenom ovih svojstava možete brže riješiti probleme.

Pokazao sam kako se ova svojstva primjenjuju na primjerima rješavanja konkretnih problema.

Naučio sam mnogo o paralelogramu čega nema u našem udžbeniku geometrije

Da je poznavanje geometrije veoma važno u životu, uvjerio sam se na primjerima primjene svojstava paralelograma.

Svrha mog istraživačkog rada je ostvarena.

O važnosti matematičkog znanja svjedoči i činjenica da je ustanovljena nagrada za onoga ko objavi knjigu o osobi koja je cijeli život proživjela bez pomoći matematike. Ovu nagradu do sada niko nije dobio.

VIII Književnost

Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima. Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove osnove (a) i visine (h). Također možete pronaći njegovu površinu kroz dvije strane i ugao i kroz dijagonale.

Svojstva paralelograma

1. Suprotne strane su identične.

Prije svega, nacrtajte dijagonalu $AC $ . Dobivaju se dva trokuta: $ABC $ i $ADC $.

Budući da je $ABCD $ paralelogram, vrijedi sljedeće:

$AD || BC \Strelica desno \ugao 1 = \ugao 2 $ kao ležanje popreko.

$AB || CD \Strelica desno \ugao3 = \ugao 4 $ kao ležanje popreko.

Dakle, (po drugoj osnovi: i $AC$ je uobičajeno).

I zbog toga, $\trokut ABC = \trokut ADC $, zatim $AB = CD $ i $AD = BC $ .

2. Suprotni uglovi su identični.

Prema dokazu svojstva 1 Znamo to $\ugao 1 = \ugao 2, \ugao 3 = \ugao 4 $. Dakle, zbir suprotnih uglova je: $\ugao 1 + \ugao 3 = \ugao 2 + \ugao 4 $. S obzirom na to $\trokut ABC = \trokut ADC $ dobijamo $\ugao A = \ugao C $ , $\ugao B = \ugao D $ .

3. Dijagonale su prepolovljene točkom presjeka.

By imovina 1 znamo da su suprotne strane identične: $AB = CD $ . Još jednom bilježimo jednake uglove koji leže poprečno.

Dakle, vidi se da $\trokut AOB = \trokut COD $ prema drugom kriteriju za jednakost trokuta (dva ugla i stranica između njih). To jest, $BO = OD $ (nasuprot uglovima $\ugao 2 $ i $\ugao 1 $ ) i $AO = OC $ (nasuprot uglovima $\ugao 3 $ i $ \ugao 4 $ respektivno).

Karakteristike paralelograma

Ako je u vašem problemu prisutan samo jedan znak, onda je figura paralelogram i možete koristiti sva svojstva ove figure.

Za bolje pamćenje, imajte na umu da će znak paralelograma odgovoriti na sljedeće pitanje - "kako saznati?". Odnosno, kako saznati da je data figura paralelogram.

1. Paralelogram je četverougao čije su dvije stranice jednake i paralelne.

$AB = CD $ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD $- paralelogram.

Razmotrimo detaljnije. Zašto $AD || BC $ ?

$\trokut ABC = \trokut ADC $ on imovina 1: $AB = CD $ , $\ugao 1 = \ugao 2 $ poprečno sa paralelom $AB $ i $CD $ i sekantom $AC $ .

Ali ako $\trokut ABC = \trokut ADC $, tada $\ugao 3 = \ugao 4 $ (leže nasuprot $AD || BC $ ($\ugao 3 $ i $\ugao 4 $ - koji leže nasuprot su takođe jednaki).

Prvi znak je tačan.