Formulacija Pitagorine teoreme pitagorinih trouglova. Različiti načini dokazivanja Pitagorine teoreme

Shapovalova L.A. (stanica Egorlykskaya, MBOU ESOSH br. 11)

1. Glazer G.I. Istorija matematike u školi VII - VIII razred, priručnik za nastavnike, - M: Obrazovanje, 1982.

2. Dempan I.Ya., Vilenkin N.Ya. "Iza stranica udžbenika matematike" Priručnik za učenike 5-6 razreda. – M.: Prosvjeta, 1989.

3. Zenkevič I.G. "Estetika časa matematike". – M.: Prosvjeta, 1981.

4. Litzman V. Pitagorina teorema. - M., 1960.

5. Voloshinov A.V. "Pythagoras". - M., 1993.

6. Pichurin L.F. "Izvan stranica udžbenika algebre". - M., 1990.

7. Zemlyakov A.N. "Geometrija u 10. razredu." - M., 1986.

8. List "Matematika" 17/1996.

9. List "Matematika" 3/1997.

10. Antonov N.P., Vygodskii M.Ya., Nikitin V.V., Sankin A.I. "Zbirka zadataka iz osnovne matematike". - M., 1963.

11. Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. "Matematički priručnik". - M., 1973.

12. Shchetnikov A.I. "Pitagorejska doktrina o broju i veličini". - Novosibirsk, 1997.

13. “Pravi brojevi. Iracionalni izrazi» 8. razred. Tomsk University Press. – Tomsk, 1997.

14. Atanasyan M.S. "Geometrija" razred 7-9. – M.: Prosvjeta, 1991.

15. URL: www.moypifagor.narod.ru/

16. URL: http://www.zaitseva-irina.ru/html/f1103454849.html.

Ove akademske godine upoznao sam se sa zanimljivom teoremom, poznatom, kako se ispostavilo, od davnina:

"Kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na katetama."

Obično se otkriće ove izjave pripisuje starogrčkom filozofu i matematičaru Pitagori (VI vek pne). Ali proučavanje drevnih rukopisa pokazalo je da je ova izjava bila poznata mnogo prije Pitagorinog rođenja.

Pitao sam se zašto se to u ovom slučaju povezuje s Pitagorinim imenom.

Relevantnost teme: Pitagorina teorema je od velike važnosti: koristi se u geometriji doslovno na svakom koraku. Verujem da su Pitagorina dela i dalje aktuelna, jer gde god da pogledamo, svuda možemo videti plodove njegovih velikih ideja, oličenih u raznim granama modernog života.

Svrha mog istraživanja je bila: da saznam ko je bio Pitagora i kakvu on vezu ima sa ovom teoremom.

Proučavajući istoriju teoreme, odlučio sam da saznam:

Postoje li drugi dokazi ove teoreme?

Kakav je značaj ove teoreme u životima ljudi?

Kakvu je ulogu Pitagora imao u razvoju matematike?

Iz Pitagorine biografije

Pitagora sa Samosa je veliki grčki naučnik. Njegova slava povezana je s imenom Pitagorine teoreme. Iako sada već znamo da je ova teorema bila poznata u starom Babilonu 1200 godina prije Pitagore, a u Egiptu 2000 godina prije njega je bio poznat pravokutni trokut sa stranicama 3, 4, 5, mi je još uvijek zovemo imenom ovog drevnog naučnik.

Gotovo ništa se sa sigurnošću ne zna o Pitagorinom životu, ali uz njegovo ime se veže veliki broj legendi.

Pitagora je rođen 570. godine prije Krista na ostrvu Samos.

Pitagora je imao zgodan izgled, nosio je dugu bradu i zlatnu dijademu na glavi. Pitagora nije ime, već nadimak koji je filozof dobio zato što je uvijek govorio ispravno i uvjerljivo, poput grčkog proročišta. (Pitagora - "uvjerljivi govor").

Godine 550. pne Pitagora donosi odluku i odlazi u Egipat. Dakle, pred Pitagorom se otvara nepoznata zemlja i nepoznata kultura. Mnogo zadivljen i iznenađen Pitagora u ovoj zemlji, a nakon nekih zapažanja o životu Egipćana, Pitagora je shvatio da put do znanja, zaštićen kastom svećenika, leži kroz religiju.

Nakon jedanaest godina studija u Egiptu, Pitagora odlazi u svoju domovinu, gdje usput pada u vavilonsko ropstvo. Tamo se upoznaje sa babilonskom naukom, koja je bila razvijenija od egipatske. Babilonci su znali riješiti linearne, kvadratne i neke vrste kubnih jednačina. Pošto je pobjegao iz zatočeništva, nije mogao dugo ostati u svojoj domovini zbog atmosfere nasilja i tiranije koja je tamo vladala. Odlučio je da se preseli u Croton (grčku koloniju u sjevernoj Italiji).

U Krotonu počinje najslavniji period u Pitagorinom životu. Tamo je osnovao nešto poput vjersko-etičkog bratstva ili tajnog monaškog reda, čiji su članovi bili dužni voditi takozvani pitagorejski način života.

Pitagora i pitagorejci

Pitagora je u grčkoj koloniji na jugu Apeninskog poluostrva organizirao vjersko i etičko bratstvo, poput monaškog reda, koje će kasnije nazvati Pitagorejska unija. Članovi sindikata morali su se pridržavati određenih principa: prvo, težiti lijepom i slavnom, drugo, biti korisni, i treće, težiti visokom zadovoljstvu.

Sistem moralnih i etičkih pravila, koje je Pitagora zaveštao svojim učenicima, sastavljen je u svojevrsni moralni kodeks pitagorejaca "Zlatni stihovi", koji su bili veoma popularni u doba antike, srednjeg veka i renesanse.

Pitagorejski sistem studija sastojao se od tri sekcije:

Učenje o brojevima - aritmetika,

Nastava o figurama - geometrija,

Učenje o strukturi svemira – astronomija.

Obrazovni sistem koji je postavio Pitagora trajao je mnogo vekova.

Pitagorina škola učinila je mnogo da geometriji da karakter nauke. Glavna karakteristika Pitagorine metode bila je kombinacija geometrije i aritmetike.

Pitagora se dosta bavio proporcijama i progresijama i, vjerovatno, sličnošću figura, budući da je zaslužan za rješavanje problema: „Na osnovu date dvije figure konstruirajte treću, jednaku veličini jednom od podataka i sličnu drugi."

Pitagora i njegovi učenici uveli su koncept poligonalnih, prijateljskih, savršenih brojeva i proučavali njihova svojstva. Aritmetika, kao praksa računanja, nije zanimala Pitagoru, i on je ponosno izjavio da je „aritmetiku stavio iznad interesa trgovca“.

Članovi Pitagorejske unije bili su stanovnici mnogih gradova u Grčkoj.

Pitagorejci su takođe primali žene u svoje društvo. Sindikat je cvjetao više od dvadeset godina, a onda je počeo progon njenih članova, mnogi studenti su ubijeni.

Bilo je mnogo različitih legendi o smrti samog Pitagore. Ali Pitagorina učenja i njegovih učenika su nastavili da žive.

Iz istorije stvaranja Pitagorine teoreme

Trenutno je poznato da ovu teoremu nije otkrio Pitagora. Međutim, neki vjeruju da je Pitagora prvi dao svoj puni dokaz, dok mu drugi poriču tu zaslugu. Neki pripisuju Pitagori dokaz koji Euklid daje u prvoj knjizi svojih Elementa. S druge strane, Proklo tvrdi da je za dokaz u Elementima zaslužan sam Euklid. Kao što vidimo, istorija matematike nema gotovo nikakvih pouzdanih konkretnih podataka o Pitagorinom životu i njegovoj matematičkoj aktivnosti.

Počnimo naš istorijski pregled Pitagorine teoreme sa drevnom Kinom. Ovdje posebnu pažnju privlači matematička knjiga Chu-peija. Ovaj esej govori ovo o Pitagorinom trouglu sa stranicama 3, 4 i 5:

"Ako se pravi ugao razloži na njegove sastavne dijelove, tada će linija koja povezuje krajeve njegovih stranica biti 5 kada je osnova 3, a visina 4."

Geometrija kod Hindusa bila je usko povezana sa kultom. Vrlo je vjerovatno da je teorema o kvadratu hipotenuze već bila poznata u Indiji oko 8. stoljeća prije nove ere. Uz čisto ritualne recepte, tu su i djela geometrijski teološke prirode. U ovim spisima, koji datiraju iz 4. ili 5. stoljeća prije nove ere, susrećemo se sa konstrukcijom pravog ugla pomoću trougla sa stranicama 15, 36, 39.

U srednjem vijeku, Pitagorina teorema je definirala granicu, ako ne najvećeg mogućeg, onda barem dobrog matematičkog znanja. Karakterističan crtež Pitagorine teoreme, koji sada školarci ponekad pretvaraju, na primjer, u cilindrični šešir obučen u mantiju profesora ili muškarca, često se koristio u to vrijeme kao simbol matematike.

U zaključku predstavljamo različite formulacije Pitagorine teoreme prevedene s grčkog, latinskog i njemačkog.

Euklidov teorem glasi (doslovni prijevod):

"U pravokutnom trokutu kvadrat stranice koja se prostire pod pravim uglom jednak je kvadratima na stranicama koje zatvaraju pravi ugao."

Kao što vidite, u različitim zemljama i na različitim jezicima postoje različite verzije formulacije poznate teoreme. Nastali u različito vrijeme i na različitim jezicima, odražavaju suštinu jednog matematičkog uzorka, čiji dokaz također ima nekoliko opcija.

Pet načina da se dokaže Pitagorina teorema

drevni kineski dokazi

Na drevnom kineskom crtežu, četiri jednaka pravokutna trokuta s kracima a, b i hipotenuzom c su naslagana tako da njihova vanjska kontura tvori kvadrat sa stranicom a + b, a unutrašnja formira kvadrat sa stranom c, izgrađen na hipotenuza

a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab

Dokaz J. Gardfielda (1882)

Složimo dva jednaka pravougla trougla tako da krak jednog od njih bude nastavak drugog.

Površina trapeza koji se razmatra nalazi se kao proizvod polovine zbira osnovica i visine

S druge strane, površina trapeza jednaka je zbroju površina rezultirajućih trokuta:

Izjednačavajući ove izraze, dobijamo:

Dokaz je jednostavan

Ovaj dokaz se dobija u najjednostavnijem slučaju jednakokračnog pravokutnog trokuta.

Vjerovatno je teorema počela s njim.

Zaista, dovoljno je samo pogledati popločavanje jednakokračnih pravokutnih trouglova da vidimo da je teorema tačna.

Na primjer, za trokut ABC: kvadrat izgrađen na hipotenuzi AC sadrži 4 početna trokuta, a kvadrati izgrađeni na katetama sadrže dva. Teorema je dokazana.

Dokaz drevnih Hindusa

Kvadrat sa stranicom (a + b), može se podijeliti na dijelove kao na sl. 12. a, ili kao na sl. 12b. Jasno je da su dijelovi 1, 2, 3, 4 isti na obje slike. A ako se jednaki oduzmu od jednakih (površina), onda će ostati jednaki, tj. c2 = a2 + b2.

Euklidov dokaz

Dva milenijuma najčešći je bio dokaz Pitagorine teoreme, koju je izmislio Euklid. Nalazi se u njegovoj čuvenoj knjizi "Počeci".

Euklid je spustio visinu BH iz vrha pravog ugla na hipotenuzu i dokazao da njeno produženje dijeli kvadrat završen na hipotenuzi na dva pravougaonika čije su površine jednake površinama odgovarajućih kvadrata izgrađenih na katetama.

Crtež koji se koristi u dokazu ove teoreme u šali se naziva "pitagorine pantalone". Dugo se smatrao jednim od simbola matematičke nauke.

Primjena Pitagorine teoreme

Značaj Pitagorine teoreme leži u činjenici da se iz nje ili uz njenu pomoć može izvesti većina teorema geometrije i da se mnogi problemi mogu riješiti. Osim toga, praktični značaj Pitagorine teoreme i njene inverzne teoreme je da se oni mogu koristiti za pronalaženje dužina segmenata bez mjerenja samih segmenata. Ovo, takoreći, otvara put od prave do ravni, od ravni do volumetrijskog prostora i dalje. Iz tog razloga je Pitagorina teorema toliko važna za čovječanstvo koje nastoji otkriti više dimenzija i stvoriti tehnologije u tim dimenzijama.

Zaključak

Pitagorina teorema je toliko poznata da je teško zamisliti osobu koja nije čula za nju. Naučio sam da postoji nekoliko načina da se dokaže Pitagorina teorema. Proučavao sam niz istorijskih i matematičkih izvora, uključujući informacije na internetu, i shvatio da je Pitagorina teorema zanimljiva ne samo zbog svoje istorije, već i zbog toga što zauzima važno mjesto u životu i nauci. O tome svjedoče različita tumačenja teksta ove teoreme koja sam dala u ovom radu i načini njenog dokaza.

Dakle, Pitagorina teorema je jedna od glavnih i, moglo bi se reći, najvažnija teorema geometrije. Njegov značaj leži u činjenici da se iz njega ili uz njegovu pomoć može izvesti većina teorema geometrije. Pitagorina teorema je također izvanredna po tome što sama po sebi nije nimalo očigledna. Na primjer, svojstva jednakokračnog trougla mogu se vidjeti direktno na crtežu. Ali koliko god da gledate u pravougaoni trokut, nikada nećete vidjeti da postoji jednostavan odnos između njegovih stranica: c2 = a2 + b2. Stoga se vizualizacija često koristi za dokazivanje. Pitagorina zasluga je bila što je dao potpuni naučni dokaz ove teoreme. Zanimljiva je ličnost samog naučnika, čije sjećanje nije slučajno sačuvano ovom teoremom. Pitagora je divan govornik, učitelj i vaspitač, organizator svoje škole, fokusiran na harmoniju muzike i brojeva, dobrote i pravde, znanja i zdravog načina života. On može poslužiti kao primjer za nas, daleke potomke.

Bibliografska veza

Tumanova S.V. NEKOLIKO NAČINA ZA DOKAZIVANJE PITAGOROVE TEOREME // Početak u nauci. - 2016. - br. 2. - Str. 91-95;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=44 (datum pristupa: 06.04.2019.).

Potencijal za kreativnost obično se pripisuje humanističkim naukama, ostavljajući prirodnu naučnu analizu, praktičan pristup i suvi jezik formula i brojeva. Matematika se ne može svrstati u humanistički predmet. Ali bez kreativnosti u "kraljici svih nauka" nećete ići daleko - ljudi o tome znaju već dugo vremena. Od Pitagorinog vremena, na primjer.

Školski udžbenici, nažalost, obično ne objašnjavaju da je u matematici važno ne samo nagurati teoreme, aksiome i formule. Važno je razumjeti i osjetiti njegove osnovne principe. I u isto vrijeme pokušajte osloboditi svoj um od klišea i elementarnih istina - samo u takvim uvjetima se rađaju sva velika otkrića.

U takva otkrića spada i ono koje danas poznajemo kao Pitagorina teorema. Uz nju ćemo pokušati pokazati da matematika ne samo da može, već i treba da bude zabavna. I da ova avantura ne odgovara samo štreberima u debelim naočalama, već i svima koji su jaki umom i jaki duhom.

Iz istorije problema

Strogo govoreći, iako se teorema naziva "Pitagorina teorema", sam Pitagora je nije otkrio. Pravokutni trokut i njegova posebna svojstva proučavani su mnogo prije njega. Postoje dva polarna gledišta po ovom pitanju. Prema jednoj verziji, Pitagora je bio prvi koji je pronašao potpuni dokaz teoreme. Prema drugom, dokaz ne pripada Pitagorinom autorstvu.

Danas više ne možete provjeriti ko je u pravu, a ko nije. Poznato je samo da Pitagorin dokaz, ako je ikada postojao, nije preživio. Međutim, postoje sugestije da čuveni dokaz iz Euklidovih elemenata možda pripada Pitagori, a Euklid ga je samo zabilježio.

Danas je takođe poznato da se problemi oko pravouglog trougla nalaze u egipatskim izvorima iz vremena faraona Amenemheta I, na babilonskim glinenim pločama iz vladavine kralja Hamurabija, u staroindijskoj raspravi Sulva Sutra i starokineskom djelu Zhou. -bi suan jin.

Kao što vidite, Pitagorina teorema je zaokupljala umove matematičara od davnina. Otprilike 367 različitih dokaza koji danas postoje služe kao potvrda. Nijedna druga teorema ne može joj se takmičiti u ovom pogledu. Značajni autori dokaza su Leonardo da Vinci i 20. predsjednik Sjedinjenih Država, James Garfield. Sve ovo govori o izuzetnoj važnosti ove teoreme za matematiku: većina teorema geometrije je izvedena iz nje ili je, na ovaj ili onaj način, povezana s njom.

Dokazi Pitagorine teoreme

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali suština teoreme je u geometriji, pa hajde da pre svega razmotrimo one dokaze čuvene teoreme koji se zasnivaju na ovoj nauci.

Dokaz 1

Za najjednostavniji dokaz Pitagorine teoreme za pravougaoni trougao, morate postaviti idealne uslove: neka trougao bude ne samo pravougli, već i jednakokraki. Postoji razlog za vjerovanje da su drevni matematičari prvobitno smatrali upravo takav trokut.

Izjava "kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim kracima" može se ilustrovati sledećim crtežom:

Pogledajte jednakokraki pravougaoni trougao ABC: Na hipotenuzi AC možete izgraditi kvadrat koji se sastoji od četiri trokuta jednaka originalnom ABC. I na katetama AB i BC izgrađene na kvadratu, od kojih svaki sadrži dva slična trokuta.

Inače, ovaj crtež je bio osnova brojnih anegdota i karikatura posvećenih Pitagorinoj teoremi. Možda je najpoznatiji "Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima":

Dokaz 2

Ova metoda kombinuje algebru i geometriju i može se posmatrati kao varijanta drevnog indijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

Konstruirajte pravougao trokut sa stranicama a, b i c(Sl. 1). Zatim napravite dva kvadrata sa stranicama jednakim zbroju dužina dva kraka - (a+b). U svakom od kvadrata napravite konstrukcije, kao na slikama 2 i 3.

U prvom kvadratu izgradite četiri ista trokuta kao na slici 1. Kao rezultat, dobiju se dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu, konstruirana četiri slična trokuta formiraju kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Zbir površina konstruisanih kvadrata na slici 2 jednak je površini kvadrata koji smo konstruisali sa stranicom c na slici 3. To se lako može provjeriti izračunavanjem površina kvadrata na Sl. 2 prema formuli. A površina upisanog kvadrata na slici 3. oduzimanjem površina četiri jednaka pravokutna trokuta upisana u kvadrat od površine velikog kvadrata sa stranom (a+b).

Spuštajući sve ovo, imamo: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab. Proširite zagrade, izvršite sve potrebne algebarske proračune i dobijete to a 2 + b 2 = a 2 + b 2. Istovremeno, površina upisanog na sl.3. kvadrat se također može izračunati korištenjem tradicionalne formule S=c2. One. a2+b2=c2 Dokazali ste Pitagorinu teoremu.

Dokaz 3

Isti taj drevni indijski dokaz opisan je u 12. veku u raspravi „Kruna znanja“ („Siddhanta Shiromani“), a kao glavni argument autor koristi apel upućen matematičkim talentima i moćima zapažanja učenika i pratioci: “Pogledaj!”.

Ali ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Unutar kvadrata napravite četiri pravougaona trougla kao što je prikazano na crtežu. Stranica velikog kvadrata, koja je ujedno i hipotenuza, je označena With. Nazovimo noge trougla a i b. Prema crtežu, stranica unutrašnjeg kvadrata je (a-b).

Koristite formulu kvadratne površine S=c2 za izračunavanje površine vanjskog kvadrata. I u isto vrijeme izračunajte istu vrijednost dodavanjem površine unutrašnjeg kvadrata i površine četiri pravokutna trokuta: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Možete koristiti obje opcije za izračunavanje površine kvadrata kako biste bili sigurni da daju isti rezultat. I to vam daje pravo da to zapišete c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Kao rezultat rješenja dobit ćete formulu Pitagorine teoreme c2=a2+b2. Teorema je dokazana.

Dokaz 4

Ovaj čudni drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestina stolica" - zbog figure nalik stolici koja je rezultat svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutrašnji kvadrat sa stranom c konstruiran je na isti način kao u drevnom indijskom dokazu koji je dat gore.

Ako mentalno odrežete dva zelena pravougaona trokuta sa crteža na slici 1, pomerite ih na suprotne strane kvadrata sa stranom c i pričvrstite hipotenuze na hipotenuze lila trokuta, dobićete figuru koja se zove „mladenkina stolica ” (Sl. 2). Radi jasnoće, isto možete učiniti s papirnim kvadratima i trokutima. Vidjet ćete da je "mladenkina stolica" formirana od dva kvadrata: malih sa stranom b i veliki sa stranom a.

Ove konstrukcije omogućile su drevnim kineskim matematičarima i nama koji smo ih pratili da dođemo do zaključka da c2=a2+b2.

Dokaz 5

Ovo je još jedan način za pronalaženje rješenja za Pitagorinu teoremu zasnovanu na geometriji. Zove se Garfildova metoda.

Konstruišite pravougao trougao ABC. Moramo to dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Da biste to učinili, nastavite nogu AC i izgraditi segment CD, što je jednako kraku AB. Lower Perpendicular AD linijski segment ED. Segmenti ED i AC su jednaki. spojite tačke E i AT, kao i E i OD i dobijete crtež kao na slici ispod:

Da bismo dokazali toranj, ponovo pribjegavamo metodi koju smo već testirali: nalazimo površinu rezultirajuće figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedni s drugima.

Pronađite površinu poligona KREVET može se uraditi dodavanjem površina tri trougla koji ga čine. I jedan od njih ERU, nije samo pravougaona, već i jednakokračna. Ne zaboravimo ni to AB=CD, AC=ED i BC=CE- ovo će nam omogućiti da pojednostavimo snimanje i ne preopterećujemo ga. dakle, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

Istovremeno, očigledno je da KREVET je trapez. Stoga izračunavamo njegovu površinu pomoću formule: SABED=(DE+AB)*1/2AD. Za naše proračune je zgodnije i jasnije predstaviti segment AD kao zbir segmenata AC i CD.

Napišimo oba načina da izračunamo površinu figure tako što ćemo staviti znak jednakosti između njih: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Koristimo jednakost segmenata koji su nam već poznati i gore opisani da pojednostavimo desnu stranu notacije: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. A sada otvaramo zagrade i transformiramo jednakost: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Nakon što smo završili sve transformacije, dobijamo upravo ono što nam je potrebno: BC 2 \u003d AC 2 + AB 2. Dokazali smo teoremu.

Naravno, ova lista dokaza je daleko od potpune. Pitagorina teorema se također može dokazati korištenjem vektora, kompleksnih brojeva, diferencijalnih jednadžbi, stereometrije itd. Pa čak i fizičari: ako se, na primjer, tekućina izlije u kvadratne i trokutaste zapremine slične onima prikazanim na crtežima. Sipanjem tečnosti moguće je dokazati jednakost površina i samu teoremu kao rezultat.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Ovo pitanje se malo ili ne proučava u školskom programu. U međuvremenu, veoma je zanimljiv i od velikog je značaja u geometriji. Pitagorine trojke se koriste za rješavanje mnogih matematičkih problema. Ideja o njima može vam biti od koristi u daljem školovanju.

Dakle, šta su pitagorine trojke? Takozvani prirodni brojevi, sakupljeni u troje, od kojih je zbir kvadrata dva jednak trećem broju na kvadratu.

Pitagorine trojke mogu biti:

primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
neprimitivan (ako se svaki broj trojke pomnoži sa istim brojem, dobićete novu trojku koja nije primitivna).

Još prije naše ere, stari Egipćani su bili fascinirani manijom za brojevima pitagorejskih trojki: u zadacima su smatrali pravokutni trokut sa stranicama od 3,4 i 5 jedinica. Inače, svaki trougao čije su stranice jednake brojevima iz Pitagorine trojke je po defaultu pravougaonik.

Primjeri pitagorinih trojki: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20) ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14, 48, 50), (30, 40, 50) itd.

Praktična primjena teoreme

Pitagorina teorema nalazi primenu ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorina teorema se u njoj široko koristi u problemima različitih nivoa složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Označimo širinu prozora kao b, tada se radijus velikog polukruga može označiti kao R i izraziti kroz b: R=b/2. Poluprečnik manjih polukrugova se takođe može izraziti u terminima b: r=b/4. U ovom problemu nas zanima radijus unutrašnjeg kruga prozora (nazovimo ga str).

Pitagorina teorema samo dobro dođe za izračunavanje R. Da bismo to učinili, koristimo pravokutni trokut, koji je na slici označen isprekidanom linijom. Hipotenuza trougla sastoji se od dva poluprečnika: b/4+p. Jedna noga je radijus b/4, druga b/2-p. Koristeći Pitagorinu teoremu, pišemo: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Zatim otvaramo zagrade i dobivamo b 2 /16+ bp / 2 + p 2 \u003d b 2 / 16 + b 2 / 4-bp + p 2. Hajde da transformišemo ovaj izraz u bp/2=b 2 /4-bp. I onda dijelimo sve pojmove na b, dajemo slične za nabavku 3/2*p=b/4. I na kraju to nađemo p=b/6- što nam je trebalo.

Koristeći teoremu, možete izračunati dužinu rogova za zabatni krov. Odredite koliko je visok mobilni toranj potreban da bi signal stigao do određenog naselja. Pa čak i postojano instalirajte božićno drvce na gradskom trgu. Kao što vidite, ova teorema ne živi samo na stranicama udžbenika, već je često korisna u stvarnom životu.

Što se književnosti tiče, Pitagorina teorema je inspirisala pisce još od antike, a to čini i danas. Na primjer, njemačkog pisca iz devetnaestog vijeka Adelberta von Chamissoa inspirirala je da napiše sonet:

Svetlost istine se neće brzo raspršiti,
Ali, nakon što je zablistao, malo je vjerovatno da će se raspršiti
I, kao i pre hiljadama godina,
Neće izazvati sumnje i sporove.

Najmudriji kada dotakne oko
Svetlost istine, hvala bogovima;
I sto bikova, izbodenih, lažu -
Povratni poklon srećnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek je uzbudio pleme bikova
događaj koji se ovdje spominje.

Misle da je krajnje vrijeme
I opet će biti žrtvovani
Neka sjajna teorema.

(preveo Viktor Toporov)

A u dvadesetom veku, sovjetski pisac Jevgenij Veltistov u svojoj knjizi "Avanture elektronike" posvetio je čitavo poglavlje dokazima Pitagorine teoreme. I pola poglavlja priče o dvodimenzionalnom svijetu koji bi mogao postojati kada bi Pitagorina teorema postala temeljni zakon, pa čak i religija za jedan svijet. U njemu bi bilo mnogo lakše živjeti, ali i mnogo dosadnije: na primjer, tamo niko ne razumije značenje riječi „okruglo“ i „puhasto“.

A u knjizi “Avanture elektronike” autor, kroz usta nastavnika matematike Taratare, kaže: “Glavna stvar u matematici je kretanje misli, novih ideja.” Upravo taj kreativni let misli stvara Pitagorinu teoremu - nema zaludju da ima toliko različitih dokaza. Pomaže da se prevaziđe uobičajeno i da se na poznate stvari pogleda na novi način.

Zaključak

Ovaj članak je kreiran tako da možete pogledati dalje od školskog nastavnog plana i programa iz matematike i naučiti ne samo one dokaze Pitagorine teoreme koji su dati u udžbenicima "Geometrija 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) i "Geometrija 7-11 ” (A.V. Pogorelov), ali i drugi radoznali načini dokazivanja čuvene teoreme. I također pogledajte primjere kako se Pitagorina teorema može primijeniti u svakodnevnom životu.

Kao prvo, ove informacije će vam omogućiti da ostvarite veće rezultate na časovima matematike - informacije o ovoj temi iz dodatnih izvora su uvijek visoko cijenjene.

Drugo, htjeli smo da vam pomognemo da osjetite koliko je matematika zanimljiva. Da se na konkretnim primjerima uvjerite da u tome uvijek ima mjesta za kreativnost. Nadamo se da će vas Pitagorina teorema i ovaj članak inspirisati na vlastita istraživanja i uzbudljiva otkrića u matematici i drugim naukama.

Recite nam u komentarima da li su vam dokazi predstavljeni u članku bili zanimljivi. Da li su vam ove informacije bile korisne u vašim studijama? Recite nam šta mislite o Pitagorinoj teoremi i ovom članku - rado ćemo o svemu tome razgovarati s vama.

blog.site, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Pitagorina teorema: Zbir površina kvadrata koje nose noge ( a i b), jednak je površini kvadrata izgrađenog na hipotenuzi ( c).

Geometrijska formulacija:

Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:

Algebarska formulacija:

To jest, označava dužinu hipotenuze trokuta kroz c, i dužine nogu kroz a i b :

a 2 + b 2 = c 2

Obje formulacije teoreme su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija, ne zahtijeva koncept površine. To jest, drugi iskaz se može provjeriti bez poznavanja površine i mjerenjem samo dužina stranica pravouglog trougla.

Inverzna Pitagorina teorema:

Dokaz o

Trenutno je u naučnoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno je Pitagorina teorema jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost se može objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno, sve se mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatiji od njih: dokazi metodom područja, aksiomatski i egzotični dokazi (na primjer, korištenjem diferencijalnih jednadžbi).

Kroz slične trouglove

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od dokaza izgrađenih direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravougli trougao C. Nacrtajmo visinu iz C i označimo njegovu bazu sa H. Trougao ACH slično trokutu ABC na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC. Uvođenje notacije

dobijamo

Šta je ekvivalentno

Dodajući, dobijamo

Područni dokazi

Sljedeći dokazi, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni koriste svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.

Dokaz putem ekvivalencije

Rasporedite četiri jednaka pravougla trougla kao što je prikazano na slici 1.
Četvorougao sa stranicama c je kvadrat jer je zbir dva oštra ugla 90°, a pravi ugao 180°.
Površina cijele figure jednaka je, s jedne strane, površini kvadrata sa stranicom (a + b), as druge strane zbiru površina četiri trokuta i dva unutrašnja kvadrata.

Q.E.D.

Dokaz kroz ekvivalentnost

Elegantan dokaz permutacije

Primjer jednog od ovih dokaza prikazan je na crtežu desno, gdje se kvadrat izgrađen na hipotenuzi permutacijom pretvara u dva kvadrata izgrađena na katetama.

Euklidov dokaz

Crtež za Euklidov dokaz

Ilustracija za Euklidov dokaz

Ideja Euklidovog dokaza je sljedeća: pokušajmo dokazati da je polovina površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka zbroju polovina površina kvadrata izgrađenih na katovima, a zatim površina veliki i dva mala kvadrata su jednaki.

Razmotrite crtež na lijevoj strani. Na njemu smo izgradili kvadrate na stranicama pravouglog trougla i povukli zrak s iz vrha pravog ugla C okomito na hipotenuzu AB, on seče kvadrat ABIK, izgrađen na hipotenuzi, na dva pravougaonika - BHJI i HAKJ , odnosno. Ispada da su površine ovih pravougaonika tačno jednake površinama kvadrata izgrađenih na odgovarajućim kracima.

Pokušajmo dokazati da je površina kvadrata DECA jednaka površini pravokutnika AHJK Da bismo to učinili, koristimo pomoćno zapažanje: Površina trokuta sa istom visinom i osnovom kao dato pravougaonik je jednak polovini površine datog pravougaonika. To je posljedica definiranja površine trokuta kao pola proizvoda osnove i visine. Iz ovog zapažanja proizilazi da je površina trokuta ACK jednaka površini trokuta AHK (nije prikazano), što je, pak, jednako polovini površine pravokutnika AHJK.

Dokažimo sada da je površina trougla ACK jednaka polovini površine kvadrata DECA. Jedino što za to treba učiniti je dokazati jednakost trokuta ACK i BDA (pošto je površina trokuta BDA jednaka polovini površine kvadrata prema gore navedenom svojstvu). Ova jednakost je očigledna, trokuti su jednaki po dvije strane i ugao između njih. Naime - AB=AK,AD=AC - jednakost uglova CAK i BAD lako je dokazati metodom kretanja: zarotirajmo trougao CAK 90° u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, tada je očito da će odgovarajuće stranice dva razmatrana trougla poklapaju (zbog činjenice da je ugao na vrhu kvadrata 90°).

Argument o jednakosti površina kvadrata BCFG i pravougaonika BHJI potpuno je analogan.

Tako smo dokazali da je površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi zbir površina kvadrata izgrađenih na katetama. Ideja iza ovog dokaza dodatno je ilustrovana gornjom animacijom.

Dokaz o Leonardu da Vinčiju

Glavni elementi dokaza su simetrija i kretanje.

Razmotrite crtež, kao što se može vidjeti iz simetrije, segment CI secira kvadrat ABHJ na dva identična dijela (pošto trouglovi ABC i JHI jednaki su po konstrukciji). Koristeći rotaciju od 90 stepeni suprotno od kazaljke na satu, vidimo jednakost osenčenih figura CAJI i GDAB . Sada je jasno da je površina figure koju smo zasjenili jednaka zbroju polovine površina kvadrata izgrađenih na nogama i površine izvornog trokuta. S druge strane, jednaka je polovini površine kvadrata izgrađenog na hipotenuzi, plus površina originalnog trokuta. Poslednji korak u dokazivanju prepušten je čitaocu.

Dokaz infinitezimalnom metodom

Sljedeći dokaz korištenjem diferencijalnih jednačina često se pripisuje poznatom engleskom matematičaru Hardiju, koji je živio u prvoj polovini 20. stoljeća.

Uzimajući u obzir crtež prikazan na slici i posmatrajući promjenu strane a, možemo napisati sljedeću relaciju za beskonačno male bočne priraštaje With i a(koristeći slične trokute):

Dokaz infinitezimalnom metodom

Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju priraštaja oba kraka

Integracijom ove jednačine i korištenjem početnih uslova dobijamo

c 2 = a 2 + b 2 + konstanta.

Tako dolazimo do željenog odgovora

c 2 = a 2 + b 2 .

Kao što je lako vidjeti, kvadratna zavisnost u konačnoj formuli nastaje zbog linearne proporcionalnosti između stranica trougla i prirasta, dok je zbir rezultat nezavisnih doprinosa prirasta različitih kateta.

Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast (u ovom slučaju krak b). Tada za integracijsku konstantu dobijamo

Varijacije i generalizacije

Ako se umjesto kvadrata na nogama konstruiraju druge slične figure, tada je tačna sljedeća generalizacija Pitagorine teoreme: U pravokutnom trokutu, zbir površina sličnih figura izgrađenih na katetama jednak je površini figure izgrađene na hipotenuzi. posebno:
- Zbir površina pravilnih trouglova izgrađenih na katetama jednak je površini pravilnog trougla izgrađenog na hipotenuzi.
- Zbir površina polukrugova izgrađenih na kracima (kao na prečniku) jednak je površini polukruga izgrađenog na hipotenuzi. Ovaj primjer se koristi za dokazivanje svojstava figura omeđenih lukovima dvije kružnice i koje nose naziv hipokratova lunula.

Priča

Chu-pei 500–200 pne. Na lijevoj strani je natpis: zbir kvadrata dužina visine i osnovice je kvadrat dužine hipotenuze.

Drevna kineska knjiga Chu-pei govori o pitagorinom trokutu sa stranicama 3, 4 i 5: U istoj knjizi predlaže se crtež koji se poklapa s jednim od crteža hinduističke geometrije Baskhare.

Kantor (najveći njemački istoričar matematike) smatra da je jednakost 3 ² + 4 ² = 5² već bila poznata Egipćanima oko 2300. godine prije Krista. e., u vrijeme kralja Amenemheta I (prema papirusu 6619 Berlinskog muzeja). Prema Cantoru, harpedonapti, ili "stringeri", gradili su prave uglove koristeći pravokutne trouglove sa stranicama 3, 4 i 5.

Vrlo je lako reproducirati njihov način gradnje. Uzmite uže dužine 12 m i vežite ga za njega duž trake u boji na udaljenosti od 3 m. sa jednog kraja i 4 metra od drugog. Pravi ugao će biti zatvoren između stranica dužine 3 i 4 metra. Harpedonaptima bi se moglo prigovoriti da njihov način gradnje postaje suvišan ako se koristi, na primjer, drveni kvadrat koji koriste svi stolari. Doista, poznati su egipatski crteži u kojima se nalazi takav alat, na primjer, crteži koji prikazuju stolariju.

Nešto više se zna o Pitagorinoj teoremi kod Babilonaca. U jednom tekstu koji datira iz vremena Hamurabija, tj. do 2000. godine prije Krista. e., dat je približan proračun hipotenuze pravouglog trougla. Iz ovoga možemo zaključiti da su u Mezopotamiji mogli izvoditi proračune sa pravokutnim trouglovima, barem u nekim slučajevima. Na osnovu, s jedne strane, sadašnjeg nivoa znanja o egipatskoj i babilonskoj matematici, as druge, na kritičkom proučavanju grčkih izvora, Van der Waerden (holandski matematičar) je zaključio sljedeće:

Književnost

Na ruskom

Skopets Z. A. Geometrijske minijature. M., 1990
Yelensky Sh. Po stopama Pitagore. M., 1961
Van der Waerden B. L. Awakening Science. Matematika starog Egipta, Babilona i Grčke. M., 1959
Glazer G.I. Istorija matematike u školi. M., 1982
W. Litzman, "Pitagorina teorema" M., 1960.
- Sajt o Pitagorinoj teoremi sa velikim brojem dokaza, materijal je preuzet iz knjige W. Litzmana, veliki broj crteža je predstavljen kao zasebni grafički fajlovi.
Pitagorina teorema i Pitagorine trostruke poglavlje iz knjige D. V. Anosova "Pogled na matematiku i nešto iz nje"
O Pitagorinoj teoremi i metodama njenog dokaza G. Glaser, akademik Ruske akademije obrazovanja, Moskva

Na engleskom

Pitagorina teorema na WolframMathWorld
Cut-The-Knot, dio o Pitagorinoj teoremi, oko 70 dokaza i opsežne dodatne informacije (eng.)

Wikimedia fondacija. 2010 .

Iz istorije problema

Dokazi Pitagorine teoreme

Školski udžbenici uglavnom daju algebarske dokaze. Ali suština teoreme je u geometriji, pa hajde da pre svega razmotrimo one dokaze čuvene teoreme koji se zasnivaju na ovoj nauci.

Dokaz 1

Izjava "kvadrat izgrađen na hipotenuzi pravokutnog trokuta jednak je zbiru kvadrata izgrađenih na njegovim kracima" može se ilustrovati sledećim crtežom:

Inače, ovaj crtež je bio osnova brojnih anegdota i karikatura posvećenih Pitagorinoj teoremi. Možda je najpoznatiji "Pitagorine pantalone su jednake u svim pravcima":

Dokaz 2

Ova metoda kombinuje algebru i geometriju i može se posmatrati kao varijanta drevnog indijskog dokaza matematičara Bhaskarija.

U prvom kvadratu izgradite četiri ista trokuta kao na slici 1. Kao rezultat, dobiju se dva kvadrata: jedan sa stranom a, drugi sa stranom b.

U drugom kvadratu, konstruirana četiri slična trokuta formiraju kvadrat sa stranicom jednakom hipotenuzi c.

Dokaz 3

Ali ovaj dokaz ćemo detaljnije analizirati:

Dokaz 4

Ovaj čudni drevni kineski dokaz nazvan je "Nevjestina stolica" - zbog figure nalik stolici koja je rezultat svih konstrukcija:

Koristi crtež koji smo već vidjeli na slici 3 u drugom dokazu. A unutrašnji kvadrat sa stranom c konstruiran je na isti način kao u drevnom indijskom dokazu koji je dat gore.

Ove konstrukcije omogućile su drevnim kineskim matematičarima i nama koji smo ih pratili da dođemo do zaključka da c2=a2+b2.

Dokaz 5

Ovo je još jedan način za pronalaženje rješenja za Pitagorinu teoremu zasnovanu na geometriji. Zove se Garfildova metoda.

Konstruišite pravougao trougao ABC. Moramo to dokazati BC 2 \u003d AC 2 + AB 2.

Da bismo dokazali toranj, ponovo pribjegavamo metodi koju smo već testirali: nalazimo površinu rezultirajuće figure na dva načina i izjednačavamo izraze jedni s drugima.

Nekoliko riječi o Pitagorinim trojkama

Dakle, šta su pitagorine trojke? Takozvani prirodni brojevi, sakupljeni u troje, od kojih je zbir kvadrata dva jednak trećem broju na kvadratu.

Pitagorine trojke mogu biti:

primitivni (sva tri broja su relativno prosti);
neprimitivan (ako se svaki broj trojke pomnoži sa istim brojem, dobićete novu trojku koja nije primitivna).

Praktična primjena teoreme

Pitagorina teorema nalazi primenu ne samo u matematici, već iu arhitekturi i građevinarstvu, astronomiji, pa čak i književnosti.

Prvo, o konstrukciji: Pitagorina teorema se u njoj široko koristi u problemima različitih nivoa složenosti. Na primjer, pogledajte romanički prozor:

Svetlost istine se neće brzo raspršiti,
Ali, nakon što je zablistao, malo je vjerovatno da će se raspršiti
I, kao i pre hiljadama godina,
Neće izazvati sumnje i sporove.

Najmudriji kada dotakne oko
Svetlost istine, hvala bogovima;
I sto bikova, izbodenih, lažu -
Povratni poklon srećnog Pitagore.

Od tada bikovi očajnički urlaju:
Zauvijek je uzbudio pleme bikova
događaj koji se ovdje spominje.

Misle da je krajnje vrijeme
I opet će biti žrtvovani
Neka sjajna teorema.

(preveo Viktor Toporov)

Zaključak

Kao prvo, ove informacije će vam omogućiti da ostvarite veće rezultate na časovima matematike - informacije o ovoj temi iz dodatnih izvora su uvijek visoko cijenjene.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

Pitagorina teorema- jedna od temeljnih teorema euklidske geometrije, koja uspostavlja relaciju

između stranica pravokutnog trougla.

Vjeruje se da je to dokazao grčki matematičar Pitagora, po kome je i dobio ime.

Geometrijska formulacija Pitagorine teoreme.

Teorema je prvobitno bila formulirana na sljedeći način:

U pravokutnom trokutu, površina kvadrata izgrađenog na hipotenuzi jednaka je zbroju površina kvadrata,

izgrađen na kateterima.

Algebarska formulacija Pitagorine teoreme.

U pravokutnom trokutu kvadrat dužine hipotenuze jednak je zbiru kvadrata dužina kateta.

To jest, označava dužinu hipotenuze trokuta kroz c, i dužine nogu kroz a i b:

Obe formulacije pitagorine teoreme su ekvivalentne, ali druga formulacija je elementarnija, nije

zahtijeva koncept područja. Odnosno, druga tvrdnja se može provjeriti bez znanja o tom području i

mjerenjem samo dužina stranica pravokutnog trougla.

Inverzna Pitagorina teorema.

Ako je kvadrat jedne stranice trokuta jednak zbroju kvadrata druge dvije stranice, tada

trougao je pravougaonog oblika.

Ili, drugim riječima:

Za bilo koju trojku pozitivnih brojeva a, b i c, takav da

postoji pravougaoni trougao sa katetama a i b i hipotenuzu c.

Pitagorina teorema za jednakokraki trougao.

Pitagorina teorema za jednakostranični trougao.

Dokazi Pitagorine teoreme.

Trenutno je u naučnoj literaturi zabilježeno 367 dokaza ove teoreme. Vjerovatno teorema

Pitagora je jedina teorema sa tako impresivnim brojem dokaza. Takva raznolikost

može se objasniti samo fundamentalnim značajem teoreme za geometriju.

Naravno, konceptualno, sve se mogu podijeliti u mali broj klasa. Najpoznatije od njih:

dokaz o metoda područja, aksiomatski i egzotični dokazi(na primjer,

korišćenjem diferencijalne jednadžbe).

1. Dokaz Pitagorine teoreme u terminima sličnih trouglova.

Sljedeći dokaz algebarske formulacije je najjednostavniji od konstruiranih dokaza

direktno iz aksioma. Konkretno, ne koristi koncept površine figure.

Neka ABC postoji pravougli trougao C. Nacrtajmo visinu iz C i označiti

njegov temelj kroz H.

Trougao ACH slično trokutu AB C na dva ugla. Isto tako, trougao CBH slično ABC.

Uvođenjem notacije:

dobijamo:

koji odgovara -

Having fold a 2 i b 2, dobijamo:

ili , što je trebalo dokazati.

2. Dokaz Pitagorine teoreme metodom površine.

Sljedeći dokazi, uprkos njihovoj prividnoj jednostavnosti, uopće nisu tako jednostavni. Svi oni

koristiti svojstva površine, čiji je dokaz složeniji od dokaza same Pitagorine teoreme.

Dokaz kroz ekvikomplementaciju.

Rasporedite četiri jednaka pravougaonika

trougao kao što je prikazano na slici

desno.

Četvorougao sa stranicama c- kvadrat,

pošto je zbir dva oštra ugla 90°, i

razvijeni ugao je 180°.

Površina cijele figure je, s jedne strane,

površina kvadrata sa stranom ( a+b), a s druge strane, zbir površina četiri trougla i

Q.E.D.

3. Dokaz Pitagorine teoreme infinitezimalnom metodom.

S obzirom na crtež prikazan na slici, i

gledajući kako se strana mijenjaa, možemo

napišite sljedeću relaciju za beskonačno

mala bočni prirastWith i a(koristeći sličnost

trokuti):

Koristeći metodu razdvajanja varijabli, nalazimo:

Općenitiji izraz za promjenu hipotenuze u slučaju povećanja oba kraka:

Integracijom ove jednačine i upotrebom početnih uslova dobijamo:

Tako dolazimo do željenog odgovora:

Kao što je lako vidjeti, kvadratna zavisnost u konačnoj formuli se pojavljuje zbog linearne

proporcionalnost između stranica trokuta i priraštaja, dok je zbir povezan sa nezavisnom

doprinose prirasta različitih nogu.

Jednostavniji dokaz se može dobiti ako pretpostavimo da jedan od krakova ne doživljava prirast

(u ovom slučaju noga b). Tada za integracijsku konstantu dobijamo: