Lekcija "Presjek i unija skupova". Pronalaženje presjeka i unije numeričkih skupova, šta je presjek skupova

Rješenje nekih matematičkih problema nas tjera da pronađemo presek i unija skupova brojeva. Već smo se upoznali sa prihvaćenim zapisom brojčanih skupova, a u ovom članku ćemo se pažljivo i na primjerima pozabaviti pronalaženjem presjeka i unije brojčanih skupova. Ove vještine će biti korisne, posebno, u procesu rješenje nejednačina sa jednom varijablom i njihovim sistemima.

Navigacija po stranici.

Najjednostavniji slučajevi

Pod najjednostavnijim slučajevima podrazumijevamo pronalaženje presjeka i unija numeričkih skupova koji su skup pojedinačnih brojeva. U ovim slučajevima dovoljno je koristiti definicije preseka i unije skupova.

Prisjetite se toga

Definicija.

udruženje dva skupa je skup, od kojih je svaki element element jednog od originalnih skupova, i raskrsnica skupovi je skup koji se sastoji od svih zajedničkih elemenata originalnih skupova.

Iz ovih definicija lako je dobiti sljedeća pravila za pronalaženje presjeka i unije skupova:

Da biste napravili uniju dva numerička skupa koja sadrže konačan broj elemenata, potrebno je da zapišete sve elemente jednog skupa i da im dodate elemente koji nedostaju iz drugog.
Da bi se sastavio presjek dva brojevna skupa, potrebno je uzastopno uzeti elemente prvog skupa i provjeriti pripadaju li drugom skupu, oni koji to čine činiće presjek.

Zaista, skup dobijen prema prvom pravilu sastojat će se od svih elemenata koji pripadaju barem jednom od originalnih skupova, stoga će to biti unija ovih skupova po definiciji. A skup sastavljen po drugom pravilu će sadržavati sve zajedničke elemente originalnih skupova, odnosno bit će presjek originalnih skupova.

Razmotrimo na konkretnim primjerima primjenu navedenih pravila za pronalaženje presjeka i unije skupova.

Na primjer, recimo da trebamo pronaći uniju skupova brojeva A=(3, 5, 7, 12) i B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) . Zapisujemo sve elemente, na primjer skupove A , imamo 3 , 5 , 7 , 12 , i dodajemo im nedostajuće elemente skupa B, odnosno 2 , 8 , 11 i 13 , kao rezultat imamo numerički skup (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Ne škodi naručiti elemente rezultirajućeg skupa, kao rezultat dobivamo željenu uniju: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Sada pronađimo presjek dva numerička skupa iz prethodnog primjera A=(3, 5, 7, 12) i B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) . Prema pravilu, mi ćemo sekvencijalno iterirati elemente prvog skupa A i provjeriti da li su uključeni u skup B. Uzimamo prvi element 3, on ne pripada skupu B, dakle, neće biti ni element željenog presjeka. Uzimamo drugi element skupa A, to je broj 5. Pripada skupu B, tako da pripada i presjeku skupova A i B. Tako je pronađen prvi element željene raskrsnice - broj 5. Prelazimo na treći element skupa A, to je broj 7. Ne pripada B , tako da ne pripada ni raskrsnici. Konačno, ostaje posljednji element skupa A - broj 12. Pripada skupu B, pa je i element presjeka. Dakle, presjek skupova A=(3, 5, 7, 12) i B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) je skup koji se sastoji od dva elementa 5 i 12 , odnosno A∩B =(5, 12) .

Kao što ste primetili, gore smo govorili o pronalaženju preseka i ujedinjenja dva numerička skupa. Što se tiče preseka i unije tri ili više skupova, njegovo pronalaženje se može svesti na sukcesivno pronalaženje preseka i unije dva skupa. Na primjer, da biste pronašli presjek tri skupa A, B i D, prvo možete pronaći presjek A i B, a zatim pronaći presjek rezultata sa skupom D. A sada konkretno: uzmite numeričke skupove A=(3, 9, 4, 3, 5, 21) , B=(2, 7, 9, 21) i D=(7, 9, 1, 3) i pronađite njihove raskrsnica . Imamo A∩B=(9, 21) , a presjek rezultujućeg skupa sa skupom D je (9) . Dakle, A∩B∩D=(9) .

Međutim, u praksi, pronaći raskrsnicu tri, četiri, itd. najjednostavnijim numeričkim skupovima, koji se sastoje od konačnog broja pojedinačnih brojeva, zgodno je koristiti pravila slična gornjim pravilima.

Dakle, da bi se dobila unija tri ili više skupova navedenog tipa, potrebno je brojevima prvog numeričkog skupa dodati nedostajuće brojeve drugog, snimljenim brojevima dodati brojeve trećeg skupa koji nedostaju. , i tako dalje. Da razjasnimo ovu tačku, uzmimo numeričke skupove A=(1, 2) , B=(2, 3) i D=(1, 3, 4, 5) . Elementima 1 i 2 numeričkog skupa A dodamo broj koji nedostaje 3 skupa B, dobijemo 1, 2, 3, a tim brojevima dodamo nedostajuće brojeve 4 i 5 skupa D, kao rezultat dobijemo uniju tri skupa koja su nam potrebna: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5) .

Što se tiče pronalaženja preseka tri, četiri, itd. numeričke skupove koji se sastoje od konačnog broja pojedinačnih brojeva, potrebno je uzastopno proći kroz brojeve prvog skupa i provjeriti pripada li broj koji se provjerava pripada svakom od ostalih skupova. Ako da, onda je ovaj broj element raskrsnice, ako nije, onda nije. Ovdje samo napominjemo da je za prvi skup svrsishodno uzeti skup sa najmanjim brojem elemenata. Kao primjer, uzmite četiri numerička skupa A=(3, 1, 7, 12, 5, 2) , B=(1, 0, 2, 12) , D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) i pronađite njihov presjek. Očigledno je da skup B sadrži najmanji broj elemenata, pa da bismo pronašli presek originalnih četiri skupa, uzet ćemo elemente skupa B i provjeriti da li su uključeni u preostale skupove. Dakle, uzimamo 1, ovaj broj su elementi oba skupa A, i D i E, tako da je ovo prvi element željenog presjeka. Uzimamo drugi element skupa B, koji je nula. Ovaj broj nije element skupa A, pa neće biti ni element sjecišta. Provjeravamo treći element skupa B - broj 2. Ovaj broj je element svih ostalih skupova, stoga je drugi element pronađenog presjeka. Konačno, ostaje četvrti element skupa B. Ovaj broj je 12, nije element skupa D, dakle, nije ni element željenog preseka. Kao rezultat, imamo A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Koordinatne linije i intervali brojeva kao unija njihovih dijelova

U našem primjeru imamo unose

I

za presek i uniju numeričkih skupova, respektivno.

Zatim je prikazana još jedna koordinatna linija, prikladno je postaviti je ispod postojećih. Prikazaće željenu raskrsnicu ili spoj. Na ovoj koordinatnoj liniji su označene sve granične tačke originalnih numeričkih skupova. U ovom slučaju, ove tačke se prvo označavaju crticama, a kasnije, kada se razjasni priroda tačaka sa ovim koordinatama, crtice će biti zamenjene probušenim ili neprobušenim tačkama. U našem slučaju to su tačke sa koordinatama -3 i 7.
Imamo

i

Tačke prikazane na donjoj koordinatnoj liniji u prethodnom koraku algoritma omogućavaju nam da razmotrimo koordinatnu liniju kao skup numeričkih intervala i tačaka, o kojima smo raspravljali u . U našem slučaju, koordinatnu liniju smatramo skupom od sljedećih pet numeričkih skupova: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

I ostaje samo provjeriti redom pojavu svakog od snimljenih skupova u željenoj raskrsnici ili spoju. Svi izvedeni zaključci označeni su korak po korak na donjoj koordinatnoj liniji: ako je praznina uključena u sjecište ili spoj, tada je iznad njega prikazana šrafura, ako je tačka uključena u sjecište ili uniju, tada je crta koja je označava zamijenjen čvrstim vrhom, ako nije uključen, onda ga pravimo izbušenim. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećih pravila:

praznina je uključena u raskrsnicu ako je istovremeno uključena i u skup A i skup B (drugim riječima, ako postoji šrafura preko ove praznine preko obje gornje koordinatne linije koje odgovaraju skupovima A i B );
tačka je uključena u presek ako istovremeno ulazi u skup A i skup B (drugim rečima, ako ova tačka nije probušena ili interna tačka bilo kog intervala oba numerička skupa A i B);
praznina je uključena u uniju ako je uključena u barem jedan od skupova A ili B (drugim riječima, ako postoji šrafura iznad ovog jaza barem preko jedne od koordinatnih linija koje odgovaraju skupovima A i B ) ;
tačka je uključena u uniju ako je uključena u barem jedan od skupova A ili B (drugim riječima, ako ova tačka nije probušena ili unutrašnja točka bilo kojeg intervala barem jednog od skupova A i B ) .

Jednostavno rečeno, presjek numeričkih skupova A i B je unija svih numeričkih intervala skupova A i B koji imaju šrafuru u isto vrijeme, i svih pojedinačnih tačaka koje pripadaju i A i B u isto vrijeme. A unija dva numerička skupa je unija svih numeričkih praznina nad kojima bar jedan od skupova A ili B ima šrafuru, kao i svih pojedinačnih tačaka koje nisu probušene.

Vratimo se našem primjeru. Hajde da završimo sa pronalaženjem preseka skupova. Da bismo to učinili, sekvencijalno ćemo provjeravati skupove (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Počinjemo sa (−∞, −3), radi jasnoće, odaberite ga na crtežu:

Ovu prazninu ne uključujemo u željenu raskrsnicu, jer ona nije uključena ni u A ni u B (nema senčenja iznad ove praznine). Dakle, u ovom koraku ne označavamo ništa na našem crtežu i on zadržava svoj izvorni izgled:

Pređimo na sljedeći skup (−3) . Broj −3 pripada skupu B (to je tačka koja nije probušena), ali očigledno ne pripada skupu A, pa stoga ne pripada ni željenom preseku. Stoga, na donjoj koordinatnoj liniji pravimo tačku sa iscrtanom koordinatom −3:

Provjeravamo sljedeći skup (−3, 7) .

Ona je uključena u skup B (na ovom intervalu postoji šrafura), ali nije uključena u skup A (nema šrafiranja preko ovog intervala), stoga neće biti uključena ni u raskrsnicu. Stoga ne označavamo ništa na donjoj koordinatnoj liniji:

Pređimo na skup (7) . Uključena je u skup B (tačka sa koordinatom 7 je unutrašnja tačka intervala [−3, +∞)), ali nije uključena u skup A (ova tačka je probušena), tako da neće biti uključena u ili željenu raskrsnicu. Označite tačku sa koordinatama 7 kao iskucanu:

Ostaje provjeriti interval (7, +∞) .

Ulazi i u skup A i u skup B (nad ovog razmaka je šrafura), dakle ulazi i u raskrsnicu. Stavili smo šrafuru preko ovog jaza:

Kao rezultat toga, na donjoj koordinatnoj liniji dobili smo sliku željenog presjeka skupova A=(7, +∞) i B=[−3, +∞) . Očigledno, to je skup svih realnih brojeva većih od sedam, odnosno A∩B=(7, +∞) .

Sada pronađimo uniju skupova A i B. Počinjemo sukcesivno provjeravati skupove (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) za njihovo uključivanje u željenu uniju dva numerička skupa A i B .

Prvi skup (−∞, −3) nije uključen ni u A ni u B (nema senčenja preko ovog jaza), tako da ni ovaj skup neće biti uključen u željenu uniju:

Skup (−3) je uključen u skup B, tako da će biti uključen i u uniju skupova A i B:

Interval (−3, 7) je također uključen u B (nad ovog intervala postoji šrafura), stoga će biti sastavni dio željene unije:

Skup (7) će također biti uključen u željenu uniju, budući da je uključen u numerički skup B:

Konačno, (7, +∞) je uključeno i u skup A i u skup B , stoga će i on biti uključen u željenu uniju:

Iz rezultirajuće slike unije skupova A i B zaključujemo da je A∩B=[−3, +∞) .

Nakon što ste stekli određeno praktično iskustvo, bit će moguće usmeno provjeriti pojavu pojedinačnih praznina i brojeva u sastavu raskrsnice ili spoja. Zahvaljujući tome, vrlo brzo ćete moći snimiti rezultat. Pokazat ćemo kako će rješenje primjera izgledati ako se ne da objašnjenje.

Primjer.

Naći presjek i uniju skupova A=(−∞,−15)∪(−5)∪∪(12) i B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Rješenje.

Opišimo ove numeričke skupove na koordinatnim linijama, to će nam omogućiti da dobijemo slike njihovog presjeka i sjedinjenja:

odgovor:

A∩B=(−20,−15)∪(−5)∪(2, 3) i A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

Jasno je da se uz pravilno razumijevanje gornji algoritam može optimizirati. Na primjer, prilikom pronalaženja presjeka skupova, nema potrebe provjeravati sve intervale i skupove koji se sastoje od njihovih pojedinačnih brojeva, na koje su granične točke originalnih skupova podijeljene koordinatnom linijom. Možete se ograničiti na provjeru samo onih intervala i brojeva koji čine skup A ili B. Preostale praznine i dalje neće biti uključene u raskrsnicu, jer ne pripadaju jednom od originalnih skupova. Ilustrujmo ono što je rečeno analizom rješenja primjera.

Primjer.

Koliki je presjek skupova brojeva A=(−2)∪(1, 5) i B=[−4, 3] ?

Rješenje.

Konstruirajmo geometrijske slike numeričkih skupova A i B:

Granične tačke datih skupova dele realnu pravu na sledeće skupove: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) , (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Lako je vidjeti da se numerički skup A može "sastaviti" iz skupova upravo napisanih kombiniranjem (−2), (1, 3) , (3) i (3, 5) . Da bismo pronašli presjek skupova A i B, dovoljno je provjeriti da li su potonji skupovi uključeni u skup B. Oni od njih koji su uključeni u B će činiti željenu raskrsnicu. Uradimo odgovarajuću provjeru.

Očigledno, (−2) je uključeno u skup B (pošto je tačka sa koordinatom −2 unutrašnja tačka segmenta [−4, 3]) . Interval (1, 3) je također uključen u B (iznad se nalazi šrafura). Skup (3) je također uključen u B (tačka sa koordinatom 3 je granični i neprobušeni skup B). A interval (3, 5) nije uključen u numerički skup B (nema senčenja iznad njega). Zabilježivši zaključke izvedene na crtežu, on će poprimiti sljedeći oblik

Dakle, željeni presek dva originalna numerička skupa A i B je unija sledećih skupova (−2), (1, 3) , (3) , koji se mogu zapisati kao (−2)∪(1, 3 ] .

odgovor:

{−2}∪(1, 3] .

Ostaje samo razgovarati o tome kako pronaći presjek i uniju tri ili više numeričkih skupova. Ovaj problem se može svesti na sekvencijalno pronalaženje preseka i ujedinjenja dva skupa: prvo prvog sa drugim, zatim rezultat dobijen sa trećim, zatim rezultat dobijen sa četvrtim, itd. I možete koristiti algoritam sličan onom koji je već naveden. Njegova jedina razlika je u tome što se provjera pojave praznina i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva mora provesti ne za dva, već za sve originalne skupove. Razmotrimo primjer pronalaženja presjeka i unije tri skupa.

Primjer.

Naći presek i uniju tri numerička skupa A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Rješenje.

Prvo, kao i obično, prikazujemo skupove brojeva na koordinatnim linijama i stavljamo vitičastu zagradu lijevo od njih, označavajući sjecište, i uglatu zagradu za uniju, a ispod crtamo koordinatne linije s graničnim točkama skupovi brojeva označeni crtama:

Dakle, koordinatna linija je predstavljena numeričkim skupovima (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) , ( 40) , (40,∞) .

Počinjemo tražiti raskrsnicu, za to redom gledamo da li su snimljeni skupovi uključeni u svaki od skupova A, B i D. Sva tri početna numerička skupa uključuju interval (−3, 12) i skup (12). Oni čine željeni presek skupova A, B i D. Imamo A∩B∩D=(−3, 12] .

Zauzvrat, tražena unija će biti sastavljena od skupova (−∞, −3) (uključeno u A), (−3) (uključeno u A), (−3, 12) (uključeno u A), (12) (uključeno u A), (12, 25) (uključeno u B), (25) (uključeno u B) i (40) (uključeno u D). Dakle, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

odgovor:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

U zaključku, napominjemo da je presjek numeričkih skupova često prazan skup. Ovo odgovara slučajevima kada originalni skupovi nemaju elemente koji im istovremeno pripadaju.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Nijedan od snimljenih skupova nije istovremeno uključen u četiri originalna skupa, što znači da je presek skupova A, B, D i E prazan skup.

odgovor:

A∩B∩D∩E=∅.

Bibliografija.

algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14:00 Deo 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.

Rješenje nekih matematičkih problema uključuje pronalaženje presjeka i unije numeričkih skupova. U donjem članku ćemo detaljno razmotriti ove radnje, uključujući konkretne primjere. Stečena veština biće primenljiva na rešavanje jednopromenljivih nejednačina i sistema nejednačina.

Najjednostavniji slučajevi

Kada govorimo o najjednostavnijim slučajevima u temi koja se razmatra, mislimo na pronalaženje presjeka i unije brojevnih skupova, koji su skup pojedinačnih brojeva. U takvim slučajevima biće dovoljno koristiti definiciju preseka i unije skupova.

Definicija 1

Unija dva seta je skup u kojem je svaki element element jednog od originalnih skupova.

Raskrsnica mnogih je skup koji se sastoji od svih zajedničkih elemenata originalnih skupova.

Iz ovih definicija logično proizlaze sljedeća pravila:

Da bismo napravili uniju dva numerička skupa koja imaju konačan broj elemenata, potrebno je zapisati sve elemente jednog skupa i dodati im elemente koji nedostaju iz drugog skupa;

Da bi se sastavio presek dva numerička skupa, potrebno je jedan po jedan proveriti da li elementi prvog skupa pripadaju drugom skupu. One od njih za koje se ispostavi da pripadaju oba skupa i da će činiti raskrsnicu.

Skup dobijen prema prvom pravilu uključivat će sve elemente koji pripadaju barem jednom od originalnih skupova, tj. postaje unija ovih skupova po definiciji.

Skup dobijen prema drugom pravilu uključivat će sve zajedničke elemente originalnih skupova, tj. postaje sjecište originalnih skupova.

Razmotrimo primjenu primljenih pravila na praktičnim primjerima.

Primjer 1

Početni podaci: numerički skupovi A = ( 3 , 5 , 7 , 12 ) i B = ( 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 ) . Potrebno je pronaći uniju i presek originalnih skupova.

Rješenje

Definirajmo uniju početnih skupova. Zapišimo sve elemente, na primjer, skupa A: 3 , 5 , 7 , 12 . Dodajmo im nedostajuće elemente skupa B: 2 , 8 , 11 i 13 . Konačno imamo numerički skup: ( 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 ) . Uredimo elemente rezultirajućeg skupa i dobijemo željenu uniju: A ∪ B = ( 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 ) .
Definirajmo presjek originalnih skupova. Prema pravilu, prođimo kroz sve elemente prvog skupa A jedan po jedan i provjerimo da li su uključeni u skup B. Razmotrimo prvi element - broj 3: on ne pripada skupu B, pa stoga neće biti element željenog presjeka. Provjerimo drugi element skupa A, tj. broj 5: pripada skupu B, pa će stoga postati prvi element željenog presjeka. Treći element skupa A je broj 7. On nije element skupa B i, prema tome, nije element presjeka. Razmotrimo posljednji element skupa A: broj 1. Takođe pripada skupu B i, prema tome, postaće jedan od elemenata preseka. Dakle, presjek originalnih skupova je skup koji se sastoji od dva elementa: 5 i 12 , tj. A ∩ B = ( 5 , 12 ) .

Odgovor: unija originalnih skupova - A ∪ B = ( 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 ) ; presek originalnih skupova - A ∩ B = ( 5 , 12 ) .

Sve navedeno vrijedi za rad sa dva seta. Što se tiče nalaženja preseka i unije tri ili više skupova, rešenje ovog problema se može svesti na sukcesivno pronalaženje preseka i unije dva skupa. Na primjer, da bi se odredio presjek tri skupa A, B i C, moguće je prvo odrediti presjek skupova A i B, a zatim pronaći presjek dobivenog rezultata sa skupom C. Na primjer, to izgleda ovako: neka su dati numerički skupovi: A = ( 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 ) , B = ( 2 , 7 , 9 , 21 ) i C = ( 7 , 9 , 1 , 3 ) . Presek prva dva skupa će biti: A ∩ B = ( 9 , 21 ) , a presek rezultujućeg skupa sa skupom A ∩ B = ( 9 , 21 ) . Kao rezultat: A ∩ B ∩ C = ( 9 ) .

Međutim, u praksi, da bi se pronašla unija i presjek tri ili više jednostavnih numeričkih skupova, koji se sastoje od konačnog broja pojedinačnih brojeva, prikladnije je primijeniti pravila slična gore navedenim.

Odnosno, da biste pronašli uniju tri ili više skupova navedenog tipa, potrebno je elementima prvog skupa dodati elemente koji nedostaju iz drugog skupa, zatim elemente trećeg i tako dalje. Za pojašnjenje, uzmimo numeričke skupove: A = ( 1 , 2 ) , B = ( 2 , 3 ) , C = ( 1 , 3 , 4 , 5 ) . Elementi prvog skupa A biće dopunjeni brojem 3 iz skupa B, a zatim brojevima koji nedostaju 4 i 5 skupa C. Dakle, unija originalnih skupova: A ∪ B ∪ C = ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) .

Što se tiče rješavanja problema nalaženja presjeka tri ili više numeričkih skupova, koji se sastoje od konačnog broja pojedinačnih brojeva, potrebno je redom prebirati brojeve prvog skupa i korak po korak provjeriti da li je razmatrani broj pripada svakom od preostalih skupova. Za pojašnjenje, razmotrite numeričke skupove:

A = (3, 1, 7, 12, 5, 2) B = (1, 0, 2, 12) C = (7, 11, 2, 1, 6) D = (1, 7, 15, 8, 2, 6).

Pronađite presjek originalnih skupova. Očigledno, skup B ima najmanji broj elemenata, pa ćemo ih provjeriti da bismo utvrdili da li su uključeni u ostale skupove. Broj 1 skupa B je element drugih skupova, pa je stoga prvi element željenog presjeka. Drugi broj skupa B - broj 0 - nije element skupa A, pa stoga neće postati element sjecišta. Nastavljamo da provjeravamo: broj 2 skupa B je element drugih skupova i postaje još jedan dio sjecišta. Konačno, posljednji element skupa B, broj 12, nije element skupa D i nije element sjecišta. Dakle, dobijamo: A ∩ B ∩ C ∩ D = ( 1, 2 ) .

Koordinatne linije i intervali brojeva kao unija njihovih dijelova

Označimo proizvoljnu tačku na koordinatnoj liniji, na primjer, koordinatom - 5 , 4 . Navedena tačka će podijeliti koordinatnu liniju na dva numerička intervala - dvije otvorene zrake (-∞, -5.4) i (-5.4, +∞) i samu tačku. Lako je vidjeti da će, prema definiciji unije skupova, svaki realni broj pripadati uniji (- ∞ , - 5 , 4) ∪ ( - 5 , 4 ) ∪ (- 5 , 4 , + ∞ ) . One. skup svih realnih brojeva R = (- ∞ ; + ∞) može se predstaviti kao gore dobijena unija. Obrnuto, rezultirajuća unija će biti skup svih realnih brojeva.

Imajte na umu da je moguće priložiti datu tačku bilo kojoj od otvorenih zraka, tada će ona postati jednostavna numerička zraka (- ∞ , - 5 , 4 ] ili [ - 5 , 4 , + ∞) . U ovom slučaju, skup R će biti opisan sljedećim unijama: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) ili (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞) . .

Takvo razmišljanje vrijedi ne samo u odnosu na tačku na koordinatnoj liniji, već iu odnosu na tačku na bilo kojem numeričkom intervalu. Odnosno, ako uzmemo bilo koju unutrašnju tačku bilo kog proizvoljnog intervala, biće moguće da je predstavimo kao uniju njenih delova dobijenih nakon dijeljenja datom tačkom, i same tačke. Na primjer, dat je poluinterval (7 , 32 ] i tačka 13 koja pripada ovom numeričkom intervalu. Tada se dati poluinterval može predstaviti kao unija (7 , 13) ∪ ( 13 ) ∪ (13 , 32 ] i obrnuto. Možemo uključiti broj 13 u bilo koji od intervala i tada se dati skup (7 , 32 ] može predstaviti kao (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] ili (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] .Također možemo uzeti kao početni podatak ne unutrašnju tačku datog poluintervala, već njegov kraj (tačka sa koordinatom 32), tada se dati poluinterval može predstaviti kao unija intervala (7, 32) i skup od jednog elementa ( 32 ) Dakle: (7, 32 ] = (7 , 32) ∪ ( 32 ) .

Druga opcija: kada se ne jedna, već nekoliko tačaka uzima na koordinatnoj liniji ili numeričkom intervalu. Ove tačke će podijeliti koordinatnu liniju ili numerički interval na nekoliko numeričkih intervala, a unija ovih intervala će formirati originalne skupove. Na primjer, na koordinatnoj liniji su date tačke sa koordinatama - 6 , 0 , 8, koje će je podijeliti na intervale: (- ∞ , - 6) , (- 6 , 0) , (0 , 8) , (8 , + ∞) . U ovom slučaju, skup svih realnih brojeva, čija je personifikacija koordinatna linija, može se predstaviti kao unija dobijenih intervala i naznačenih brojeva:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

Temu pronalaženja presjeka i unije skupova moguće je jasno razumjeti ako koristimo slike datih skupova na koordinatnoj liniji (osim ako ne govorimo o najjednostavnijim slučajevima razmatranim na samom početku članka).

Razmotrićemo opšti pristup koji nam omogućava da odredimo rezultat preseka i ujedinjenja dva numerička skupa. Pristup opisujemo u obliku algoritma. Njegove korake ćemo razmatrati postepeno, svaki put dajući sljedeću fazu rješavanja konkretnog primjera.

Primjer 2

Početni podaci: dati numerički skupovi A = (7 , + ∞) i B = [ - 3 , + ∞) . Potrebno je pronaći presek i uniju ovih skupova.

Rješenje

Oslikajmo date numeričke skupove na koordinatnim linijama. Potrebno ih je postaviti jedno na drugo. Radi praktičnosti, uobičajeno je pretpostaviti da se referentne točke datih skupova poklapaju, a lokacija tačaka jedna u odnosu na drugu ostaje nepromijenjena: svaka točka s većom koordinatom leži desno od točke s manjom koordinatom. Štaviše, ako nas zanima unija skupova, tada se koordinatne linije kombinuju sa leve strane sa uglastim zagradama skupa; ako je raskrsnica od interesa, onda vitičastom zagradom sistema.

U našem primjeru, za snimanje presjeka i ujedinjenja numeričkih skupova, imamo: i

Nacrtajmo još jednu koordinatnu liniju, stavljajući je ispod postojećih. To će biti potrebno za prikaz željene raskrsnice ili spoja. Na ovoj koordinatnoj liniji su označene sve granične tačke originalnih numeričkih skupova: prvo crticama, a kasnije, nakon pojašnjenja prirode tačaka sa ovim koordinatama, crtice će biti zamenjene probušenim ili neprobušenim tačkama. U našem primjeru to su tačke sa koordinatama - 3 i 7.

Tačke koje su prikazane na donjoj koordinatnoj liniji u prethodnom koraku algoritma omogućavaju razmatranje koordinatne linije kao skupa numeričkih intervala i tačaka (o tome smo govorili gore). U našem primjeru predstavljamo koordinatnu liniju kao skup od pet numeričkih skupova: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) .

Sada je potrebno redom provjeriti da li svaki od snimljenih skupova pripada željenoj raskrsnici ili spoju. Rezultirajući zaključci su označeni u fazama na donjoj koordinatnoj liniji: kada je jaz dio raskrsnice ili spoja, iznad njega se crta šrafura. Kada tačka uđe u raskrsnicu ili spoj, potez se zamjenjuje punom tačkom; ako tačka nije dio raskrsnice ili spoja, čini se probušenom. U ovim radnjama morate se pridržavati sljedećih pravila:

Razmak postaje dio sjecišta ako je istovremeno dio skupa A i skupa B (ili drugim riječima, ako postoji šrafura preko ovog jaza na obje koordinatne linije koje predstavljaju skupove A i B);

Tačka postaje deo preseka ako je istovremeno deo svakog od skupova A i B (drugim rečima, ako tačka nije probušena ili interna tačka bilo kog intervala oba numerička skupa A i B);

Razmak postaje dio unije ako je dio barem jednog od skupova A ili B (drugim riječima, ako postoji šrafura iznad ovog jaza na barem jednoj od koordinatnih linija koje predstavljaju skupove A i B.

Tačka postaje dio unije ako je dio barem jednog od skupova A i B (drugim riječima, tačka je neprobušena ili unutrašnja tačka bilo kojeg intervala barem jednog od skupova A i B).

Ukratko sumirajući: presjek skupova brojeva A i B je presjek svih brojčanih praznina skupova A i B, nad kojima je šrafiranje istovremeno prisutno, i svih pojedinačnih tačaka koje pripadaju i skupu A i skupu B Unija brojevnih skupova A i B je unija svih brojčanih praznina, iznad kojih postoji šrafiranje za najmanje jedan od skupova A ili B, kao i sve pojedinačne tačke koje nisu izbušene.

Vratimo se na primjer i definiramo presjek datih skupova. Da biste to učinili, provjerite skupove jedan po jedan: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) . Počnimo sa skupom (- ∞ , - 3) , jasno ga ističući na crtežu:

Ovaj razmak neće biti uključen u raskrsnicu jer nije dio ni skupa A ni skupa B (bez senčenja). I tako naš crtež zadržava svoj izvorni izgled:

Razmotrite sljedeći skup (-3). Broj - 3 je dio skupa B (neprobušena tačka), ali nije dio skupa A, pa stoga neće postati dio željenog sjecišta. U skladu s tim, na donjoj koordinatnoj liniji pravimo tačku s koordinatama - 3 iskucane:

Procjenjujemo sljedeći skup (- 3, 7).

On je dio skupa B (ima šrafuru iznad intervala), ali nije uključen u skup A (nema šrafiranja iznad intervala): neće biti uključen u željenu raskrsnicu, što znači da nema novog oznake se pojavljuju na donjoj koordinatnoj liniji:

Sljedeći set za provjeru je (7). Ona je deo skupa B (tačka sa koordinatom 7 je unutrašnja tačka intervala [ - 3 , + ∞)), ali nije deo skupa A (probušena tačka), tako da će interval koji se razmatra ne postane dio željene raskrsnice. Zabilježite tačku s koordinatama 7 kao iskucanom:

I na kraju, provjeravamo preostali interval (7 , + ∞) .

Razmak je uključen u oba skupa A i B (postoji otvor iznad praznine), stoga postaje dio raskrsnice. Izdvajamo mjesto iznad razmatranog intervala:

Na kraju se na donjoj koordinatnoj liniji formirala slika željenog presjeka datih skupova. Očigledno je da je to skup svih realnih brojeva većih od broja 7, tj.: A ∩ B = (7 , + ∞) .

Sljedeći korak je definiranje unije datih skupova A i B. Uzastopno provjeravamo skupove (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 7) , ( 7 ) , (7 , + ∞) , utvrđujući činjenicu njihovog uključivanja ili neuključivanja u željenu uniju .

Prvi skup (- ∞ , - 3) nije dio nijednog od originalnih skupova A i B (nema šrafura preko praznina), stoga skup (- ∞ , - 3) neće biti uključen u željeni sindikat:

Skup ( - 3 ) je uključen u skup B, što znači da će biti uključen u željenu uniju skupova A i B:

Skup (- 3, 7) je komponenta skupa B (iznad intervala je šrafura) i postaje element unije skupova A i B:

Skup 7 je uključen u numerički skup B, pa će i on biti uključen u željenu uniju:

Skup (7 , + ∞), koji je istovremeno element oba skupa A i B, postaje još jedan dio željene unije:

Prema konačnoj slici unije originalnih skupova A i B, dobijamo: A ∩ B = [ - 3 , + ∞) .

Imajući određeno praktično iskustvo u primjeni pravila za pronalaženje sjecišta i sindikata skupova, opisane provjere se lako provode usmeno, što vam omogućava da brzo zapišete konačni rezultat. Na praktičnom primjeru ćemo pokazati kako njegovo rješenje izgleda bez detaljnih objašnjenja.

Primjer 3

Početni podaci: skupovi A = (- ∞ , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7) ∪ ( 12 ) i B = (- 20 , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ∪ ( 17 ) . Potrebno je odrediti presek i uniju datih skupova.

Rješenje

Zadate numeričke skupove označavamo na koordinatnim linijama kako bismo mogli dobiti ilustraciju željenog presjeka i unije:

Odgovor: A ∩ B = (- 20 , - 15) ∪ ( - 5 ) ∪ (2 , 3) ; A ∪ B = (- ∞ , - 10) ∪ ( - 5 ) ∪ [ 0 , 7 ] ∪ ( 12 , 17 ) .

Također je jasno da je uz dovoljno razumijevanje procesa moguće podvrgnuti navedeni algoritam optimizaciji. Na primjer, u procesu pronalaženja raskrsnice, ne možete trošiti vrijeme na provjeru svih intervala i skupova koji su zasebni brojevi, ograničavajući se na razmatranje samo onih intervala i brojeva koji čine skup A ili B. Ostali intervali neće biti uključeno u raskrsnicu u svakom slučaju, tj. nisu dio originalnih kompleta. Ilustrirajmo gore navedeno praktičnim primjerom.

Primjer 4

Početni podaci: skupovi A = ( - 2 ) ∪ [ 1 , 5 ] i B = [ - 4 , 3 ] .

Potrebno je odrediti presjek originalnih skupova.

Rješenje

Geometrijski predstavite numeričke skupove A i B:

Granične tačke originalnih skupova će podijeliti brojevnu pravu na nekoliko skupova:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Lako je uočiti da se numerički skup A može napisati kombinovanjem nekih od navedenih skupova, i to: ( - 2 ) , (1 , 3) , ( 3 ) i (3 , 5) . Biće dovoljno provjeriti i ove skupove da li su uključeni iu skup B kako bi se pronašao željeni raskrs. Oni koji će biti uključeni u skup B i postati elementi raskrsnice. Hajde da proverimo.

Jasno je da je (-2) dio skupa B, jer je tačka sa koordinatom -2 unutrašnja tačka segmenta [-4, 3). Interval (1, 3) i skup (3) su takođe uključeni u skup B (iznad intervala je šrafiranje, a tačka sa koordinatom 3 je granična i nije probušena za skup B). Skup (3 , 5) neće biti element presjeka, jer nije uključen u set B (nema senčenja iznad njega). Sve navedeno bilježimo na crtežu:

Kao rezultat, željeni presek dva data skupa biće unija skupova, koju pišemo na sledeći način: ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Odgovor: A ∩ B = ( - 2 ) ∪ (1 , 3 ] .

Na kraju članka ćemo također razgovarati o tome kako riješiti problem pronalaženja sjecišta i unije nekoliko skupova (više od 2). Svodimo ga, kao što je ranije preporučeno, na potrebu da se odredi presek i unija prva dva seta, zatim rezultat dobijen sa trećim setom i tako dalje. I možete koristiti gore opisani algoritam sa jedinom razlikom što se provjera pojave praznina i skupova koji su zasebni brojevi moraju provesti ne na dva, već na svim datim skupovima. Pogledajmo primjer.

Primjer 5

Početni podaci: skupovi A = (- ∞ , 12 ] , B = (- 3 , 25 ] , D = (- ∞ , 25) ꓴ ( 40 ) Potrebno je odrediti presek i uniju datih skupova.

Rješenje

Zadate numeričke skupove prikazujemo na koordinatnim linijama i stavljamo vitičastu zagradu na njihovu lijevu stranu koja označava sjecište, kao i uglatu zagradu koja označava uniju. Ispod prikazujemo koordinatne linije sa isprekidanim graničnim točkama numeričkih skupova:

Dakle, koordinatna linija je predstavljena sljedećim skupovima: (- ∞ , - 3) , ( - 3 ) , (- 3 , 12) , ( 12 ) , (12 , 25) , ( 25 ) , (25 , 40 ) , ( 40 ) , (40 , +∞) .

Počinjemo tražiti raskrsnice, provjeravajući redom snimljene skupove da li pripadaju svakom od originalnih. Sva tri data skupa uključuju interval (-3, 12) i skup (-12): oni će postati elementi željenog presjeka. Dakle, dobijamo: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Unija datih skupova će činiti skupove: (- ∞ , - 3) - element skupa A; ( - 3 ) – element skupa A; (- 3, 12) - element skupa A; ( 12 ) je element skupa A; (12, 25) - element skupa B; (25) je element skupa B, a (40) je element skupa D. Dakle, dobijamo: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Odgovor: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ ( 40 ) .

Imajte na umu da je traženi presjek numeričkih skupova često prazan skup. To se dešava u onim slučajevima kada dati skupovi ne uključuju elemente koji im istovremeno pripadaju.

Primjer 6

Početni podaci: A \u003d [ - 7, 7]; B = ( - 15 ) ∪ [ - 12 , 0) ∪ ( 5 ) ; D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞) ; E \u003d (0, 27) . Odrediti presjek datih skupova.

Rješenje

Prikažimo originalne skupove na koordinatnim linijama i iscrtajmo granične tačke ovih skupova na dodatnoj liniji.

Označene tačke će podijeliti brojevnu pravu na skupove: (- ∞ , - 15) , ( - 15 ) , (- 15 , - 12) , ( - 12 ) , (- 12 , - 10) , ( - 10 ) , (- 10 , - 7) , ( - 7 ) , (- 7 , 0) , ( 0 ) , (0 , 5) , ( 5 ) , (5 , 7) , ( 7 ) , (7 , 10) , ( 10 ) , (10 , 27) , ( 27 ) , (27 , + ∞) .

Nijedan od njih nije istovremeno element svih originalnih skupova, stoga je presjek datih skupova prazan skup.

Odgovor: A ∩ B ∩ D ∩ E = Ø.

Zgodno je skupove predstaviti kao kružnice, koje se nazivaju Ojlerovim krugovima.

Na slici je skup preseka skupova X i Y osjenčan narandžastom bojom.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

prelaz dva setovi naziva se skup koji se sastoji od svih zajedničkih elemenata ovih skupova.

primjer:
Uzmimo brojeve 12 i 18. Pronađite njihove djelitelje, označavajući cijeli skup ovih djelitelja slovima A i B:
A \u003d (1, 2, 3, 4, 6, 12),
B = (1, 2, 3, 6, 9, 18).

Vidimo da brojevi 12 i 18 imaju zajedničke djelitelje: 1, 2, 3, 6. Označimo ih slovom C:
C = (1, 2, 3, 6).

Skup C je presjek skupova A i B. Oni ga pišu ovako:
A ∩B=C.

Ako dva skupa nemaju zajedničkih elemenata, onda je presjek ovih skupova prazan mnogo.
Prazan skup je označen znakom Ø, a koristi se sljedeća notacija:

X ∩Y = Ø.

Udruženje dva seta je skup koji se sastoji od svih elemenata ovih skupova.

Na primjer, vratimo se brojevima 12 i 18 i skupu njihovih elemenata A i B. Prvo ispisujemo elemente skupa A, a zatim im dodajemo one elemente skupa B koji nisu u skupu A. Dobićemo skup elemenata koje A i B imaju zajedno. Označimo to slovom D:

D = (1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Skup D je unija skupova A i B. Piše se ovako:

D=A U b.

Glavne operacije koje se izvode na skupovima su dodatak (udruga), množenje (raskrsnica) i oduzimanje . Ove operacije, kao što ćemo kasnije vidjeti, nisu identične operacijama istog imena koje se vrše nad brojevima.

Definicija : Udruženje(ili zbir) dva skupa A i B je skup koji sadrži sve takve i samo takve elemente koji su elementi barem jednog od ovih skupova. Unija skupova A i B označava se kao A  B.

Ova definicija znači da je dodavanje skupova A i B unija svih njihovih elemenata u jedan skup A  B. Ako su isti elementi sadržani u oba skupa, onda ti elementi ulaze u uniju samo jednom.

Unija tri ili više skupova se definiše slično.

Definicija : prelaz(ili množenje) dva skupa A i B je skup koji se sastoji od onih i samo onih elemenata koji pripadaju skupu A i skupu B u isto vrijeme. Presek skupova A i B označava se sa A  B.

Slično se definira presjek tri ili više skupova.

Definicija : Razlika skupova A i B je skup koji se sastoji od onih i samo onih elemenata skupa A koji ne pripadaju skupu B. Razlika skupova A i B označava se kao A \ B. Operacija kojom se razlika skupova pronađeno naziva se oduzimanje.

Ako je B  A, onda se razlika A \ B naziva komplement skupa B skupu A. Ako je skup B podskup univerzalnog skupa U, onda se označava komplement skupa B na U, tj. = U\B.

Vježbe :

Razmotrite tri seta N={0,2,4,5,6,7}, M=(1,3,5,7,9) i P=(1,3,9,11). Nađi

A= N  M
B=N M
C=N P

Odgovorite koje od operacija na datim skupovima treba koristiti za dobijanje skupova opisanih u nastavku.

Dato: ALI je skup svih studenata fakulteta, AT– mnogi studenti sa akademskim dugovima. Definiraj OD- dosta uspešnih studenata fakulteta.
Dato: ALI- skup svih odličnih studenata fakulteta, AT- dosta studenata koji nemaju akademske dugove, OD je skup uspješnih učenika sa najmanje jednom trojkom. Definiraj D- dosta studenata fakulteta koji imaju vremena bez trojki.
Dato: U je skup svih studenata studijske grupe, ALI- dosta učenika ove grupe koji su dobili kredit iz fizičkog vaspitanja, AT- mnogi učenici iste grupe koji su uspješno položili test iz istorije otadžbine. Definiraj OD je skup studenata iz iste studijske grupe koji se ističu u obje discipline, D– skup učenika iste grupe koji su “palili” barem na jednom od testova.

Svojstva unije i presjeka skupova

Iz definicija unije i presjeka skupova slijede svojstva ovih operacija, koje su predstavljene u obliku jednakosti koje vrijede za bilo koje skupove A , B i OD .

A  B = B  A - komutativnost unije;

A  B = B  A - komutativnost raskrsnice;

A  (B  OD ) = (A  B )  OD - udruženje udruženja;

A  (B  OD ) = (A  B )  OD - asocijativnost raskrsnice;

A  (B  OD ) = (A  B )  (A  OD) - distributivnost raskrsnice u odnosu na spoj;

A  (B  OD ) = (A  B )  (A  OD) - distributivnost spoja u odnosu na raskrsnicu;

Zakoni apsorpcije:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Treba napomenuti da razlika nema svojstva komutativnosti i asocijativnosti, tj. A \ B ≠ B \ A i A \ (B \ OD ) ≠ (A \ B ) \ OD . Ovo se lako može provjeriti konstruiranjem Euler-Venn dijagrama.

Mnogo- zbirka bilo kojih objekata. Skupovi su označeni velikim slovima latinične abecede - od A prije Z.

Osnovni skupovi brojeva: skup prirodnih brojeva i skup cijelih brojeva, uvijek se označavaju istim slovima:

N- skup prirodnih brojeva

Z- skup cijelih brojeva

Set element je bilo koji objekat koji je dio skupa. Pripadnost objekta skupu se označava znakom ∈ . Snimanje

glasi ovako: 5 pripada skupu Z ili 5 - element skupa Z .

Skupovi se dijele na konačne i beskonačne. konačan skup- skup koji sadrži određeni (konačan) broj elemenata. Beskonačan skup je skup koji sadrži beskonačno mnogo elemenata. Beskonačni skupovi uključuju skupove prirodnih i cijelih brojeva.

Za definiranje skupa koriste se vitičaste zagrade u kojima su elementi navedeni odvojeni zarezima. Na primjer, unos

L = {2, 4, 6, 8}

znači toliko L sastoji se od četiri parna broja.

Termin skup se koristi bez obzira na to koliko elemenata sadrži. Skupovi koji ne sadrže nijedan element se pozivaju prazan.

Podset

Podset je skup čiji su svi elementi dio drugog skupa.

Možete vizuelno demonstrirati odnos između skupa i njegovog podskupa koristeći Ojlerovi krugovi. Ojlerovi krugovi su geometrijski dijagrami koji pomažu u vizualizaciji odnosa različitih objekata, u našem slučaju skupova.

Razmotrite dva seta:

L= (2, 4, 6, 8) i M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Svaki element seta L pripada skupu M, znači skup L M. Takav odnos skupova označava se znakom ⊂ :

L⊂M

Snimanje L⊂M glasi ovako: mnogi L je podskup skupa M .

Skupovi koji se sastoje od istih elemenata, bez obzira na njihov redoslijed, nazivaju se jednaka i označeni su sa = .

Razmotrite dva seta:

L= (2, 4, 6) i M = {4, 6, 2}

pošto se oba skupa sastoje od istih elemenata, onda L = M.

Presjek i unija skupova

Presek dva skupa je skup elemenata koji pripadaju svakom od ovih skupova, odnosno njihov zajednički dio. Presjek je označen znakom ∩ .

Na primjer, ako

L= (1, 3, 7, 11) i M= (3, 11, 17, 19), onda L∩M = {3, 11}.

Snimanje L∩M glasi ovako: presjek skupova L i M .

Iz ovog primjera slijedi da Presjek skupova je skup koji sadrži samo one elemente koji se javljaju u svim skupovima koji se sijeku..

Unija dva seta poziva se skup koji sadrži sve elemente originalnih skupova u jednoj kopiji, odnosno, ako se isti element pojavljuje u oba skupa, tada će ovaj element biti uključen u novi skup samo jednom. Unija je označena sa ∪ .

Na primjer, ako

L= (1, 3, 7, 11) i M = {3, 11, 17, 19},

onda L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.