Izvod iz lekcije eksponencijalne funkcije broj e. "Broj e

Graf eksponencijalne funkcije je zakrivljena glatka linija bez kinkova, na koju se može povući tangenta u svakoj tački kroz koju prolazi. Logično je pretpostaviti da ako je moguće povući tangentu, onda će funkcija biti diferencibilna u svakoj tački svoje domene definicije.

Prikažimo na istim koordinatnim osama nekoliko grafova funkcije y = x a, Za a = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3.4.

U tački sa koordinatama (0;1). Uglovi nagiba ovih tangenta biće približno 35, 40, 48 i 51 stepen, respektivno. Logično je pretpostaviti da u intervalu od 2 do 3 postoji broj kod kojeg će ugao nagiba tangente biti 45 stepeni.

Hajde da damo tačnu formulaciju ove tvrdnje: postoji broj veći od 2 i manji od 3, označen slovom e, da eksponencijalna funkcija y = e x u tački 0 ima izvod jednak 1. To jest: (e ∆x -1) / ∆x teži 1 dok ∆x teži nuli.

Dati broj e je iracionalan i zapisuje se kao beskonačan neperiodični decimalni razlomak:

e = 2,7182818284…

Pošto je broj e pozitivan i nije nula, postoji logaritam bazi e. Ovaj logaritam se zove prirodni logaritam. Označava se ln(x) = log e (x).

Derivat eksponencijalne funkcije

Teorem: Funkcija e x je diferencibilna u svakoj tački svoje domene, i (e x)’ = e x .

Eksponencijalna funkcija a x je diferencibilna u svakoj tački svoje domene definicije, i štaviše (a x)’ = (a x)*ln(a).
Posljedica ove teoreme je činjenica da je eksponencijalna funkcija kontinuirana u bilo kojoj tački u svojoj domeni definicije.

Primjer: pronađite izvod funkcije y = 2 x .

Prema formuli za izvod eksponencijalne funkcije dobijamo:

(2x)' = (2x)*ln(2).

Odgovor: (2x)*ln(2).

Antiderivat eksponencijalne funkcije

Za eksponencijalnu funkciju a x datu na skupu realnih brojeva, antiderivat će biti funkcija (a x)/(ln(a)).
ln(a) je neka konstanta, tada je (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x za bilo koji x. Mi smo dokazali ovu teoremu.

Razmotrimo primjer pronalaženja antiderivativne eksponencijalne funkcije.

Primjer: pronaći antiderivat funkcije f(x) = 5 x . Koristimo gornju formulu i pravila za pronalaženje antiderivata. Dobijamo: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Prilikom izvođenja prve formule tablice, polazit ćemo od definicije derivacije funkcije u tački. Hajde da uzmemo gde x- bilo koji realan broj, tj. x– bilo koji broj iz područja definicije funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na:

Treba napomenuti da se pod znakom granice dobija izraz, koji nije nesigurnost nule podijeljene sa nulom, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

Na ovaj način, derivacija konstantne funkcijejednaka je nuli na cijelom domenu definicije.

Derivat funkcije stepena.

Formula za izvod funkcije stepena ima oblik , gdje je eksponent str je bilo koji realan broj.

Hajde da prvo dokažemo formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, ...

Koristićemo definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, okrećemo se Newtonovoj binomnoj formuli:

shodno tome,

Ovo dokazuje formulu za izvod funkcije stepena za prirodni eksponent.

Derivat eksponencijalne funkcije.

Izvodimo formulu derivata na osnovu definicije:

Došao u neizvjesnost. Da bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu , i za . Onda . U posljednjem prijelazu koristili smo formulu za prijelaz na novu bazu logaritma.

Izvršimo zamjenu u originalnom limitu:

Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za izvod eksponencijalne funkcije:

Derivat logaritamske funkcije.

Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz opsega i svih važećih osnovnih vrijednosti a logaritam. Po definiciji derivacije, imamo:

Kao što ste primijetili, u dokazu su transformacije provedene korištenjem svojstava logaritma. Jednakost vrijedi zbog drugog značajnog ograničenja.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija.

Da bismo izveli formule za izvode trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve izvanredne granice.

Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju, imamo .

Koristimo formulu za razliku sinusa:

Ostaje da se okrenemo prvoj izuzetnoj granici:

Dakle, derivacija funkcije sin x tu je cos x.

Formula za kosinusni derivat je dokazana na potpuno isti način.

Dakle, derivacija funkcije cos x tu je –sin x.

Izvođenje formula za tablicu izvoda za tangentu i kotangens vršit će se korištenjem dokazanih pravila diferencijacije (derivacija razlomka).

Derivati ​​hiperboličkih funkcija.

Pravila diferencijacije i formula za izvod eksponencijalne funkcije iz tablice derivacija nam omogućavaju da izvedemo formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Derivat inverzne funkcije.

Da ne bi bilo zabune u prezentaciji, označimo u donjem indeksu argument funkcije pomoću koje se vrši diferencijacija, odnosno derivacija funkcije f(x) on x.

Sada formulišemo pravilo za pronalaženje derivacije inverzne funkcije.

Neka funkcije y = f(x) i x = g(y) međusobno inverzni, definisani na intervalima i respektivno. Ako u nekoj tački postoji konačan izvod funkcije koji nije nula f(x), tada u točki postoji konačan izvod inverzne funkcije g(y), i . U drugom unosu .

Ovo pravilo se može preformulisati za bilo koje x iz intervala , onda dobijamo .

Provjerimo valjanost ovih formula.

Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam (ovdje y je funkcija, i x- argument). Rješavanje ove jednadžbe za x, dobijamo (ovde x je funkcija, i y njen argument). To je, i međusobno inverzne funkcije.

Iz tabele derivata to vidimo i .

Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvoda inverzne funkcije dovedu do istih rezultata:

Ciljevi lekcije: formiraju ideju o broju e; dokazati diferencijabilnost funkcije u bilo kojoj tački X;razmotrimo dokaz teoreme diferencijabilnosti za funkciju ; provjeravanje formiranosti vještina i sposobnosti prilikom rješavanja primjera za njihovu primjenu.

Ciljevi lekcije.

Obrazovni: ponoviti definiciju derivacije, pravila diferencijacije, izvoda elementarnih funkcija, zapamtiti graf i svojstva eksponencijalne funkcije, formirati sposobnost pronalaženja izvoda eksponencijalne funkcije, kontrolirati znanje pomoću testnog zadatka i test.

Razvijanje: promovirati razvoj pažnje, razvoj logičkog mišljenja, matematičke intuicije, sposobnost analize, primjene znanja u nestandardnim situacijama.

Obrazovni: educirati informatičku kulturu, razvijati vještine grupnog i individualnog rada.

Nastavne metode: verbalna, vizuelna, aktivna.

Oblici obuke: kolektivni, individualni, grupni.

Oprema : udžbenik „Algebra i počeci analize“ (priredio Kolmogorov), svi zadaci grupe B „Zatvoreni segment“ urednika A.L. Semenov, I.V. Yashchenko, multimedijalni projektor.

Koraci lekcije:

1. Izvještavanje o temi, ciljevima, ciljevima časa (2 min.).
2. Priprema za učenje novog gradiva kroz ponavljanje prethodno proučenog (15 min.).
3. Uvod u novi materijal (10 min.)
4. Primarno razumijevanje i učvršćivanje novih znanja (15 min.).
5. Domaći zadatak (1 min.).
6. Sumiranje (2 min.).

Tokom nastave

1. Organizacioni momenat.

Najavljuje se tema časa: „Izvod eksponencijalne funkcije. Broj e.”, ciljevi, zadaci. slajd 1. Prezentacija

2. Aktiviranje osnovnih znanja.

Da bismo to učinili, u prvoj fazi lekcije odgovorit ćemo na pitanja i riješiti zadatke za ponavljanje. Slajd 2.

Na tabli dva učenika rade na karticama, ispunjavajući zadatke poput B8 USE.

Zadatak za prvog učenika:

Zadatak za drugog učenika:

Ostali studenti rade samostalan rad prema opcijama:

Opcija 1		Opcija 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

Parovi razmjenjuju rješenja i međusobno provjeravaju rad, pozivajući se na odgovore na slajdu 3.

Razmatraju se rješenja i odgovori učenika koji rade za tablom.

Provjera domaćeg zadatka br. 1904. Prikaži slajd 4.

3. Ažuriranje teme lekcije, stvaranje problemske situacije.

Nastavnik traži da se da definicija eksponencijalne funkcije i navede svojstva funkcije y = 2 x. Grafovi eksponencijalnih funkcija prikazani su kao glatke linije na koje se u svakoj tački može povući tangenta. Ali postojanje funkcije tangente na graf u tački sa apscisom x 0 je ekvivalentno njenoj diferencijabilnosti na x 0.

Za grafove funkcije y = 2 x i y = 3 x, crtamo tangente na njih u tački sa apscisom 0. Uglovi nagiba ovih tangenti na osu apscise približno su jednaki 35 ° i 48 ° , odnosno. Slajd 5.

Zaključak: ako je baza eksponencijalne funkcije a raste od 2 do, na primjer, 10, a zatim se ugao između tangente na graf funkcije u tački x=0 i x-ose postepeno povećava od 35° do 66,5°. Logično je pretpostaviti da postoji razlog a, za koji je odgovarajući ugao 45

Dokazano je da postoji takav broj veći od 2 i manji od 3. Uobičajeno je da se označava slovom e. U matematici je utvrđeno da broj e- iracionalno, tj. je beskonačan decimalni neperiodični razlomak.

e = 2,7182818284590…

Napomena (nije baš ozbiljno). slajd 6.

Na sljedećem slajdu 7 nalaze se portreti velikih matematičara - Johna Napiera, Leonarda Eulera i kratka bilješka o njima.

• Razmotrimo svojstva funkcije y=e x
• Dokaz teoreme 1. Slajd 8.
• Dokaz teoreme 2. Slajd 9.

4. Dinamička pauza ili pražnjenje za oči.

(Početni položaj - sjedeći, svaka vježba se ponavlja 3-4 puta):

1. Nagnite se unazad, duboko udahnite, a zatim se nagnite naprijed, izdahnite.

2. Zavalivši se u stolicu, zatvorite kapke, čvrsto zatvorite oči bez otvaranja kapaka.

3. Ruke uz tijelo, kružni pokreti ramena naprijed-nazad.

5. Konsolidacija proučenog gradiva.

5.1 Rješenje vježbi br. 538, br. 540, br. 544c.

5.2 Samostalna primjena znanja, vještina i sposobnosti. Provjera rada u obliku testa. Vrijeme za završetak zadatka - 5 minuta.

Kriterijumi za ocjenjivanje:

"5" - 3 boda

"4" - 2 boda

“3” - 1 bod

6. Sumiranje rezultata i rezultata rada na času.

1. Refleksija.
2. Ocjenjivanje.
3. Dostavljanje testnih zadataka.

7. Domaći zadatak: str.41 (1, 2); br. 539 (a, b, d); 540 (c, d), 544 (a, b).

“Zatvoreni segment” br. 1950, 2142.

Za korištenje pregleda prezentacija, kreirajte Google račun (nalog) i prijavite se: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

DERIVAT EKSPONENCIJALNE FUNKCIJE Broj e Razred 11

PONAVLJANJE je majka učenja!

Definicija eksponencijalne funkcije Funkcija data formulom y \u003d a x (gdje je a > 0, a ≠ 1) naziva se eksponencijalna funkcija s bazom a.

Svojstva eksponencijalne funkcije y \u003d a x a > 1 0

Određivanje derivacije funkcije u tački x 0. kao Δ → 0. Derivat funkcije f u tački x 0 je broj na koji teži odnos razlike kao Δx → 0.

Geometrijsko značenje derivacije x ₀ α A y = f (x) 0 x y k = tg α \u003d f "(x ₀) Nagib tangente na graf funkcije f (x) u tački ( x 0; f (x 0) je jednako derivacijskim funkcijama f "(x ₀). f(x 0)

Igra: "Pronađi parove" (u + v) "cos x e (u v)" n xⁿ ⁻" p (u / v)" - 1 / (sin² x) a (x ⁿ)" - sin x n C "u" v +u v" do (C u)" 1 / (cos ² x) t (sin x)" (u" v - u v") / v² c (cos x)" 0 o (tg x)" u "+v" u (ctg x) "C u" n

Provjerite sami! (u + v)" u" + v" e (u v)" u" v + u v "do (u / v)" (u' v –u v") / v² c (x ⁿ)" n x ⁿ ⁻¹ p C" 0 o (Cu)" C u "n (sin x)" Cos x e (cos x)" - sin x n (tg x)" 1 / (cos² x) t (ctg x)" - 1 / (sin² x ) a

Eksponent je funkcija stepena. Eksponent je funkcija gdje je e baza prirodnih logaritama.

1 y \u003d e x 45 ° Funkcija y \u003d e x naziva se "eksponent" x ₀ = 0; tg 45° = 1 U tački (0;1) nagib tangente na graf funkcije k = tg 45° = 1 - geometrijsko značenje izvoda eksponenta Eksponent y = e x

Teorema 1. Funkcija y = e je diferencibilna u svakoj tački domene definicije, a (e)" \u003d e x x x Prirodni logaritam (ln) je logaritam bazi e: ln x = log x e ​​i ( a)" = a ∙ ln a x x Teorema 2.

Formule za diferenciranje eksponencijalne funkcije (e)" = e ; (e)" = k e ; (a)" = a ∙ ln a ; (a)" = k a ∙ ln a . x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.

"Vježba stvara majstorstvo." Tacit Publije Kornelije - starorimski istoričar

Primjeri: Pronađite izvode funkcija: 1. = 3 e. 2. (e)" = (5x)" e = 5 e. 3. (4) "= 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 x) "2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2. 5 x 5 x x (3 e)" 5 x - 7 x x x -7 x -7 x x

Zanimljivo u blizini

Leonhard Euler 1707 -1783 Ruski naučnik - matematičar, fizičar, mehaničar, astronom... Uveo oznaku broja e. Dokazano da je broj e ≈ 2, 718281 ... iracionalan. John Napier 1550 - 1617 Škotski matematičar, izumitelj logaritama. U njegovu čast, broj e je nazvan "brojem koji nije ravnopravan".

Rast i opadanje funkcije brzinom eksponenta naziva se eksponencijalno