Vrste kvadratnih korijena. Aritmetički kvadratni korijen i njegova svojstva

Ovaj članak je zbirka detaljnih informacija koje se bave temom svojstava korijena. S obzirom na temu, počećemo sa svojstvima, proučiti sve formulacije i dati dokaze. Da bismo konsolidirali temu, razmotrit ćemo svojstva n-tog stepena.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Root Properties

Pričaćemo o nekretninama.

Nekretnina pomnožene brojeve a i b, što je predstavljeno kao jednakost a · b = a · b . Može se predstaviti kao množitelji, pozitivni ili jednaki nuli a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 a 2 … a k = a 1 a 2 … a k ;
iz privatnog a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0, može se napisati i u ovom obliku a b = a b ;
Svojstvo po stepenu broja a sa parnim eksponentom a 2 m = a m za bilo koji broj a, na primjer, svojstvo iz kvadrata broja a 2 = a .

U bilo kojoj od predstavljenih jednačina možete zamijeniti dijelove prije i poslije znaka crtice, na primjer, jednakost a · b = a · b se transformira kao a · b = a · b . Svojstva jednakosti se često koriste za pojednostavljenje složenih jednačina.

Dokaz prvih svojstava zasniva se na definiciji kvadratnog korijena i svojstava potencija s prirodnim eksponentom. Da bismo potkrijepili treće svojstvo, potrebno je pozvati se na definiciju modula broja.

Prije svega, potrebno je dokazati svojstva kvadratnog korijena a · b = a · b. Prema definiciji, potrebno je uzeti u obzir da je a b broj, pozitivan ili jednak nuli, koji će biti jednak a b tokom izgradnje u kvadrat. Vrijednost izraza a · b je pozitivna ili jednaka nuli kao proizvod nenegativnih brojeva. Svojstvo stepena pomnoženih brojeva omogućava nam da predstavimo jednakost u obliku (a · b) 2 = a 2 · b 2 . Prema definiciji kvadratnog korijena a 2 \u003d a i b 2 \u003d b, zatim a b \u003d a 2 b 2 \u003d a b.

Na sličan način se to može dokazati iz proizvoda k množitelji a 1 , a 2 , … , a kće biti jednak proizvodu kvadratnih korijena ovih faktora. Zaista, a 1 · a 2 · … · ak 2 = a 1 2 · a 2 2 · … · ak 2 = a 1 · a 2 · … · a k .

Iz ove jednakosti slijedi da je a 1 · a 2 · … · a k = a 1 · a 2 · … · a k .

Pogledajmo nekoliko primjera kako bismo pojačali temu.

Primjer 1

3 5 2 5 = 3 5 2 5 , 4 , 2 13 1 2 = 4 , 2 13 1 2 i 2 , 7 4 12 17 0 , 2 (1) = 2 , 7 4 12 17 0. 2 (1) .

Potrebno je dokazati svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena količnika: a: b = a: b, a ≥ 0, b > 0. Svojstvo vam omogućava da zapišete jednakost a: b 2 = a 2: b 2 i a 2: b 2 = a: b, dok je a: b pozitivan broj ili jednak nuli. Ovaj izraz će biti dokaz.

Na primjer, 0:16 = 0:16, 80:5 = 80:5 i 30, 121 = 30, 121.

Razmotrimo svojstvo kvadratnog korijena kvadrata broja. Može se zapisati kao jednakost kao 2 = a Da bismo dokazali ovo svojstvo, potrebno je detaljno razmotriti nekoliko jednakosti za a ≥ 0 i na a< 0 .

Očigledno, za a ≥ 0, jednakost a 2 = a je tačna. At a< 0 jednakost a 2 = - a će biti tačna. Zapravo, u ovom slučaju − a > 0 i (− a) 2 = a 2 . Možemo zaključiti da je a 2 = a , a ≥ 0 - a , a< 0 = a . Именно это и требовалось доказать.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 2

5 2 = 5 = 5 i - 0. 36 2 = - 0. 36 = 0. 36 .

Dokazano svojstvo pomoći će da se opravda a 2 m = a m , gdje a- pravi, i m-prirodni broj. Zaista, svojstvo eksponencijacije nam omogućava da zamijenimo stepen a 2 m izraz (am) 2, tada a 2 · m = (a m) 2 = a m .

Primjer 3

3 8 = 3 4 = 3 4 i (- 8 , 3) 14 = - 8 , 3 7 = (8 , 3) 7 .

Svojstva n-tog korijena

Prvo morate razmotriti glavna svojstva korijena n-tog stepena:

Svojstvo iz proizvoda brojeva a i b, koji su pozitivni ili jednaki nuli, mogu se izraziti kao jednakost a b n = a n b n , ovo svojstvo vrijedi za proizvod k brojevi a 1 , a 2 , … , a k kao a 1 a 2 … a k n = a 1 n a 2 n … a k n ;
iz razlomka ima svojstvo a b n = a n b n , gdje je a je bilo koji realan broj koji je pozitivan ili jednak nuli, i b je pozitivan realan broj;
Za bilo koje a pa i parni brojevi n = 2 m a 2 m 2 m = a je tačno, a za neparno n = 2 m − 1 ispunjena je jednakost a 2 · m - 1 2 · m - 1 = a.
Svojstvo ekstrakcije iz a m n = a n m , gdje je a- bilo koji broj, pozitivan ili jednak nuli, n i m su prirodni brojevi, ovo svojstvo se takođe može predstaviti kao . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 . . . nk ;
Za bilo koje nenegativno a i proizvoljno n i m, koji su prirodni, može se definisati i pravedna jednakost a m n · m = a n ;
stepen imovine n iz snage broja a, koji je pozitivan ili jednak nuli, u naturi m, definisana jednakošću a m n = a n m ;
Svojstvo poređenja koje ima iste eksponente: za bilo koje pozitivne brojeve a i b takav da a< b , nejednakost a n< b n ;
Svojstvo poređenja koje imaju iste brojeve pod korijenom: if m i n- prirodni brojevi koji m > n, zatim u 0 < a < 1 vrijedi nejednakost a m > a n, i za a > 1 a m< a n .

Gore navedene jednačine vrijede ako su dijelovi prije i poslije znaka jednakosti obrnuti. Mogu se koristiti iu ovom obliku. Ovo se često koristi tokom pojednostavljivanja ili transformacije izraza.

Dokaz gore navedenih svojstava korijena zasniva se na definiciji, svojstvima stepena i definiciji modula broja. Ova svojstva moraju biti dokazana. Ali sve je u redu.

Pre svega, dokazaćemo svojstva korena n-tog stepena iz proizvoda a · b n = a n · b n . Za a i b , koji su pozitivna ili nula , vrijednost a n · b n je također pozitivna ili jednaka nuli, jer je posljedica množenja nenegativnih brojeva. Svojstvo prirodnog proizvoda snage nam omogućava da zapišemo jednakost a n · b n n = a n n · b n n . Po definiciji korijena n stepen a n n = a i b n n = b , dakle, a n · b n n = a · b . Rezultirajuća jednakost je upravo ono što je trebalo dokazati.

Ovo svojstvo se dokazuje na sličan način za proizvod k faktori: za nenegativne brojeve a 1 , a 2 , … , a n a 1 n · a 2 n · … · a k n ≥ 0 .

Evo primjera korištenja root svojstva n th stepen iz proizvoda: 5 2 1 2 7 = 5 7 2 1 2 7 i 8 , 3 4 17 , (21) 4 3 4 5 7 4 = 8 , 3 17 , (21) 3 5 7 4 .

Dokažimo svojstvo korijena količnika a b n = a n b n . At a ≥ 0 i b > 0 uslov a n b n ≥ 0 je zadovoljen i a n b n n = a n n b n n = a b .

Pokažimo primjere:

Primjer 4

8 27 3 = 8 3 27 3 i 2 , 3 10: 2 3 10 = 2 , 3: 2 3 10 .

Za sljedeći korak potrebno je dokazati svojstva n-tog stepena od broja do stepena n. Ovo predstavljamo kao jednakost a 2 m 2 m = a i a 2 m - 1 2 m - 1 = a za bilo koju realnu a i prirodno m. At a ≥ 0 dobijamo a = a i a 2 m = a 2 m , što dokazuje jednakost a 2 m 2 m = a , a jednakost a 2 m - 1 2 m - 1 = a je očigledna. At a< 0 dobijamo a = - a i a 2 m = (- a) 2 m = a 2 m . Posljednja transformacija broja vrijedi prema svojstvu stepena. To je ono što dokazuje jednakost a 2 m 2 m \u003d a, a 2 m - 1 2 m - 1 \u003d a će biti istinito, jer se - c 2 m - 1 = - c 2 m smatra neparnim stepen - 1 za bilo koji broj c , pozitivan ili jednak nuli.

Kako biste konsolidirali primljene informacije, razmotrite nekoliko primjera korištenja svojstva:

Primjer 5

7 4 4 = 7 = 7 , (- 5) 12 12 = - 5 = 5 , 0 8 8 = 0 = 0 , 6 3 3 = 6 i (- 3 , 39) 5 5 = - 3 , 39 .

Dokažimo sljedeću jednakost a m n = a n · m . Da biste to učinili, trebate promijeniti brojeve ispred znaka jednakosti i iza njega na mjestima a n · m = a m n . Ovo će ukazati na tačan unos. Za a ,što je pozitivno ili jednako nuli , iz oblika a m n je pozitivan broj ili jednak nuli. Okrenimo se svojstvu podizanja stepena na stepen i definiciji. Uz njihovu pomoć, možete transformirati jednakosti u obliku a m n n · m = a m n n m = a m m = a . Ovo dokazuje razmatrano svojstvo korijena iz korijena.

Ostale osobine se dokazuju slično. Zaista, . . . a n k n 2 n 1 n 1 n 2 . . . nk = . . . a n k n 3 n 2 n 2 n 3 . . . nk = . . . a nk n 4 n 3 n 3 n 4 . . . nk = . . . = a n k n k = a .

Na primjer, 7 3 5 = 7 5 3 i 0, 0009 6 = 0, 0009 2 2 6 = 0, 0009 24.

Dokažimo sljedeće svojstvo a m n · m = a n . Da biste to učinili, potrebno je pokazati da je n broj koji je pozitivan ili jednak nuli. Kada se podigne na stepen n m je a m. Ako broj a onda je pozitivna ili nula n stepena iz redova a je pozitivan broj ili jednak nuli Štaviše, a n · m n = a n n m , što je trebalo dokazati.

Kako biste učvrstili stečeno znanje, razmotrite nekoliko primjera.

Dokažimo sljedeće svojstvo - svojstvo korijena stepena oblika a m n = a n m . Očigledno je da na a ≥ 0 stepen a n m je nenegativan broj. Štaviše, ona n-th stepen je jednak a m, zaista, a n m n = a n m · n = a n n m = a m . Ovo dokazuje razmatrano svojstvo stepena.

Na primjer, 2 3 5 3 = 2 3 3 5 .

To moramo dokazati za sve pozitivne brojeve a i b a< b . Razmotrimo nejednakost a n< b n . Воспользуемся методом от противного a n ≥ b n . Тогда, согласно свойству, о котором говорилось выше, неравенство считается верным a n n ≥ b n n , то есть, a ≥ b . Но это не соответствует условию a< b . Stoga, a n< b n при a< b .

Na primjer, dajemo 12 4< 15 2 3 4 .

Uzmite u obzir korijensko svojstvo n-th stepen. Prvo, razmotrimo prvi dio nejednakosti. At m > n i 0 < a < 1 istina a m > a n . Pretpostavimo da je m ≤ a n . Svojstva će pojednostaviti izraz na a n m · n ≤ a m m · n . Tada je, prema svojstvima stepena sa prirodnim eksponentom, zadovoljena nejednakost a n m n m n ≤ a m m n m n, tj. a n ≤ a m. Vrijednost dobivena na m > n i 0 < a < 1 ne odgovara gore navedenim svojstvima.

Na isti način se to može dokazati m > n i a > 1 stanje a m< a n .

Da biste konsolidirali gornja svojstva, razmotrite nekoliko konkretnih primjera. Razmotrite nejednakosti koristeći određene brojeve.

Primjer 6

0 , 7 3 < 0 , 7 5 и 12 > 12 7 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Vaša privatnost nam je važna. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Molimo pročitajte našu politiku privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke kako bismo vam poslali važna obavještenja i komunikacije.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnom poticaju, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje trećim licima

Podatke primljene od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

U slučaju da je to potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim nalogom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno u svrhe sigurnosti, provođenja zakona ili u druge svrhe od javnog interesa.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo relevantnom trećem licu nasljedniku.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i od neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Održavanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima komuniciramo o privatnosti i sigurnosnoj praksi i striktno provodimo praksu privatnosti.

Korijenske formule. svojstva kvadratnih korijena.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U prethodnoj lekciji shvatili smo šta je kvadratni korijen. Vrijeme je da shvatimo šta su formule za korijene, šta su svojstva korijena i šta se tu može učiniti.

Korijenske formule, svojstva korijena i pravila za radnje s korijenima- u suštini je ista stvar. Postoji iznenađujuće malo formula za kvadratne korijene. Što, naravno, raduje! Umjesto toga, možete napisati mnogo raznih formula, ali samo tri su dovoljne za praktičan i siguran rad s korijenima. Sve ostalo proizilazi iz ovo troje. Iako mnogi zalutaju u tri formule korijena, da...

Počnimo s najjednostavnijim. Evo je:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Lekcija i prezentacija na temu:
"Svojstva kvadratnog korijena. Formule. Primjeri rješenja, zadaci sa odgovorima"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 8. razred
Interaktivni vodič za učenje "Geometrija za 10 minuta" za 8. razred
Obrazovni kompleks "1C: Škola. Geometrija, 8. razred"

Svojstva kvadratnog korijena

Nastavljamo proučavati kvadratne korijene. Danas ćemo razmotriti glavna svojstva korijena. Sva glavna svojstva su intuitivna i u skladu sa svim operacijama koje smo ranije radili.

Svojstvo 1. Kvadratni korijen proizvoda dva nenegativna broja jednak je proizvodu kvadratnih korijena ovih brojeva: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Uobičajeno je da se dokazuju bilo koja svojstva, hajde da to uradimo.
Neka je $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Tada moramo dokazati da je $x=y*z$.
Kvadratirajmo svaki izraz.
Ako je $\sqrt(a*b)=x$ onda je $a*b=x^2$.
Ako je $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, onda kvadriranjem oba izraza dobijamo: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, tj. $x^2=(y*z)^2$. Ako su kvadrati dva nenegativna broja jednaki, onda su i sami brojevi jednaki, što je trebalo dokazati.

Iz našeg svojstva slijedi da je, na primjer, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Napomena 1. Svojstvo vrijedi i za slučaj kada se ispod korijena nalaze više od dva nenegativna faktora.
Nekretnina 2. Ako je $a≥0$ i $b>0$, tada vrijedi sljedeća jednakost: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

To jest, korijen količnika je jednak količniku korijena.
Dokaz.
Upotrijebimo tabelu i ukratko dokažimo svoje svojstvo.

Primjeri korištenja svojstava kvadratnog korijena

Primjer 1
Izračunajte: $\sqrt(81*25*121)$.

Rješenje.
Naravno, možemo uzeti kalkulator, pomnožiti sve brojeve ispod korijena i izvršiti operaciju vađenja kvadratnog korijena. A ako nema kalkulatora pri ruci, šta onda?
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Odgovor: 495.

Primjer 2. Izračunajte: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Rješenje.
Radikalni broj predstavljamo kao nepravilan razlomak: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Koristimo svojstvo 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4$.
Odgovor: 3.4.

Primjer 3
Izračunajte: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Rješenje.
Možemo direktno procijeniti naš izraz, ali se gotovo uvijek može pojednostaviti. Hajde da pokušamo ovo da uradimo.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Dakle, $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Odgovor: 32.

Ljudi, imajte na umu da ne postoje formule za operacije sabiranja i oduzimanja radikalnih izraza i izrazi ispod nisu tačni.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Primjer 4
Izračunajte: a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; b) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Rješenje.
Gore prikazana svojstva rade i s lijeva na desno i obrnutim redoslijedom, odnosno:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Iskoristimo ovo da riješimo naš primjer.
a) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

B) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Odgovor: a) 16; b) 2.

Nekretnina 3. Ako je $a≥0$ i n prirodan broj, onda vrijedi sljedeća jednakost: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Na primjer. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ i tako dalje.

Primjer 5
Izračunajte: $\sqrt(129600)$.

Rješenje.
Broj koji nam je predstavljen je prilično velik, hajde da ga razložimo na proste faktore.
Dobili smo: $129600=5^2*2^6*3^4$ ili $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Odgovor: 360.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Izračunajte: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Izračunajte: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Izračunajte: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Izračunajte:
a) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
b) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Matematika je nastala kada je osoba postala svjesna sebe i počela se pozicionirati kao autonomna jedinica svijeta. Želja da izmjerite, uporedite, izračunate ono što vas okružuje je ono što leži u osnovi jedne od fundamentalnih nauka naših dana. Isprva su to bili dijelovi elementarne matematike, koji su omogućavali povezivanje brojeva sa njihovim fizičkim izrazima, kasnije su se zaključci počeli iznositi samo teoretski (zbog njihove apstraktnosti), ali nakon nekog vremena, kako je rekao jedan naučnik, " matematika je dostigla plafon složenosti kada su svi brojevi." Koncept "kvadratnog korijena" pojavio se u vrijeme kada se mogao lako potkrijepiti empirijskim podacima, nadilazeći ravan proračuna.

Kako je sve počelo

Prvo spominjanje korijena, koji se trenutno označava kao √, zabilježeno je u spisima vavilonskih matematičara, koji su postavili temelje moderne aritmetike. Naravno, malo su ličili na sadašnji oblik - naučnici tih godina prvi su koristili glomazne tablete. Ali u drugom milenijumu pr. e. došli su do približne formule izračuna koja je pokazala kako uzeti kvadratni korijen. Fotografija ispod prikazuje kamen na kojem su babilonski naučnici uklesali izlazni proces √2, a ispostavilo se da je toliko tačan da je neslaganje u odgovoru pronađeno tek na desetoj decimali.

Osim toga, korijen se koristio ako je bilo potrebno pronaći stranicu trougla, pod uvjetom da su ostale dvije poznate. Pa, kada se rješavaju kvadratne jednadžbe, nema spasa od vađenja korijena.

Uz vavilonska djela, predmet članka proučavan je u kineskom djelu "Matematika u devet knjiga", a stari Grci su došli do zaključka da svaki broj iz kojeg se korijen ne izvuče bez ostatka daje iracionalan rezultat.

Porijeklo ovog pojma povezano je s arapskim predstavljanjem broja: drevni naučnici su vjerovali da kvadrat proizvoljnog broja raste iz korijena, poput biljke. Na latinskom, ova riječ zvuči kao radix (može se pratiti obrazac - sve što ima "korijensko" semantičko opterećenje je suglasno, bilo da se radi o rotkvici ili išijasu).

Naučnici narednih generacija preuzeli su ovu ideju, označivši je kao Rx. Na primjer, u 15. vijeku, da bi naznačili da je kvadratni korijen uzet iz proizvoljnog broja a, napisali su R 2 a. „Krpelj” √, poznat modernom izgledu, pojavio se tek u 17. veku zahvaljujući Rene Descartesu.

Naši dani

Matematički, kvadratni korijen od y je broj z čiji je kvadrat y. Drugim riječima, z 2 =y je ekvivalentno √y=z. Međutim, ova definicija je relevantna samo za aritmetički korijen, jer podrazumijeva nenegativnu vrijednost izraza. Drugim riječima, √y=z, gdje je z veće ili jednako 0.

Općenito, što vrijedi za određivanje algebarskog korijena, vrijednost izraza može biti pozitivna ili negativna. Dakle, zbog činjenice da je z 2 =y i (-z) 2 =y, imamo: √y=±z ili √y=|z|.

Zbog činjenice da je ljubav prema matematici samo rasla s razvojem nauke, postoje različite manifestacije naklonosti prema njoj, koje se ne izražavaju suvim proračunima. Na primjer, uz takve zanimljive događaje kao što je dan Pi, slave se i praznici kvadratnog korijena. Slave se devet puta u stotinu godina, a određuju se po sljedećem principu: brojevi koji redom označavaju dan i mjesec moraju biti kvadratni korijen godine. Dakle, sljedeći put ovaj praznik će se slaviti 4. aprila 2016. godine.

Svojstva kvadratnog korijena na polju R

Gotovo svi matematički izrazi imaju geometrijsku osnovu, ova sudbina nije prošla i √y, što je definisano kao stranica kvadrata površine y.

Kako pronaći korijen broja?

Postoji nekoliko algoritama proračuna. Najjednostavniji, ali u isto vrijeme prilično glomazan je uobičajeni aritmetički izračun, koji je sljedeći:

1) od broja čiji nam je korijen potreban, redom se oduzimaju neparni brojevi - sve dok ostatak na izlazu ne bude manji od oduzetog ili parni jednak nuli. Broj poteza će na kraju postati željeni broj. Na primjer, izračunavanje kvadratnog korijena od 25:

Sljedeći neparni broj je 11, a ostatak je: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Za takve slučajeve postoji proširenje serije Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , pri čemu n uzima vrijednosti od 0 do

+∞, i |y|≤1.

Grafički prikaz funkcije z=√y

Razmotrimo elementarnu funkciju z=√y na polju realnih brojeva R, gdje je y veće ili jednako nuli. Njen grafikon izgleda ovako:

Kriva raste iz ishodišta i nužno prelazi tačku (1; 1).

Svojstva funkcije z=√y na polju realnih brojeva R

1. Domen definicije razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je uključena).

2. Raspon vrijednosti razmatrane funkcije je interval od nule do plus beskonačnosti (nula je opet uključena).

3. Funkcija uzima minimalnu vrijednost (0) samo u tački (0; 0). Ne postoji maksimalna vrijednost.

4. Funkcija z=√y nije ni parna ni neparna.

5. Funkcija z=√y nije periodična.

6. Postoji samo jedna tačka preseka grafika funkcije z=√y sa koordinatnim osa: (0; 0).

7. Tačka presjeka grafika funkcije z=√y je također nula ove funkcije.

8. Funkcija z=√y kontinuirano raste.

9. Funkcija z=√y uzima samo pozitivne vrijednosti, stoga njen graf zauzima prvi koordinatni ugao.

Opcije za prikaz funkcije z=√y

U matematici, da bi se olakšalo računanje složenih izraza, ponekad se koristi oblik stepena pisanja kvadratnog korijena: √y=y 1/2. Ova opcija je zgodna, na primjer, za podizanje funkcije na stepen: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Ova metoda je također dobra reprezentacija za diferencijaciju sa integracijom, jer je zahvaljujući njoj kvadratni korijen predstavljen običnom funkcijom stepena.

A u programiranju, zamjena za simbol √ je kombinacija slova sqrt.

Vrijedi napomenuti da je u ovoj oblasti kvadratni korijen u velikoj potražnji, jer je dio većine geometrijskih formula potrebnih za proračune. Sam algoritam brojanja je prilično kompliciran i baziran je na rekurziji (funkcija koja sama sebe poziva).

Kvadratni korijen u kompleksnom polju C

Uglavnom, predmet ovog članka je podstakao otkriće polja kompleksnih brojeva C, budući da je matematičare proganjalo pitanje dobijanja korijena parnog stepena iz negativnog broja. Tako se pojavila imaginarna jedinica i, koju karakteriše vrlo zanimljivo svojstvo: njen kvadrat je -1. Zahvaljujući tome, kvadratne jednadžbe i sa negativnim diskriminantom su dobile rješenje. U C-u su za kvadratni korijen relevantna ista svojstva kao i u R-u, jedino što su ograničenja na korijenski izraz uklonjena.