Vrste konvergencije nizova slučajnih varijabli.

Nizovi slučajnih varijabli X 1 , X 2 , . . ., X n, . . ., dato na nekom prostoru vjerovatnoće na slučajnu varijablu x, definirana na sljedeći način: ako za bilo koji at
U matematici Ova analiza konvergencije naziva se konvergencija u mjeri. Od S. do c. slijedi konvergencija u distribuciji.
V. I. Bityutskov.

Matematička enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Pogledajte šta je "KONVERGENCIJA VEROVATNOTE" u drugim rečnicima:

- ... Wikipedia

Konvergencija sa vjerovatnoćom jedan, konvergencija niza slučajnih varijabli X1, X2, . . ., H n. . ., dato na određenom prostoru vjerovatnoće na slučajnu varijablu X, definiranu na sljedeći način: (ili a.s.), ako je B matematički. ... ... Mathematical Encyclopedia

U teoriji vjerovatnoće, oblik konvergencije slučajnih varijabli. Sadržaj 1 Definicija 2 Napomene ... Wikipedia

U matematici konvergencija znači da beskonačan niz ili zbir beskonačnog niza ili nepravilan integral ima granicu. Koncepti imaju smisla za proizvoljne nizove, nizove i integrale: Granica sekvence ... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Konvergencija. Niz funkcija konvergira gotovo svuda do granične funkcije ako skup tačaka za koje nema konvergencije ima mjeru nula. Sadržaj 1 Definicija 1.1 Pojam ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Konvergencija. Konvergencija u funkcionalnoj analizi, teoriji vjerovatnoće i srodnim disciplinama je oblik konvergencije mjerljivih funkcija ili slučajnih varijabli. Definicija Neka prostor sa ... ... Wikipedia

- (u smislu vjerovatnoće) u funkcionalnoj analizi, teoriji vjerovatnoće i srodnim disciplinama, ovo je vrsta konvergencije mjerljivih funkcija (slučajnih varijabli) datih na prostoru s mjerom (prostor vjerovatnoće). Definicija Neka razmak s mjerom... ... ... Wikipedia

Matematički koncept koji znači da neka varijabla ima ograničenje. U tom smislu se govori o S. niza, S. niza, S. beskonačnog proizvoda, S. kontinuiranog razlomka, S. integrala, itd. Pojam S. nastaje, . ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Isto kao i konvergencija u vjerovatnoći... Mathematical Encyclopedia

Opšti princip, na osnovu kojeg zajedničko djelovanje slučajnih faktora dovodi, pod određenim vrlo općim uvjetima, do rezultata gotovo neovisnog o slučaju. Konvergencija učestalosti pojave slučajnog događaja sa njegovom vjerovatnoćom s povećanjem broja ... ... Mathematical Encyclopedia

Knjige

Teorija vjerovatnoće i matematička statistika u zadacima Više od 360 zadataka i vježbi, Borzykh D. Predloženi priručnik sadrži probleme različitih nivoa složenosti. Međutim, glavni naglasak je stavljen na zadatke srednje složenosti. Ovo je namjerno učinjeno kako bi se učenici podstakli da…
Teorija vjerojatnosti i matematička statistika u zadacima. Više od 360 zadataka i vježbi, Borzykh D.A. Predloženi priručnik sadrži zadatke različitih nivoa složenosti. Međutim, glavni naglasak je stavljen na zadatke srednje složenosti. Ovo je namjerno učinjeno kako bi se učenici podstakli da…

U teoriji vjerovatnoće, za razliku od matematičke analize, razmatra se nekoliko različitih tipova konvergencije niza funkcija (slučajnih varijabli) i njihovih distribucija. To je zbog činjenice da je u teoriji vjerovatnoće uobičajeno zanemariti malo vjerovatne događaje, a to se može učiniti na različite načine. Tačkasta konvergencija slučajnih varijabli, konvergencija gotovo sigurna i konvergencija mjera vjerovatnoće u varijaciji su već definirane. Dajemo još dvije važne definicije konvergencije slučajnih varijabli − konvergencija u vjerovatnoći i konvergencija u rms i jedna definicija konvergencije distribucija – slaba konvergencija.

Konvergencija u vjerovatnoći

konvergira na slučajnu varijablu

vjerovatno ako

Konvergencija u vjerovatnoći se označava kao

Konvergencija u RMS

Niz slučajnih varijabli

konvergira na slučajnu varijablu

u rms (u L 2) ako

Konvergencija u rms se označava kao

Slaba konvergencija distribucija

Niz slučajnih varijabli

konvergira na slučajnu varijablu

slabo (distribucijom) ako

u svim tačkama kontinuiteta funkcije

Slaba konvergencija se označava kao

Glavna razlika između slabe konvergencije i drugih tipova konvergencije je u tome što se slučajne varijable ne moraju definisati na istom prostoru verovatnoće, pošto su uslovi konvergencije formulisani koristeći samo njihove funkcije distribucije.

Odnos različitih tipova konvergencije

Odnos između različitih tipova konvergencije prikazan je na sljedećem dijagramu.

Imajte na umu da se nijedna strelica na ovom dijagramu ne može, općenito govoreći, vratiti unazad, tj. bilo koje dvije vrste konvergencije nisu ekvivalentne. Od praktičnog značaja su uglavnom slaba konvergencija i konvergencija u srednjem kvadratu jer vam omogućavaju da napravite približne proračune vjerovatnoća i matematičkih očekivanja i zamijenite jedan matematički model drugim. Druge vrste konvergencije se uglavnom koriste za dokazivanje slabe konvergencije ili proučavanje kvalitativnih svojstava modela. Stoga ćemo detaljnije proučavati odnos između ova dva tipa konvergencije u ostatku.

Hajde da prvo pokažemo da konvergencija u vjerovatnoći implicira slabu konvergenciju.

Teorema (P->W).

Dokaz.

Neka je x tačka kontinuiteta funkcije

Na ovaj način

At small i veliki n, lijeva i desna strana nejednakosti se proizvoljno malo razlikuju od
, što dokazuje teoremu.

Dokaz je potpun.

Obrnuta teorema je tačna pod dodatnim uslovom.

Teorema (W->P).

Dokaz.

Dokaz je potpun.

Pokažimo da konvergencija u rms implicira konvergenciju u vjerovatnoći.

Teorema (L 2 ->P).

Dokaz.

Koristimo Markovu nejednakost

Dokaz je potpun.

Sljedeća teorema daje primjer primjene prethodne teoreme za dokazivanje konvergencije relativne frekvencije događaja njegovoj vjerovatnoći u Bernoullijevoj shemi.

Zakon velikih brojeva u Bernoullijevom obliku

Neka - broj uspjeha u n testovi prema Bernoullijevoj shemi sa vjerovatnoćom uspjeha str. Onda

Dokaz.

Dokaz je potpun.

Dakle, da bi se dokazala slaba konvergencija, dovoljno je dokazati konvergenciju u vjerovatnoći ili u srednjem kvadratu.

Prilikom dokazivanja teorema o slaboj konvergenciji koristi se i sljedeća važna teorema.

Teorema ((Helly-Bray).

Kontinuirana ograničena funkcija. Onda

Dokaz.

Bilo koja funkcija kontinuirana na cijeloj liniji
može se proizvoljno precizno aproksimirati linearnom kombinacijom funkcija koraka na bilo kojem intervalu [-A,A) , A>0.

Odaberimo A tako da su tačke –A, A i particione tačke

bile bi tačke kontinuiteta funkcije distribucije

Zatim integrali

su izražene na isti način u smislu vrijednosti funkcija distribucije
i
i može se napraviti proizvoljno blizu odabirom dovoljno velikog n. Stoga su i integrali bliski

Od funkcije
je ograničen, onda odabirom dovoljno velikog A možemo učiniti integrale proizvoljno malim

Teorema je dokazana.

Obrnuta teorema je također tačna.

Teorema (Inverzna Helly-Bray teorema)

Neka za bilo koje

kontinuirana ograničena funkcija

Dokaz.

Ideja dokaza je slična ideji dokaza prethodne teoreme i zasniva se na mogućnosti aproksimacije funkcije koraka
kontinuirana funkcija
. Zaista, opet odabir odgovarajućih tačaka kontinuiteta i podešavanja

vidimo da su integrali bliski jedan drugom

može biti proizvoljno blizu, respektivno. na integrale

Teorema je dokazana.

onda posljednje dvije teoreme daju potrebne i dovoljne uslove za slabu konvergenciju u smislu konvergencije matematičkih očekivanja kontinuiranih ograničenih funkcija.

Teorema (f(W)).

kontinuirana funkcija. Onda

Dokaz.

Budući da zamjena neprekidne funkcije u ograničenu kontinuiranu funkciju opet dovodi do kontinuirane ograničene funkcije, dokaz ove teoreme slijedi direktno iz Helly-Bray teorema.

Teorema je dokazana.

Lako je pokazati da je i sljedeća teorema tačna

Teorema (f(P)).

kontinuirana funkcija. Onda

Dokažite ovu i sljedeće dvije teoreme sami kao vježbe.

Teorema (W+P->W).

Teorema (W*P->W).

U budućnosti ćemo morati ekstenzivno da operišemo sa derivatima i integralima slučajnih procesa. Obje operacije - diferencijacija i integracija - pretpostavljaju, kao što znate, konvergenciju određenog niza veličina do granice. Ali za slučajne varijable definisane ne deterministički, već sopstvenim distribucijama verovatnoće, koncept konvergencije do granice (a samim tim i koncepti kontinuiteta, diferencijabilnosti, integrabilnosti za slučajne funkcije) ne može imati isto značenje kao što je dato u analizi. Za niz slučajnih varijabli moguća je samo probabilistička definicija konvergencije do granice, što, inače, otvara raznovrsnije mogućnosti u izboru same definicije. Vjerovatna konvergencija je također bitna za razmatranje takozvanih ergodičkih svojstava slučajnih funkcija, kojima ćemo se osvrnuti u sljedećem odjeljku.

Počnimo, radi jednostavnosti, razmatranjem različitih tipova konvergencije niza slučajnih varijabli prema (neslučajnom) broju a.

Jedan od tipova probabilističke konvergencije je konvergencija u srednjem kvadratu (rms), koja se shvata kao nestajanje srednje kvadratne devijacije od broja a pri

koji je napisan kao

Oznaka 1. i. m. sastoji se od početnih slova engleskog naziva ove granice (ograničenje u srednjem kvadratu). Upotreba ove vrste konvergencije je najcelishodnija u onim slučajevima kada se treba baviti kvadratnim (posebno onima koje imaju energetsko značenje) kombinacijama slučajnih varijabli.

Jednakost (19.1) očito pretpostavlja konačnost najkonačnije i prosječne vrijednosti od . Oduzimanjem i sabiranjem u zagradama u (19.1), ovu jednakost prepisujemo drugačije:

Ali granica zbira dvije nenegativne veličine može biti jednaka nuli samo ako su granice oba člana jednake nuli, tj.

Dakle, je granica niza srednjih vrijednosti, a granica varijanse je nula.

Druga vrsta probabilističke konvergencije na a - konvergencija u vjerovatnoći (u ver.) - definirana je na sljedeći način:

gdje je, kao i obično, bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj. U ovom slučaju napišite

Jednakost (19.2) znači da vjerovatnoća pogađanja negdje izvan proizvoljno uskog intervala nestaje u granici. S obzirom na proizvoljnu malenost, ovo zauzvrat znači da gustina vjerovatnoće slučajne varijable prelazi na . Međutim, iz ovoga nikako ne slijedi da je a granica niza i da D teži nuli. Štaviše, oni se mogu neograničeno povećavati s povećanjem N ili čak biti beskonačni za bilo koji N. Neka su, na primjer, nenegativni i raspoređeni prema Cauchyjevom zakonu:

Za bilo koje, granica za je jednaka nuli, dok granica ne postoji. Međutim, uslov normalizacije je uvijek zadovoljen:

tako sklon . Međutim, lako je provjeriti da su za bilo koje N i beskonačne.

Konvergencija u vjerovatnoći se često naziva konvergencijom u smislu zakona velikih brojeva. Za slučajne varijable se kaže da su granične konstante ako postoji niz konstanti takav da

Ako su svi isti (jednaki a), onda ova jednakost ulazi u (19.2), tj. znači da konvergira po vjerovatnoći na a ili razlika - a konvergira po vjerovatnoći na nulu.

Konvergenciju u vjerovatnoći treba jasno razlikovati od obične konvergencije

Zaista, što se tiče ponašanja empirijskih brojeva - vrijednosti - ništa se ne može dokazati matematički. Mogu se dokazati samo izjave koje se odnose na teorijske koncepte, uključujući koncept vjerovatnoće, kako je definirano u originalnim aksiomima. U konvergenciji vjerovatnoće, ne govorimo o činjenici da je i na , već da vjerovatnoća događaja teži jedinstvu. Veza ove tvrdnje sa iskustvom leži u "aksiomu mjerenja", prema kojem se vjerovatnoća mjeri relativnom frekvencijom

pojavljivanje razmatranog slučajnog događaja u dovoljno dugoj seriji testova, u dovoljno opsežnom ansamblu sistema, itd.

Radi boljeg razumijevanja ovog fundamentalnog aspekta problema, zadržimo se na nekim graničnim teoremama teorije vjerovatnoće, objedinjene pod opštim nazivom zakona velikih brojeva, naime, na teoremama koje se odnose na slučaj kada (19.2) sadrži aritmetiku srednja vrijednost od N slučajnih varijabli

Napravimo seriju N pokusa, uzmemo njihove rezultate i izračunamo prosjek (19,3). Zatim gledamo da li postoji neki događaj (nazovimo ga BN događaj).

Da bismo izmjerili vjerovatnoću događaja BN, moramo izvršiti vrlo veliki broj M serija od N ispitivanja, moramo imati kolektiv takvih serija. Zakon velikih brojeva (19.2) kaže da što je duži niz koji čini kolektiv (što je veći N), što je bliži jedinici, tj. prema „aksiomu mjerenja“, veći će broj serija odgovarati početak BN (u granicama - praktično svi):

Dakle, ovo je prilično smislena izjava, ali to postaje tek kada se matematički koncept vjerovatnoće jasno uporedi sa empirijskim konceptom relativne frekvencije. Bez toga, zakon velikih brojeva ostaje određena teorema, koja logično slijedi iz određenog sistema aksioma za veličinu P, koja je definirana kao potpuno aditivna, nenegativna i normalizirana na jedinstvo funkcija domene.

Često se ovo pitanje, koje smo već dotakli u § 1, predstavlja prilično zbrkano u obrazovnoj literaturi, bez jasne naznake da je "aksiom mjerenja", koji povezuje koncepte teorije vjerovatnoće sa stvarnim fenomenima, s eksperimentom i praksom , nije sadržan u matematičkoj teoriji kao takvoj. Može se naići na tvrdnje da je temelj uspješnosti primjene teorije vjerovatnoće u raznim problemima prirodnih nauka i tehnologije postavljen upravo u zakonu velikih brojeva. Da je to tako, onda bi to značilo

temelj praktičnog uspjeha je logička posljedica određenih apstraktnih aksioma i da sami ovi matematički aksiomi propisuju kako se empirijske veličine trebaju ponašati.

U principu, bilo bi moguće poći od drugih aksioma - i konstruisati drugu teoriju vjerovatnoće, čiji bi zaključci, budući da su različiti od onih u postojećoj teoriji, bili jednako logički besprijekorni i jednako opcioni za stvarne pojave. Ovdje je situacija ista kao i sa raznim mogućim geometrijama. Ali čim se matematička teorija dopuni određenim metodama mjerenja veličina s kojima djeluje i tako postane fizička teorija, situacija se mijenja. Ispravnost ili neispravnost teorije tada prestaje biti pitanje samo njene logičke konzistentnosti, već postaje pitanje njene korespondencije sa stvarnim stvarima i pojavama. Pitanje istinitosti samih aksioma dobija sadržaj, jer se sada ovo može podvrgnuti eksperimentalnoj i, općenito, praktičnoj provjeri.

Međutim, čak i prije takve provjere neophodna je unutarnja korespondencija između oba dijela fizikalne teorije: utvrđene metode mjerenja veličina ne bi trebale biti u suprotnosti s jednadžbama kojima te veličine podvrgava matematički dio teorije. . Na primjer, Newtonove jednadžbe kretanja pretpostavljaju da je sila vektor i stoga nisu kompatibilne s načinom mjerenja sile koji bi je karakterizirao samo u apsolutnoj veličini. Možda, u stvarnosti, sila nije vektor, već, recimo, tenzor, ali ovo je drugo pitanje koliko ova fizička teorija odražava objektivnu stvarnost u cjelini. Sada govorimo samo o tome da prisustvo kontradikcije između matematičkog i mjernog dijela fizičke teorije čini neodrživom čak i prije bilo kakve provjere njenih posljedica u eksperimentu.

Sa ove tačke gledišta, zakon velikih brojeva razlikuje se od drugih - logički ekvivalentnih - teorema teorije verovatnoće samo po tome što, kao što će se videti iz onoga što sledi, posebno jasno i jasno pokazuje kompatibilnost matematičke definicije verovatnoće i frekvencijski metod njegovog mjerenja. On pokazuje da frekvencijski "aksiom mjerenja" nije u suprotnosti s matematičkom teorijom, ali potonja, naravno, ne zamjenjuje i ne može zamijeniti ovaj "aksiom".

Dokaz različitih teorema u obliku zakona velikih brojeva obično koristi Čebiševljevu nejednakost, dokazanu u njegovoj disertaciji 1846. Neka slučajna varijabla ima konačnu varijansu Čebiševljeva nejednakost

To navodi

Ako je, posebno, , tada nejednakost (19.4) poprima oblik

Iako nejednakosti (19.4) i (19.5) daju samo vrlo grubu procjenu P (preciznija procjena se može dobiti ako je poznat zakon raspodjele), one su vrlo korisne i važne za teorijske konstrukcije.

U slučaju kada Čebiševljeva nejednakost sadrži aritmetičku sredinu (19.3) od N slučajnih varijabli, nejednakost (19.5) nam omogućava da dokažemo Čebiševljevu teoremu, koja je prilično opći izraz zakona velikih brojeva. Naime, ako je niz parno nezavisnih slučajnih varijabli sa jednolično ograničenim varijacijama (D S), onda

stvarno,

Prema Čebiševskoj nejednakosti

odakle slijedi teorema (19.6) za vjerovatnoću suprotnog događaja, tj. konvergenciju vjerovatnoće da

Poseban slučaj Čebiševljeve teoreme je Poissonova teorema. Neka - slučajne varijable-fiksatori ishoda testa ili 0 u skladu sa pojavom ili nepojavljivanjem događaja A tokom testa, u kojem . Onda

a Čebiševljeva teorema daje

Ovo je Poissonova teorema. Još posebniji slučaj je kada . Zatim dolazimo do Bernoullijeve teoreme, jedne od prvih formulacija zakona velikih brojeva:

Hajde da se zadržimo na ovom najjednostavnijem obliku zakona. Teorema (19.8) pokazuje da sa povećanjem broja pokušaja N, relativna učestalost događaja A, tj., empirijska vrijednost konvergira po vjerovatnoći sa - vjerovatnoćom događaja A. Da to nije tako, onda bi biti besmisleno mjeriti vjerovatnoću koristeći relativnu frekvenciju. Ali čim je to tako, onda će frekvencijska metoda mjerenja vjerovatnoća i (prema relativnoj učestalosti pojave događaja A u nizu N pokušaja) i P (po relativnoj učestalosti pojave događaja u tim M serije ispitivanja) može se uzeti kao dodatak matematičkoj teoriji, jer joj nije u suprotnosti. Nakon toga, već je moguće i pitati i iskustveno testirati da li rezultirajuća fizička teorija odražava stvarne statističke pravilnosti.

Zanimljivo, za ispunjenje teoreme (19.8) za bilo koje vrijednosti od , tj. za konvergenciju u vjerovatnoći

dovoljno je zahtijevati da se ova konvergencija odvija samo za (relativna učestalost malo vjerovatnih događaja mora biti mala).

Sada pišemo Čebiševljevu teoremu za slučaj kada su svi a. Onda

i teorema postaje

što je osnova pravila aritmetičke sredine u mjerenjima. Pojedinci mogu jako odstupiti od a, ali sa vjerovatnoćom imamo a pri To se dešava zato što se pri izračunavanju prosječne vrijednosti kompenzuju slučajna odstupanja pojedinačnih pojmova i u velikoj većini slučajeva odstupanje se ispostavlja vrlo malim.

Odstupanja od a mogu biti slučajne greške mjerenja. Ali ako sama tačnost očitavanja tokom merenja nije manja, tj. postoji sistematska greška povezana sa vrednošću podele skale, onda tačnost nije manja ni za jedno N, pa je besmisleno pozivati se na zakon velikih brojeva, nastojati da dobijete vrijednost i u ovom slučaju i sa greškom manjom nego zbog Prilično rašireno zabluda da vam aritmetička sredina omogućava da nadmašite preciznost mjerenja ograničenu odozdo i dobijete, recimo, pomoću štitnog ampermetra očitavanje jačina struje sa tačnošću od mikroampera.

Moguća je i druga situacija: sama mjerna veličina može biti slučajna (struja šuma, itd.). Tada možemo biti sigurni da na , tj. aritmetička sredina teži matematičkom očekivanju slučajne varijable.

Uslov međusobne nezavisnosti rezultata merenja slučajne varijable zahteva, uopšteno govoreći, da se ona meri u dovoljno velikim vremenskim intervalima. Međutim, za valjanost zakona velikih brojeva, ovaj uslov nezavisnosti sam po sebi nije neophodan, jer nejednakost Čebiševa zahtijeva samo za . Nećemo se zadržavati na opštijim teoremama i na nužnim i dovoljnim uslovima pod kojima zakon velikih brojeva važi za aritmetičku sredinu, budući da se ti uslovi tiču same količine i stoga su manje interesantni u praksi od užih uslova, ali se odnose na pojedinačni uslovi

Godine 1909. E. Borel (tada - u opštijem obliku - F. P. Cantelli, zatim A. N. Kolmogorov) dokazao je jaču izjavu od zakona velikih brojeva. Prema Bernoullijevoj teoremi

Prema Borelu (jaki zakon velikih brojeva)

tj. sa sigurnošću, ili, kako kažu, "skoro vjerovatno", relativna frekvencija ima vjerovatnoću kao svoju granicu. Ovo je još jača osnova za mjerenje vjerovatnoće relativnom frekvencijom.

Na osnovu (19.9) može se uvesti još jedan tip probabilističke konvergencije - konvergencija u smislu jakog zakona velikih brojeva, koja se još naziva i konvergencija sa verovatnoćom ili skoro sigurnom konvergencijom:

(19.10)

Ukratko, ovo se može napisati kao

Ponekad, u vezi sa definicijom (19.10), dolazi do zabune oko činjenice da ona sadrži uobičajeno ograničenje niza slučajnih varijabli. Stiče se utisak da se ovde čini da odstupamo od gornje tvrdnje da konvergencija slučajnih varijabli može imati samo verovatnoća značenja. Ali upravo je to ono što je u pitanju u ovom slučaju. Među različitim realizacijama niza, postoje i moguće realizacije koje konvergiraju u a u uobičajenom smislu. Može se pokazati da skup takvih realizacija ima određenu vjerovatnoću P. Konvergencija gotovo sigurno znači da je ova vjerovatnoća, tj. vjerovatnoća slučajnog događaja, jednaka jedan. Drugim riječima, realizacije koje konvergiraju u a u uobičajenom smislu "gotovo iscrpljuju" skup svih mogućih realizacija niza. Dakle, u (19.10) ne idemo nikuda od probabilističke definicije konvergencije, iako sada ne mislimo na granica vjerovatnoće (kao kod konvergencije u vjerovatnoći), i granica vjerovatnoće.

Predstavljamo dva uslova za konvergenciju na gotovo sigurno. Jedna od njih je neophodna i dovoljna

Međutim, ovaj uslov se nikada ne može provjeriti u praksi. Drugi, jači dovoljan uslov je to

da za bilo koji niz mora konvergirati

Drugi dovoljni uslovi i, općenito, detaljna matematička rasprava o pitanjima koja se odnose na probabilističku konvergenciju mogu se naći u knjigama (Poglavlje 3) i (Poglavlje 1).

Konvergencija u srednjem kvadratu povlači (zbog Čebiševljeve nejednakosti) konvergenciju u vjerovatnoći, i ako su sve gotovo sigurno ravnomjerno ograničene u apsolutnoj vrijednosti, onda, obrnuto, konvergencija u vjerovatnoći implicira konvergenciju u srednjem kvadratu. Konvergencija gotovo sigurno povlači i konvergenciju u vjerovatnoći, ali ne i konvergenciju u srednjem kvadratu; u isto vrijeme, srednja kvadratna konvergencija gotovo sigurno ne implicira konvergenciju.

teorija vjerovatnoće teorema konvergencije

Granične teoreme teorije vjerovatnoće

Konvergencija nizova slučajnih varijabli i distribucije vjerovatnoće

1.1.1.1 Konvergencija slučajnih varijabli

Neka postoji prostor vjerovatnoće sa sistemom slučajnih varijabli i slučajnom promjenljivom datom u njemu. U teoriji vjerovatnoće razmatraju se sljedeće vrste konvergencije nizova slučajnih varijabli.

Niz slučajnih varijabli konvergira po vjerovatnoći u slučajnu varijablu ako postoji

Ova vrsta konvergencije se označava kao:, ili.

Niz slučajnih varijabli konvergira u slučajnu varijablu s vjerovatnoćom 1 (ili gotovo sigurno) ako

to jest, ako je za sve osim, možda, iz nekog skupa nulte vjerovatnoće (). Konvergencija sa vjerovatnoćom 1 će biti označena na sljedeći način: , ili. Konvergencija sa vjerovatnoćom 1 je konvergencija skoro svuda u odnosu na mjeru vjerovatnoće.

Imajte na umu da je konvergencija događaj iz -algebre, koji se može predstaviti kao

Hajde da formulišemo neke teoreme koje uspostavljaju kriterijume za gotovo sigurnu konvergenciju.

Teorema 1.1. ako i samo ako za bilo koje

ili, što je isto,

Teorema 1.2. Ako je red

konvergira za bilo koji

Može se pokazati da konvergencija povlači konvergenciju (ovo slijedi iz (1.1)).Obrnuta tvrdnja općenito nije tačna, ali vrijedi sljedeća teorema.

Teorema 1.3. Ako, onda postoji podniz takav da za .

Veza između konvergencije i konvergencije uspostavljena je sljedećim teoremama.

Teorema 1.4. (Levy o monotonoj konvergenciji) Neka postoji monoton niz nenegativnih slučajnih varijabli: koji imaju konačna matematička očekivanja ograničena istom vrijednošću: . Tada niz konvergira sa vjerovatnoćom 1 na neku slučajnu varijablu c, i

Teorema 1.5. (Lebesgue o dominiranoj konvergenciji) Neka i budu veličine, gdje je nenegativna slučajna varijabla s konačnim matematičkim očekivanjem. Tada slučajna varijabla također ima konačno matematičko očekivanje i

Niz slučajnih varijabli konvergira u slučajnu varijablu prosječnog reda ako

Takvu konvergenciju ćemo označiti. Kada govore o konvergenciji u srednjem kvadratu i označavaju. Na osnovu generalizovane Čebiševe nejednakosti, konvergencija implicira konvergenciju. Iz konvergencije u vjerovatnoći, a još više iz konvergencije gotovo sigurno, ne slijedi konvergencija reda. Dakle, konvergencija u vjerovatnoći je najslabija konvergencija od tri koje smo razmatrali.

Za sekvencu se kaže da je fundamentalna po vjerovatnoći (skoro vjerovatno, prosječnog reda) ako postoji

Teorema 1.6. (Cauchyjev kriterij konvergencije) Da bi niz bio fundamentalan u odgovarajućem smislu (vjerovatno, gotovo sigurno, u prosjeku reda) on je neophodan i dovoljan.

1.1.1.2 Slaba konvergencija distribucija

Kaže se da distribucija vjerojatnosti slučajnih varijabli slabo konvergira distribuciji slučajne varijable ako za bilo koju kontinuiranu ograničenu funkciju

Slaba konvergencija će se označiti na sljedeći način: . Imajte na umu da konvergencija implicira konvergenciju. Obratno nije tačno, ali za slabu konvergenciju implicira konvergenciju u vjerovatnoći.

Uslov (1.2) se može prepisati korištenjem Lebesgueovog integrala nad mjerom na sljedeći način

Za slučajne varijable sa gustinom vjerovatnoće, slaba konvergencija znači konvergenciju za bilo koju ograničenu funkciju

Ako govorimo o funkcijama distribucije i odgovarajućim i, onda slaba konvergencija to znači

transkript

1 S.Ya. Shatskikh predavanja o teoriji vjerojatnosti Tipovi konvergencije nizova slučajnih varijabli Nacrt konvergencije u vjerovatnoći. Pretpostavićemo da su sve slučajne varijable koje nas zanimaju definisane na istom prostoru verovatnoće Ω, A, ). Prisjetimo se definicije konvergencije slučajnih varijabli u vjerovatnoći, koju smo upoznali proučavajući zakon velikih brojeva u obliku P.L. Chebyshev. Definicija 1. Kaže se da niz slučajnih varijabli X n (ω)) konvergira slučajnoj varijabli X(ω) po vjerovatnoći ako je za bilo koje ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, n. Oznaka: X n (ω) X(ω). Konvergencija u vjerovatnoći je potpuni analog konvergencije u mjeri, koja se razmatra u kursevima funkcionalne analize i "Lebesgueovog integrala". Teorema. Ako je za n X n (ω) X(ω), X n (ω) Y (ω), onda je ω : X(ω) = Y (ω)) = 1 (jedinstvenost granice je gotovo sigurna). Teorema. Ako za n X n (ω) X(ω), Y n (ω) Y (ω), onda 1 ax n (ω) + b Y n (ω) 2 X n (ω) Y n (ω) ax( ω) + b Y (ω) 3 X n (ω) X(ω) Y (ω), X(ω). (a, b const), Teorema. Za slučajne varijable X(ω), Y (ω) funkcionalna ) X(ω) Y (ω) d(x(ω), Y (ω)) = M 1 + X(ω) Y (ω) 1

2 definiše metriku u prostoru slučajnih varijabli 1. Konvergencija u ovoj metrici je ekvivalentna konvergenciji u vjerovatnoći. Dokaz. Prvo ćemo dokazati ekvivalentnost konvergencija. Razmislite o povećanju na polupravi; A = B() je Borelova σ algebra intervala; Lebesgueova mjera. Postavimo [ k 1 Xn(ω) k:= 1 A k n (ω), gdje je A k n = n, k ], k = 1, n. n Razmotrimo niz slučajnih varijabli X 1 1(ω), X 1 2(ω), X 2 2(ω), X 1 3(ω), X 2 3(ω), X 3 3(ω),. .. (6) Jasno je da je za bilo koji ω konstruisani niz unija beskonačnih nizova nula i jedinica. Stoga, u bilo kojoj tački ω ovaj niz nema ograničenja i njegov skup konvergencije je prazan. S druge strane, za bilo koje ε (0, 1) ω : Xn(ω) k > ε) = 1, k = 1, n, n, stoga niz (6) konvergira po vjerovatnoći (identično) nuli. Iako gotovo sigurna konvergencija ne proizlazi iz konvergencije u vjerovatnoći, sljedeća teorema ipak vrijedi. Teorema 4 (F. Riess). Ako za n X n (ω) X(ω), onda postoji podniz n k ) takav da za k X nk (ω) a.s. X(ω). 7

8 Dokaz 3. Prvo, konstruišemo traženi podniz n k ). Postavimo n 0 = 1 i onda, za k N, indukcijom n k definiramo kao najmanji prirodni broj za koji vrijede sljedeće nejednakosti: n k > n k 1, ω : X nk (ω) X(ω) 1 )< 1 k 2 k Такое число существует в силу сходимости по вероятности ω : X n (ω) X(ω) 1 } 0, (n). k Теперь установим сходимость X nk (ω) п.н. X(ω), (k). Ввиду соотношения (9) (см. доказательство теоремы 2) } ω : sup X nk (ω) X(ω) >ε k m = k=m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). Prema tome ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m ω : X nk (ω) X(ω) > ε ). k=m () Za bilo koje ε > 0, postoji prirodno M ε takvo da je prema tome, za m > M ε 1 m< ε. m >M ε po izboru n k ω : X nk (ω) X(ω) > ε ) k=m k=m ω : X nk (ω) X(ω) > 1 k ) k=m 1 2 k. Dakle, uzimajući u obzir (), imat ćemo ) ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε k m k=m 1 2 k. Prelazeći do granice u ovoj nejednakosti za m, s obzirom na konačnost zbira geometrijske progresije, dobijamo ) lim ω : sup X nk (ω) X(ω) > ε = 0. m k m 2). 3 Ova teorema se razmatra u toku funkcionalne analize. osam

9 Pitanje metrizacije konvergencije je gotovo sigurno. Razmotrimo pitanje metrizacije gotovo sigurne konvergencije. Kao što ćemo vidjeti, općenito govoreći, odgovor na ovo pitanje je negativan: za razliku od konvergencije u vjerovatnoći, konvergencija je gotovo sigurno nemetrizovana. Međutim, ovdje se moraju dati neke primjedbe. Postoje primjeri prostora vjerovatnoće za koje je konvergencija u vjerovatnoći ekvivalentna gotovo sigurnoj konvergenciji. U takvim prostorima, svaki niz slučajnih varijabli koji konvergira po vjerovatnoći nužno je gotovo sigurno konvergentan. U takvoj situaciji, konvergencija je gotovo sigurno metrizovana zbog metrizabilnosti konvergencije u vjerovatnoći (vidite teoremu?). Međutim, u suprotnom, kao što pokazuje sljedeća teorema, metrizacija konvergencije je gotovo sigurno nemoguća. Teorema 5. Ako se u skupu slučajnih varijabli definiranih na određenom prostoru vjerovatnoće koncepti konvergencije sa vjerovatnoćom jedan i konvergencije u vjerovatnoći ne poklapaju, tada za takav skup slučajnih varijabli ne postoji metrika čija je konvergencija ekvivalentna gotovo sigurnoj konvergencija. Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. u skupu slučajnih varijabli postoji metrika ρ (,) koja odgovara gotovo sigurnoj konvergenciji: za n X n (ω) a.s. X(ω) ρ (X n (ω), X(ω)) 0. Razmotrimo niz slučajnih varijabli X n (ω)), koji konvergira na slučajnu varijablu X(ω) po vjerovatnoći, ali ne gotovo sigurno na s jedne strane, za neki δ > 0 postoji podniz n k ) za sve članove čija je nejednakost ρ (X nk (ω), X(ω)) > δ. () S druge strane, konvergencija u vjerovatnoći ostaje: X nk (ω) X(ω), za k. Međutim, na osnovu teoreme 4, možemo tvrditi da podniz n k ) ima "podniz" n km ) za koji, za m Dakle, X nkm (ω) a.s. X(ω). lim m ρ (X nkm (ω), X(ω)) = 0, što je u suprotnosti (). Teorema je dokazana. Sada dajemo primjere prostora vjerovatnoće za koje je konvergencija u vjerovatnoći ekvivalentna gotovo sigurnoj konvergenciji. Prvo, podsetimo se definicije prostora atomske verovatnoće 5 (vidi Enciklopedija TV i MS, urednik Yu.V. Prokhorov, Neveu J. "MOTV"). 4 Primjer takvog niza je razmotren gore. 5 Grubo govoreći, atomski prostor vjerovatnoće se sastoji od konačnog ili prebrojivog skupa tačaka, od kojih svaka ima pozitivnu vjerovatnoću. Primjer konačnog atomskog prostora je Bernoullijeva shema. 9

10 Definicija. Prostor vjerovatnoće Ω, A, ) naziva se atomskim ako postoji konačna ili prebrojiva podjela Ω na atome A i A: 1 Ω = A i, A i A j =, (i j), skup indeksa I je konačan ili brojivi. i I 2 A i ) > 0, za bilo koji i I; 3 za bilo koji B A svaki atom A i ima jedno od dva svojstva ili B A i ) = 0, ili B A i ) = A i ); ) 4 A i = A i ) = 1. i I i I Teorema 6. Za atomski prostor vjerovatnoće, konvergencija sa vjerovatnoćom jedan je ekvivalentna konvergenciji u vjerovatnoći. Dokaz. Na atomskom prostoru vjerovatnoće, konvergencija u vjerovatnoći podrazumijeva konvergenciju na svakom atomu. Zaista, ako je za svako ε > 0, za n ω : X n (ω) X(ω) ε) 0, onda za bilo koji i I Dakle, skup konvergencije ω A i: X n (ω) X(ω) ε ) 0 ω : X n (ω) X(ω)) sadrži sve atome i stoga je njegova vjerovatnoća jedna. Dakle, koristeći teoremu 3, dobijamo dokaz naše teoreme. Komentar. Obrnuta tvrdnja 6 je takođe tačna: ako se u nekom prostoru verovatnoće koncepti konvergencije sa verovatnoćom jedan i konvergencije u verovatnoći poklapaju, onda je takav prostor verovatnoće atomski (vidi Neveu "MOTV str. 37; Prokhorov A.V., Ushakov V.G., Ushakov N.G. „Zbirka zadataka na TV problem 5.25, str. 107.). Prosječna konvergencija Definicija 4. Kaže se da niz slučajnih varijabli X n (ω)) konvergira u prosjeku reda p > 0 na slučajnu varijablu X(ω) ako je za n M X n (ω) X(ω) p ) 0 Jer p = 2 govori o srednjoj kvadratnoj konvergenciji. Naravno, govoreći o prosječnoj konvergenciji reda p, pretpostavljamo konačnost matematičkih očekivanja M X n (ω) p )<, M X(ω) p } <. В следующей теореме мы установим, что сходимость по вероятности является необходимым условием сходимости в среднем порядка p >0.6 Za naš osnovni kurs teorije vjerovatnoće, dokaz ove tvrdnje je previše tehnički. deset

11 Teorema. Ako je za neki p > 0 za n M X n (ω) X(ω) p ) 0. onda je X n (ω) X(ω). Dokaz. Čebišev I imajte na umu da je dovoljno prijeći do granice na n u P.L. X n (ω) X(ω) p > ε)< M X n(ω) X(ω) p } ε 2. X n (ω) X(ω) p >ε) = X n (ω) X(ω) > ε 1/p). Sljedeći jednostavan primjer pokazuje da konvergencija u vjerovatnoći ne može biti dovoljan uslov za prosječnu konvergenciju. Primjer. Pretpostavljamo da je Ω = , A = B(), ) = λ ) Lebesgueova mjera na intervalu . Tada za bilo koje ε > 0, međutim, za p 1 X(ω) 1, X n (ω), = n kada je ω [ 0, 1/n ], 1, kada je ω (1/n, 1 ]. X n (ω) X(ω) > ε) = λ[ 0, 1/n ]) = 1/n 0, n. M X n (ω) X(ω) p ) = n p 1 n = np 1 1 za sve n N. Odsustvo konvergencije u prosjeku u ovom primjeru je zbog "oblast koja ide u beskonačnost". U sledećoj teoremi važnu ulogu igra uslov uniformne ograničenosti integrabilnih slučajnih varijabli, koji sprečava takvo „izlazak“. Teorema. Ako za niz slučajnih varijabli X n (ω)) postoji realan broj 0< C < + такое, что ω : X n (ω) C} = 1, для любого n N, и при n имеет место сходимость по вероятности X n (ω) X(ω), то M X(ω) } C и lim M X n (ω) X(ω) } = 0. Доказательство. Вначале покажем, что из условия равномерной ограниченности случайных величин X n (ω)} с вероятностью единица следует ограниченность предельной случайной величины с вероятностью единица: ω : X(ω) C} = 1. 11

12 Zaista, konvergencija u vjerovatnoći podrazumijeva konvergenciju a.s. za neki podniz Dakle, prema svojstvima granica, ako je Dakle, i ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1, za m. ω ω : X n(m) (ω) X(ω)), zatim X(ω) C. ω : X n(m) (ω) X(ω)) ω : X(ω) C) ω : X (ω) C) = 1. Dakle, dobijamo postojanje i ograničenost matematičkog očekivanja slučajne varijable X(ω) M X(ω) ) C. Sada je lako provjeriti valjanost nejednakosti ω : X n (ω) X(ω) 2C) = 1. Nadalje, prema svojstvima matematičkih očekivanja, MX n (ω)) MX(ω)) M X n (ω) X(ω) ) X n (ω) X(ω ) d + X n (ω) X(ω) d ω : X n(ω) X(ω) ε) ω: X n(ω) X(ω) > ε) ε + 2C ω : X n (ω) X(ω) > ε). Prelazeći na granicu kao n, s obzirom na proizvoljnost ε, dobijamo dokaz naše teoreme. U sljedećoj teoremi, umjesto uvjeta da je jednolično ograničen konstantom, razmatrat će se slabiji uvjet da je ravnomjerno ograničen (nenegativnom) integrabilnom slučajnom varijablom. Lebesgueova teorema o dominantnoj konvergenciji. Ako za niz slučajnih varijabli X n (ω)) postoje slučajne varijable X(ω) i Y (ω) takve da je 1 X n (ω) X(ω), n, onda za n 2 za sve n X n ( ω) Y (ω), - gotovo sigurno, 3 MY (ω))<, M X(ω) } MY (ω)} < M X n (ω) X(ω) } 0. 12

13 Dokaz 7. Prvo, uspostavljamo nejednakosti X(ω) Y (ω), - gotovo sigurno. Konvergencija niza slučajnih varijabli po vjerovatnoći implicira konvergenciju gotovo sigurno za neki podniz: X n(m) (ω) a.s. X(ω), m. Drugim riječima, vjerovatnoća skupa konvergencije jednaka je jedinici ω : X n(m) (ω) X(ω)) = 1. Dakle, prelazak na granicu (m) u nejednakosti X n(m) ( ω) Y (ω), za bilo koje ω ω : X n(m) (ω) X(ω)) Iz ovoga dobijamo postojanje MX(ω)) i procjenu (gotovo sigurno). M X(ω) ) MY (ω)). Dakle, i Procijenite količinu = X n (ω) X(ω) 2Y (ω), (skoro vjerovatno) M X n (ω) X(ω) ) 2MY (ω)). M X n (ω) X(ω) ) = X n (ω) X(ω) d + X n (ω) X(ω) d ω: X n(ω) X(ω) ε) ε + 2 ω: X n(ω) X(ω) > ε) Y (ω) d. () ω: X n(ω) X(ω) > ε) Prema uslovu 1 teoreme (konvergencija u vjerovatnoći), za bilo koje ε > 0 ω : X n (ω) X(ω) > ε) 0, ( n) . Stoga, koristeći lemu o integralu nad skupom male vjerovatnoće, možemo tvrditi da je lim Y (ω) d = 0. ω: X n(ω) X(ω) > ε) konvergencija se odnosi na jedino mjesto u Lebesgueovom teorija integracije u kojoj naivne formalnosti mogu dovesti do pogrešnog rezultata." Vidi Feller, v.2, str.

14 Prelaskom do granice u nejednakosti () imat ćemo 0 lim M X n (ω) X(ω) ) ε. Dakle, s obzirom na proizvoljnost ε > 0, dobijamo dokaz teoreme. Komentar. Dokaz ove teoreme detaljno je opisan u predmetu "Lebesgueov integral". Malo drugačija verzija dokaza može se naći u knjizi [Širjajev „Vjerovatnoća“]. Izložimo bez dokaza još dva klasična rezultata (realne analize), koji se često koriste u analizi prosječne konvergencije. Teorema o monotonoj konvergenciji. Ako neopadajući niz nenegativnih slučajnih varijabli X n (ω)) X n (ω) X n+1 (ω), n = 1, konvergira gotovo sigurno na slučajnu varijablu X(ω), tada za n MX n (ω)) MX (ω)). Komentar. Ako je matematičko očekivanje MX(ω)) konačno, tada su (zbog monotonosti) matematička očekivanja svih slučajnih varijabli MX n (ω) konačna. Imamo konvergenciju monotonog niza na konačnu granicu MX n (ω)) MX(ω)). Ako je matematičko očekivanje MX(ω)) beskonačno, onda, uz pretpostavku konačnih matematičkih očekivanja slučajnih varijabli MX n (ω)), dobijamo konvergenciju monotonog niza na beskonačnu granicu MX n (ω)) +. Lemma Fatou. Bilo koji niz nenegativnih slučajnih varijabli X n (ω)) zadovoljava nejednakost lim MX n (ω)) Mlim X n (ω)). Komentar. Tvrdnja Fatouove leme pokazuje da je nejednakost 2 = lim MX n (ω)) M lim X n (ω)) = 1, koja se dogodila u gore razmatranom primeru, manifestacija opšte pravilnosti. Zadatak. Ako je za n M X n (ω) X(ω) p ) 0, onda je M X n (ω) p ) M X(ω) p ). Rješenje. Koristeći nejednakost G. Minkowskog, možemo napisati (M X n (ω) p )) 1/p = (M X n (ω) X(ω) + X(ω) p )) 1/p 14

15 (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p + (M X(ω) p )) 1/p. Prelazeći na gornju granicu, za n dobijamo lim (M X n (ω) p )) 1/p (M X(ω) p )) 1/p. Dakle, koristeći kontinuitet i monotonost funkcije stepena, imamo lim M X n (ω) p ) M X(ω) p ). () S druge strane, argumentirajući slično, iz nejednakosti (M X(ω) p )) 1/p (M X(ω) X n (ω) p )) 1/p + (M X n (ω) p )) 1/ str. dobijamo M X(ω) p ) lim M X n (ω) p ). Kombinujući zajedno nejednačine () i (), dobijamo rešenje našeg problema. Teorema. Ako je na n (). M X n (ω) X(ω) p ) 0, tada za bilo koje q (0, p) M X n (ω) X(ω) q ) 0. Dokaz. Dovoljno je prijeći do granice na n u prijepodne. Ljapunov (vidi [Shiryaev A.N. Vjerovatnoća.]) (M X n (ω) X(ω) q )) 1/q (M X n (ω) X(ω) p )) 1/p, na 0< q p. При p = 2 и q = 1 доказательство теоремы можно получить с помощью следующего варианта неравенства Коши-Буняковского M X n (ω) X(ω) } = M X n (ω) X(ω) 1} (M X n (ω) X(ω) 2}) 1/2 (M 1 2 }) 1/2 = (M Xn (ω) X(ω) 2}) 1/2. Пространство L p Ω, A, } Рассмотрим пространство L p Ω, A, } - т.е. множество всех случайных величин X(ω), определенных на Ω, измеримых относительно σ алгебры A и таких, что M X n (ω) p } = X n (ω) p d <. Ω Это пространство вполне аналогично известному из курса функционального анализа линейному пространству L p [ 0,1], которое состоит из всех функций y = f(x) определенных на отрезке [ 0, 1], измеримых по Лебегу и интегрируемых с показателем p по мере Лебега 1 0 f(x) p dx <. 15

16 Bez davanja detaljnih dokaza, formulišemo nekoliko iskaza vezanih za prostor L p Ω, A, ), koji su slični odgovarajućim iskazima o prostoru L p . Funkcional X(ω) p:= (M X(ω) p )) 1/p definira normu u prostoru slučajnih varijabli 8 L p Ω, A, ) : 1 X(ω) p 0, 2 c X( ω) p = c X(ω) p, c = const, 3 X(ω) + Y (ω) p X(ω) p + Y (ω) p, (nejednakost Minkovskog). Primetimo da linearnost skupa L p Ω, A, ) neposredno sledi iz svojstava norme. Štaviše, s obzirom na konvergenciju u normi 9 X n (ω) X(ω) p 0, prostor L p Ω, A, ) je potpun. U našem slučaju, definicija potpunosti je sljedeća: ako je niz slučajnih varijabli fundamentalan u normi X n (ω)) L p Ω, A, ) X n (ω) X m (ω) p 0, za n, m, onda postoji slučajna varijabla X (ω) L p Ω, A, ) takva da je X n (ω) X(ω) p 0, za n. Dakle, L p Ω, A, ) je potpuni linearni normirani prostor, tj. Banahov prostor. Za p = 2, prostor L 2 Ω, A, ) je Hilbertov prostor sa skalarnim proizvodom 10: X(ω), Y (ω) := MX n (ω)y (ω)) = X n (ω) y (ω) d. Za ovako uveden skalarni proizvod slučajnih varijabli realne vrijednosti vrijedi nejednakost G. Minkowskog X(ω), Y (ω) X(ω) 2 + Y (ω) 2. vrijednosti koje se skoro sigurno poklapaju, jer po definiciji norme X(ω) p = 0 X(ω) 0. 9 Tj. konvergencija u prosjeku sa p. 10 Radimo sa slučajnim varijablama realne vrijednosti, tako da se znak kompleksne konjugacije nad drugim faktorom može izostaviti. Ω 16

17 Uvedemo notaciju za funkcije distribucije slučajnih varijabli X n (ω) i X(ω) : Osim toga, preko C F F (x) : F n (x) = ω : X n (ω) x), F (x) = ω : X(ω)x). označavamo skup tačaka kontinuiteta funkcije C F:= x R: lim x x F (x) = F (x)). Definicija 4. Kaže se da niz slučajnih varijabli X n (ω)) konvergira u distribuciji na slučajnu varijablu X(ω) ako je za n F n (x) F (x) u svakoj tački x C F. (11) d Oznaka: X n (ω) X(ω). Definicija 5. Ako za n F n (x) F (x), u svakoj tački x C F, (12) onda kažemo da niz funkcija distribucije F n (x)) slabo konvergira 11 funkciji distribucije F (x ). w Oznaka: F n (x) F (x). Komentar. Ako je funkcija distribucije F (x) kontinuirana na cijeloj realnoj osi (CF = (,)), tada su relacije (11) i (12) konvergencija po tačkama. Štaviše, može se pokazati 12 da je u ovom slučaju konvergencija F n (x) F (x) uniformna na cijeloj realnoj osi. w Napomena. Ako je F n (x) F (x), onda za x / C F nejednakosti 13 F (x) lim F n (x)< lim F n (x) F (x). Пример. Рассмотрим последовательность функций распределения 0, когда x (, 1/n); n F n (x) = x + 1, когда x [ 1/n, 1/n]; 2 2 1, когда x (1/n,), графики которых имеют вид F n (x) 1 1/2 1/n 0 1/n 11 Иногда слабую сходимость называют "сходимостью в основном". 12 См. задачу См. задачу 5. x 17

18 Lako je vidjeti da za bilo koje x (,) lim F n(x) = F (x) = Grafikon funkcije F (x) ima oblik F (x) 0 kada je x (, 0); 1/2 kada je x = 0; 1 kada je x(0,). 1 1/2 0 Budući da granična funkcija F (x) nije desno kontinuirana, ne može biti funkcija distribucije. Ali pošto se definicija 5 slabe konvergencije bavi konvergencijom prema funkcijama distribucije, u ovom primjeru ne možemo tvrditi da je F n (x) F (x). Međutim, nakon male promjene granične funkcije F (x), može se dobiti funkcija raspodjele F (x), kojoj će funkcije F n (x) slabo konvergirati. Zaista, razmotrite funkciju distribucije slučajne varijable X(ω) 0: 0 kada je x (, 0); F(x) = 1 kada je x; A = B() je Borelova σ algebra intervala; Lebesgueova mjera. Označimo sa Φ 1 () funkciju inverznu standardnoj Gausovoj raspodjeli Neka je Φ(x) = 1 2π x exp) (u2 du. 2 X 2k (ω) = Φ 1 (ω), X 2k 1 (ω) = Φ 1 (ω), ω ;k = 1, 2,.... ω : X n (ω) x) Φ(x), za sve pozitivne cijele brojeve n. Prema tome, niz X n ) (trivijalno) konvergira u distribuciji. Međutim, lako je vidjeti da ne postoji konvergencija u vjerovatnoći. Zaista, pošto X 2k (ω) X 2m 1 (ω) 2 Φ 1 (ω), za bilo koje k, m. onda ω : X 2k (ω) X 2m 1 (ω) > ε) ω : Φ 1 (ω) > ε ) [ (ε = 2 1 Φ. 2 2)] Sada razmotrimo izjavu, koja je zapravo druga verzija definicije slaba konvergencija. Ova varijanta je prikladnija za određivanje slabe konvergencije multivarijantnih funkcija distribucije, pa čak i za određivanje 20

21 slaba konvergencija distribucija na složenijim beskonačno-dimenzionalnim metričkim prostorima. Teorema 6. Da bi niz funkcija distribucije F n (x)) slabo konvergirao funkciji distribucije F (x), potrebno je i dovoljno da jednakost lim ϕ(x) df n (x) = ϕ(x) df (x) (15) za bilo koju kontinuiranu i ograničenu funkciju ϕ(x) na realnoj osi R. Dokaz. Pokažimo prvo da slaba konvergencija (12) implicira jednakost 14 (15). Za bilo koje ε > 0, postoji pozitivan A(ε) C F takav da je, prema svojstvima funkcije distribucije 15 x: x > A(ε)) df (x) = 1 A(ε) A(ε ) df (x) = 1< ε, (16) и, кроме того, найдется натуральное N(ε, A(ε)) такое, что при всех n >N(ε, A(ε)) F n (A(ε)) F (A(ε))< ε, F n (A(ε)) F (A(ε)) < ε. Тогда при всех n >N(ε, A(ε)) x: x > A(ε)) df n (x)< 3ε. (17) Пусть ϕ(x) - непрерывная и ограниченная на вещественной оси R функция. Будем считать, что для всех действительных x ϕ(x) C = const. В силу существования интеграла Римана - Стилтьеса от непрерывной функции по интегрирующей функции распределения, а также из определения этого интеграла как предела интегральных сумм 16 следует, что для любого ε >0, postoji δ > 0 tako da za bilo koju particiju segmenta [ A(ε), A(ε)] čiji je prečnik manji od δ > 0, nejednakosti A(ε) A(ε) ϕ(x) df (x) S n (δ)< ε, A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) S(δ) < ε. (18) где k 1 k 1 S n (δ) = ϕ(t i) i F n (x), S(δ) = ϕ(t i) i F (x). i=0 i=0 14 Импликация (12) = (15) носит название теоремы Хелли-Брея. 15 Множество точек непрерывности функции распределения всюду плотно на вещественной оси. 16 см. Рудин У. "Основы математического анализа стр

22 Uzmite particiju segmenta [ A(ε), A(ε)] [ A(ε), A(ε)] = A(ε) = x 0< x 1 <... < x k = A(ε)}, считая что все точки деления x i C F, а диаметр разбиения меньше δ. Кроме того, для ε >0 za odabrani k (broj particionih tačaka), smatraćemo prethodno odabrani broj N(ε, A(ε)) toliko velikim da za sve n > N(ε, A(ε)) F n (x i) F (x i)< ε, i = 0, k. k Тогда Поэтому i F n (x i) i F (x i) = F n (x i+1) F n (x i) F (x i+1) + F (x i) F n (x i+1) F (x i+1) + F n (x i) F (x i) < 2 ε, i = 0, k. k S n (δ) S(δ) k 1 ϕ(t i) i F n (x i) i F (x i) C k 2 ε k i=0 = 2 Cε. (19) Тогда из неравенств (18) и (19) получим A(ε) ϕ(x) df (x) A(ε) A(ε) A(ε) ϕ(x) df n (x) < 2 ε + 2 C ε. (20) В свою очередь из неравенства (16) и (17) будем иметь ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x) x: x >A(ε)) x: x > A(ε))< 4 C ε. (21) Собирая вместе неравенства (20) и (21), можно утверждать, что для любого ε >0, postoji prirodan broj N(ε, A(ε)) takav da je za sve n > N(ε, A(ε)) nejednakost ϕ(x) df (x) ϕ(x) df n (x)< 6 C ε + 2 ε. Равенство (15) доказано. Покажем теперь, что из равенства (15) следует слабая сходимость (12). Возьмем x 0 C F и рассмотрим две вспомогательные функции. Функция f ε (1) (x) непрерывна на всей числовой оси, равна единице при x x 0 ε, нулю при x x 0 и линейна на отрезке . Функция f ε (2) (x) := f ε (1) (x ε). Графики этих функций изображены на рис.? 22

23 1 0 f (1) ε f ε (2) x 0 ε x 0 x 0 + ε Sl.? x Lako je vidjeti da je F n (x 0) = x 0 f ε (2) (x) df n (x) Koristeći uvjet (15), prelazimo na granicu na n, f ε (2) (x ) df n ( x). lim F n (x 0) f (2) ε (x) df (x) = x 0 + ε f (2) ε (x) df (x) + x 0 + ε f ε (2) (x) df (x) x 0 + ε 1 df (x) + 0 = F (x 0 + ε). Raspravljajući slično, imaćemo F n (x 0) = Dakle, za n = x 0 ε x 0 1 df n (x) x 0 lim F n (x 0) f (1) ε (x) df (x) + x 0 ε x 0 x 0 ε f (1) ε (x) df n (x) = f (1) ε (x) df (x) = f ε (1) (x) df n (x). f ε (1) (x) df (x) + f ε (1) (x) df (x) x 0 1 df (x) + 0 = F (x 0 ε). Dakle, dobili smo nejednakost F (x 0 ε) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0 + ε). 23

24 Prelazak na granicu u ovoj nejednakosti na ε 0, uzimajući u obzir da je x 0 C F F (x 0) lim F n (x 0) lim F n (x 0) F (x 0). Dakle, za bilo koji x 0 C F lim F n(x 0) = F (x 0). Jednakost (12), a sa njom i teorema, dokazane su. Napomena o Riemann-Stieltjesovim i Lebesgue-Stieltjesovim integralima. Imajte na umu da Riemann-Stieltjesov integral I (, x0 ](x) df n (x) = lim N L, N L I (, x0 ](x) df n (x) ne postoji ako funkcija raspodjele F n (x) ima diskontinuitet u tački x 0. Standardni dokaz ove činjenice je sljedeći: Uzimajući u obzir Riemann-Stieltjesove sume za integral N L I (, x0 ](x) df n (x), x 0 (L, N) () , lako je dobiti jednakost S = n 1 I (, x0 ](ξ i) = I (, x0 ](ξ i0), i=0 i0, x i0 +1) Fn (x i0 +1) F n (x i0), pri izboru ξ i0< x 0, 0, при выборе ξ i0 >x 0. F n (x i0 +1) F n (x i0) > 0, onda takve integralne sume ne mogu imati granicu jer prečnik particije teži nuli. Dakle, integral () ne postoji u smislu Riemann-Stieltjes-a i, strogo govoreći, nejednakost (21) se ne može dobiti integracijom (prema Riemann-Stieltjes-u) nejednakosti (20). Ipak, nejednakost (21) se također može dobiti korištenjem Riemann-Stieltjesovog integrala. Zaista, budući da je funkcija f ε (1) (x) kontinuirana, postoji Riemann-Stieltjesov integral f ε (1) (x) df n (x), 17 Particije segmenta sa ovim svojstvom mogu imati proizvoljno mali prečnika. 24

25 i f (1) ε (x) df n (x) = Pošto je za sve x (, x 0 ] onda je x 0 f ε (1) (x) df n (x) x 0 x 0 da je f (1) ε (x) = 0 za x x 0 Slično, f (2) ε (x) df n (x) = x 0 f ε (1) (x) df n (x) + f ε ( 1) (x) df n (x).x 0 f (1) ε (x) 1, 1 df n (x) = F n (x 0) F n () = F n (x 0).f ε (1) (x) df n (x) = 0. x 0 f (2) ε (x) df n (x) + x 0 +ε Lako je vidjeti da je, prema svojstvima funkcije f ε (2) (x) x 0 Stoga f (2) ε (x) df n (x) = F n (x 0); x 0 + ε f ε (2) (x) df n (x) + x 0 f ε (2) (x ) df n (x) 0;x 0 f (2) ε (x) df n (x) F n (x 0).x 0 + ε x 0 + ε f ε (2) (x) df n (x) f (2) ε (x) df n (x) = 0. Ako integral () posmatramo kao Lebesgue-Stieltjesov integral za x 0 (L, N), onda, pošto indikator I (, x0 ]( x ) je jednostavna funkcija, prema definiciji Lebesgue-Stieltjesovog integrala imat ćemo N I (, x0 ](x) df n (x) = 1 (F n (x 0) F n (L)). , L I ( , x0 ](x) df n (x) = F n (x 0) Dajemo novu formulaciju teoreme 6. Da bismo to uradili, sa C(R) označavamo prostor kontinuiranog funkcije ograničene na realnu os. Zatim, koristeći proizvoljnu funkciju raspodjele G(x), definiramo na prostoru C(R) linearnu funkcionalnu G(ϕ) := ϕ(x) dg(x), 25 ϕ(x) C(R)

26 Koristeći novu notaciju, teorema 6 se može preformulisati na sljedeći način. w Teorema 6. Slaba konvergencija F n (x) F (x) je ekvivalentna konvergenciji linearnih funkcionala F n (ϕ) F (ϕ) na prostoru C(R). Metrizacija slabe konvergencije. Metric P. Levy. Za par proizvoljnih funkcija raspodjele F (x) i G(x) na realnoj pravoj, razmotrite funkcionalnu L(F, G) = inf h > 0: F (x h) h G(x) F (x + h ) + h), () koja se zove P. Levyjeva udaljenost između distribucija F i G. Teorema 7. Funkcional L(,) definira metriku u skupu funkcija raspodjele na realnoj liniji. Konvergencija u ovoj metrici je ekvivalentna slaboj konvergenciji w F n (x) F (x) L(F n, F) 0, (n). Dokaz. Teorema je dokazana. d Zadatak 1. Ako je X n X c = const, onda X n Rješenje. Funkcija distribucije konstante c X. F (x) = ω : X(ω) x) = 1 za x c, 0 za x< c непрерывна во всех точках вещественной оси, кроме точки x = c. Поэтому в этой задаче слабая сходимость означает следующее 1 для x >c, lim F n(x) = 0 za x< c. Для любого ε >0 ω : X n (ω) c > ε) = ω : X n (ω)< c ε} + ω : X n (ω) >c+ε). Koristeći očigledne relacije, dobijamo nejednakost ω : X n (ω)< c ε} ω : X n (ω) c ε} = F n (c ε), ω : X n (ω) >c + ε) = 1 ω : X n (ω) c + ε) = 1 F n (c + ε), ω : X n (ω) c > ε) F n (c ε) + 1 F n (c + ε). Prelazeći do granice u ovoj nejednakosti, za n dobijamo rješenje problema. d d Problem 2. Ako je X n (ω) X(ω), a Y n (ω) 0, onda je X n (ω) + Y n (ω) X(ω). 26

27 Odluka. Neka je F (x) := ω : X(ω) x). Odabirom ε > 0 tako da je x, x ε, x+ε C F lako uspostaviti inkluzije ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) ω : Y n ( ω) > ε), Tada je ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : Y n (ω) > ε). ω : X n (ω) + Y n (ω) x) ω : X n (ω) x + ε) + ω : Y n (ω) > ε), ω : X n (ω) x ε) ω : X n (ω) + Y n (ω) x) + ω : Y n (ω) > ε). Dakle, označavajući F n (x) := ω : X n (ω) x), imamo F n (x ε) ω : Y n (ω) > ε) ω : X n (ω)+y n (ω) x) F n (x+ε)+ω : Y n (ω) > ε). Prelaskom ove nejednakosti do granice na n, uzimajući u obzir da je x ε, x+ε C F, dobijamo relaciju F (x ε) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x + ε). Sada prelazimo na granicu, težeći ε 0: F (x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) lim ω : X n (ω) + Y n (ω) x) F (x ). Otuda lim ω : X n(ω) + Y n (ω) x) = F (x). Problem 3. Ako niz funkcija distribucije F n (x)) slabo konvergira funkciji distribucije F (x) koja je kontinuirana na cijeloj realnoj osi, tada je ova konvergencija uniformna na cijeloj realnoj osi: F n (x) w F (x), i F (x) C (,) F n (x) F (x) na R. Rješenje. Za proizvoljan ε > 0, uzmite prirodni broj m > 1/ε. Pošto je funkcija F (x) kontinuirana, postoje tačke x 1<... < x m 1 такие, что F (x i) = i, i = 1,..., m 1. (!) m Ввиду слабой сходимости, в этих точках для всех n, начиная с некоторого, будут выполнены неравенства F n (x i) F (x i) < ε, i = 1,..., m 1. (!!) В силу неубывания функций распределения, а также свойств (!!) и (!) получаем следующие неравенства: при x [ x i, x i+1 ], (i = 1,..., m 2) F n (x) F (x) F n (x i+1) F (x i) F (x i+1) + ε F (x i) = 1 m + ε < 2ε. Аналогично, при x (, x 1 ] F n (x) F (x) F n (x 1) F (x 1) + ε = 1 m + ε < 2ε, 27

28 i za x [ x 1, x 2 ]... [ x m 2, x m 1 ] = F (x 0) F (x 0 1/m). lim X n = x 0 ) lim = 0. m Problem 7. Ako niz funkcija distribucije F n (x)) konvergira funkciji distribucije F (x) za sve x iz nekog posvuda gustog skupa na realnoj pravoj, tada w F n ( x)F(x). Rješenje. Da bismo riješili ovaj problem, moramo dokazati da je lim F n(x) = F (x) za sve x C F. () Neka je x C F, tada za bilo koje ε > 0 postoji δ 1 (ε) > 0 tako da čim je x S(x, δ 1 (ε)) x: x x< δ 1 (ε)}, то F (x) F (x) < ε. () Рассмотрим всюду плотное на вещественной прямой множество A такое, что lim F n(x) = F (x) для всех x A. () Tогда существует пара точек x, x A таких, что x δ 1 (ε) < x < x, x < x < x + δ 1 (ε). Так как для точек x, x выполняется свойство (), то для любого ε >0, postoji N ε N tako da čim n > N ε, onda F n (x) F (x)< ε и F n (x) F (x) < ε. Следовательно, ввиду (), как только n >N ε, zatim F n (x) F (x)< 2ε и F n (x) F (x) < 2ε. 31

32 Dakle, s obzirom na monotonost funkcije F n (x), za sve n > N ε dobijamo nejednakost F n (x) F n (x) F n (x), F n (x) F ( x)< 2ε. Cходимость () доказана. Замечание. Так как множество точек разрыва функции распределения (ввиду монотонности) является не более чем счетным, то множество её точек непрерывности является всюду плотным на вещественной оси. 32

PREDAVANJE 3A (4) Teorema Radona Nikodima Ova lekcija će biti posvećena dokazu teoreme Radona Nikodima. Trebat će nam da bismo dokazali izomorfizam prostora L p (Ω) i (L q (Ω)) *, gdje je

LABORATORIJSKI RAD 5 PRELAZ NA GRANICU POD ZNAKOM LEBEGH INTEGRALA I. OSNOVNI POJMOVI I O R E M

JEDI. MATEMATIČKA ANALIZA RUDE. NUMERIČKA I FUNKCIONALNA SERIJA NOVOSIBIRSK 200 2 RUSKO MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE SEI HPE "NOVOSIBIRSKI DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET" E.M. Rudoy MATEMATIČKA ANALIZA.

Predavanje 1 TEORIJA LEBESKOVE MERE IZ R 2. 1. Potreba za proširenjem pojma integrala. Razgovarajmo prvo o konstrukciji Riemanovog integrala. Neka je funkcija f(x) definirana na svom segmentu. Hajde da definišemo particiju

5. Teorija mjere, predavanje 5: mjerljive funkcije Mjera i integralni pojmovi su vrlo bliski. Mjera skupa je integral njegove karakteristične funkcije. Obrnuto, ako je mera data na prostoru, možemo reći

Ispravna analiza. Predavanje 4. 25. februar 2009. 1 Realna analiza. IV semestar. godine 2009. Predavač Skvortsov V. A. Pišite o greškama u [email protected] Predavanje 4 25. februar 2009. Lebesgue je definisao čas

Posljednje ažurirano: 16. marta 2008. Lista definicija: 1.1 Segmenti koji se ne preklapaju ................................ ................. 2 1.2 Sistem segmenata koji se ne preklapaju ................................. .............

V.V. Žuk, A.M. Kamachkin 1 Power series. Radijus konvergencije i interval konvergencije. Priroda konvergencije. Integracija i diferencijacija. 1.1 Radijus konvergencije i interval konvergencije. Funkcionalni raspon

PREDAVANJE 4A Metrički prostori 1. Najjednostavnija (i najvažnija) svojstva metričkih prostora 1) Kontinuitet udaljenosti. Lako je vidjeti da je funkcija "udaljenosti" ρ(x, y) kontinuirana u svakom od argumenata.

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSIJE Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja „Novosibirsk National Research State

Predavanje 1 Pojam slučajnog procesa i njegove konačnodimenzionalne distribucije Teorija slučajnih procesa je dio teorije vjerovatnoće. Specifičnost teorije slučajnih procesa je u tome što ona razmatra

Lista problema sa rješenjima u funkcionalnoj analizi Neka linearni normirani prostor Dokaži da je za bilo koji element nejednakost iz aksioma norme

Predavanje 6 9 Princip kontrakcijskih preslikavanja Teoreme fiksne tačke Neka je D operator, uopšteno govoreći, nelinearan, koji deluje iz Banahovog prostora B u sebe.. Definicija Operator D, koji deluje iz Banahovog prostora

Tema 2 Kompletnost, kompaktnost, interna metrika. 2.1 Konvergencija i potpunost Definicija 2.1. Niz tačaka x 1, x 2,... metričkog prostora (X, d) naziva se fundamentalnim ako za bilo koji

PREDAVANJE A Riemann-Stieltjesov integral 1. Neka je f n (x) C[; b], g(x) BV[; b], f n (x) f(x) na [; b]. Tada Zaista, na osnovu procjene f n (x)dg(x) f(x)dg(x). F (x)dg(x) F C[;b]V b (g) (1) i svojstva linearnosti

Dopunsko predavanje 1 METRIČKI PROSTORI. DODATAK 1. Najjednostavnija svojstva metričkih prostora Svojstvo 1. Kontinuitet udaljenosti. Lako je vidjeti da je funkcija "udaljenosti" ρ(x, y) kontinuirana

G. N. Yakovlev Funkcijski prostori

Poglavlje 1. Granice i kontinuitet 1. Numerički skupovi 1 0. Realni brojevi Iz školske matematike poznajete prirodne N cijele brojeve Z racionalne Q i realne R brojeve Prirodne i cijele brojeve

Ograničenja i kontinuitet. Granica funkcije Neka je funkcija = f) definirana u nekom susjedstvu tačke = a. Istovremeno, u samoj tački a funkcija nije nužno definirana. Definicija. Broj b naziva se granica

Predavanje 1. Vjerovatnoća svemirskih svjetiljki). nasumične eksperimente. Prostor

8 Kompleksni niz brojeva Razmotrimo niz brojeva sa kompleksnim brojevima oblika k a, (46) gdje je (a k) dati niz brojeva sa kompleksnim članovima k

Lomonosov Moskovski državni univerzitet Fakultet računarske matematike i kibernetike Katedra za opšte matematičke probleme u funkcionalnoj analizi (V semestar) Predavač Vanredni profesor N. Yu.

A. Yu. Pirkovsky Funkcionalna analiza Predavanje 4 4.1. Banahovi prostori Podsjetimo da se niz (x n) u metričkom prostoru (, ρ) naziva osnovni niz (ili Cauchyjev niz),

PREDAVANJA 8 9 Teorema Hille Yosida S 3. Definicija i elementarna svojstva maksimalnih monotonskih operatora Kroz ova dva predavanja, simbol H označava Hilbertov prostor sa skalarom

V.V. Žuk, A.M. Kamačkin 5 Funkcionalne sekvence i serije. Uniformna konvergencija, mogućnost permutacije graničnih prelaza, integracija i diferencijacija nizova i nizova.

Poglavlje 28 GENERALIZOVANE FUNKCIJE 28.1. Prostori D, D osnovnih i generaliziranih funkcija Koncept generalizirane funkcije generalizira klasični koncept funkcije i omogućava da se u matematičkom obliku izrazi

21. Kompaktnost Kompaktnost je izuzetno važan tehnički koncept topologije i analize. Počnimo s definicijom. Definicija 21.1. Za topološki prostor X se kaže da je kompaktan ako ima

Federalna agencija za obrazovanje Federalna državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja JUŽNI FEDERALNI UNIVERZITET R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya Metodički

1. Definicija i osnovna svojstva Riemannovog integrala Definicija particije Particija segmenta [, b] je skup tačaka = x 1< x 2 < < x n+1 = b. Разбиение обозначают буквой P. Разбиение может быть

LABORATORIJSKI RAD 7 KOMPLETAN I KOMPAKTAN U METRIČKOM PROSTORU. OSNOVNI POJMOVI I TEOREME Definicija. Neka je X preslikavanje: X X R koje stavlja svaki par (x y) X X u

Seminar Predavanje 3 APSOLUTNO KONTINUIRANE FUNKCIJE 1. Definicije i svojstva Prisjetite se definicije date u predavanju. Definicija 1. Funkcija f(x) se naziva apsolutno kontinuiranom na intervalu [; b] ako za

Teorija mjere, predavanje 4: Lebesgueova mjera Mischa Verbitsky 14. marta 2015. NMU 1 Bulovi prstenovi (pregled) DEFINICIJA: Bulov prsten je prsten čiji su svi elementi idempotentni. NAPOMENA: U logičkom prstenu

POGLAVLJE STABILNOST LINEARNIH SISTEMA U ovom poglavlju se proučava stabilnost najjednostavnije klase diferencijalnih sistema linearnih sistema, a posebno je utvrđeno da za linearne sisteme sa konstantama

TEMA V FOURIEROVA SERIJA PREDAVANJE 6 Proširenje periodične funkcije u Fourierov red Mnogi procesi koji se javljaju u prirodi i tehnologiji imaju svojstva da se ponavljaju u određenim intervalima. Takvi procesi

Funkcije kontinuirane na segmentu (teoreme Bolzano-Cauchyja, Weierstrassa, Kantora). Funkcionali su neprekidni na kompaktnom skupu.. Teorema o međuvrijednostima Teorema. (Bolzano-Cauchy) Neka je funkcija f kontinuirana

DEFINITIVNI INTEGRAL. Integralni zbroji i određeni integral Neka je funkcija y = f () definirana na segmentu [, b ], gdje je< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

Moskovski državni univerzitet po imenu MV Lomonosov Hemijski fakultet Priručnik za pripremu ispita iz matematičke analize za studente opšteg smera Treći semestar Numerička serija Diferencijal

PREDAVANJE 4A Metrički prostori 1 1. Primjeri i protuprimjeri

Predavanje 5 TOPOLOŠKI PROSTORI. 1. Definicija topološkog prostora Definicija 1. Proizvoljan skup X sa istaknutim sistemom podskupova τ skupa X naziva se topološki prostor

A. Yu. Pirkovsky Funkcionalna analiza Predavanje 23 23.1. Kompaktni operatori u Hilbertovom prostoru Već znamo dosta o kompaktnim operatorima u Banahovim prostorima (vidjeti predavanja 18

2. Stepen sa racionalnim indikatorom; eksponencijalno Pored onoga što je rečeno u prethodnom predavanju, pokazujemo i kako se pojam granice može svesti na pojam kontinuiteta. Naime, očigledno je sledeće

V.V. Žuk, A.M. Kamačkin 7 Hilbertov prostor. Definicija. Najjednostavnija svojstva skalarnog proizvoda. Glavna teorema. Fourierov red u Hilbertovom prostoru. 7.1 Definicija Hilbertovog prostora.

PREDGOVOR Priručnik je nastavak . Nastao je na osnovu poznatih udžbenika matematičke analize [6]. Zasnovan je na predavanjima V. V. Žuka, koja su više puta čitana

13. Eksponent i logaritam Da bismo završili dokaz tvrdnje 12.8, ostaje nam da damo jednu definiciju i dokažemo jedan prijedlog. Definicija 13.1. Niz a i naziva se apsolutno konvergentan ako

PREDAVANJE N Svojstva infinitezimalnih i beskonačno velikih funkcija Izvanredne granice Kontinuitet funkcija Osobine infinitezimalnih Znakovi postojanja granice 3Svojstva beskonačno velikih 4Prvi

S. S. Platonov Elementi harmonijske analize Dio I. Fourierov red f(x) = n= c n e inx Petrozavodsk 2010 Federalna agencija za obrazovanje Državna obrazovna institucija visokog stručnog obrazovanja

Kolodij A.M., Kolodij N.A. Predavanja iz teorije vjerovatnoće za studente specijalnosti "Matematička podrška i administracija informacionih sistema" 4. Granične teoreme 4. Zakon velikih brojeva.

DODATNA GLAVA TEORIJE VEROVATNOĆA EA Baklanov MMF NSU, 2012 POGLAVLJE 1 Nejednakosti verovatnoće 1. Eksponencijalne nejednakosti. U ovom dijelu, X 1,..., X n su neovisni slučajni

UVOD U MATEMATIČKU ANALIZU Tema: Granica i kontinuitet funkcije Predavanje 7 Granica funkcije SADRŽAJ: Granica funkcije u tački Granica funkcije u beskonačnosti Osnovne teoreme o granicama funkcija Beskonačno