Talasna funkcija čestice. Fizičko značenje valne funkcije

> Talasna funkcija

Pročitajte o valna funkcija i teorija vjerovatnoće kvantne mehanike: suština Schrödingerove jednadžbe, stanje kvantne čestice, harmonijski oscilator, shema.

Govorimo o amplitudi vjerovatnoće u kvantnoj mehanici, koja opisuje kvantno stanje čestice i njeno ponašanje.

Zadatak učenja

• Kombinujte talasnu funkciju i gustinu verovatnoće detekcije čestica.

Ključne točke

• |ψ| 2 (x) odgovara gustini vjerovatnoće detekcije čestice na određenom mjestu i trenutku.
• Zakoni kvantne mehanike karakteriziraju evoluciju valne funkcije. Schrödingerova jednačina objašnjava njeno ime.
• Talasna funkcija mora zadovoljiti mnoga matematička ograničenja za računanje i fizičku interpretaciju.

Uslovi

• Schrödingerova jednačina je parcijalni diferencijal koji karakterizira promjenu stanja fizičkog sistema. Formulirao ga je Erwin Schrödinger 1925. godine.
• Harmonični oscilator je sistem koji, kada se pomeri iz svog prvobitnog položaja, doživljava uticaj sile F proporcionalne pomaku x.

Unutar kvantne mehanike, valna funkcija odražava amplitudu vjerovatnoće koja karakterizira kvantno stanje čestice i njeno ponašanje. Obično je vrijednost kompleksan broj. Najčešći simboli talasne funkcije su ψ (x) ili Ψ(x). Iako je ψ kompleksan broj, |ψ| 2 je realna i odgovara gustini vjerovatnoće pronalaska čestice na određenom mjestu i vremenu.

Ovdje su putanje harmonijskog oscilatora prikazane u klasičnom (A-B) i kvantnom (C-H) mehanika. U kvantnoj kugli, valna funkcija je prikazana sa realnim dijelom plavom bojom, a imaginarnim dijelom crvenom. TrajektorijeC-F su primjeri stajaćih valova. Svaka takva frekvencija će biti proporcionalna mogućem nivou energije oscilatora

Zakoni kvantne mehanike evoluiraju tokom vremena. Talasna funkcija podsjeća na druge, poput valova u vodi ili strune. Činjenica je da je Schrödingerova formula vrsta talasne jednačine u matematici. Ovo dovodi do dualnosti talasnih čestica.

Talasna funkcija mora biti u skladu s ograničenjima:

• uvek konačan.
• uvijek kontinuiran i kontinuirano diferenciran.
• zadovoljava odgovarajući uslov normalizacije tako da čestica postoji sa 100% sigurnošću.

Ako zahtjevi nisu zadovoljeni, tada se valna funkcija ne može tumačiti kao amplituda vjerovatnoće. Ako zanemarimo ove pozicije i koristimo talasnu funkciju da odredimo opažanja kvantnog sistema, nećemo dobiti konačne i definitivne vrednosti.

korpuskularno-valni dualizam u kvantnoj fizici opisuje stanje čestice pomoću valne funkcije ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funkcija).

Definicija 1

valna funkcija je funkcija koja se koristi u kvantnoj mehanici. Opisuje stanje sistema koji ima dimenzije u prostoru. To je vektor stanja.

Ova funkcija je složena i formalno ima valna svojstva. Kretanje bilo koje čestice mikrosvijeta određeno je vjerojatnim zakonima. Distribucija vjerovatnoće se otkriva kada se vrši veliki broj opservacija (mjerenja) ili veliki broj čestica. Dobijena raspodjela je slična raspodjeli intenziteta valova. Odnosno, na mjestima s maksimalnim intenzitetom bilježi se maksimalni broj čestica.

Skup argumenata valne funkcije određuje njenu reprezentaciju. Dakle, koordinatni prikaz je moguć: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, prikaz momenta: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$, itd.

U kvantnoj fizici cilj nije precizno predvidjeti događaj, već procijeniti vjerovatnoću događaja. Znajući veličinu vjerovatnoće, pronađite prosječne vrijednosti fizičkih veličina. Talasna funkcija vam omogućava da pronađete slične vjerovatnoće.

Dakle, vjerovatnoća prisustva mikročestice u zapremini dV u trenutku t može se definirati kao:

gdje je $\psi^*$ kompleksna konjugirana funkcija sa funkcijom $\psi.$ Gustoća vjerovatnoće (vjerovatnoća po jedinici volumena) je:

Vjerovatnoća je veličina koja se može promatrati u eksperimentu. Istovremeno, valna funkcija nije dostupna za promatranje, jer je složena (u klasičnoj fizici, parametri koji karakteriziraju stanje čestice dostupni su za promatranje).

Uvjet normalizacije za $\psi$-funkcije

Valna funkcija je definirana do proizvoljnog konstantnog faktora. Ova činjenica ne utiče na stanje čestice, koje opisuje $\psi$-funkcija. Međutim, valna funkcija je odabrana na takav način da zadovoljava uvjet normalizacije:

gdje se integral uzima na cijelom prostoru ili na području u kojem valna funkcija nije jednaka nuli. Uslov normalizacije (2) znači da je čestica pouzdano prisutna u cijelom području gdje je $\psi\ne 0$. Valna funkcija koja ispunjava uvjet normalizacije naziva se normalizirana. Ako je $(\left|\psi\right|)^2=0$, onda ovaj uslov znači da sigurno nema čestica u oblasti koja se proučava.

Normalizacija oblika (2) je moguća za diskretni spektar svojstvenih vrijednosti.

Uslov normalizacije možda neće biti izvodljiv. Dakle, ako je $\psi$ de Broglieova ravna talasna funkcija i vjerovatnoća pronalaženja čestice je ista za sve tačke u prostoru. Ovi slučajevi se smatraju idealnim modelom u kojem je čestica prisutna u velikom, ali ograničenom području prostora.

Princip superpozicije talasne funkcije

Ovaj princip je jedan od glavnih postulata kvantne teorije. Njegovo značenje je sljedeće: ako su za neki sistem moguća stanja opisana valnim funkcijama $\psi_1\ (\rm u)\ $ $\psi_2$, tada za ovaj sistem postoji stanje:

gdje su $C_(1\ )i\ C_2$ konstantni koeficijenti. Princip superpozicije je empirijski potvrđen.

Možemo govoriti o dodavanju bilo kojeg broja kvantnih stanja:

gdje je $(\left|C_n\right|)^2$ vjerovatnoća da se sistem nađe u stanju opisanom talasnom funkcijom $\psi_n.$

Stacionarna stanja

U kvantnoj teoriji, stacionarna stanja (stanja u kojima se svi vidljivi fizički parametri ne mijenjaju u vremenu) igraju posebnu ulogu. (Sama valna funkcija je u osnovi neuočljiva). U stacionarnom stanju, $\psi$-funkcija ima oblik:

gdje $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ne zavisi od vremena, $E$ je energija čestice. U obliku (3) valne funkcije, gustina vjerovatnoće ($P$) je vremenska konstanta:

Iz fizičkih svojstava stacionarnih stanja slijede matematički zahtjevi za valnu funkciju $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Matematički zahtjevi za talasnu funkciju za stacionarna stanja

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - funkcija mora biti na svim tačkama:

• kontinuirano,
• nedvosmisleno,
• konačan.

Ako potencijalna energija ima površinu diskontinuiteta, tada na takvim površinama funkcija $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ i njen prvi izvod moraju ostati kontinuirani. U području prostora gdje potencijalna energija postaje beskonačna, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ mora biti jednaka nuli. Kontinuitet funkcije $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ zahtijeva da $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ na bilo kojoj granici ovog područja. Uslov kontinuiteta se nameće na parcijalne izvode valne funkcije ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ parcijalni z)$).

Primjer 1

vježba: Za neku česticu data je valna funkcija oblika: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, gdje je $r$ udaljenost od čestice do centar sile (slika 1), $a=const$. Primijeniti uvjet normalizacije, pronaći faktor normalizacije A.

Slika 1.

Rješenje:

Uslov normalizacije za naš slučaj pišemo u obliku:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\desno)))\]

gdje je $dV=4\pi r^2dr$ (vidi Sl.1 Iz uslova je jasno da problem ima sfernu simetriju). Iz uslova problema imamo:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\lijevo(1.2\desno).\]

Zamijenimo $dV$ i valne funkcije (1.2) u uvjet normalizacije:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ desno).)\]

Integrirajmo na lijevoj strani:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\lijevo(1,4\desno).)\]

Iz formule (1.4) izražavamo željeni koeficijent:

odgovor:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Primjer 2

vježba: Koja je najvjerovatnija udaljenost ($r_B$) elektrona od jezgra ako se valna funkcija koja opisuje osnovno stanje elektrona u atomu vodika može definirati kao: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, gdje je $r$ udaljenost od elektrona do jezgra, $a$ je prvi Borov radijus?

Rješenje:

Koristimo formulu koja određuje vjerovatnoću prisustva mikročestice u volumenu $dV$ u trenutku $t$:

gdje je $dV=4\pi r^2dr.\ $Slijedom toga, imamo:

U ovom slučaju, $p=\frac(dP)(dr)$ se može napisati kao:

Za određivanje najvjerovatnije udaljenosti, izjednačavamo derivaciju $\frac(dp)(dr)$ sa nulom:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\desno)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Kako nam rješenje $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ ne odgovara, odbacujemo ga:

Otkriće valnih svojstava mikročestica pokazalo je da klasična mehanika ne može dati ispravan opis ponašanja takvih čestica. Teorija koja pokriva sva svojstva elementarnih čestica mora uzeti u obzir ne samo njihova korpuskularna svojstva, već i valna. Iz prethodno razmatranih eksperimenata proizilazi da snop elementarnih čestica ima svojstva ravnog vala koji se širi u smjeru brzine čestice. U slučaju širenja duž ose, ovaj talasni proces se može opisati de Broglievom talasnom jednačinom (7.43.5):

(7.44.1)

gdje je energija i impuls čestice. Kada se širi u proizvoljnom smjeru:

(7.44.2)

Nazovimo funkciju valna funkcija i saznajmo njeno fizičko značenje upoređujući difrakciju svjetlosnih valova i mikročestica.

Prema talasnim idejama o prirodi svjetlosti, intenzitet difrakcijske slike je proporcionalan kvadratu amplitude svjetlosnog vala. Prema konceptima teorije fotona, intenzitet je određen brojem fotona koji padaju u datu tačku difrakcionog uzorka. Posljedično, broj fotona u datoj tački na difrakcijskom uzorku je dat kvadratom amplitude svjetlosnog vala, dok za jedan foton kvadrat amplitude određuje vjerovatnoću da foton udari u određenu tačku.

Difrakcijski uzorak koji je uočen za mikročestice takođe karakteriše nejednaka distribucija fluksa mikročestica. Prisustvo maksimuma u uzorku difrakcije sa stanovišta teorije talasa znači da ovi pravci odgovaraju najvećem intenzitetu de Broglieovih talasa. Intenzitet je veći tamo gdje je veći broj čestica. Dakle, difrakcioni obrazac za mikročestice je manifestacija statističke pravilnosti, a možemo reći da je poznavanje de Broglieovog talasnog oblika, tj. Ψ -funkcije, omogućavaju vam da procijenite vjerovatnoću jednog ili drugog od mogućih procesa.

Dakle, u kvantnoj mehanici stanje mikročestica se opisuje na fundamentalno nov način - uz pomoć valne funkcije, koja je glavni nosilac informacija o njihovim korpuskularnim i valnim svojstvima. Vjerovatnoća pronalaženja čestice u elementu zapremine je

(7.44.3)

Vrijednost

(7.44.4)

ima značenje gustine vjerovatnoće, tj. određuje vjerovatnoću pronalaženja čestice u jediničnoj zapremini u blizini date tačke. Dakle, nije sama funkcija ono što ima fizičko značenje, već kvadrat njenog modula koji određuje intenzitet de Broglieovih valova. Vjerovatnoća pronalaženja čestice u određenom trenutku u konačnom volumenu, prema teoremi o dodavanju vjerovatnoće, jednaka je

(7.44.5)

Pošto čestica postoji, ona se nužno nalazi negdje u svemiru. Tada je vjerovatnoća određenog događaja jednaka jedan

. (7.44.6)

Izraz (7.44.6) se naziva uslov normalizacije vjerovatnoće. Talasna funkcija koja karakterizira vjerovatnoću otkrivanja djelovanja mikročestice u elementu volumena mora biti konačna (vjerovatnoća ne može biti veća od jedan), jednoznačna (vjerovatnoća ne može biti dvosmislena vrijednost) i kontinuirana (vjerovatnoća se ne može naglo promijeniti).

valna funkcija
valna funkcija

valna funkcija (ili vektor stanja) je složena funkcija koja opisuje stanje kvantnog mehaničkog sistema. Njegovo znanje omogućava dobijanje najpotpunijih informacija o sistemu, što je suštinski moguće u mikrosvetu. Dakle, uz njegovu pomoć možete izračunati sve mjerljive fizičke karakteristike sistema, vjerovatnoću da se on nađe na određenom mjestu u prostoru i evoluciju u vremenu. Talasna funkcija se može naći rješavanjem Schrödingerove valne jednačine.
Talasna funkcija ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) tačkaste čestice bez strukture je složena funkcija koordinata te čestice i vremena. Najjednostavniji primjer takve funkcije je valna funkcija slobodne čestice s impulsom i ukupnom energijom E (ravni val)

.

Talasna funkcija sistema A čestica sadrži koordinate svih čestica: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Kvadratni modul valne funkcije pojedinačne čestice | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) daje vjerovatnoću detekcije čestice u trenutku t u tački u prostoru opisanoj koordinatama , naime, | ψ (,t)| 2dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz je vjerovatnoća pronalaska čestice u području prostora zapremine dv = dxdydz oko tačke x, y, z. Slično tome, vjerovatnoća da se u trenutku t pronađe sistem A čestica sa koordinatama 1 , 2 ,..., A u elementu volumena višedimenzionalnog prostora je data sa | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Talasna funkcija u potpunosti određuje sve fizičke karakteristike kvantnog sistema. Dakle, prosečna posmatrana vrednost fizičke veličine F za sistem je data izrazom

,

gdje je operator ove veličine i integracija se vrši na cijelom području multidimenzionalnog prostora.
Umjesto koordinata čestica x, y, z, njihovi momenti p x , p y , p z ili drugi skupovi fizičkih veličina mogu se odabrati kao nezavisne varijable valne funkcije. Ovaj izbor zavisi od reprezentacije (koordinate, momenta ili drugog).
Valna funkcija ψ (,t) čestice ne uzima u obzir njene unutrašnje karakteristike i stupnjeve slobode, odnosno opisuje njeno kretanje kao cjeline besstrukturnog (tačkastog) objekta duž određene putanje (orbite) u prostoru. Ove unutrašnje karakteristike čestice mogu biti njen spin, spiralnost, izospin (za čestice u jakoj interakciji), boja (za kvarkove i gluone) i neke druge. Unutrašnje karakteristike čestice date su posebnom talasnom funkcijom njenog unutrašnjeg stanja φ. U ovom slučaju, ukupna valna funkcija čestice Ψ može se predstaviti kao proizvod funkcije orbitalnog kretanja ψ i unutrašnje funkcije φ:

jer obično unutrašnje karakteristike čestice i njeni stepeni slobode, koji opisuju orbitalno kretanje, ne zavise jedno od drugog.
Kao primjer, ograničavamo se na slučaj kada je jedina unutrašnja karakteristika koju funkcija uzima u obzir spin čestice, a taj spin je jednak 1/2. Čestica sa takvim spinom može biti u jednom od dva stanja - sa projekcijom spina na osi z jednakom +1/2 (spin up), i sa projekcijom spina na osi z jednakom -1/2 (spin dolje). Ovaj dualitet je opisan spin funkcijom uzetom kao dvokomponentni spinor:

Tada će valna funkcija Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ opisati kretanje čestice sa spinom 1/2 usmjerenim prema gore duž putanje određene funkcijom ψ , a valna funkcija Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ će opisati kretanje duž iste putanje iste čestice, ali sa spinom usmjerenim naniže.
U zaključku, napominjemo da su u kvantnoj mehanici moguća takva stanja koja se ne mogu opisati pomoću valne funkcije. Takva stanja se nazivaju mješovita stanja i opisuju se u smislu kompleksnijeg pristupa korištenjem koncepta matrice gustoće. Stanja kvantnog sistema opisana talasnom funkcijom nazivaju se čistim.

Za opisivanje korpuskularno-valnih svojstava elektrona u kvantnoj mehanici koristi se valna funkcija, koja je označena grčkim slovom psi (T). Glavna svojstva valne funkcije su:

• u bilo kojoj tački u prostoru sa koordinatama x, y, z ima određeni predznak i amplitudu: NPV:, at, G);
• kvadratni modul valne funkcije | FH, y,z)| 2 je jednako vjerovatnoći pronalaska čestice u jediničnoj zapremini, tj. gustina vjerovatnoće.

Gustoća vjerovatnoće pronalaženja elektrona na različitim udaljenostima od jezgra atoma prikazana je na nekoliko načina. Često se karakteriše brojem tačaka po jedinici zapremine (slika 9.1, a). Bitmapa gustine vjerovatnoće liči na oblak. Govoreći o elektronskom oblaku, treba imati na umu da je elektron čestica koja istovremeno pokazuje i korpuskularnu i talasnu

Rice. 9.1.

svojstva. Područje vjerovatnoće detekcije elektrona nema jasne granice. Međutim, moguće je odabrati prostor gdje je vjerovatnoća njegovog otkrivanja velika ili čak maksimalna.

Na sl. 9.1, a isprekidana linija označava sfernu površinu unutar koje je vjerovatnoća detekcije elektrona 90%. Na sl. 9.1, b prikazuje konturnu sliku elektronske gustine u atomu vodonika. Kontura najbliža jezgru pokriva područje prostora u kojem je vjerovatnoća pronalaženja elektrona 10%, dok je vjerovatnoća pronalaženja elektrona unutar druge konture iz jezgra 20%, unutar treće - 30% itd. Na sl. 9.1, oblak elektrona je prikazan kao sferna površina, unutar koje je vjerovatnoća detekcije elektrona 90%.

Konačno, na sl. 9.1, d i b, vjerovatnoća detekcije elektrona je na različitim udaljenostima prikazana je na dva načina G iz jezgra: na vrhu je prikazan "rez" ove vjerovatnoće koja prolazi kroz jezgro, a na dnu - sama funkcija 4lg 2 |U| 2.

Schrödingsrova jednačina. Ovu fundamentalnu jednačinu kvantne mehanike formulisao je austrijski fizičar E. Schrödinger 1926. godine. Ona povezuje ukupnu energiju čestice E, jednaka zbiru potencijalne i kinetičke energije, potencijalna energija?„, masa čestice t i valna funkcija 4*. Za jednu česticu, kao što je elektron sa masom t e, izgleda ovako:

Sa matematičke tačke gledišta, ovo je jednačina sa tri nepoznanice: Y, E i?". Riješi to, tj. ove nepoznanice možete pronaći ako ih riješite zajedno s dvije druge jednadžbe (potrebne su tri jednačine da biste pronašli tri nepoznate). Kao takve jednačine koriste se jednadžbe za potencijalnu energiju i granične uslove.

Jednačina potencijalne energije ne sadrži talasnu funkciju U. Ona opisuje interakciju naelektrisanih čestica prema Kulonovom zakonu. U interakciji jednog elektrona sa jezgrom koje ima naboj +z, potencijalna energija je jednaka

gdje r = Y* 2 + y 2+ z 2 .

Ovo je slučaj takozvanog atoma sa jednim elektronom. U složenijim sistemima, kada postoji mnogo naelektrisanih čestica, jednačina potencijalne energije se sastoji od zbira istih Kulombovih članova.

Jednačina graničnih uslova je izraz

To znači da valna funkcija elektrona teži nuli na velikim udaljenostima od jezgra atoma.

Rješavanje Schrödingerove jednadžbe omogućava vam da pronađete valnu funkciju elektrona? = (x, y, z) kao funkcija koordinata. Ova raspodjela se naziva orbitala.

orbitalni - je prostorno definirana valna funkcija.

Sistem jednačina, koji uključuje Schrödingerovu, potencijalnu energiju i jednačine graničnih uslova, ima ne jedno, već mnogo rješenja. Svako od rješenja istovremeno uključuje 4 x = (x, y, G) i E, tj. opisuje oblak elektrona i njegovu odgovarajuću ukupnu energiju. Svako rješenje je određeno kvantni brojevi.

Fizičko značenje kvantnih brojeva može se shvatiti razmatranjem vibracija strune, kao rezultat kojih se formira stojeći talas (slika 9.2).

Stajaća talasna dužina X i dužina žice b povezane jednacinom

Dužina stojećeg talasa može imati samo striktno definisane vrednosti koje odgovaraju broju P, koji uzima samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti 1,2,3, itd. Kao što je očigledno iz Sl. 9.2, broj maksimuma amplitude oscilovanja, tj. oblik stojećeg vala, jedinstveno određen vrijednošću P.

Budući da je elektronski val u atomu složeniji proces od stajaćeg vala strune, vrijednosti valne funkcije elektrona nisu određene jednom, već četiri

Rice. 9.2.

4 broja, koji se nazivaju kvantni brojevi i označavaju se slovima P, /, t i s. Dat je skup kvantnih brojeva P, /, t istovremeno odgovaraju određenoj talasnoj funkciji H"lDl, i ukupnoj energiji E „j. Kvantni broj t at E ne označavaju, jer u odsustvu vanjskog polja, energija elektrona iz t ne zavisi. Kvantni broj s ne utiče na 4 * n xt, ni na E n j.

• , ~ elxv dlxv 62*str
• Simboli --, --- označavaju druge parcijalne izvode fir1 lukova 8z2 H "-funkcija. To su izvode prvih izvoda. Značenje prvog izvoda se poklapa sa nagibom funkcije H" iz argumenta x, u ili z na grafovima? \u003d j (x), T \u003d / 2 (y), W " \u003d /:! (z).