Izračunavanje primjera apsolutne i relativne greške. Apsolutna greška mjerenja

Mjerenja se zovu ravno, ako se vrijednosti veličina određuju direktno instrumentima (na primjer, mjerenje dužine ravnalom, određivanje vremena štopericom itd.). Mjerenja se zovu indirektno, ako je vrijednost mjerene veličine određena direktnim mjerenjem drugih veličina koje su povezane sa izmjerenim specifičnim odnosom.

Slučajne greške u direktnim mjerenjima

Apsolutna i relativna greška. Neka se održi N mjerenja iste količine x u nedostatku sistematske greške. Pojedinačni rezultati mjerenja izgledaju ovako: x 1 ,x 2 , …,x N. Prosječna vrijednost izmjerene veličine je izabrana kao najbolja:

Apsolutna greška jedno mjerenje naziva se razlika oblika:

Prosječna apsolutna greška N pojedinačna mjerenja:

(2)

pozvao prosječna apsolutna greška.

Relativna greška je odnos prosječne apsolutne greške i prosječne vrijednosti mjerene veličine:

. (3)

Greške instrumenta u direktnim mjerenjima

Ako nema posebnih uputstava, greška instrumenta je jednaka polovini njegove vrijednosti podjele (ravnalo, čaša).

Greška instrumenata opremljenih noniusom jednaka je vrijednosti podjele nonija (mikrometar - 0,01 mm, kaliper - 0,1 mm).

Greška tabličnih vrijednosti jednaka je polovini jedinice posljednje znamenke (pet jedinica sljedećeg reda nakon posljednje značajne znamenke).

Greška električnih mjernih instrumenata izračunava se prema klasi tačnosti OD naznačeno na skali instrumenta:

Na primjer:
i
,

gdje U max i I max– granica mjerenja uređaja.

Greška uređaja sa digitalnom indikacijom jednaka je jedinici posljednje cifre indikacije.

Nakon procjene slučajnih i instrumentalnih grešaka, u obzir se uzima ona čija je vrijednost veća.

Proračun grešaka u indirektnim mjerenjima

Većina mjerenja su indirektna. U ovom slučaju, željena vrijednost X je funkcija nekoliko varijabli a,b, c… , čije se vrijednosti mogu pronaći direktnim mjerenjem: H = f( a, b, c…).

Aritmetička sredina rezultata indirektnih mjerenja bit će jednaka:

X = f( a, b, c…).

Jedan od načina za izračunavanje greške je način diferenciranja prirodnog logaritma funkcije X = f( a, b, c...). Ako je, na primjer, željena vrijednost X određena relacijom X = , onda nakon uzimanja logaritma dobijamo: lnX = ln a+ln b+ln( c+ d).

Diferencijal ovog izraza je:

Što se tiče izračunavanja približnih vrijednosti, može se zapisati za relativnu grešku u obliku:

 =
. (4)

Apsolutna greška u ovom slučaju se izračunava po formuli:

H = H(5)

Dakle, izračun grešaka i izračunavanje rezultata za indirektna mjerenja se obavljaju sljedećim redoslijedom:

1) Izvršite mjerenja svih količina uključenih u originalnu formulu da biste izračunali konačni rezultat.

2) Izračunajte srednje aritmetičke vrijednosti svake mjerene vrijednosti i njihove apsolutne greške.

3) Zamenite u originalnu formulu prosečne vrednosti svih izmerenih vrednosti i izračunajte prosečnu vrednost željene vrednosti:

X = f( a, b, c…).

4) Uzmite logaritam originalne formule X = f( a, b, c...) i zapišite izraz za relativnu grešku u obliku formule (4).

5) Izračunajte relativnu grešku  = .

6) Izračunajte apsolutnu grešku rezultata koristeći formulu (5).

7) Konačan rezultat se piše kao:

X \u003d X cf X

Apsolutne i relativne greške najjednostavnijih funkcija date su u tabeli:

Apsolutno

greška

Relativno

greška

a+ b

Često se u životu moramo suočiti s raznim približnim vrijednostima. Približni proračuni su uvijek proračuni s nekom greškom.

Koncept apsolutne greške

Apsolutna greška približne vrijednosti je modul razlike između tačne i približne vrijednosti.
Odnosno, od tačne vrijednosti trebate oduzeti približnu vrijednost i uzeti rezultujući broj po modulu. Dakle, apsolutna greška je uvijek pozitivna.

Kako izračunati apsolutnu grešku

Pokazat ćemo kako bi to moglo izgledati u praksi. Na primjer, imamo graf određene vrijednosti, neka je parabola: y=x^2.

Iz grafikona možemo odrediti približnu vrijednost u nekim tačkama. Na primjer, kod x=1,5, vrijednost y je približno 2,2 (y≈2,2).

Koristeći formulu y=x^2, možemo pronaći tačnu vrijednost u tački x=1,5 y= 2,25.

Sada izračunavamo apsolutnu grešku naših mjerenja. |2,25-2,2|=|0,05| = 0,05.

Apsolutna greška je 0,05. U takvim slučajevima takođe kažu da je vrednost izračunata sa tačnošću od 0,05.

Često se dešava da se tačna vrijednost ne može uvijek pronaći, pa stoga nije uvijek moguće pronaći apsolutnu grešku.

Na primjer, ako izračunamo udaljenost između dvije točke pomoću ravnala, ili kut između dvije prave pomoću kutomjera, dobićemo približne vrijednosti. Ali tačna vrijednost se ne može izračunati. U ovom slučaju možemo odrediti broj koji ne može premašiti vrijednost apsolutne greške.

U primjeru s ravnalom, to će biti 0,1 cm, jer je vrijednost podjele na ravnalu 1 milimetar. U primjeru za kutomjer, 1 stepen je zato što je skala kutomjera stepenovana svakim stepenom. Dakle, vrijednosti apsolutne greške u prvom slučaju su 0,1, au drugom slučaju 1.

Kao što je ranije spomenuto, kada uporedimo tačnost mjerenja neke približne vrijednosti, koristimo apsolutnu grešku.

Koncept apsolutne greške

Apsolutna greška približne vrijednosti je modul razlike između tačne i približne vrijednosti.
Apsolutna greška se može koristiti za poređenje tačnosti aproksimacija istih veličina, a ako ćemo porediti tačnost aproksimacija različitih veličina, onda apsolutna greška sama po sebi nije dovoljna.

Na primjer: Dužina lista A4 papira je (29,7 ± 0,1) cm, a udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve je (650 ± 1) km. Apsolutna greška u prvom slučaju ne prelazi jedan milimetar, au drugom - jedan kilometar. Pitanje je uporediti tačnost ovih mjerenja.

Ako smatrate da se dužina lista mjeri preciznije jer apsolutna greška ne prelazi 1 mm. Onda si u krivu. Ove vrijednosti se ne mogu direktno porediti. Hajde da malo zaključimo.

Prilikom mjerenja dužine lista apsolutna greška ne prelazi 0,1 cm sa 29,7 cm, odnosno u procentima iznosi 0,1 / 29,7 * 100% = 0,33% izmjerene vrijednosti.

Kada mjerimo udaljenost od Sankt Peterburga do Moskve, apsolutna greška ne prelazi 1 km na 650 km, što je 1/650 * 100% = 0,15% izmjerene vrijednosti u procentima. Vidimo da se udaljenost između gradova mjeri preciznije od dužine A4 lista.

Koncept relativne greške

Ovdje se, radi procjene kvaliteta aproksimacije, uvodi novi koncept relativne greške. Relativna greška je količnik dijeljenja apsolutne greške sa modulom približnih vrijednosti mjerene veličine. Obično se relativna greška izražava u procentima. U našem primjeru dobili smo dvije relativne greške jednake 0,33% i 0,15%.

Kao što ste možda pretpostavili, relativna vrijednost greške je uvijek pozitivna. Ovo proizilazi iz činjenice da je apsolutna greška uvijek pozitivna i dijelimo je sa modulom, a modul je također uvijek pozitivan.

Zbog grešaka svojstvenih mjernom instrumentu, odabranoj metodi i tehnici mjerenja, razlike u vanjskim uslovima u kojima se mjerenje obavlja od utvrđenih i drugih razloga, rezultat gotovo svakog mjerenja je opterećen greškom. Ova greška se izračunava ili procjenjuje i pripisuje dobijenom rezultatu.

Greška mjerenja(ukratko - greška mjerenja) - odstupanje rezultata mjerenja od prave vrijednosti mjerene veličine.

Prava vrijednost količine zbog prisustva grešaka ostaje nepoznata. Koristi se u rješavanju teorijskih problema mjeriteljstva. U praksi se koristi stvarna vrijednost količine, koja zamjenjuje pravu vrijednost.

Greška mjerenja (Δx) se nalazi po formuli:

x = x mjera. - x stvarno (1.3)

gdje je x mjera. - vrijednost količine dobijene na osnovu mjerenja; x stvarni je vrijednost količine koja se uzima kao stvarna.

Prava vrijednost za pojedinačna mjerenja često se uzima kao vrijednost dobivena uz pomoć uzornog mjernog instrumenta, za ponovljena mjerenja - aritmetička sredina vrijednosti pojedinačnih mjerenja uključenih u ovu seriju.

Greške mjerenja se mogu klasificirati prema sljedećim kriterijima:

Po prirodi manifestacije - sistematično i nasumično;

Po načinu izražavanja - apsolutni i relativni;

Prema uslovima za promenu izmerene vrednosti - statički i dinamički;

Prema načinu obrade niza mjerenja - aritmetičkih i srednjih kvadrata;

Prema potpunosti obuhvata mjernog zadatka - privatno i potpuno;

U odnosu na jedinicu fizičke veličine - greška reprodukcije jedinice, skladištenja jedinice i prenosa veličine jedinice.

Sistematska greška mjerenja(ukratko – sistematska greška) – komponenta greške rezultata merenja, koja ostaje konstantna za datu seriju merenja ili se redovno menja tokom ponovljenih merenja iste fizičke veličine.

Prema prirodi ispoljavanja, sistematske greške se dele na stalne, progresivne i periodične. Trajne sistematske greške(ukratko - konstantne greške) - greške koje zadržavaju svoju vrijednost duže vrijeme (na primjer, tokom čitave serije mjerenja). Ovo je najčešći tip greške.

Progresivne sistematske greške(ukratko - progresivne greške) - greške koje se stalno povećavaju ili opadaju (na primjer, greške zbog trošenja mjernih vrhova koji dolaze u kontakt prilikom brušenja s dijelom kada se njime upravlja aktivnim kontrolnim uređajem).

Periodična sistematska greška(ukratko - periodična greška) - greška čija je vrijednost funkcija vremena ili funkcija kretanja kazaljke mjernog uređaja (na primjer, prisustvo ekscentriciteta u goniometrima s kružnom skalom uzrokuje sistematsku grešku koji varira u skladu sa periodičnim zakonom).

Na osnovu razloga za pojavu sistematskih grešaka, razlikuju se instrumentalne greške, greške metode, subjektivne greške i greške usled odstupanja spoljašnjih uslova merenja od utvrđenih metoda.

Instrumentalna greška mjerenja(ukratko – instrumentalna greška) rezultat je niza razloga: istrošenosti dijelova instrumenta, prekomjernog trenja u mehanizmu instrumenta, nepreciznih poteza na skali, neslaganja stvarnih i nominalnih vrijednosti mjere, itd.

Greška metode mjerenja(ukratko – greška metode) može nastati zbog nesavršenosti metode mjerenja ili njenih pojednostavljenja, utvrđenih mjernim postupkom. Na primjer, takva greška može biti posljedica nedovoljne brzine mjernih instrumenata koji se koriste pri mjerenju parametara brzih procesa ili neuračunatih nečistoća pri određivanju gustoće tvari na osnovu rezultata mjerenja njene mase i zapremine.

Subjektivna greška mjerenja(ukratko - subjektivna greška) nastaje zbog individualnih grešaka operatera. Ponekad se ova greška naziva ličnom razlikom. Uzrokuje ga, na primjer, kašnjenje ili napredak u prihvaćanju signala od strane operatera.

Greška odstupanja(u jednom pravcu) eksterni uslovi merenja od onih utvrđenih mernom procedurom dovode do pojave sistematske komponente greške merenja.

Sistematske greške iskrivljuju rezultat mjerenja, tako da se moraju eliminisati, koliko god je to moguće, uvođenjem korekcija ili podešavanjem instrumenta kako bi se sistematske greške svele na prihvatljivi minimum.

Neisključena sistematska greška(ukratko - neisključena greška) - to je greška rezultata mjerenja zbog greške u izračunavanju i uvođenju korekcije za efekat sistematske greške, odnosno male sistematske greške za koju se korekcija ne uvodi zbog malenkosti.

Ova vrsta greške se ponekad naziva neisključeni ostatci pristranosti(ukratko - neisključena stanja). Na primjer, pri mjerenju dužine linijskog metra u talasnim dužinama referentnog zračenja otkriveno je nekoliko neisključenih sistematskih grešaka (i): zbog netačnog mjerenja temperature - 1 ; zbog netačnog određivanja indeksa prelamanja vazduha - 2, zbog netačne vrednosti talasne dužine - 3.

Obično se uzima u obzir zbir neisključenih sistematskih grešaka (njihove granice se postavljaju). Uz broj pojmova N ≤ 3, granice neisključenih sistematskih grešaka izračunavaju se po formuli

Kada je broj pojmova N ≥ 4, formula se koristi za proračune

(1.5)

gde je k koeficijent zavisnosti neisključenih sistematskih grešaka od izabrane verovatnoće pouzdanosti P sa njihovom uniformnom distribucijom. Kod P = 0,99, k = 1,4, kod P = 0,95, k = 1,1.

Slučajna greška mjerenja(ukratko - slučajna greška) - komponenta greške rezultata mjerenja, koja se nasumično mijenja (znak i vrijednost) u nizu mjerenja iste veličine fizičke veličine. Uzroci slučajnih grešaka: greške zaokruživanja pri očitavanju očitavanja, varijacije u očitanjima, promjene uvjeta mjerenja slučajne prirode, itd.

Slučajne greške uzrokuju disperziju rezultata mjerenja u nizu.

Teorija grešaka zasniva se na dvije odredbe, potvrđene u praksi:

1. Kod velikog broja mjerenja jednako često se javljaju slučajne greške iste numeričke vrijednosti, ali različitog predznaka;

2. Velike (u apsolutnoj vrijednosti) greške su manje uobičajene od malih.

Važan zaključak za praksu slijedi iz prve pozicije: s povećanjem broja mjerenja, slučajna greška rezultata dobijenog nizom mjerenja opada, jer zbir grešaka pojedinačnih mjerenja ove serije teži nuli, tj.

(1.6)

Na primjer, kao rezultat mjerenja, dobiven je niz vrijednosti električnog otpora (koje su ispravljene za efekte sistematskih grešaka): R 1 = 15,5 Ohm, R 2 = 15,6 Ohm, R 3 \u003d 15,4 oma, R 4 = 15, 6 oma i R 5 = 15,4 oma. Dakle, R = 15,5 oma. Odstupanja od R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ohm, R 3 = -0,1 Ohm, R 4 = +0,1 Ohm i R 5 = -0,1 Ohm) su slučajne greške pojedinačnih mjerenja u date serije. Lako je vidjeti da je zbir R i = 0,0. Ovo ukazuje da su greške pojedinačnih mjerenja ove serije izračunate ispravno.

Unatoč činjenici da s povećanjem broja mjerenja, zbir slučajnih grešaka teži nuli (u ovom primjeru slučajno se ispostavilo da je nula), slučajna greška rezultata mjerenja se nužno procjenjuje. U teoriji slučajnih varijabli, disperzija o2 služi kao karakteristika disperzije vrijednosti slučajne varijable. "| / o2 \u003d a naziva se standardna devijacija opće populacije ili standardna devijacija.

Pogodnije je od disperzije, jer se njegova dimenzija poklapa s dimenzijom mjerene veličine (na primjer, vrijednost količine se dobija u voltima, standardna devijacija će također biti u voltima). Budući da se u praksi mjerenja bavi terminom „greška“, za karakterizaciju većeg broja mjerenja trebalo bi koristiti pojam „rms error“ koji je izveden iz njega. Brojna mjerenja se mogu okarakterisati aritmetičkom srednjom greškom ili opsegom rezultata mjerenja.

Opseg rezultata mjerenja (ukratko - raspon) je algebarska razlika između najvećeg i najmanjeg rezultata pojedinačnih mjerenja koji čine seriju (ili uzorak) od n mjerenja:

R n \u003d X max - X min (1,7)

gdje je R n opseg; X max i X min - najveća i najmanja vrijednost veličine u datoj seriji mjerenja.

Na primjer, od pet mjerenja promjera rupe d, vrijednosti R 5 = 25,56 mm i R 1 = 25,51 mm pokazale su se kao njegove maksimalne i minimalne vrijednosti. U ovom slučaju, R n = d 5 - d 1 = 25,56 mm - 25,51 mm \u003d 0,05 mm. To znači da su preostale greške ove serije manje od 0,05 mm.

Prosječna aritmetička greška jednog mjerenja u nizu(ukratko - aritmetička srednja greška) - generalizovana karakteristika rasejanja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata merenja (iste vrednosti), uključenih u seriju od n jednako tačnih nezavisnih merenja, izračunava se po formuli

(1.8)

gdje je X i rezultat i-tog mjerenja uključenog u seriju; x je aritmetička sredina n vrijednosti veličine: |X i - X| je apsolutna vrijednost greške i-tog mjerenja; r je aritmetička srednja greška.

Prava vrijednost srednje aritmetičke greške p određuje se iz omjera

p = lim r, (1.9)

Sa brojem mjerenja n > 30, između aritmetičke sredine (r) i srednjeg kvadrata (s) postoje korelacije

s = 1,25r; r i = 0,80 s. (1.10)

Prednost greške aritmetičke sredine je jednostavnost njenog izračunavanja. Ali još češće određuju srednju kvadratnu grešku.

Srednja kvadratna greška pojedinačno mjerenje u nizu (ukratko - srednja kvadratna greška) - generalizirana karakteristika raspršenja (zbog slučajnih razloga) pojedinačnih rezultata mjerenja (iste vrijednosti) uključenih u seriju P jednako tačna nezavisna mjerenja, izračunata po formuli

(1.11)

Srednja kvadratna greška za opšti uzorak o, koja je statistička granica za S, može se izračunati za /i-mx > po formuli:

Σ = lim S (1.12)

U stvarnosti, broj dimenzija je uvijek ograničen, tako da se ne računa σ , i njegovu približnu vrijednost (ili procjenu), koja je s. Više P,što je s bliži svojoj granici σ .

Uz normalnu distribuciju, vjerovatnoća da greška jednog mjerenja u seriji neće premašiti izračunatu srednju kvadratnu grešku je mala: 0,68. Dakle, u 32 slučaja od 100 ili 3 slučaja od 10 stvarna greška može biti veća od izračunate.

Slika 1.2 Smanjenje vrijednosti slučajne greške rezultata višestrukih mjerenja sa povećanjem broja mjerenja u nizu

U nizu mjerenja, postoji odnos između efektivne greške pojedinačnog mjerenja s i efektivne greške aritmetičke sredine S x:

koje se često naziva "pravilo Y n". Iz ovog pravila proizilazi da se greška mjerenja uslijed djelovanja slučajnih uzroka može smanjiti za n puta ako se izvrši n mjerenja iste veličine bilo koje veličine, a kao konačni rezultat se uzme aritmetička srednja vrijednost (Sl. 1.2. ).

Izvođenje najmanje 5 mjerenja u nizu omogućava smanjenje efekta slučajnih grešaka za više od 2 puta. Sa 10 mjerenja, efekat slučajne greške se smanjuje za faktor 3. Dalje povećanje broja mjerenja nije uvijek ekonomski izvodljivo i po pravilu se provodi samo za kritična mjerenja koja zahtijevaju visoku tačnost.

Srednja kvadratna greška jednog mjerenja iz serije homogenih dvostrukih mjerenja S α izračunava se po formuli

(1.14)

gdje su x" i i x"" i i-ti rezultati mjerenja iste veličine veličine u smjeru naprijed i nazad jednim mjernim instrumentom.

Kod nejednakih mjerenja, srednja kvadratna greška aritmetičke sredine u seriji određena je formulom

(1.15)

gdje je p i težina i-tog mjerenja u nizu nejednakih mjerenja.

Srednja kvadratna greška rezultata indirektnih mjerenja veličine Y, koja je funkcija Y = F (X 1, X 2, X n), izračunava se po formuli

(1.16)

gdje su S 1 , S 2 , S n srednje kvadratne greške rezultata mjerenja za X 1 , X 2 , X n .

Ako se radi veće pouzdanosti dobijanja zadovoljavajućeg rezultata izvrši nekoliko serija mjerenja, srednja kvadratna greška pojedinačnog mjerenja iz m serije (S m) se nalazi po formuli

(1.17)

gdje je n broj mjerenja u seriji; N je ukupan broj mjerenja u svim serijama; m je broj serija.

Uz ograničen broj mjerenja, često je potrebno znati RMS grešku. Za određivanje greške S, izračunate po formuli (2.7), i greške S m, izračunate po formuli (2.12), možete koristiti sljedeće izraze

(1.18)

(1.19)

gdje su S i S m srednje kvadratne greške za S i S m , respektivno.

Na primjer, prilikom obrade rezultata serije mjerenja dužine x, dobili smo

= 86 mm 2 pri n = 10,

= 3,1 mm

= 0,7 mm ili S = ±0,7 mm

Vrijednost S = ±0,7 mm znači da je zbog greške u proračunu s u rasponu od 2,4 do 3,8 mm, pa su desetinke milimetra ovdje nepouzdane. U razmatranom slučaju potrebno je zapisati: S = ±3 mm.

Da bi se imalo veće povjerenje u procjenu greške rezultata mjerenja, izračunava se greška povjerenja ili granice povjerenja greške. Sa normalnim zakonom raspodjele, granice pouzdanosti greške se izračunavaju kao ±t-s ili ±t-s x , gdje su s i s x srednje kvadratne greške jednog mjerenja u nizu i aritmetička sredina; t je broj koji zavisi od nivoa pouzdanosti P i broja merenja n.

Važan koncept je pouzdanost rezultata mjerenja (α), tj. vjerovatnoća da željena vrijednost mjerene veličine padne u zadati interval pouzdanosti.

Na primjer, kada se obrađuju dijelovi na alatnim mašinama u stabilnom tehnološkom režimu, distribucija grešaka se pridržava normalnog zakona. Pretpostavimo da je tolerancija dužine dijela postavljena na 2a. U ovom slučaju, interval pouzdanosti u kojem se nalazi željena vrijednost dužine dijela a bit će (a - a, a + a).

Ako je 2a = ±3s, tada je pouzdanost rezultata a = 0,68, tj. u 32 slučaja od 100 treba očekivati da veličina dijela prelazi toleranciju od 2a. Prilikom procjene kvalitete dijela prema toleranciji 2a = ±3s, pouzdanost rezultata će biti 0,997. U ovom slučaju može se očekivati da samo tri dijela od 1000 prelaze utvrđenu toleranciju, međutim povećanje pouzdanosti moguće je samo smanjenjem greške u dužini dijela. Dakle, da bi se povećala pouzdanost sa a = 0,68 na a = 0,997, greška u dužini dijela mora se smanjiti za faktor tri.

Nedavno je izraz „pouzdanost mjerenja“ postao široko rasprostranjen. U nekim slučajevima se nerazumno koristi umjesto izraza "preciznost mjerenja". Na primjer, u nekim izvorima možete pronaći izraz "uspostavljanje jedinstva i pouzdanosti mjerenja u zemlji". Dok bi ispravnije bilo reći „uspostavljanje jedinstva i potrebne tačnosti mjerenja“. Pouzdanost se kod nas smatra kvalitativnom karakteristikom, koja odražava blizinu nuli slučajnih grešaka. Kvantitativno se može odrediti kroz nepouzdanost mjerenja.

Nesigurnost mjerenja(ukratko - nepouzdanost) - procjena neslaganja između rezultata u nizu mjerenja zbog utjecaja ukupnog utjecaja slučajnih grešaka (utvrđenih statističkim i nestatističkim metodama), karakteriziranih rasponom vrijednosti u gde se nalazi prava vrednost merene veličine.

U skladu sa preporukama Međunarodnog biroa za utege i mjere, nesigurnost se izražava kao ukupna standardna greška mjerenja - Su uključujući standardnu grešku S (utvrđenu statističkim metodama) i standardnu grešku u (utvrđenu nestatističkim metodama). ), tj.

(1.20)

Granična greška mjerenja(ukratko - marginalna greška) - maksimalna greška merenja (plus, minus), čija verovatnoća ne prelazi vrednost P, dok je razlika 1 - P beznačajna.

Na primjer, sa normalnom distribucijom, vjerovatnoća slučajne greške od ±3s je 0,997, a razlika 1-P = 0,003 je beznačajna. Stoga se u mnogim slučajevima greška pouzdanosti ±3s uzima kao granica, tj. pr = ±3s. Ako je potrebno, pr može imati i druge odnose sa s za dovoljno veliko P (2s, 2,5s, 4s, itd.).

U vezi sa činjenicom da se u GSI standardima umjesto pojma „srednja kvadratna greška“ koristi termin „srednja kvadratna devijacija“, u daljem razmišljanju ćemo se pridržavati ovog pojma.

Apsolutna greška mjerenja(ukratko - apsolutna greška) - greška mjerenja, izražena u jedinicama mjerene vrijednosti. Dakle, greška X mjerenja dužine dijela X, izražena u mikrometrima, je apsolutna greška.

Ne treba miješati pojmove “apsolutna greška” i “vrijednost apsolutne greške”, što se podrazumijeva kao vrijednost greške bez uzimanja u obzir predznaka. Dakle, ako je apsolutna greška mjerenja ±2 μV, tada će apsolutna vrijednost greške biti 0,2 μV.

Relativna greška mjerenja(ukratko - relativna greška) - greška merenja, izražena kao deo vrednosti izmerene vrednosti ili kao procenat. Relativna greška δ se nalazi iz omjera:

(1.21)

Na primjer, postoji realna vrijednost dužine dijela x = 10,00 mm i apsolutna vrijednost greške x = 0,01 mm. Relativna greška će biti

Statička greška je greška rezultata mjerenja zbog uvjeta statičkog mjerenja.

Dinamička greška je greška rezultata mjerenja zbog uslova dinamičkog mjerenja.

Greška u reprodukciji jedinice- greška rezultata mjerenja pri reprodukciji jedinice fizičke veličine. Dakle, greška u reprodukciji jedinice pomoću državnog standarda je naznačena u obliku njegovih komponenti: neisključena sistematska greška, koju karakteriše njena granica; slučajna greška koju karakteriše standardna devijacija s i godišnja nestabilnost ν.

Greška u prijenosu veličine jedinice je greška u rezultatu mjerenja pri prenošenju veličine jedinice. Greška prijenosa veličine jedinice uključuje neisključene sistematske greške i slučajne greške metode i načina prijenosa veličine jedinice (na primjer, komparator).

U praksi su obično brojevi na kojima se vrše proračuni približne vrijednosti određenih veličina. Radi kratkoće, približna vrijednost količine naziva se približni broj. Prava vrijednost količine naziva se tačan broj. Približan broj ima praktičnu vrijednost samo kada možemo utvrditi s kojim stepenom tačnosti je dat, tj. proceniti njegovu grešku. Prisjetite se osnovnih pojmova iz opšteg kursa matematike.

označiti: x- tačan broj (prava vrijednost količine), a- približni broj (približna vrijednost količine).

Definicija 1. Greška (ili istinita greška) približnog broja je razlika između broja x i njegovu približnu vrijednost a. Približna greška a označićemo . dakle,

Tačan broj x najčešće je nepoznat, stoga nije moguće pronaći prave i apsolutne greške. S druge strane, možda će biti potrebno procijeniti apsolutnu grešku, tj. označava broj koji apsolutna greška ne može premašiti. Na primjer, kada mjerimo dužinu objekta ovim alatom, moramo biti sigurni da greška dobijene numeričke vrijednosti neće preći određeni broj, na primjer, 0,1 mm. Drugim riječima, moramo znati granicu apsolutne greške. Ova granica će se zvati granična apsolutna greška.

Definicija 3. Granična apsolutna greška približnog broja a se zove pozitivan broj takav da , tj.

znači, X nedostatkom, viškom. Također se koristi sljedeći unos:

(2.5)

Jasno je da se granična apsolutna greška određuje dvosmisleno: ako je određeni broj granična apsolutna greška, onda je svaki veći broj također granična apsolutna greška. U praksi pokušavaju da izaberu najmanji mogući i jednostavni (sa 1-2 značajne cifre) broj koji zadovoljava nejednakost (2.3).

Primjer.Odredite prave, apsolutne i granične apsolutne greške broja a = 0,17, uzete kao približna vrijednost broja.

Prava greška:

Apsolutna greška:

Za graničnu apsolutnu grešku možete uzeti broj i bilo koji veći broj. U decimalnom zapisu imat ćemo: Zamijenivši ovaj broj velikim i možda jednostavnijim zapisom, prihvatit ćemo:

Komentar. Ako a a je približna vrijednost broja X, a granična apsolutna greška je jednaka h, onda to kažu a je približna vrijednost broja X do h.

Poznavanje apsolutne greške nije dovoljno za karakterizaciju kvaliteta mjerenja ili proračuna. Neka se, na primjer, takvi rezultati dobiju pri mjerenju dužine. Udaljenost između dva grada S1=500 1 km i udaljenost između dvije zgrade u gradu S2=10 1 km. Iako su apsolutne greške oba rezultata iste, bitno je da u prvom slučaju apsolutna greška od 1 km pada na 500 km, u drugom - na 10 km. Kvalitet mjerenja u prvom slučaju je bolji nego u drugom. Kvalitet rezultata mjerenja ili proračuna karakterizira relativna greška.

Definicija 4. Relativna greška približne vrijednosti a brojevi X je omjer apsolutne greške broja a na apsolutnu vrijednost broja X:

Definicija 5. Granična relativna greška približnog broja a se zove pozitivan broj takav da .

Budući da , iz formule (2.7) slijedi da se može izračunati iz formule

(2.8)

Ukratko, u slučajevima kada to ne uzrokuje nesporazum, umjesto „ograničavajući relativnu grešku“, jednostavno kažu „relativna greška“.

Granična relativna greška se često izražava u postocima.

Primjer 1. . Uz pretpostavku , možemo prihvatiti = . Dijeljenjem i zaokruživanjem (obavezno naviše) dobijamo = 0,0008 = 0,08%.

Primjer 2Prilikom vaganja tijela dobijen je rezultat: p=23,4 0,2 g. Imamo = 0,2. . Dijeljenjem i zaokruživanjem dobijamo = 0,9%.

Formula (2.8) određuje odnos između apsolutne i relativne greške. Iz formule (2.8) slijedi:

(2.9)

Koristeći formule (2.8) i (2.9), možemo, ako je broj poznat a, prema datoj apsolutnoj grešci, naći relativnu grešku i obrnuto.

Imajte na umu da se formule (2.8) i (2.9) često moraju primjenjivati čak i kada još ne znamo približan broj a sa potrebnom preciznošću, ali znamo grubu približnu vrijednost a. Na primjer, potrebno je izmjeriti dužinu objekta s relativnom greškom ne većom od 0,1%. Pitanje je: da li je moguće izmjeriti dužinu sa potrebnom preciznošću pomoću čeljusti koja vam omogućava mjerenje dužine s apsolutnom greškom do 0,1 mm? Iako još nismo izmjerili objekt preciznim instrumentom, znamo da je gruba približna vrijednost dužine oko 12 cm. Formulom (1.9) nalazimo apsolutnu grešku:

Iz ovoga se vidi da je uz pomoć čeljusti moguće izvršiti mjerenje sa potrebnom preciznošću.

U procesu računskog rada često je potrebno preći sa apsolutne na relativnu grešku, i obrnuto, što se radi pomoću formula (1.8) i (1.9).