Izračunajte modul geometrijskog zbira vektora. Vektori

Mnoge fizičke veličine su u potpunosti određene dodjelom nekog broja. To su, na primjer, zapremina, masa, gustina, tjelesna temperatura itd. Takve veličine se nazivaju skalarne. Iz tog razloga, brojevi se ponekad nazivaju skalarima. Ali postoje i takve količine koje se određuju postavljanjem ne samo broja, već i određenog smjera. Na primjer, kada se tijelo kreće, treba naznačiti ne samo brzinu kojom se tijelo kreće, već i smjer kretanja. Na isti način, kada se proučava djelovanje bilo koje sile, potrebno je naznačiti ne samo vrijednost ove sile, već i smjer njenog djelovanja. Takve količine se nazivaju vektor. Da bismo ih opisali, uveden je koncept vektora, što se pokazalo korisnim za matematiku.

Vektorska definicija

Svaki uređeni par tačaka A do B u prostoru definira usmjereni segment, tj. segment zajedno sa smjerom datim na njemu. Ako je tačka A prva, onda se zove početak usmjerenog segmenta, a tačka B se zove njegov kraj. Smjer segmenta je smjer od početka do kraja.

Definicija
Usmjereni segment se naziva vektor.

Vektor ćemo označiti simbolom \(\overrightarrow(AB) \), pri čemu prvo slovo označava početak vektora, a drugo - njegov kraj.

Vektor čiji su početak i kraj isti naziva se nula i označava se sa \(\vec(0) \) ili samo 0.

Udaljenost između početka i kraja vektora naziva se njegova dugo i označeno sa \(|\overrightarrow(AB)| \) ili \(|\vec(a)| \).

Vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) se nazivaju kolinearno ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima. Kolinearni vektori mogu biti usmjereni isto ili suprotno.

Sada možemo formulirati važan koncept jednakosti dvaju vektora.

Definicija
Vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) nazivaju se jednaki (\(\vec(a) = \vec(b) \)) ako su kolinearni, imaju isti smjer, a njihove dužine su jednake.

Na sl. 1, nejednaki vektori su prikazani na lijevoj strani, a jednaki vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) su prikazani na desnoj strani. Iz definicije jednakosti vektora slijedi da ako se dati vektor pomjeri paralelno sa samim sobom, onda će se dobiti vektor jednak datom. U tom smislu se vektori u analitičkoj geometriji nazivaju besplatno.

Projekcija vektora na osu

Neka su os \(u\) i neki vektor \(\overrightarrow(AB)\) dati u prostoru. Povucimo kroz tacke A i B u ravni okomitoj na osu \ (u \). Označimo sa A "i B" tačke preseka ovih ravni sa osom (vidi sliku 2).

Projekcija vektora \(\overrightarrow(AB) \) na osu \(u\) je vrijednost A"B" usmjerenog segmenta A"B" na osi \(u\). Prisjetite se toga
\(A"B" = |\overrightarrow(A"B")| \) , ako je smjer \(\overrightarrow(A"B") \) isti kao i smjer ose \(u \),
\(A"B" = -|\overrightarrow(A"B")| \) ako je smjer \(\overrightarrow(A"B") \) suprotan od smjera ose \(u \),
Projekcija vektora \(\overrightarrow(AB) \) na osu \(u \) je označena na sljedeći način: \(Pr_u \overrightarrow(AB) \).

Teorema
Projekcija vektora \(\overrightarrow(AB) \) na osu \(u \) jednaka je dužini vektora \(\overrightarrow(AB) \) puta kosinusa ugla između vektora \( \overrightarrow(AB) \) i os \( u \) , tj.

\(P_u \overrightarrow(AB) = |\overrightarrow(AB)|\cos \varphi \) gdje je \(\varphi \) ugao između vektora \(\overrightarrow(AB) \) i ose \(u \).

Komentar
Neka su \(\overrightarrow(A_1B_1)=\overrightarrow(A_2B_2) \) i neka os \(u \). Primjenjujući formulu teoreme na svaki od ovih vektora, dobivamo

\(Ex_u \overrightarrow(A_1B_1) = Ex_u \overrightarrow(A_2B_2) \) tj. jednaki vektori imaju jednake projekcije na istu osu.

Vektorske projekcije na koordinatne ose

Neka su u prostoru dati pravougaoni koordinatni sistem Oxyz i proizvoljni vektor \(\overrightarrow(AB) \). Neka, dalje, \(X = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Y = Pr_u \overrightarrow(AB), \;\; Z = Pr_u \overrightarrow(AB) \). Projekcije X, Y, Z vektora \(\overrightarrow(AB) \) na koordinatne ose to nazivaju koordinate. Istovremeno pišu
\(\overrightarrow(AB) = (X;Y;Z) \)

Teorema
Koje god da su dvije točke A(x 1 ; y 1 ; z 1) i B(x 2 ; y 2; z 2), koordinate vektora \(\overrightarrow(AB) \) definiraju se sljedećim formulama :

X \u003d x 2 -x 1, Y \u003d y 2 -y 1, Z = z 2 -z 1

Komentar
Ako vektor \(\overrightarrow(AB) \) napusti ishodište, tj. x 2 = x, y 2 = y, z 2 = z, tada su koordinate X, Y, Z vektora \(\overrightarrow(AB) \) jednake koordinatama njegovog kraja:
X=x, Y=y, Z=z.

Kosinus smjera vektora

Neka je proizvoljan vektor \(\vec(a) = (X;Y;Z) \); pretpostavljamo da \(\vec(a) \) napušta ishodište i ne leži ni u jednoj koordinatnoj ravni. Povučemo kroz tačku A ravni okomite na ose. Zajedno sa koordinatnim ravnima formiraju pravougaoni paralelepiped, čija je dijagonala segment OA (vidi sliku).

Iz elementarne geometrije je poznato da je kvadrat dužine dijagonale pravougaonog paralelepipeda jednak zbiru kvadrata dužina njegove tri dimenzije. shodno tome,
\(|OA|^2 = |OA_x|^2 + |OA_y|^2 + |OA_z|^2 \)
Ali \(|OA| = |\vec(a)|, \;\; |OA_x| = |X|, \;\; |OA_y| = |Y|, \;\;|OA_z| = |Z| \); tako dobijamo
\(|\vec(a)|^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 \)
ili
\(|\vec(a)| = \sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2) \)
Ova formula izražava dužinu proizvoljnog vektora u smislu njegovih koordinata.

Označite sa \(\alpha, \; \beta, \; \gamma \) uglove između vektora \(\vec(a) \) i koordinatnih osa. Iz formula za projekciju vektora na osu i dužinu vektora dobijamo
\(\cos \alpha = \frac(X)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \beta = \frac(Y)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \gamma = \frac(Z)(\sqrt(X^2 + Y^2 + Z^2)) \)
\(\cos \alpha, \;\; \cos \beta, \;\; \cos \gamma \) se nazivaju kosinus smjera vektora \(\vec(a) \).

Kvadriranjem lijeve i desne strane svake od prethodnih jednakosti i sumiranjem rezultata, imamo
\(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
one. zbir kosinusa smjera na kvadrat bilo kojeg vektora jednak je jedan.

Linearne operacije nad vektorima i njihova glavna svojstva

Linearne operacije nad vektorima su operacije sabiranja i oduzimanja vektora i množenja vektora brojevima.

Sabiranje dva vektora

Neka su data dva vektora \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \). Zbir \(\vec(a) + \vec(b) \) je vektor koji ide od početka vektora \(\vec(a) \) do kraja vektora \(\vec(b) \) pod uslovom da je vektor \(\vec(b) \) vezan za kraj vektora \(\vec(a) \) (vidi sliku).

Komentar
Djelovanje oduzimanja vektora je suprotno djelovanju sabiranja, tj. razlika \(\vec(b) - \vec(a) \) vektora \(\vec(b) \) i \(\vec(a) \) je vektor koji zajedno sa vektorom \( \vec(a) ) \) daje vektor \(\vec(b) \) (vidi sliku).

Komentar
Odredivši zbir dva vektora, može se pronaći zbir bilo kojeg broja datih vektora. Neka su, na primjer, data tri vektora \(\vec(a),\;\; \vec(b), \;\; \vec(c) \). Sabiranjem \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \), dobijamo vektor \(\vec(a) + \vec(b) \). Sada kada tome dodamo vektor \(\vec(c) \), dobijamo vektor \(\vec(a) + \vec(b) + \vec(c) \)

Proizvod vektora brojem

Neka su dati vektor \(\vec(a) \neq \vec(0) \) i broj \(\lambda \neq 0 \). Proizvod \(\lambda \vec(a) \) je vektor koji je kolinearan sa vektorom \(\vec(a) \), ima dužinu jednaku \(|\lambda| |\vec(a)| \), i smjer isti kao vektor \(\vec(a) \) ako je \(\lambda > 0 \), i suprotan ako \(\lambda (0) \) brojem \(\lambda \neq 0 \) može se izraziti na sljedeći način: ako je \(|\lambda| >1 \), onda kada množite vektor \(\vec(a) \) brojem \( \lambda \) vektor \( \vec(a) \) je "rastegnut" za \(\lambda \) puta, i ako je \(|\lambda| 1 \).

Ako je \(\lambda =0 \) ili \(\vec(a) = \vec(0) \), onda se pretpostavlja da je proizvod \(\lambda \vec(a) \) jednak nultom vektoru.

Komentar
Koristeći definiciju množenja vektora brojem, lako je dokazati da ako su vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) kolinearni i \(\vec(a) \neq \vec(0) \), tada postoji (i samo jedan) broj \(\lambda \) takav da je \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \)

Osnovna svojstva linearnih operacija

1. Komutativno svojstvo sabiranja
\(\vec(a) + \vec(b) = \vec(b) + \vec(a) \)

2. Asocijativno svojstvo sabiranja
\((\vec(a) + \vec(b))+ \vec(c) = \vec(a) + (\vec(b)+ \vec(c)) \)

3. Asocijativno svojstvo množenja
\(\lambda (\mu \vec(a)) = (\lambda \mu) \vec(a) \)

4. Distributivno svojstvo u odnosu na zbir brojeva
\((\lambda +\mu) \vec(a) = \lambda \vec(a) + \mu \vec(a) \)

5. Distributivna svojstva u odnosu na zbir vektora
\(\lambda (\vec(a)+\vec(b)) = \lambda \vec(a) + \lambda \vec(b) \)

Komentar
Ova svojstva linearnih operacija su od fundamentalnog značaja, jer omogućavaju izvođenje običnih algebarskih operacija nad vektorima. Na primjer, zbog svojstava 4 i 5, moguće je izvršiti množenje skalarnog polinoma vektorskim polinomom "pojam po član".

Teoreme vektorske projekcije

Teorema
Projekcija zbira dva vektora na osu jednaka je zbiru njihovih projekcija na ovu osu, tj.
\(Pr_u (\vec(a) + \vec(b)) = Pr_u \vec(a) + Pr_u \vec(b) \)

Teorema se može generalizirati na slučaj bilo kojeg broja pojmova.

Teorema
Prilikom množenja vektora \(\vec(a) \) brojem \(\lambda \), njegova projekcija na osu se također množi ovim brojem, tj. \(Ex_u \lambda \vec(a) = \lambda Ex_u \vec(a) \)

Posljedica
Ako je \(\vec(a) = (x_1;y_1;z_1) \) i \(\vec(b) = (x_2;y_2;z_2) \), tada
\(\vec(a) + \vec(b) = (x_1+x_2; \; y_1+y_2; \; z_1+z_2) \)

Posljedica
Ako je \(\vec(a) = (x;y;z) \), tada je \(\lambda \vec(a) = (\lambda x; \; \lambda y; \; \lambda z) \) za bilo koji broj \(\lambda \)

Odavde je lako zaključiti uslov kolinearnosti dva vektora u koordinatama.
Zaista, jednakost \(\vec(b) = \lambda \vec(a) \) je ekvivalentna jednakosti \(x_2 = \lambda x_1, \; y_2 = \lambda y_1, \; z_2 = \lambda z_1 \ ) ili
\(\frac(x_2)(x_1) = \frac(y_2)(y_1) = \frac(z_2)(z_1) \) tj. vektori \(\vec(a) \) i \(\vec(b) \) su kolinearni ako i samo ako su njihove koordinate proporcionalne.

Dekompozicija vektora u smislu baze

Neka su vektori \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) jedinični vektori koordinatnih osa, tj. \(|\vec(i)| = |\vec(j)| = |\vec(k)| = 1 \), a svaki od njih je jednako usmjeren prema odgovarajućoj koordinatnoj osi (vidi sliku). Trojka vektora \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k) \) naziva se osnovu.
Vrijedi sljedeća teorema.

Teorema
Bilo koji vektor \(\vec(a) \) može se jednoznačno proširiti u bazi \(\vec(i), \; \vec(j), \; \vec(k)\; \), tj. predstavljen u formi
\(\vec(a) = \lambda \vec(i) + \mu \vec(j) + \nu \vec(k) \)
gdje su \(\lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) neki brojevi.

Zbir vektora. Dužina vektora. Dragi prijatelji, postoji grupa zadataka sa vektorima u vrstama ispita. Zadaci prilično širokog spektra (važno je poznavati teorijske osnove). Većina se rješava usmeno. Pitanja se odnose na pronalaženje dužine vektora, sume (razlike) vektora, skalarnog proizvoda. Postoji i mnogo zadataka za čije je rješavanje potrebno izvršiti radnje s koordinatama vektora.

Teorija vektora je jednostavna i treba je dobro razumjeti. U ovom članku ćemo analizirati zadatke vezane za pronalaženje dužine vektora, kao i zbroj (razlike) vektora. Neke teorijske tačke:

Vektorski koncept

Vektor je usmjeren segment.

Svi vektori koji imaju isti smjer i jednake su dužine jednaki su.

*Sva četiri gornja vektora su jednaka!

Odnosno, ako koristimo paralelno prevođenje da pomerimo vektor koji nam je dat, uvek ćemo dobiti vektor jednak originalnom. Dakle, može postojati beskonačan broj jednakih vektora.

Vektorska notacija

Vektor se može označiti latiničnim velikim slovima, na primjer:

Kod ovog oblika zapisa prvo se piše slovo koje označava početak vektora, a zatim slovo koje označava kraj vektora.

Drugi vektor je označen jednim slovom latinične abecede (veliko):

Moguća je i oznaka bez strelica:

Zbir dva vektora AB i BC biće vektor AC.
Zapisuje se kao AB + BC \u003d AC.

Ovo pravilo se zove - pravilo trougla.

Odnosno, ako imamo dva vektora - nazovimo ih uslovno (1) i (2), a kraj vektora (1) se poklapa sa početkom vektora (2), tada će zbir ovih vektora biti vektor čiji se početak poklapa sa početkom vektora (1) , a kraj se poklapa sa krajem vektora (2).

Zaključak: ako imamo dva vektora na ravni, uvijek možemo pronaći njihov zbir. Koristeći paralelno prevođenje, možete pomjeriti bilo koji od ovih vektora i povezati njegov početak s krajem drugog. Na primjer:

Pomerimo vektor b, ili na drugi način - konstruisaćemo jednako tome:

Kako se nalazi zbir nekoliko vektora? Po istom principu:

* * *

pravilo paralelograma

Ovo pravilo je posljedica gore navedenog.

Za vektore sa zajedničkim ishodištem, njihov zbir je predstavljen dijagonalom paralelograma izgrađenog na ovim vektorima.

Konstruirajmo vektor jednak vektoru b tako da se njegov početak poklapa sa krajem vektora a, i možemo izgraditi vektor koji će biti njihov zbir:

Još neke važne informacije potrebne za rješavanje problema.

Vektor jednak po dužini originalnom, ali suprotno usmjeren, također je označen, ali ima suprotan predznak:

Ova informacija je izuzetno korisna za rješavanje problema u kojima se postavlja pitanje nalaženja razlike vektora. Kao što vidite, razlika vektora je isti zbir u modificiranom obliku.

Neka su data dva vektora, pronađite njihovu razliku:

Napravili smo vektor suprotan vektoru b i pronašli razliku.

Vektorske koordinate

Da biste pronašli vektorske koordinate, morate oduzeti odgovarajuće početne koordinate od krajnjih koordinata:

To jest, koordinate vektora su par brojeva.

Ako a

A koordinate vektora izgledaju ovako:

Tada c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Ako a

Tada c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

Vektorski modul

Modul vektora je njegova dužina, određena formulom:

Formula za određivanje dužine vektora ako su poznate koordinate njegovog početka i kraja:

Razmotrite zadatke:

Dve stranice pravougaonika ABCD su 6 i 8. Dijagonale se sijeku u tački O. Odredite dužinu razlike između vektora AO i BO.

Nađimo vektor koji će biti rezultat AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

To jest, razlika između vektora AO i VO će biti vektor AB. A njegova dužina je osam.

Dijagonale romba A B C D su 12 i 16. Odredite dužinu vektora AB +AD.

Nađimo vektor koji će biti zbir vektora AD i AB BC jednak vektoru AD. Dakle AB+AD=AB+BC=AC

AC je dužina dijagonale romba AC, jednako je 16.

Dijagonale romba ABCD seku se u tački O i jednaki su 12 i 16. Odredite dužinu vektora AO + BO.

Nađimo vektor koji će biti zbir vektora AO i BO BO jednak vektoru OD,

AD je dužina stranice romba. Problem se svodi na pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu AOD. Izračunajmo noge:

Prema Pitagorinoj teoremi:

Dijagonale romba ABCD seku se u tački O i jednake su 12 i 16. Odredite dužinu vektora AO –BO.

Nađimo vektor koji će biti rezultat AO - VO:

AB je dužina stranice romba. Problem se svodi na pronalaženje hipotenuze AB u pravokutnom trokutu AOB. izračunaj noge:

Prema Pitagorinoj teoremi:

Stranice pravilnog trougla ABC su 3.

Odredite dužinu vektora AB -AC.

Nađimo rezultat razlike vektora:

CB je jednako tri, jer uslov kaže da je trougao jednakostraničan i da su njegove stranice jednake 3.

27663. Nađite dužinu vektora a (6; 8).

27664. Nađi kvadrat dužine vektora AB.

U matematici i fizici studenti i školarci se često susreću sa zadacima za vektorske veličine i za izvođenje raznih operacija nad njima. Koja je razlika između vektorskih veličina i nama poznatih skalarnih veličina čija je jedina karakteristika numerička vrijednost? Zato što imaju pravac.

Upotreba vektorskih veličina najjasnije je objašnjena u fizici. Najjednostavniji primjeri su sile (sila trenja, elastična sila, težina), brzina i ubrzanje, jer osim brojčanih vrijednosti imaju i smjer djelovanja. Za poređenje, uzmimo skalarni primjer: ovo može biti rastojanje između dvije tačke ili masa tijela. Zašto je potrebno izvoditi operacije nad vektorskim veličinama kao što su sabiranje ili oduzimanje? Ovo je neophodno kako bi se mogao odrediti rezultat djelovanja vektorskog sistema koji se sastoji od 2 ili više elemenata.

Definicije vektorske matematike

Predstavimo glavne definicije koje se koriste pri izvođenju linearnih operacija.

Vektor je usmjereni (koji ima početnu i krajnju tačku) segment.
Dužina (modulus) je dužina usmjerenog segmenta.
Kolinearni vektori su dva vektora koja su ili paralelna sa istom linijom ili istovremeno leže na njoj.
Suprotno usmjereni vektori nazivaju se kolinearni i istovremeno usmjereni u različitim smjerovima. Ako im se smjer poklapa, onda su kosmjerni.
Vektori su jednaki kada su kosmjerni i imaju istu apsolutnu vrijednost.
Zbir dva vektora a i b je takav vektor c, čiji se početak poklapa s početkom prvog, a kraj - s krajem drugog, pod uslovom da b počinje na istoj tački na kojoj se završava a.
Vektorska razlika a i b nazovite sumu a i ( - b ), gdje ( - b ) - suprotno vektoru b. Također, definicija razlike dva vektora može se dati na sljedeći način: razlikom c par vektora a i b nazovi ovo c, što, kada se doda oduzetom b formira smanjenu a.

Analitička metoda

Analitička metoda podrazumijeva dobivanje koordinata razlike prema formuli bez konstrukcije. Moguće je izvršiti proračun za ravan (dvodimenzionalni), volumetrijski (trodimenzionalni) ili n-dimenzionalni prostor.

Za dvodimenzionalni prostor i vektorske veličine a {a₁;a₂) i b {b₁;b₂} kalkulacije će izgledati ovako: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

U slučaju dodavanja treće koordinate, proračun će se izvršiti na sličan način, i za a {a₁;a₂; a₃) i b {b₁;b₂; b₃) koordinate razlike će se također dobiti parnim oduzimanjem: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.

Računanje razlike grafički

Da biste grafički nacrtali razliku, trebali biste koristiti pravilo trokuta. Da biste to učinili, morate izvršiti sljedeći niz radnji:

Za date koordinate konstruirajte vektore za koje trebate pronaći razliku.
Kombinujte njihove krajeve (tj. konstruišite dva usmerena segmenta jednaka datim, koji će se završiti u istoj tački).
Povežite početke oba usmjerena segmenta i označite smjer; rezultirajući će početi u istoj tački gdje je vektor koji se smanjuje i završiti u početnoj tački vektora koji se oduzima.

Rezultat operacije oduzimanja prikazan je na donjoj slici..

Postoji i metod za konstruisanje razlike, malo drugačiji od prethodnog. Njegova suština leži u primjeni teoreme o razlici vektora, koja je formulirana na sljedeći način: da bi se pronašla razlika para usmjerenih segmenata, dovoljno je pronaći zbir prvog od njih sa segmentom nasuprot do drugog. Algoritam konstrukcije će izgledati ovako:

Konstruirati početne usmjerene segmente.
Onaj koji je oduzet mora se reflektovati, tj. konstruisati suprotno usmeren i jednak segment; zatim kombinujte njegov početak sa smanjenim.
Konstruirajte zbir: povežite početak prvog segmenta sa krajem drugog.

Rezultat ove odluke prikazan je na slici:

Rješavanje problema

Da bismo konsolidirali vještinu, analizirat ćemo nekoliko zadataka u kojima je potrebno analitički ili grafički izračunati razliku.

Zadatak 1. Na ravni su 4 tačke: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Odredite koordinate vektora q = AB - CD i izračunajte njegovu dužinu.

Rješenje. Prvo morate pronaći koordinate AB i CD. Da biste to učinili, oduzmite koordinate početnih tačaka od koordinata krajnjih tačaka. Za AB početak je A(1; -3), a kraj - B(0; 4). Izračunajte koordinate usmjerenog segmenta:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Sličan proračun se vrši za CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Sada, znajući koordinate, možete pronaći razliku vektora. Ranije je razmatrana formula za analitičko rješenje ravninskih problema: for c = a- b koordinate izgledaju kao ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Za konkretan slučaj možete napisati:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Da pronađem dužinu q, koristimo formulu | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.

Zadatak 2. Na slici su prikazani vektori m, n i p.

Za njih je potrebno konstruisati razlike: str- n; m- n; m-n- str. Saznajte koji od njih ima najmanji modul.

Rješenje. Zadatak zahtijeva tri konstrukcije. Pogledajmo detaljnije svaki dio zadatka.

Dio 1. Da bi se prikazao str-n, Koristimo pravilo trougla. Da bismo to učinili, koristeći paralelnu translaciju, povezujemo segmente tako da im se krajnja točka podudara. Sada spojimo početne tačke i odredimo pravac. U našem slučaju vektor razlike počinje na istom mjestu kao i oduzeti. n.

Dio 2. Hajde da prikažemo m-n. Sada za rješenje koristimo teoremu o razlici vektora. Da biste to učinili, konstruirajte vektor nasuprot n, a zatim pronađite njen zbir sa m. Rezultat će izgledati ovako:

dio 3 Da bi se pronašla razlika m-n-p, podijelite izraz u dva koraka. Budući da se u vektorskoj algebri primjenjuju zakoni slični zakonima aritmetike, moguće su sljedeće opcije:

m-(n+p): u ovom slučaju, zbroj se prvo gradi n+p, što se zatim oduzima od m;
(m-n)-str: ovdje prvo morate pronaći m-n, a zatim oduzmite od ove razlike str;
(m-p)-n: prva radnja je određena m-p, nakon čega od rezultata trebate oduzeti n.

Pošto smo u prethodnom dijelu problema već pronašli razliku m-n, možemo samo oduzeti od toga str. Konstruirajmo razliku dva data vektora koristeći teorem razlike. Odgovor je prikazan na donjoj slici (crvena označava srednji rezultat, a zelena označava konačni rezultat).

Ostaje odrediti koji od segmenata ima najmanji modul. Podsjetimo da su koncepti dužine i modula u vektorskoj matematici identični. Vizuelno procijenite dužine str- n, m-n i m-n-p. Očigledno, odgovor u posljednjem dijelu zadatka je najkraći i ima najmanji modul, naime m-n-p.

Matematičke ili fizičke veličine mogu se predstaviti ili kao skalarne veličine (numerička vrijednost) ili kao vektorske veličine (veličina i smjer u prostoru).

Vektor je usmjereni segment za koji je naznačeno koja je njegova granična točka početak, a koja kraj. Dakle, postoje dvije komponente u vektoru - ovo je njegova dužina i smjer.

Slika vektora na crtežu.

Kada se radi sa vektorima, često se uvodi određeni kartezijanski koordinatni sistem u kojem se koordinate vektora određuju tako što se dekomponuju na bazne vektore:

Za vektor koji se nalazi u koordinatnom prostoru (x,y,z) i napušta ishodište

Udaljenost između početka i kraja vektora naziva se njegova dužina, a simbol modula se koristi za označavanje dužine vektora (njegove apsolutne vrijednosti).

Vektori koji se nalaze na istoj liniji ili na paralelnim linijama nazivaju se kolinearni. Nulti vektor se smatra kolinearnim bilo kom vektoru. Među kolinearnim vektorima razlikuju se jednako usmjereni (kousmjereni) i suprotno usmjereni vektori. Vektori se nazivaju koplanarni ako leže ili na istoj ravni ili na pravim linijama paralelnim sa istom ravninom.

1.Vektorska dužina (vektorski modul)

Dužina vektora određuje njegovu skalarnu vrijednost i ovisi o njegovim koordinatama, ali ne ovisi o njegovom smjeru. Dužina vektora (ili modula vektora) se izračunava pomoću aritmetičkog kvadratnog korijena zbira kvadrata koordinata (komponenti) vektora (koristi se pravilo za izračunavanje hipotenuze u pravokutnom trokutu, gdje je sam vektor postaje hipotenuza).

Preko koordinata modul vektora se izračunava na sljedeći način:

Za vektor koji se nalazi u koordinatnom prostoru (x,y) i izlazi iz početka

Za vektor koji se nalazi u koordinatnom prostoru (x,y,z) i izlazi iz ishodišta, formula će biti slična formuli za dijagonalu pravougaonog paralelepipeda, jer vektor u prostoru zauzima isti položaj u odnosu na koordinatu sjekire.

2. Ugao između vektora

Ugao između dva vektora nacrtana iz jedne tačke je najkraći ugao za koji se jedan od vektora mora rotirati oko svog početka do položaja drugog vektora. Ugao između vektora se određuje pomoću izraza za određivanje skalarnog proizvoda vektora

Dakle, kosinus ugla između vektora jednak je omjeru skalarnog proizvoda i proizvoda dužina ili modula vektora. Ova formula se može koristiti ako su poznate dužine vektora i njihov skalarni proizvod, ili su vektori dati koordinatama u pravougaonom koordinatnom sistemu na ravni ili u prostoru u obliku: i .

Ako su vektori A i B dati u trodimenzionalnom prostoru i koordinate svakog od njih date u obliku: i , tada je ugao između vektora određen sljedećim izrazom:

Treba napomenuti da se ugao između vektora i može odrediti primjenom kosinus teoreme za trokut: kvadrat bilo koje strane trokuta jednak je zbroju kvadrata druge dvije stranice minus dvostruki proizvod od ove stranice kosinusom ugla između njih.

gdje je AB, OA, OB odgovarajuća stranica trougla.

Kosinus teorema za trougao

Što se tiče vektorskog računa, ova formula će biti prepisana na sljedeći način:

Dakle, ugao između vektora i određen je sledećim izrazom:

gdje je i modul (dužina) vektora, a modul (dužina) vektora, koji se određuje iz razlike dva vektora. Nepoznate koje ulaze u jednačinu određene su koordinatama vektora i .

3. Vektorsko sabiranje

Sabiranje dva vektora i (zbir dva vektora) je operacija izračunavanja vektora , čiji su svi elementi jednaki parnom zbroju odgovarajućih elemenata vektora i . Ako su vektori dati u pravougaonom koordinatnom sistemu zbir vektora

Grafički, sa položaj dva slobodna vektora može se izvesti i po pravilu trougla i po pravilu paralelograma.

Sabiranje dva vektora

Sabiranje dva klizna vektora definirano je samo u slučaju kada se prave na kojima se nalaze sijeku. Sabiranje dva fiksna vektora je definirano samo ako imaju zajedničko ishodište.

pravilo trougla.

Za dodavanje dva vektora i prema pravilu trokuta, oba ova vektora se prenose paralelno sa sobom tako da se početak jednog od njih poklapa s krajem drugog. Tada je vektor zbira zadan trećom stranom formiranog trokuta, a njegov početak se poklapa sa početkom prvog vektora, a kraj sa krajem drugog vektora.

gdje je ugao između vektora kada se početak jednog poklapa sa krajem drugog.

pravilo paralelograma.

Za dodavanje dva vektora i po pravilu paralelograma, oba ova vektora se prenose paralelno sa sobom tako da im se počeci poklapaju. Tada je vektor zbira dat dijagonalom paralelograma izgrađenog na njima, koji dolazi iz njihovog zajedničkog porijekla.

Modul (dužina) vektora sume određen je kosinusnim teoremom:

gdje je ugao između vektora koji izlaze iz iste tačke.

Bilješka:

Kao što vidite, u zavisnosti od toga koji je ugao izabran, predznak ispred kosinusa ugla se menja u formuli za određivanje modula (dužine) vektora zbira.

4. Razlika vektora

Razlika vektora i (oduzimanje vektora) je operacija izračunavanja vektora , čiji su svi elementi jednaki razlici u paru odgovarajućih elemenata vektora i . Ako su vektori dati u pravougaonom koordinatnom sistemu vektorska razlika i može se pronaći pomoću sljedeće formule:

U grafičkom obliku, razlika vektora i je zbir vektora i vektora suprotnog vektoru, tj.

Razlika dva slobodna vektora

Razlika dva slobodna vektora u grafičkom obliku može se odrediti i pravilom trougla i pravilom paralelograma. Modul (dužina) vektora razlike određen je kosinusnim teoremom. Ovisno o kutu koji se koristi u formuli, znak ispred kosinusa se mijenja (o čemu je bilo riječi ranije).

5. Tačkasti proizvod vektora

Skalarni proizvod dva vektora je realan broj jednak proizvodu dužina pomnoženih vektora i kosinusa ugla između njih. Skalarni proizvod vektora i označen je jednom od sljedećih oznaka ili ili i određen je formulom:

gdje su dužine vektora i, respektivno, i kosinus ugla između vektora.

Tačkasti proizvod dva vektora

Skalarni proizvod se takođe može izračunati preko koordinata vektora u pravougaonom koordinatnom sistemu u ravni ili u prostoru.

Skalarni proizvod dva vektora na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru u pravougaonom koordinatnom sistemu je zbir proizvoda odgovarajućih koordinata vektora i .

Dakle, za vektore i na ravni u pravougaonom Dekartovom koordinatnom sistemu, formula za izračunavanje skalarnog proizvoda je sledeća:

Za trodimenzionalni prostor, formula za izračunavanje skalarnog proizvoda vektora ima sljedeći oblik:

Svojstva skalarnog proizvoda.

1. Svojstvo komutativnosti skalarnog proizvoda

2. Svojstvo distributivnosti skalarnog proizvoda

3. Asocijativno svojstvo skalarnog proizvoda (asocijativnost)

gdje je proizvoljan realan broj.

Treba napomenuti da u slučaju:

Ako je tačkasti proizvod pozitivan, tada je ugao između vektora oštar (manji od 90 stepeni);

Ako je tačkasti proizvod negativan, tada je ugao između vektora tup (veći od 90 stepeni);

Ako je tačkasti proizvod 0, tada su vektori ortogonalni (koji leže okomito jedan na drugi);

Ako je skalarni proizvod jednak proizvodu dužina vektora, onda su ovi vektori međusobno kolinearni (paralelni).

6. Vektorski proizvod vektora

Vektorski proizvod dva vektora je vektor za koji su ispunjeni sljedeći uvjeti:

1. vektor je ortogonan (okomit) na ravan vektora i ;