Mnogo- zbirka bilo kojih objekata. Skupovi su označeni velikim slovima latinične abecede - od A prije Z.

Osnovni skupovi brojeva: skup prirodnih brojeva i skup cijelih brojeva, uvijek se označavaju istim slovima:

N- skup prirodnih brojeva

Z- skup cijelih brojeva

Set element je bilo koji objekat koji je dio skupa. Pripadnost objekta skupu se označava znakom ∈ . Snimanje

glasi ovako: 5 pripada skupu Z ili 5 - element skupa Z .

Skupovi se dijele na konačne i beskonačne. konačan skup- skup koji sadrži određeni (konačan) broj elemenata. Beskonačan skup je skup koji sadrži beskonačno mnogo elemenata. Beskonačni skupovi uključuju skupove prirodnih i cijelih brojeva.

Za definiranje skupa koriste se vitičaste zagrade u kojima su elementi navedeni odvojeni zarezima. Na primjer, unos

L = {2, 4, 6, 8}

znači toliko L sastoji se od četiri parna broja.

Termin skup se koristi bez obzira na to koliko elemenata sadrži. Skupovi koji ne sadrže nijedan element se pozivaju prazan.

Podset

Podset je skup čiji su svi elementi dio drugog skupa.

Možete vizuelno demonstrirati odnos između skupa i njegovog podskupa koristeći Ojlerovi krugovi. Ojlerovi krugovi su geometrijski dijagrami koji pomažu u vizualizaciji odnosa različitih objekata, u našem slučaju skupova.

Razmotrite dva seta:

L= (2, 4, 6, 8) i M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Svaki element seta L pripada skupu M, znači skup L M. Takav odnos skupova označava se znakom ⊂ :

L⊂M

Snimanje L⊂M glasi ovako: mnogi L je podskup skupa M .

Skupovi koji se sastoje od istih elemenata, bez obzira na njihov redoslijed, nazivaju se jednaka i označeni su sa = .

Razmotrite dva seta:

L= (2, 4, 6) i M = {4, 6, 2}

pošto se oba skupa sastoje od istih elemenata, onda L = M.

Presjek i unija skupova

Presek dva skupa je skup elemenata koji pripadaju svakom od ovih skupova, odnosno njihov zajednički dio. Presjek je označen znakom ∩ .

Na primjer, ako

L= (1, 3, 7, 11) i M= (3, 11, 17, 19), onda L∩M = {3, 11}.

Snimanje L∩M glasi ovako: presjek skupova L i M .

Iz ovog primjera slijedi da Presjek skupova je skup koji sadrži samo one elemente koji se javljaju u svim skupovima koji se sijeku..

Unija dva seta poziva se skup koji sadrži sve elemente originalnih skupova u jednoj kopiji, odnosno, ako se isti element pojavljuje u oba skupa, tada će ovaj element biti uključen u novi skup samo jednom. Unija je označena sa ∪ .

Na primjer, ako

L= (1, 3, 7, 11) i M = {3, 11, 17, 19},

onda L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Snimanje L∪M glasi ovako: unija skupova L i M .

Kada se kombinuju jednaki skupovi, unija će biti jednaka bilo kom od datih skupova:

ako L = M, onda L∪M = L i L∪M = M.

U matematici je pojam skupa jedan od osnovnih, fundamentalnih, ali ne postoji jedinstvena definicija skupa. Jedna od najutvrđenijih definicija skupa je sljedeća: skup je svaka kolekcija definiranih i različitih objekata koji se mogu zamisliti kao cjelina. Tvorac teorije skupova, njemački matematičar Georg Cantor (1845-1918), rekao je ovo: "Skup je mnogo toga o čemu razmišljamo kao cjelina."

Kao tip podataka, skupovi su se pokazali vrlo pogodnim za programiranje složenih životnih situacija, budući da mogu precizno modelirati objekte iz stvarnog svijeta i kompaktno prikazati složene logičke odnose. Skupovi se koriste u programskom jeziku Pascal i u nastavku ćemo analizirati jedan od primjera rješenja. Pored toga, na osnovu teorije skupova kreiran je koncept relacionih baza podataka, a na osnovu operacija nad skupovima - relaciona algebra i njene operacije- koristi se u jezicima upita baze podataka, posebno u SQL-u.

Primjer 0 (Pascal). Postoji set proizvoda koji se prodaju u nekoliko prodavnica u gradu. Odredite: koji proizvodi su dostupni u svim radnjama u gradu; kompletan asortiman proizvoda u gradu.

Rješenje. Definiramo osnovni tip podataka Hrana (proizvodi), on može imati vrijednosti koje odgovaraju nazivima proizvoda (na primjer, hleb). Deklarišemo tip seta, on definiše sve podskupove sastavljene od kombinacija vrednosti osnovnog tipa, odnosno Hrana (proizvodi). I formiramo podskupove: prodavnice "Solnyshko", "Veterok", "Spark", kao i izvedene podskupove: MinFood (proizvodi koji se nalaze u svim prodavnicama), MaxFood (pun asortiman proizvoda u gradu). Zatim pišemo operacije za dobijanje izvedenih podskupova. Podskup MinFood se dobija kao rezultat preseka podskupova Solnyshko, Veterok i Ogonyok i uključuje one i samo one elemente ovih podskupova koji su uključeni u svaki od ovih podskupova (u Pascalu, operacija ukrštanja skupova je označena sa zvezdica: A * B * C, matematička notacija presjeka skupova je data u nastavku). Podskup MaxFood se dobija kombinovanjem istih podskupova i uključuje elemente koji su uključeni u sve podskupove (u Pascal-u, operacija kombinovanja skupova je označena znakom plus: A + B + C, data je matematička notacija unije skupova ispod).

PASCAL kod

Program Shops; tip Hrana=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Prodavnica = set hrane; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Prodavnica; Početak Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; kraj.

Šta su setovi

Predmeti koji čine skup - objekti naše intuicije ili intelekta - mogu biti vrlo različite prirode. U primjeru iz prvog paragrafa bavili smo se setovima koji uključuju skup proizvoda. Setovi se mogu sastojati, na primjer, od svih slova ruske abecede. U matematici se proučavaju skupovi brojeva, na primjer, koji se sastoje od:

Prirodni brojevi 0, 1, 2, 3, 4, ...

primarni brojevi

Parni cijeli brojevi

itd. (u ovom materijalu se razmatraju glavni numerički skupovi).

Objekti koji čine skup nazivaju se njegovim elementima. Možemo reći da je set "vreća elemenata". Vrlo je važno: u setu nema identičnih elemenata.

Skupovi su ili konačni ili beskonačni. Konačan skup je skup za koji postoji prirodan broj koji je broj njegovih elemenata. Na primjer, skup prvih pet nenegativnih neparnih cijelih brojeva je konačan skup. Skup koji nije konačan naziva se beskonačan. Na primjer, skup svih prirodnih brojeva je beskonačan skup.

Ako a M- set, i a- njegov element, a zatim napišite: a∈M, što znači " a pripada skupu M".

Od prvog (nultog) primjera u Pascalu sa proizvodima koji se nalaze u raznim trgovinama:

hleb∈VETEROK ,

što znači: element "hleb" pripada skupu proizvoda koji se nalaze u radnji "VETEROK".

Postoje dva glavna načina za definiranje skupova: nabrajanje i opis.

Skup se može definirati navođenjem svih njegovih elemenata, na primjer:

VETEROK = {hleb, syr, ulje} ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Nabrajanje može definirati samo konačan skup. Iako to možete učiniti s opisom. Ali beskonačni skupovi se mogu definirati samo opisom.

Sljedeća metoda se koristi za opisivanje skupova. Neka str(x) - neka izjava koja opisuje svojstva varijable x, čiji je opseg skup M. Onda kroz M = {x | str(x)} označava skup koji se sastoji od svih onih i samo onih elemenata za koje je iskaz str(x) istina je. Ovaj izraz glasi ovako: M, koji se sastoji od svih takvih x, šta str(x) ".

Na primjer, unos

M = {x | x² - 3 x + 2 = 0}

Primjer 6 Prema anketi 100 kupaca tržišta koji su kupovali agrume, pomorandže je kupilo 29 kupaca, limun - 30 kupaca, mandarine - 9, samo mandarine - 1, narandže i limun - 10, limun i mandarine - 4, sve tri vrste voća - 3 kupca. Koliko kupaca nije kupilo nijedan od ovdje navedenih agruma? Koliko je kupaca kupilo samo limun?

Operacija proizvoda Dekartovog skupa

Za definiranje još jedne važne operacije na skupovima - Dekartov proizvod skupova uvodimo koncept uređenog skupa dužina n.

Dužina skupa je broj n njegovu komponentu. Skup sastavljen od elemenata uzetih ovim redom je označen . Gde i i () set komponenta je .

Sada će uslijediti stroga definicija, koja možda neće odmah biti jasna, ali nakon ove definicije biće slika koja će pojasniti kako se dobija kartezijanski proizvod skupova.

Dekartov (direktan) proizvod skupova se naziva skup označen i koji se sastoji od svih tih i samo tih skupova dužina n, i-i komponenta kojoj pripada .

Na primjer, ako , , ,

Setovi. Operacije na skupovima.
Podesite prikaz. Podesite snagu

Želim vam dobrodošlicu na prvu lekciju iz više algebre, koja se pojavila ... uoči pete godišnjice sajta, nakon što sam već napravio više od 150 članaka iz matematike, a moji materijali su počeli da se oblikuju u završenom kursu . Ipak, nadam se da ne kasnim - uostalom, mnogi studenti počinju da se upuštaju u predavanja samo za državne ispite =)

Univerzitetski kurs vyshmata tradicionalno se zasniva na tri stuba:

– matematička analiza (granice, derivati itd.)

– i konačno, školskim časovima otvara se sezona 2015/16 Algebra za lutke, Elementi matematičke logike, na kojoj ćemo analizirati osnove sekcije, kao i upoznati se sa osnovnim matematičkim pojmovima i uobičajenim zapisima. Moram reći da u drugim člancima ne zloupotrebljavam "squiggles" , međutim, ovo je samo stil, i, naravno, treba ih prepoznati u bilo kojoj državi =). Obavještavam nove čitaoce da su moje lekcije usmjerene na praksu, te će sljedeći materijal biti predstavljen u tom smislu. Za potpunije i akademske informacije pogledajte udžbenike. idi:

Mnogo. Postavite primjere

Skup je temeljni koncept ne samo matematike, već i cijelog svijeta oko sebe. Uzmi bilo koji predmet u ruke odmah. Ovdje imate set koji se sastoji od jednog elementa.

u širem smislu, skup je skup objekata (elemenata) koji se shvataju kao celina(prema određenim znakovima, kriterijima ili okolnostima). Štaviše, to nisu samo materijalni objekti, već i slova, brojevi, teoreme, misli, emocije itd.

Skupovi se obično označavaju velikim latiničnim slovima. (kao opcija, sa indeksima: itd.), a njegovi elementi su napisani u vitičastim zagradama, na primjer:

- skup slova ruske abecede;
je skup prirodnih brojeva;

Pa, vrijeme je da se malo upoznamo:
– mnogo učenika u 1. redu

… Drago mi je vidjeti vaša ozbiljna i fokusirana lica =)

Setovi i su final(koji se sastoji od konačnog broja elemenata), a skup je primjer beskrajno setovi. Osim toga, u teoriji i praksi tzv prazan set:

je skup koji ne sadrži nijedan element.

Primjer vam je dobro poznat - set na ispitu je često prazan =)

Članstvo elementa u skupu je označeno simbolom, na primjer:

- slovo "be" pripada skupu slova ruske abecede;
- slovo "beta" ne pripada skupu slova ruske abecede;
– broj 5 pripada skupu prirodnih brojeva;
- ali broj 5,5 više nije tu;
- Voldemar ne sjedi u prvom redu (a još više, ne pripada setu ili =)).

U apstraktnoj i ne tako algebri, elementi skupa se označavaju malim latiničnim slovima i, shodno tome, činjenica pripadnosti je sastavljena u sljedećem stilu:

– element pripada skupu .

Gore navedeni skupovi su napisani direktan transfer elemenata, ali to nije jedini način. Mnogi skupovi se zgodno definiraju korištenjem nekih sign (s), što je inherentno na sve njegove elemente. Na primjer:

je skup svih prirodnih brojeva manjih od 100.

Zapamti: dugačak okomit štap izražava verbalni obrt "koji", "takav taj". Često se umjesto toga koristi dvotočka: - čitajmo unos formalnije: "skup elemenata koji pripadaju skupu prirodnih brojeva, takav da » . Dobro urađeno!

Ovaj skup se takođe može napisati direktnim nabrajanjem:

Više primjera:
- a ako ima dosta učenika u 1. redu, onda je takav zapis mnogo zgodniji od njihovog direktnog popisa.

je skup brojeva koji pripadaju intervalu . Imajte na umu da se ovo odnosi na set validan brojevi (o njima kasnije), koji se više ne može navoditi odvojeno zarezima.

Treba napomenuti da elementi skupa ne moraju biti "homogeni" ili logički povezani. Uzmite veliku torbu i počnite nasumično stavljati razne predmete u nju. U tome nema pravilnosti, ali, ipak, govorimo o raznim temama. Slikovito rečeno, skup je poseban "paket" u kojem se određeni skup predmeta pokazao "voljom sudbine".

Podskupovi

Gotovo sve je jasno iz samog naziva: set je podset skup ako svaki element skupa pripada skupu . Drugim riječima, skup je sadržan u skupu:

Ikona se zove ikona inkluzija.

Vratimo se na primjer u kojem je skup slova ruske abecede. Označiti sa - skup njegovih samoglasnika. onda:

Također je moguće izdvojiti podskup suglasničkih slova i, općenito, proizvoljan podskup koji se sastoji od bilo kojeg broja nasumično (ili nenasumično) uzetih ćiriličkih slova. Konkretno, svako ćirilično slovo je podskup skupa .

Relacije između podskupova se zgodno opisuju upotrebom uslovne geometrijske šeme tzv Ojlerovi krugovi.

Neka je skup studenata u 1. redu, biti skup studenata grupe i biti skup studenata. Tada se odnos inkluzija može predstaviti na sljedeći način:

Skup studenata drugog univerziteta treba prikazati kao krug koji ne siječe vanjski krug; mnoštvo učenika zemlje u krugu koji sadrži oba ova kruga, itd.

Vidimo tipičan primjer uključivanja kada razmatramo numeričke skupove. Ponovimo školsko gradivo, što je važno imati na umu pri učenju više matematike:

Numerički skupovi

Kao što znate, istorijski su se prvi pojavili prirodni brojevi, dizajnirani za brojanje materijalnih objekata (ljudi, kokoši, ovce, novčići, itd.). Ovaj set se već susreo u članku, jedino što sada malo mijenjamo njegovu oznaku. Činjenica je da se numerički skupovi obično označavaju podebljanim, stiliziranim ili zadebljanim slovima. Radije koristim podebljano:

Ponekad je nula uključena u skup prirodnih brojeva.

Ako skupu dodamo iste brojeve sa suprotnim predznakom i nulu, dobićemo skup cijelih brojeva:

Racionalizatori i lenjivci zapisuju njegove elemente ikonama "plus minus":))

Sasvim je jasno da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva:
- budući da svaki element skupa pripada skupu . Dakle, bilo koji prirodni broj može se sigurno nazvati cijelim brojem.

Ime skupa je također "govorno": cijeli brojevi - to znači da nema razlomaka.

I, čim su cijeli brojevi, odmah se prisjećamo važnih znakova njihove djeljivosti sa 2, 3, 4, 5 i 10, koji će biti potrebni u praktičnim proračunima gotovo svaki dan:

Cijeli broj je djeljiv sa 2 bez ostatka ako se završava na 0, 2, 4, 6 ili 8 (tj. bilo koja parna cifra). Na primjer, brojevi:
400, -1502, -24, 66996, 818 - podijeljeno sa 2 bez ostatka.

I odmah analizirajmo "povezani" znak: cijeli broj je djeljiv sa 4 ako je broj sastavljen od posljednje dvije cifre (po njihovom redoslijedu) je djeljiv sa 4.

400 je djeljivo sa 4 (jer je 00 (nula) deljivo sa 4);
-1502 - nije djeljivo sa 4 (jer 02 (dva) nije deljivo sa 4);
-24 je, naravno, deljivo sa 4;
66996 - djeljivo sa 4 (jer je 96 deljivo sa 4);
818 - nije djeljivo sa 4 (jer 18 nije deljivo sa 4).

Napravite svoje jednostavno opravdanje za ovu činjenicu.

Deljivost sa 3 je malo teža: cijeli broj je djeljiv sa 3 bez ostatka if zbir njegovih cifara je djeljiv sa 3.

Provjerimo da li je broj 27901 djeljiv sa 3. Da bismo to učinili, zbrojimo njegove brojeve:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - nije deljivo sa 3
Zaključak: 27901 nije djeljivo sa 3.

Zbrojimo cifre broja -825432:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - djeljivo sa 3
Zaključak: broj -825432 je djeljiv sa 3

Cijeli broj je djeljiv sa 5, ako se završava s pet ili nulom:
775, -2390 - djeljivo sa 5

Cijeli broj je djeljiv sa 10 ako se završava na nulu:
798400 - djeljivo sa 10 (i očigledno na 100). Pa, vjerovatno se svi sjećaju - da biste podijelili sa 10, trebate samo ukloniti jednu nulu: 79840

Postoje i znakovi djeljivosti sa 6, 8, 9, 11 itd., ali praktično nema smisla od njih =)

Treba napomenuti da su navedeni kriteriji (naizgled tako jednostavni) rigorozno dokazani teorija brojeva. Ovaj dio algebre je općenito prilično zanimljiv, ali njegove teoreme ... samo moderna kineska egzekucija =) I Voldemar za zadnjim stolom je bio dovoljan ... ali u redu je, uskoro ćemo raditi fizičke vježbe koje daju život =)

Sljedeći skup brojeva je skup racionalnih brojeva:
- to jest, svaki racionalni broj se može predstaviti kao razlomak sa cijelim brojem brojilac i prirodno imenilac.

Očigledno, skup cijelih brojeva je podset skupovi racionalnih brojeva:

I zapravo - na kraju krajeva, bilo koji cijeli broj može se predstaviti kao racionalni razlomak, na primjer: itd. Dakle, cijeli broj se sasvim legitimno može nazvati racionalnim brojem.

Karakterističan "identifikujući" znak racionalnog broja je činjenica da se prilikom dijeljenja brojioca sa nazivnikom dobije bilo
je cijeli broj,

ili
– krajnji decimalni,

ili
- beskrajno periodični decimalni (repriza možda neće početi odmah).

Divite se diviziji i pokušajte da ovu akciju izvodite što je manje moguće! U organizacionom članku Viša matematika za lutke i u drugim lekcijama sam ponavljao, ponavljao i ponavljaću ovu mantru:

U višoj matematici nastojimo da sve radnje izvodimo u običnim (tačnim i nepravilnim) razlomcima

Slažete se da je rad sa razlomkom mnogo praktičniji nego s decimalnim brojem 0,375 (da ne spominjem beskonačne razlomke).

Idemo dalje. Pored racionalnih brojeva, postoji mnogo iracionalnih brojeva, od kojih se svaki može predstaviti kao beskonačan neperiodični decimalni razlomak. Drugim riječima, nema pravilnosti u "beskonačnim repovima" iracionalnih brojeva:
("godina rođenja Lava Tolstoja" dva puta)
itd.

O poznatim konstantama "pi" i "e" ima dosta podataka, pa se na njima ne zadržavam.

Formira se unija racionalnih i iracionalnih brojeva skup realnih (realnih) brojeva:

- ikona udruženja setovi.

Geometrijska interpretacija skupa vam je poznata - to je brojevna prava:


Svakom realnom broju odgovara određena tačka brojevne prave, i obrnuto - svaka tačka brojevne prave nužno odgovara nekom realnom broju. U suštini, sada sam formulisao svojstvo kontinuiteta realnih brojeva, što se, iako se čini očiglednim, rigorozno dokazuje u toku matematičke analize.

Brojevna prava je također označena beskonačnim intervalom, a oznaka ili ekvivalentna oznaka simbolizira činjenicu da pripada skupu realnih brojeva (ili jednostavno "x" - pravi broj).

Sa ugrađivanjem, sve je transparentno: skup racionalnih brojeva jeste podset skupovi realnih brojeva:
, tako da se svaki racionalni broj može sa sigurnošću nazvati realnim brojem.

Skup iracionalnih brojeva je također podset realni brojevi:

Istovremeno, podskupovi i ne seku- to jest, nijedan iracionalni broj ne može biti predstavljen kao racionalni razlomak.

Postoje li još neki sistemi brojeva? Exist! Ovo, na primjer, kompleksni brojevi, uz koje preporučujem da pročitate doslovno u narednim danima ili čak satima.

U međuvremenu, prelazimo na proučavanje skupnih operacija, čiji se duh već materijalizirao na kraju ovog odjeljka:

Akcije na skupovima. Vennovi dijagrami

Venovi dijagrami (slični Ojlerovim krugovima) su šematski prikaz akcija sa skupovima. Još jednom vas upozoravam da neću pokriti sve operacije:

1) raskrsnica I i označeno je sa

Presjek skupova naziva se skup kojem svaki element pripada i set , i set . Grubo govoreći, raskrsnica je uobičajeni dio skupova:

Tako, na primjer, za setove:

Ako skupovi nemaju identične elemente, onda je njihov presjek prazan. Upravo smo naišli na takav primjer kada smo razmatrali numeričke skupove:

Skupovi racionalnih i iracionalnih brojeva mogu se shematski prikazati sa dva kruga koji se ne preklapaju.

Operacija ukrštanja je primjenjiva na veći broj skupova, posebno Wikipedia ima dobro primjer sjecišta skupova slova od tri abecede.

2) Udruženje skupove karakterizira logička povezanost ILI i označeno je sa

Unija skupova je skup čiji svaki element pripada skupu ili set :

Napišimo uniju skupova:
- grubo govoreći, ovdje trebate navesti sve elemente skupova i , te iste elemente (u ovom slučaju jedinica na presjeku skupova) mora biti specificirano jednom.

Ali skupovi se, naravno, ne mogu seći, kao što je slučaj sa racionalnim i iracionalnim brojevima:

U ovom slučaju možete nacrtati dva zasjenjena kruga koja se ne sijeku.

Operacija ujedinjenja je primjenjiva za više skupova, na primjer, ako je , onda:

Brojevi ne moraju biti u rastućem redoslijedu. (Ovo sam uradio čisto iz estetskih razloga). Bez daljeg odlaganja, rezultat se može napisati ovako:

3) razlika i ne pripada skupu:

Razlika se čita na sljedeći način: “a bez biti”. I možete raspravljati na potpuno isti način: razmotrite skupove. Da biste zapisali razliku, potrebno je da iz seta "izbacite" sve elemente koji se nalaze u setu:

Primjer sa numeričkim skupovima:
- ovdje su svi prirodni brojevi isključeni iz skupa cijelih brojeva, a sama notacija glasi ovako: "skup cijelih brojeva bez skupa prirodnih."

Ogledalo: razlika skupove i pozvati skup, čiji svaki element pripada skupu i ne pripada skupu:

Za iste komplete
- iz kompleta "izbačeno" ono što je u kompletu.

Ali ispada da je ova razlika prazna: . I zapravo - ako se cijeli brojevi izuzmu iz skupa prirodnih brojeva, tada, u stvari, ništa neće ostati :)

Osim toga, ponekad razmislite simetrično razlika koja kombinuje oba "polmeseca":
- drugim rečima, to je "sve osim preseka skupova".

4) Kartezijanski (direktni) proizvod skupova i naziva se skup sve uredno parovi u kojima su element i element

Pišemo kartezijanski proizvod skupova:
- zgodno je nabrajati parove prema sljedećem algoritmu: „prvo svaki element skupa uzastopno prikačimo na 1. element skupa, zatim svaki element skupa vezujemo za 2. element skupa, zatim pričvrstite svaki element seta na 3. element seta»:

Ogledalo: Kartezijanski proizvod skupova i naziva se skup svih uredno parovi u kojima . U našem primjeru:
- ovdje je shema snimanja slična: prvo, uzastopno pričvršćujemo sve elemente skupa na "minus jedan", zatim na "de" - iste elemente:

Ali ovo je samo radi praktičnosti - u oba slučaja, parovi se mogu navesti bilo kojim redoslijedom - važno je zapisati ovdje sve mogući parovi.

A sada vrhunac programa: kartezijanski proizvod nije ništa drugo do skup tačaka u našem native Dekartov koordinatni sistem .

Vježbajte za samofiksirajući materijal:

Izvršite operacije ako:

Mnogo zgodno ga je opisati navođenjem njegovih elemenata.

I hir sa intervalima realnih brojeva:

Podsjetimo da uglata zagrada znači inkluzija brojeva u interval, a zaokružiti - to isključenje, odnosno "minus jedan" pripada skupu, a "tri" ne pripada skupu. Pokušajte shvatiti koji je kartezijanski proizvod ovih skupova. Ako imate bilo kakvih poteškoća, pratite crtež;)

Kratko rješenje zadatka na kraju lekcije.

Podesite prikaz

Display postavljeno na postavljeno je pravilo, prema kojem je svaki element skupa pridružen elementu (ili elementima) skupa. U slučaju da se poklapa jedini element, ovo pravilo se zove jasno definisano funkciju ili samo funkcija.

Funkcija se, kao što mnogi znaju, najčešće označava slovom - asocira svakome element je jedina vrijednost koja pripada skupu.

E, sad ću opet uznemiriti mnoge učenike 1. reda i ponuditi im 6 tema za sažetke (skup):

Instalirano (dobrovoljno ili nevoljno =)) pravilo povezuje svakog učenika skupa sa jednom temom sažetka skupa.

…i vjerovatno niste mogli ni zamisliti da ćete igrati ulogu argumenta funkcije =) =)

Elementi postavljene forme domena funkcije (označene sa ), a elementi skupa - domet funkcije (označene sa ).

Konstruisano preslikavanje skupova ima veoma važnu karakteristiku: jeste jedan na jedan ili bijektivno(bijekcija). U ovom primjeru to znači da svakome učenik je usklađen jedan jedinstven tema eseja, i obrnuto - za svaki jedan i samo jedan student je fiksiran temom sažetka.

Međutim, ne treba misliti da je svako preslikavanje bijektivno. Ako se 7. učenik doda u 1. red (skupu), tada će prepiska jedan na jedan nestati - ili će jedan od učenika ostati bez teme (uopšte nema prikaza), ili će neka tema otići dvojici učenika odjednom. Suprotna situacija: ako se skupu doda sedma tema, tada će se mapiranje jedan-na-jedan također izgubiti - jedna od tema će ostati nepotražena.

Dragi studenti, u 1. redu, nemojte se uznemiravati - preostalih 20 ljudi nakon nastave ići će očistiti teritoriju univerziteta od jesenskog lišća. Menadžer nabavke će izdati dvadeset golika, nakon čega će se uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan između glavnog dijela grupe i metli ..., a Voldemar će također imati vremena da otrči do trgovine =)). jedinstven"y", i obrnuto - za bilo koju vrijednost "y" možemo nedvosmisleno vratiti "x". Dakle, to je bijektivna funkcija.

! Za svaki slučaj otklanjam mogući nesporazum: moja stalna rezerva u pogledu opsega nije slučajna! Funkcija možda nije definirana za sve "x", i, štoviše, može biti i jedan prema jedan u ovom slučaju. Tipičan primjer:

Ali kvadratna funkcija nema ništa slično, prvo:
- to jest, različite vrijednosti "x" su prikazane u isto značenje "y"; i drugo: ako je neko izračunao vrijednost funkcije i rekao nam da , onda nije jasno - ovo "y" je dobijeno na ili na ? Nepotrebno je reći da ovdje nema čak ni mirisa međusobne jednoznačnosti.

Zadatak 2: pogled grafovi osnovnih elementarnih funkcija i napišite bijektivne funkcije na komad papira. Kontrolna lista na kraju ove lekcije.

Podesite snagu

Intuicija sugerira da pojam karakterizira veličinu skupa, odnosno broj njegovih elemenata. A intuicija nas ne vara!

Kardinalnost praznog skupa je nula.

Kardinalnost seta je šest.

Snaga skupa slova ruske abecede je trideset tri.

Općenito, moć bilo koje final skup je jednak broju elemenata ovog skupa.

... možda ne razumeju svi u potpunosti šta je to final set - ako počnete brojati elemente ovog skupa, pre ili kasnije će brojanje završiti. Što se zove, a Kinezi će jednog dana ponestati.

Naravno, skupovi se mogu porediti po kardinalnosti, a njihova jednakost u tom smislu se naziva jednaka snaga. Ekvivalencija je definirana na sljedeći način:

Dva skupa su ekvivalentna ako se između njih može uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan..

Skup učenika je ekvivalentan skupu apstraktnih tema, skup slova ruske abecede je ekvivalentan bilo kojem skupu od 33 elementa, itd. Primetite šta tačno bilo koga skup od 33 elementa - u ovom slučaju bitan je samo njihov broj. Slova ruske abecede mogu se porediti ne samo sa mnogim brojevima
1, 2, 3, ..., 32, 33, ali i općenito sa stadom od 33 krave.

Stvari su mnogo interesantnije sa beskonačnim skupovima. Beskonačnosti su takođe različite! ...zelena i crvena "Najmanji" beskonačni skupovi su counting setovi. Ako je sasvim jednostavno, elementi takvog skupa se mogu numerisati. Referentni primjer je skup prirodnih brojeva . Da - beskonačan je, ali svaki njegov element u PRINCIPU ima broj.

Ima puno primjera. Konkretno, skup svih parnih prirodnih brojeva je prebrojiv. Kako to dokazati? Potrebno je uspostaviti njegovu jednoznačnu korespondenciju sa skupom prirodnih brojeva ili jednostavno numerirati elemente:

Uspostavljena je korespondencija jedan-na-jedan, dakle, skupovi su ekvivalentni i skup je prebrojiv. Paradoksalno, ali sa stanovišta moći - parnih prirodnih brojeva ima koliko i prirodnih!

Skup cijelih brojeva je također prebrojiv. Njegovi elementi se mogu numerisati, na primjer, ovako:

Štaviše, skup racionalnih brojeva je takođe prebrojiv. . Pošto je brojilac cijeli broj (i, kao što je upravo prikazano, mogu se numerisati), a imenilac je prirodan broj, tada ćemo prije ili kasnije "doći" do bilo kojeg racionalnog razlomka i dodijeliti mu broj.

Ali skup realnih brojeva je već bezbroj, tj. njegovi elementi se ne mogu numerisati. Iako je ova činjenica očigledna, ona je rigorozno dokazana u teoriji skupova. Kardinalnost skupa realnih brojeva se također naziva kontinuum, i u poređenju sa prebrojivim skupovima, ovo je "beskonačniji" skup.

Pošto postoji korespondencija jedan prema jedan između skupa i brojevne prave (vidi gore), tada je i skup tačaka realne prave bezbroj. Štaviše, isti je broj tačaka na kilometru i milimetarskom segmentu! Klasičan primjer:


Okretanjem snopa u smjeru suprotnom od kazaljke na satu dok se ne poklopi sa snopom, uspostavit ćemo korespondenciju jedan prema jedan između tačaka plavih segmenata. Dakle, ima onoliko tačaka na segmentu koliko ih ima na segmentu i !

Ovaj paradoks je, očigledno, povezan sa misterijom beskonačnosti... ali sada se nećemo zamarati problemima univerzuma, jer je sledeći korak

Zadatak 2 Funkcije jedan-na-jedan u ilustracijama lekcija

Rješenje nekih matematičkih problema nas tjera da pronađemo presek i unija skupova brojeva. Već smo se upoznali sa prihvaćenim zapisom brojčanih skupova, a u ovom članku ćemo se pažljivo i na primjerima pozabaviti pronalaženjem presjeka i unije brojčanih skupova. Ove vještine će biti korisne, posebno, u procesu rješenje nejednačina sa jednom varijablom i njihovim sistemima.

Navigacija po stranici.

Najjednostavniji slučajevi

Pod najjednostavnijim slučajevima podrazumijevamo pronalaženje presjeka i unija numeričkih skupova koji su skup pojedinačnih brojeva. U ovim slučajevima dovoljno je koristiti definicije preseka i unije skupova.

Prisjetite se toga

Definicija.

udruženje dva skupa je skup, od kojih je svaki element element jednog od originalnih skupova, i raskrsnica skupovi je skup koji se sastoji od svih zajedničkih elemenata originalnih skupova.

Iz ovih definicija lako je dobiti sljedeća pravila za pronalaženje presjeka i unije skupova:

• Da biste napravili uniju dva numerička skupa koja sadrže konačan broj elemenata, potrebno je da zapišete sve elemente jednog skupa i da im dodate elemente koji nedostaju iz drugog.
• Da bi se sastavio presjek dva brojevna skupa, potrebno je uzastopno uzeti elemente prvog skupa i provjeriti pripadaju li drugom skupu, oni koji to čine činiće presjek.

Zaista, skup dobijen prema prvom pravilu sastojat će se od svih elemenata koji pripadaju barem jednom od originalnih skupova, stoga će to biti unija ovih skupova po definiciji. A skup sastavljen po drugom pravilu će sadržavati sve zajedničke elemente originalnih skupova, odnosno bit će presjek originalnih skupova.

Razmotrimo na konkretnim primjerima primjenu navedenih pravila za pronalaženje presjeka i unije skupova.

Na primjer, recimo da trebamo pronaći uniju skupova brojeva A=(3, 5, 7, 12) i B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) . Zapisujemo sve elemente, na primjer skupove A , imamo 3 , 5 , 7 , 12 , i dodajemo im nedostajuće elemente skupa B, odnosno 2 , 8 , 11 i 13 , kao rezultat imamo numerički skup (3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13). Ne škodi naručiti elemente rezultirajućeg skupa, kao rezultat dobivamo željenu uniju: A∪B=(2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13).

Sada pronađimo presjek dva numerička skupa iz prethodnog primjera A=(3, 5, 7, 12) i B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) . Prema pravilu, mi ćemo sekvencijalno iterirati elemente prvog skupa A i provjeriti da li su uključeni u skup B. Uzimamo prvi element 3, on ne pripada skupu B, dakle, neće biti ni element željenog presjeka. Uzimamo drugi element skupa A, to je broj 5. Pripada skupu B, tako da pripada i presjeku skupova A i B. Tako je pronađen prvi element željene raskrsnice - broj 5. Prelazimo na treći element skupa A, to je broj 7. Ne pripada B , tako da ne pripada ni raskrsnici. Konačno, ostaje posljednji element skupa A - broj 12. Pripada skupu B, pa je i element presjeka. Dakle, presjek skupova A=(3, 5, 7, 12) i B=(2, 5, 8, 11, 12, 13) je skup koji se sastoji od dva elementa 5 i 12 , odnosno A∩B =(5, 12) .

Kao što ste primetili, gore smo govorili o pronalaženju preseka i ujedinjenja dva numerička skupa. Što se tiče preseka i unije tri ili više skupova, njegovo pronalaženje se može svesti na sukcesivno pronalaženje preseka i unije dva skupa. Na primjer, da biste pronašli presjek tri skupa A, B i D, prvo možete pronaći presjek A i B, a zatim pronaći presjek rezultata sa skupom D. A sada konkretno: uzmite numeričke skupove A=(3, 9, 4, 3, 5, 21) , B=(2, 7, 9, 21) i D=(7, 9, 1, 3) i pronađite njihove raskrsnica . Imamo A∩B=(9, 21) , a presjek rezultujućeg skupa sa skupom D je (9) . Dakle, A∩B∩D=(9) .

Međutim, u praksi, pronaći raskrsnicu tri, četiri, itd. najjednostavnijim numeričkim skupovima, koji se sastoje od konačnog broja pojedinačnih brojeva, zgodno je koristiti pravila slična gornjim pravilima.

Dakle, da bi se dobila unija tri ili više skupova navedenog tipa, potrebno je brojevima prvog numeričkog skupa dodati nedostajuće brojeve drugog, snimljenim brojevima dodati brojeve trećeg skupa koji nedostaju. , i tako dalje. Da razjasnimo ovu tačku, uzmimo numeričke skupove A=(1, 2) , B=(2, 3) i D=(1, 3, 4, 5) . Elementima 1 i 2 numeričkog skupa A dodamo broj koji nedostaje 3 skupa B, dobijemo 1, 2, 3, a tim brojevima dodamo nedostajuće brojeve 4 i 5 skupa D, kao rezultat dobijemo uniju tri skupa koja su nam potrebna: A∪B∪C= (1, 2, 3, 4, 5) .

Što se tiče pronalaženja preseka tri, četiri, itd. numeričke skupove koji se sastoje od konačnog broja pojedinačnih brojeva, potrebno je uzastopno proći kroz brojeve prvog skupa i provjeriti pripada li broj koji se provjerava pripada svakom od ostalih skupova. Ako da, onda je ovaj broj element raskrsnice, ako nije, onda nije. Ovdje samo napominjemo da je za prvi skup svrsishodno uzeti skup sa najmanjim brojem elemenata. Kao primjer, uzmite četiri numerička skupa A=(3, 1, 7, 12, 5, 2) , B=(1, 0, 2, 12) , D=(7, 11, 2, 1, 6) , E =(1, 7, 15, 8, 2, 6) i pronađite njihov presjek. Očigledno je da skup B sadrži najmanji broj elemenata, pa da bismo pronašli presek originalnih četiri skupa, uzet ćemo elemente skupa B i provjeriti da li su uključeni u preostale skupove. Dakle, uzimamo 1, ovaj broj su elementi oba skupa A, i D i E, tako da je ovo prvi element željenog presjeka. Uzimamo drugi element skupa B, koji je nula. Ovaj broj nije element skupa A, pa neće biti ni element sjecišta. Provjeravamo treći element skupa B - broj 2. Ovaj broj je element svih ostalih skupova, stoga je drugi element pronađenog presjeka. Konačno, ostaje četvrti element skupa B. Ovaj broj je 12, nije element skupa D, dakle, nije ni element željenog preseka. Kao rezultat, imamo A∩B∩D∩E=(1, 2) .

Koordinatne linije i intervali brojeva kao unija njihovih dijelova

U našem primjeru imamo unose

I

za presek i uniju numeričkih skupova, respektivno.

Zatim je prikazana još jedna koordinatna linija, prikladno je postaviti je ispod postojećih. Prikazaće željenu raskrsnicu ili spoj. Na ovoj koordinatnoj liniji su označene sve granične tačke originalnih numeričkih skupova. U ovom slučaju, ove tačke se prvo označavaju crticama, a kasnije, kada se razjasni priroda tačaka sa ovim koordinatama, crtice će biti zamenjene probušenim ili neprobušenim tačkama. U našem slučaju to su tačke sa koordinatama -3 i 7.
Imamo

i

Tačke prikazane na donjoj koordinatnoj liniji u prethodnom koraku algoritma omogućavaju nam da razmotrimo koordinatnu liniju kao skup numeričkih intervala i tačaka, o kojima smo raspravljali u . U našem slučaju, koordinatnu liniju smatramo skupom od sljedećih pet numeričkih skupova: (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) .

I ostaje samo provjeriti redom pojavu svakog od snimljenih skupova u željenoj raskrsnici ili spoju. Svi izvedeni zaključci označeni su korak po korak na donjoj koordinatnoj liniji: ako je praznina uključena u sjecište ili spoj, tada je iznad njega prikazana šrafura, ako je tačka uključena u sjecište ili uniju, tada je crta koja je označava zamijenjen čvrstim vrhom, ako nije uključen, onda ga pravimo izbušenim. U tom slučaju treba se pridržavati sljedećih pravila:

• praznina je uključena u raskrsnicu ako je istovremeno uključena i u skup A i skup B (drugim riječima, ako postoji šrafura preko ove praznine preko obje gornje koordinatne linije koje odgovaraju skupovima A i B );
• tačka je uključena u presek ako istovremeno ulazi u skup A i skup B (drugim rečima, ako ova tačka nije probušena ili interna tačka bilo kog intervala oba numerička skupa A i B);
• praznina je uključena u uniju ako je uključena u barem jedan od skupova A ili B (drugim riječima, ako postoji šrafura iznad ovog jaza barem preko jedne od koordinatnih linija koje odgovaraju skupovima A i B ) ;
• tačka je uključena u uniju ako je uključena u barem jedan od skupova A ili B (drugim riječima, ako ova tačka nije probušena ili unutrašnja točka bilo kojeg intervala barem jednog od skupova A i B ) .

Jednostavno rečeno, presjek numeričkih skupova A i B je unija svih numeričkih intervala skupova A i B koji imaju šrafuru u isto vrijeme, i svih pojedinačnih tačaka koje pripadaju i A i B u isto vrijeme. A unija dva numerička skupa je unija svih numeričkih praznina nad kojima bar jedan od skupova A ili B ima šrafuru, kao i svih pojedinačnih tačaka koje nisu probušene.

Vratimo se našem primjeru. Hajde da završimo sa pronalaženjem preseka skupova. Da bismo to učinili, sekvencijalno ćemo provjeravati skupove (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) . Počinjemo sa (−∞, −3), radi jasnoće, odaberite ga na crtežu:

Ovu prazninu ne uključujemo u željenu raskrsnicu, jer ona nije uključena ni u A ni u B (nema senčenja iznad ove praznine). Dakle, u ovom koraku ne označavamo ništa na našem crtežu i on zadržava svoj izvorni izgled:

Pređimo na sljedeći skup (−3) . Broj −3 pripada skupu B (to je tačka koja nije probušena), ali očigledno ne pripada skupu A, pa stoga ne pripada ni željenom preseku. Stoga, na donjoj koordinatnoj liniji pravimo tačku sa iscrtanom koordinatom −3:

Provjeravamo sljedeći skup (−3, 7) .

Ona je uključena u skup B (na ovom intervalu postoji šrafura), ali nije uključena u skup A (nema šrafiranja preko ovog intervala), stoga neće biti uključena ni u raskrsnicu. Stoga ne označavamo ništa na donjoj koordinatnoj liniji:

Pređimo na skup (7) . Uključena je u skup B (tačka sa koordinatom 7 je unutrašnja tačka intervala [−3, +∞)), ali nije uključena u skup A (ova tačka je probušena), tako da neće biti uključena u ili željenu raskrsnicu. Označite tačku sa koordinatama 7 kao iskucanu:

Ostaje provjeriti interval (7, +∞) .

Ulazi i u skup A i u skup B (nad ovog razmaka je šrafura), dakle ulazi i u raskrsnicu. Stavili smo šrafuru preko ovog jaza:

Kao rezultat toga, na donjoj koordinatnoj liniji dobili smo sliku željenog presjeka skupova A=(7, +∞) i B=[−3, +∞) . Očigledno, to je skup svih realnih brojeva većih od sedam, odnosno A∩B=(7, +∞) .

Sada pronađimo uniju skupova A i B. Počinjemo sukcesivno provjeravati skupove (−∞, −3) , (−3) , (−3, 7) , (7) , (7, +∞) za njihovo uključivanje u željenu uniju dva numerička skupa A i B .

Prvi skup (−∞, −3) nije uključen ni u A ni u B (nema senčenja preko ovog jaza), tako da ni ovaj skup neće biti uključen u željenu uniju:

Skup (−3) je uključen u skup B, tako da će biti uključen i u uniju skupova A i B:

Interval (−3, 7) je također uključen u B (nad ovog intervala postoji šrafura), stoga će biti sastavni dio željene unije:

Skup (7) će također biti uključen u željenu uniju, budući da je uključen u numerički skup B:

Konačno, (7, +∞) je uključeno i u skup A i u skup B , stoga će i on biti uključen u željenu uniju:

Iz rezultirajuće slike unije skupova A i B zaključujemo da je A∩B=[−3, +∞) .

Nakon što ste stekli određeno praktično iskustvo, bit će moguće usmeno provjeriti pojavu pojedinačnih praznina i brojeva u sastavu raskrsnice ili spoja. Zahvaljujući tome, vrlo brzo ćete moći snimiti rezultat. Pokazat ćemo kako će rješenje primjera izgledati ako se ne da objašnjenje.

Primjer.

Naći presjek i uniju skupova A=(−∞,−15)∪(−5)∪∪(12) i B=(−20, −10)∪(−5)∪(2, 3)∪(17).

Rješenje.

Opišimo ove numeričke skupove na koordinatnim linijama, to će nam omogućiti da dobijemo slike njihovog presjeka i sjedinjenja:

odgovor:

A∩B=(−20,−15)∪(−5)∪(2, 3) i A∪B=(−∞, −10)∪(−5)∪∪(12, 17).

Jasno je da se uz pravilno razumijevanje gornji algoritam može optimizirati. Na primjer, prilikom pronalaženja presjeka skupova, nema potrebe provjeravati sve intervale i skupove koji se sastoje od njihovih pojedinačnih brojeva, na koje su granične točke originalnih skupova podijeljene koordinatnom linijom. Možete se ograničiti na provjeru samo onih intervala i brojeva koji čine skup A ili B. Preostale praznine i dalje neće biti uključene u raskrsnicu, jer ne pripadaju jednom od originalnih skupova. Ilustrujmo ono što je rečeno analizom rješenja primjera.

Primjer.

Koliki je presjek skupova brojeva A=(−2)∪(1, 5) i B=[−4, 3] ?

Rješenje.

Konstruirajmo geometrijske slike numeričkih skupova A i B:

Granične tačke datih skupova dele realnu pravu na sledeće skupove: (−∞, −4) , (−4) , (−4, −2) , (−2) , (−2, 1) , ( 1) , (1 , 3) ​​, (3) , (3, 5) , (5) , (5, +∞) .

Lako je vidjeti da se numerički skup A može "sastaviti" iz skupova upravo napisanih kombiniranjem (−2), (1, 3) , (3) i (3, 5) . Da bismo pronašli presjek skupova A i B, dovoljno je provjeriti da li su potonji skupovi uključeni u skup B. Oni od njih koji su uključeni u B će činiti željenu raskrsnicu. Uradimo odgovarajuću provjeru.

Očigledno, (−2) je uključeno u skup B (pošto je tačka sa koordinatom −2 unutrašnja tačka segmenta [−4, 3]) . Interval (1, 3) je također uključen u B (iznad se nalazi šrafura). Skup (3) je također uključen u B (tačka sa koordinatom 3 je granični i neprobušeni skup B). A interval (3, 5) nije uključen u numerički skup B (nema senčenja iznad njega). Zabilježivši zaključke izvedene na crtežu, on će poprimiti sljedeći oblik

Dakle, željeni presek dva originalna numerička skupa A i B je unija sledećih skupova (−2), (1, 3) , (3) , koji se mogu zapisati kao (−2)∪(1, 3 ] .

odgovor:

{−2}∪(1, 3] .

Ostaje samo razgovarati o tome kako pronaći presjek i uniju tri ili više numeričkih skupova. Ovaj problem se može svesti na sekvencijalno pronalaženje preseka i ujedinjenja dva skupa: prvo prvog sa drugim, zatim rezultat dobijen sa trećim, zatim rezultat dobijen sa četvrtim, itd. I možete koristiti algoritam sličan onom koji je već naveden. Njegova jedina razlika je u tome što se provjera pojave praznina i skupova koji se sastoje od pojedinačnih brojeva mora provesti ne za dva, već za sve originalne skupove. Razmotrimo primjer pronalaženja presjeka i unije tri skupa.

Primjer.

Naći presek i uniju tri numerička skupa A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪(40) .

Rješenje.

Prvo, kao i obično, prikazujemo skupove brojeva na koordinatnim linijama i stavljamo vitičastu zagradu lijevo od njih, označavajući sjecište, i uglatu zagradu za uniju, a ispod crtamo koordinatne linije s graničnim točkama skupovi brojeva označeni crtama:

Dakle, koordinatna linija je predstavljena numeričkim skupovima (−∞, −3) , (−3) , (−3, 12) , (12) , (12, 25) , (25) , (25, 40) , ( 40) , (40,∞) .

Počinjemo tražiti raskrsnicu, za to redom gledamo da li su snimljeni skupovi uključeni u svaki od skupova A, B i D. Sva tri početna numerička skupa uključuju interval (−3, 12) i skup (12). Oni čine željeni presek skupova A, B i D. Imamo A∩B∩D=(−3, 12] .

Zauzvrat, tražena unija će biti sastavljena od skupova (−∞, −3) (uključeno u A), (−3) (uključeno u A), (−3, 12) (uključeno u A), (12) (uključeno u A), (12, 25) (uključeno u B), (25) (uključeno u B) i (40) (uključeno u D). Dakle, A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

odgovor:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪(40) .

U zaključku, napominjemo da je presjek numeričkih skupova često prazan skup. Ovo odgovara slučajevima kada originalni skupovi nemaju elemente koji im istovremeno pripadaju.

(10, 27) , (27) , (27, +∞) . Nijedan od snimljenih skupova nije istovremeno uključen u četiri originalna skupa, što znači da je presek skupova A, B, D i E prazan skup.

odgovor:

A∩B∩D∩E=∅.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 8 ćelija. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M. : Education, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. razred U 14:00 Deo 1. Udžbenik za studente obrazovnih ustanova / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. izd., Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01752-3.