Что значит одночлен в стандартном виде. I

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

Определение 1

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Исходя из этого определения, мы можем привести примеры таких выражений. Так, все числа 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 будут относиться к одночленам. Все переменные, например, x , a , b , p , q , t , y , z тоже будут по определению одночленами. Сюда же можно отнести степени переменных и чисел, например, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 и t 15 , а также выражения вида 65 · x , 9 · (− 7) · x · y 3 · 6 , x · x · y 3 · x · y 2 · z и т.д. Обратите внимание, что в состав одночлена может входить как одно число или переменная, так и несколько, причем они могут быть упомянуты несколько раз в составе одного многочлена.

Такие виды чисел, как целые, рациональные, натуральные тоже относятся к одночленам. Также сюда можно включить действительные и комплексные числа. Так, выражения вида 2 + 3 · i · x · z 4 , 2 · x , 2 · π · x 3 тоже будут одночленами.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Определение 2

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Для наглядности подберем несколько одночленов стандартного вида: 6 (это одночлен без переменных), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Сюда же можно отнести выражение x · y (здесь коэффициент будет равен 1), − x 3 (тут коэффициент равен - 1).

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · (− 1) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

Обычно в случае, когда одночлен имеет несколько переменных, записанных буквами, буквенные множители записывают в алфавитном порядке. Например, предпочтительнее запись 6 · a · b 4 · c · z 2 , чем b 4 · 6 · a · z 2 · c . Однако порядок может быть и другим, если этого требует цель вычисления.

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Определение 3

Степенью одночлена , записанного в стандартном виде, является сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в его запись. Если ни одной переменной в нем нет, а сам одночлен отличен от 0 , то его степень будет нулевой.

Приведем примеры степеней одночлена.

Пример 1

Так, одночлен a имеет степень, равную 1 , поскольку a = a 1 . Если у нас есть одночлен 7 ,то он будет иметь нулевую степень, поскольку в нем нет переменных и он отличен от 0 . А вот запись 7 · a 2 · x · y 3 · a 2 будет одночленом 8 -й степени, ведь сумма показателей всех степеней переменных, включенных в него, будет равна 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Пример 2

Покажем, как подсчитать степень одночлена 3 · x 2 · y 3 · x · (− 2) · x 5 · y . В стандартном виде его можно записать как − 6 · x 8 · y 4 . Вычисляем степень: 8 + 4 = 12 . Значит, степень исходного многочлена также равна 12 .

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Определение 4

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Пример 3

Так, в выражении 8 · a 3 коэффициентом будет число 8 , а в (− 2 , 3) · x · y · z им будет − 2 , 3 .

Особое внимание надо уделить коэффициентам, равным единице и минус единице. Как правило, в явном виде их не указывают. Считается, что в одночлене стандартного вида, в котором нет числового множителя, коэффициент равен 1 , например, в выражениях a , x · z 3 , a · t · x , поскольку их можно рассматривать как как 1 · a , x · z 3 – как 1 · x · z 3 и т.д.

Точно так же в одночленах, в которых нет числового множителя и которые начинаются со знака минус, мы можем считать коэффициентом - 1 .

Пример 4

Например, такой коэффициент будет у выражений − x , − x 3 · y · z 3 , поскольку они могут быть представлены как − x = (− 1) · x , − x 3 · y · z 3 = (− 1) · x 3 · y · z 3 и т.д.

Если у одночлена вообще нет ни одного буквенного множителя, то говорить о коэффициенте можно и в этом случае. Коэффициентами таких одночленов-чисел будут сами эти числа. Так, например, коэффициент одночлена 9 будет равен 9 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Урок на тему: "Стандартный вид одночлена. Определение. Примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное учебное пособие "Понятная геометрия" для 7-9 классов
Мультимедийное учебное пособие "Геометрия за 10 минут" для 7-9 классов

Одночлен. Определение

Одночлен - это математическое выражение, которое представляет собой произведение простого множителя и одной или нескольких переменных.

К одночленам относятся все числа, переменные, их степени с натуральным показателем:
42;  3;  0;  6 2 ;  2 3 ;  b 3 ;  ax 4 ;  4x 3 ;  5a 2 ;  12xyz 3 .

Довольно часто бывает трудно определить, относится ли данное математическое выражение к одночлену или нет. Например, $\frac{4а^3}{5}$. Это одночлен или нет? Чтобы ответить на этот вопрос надо упростить выражение, т.е. представить в виде: $\frac{4}{5}*а^3$.
Мы можем точно сказать, что данное выражение - одночлен.

Стандартный вид одночлена

При вычислениях желательно привести одночлен к стандартному виду. Это наиболее краткая и понятная запись одночлена.

Порядок приведения одночлена к стандартному виду следующий:
1. Перемножить коэффициенты одночлена (или числовые множители) и полученный результат поместить на первое место.
2. Выбрать все степени с одинаковым буквенным основанием и перемножить их.
3. Повторять пункт 2 для всех переменных.

Примеры.
I. Привести заданный одночлен $3x^2zy^3*5y^2z^4$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $15х^2y^3z * y^2z^4$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $15х^2y^5z^5$.

II. Привести заданный одночлен $5a^2b^3 * \frac{2}{7}a^3b^2c$ к стандартному виду.

Решение.
1. Перемножим коэффициенты одночлена $\frac{10}{7}a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Теперь приведем подобные слагаемые $\frac{10}{7}a^5b^5c$.