Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого»

(ФГБОУ ВПО «ТГПУ им. Л. Н. Толстого»)

Кафедра алгебры, математического анализа и геометрии

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Методика обучения предметам: методика обучения математике»

на тему:

«МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ»

Выполнил:

студентка 3 курса группы 120922

факультета математики, физики и информатики

направления «Педагогическое образование»

профили «Физика» и «Математика»

Ничепуренко Наталья Александровна

Научный руководитель:

ассистент

Рарова Е.М.

Тула 2015

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава 1: Основные понятия………………………………………………………6

1.1 Элементы комбинаторики……………………………………………………6

1.2 Теория вероятностей………………………………………………………….8

Глава 2: Методические аспекты изучения «Теории вероятностей» в школьном курсе алгебры……………………………………………………. ….24

Глава 3: Фрагмент урока по алгебре на тему «Теория вероятностей»……….32

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Вопрос о совершенствовании математического образования в отечественной школе был поставлен в начале 60-х годов XX века выдающимися математиками Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоровым, И.И. Кикоиным, А.И. Маркушевичем, А.Я. Хинчиным. Б.В. Гнеденко писал: «Давно назрел и не терпит дальнейших отлагательств вопрос о введении в школьный курс математики элементов вероятностно-статистических знаний. Законы жёсткой детерминации, на изучение которых целиком ориентировано наше школьное образование, лишь односторонне раскрывают сущность окружающего мира. Случайный характер многих явлений действительности оказывается за пределами внимания наших школьников. В результате этого их представления о характере многих природных и общественных процессов носят однобокий характер и неадекватны современной науке. Необходимо познакомить их со статистическими законами, раскрывающими многогранные связи бытия предметов и явлений».

В.И. Левин писал: «…Необходимую для… деятельности статистическую культуру надо воспитывать с ранних лет. Не случайно в развитых странах этому уделяется большое внимание: с элементами теории вероятностей и статистики учащиеся знакомятся уже с первых школьных лет и на протяжении всего обучения усваивают вероятностно-статистические подходы к анализу распространенных ситуаций, встречающихся в повседневной жизни».

Реформой 80-х годов элементы теории вероятностей и статистики вошли в программы профильных классов, в частности, физико-математического и естественнонаучного, а также в факультативный курс изучения математики.

Учитывая назревшую необходимость развития отдельных качеств мышления учащихся, появляются авторские разработки факультативных курсов по теории вероятностей. Примером тому может быть курс Н.Н. Авдеевой по статистике для 7 и 9 классов и курс элементов математической статистики для 10 класса средней школы. В 10 классе были проведены проверочные работы, результаты которых, а также наблюдения преподавателей и опрос учащихся показали, что предлагаемый материал был вполне доступен учащимся, вызывал у них большой интерес, показывая конкретное применение математики к решению практических задач науки и техники.

Процесс внедрения элементов теории вероятностей в обязательный курс школьной математики оказался очень трудным делом. Существует мнение о том, что для усвоения начал теории вероятностей необходим предварительный запас идей, представлений, привычек, коренным образом отличающихся от тех, которые развиваются у школьников при традиционном обучении в рамках ознакомления с закономерностями строго обуславливающих явлений. Поэтому, по мнению ряда педагогов - математиков, теория вероятностей должна войти в школьную математику в качестве самостоятельного раздела, который обеспечивала бы формирование, систематизацию и развитие представлений о вероятностной природе явлений окружающего нас мира.

Так как изучение теории вероятностей в школьный курс было введено недавно, то в настоящее время существуют проблемы с реализацией этого материала в школьных учебниках. Также, в связи со специфичностью данного курса, количество методической литературы тоже пока невелико. Согласно подходам, изложенным в подавляющем большинстве литературы, считается, что главным при изучении данной темы должен стать практический опыт учащихся, поэтому обучение желательно начинать с вопросов, в которых требуется найти решение поставленной проблемы на фоне реальной ситуации. В процессе обучения не следует доказывать все теоремы, так как на это тратиться большое количество времени, в то время, как задачей курса является формирование полезных навыков, а умение доказывать теоремы к таким навыкам не относится.

Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большей серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?

Оценивая возможность наступления какого-либо события, мы часто говорим: "Это очень возможно", "Это непременно произойдет", "Это маловероятно", "Это никогда не случится". Купив лотерейный билет можно выиграть, а можно и не выиграть; завтра на уроке математике вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить.

Рассмотрим простой пример. Как вы думаете, сколько людей должно быть в определённой группе, чтобы по крайней у двоих из них дни рождения совпадали с вероятностью 100% (имеется в виду день и месяц без учёта года рождения)? Здесь имеется в виду не високосный год, т.е. год, в котором 365 дней. Ответ очевиден - в группе должно быть 366 человек. Теперь другой вопрос: сколько должно быть человек, чтобы нашлась пара с совпадающим днем рождения с вероятностью 99,9%? На первый взгляд всё просто - 364 человека. На самом деле достаточно 68 человек!

Вот для того, чтобы проводить такие интересные расчеты и делать для себя необычные открытия, мы и изучим такой раздел математики «Теория вероятностей».

Целью курсовой работы является изучение основ теории вероятностей в школьном курсе математики. Для реализации, поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

1. Рассмотреть методические аспекты изучения «Теории вероятностей» в школьном курсе алгебры.
   1. Ознакомиться с основными определениями и теоремами по «Теории вероятностей» в школьном курсе.
      1. Рассмотреть подробное решение задач по теме курсовой работы.
      2. Разработать фрагмент урока по теме курсовой работы.

Глава 1: Основные понятия

1.1 Элементы комбинаторики

Изучение курса должно начинаться с изучения основ комбинаторики, причем параллельно должна изучаться теория вероятностей, так как комбинаторика используется при подсчете вероятностей. Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называется комбинаторикой .

Комбинаторика изучает способы подсчета числа элементов в конечных множествах. Формулы комбинаторики используют при вычислении вероятностей.

Рассмотрим некоторое множество Х, состоящее из n элементов. Будем выбирать из этого множества различные упорядоченные подмножества Y из k элементов.

Размещением из n элементов множества Х по k элементам назовем любой упорядоченный набор () элементов множества Х.

Если выбор элементов множества Y из Х происходит с возвращением, т.е. каждый элемент множества Х может быть выбран несколько раз, то число размещений из n по k находится по формуле (размещения с повторениями).

Если же выбор делается без возвращения, т.е. каждый элемент множества Х можно выбирать только один раз, то количество размещений из n по k обозначается и определяется равенством

(размещения без повторений).

Частный случай размещения при n=k называется перестановкой из n элементов. Число всех перестановок из n элементов равно

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество Y (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом. Общее число всех сочетаний из n по k обозначается и равно

Справедливы равенства: ,

При решении задач комбинаторики используют следующие правила:

Правило суммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать либо А, либо В можно m + n способами.

Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбрана m*n способами.

1.2 Теория вероятностей

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.

Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием . Например, под потолком висит лампочка – никто не знает, когда она перегорит. Каждое случайное событие - есть следствие действия очень многих случайных величин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и многое другое). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, так как число их велико и законы действия неизвестны. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей .

Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет - она просто не в силах это сделать. Если же речь идет о массовых однородных случайных событиях, то они подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям.

Для начала давайте рассмотрим классификацию событий.

Различают события совместные и несовместные . События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие A — выпадание трех очков на первой игральной кости, событие B — выпадание трех очков на второй кости. A и B — совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие A — наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие B — коробка окажется с обувью коричневого цвета, A и B — несовместные события.

Событие называется достоверным , если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта.

Событие называется невозможным , если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная — невозможным.

Событие называется возможным , или случайным , если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления.

События называются равновозможными , если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны.

Важным понятием является полная группа событий . Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. A — появление красного шара при одном извлечении, B — появление белого шара, C — появление шара с номером. События A,B,C образуют полную группу совместных событий.

Событие может быть противоположным , или дополнительным . Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие A. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным — событие A, либо бракованным — событие.

Рассмотрим пример. Бросают игральный кубик (т.е. небольшой куб, на гранях которого выбиты очки 1, 2, 3, 4, 5, 6). При бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно очко, два очка, три очка и т.д. Каждый из этих исходов является случайным.

Провели такое испытание. Игральный кубик бросали 100 раз и наблюдали, сколько раз произойдет событие «на кубике выпало 6 очков». Оказалось, что в данной серии экспериментов «шестерка» выпала 9 раз. Число 9, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний, равное, называют относительной частотой этого события.

Вообще пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же условиях и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет интересующее нас событие A . Вероятность события обозначается большой латинской буквой P. Тогда вероятность события А будем обозначать: Р(А).

Классическое определение вероятности :

Вероятность события A равна отношению числа случаев m , благоприятствующих ему, из общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу n , т. е.

Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо:

1. рассмотреть различные исходы испытаний;
2. найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать их общее число n , число случаев m , благоприятствующих данному событию;
3. выполнить расчет по формуле.

Из формулы следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев:

Рассмотрим еще один пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 – зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара – событие А, появление зеленого – событие В, появление белого – событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем:

Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота – после опыта.

Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна:

Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события.

Геометрическая вероятность. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно , что также ограничивает его применение на практике.

В случае, когда имеет место испытание с бесконечным числом исходов, используют определение геометрической вероятности – попадание точки в область.

При определении геометрической вероятности полагают, что имеется область N и в ней меньшая область M . На область N наудачу бросают точку (это означает, что все точки области N «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайно точки).

Событие A – «попадание брошенной точки на область M ». Область M называют благоприятствующей событию A .

Вероятность попадания в какую-либо часть области N пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы.

Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть:

1. отрезок (мерой является длина)
2. геометрическая фигура на плоскости (мерой является площадь)
3. геометрическое тело в пространстве (мерой является объем)

Дадим определение геометрической вероятности для случая плоской фигуры.

Пусть область M является частью области N . Событие A состоит в попадании случайно брошенной на область N точки в область M . Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области M к площади области N :

При этом вероятность попадания случайно брошенной точки на границу области считается равной нулю.

Рассмотрим пример: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дошла до отметки 8 часов.

Решение. Число исходов бесконечно, применим определение геометрической вероятности. Сектор между 5 и 8 часами составляет часть площади всего циферблата, следовательно, .

Операции над событиями:

События А и В называются равными , если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот.

Объединением или суммой событий называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий.

Пересечением или произведением событий называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий.

A =∩

Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

C = A \ B

Пример:

A + B – «выпало 2; 4; 6 или 3 очка»

A ∙ B – «выпало 6 очков»

A – B – «выпало 2 и 4 очка»

Дополнительным к событию А называется событие, означающее, что событие А не происходит.

Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.

Свойства вероятностей:

Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию A , то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным

Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию A , то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным , а вероятность его появления, так как в этом случае m =0:

Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события A :

где (n - m ) — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события. Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A :

Сложение и умножение вероятностей.

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем A ⊂ B .

События А и В называются равными , если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей 1 . Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

P = P + P

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство

P + P +…+ P =1

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2 . Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

P=P+P-P

Примеры задач на теорему сложения.

1. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Ответ: 0,35.

1. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
   Решение. Рассмотрим события А – «кофе закончится в первом автомате», В – «кофе закончится во втором автомате». Тогда A·B – «кофе закончится в обоих автоматах», A + B – «кофе закончится хотя бы в одном автомате». По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.
   События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:
   P (A + B ) = P (A ) + P (B ) − P (A · B ) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

События событий А и В называются независимыми , если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Условной вероятностью P (A | B ) события А называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично, через P (B | A ) обозначается условная вероятность события В при условии, что А наступило.

Для независимых событий по определению

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

Теорема умножения для зависимых событий

Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)

(в зависимости от того, какое событие произошло первым).

Следствия из теоремы:

Теорема умножения для независимых событий . Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:

P (A ∙ B ) = P (A ) ∙ P (B )

Если А и В независимы, то независимы и пары: (;), (; В), (А;).

Примеры задач на теорему умножения:

1. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.

Ответ: 0,156.

1. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 − 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Формула полной вероятности

Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности:

Вероятность P (А) события А, которое может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) В 1 , В 2 , В 3 … В n , образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) В 1 , В 2 , В 3 , …, В n на соответствующие условные вероятности события А:

P (А) = Р(В 1 )  P (A | B 1 ) + Р(В 2 )  P (A | B 2 ) + Р(В 3 )  P (A | B 3 ) + … + Р(В n )  P (A | B n )

Рассмотрим пример: Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована.

Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A – «батарейка действительно неисправна и забракована справедливо» или В – «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02  0,99 + 0,98  0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Ответ: 0,0296.

Глава 2: Методические аспекты изучения «Теории вероятностей» в школьном курсе алгебры

В 2003 г. было принято решение о включении элементов теории вероятностей в школьный курс математики общеобразовательной школы (инструктивное письмо № 03–93ин/13–03 от 23.09.2003 Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы», «Математика в школе», № 9 за 2003 г.). К этому моменту элементы теории вероятностей уже более десяти лет в разнообразном виде присутствовали в известных школьных учебниках алгебры для разных классов (например, И.Ф. «Алгебра: Учебники для 7–9 классов общеобразовательных учреждений» под редакцией Г.В.Дорофеева; «Алгебра и начала анализа: Учебники для 10– 11 классов общеобразовательных учреждений» Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова, Е.А.Седова»), и в виде отдельных учебных пособий. Однако изложение материала по теории вероятности в них, как правило, не носило систематического характера, а учителя, чаще всего, не обращались к этим разделам, не включали их в учебный план. Принятый Министерством образования в 2003 г. документ предусматривал постепенное, поэтапное включение этих разделов в школьные курсы, давая возможность преподавательскому сообществу подготовиться к соответствующим изменениям.

В 2004–2008 гг. выходит ряд учебных пособий, дополняющих существующие учебники алгебры. Это издания Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика», Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. Пособие для учащихся 7–9 кл. общеобразоват. учреждений», Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность: Учеб. Пособие для 7– 9 кл. общеобразоват. учреждений». В помощь учителям также вышли методические пособия. В течение ряда лет все эти учебные пособия проходили апробацию в школах. В условиях, когда переходный период внедрения в школьные программы завершился, и разделы статистики и теории вероятностей заняли свое место в учебных планах 7–9 классов, требуется анализ и осмысление согласованности основных определений и обозначений, используемых в этих учебных пособиях.

Все эти учебные пособия создавались в условиях отсутствия традиций преподавания этих разделов математики в школе. Такое отсутствие вольно или невольно провоцировало авторов учебных пособий на сравнение с имеющимися учебниками для вузов. Последние же в зависимости от сложившихся традиций по отдельным специализациям высшей школы часто допускали существенный терминологический разнобой и различия в обозначениях основных понятий и записи формул. Анализ содержания указанных выше школьных учебных пособий показывает, что они на сегодняшний день унаследовали от учебников высшей школы эти особенности. С большей степенью точности можно утверждать, что выбор конкретного учебного материала по новым для школы разделам математики, касающихся понятия «случайного», происходит в настоящий момент самым что ни на есть случайным образом, вплоть до названий и обозначений. Поэтому коллективы авторов ведущих школьных учебных пособий по теории вероятностей и статистики решили объединить свои усилия под эгидой Московского института Открытого Образования для выработки согласованных позиций по унификации основных определений и обозначений, используемых в учебных пособиях для школы по теории вероятностей и статистике.

Проведем анализ введения темы «Теория вероятностей» в школьных учебниках.

Общая характеристика:

Содержание обучения теме "Элементы теории вероятностей", выделенное в "Программе для общеобразовательных учреждений. Математика", обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом.

1. Продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний.

Построить систему определений основных понятий;

Выявить дополнительные свойства введенных понятий;

Установить связи введенных и ранее изученных понятий.

2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов.

3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории.

Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач:

1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое)

2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие.

3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности.

4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий а) по классическому определению вероятности; б) по теории сложения и умножения; в) по формуле полной вероятности.

5. Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи.

Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей.

Развивающие цели :

• формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности;
• в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области;
• самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач; применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах;
• развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая);
• учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений.

Воспитательные цели :

• формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе;
• формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций;
• воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию.

Проведем анализ учебника по алгебре за 9 класс «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей» Макарычев Ю.Н.

Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А.

Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями.

Согласно «Программе для общеобразовательных учреждений» на изучение темы «Теория вероятностей и статистика» в школьном курсе алгебры отводится 15 часов.

Материал по данной теме приходится на 9 класс и излагается в следующих параграфах:

§3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта:

Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения.

Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок.

Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений.

Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний.

Целью данного параграфа является дать учащимся различные способы описания всех возможных элементарных событий в различных типах случайного опыта.

§4 «Начальные сведения из теории вероятностей».

Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися.

Методические рекомендации к данному учебнику даны в ряде статей Макарычева и Миндюка («Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры», «Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры»). А также некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой, которая поможет не допустить ошибок при работе с данным учебником.
Цель: переход от качественного описания событий к математическому описанию.

Тема «Теория вероятностей» в учебниках Мордковича А.Г., Семенова П.В. за 9-11 классы.

На данный момент одним из действующих учебников в школе является учебник Мордковича А.Г., Семенова П.В. «События, вероятности, статистическая обработка данных» , к нему также имеются дополнительные главы для 7-9 классов. Проведем его анализ.

Согласно «Рабочей программе по алгебре» на изучение темы «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» отводится 20 часов.

Материал по теме «Теория вероятностей» раскрывается в следующих параграфах:

§ 1. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки. Начинается с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов.

§ 2. Выбор нескольких элементов. Сочетания. Сначала выводится формула для 2-ух элементов, затем для трех, а потом общая для n элементов.

§ 3. Случайные события и их вероятности. Вводится классическое определение вероятности.

Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и деревья вариантов. Эти пункты необходимы, так как именно таблицы и деревья вариантов учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных. Так же в этом учебнике удачно вводится формула сочетаний сначала для двух элементов, затем для трех и обобщается для n элементов. По комбинаторике материал изложен так же удачно. Каждый параграф содержит упражнения, что позволяет закреплять материал. Замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой .

В 10 классе на данную тему отводится три параграфа. В первом из них «Правило умножения. Перестановки и факториалы», кроме собственно правила умножения, основной акцент делался на вывод из этого правила двух основных комбинаторных тождеств: для числа перестановок и для числа всевозможных подмножеств множества, состоящего из n элементов. При этом факториалы введены как удобный способ сокращенной записи ответа во многих конкретных комбинаторных задачах раньше самого понятия «перестановка». Во втором параграфе 10 класса «Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты»рассматривались классические комбинаторные задачи, связанные с одновременным (или поочередным) выбором нескольких элементов из заданного конечного множества. Наиболее существенным и действительно новым для российской общеобразовательной школы был заключительный параграф «Случайные события и их вероятности». В нем была рассмотрена классическая вероятностная схема, разобраны формулы P (A + B )+ P (AB )= P (A )+ P (B ), P ()=1- P (A ), P (A )=1- P () и способы их применения. Заканчивался параграф переходом к независимым повторениям испытания с двумя исходами. Это наиболее важная с практической точки зрения вероятностная модель (Испытания Бернулли), имеющая значительное число приложений. Последний материал образовывал переход между содержанием учебного материала в 10 и 11 классах.

В 11 классе теме «Элементы теории вероятностей» посвящены два параграфа учебника и задачника. В § 22 речь идет о геометрических вероятностях, в § 23 повторяются и расширяются знания о независимых повторениях испытаний с двумя исходами.

Глава 3: Фрагмент урока по алгебре на тему «Теория вероятностей»

Класс: 11

Тема урока: «Разбор задания С6».

Тип урока: решение задач.

Формируемые УУД

Познавательные: анализировать,

делать выводы, сравнивать объекты по способам действия;

Регулятивные: определять цель, проблему, выдвигать версии, планировать деятельность;

Коммуникативные: излагать свое мнение, использовать речевые средства;

Личностные: осознавать свои эмоции, вырабатывать уважительное отношение к одноклассникам

Планируемые результаты

Предметные: умения использовать формулу для решения задач на вычисление вероятности.

Метапредметные: умение выдвигать гипотезы, предположения, видеть

различные способы решения задачи.

Личностные: умение правильно излагать свои мысли, понимать смысл

поставленной задачи.

Задача: Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театр мальчиков было не более 2/11 от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более 2/5 от общего числа учащихся группы, посетивших кино.
а) Могло ли быть в группе 9 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а) и б)?

Разбор задания:

Сначала разберемся с условием:

(Параллельно с объяснением учитель все изображает на доске).

Предположим, что у нас есть множество ребят, которые сходили в кино, и множество ребят, которые сходили в театр. Т.к. сказано, что они все сходили, то вся группа входит или в множество ребят, которые сходили в театр, или в множество ребят, сходивших в кино. Что обозначает место, где эти множества пересекаются?

Оно обозначает, что эти ребята сходили и в кино и в театр одновременно.

Известно, что мальчиков, сходивших в театр, было не более 2/11 от общего числа сходивших в театр всего. Учитель просит кого-нибудь из учеников изобразить это на доске.

А мальчиков, которые сходили в кино могло быть больше - не более 2/5 от общего числа учащихся группы.

Теперь перейдем к решению.

а) У нас имеется 9 мальчиков, всего учащихся, обозначим N =20, должны выполняться все условия. Если у нас мальчиков 9, девочек, соответственно, 11. Пункт а) можно решить в большинстве случаев перебором.

Предположим, что у нас мальчики ходили либо только в кино, либо в театр.

А девочки сходили туда и туда. (Синим показано множество мальчиков, а черная штриховка - девочки)

Так как у нас всего 9 мальчиков и, по условию, в театр сходило меньше мальчиков, предполагаем, что в театр сходило 2 мальчика, а в кино – 7. И посмотрим, выполняется ли наше условие.

Проверим сначала на примере театра. Берем число мальчиков, сходивших в театр, ко всем, кто сходил в театр и плюс число девочек и сравним это с: . Домножим это на 18 и на 5: .

Следовательно дробь 7/18 2/5. Значит, условие выполняется для кино.

Теперь посмотрим, выполняется ли это условие для театра. Самостоятельно, потом кто-то из учеников записывает решение на доске.

Ответ: Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 7 мальчиков, посетивших только кино, и 11 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 10 или больше. Тогда девочек было 10 или меньше. Театр посетило не более 2 мальчиков, поскольку если бы их было 3 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше =, что больше.

Аналогично, кино посетило не более 7 мальчиков, поскольку, но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 9 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 9.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и d девочек.

Оценим долю девочек в этой группе. Нулем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Если группа состоит из 2 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна.

В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты. Событие, которое может произойти, а может и не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием. Например, под потолком висит лампочка - никто не знает, когда она перегорит. Каждое случайное событие - есть следствие действия очень многих случайных величин (сила, с которой брошена монета, форма монеты и многое другое). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, так как число их велико и законы действия неизвестны. Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей. Теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет - она просто не в силах это сделать. Если же речь идет о массовых однородных случайных событиях, то они подчиняются определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Для начала давайте рассмотрим классификацию событий. Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными. Например, подбрасываются две игральные кости. Событие A - выпадание трех очков на первой игральной кости, событие B - выпадание трех очков на второй кости. A и B - совместные события. Пусть в магазин поступила партия обуви одного фасона и размера, но разного цвета. Событие A - наудачу взятая коробка окажется с обувью черного цвета, событие B - коробка окажется с обувью коричневого цвета, A и B - несовместные события. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта. Например, событие, заключающееся в том, что из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь, является достоверным, а нестандартная - невозможным. Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться. Примером случайного события может служить выявление дефектов изделия при контроле партии готовой продукции, несоответствие размера обрабатываемого изделия заданному, отказ одного из звеньев автоматизированной системы управления. События называются равновозможными, если по условиям испытания ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие. Например, пусть магазину поставляют электролампочки (причем в равных количествах) несколько заводов-изготовителей. События, состоящие в покупке лампочки любого из этих заводов, равновозможны. Важным понятием является полная группа событий. Несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта обязательно появится хотя бы одно из них. Например, в урне находится десять шаров, из них шесть шаров красных, четыре белых, причем пять шаров имеют номера. A - появление красного шара при одном извлечении, B - появление белого шара, C - появление шара с номером. События A,B,C образуют полную группу совместных событий. Событие может быть противоположным, или дополнительным. Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие A. Противоположные события несовместны и единственно возможны. Они образуют полную группу событий. Например, если партия изготовленных изделий состоит из годных и бракованных, то при извлечении одного изделия оно может оказаться либо годным - событие A, либо бракованным - событие. Рассмотрим пример. Бросают игральный кубик (т.е. небольшой куб, на гранях которого выбиты очки 1, 2, 3, 4, 5, 6). При бросании игрального кубика на его верхней грани может выпасть одно очко, два очка, три очка и т.д. Каждый из этих исходов является случайным. Провели такое испытание. Игральный кубик бросали 100 раз и наблюдали, сколько раз произойдет событие «на кубике выпало 6 очков». Оказалось, что в данной серии экспериментов «шестерка» выпала 9 раз. Число 9, которое показывает, сколько раз в этом испытании произошло рассматриваемое событие, называют частотой этого события, а отношение частоты к общему числу испытаний, равное, называют относительной частотой этого события. Вообще пусть определенное испытание проводится многократно в одних и тех же условиях и при этом каждый раз фиксируется, произошло или нет интересующее нас событие A. Вероятность события обозначается большой латинской буквой P. Тогда вероятность события А будем обозначать: Р(А). Классическое определение вероятности: Вероятность события A равна отношению числа случаев m, благоприятствующих ему, из общего числа n единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу n, т. е. Следовательно, для нахождения вероятности события необходимо: рассмотреть различные исходы испытаний; найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать их общее число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию; выполнить расчет по формуле. Из формулы следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев: Рассмотрим еще один пример. В коробке находится 10 шаров. 3 из них красные, 2 - зеленые, остальные белые. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет красным, зеленым или белым. Появление красного, зеленого и белого шаров составляют полную группу событий. Обозначим появление красного шара - событие А, появление зеленого - событие В, появление белого - событие С. Тогда в соответствием с записанными выше формулами получаем: ; ; Отметим, что вероятность наступления одного из двух попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Относительной частотой события А называется отношение числа опытов, в результате которых произошло событие А к общему числу опытов. Отличие относительной частоты от вероятности заключается в том, что вероятность вычисляется без непосредственного произведения опытов, а относительная частота - после опыта. Так в рассмотренном выше примере, если из коробки наугад извлечено 5 шаров и 2 из них оказались красными, то относительная частота появления красного шара равна: Как видно, эта величина не совпадает с найденной вероятностью. При достаточно большом числе произведенных опытов относительная частота изменяется мало, колеблясь около одного числа. Это число может быть принято за вероятность события. Геометрическая вероятность. Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов конечно, что также ограничивает его применение на практике. В случае, когда имеет место испытание с бесконечным числом исходов, используют определение геометрической вероятности - попадание точки в область. При определении геометрической вероятности полагают, что имеется область N и в ней меньшая область M. На область N наудачу бросают точку (это означает, что все точки области N «равноправны» в отношении попадания туда брошенной случайно точки). Событие A - «попадание брошенной точки на область M». Область M называют благоприятствующей событию A. Вероятность попадания в какую-либо часть области N пропорциональна мере этой части и не зависит от ее расположения и формы. Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть: отрезок (мерой является длина) геометрическая фигура на плоскости (мерой является площадь) геометрическое тело в пространстве (мерой является объем) Дадим определение геометрической вероятности для случая плоской фигуры. Пусть область M является частью области N. Событие A состоит в попадании случайно брошенной на область N точки в область M. Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области M к площади области N: При этом вероятность попадания случайно брошенной точки на границу области считается равной нулю. Рассмотрим пример: Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дошла до отметки 8 часов. Решение. Число исходов бесконечно, применим определение геометрической вероятности. Сектор между 5 и 8 часами составляет часть площади всего циферблата, следовательно, . Операции над событиями: События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. Объединением или суммой событий называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий. A= Пересечением или произведением событий называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий. A=? Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В. C=AB Пример: A + B - «выпало 2; 4; 6 или 3 очка» A B - «выпало 6 очков» A - B - «выпало 2 и 4 очка» Дополнительным к событию А называется событие, означающее, что событие А не происходит. Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие. Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий. Свойства вероятностей: Свойство 1. Если все случаи являются благоприятствующими данному событию A, то это событие обязательно произойдет. Следовательно, рассматриваемое событие является достоверным, а вероятность его появления, так как в этом случае Свойство 2. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию A, то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления, так как в этом случае m=0: Свойство 3. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице. Свойство 4. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события A: где (n-m) - число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события. Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A: Сложение и умножение вероятностей. Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В, записываем A?B. События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записываем А = В. Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В. Теорема о сложении вероятностей 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P=P+P Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий: Если случайные события образуют полную группу несовместных событий, то имеет место равенство P+P+…+P=1 Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события. Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле P=P+P-P Примеры задач на теорему сложения. На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 0,2 + 0,15 = 0,35. Ответ: 0,35. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. Рассмотрим события А - «кофе закончится в первом автомате», В - «кофе закончится во втором автомате». Тогда A·B - «кофе закончится в обоих автоматах», A + B - «кофе закончится хотя бы в одном автомате». По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12. События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A·B) = 0,3 + 0,3 ? 0,12 = 0,48. Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 ? 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52. События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Условной вероятностью P(A|B) события А называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично, через P(B|A) обозначается условная вероятность события В при условии, что А наступило. Для независимых событий по определению P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Теорема умножения для зависимых событий Вероятность произведения зависимых событий равна произведению ве0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Ответ: 0,0296.

В 2003 г. было принято решение о включении элементов теории вероятностей в школьный курс математики общеобразовательной школы (инструктивное письмо № 03-93ин/13-03 от 23.09.2003 Министерства образования РФ «О введении элементов комбинаторики, статистики и теории вероятностей в содержание математического образования основной школы», «Математика в школе», № 9 за 2003 г.). К этому моменту элементы теории вероятностей уже более десяти лет в разнообразном виде присутствовали в известных школьных учебниках алгебры для разных классов (например, И.Ф. «Алгебра: Учебники для 7-9 классов общеобразовательных учреждений» под редакцией Г.В.Дорофеева; «Алгебра и начала анализа: Учебники для 10- 11 классов общеобразовательных учреждений» Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова, Е.А.Седова»), и в виде отдельных учебных пособий. Однако изложение материала по теории вероятности в них, как правило, не носило систематического характера, а учителя, чаще всего, не обращались к этим разделам, не включали их в учебный план. Принятый Министерством образования в 2003 г. документ предусматривал постепенное, поэтапное включение этих разделов в школьные курсы, давая возможность преподавательскому сообществу подготовиться к соответствующим изменениям. В 2004-2008 гг. выходит ряд учебных пособий, дополняющих существующие учебники алгебры. Это издания Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика», Тюрин Ю.Н., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. «Теория вероятностей и статистика: Методическое пособие для учителя», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учеб. Пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений», Ткачева М.В., Федорова Н.Е. «Элементы статистики и вероятность: Учеб. Пособие для 7- 9 кл. общеобразоват. учреждений». В помощь учителям также вышли методические пособия. В течение ряда лет все эти учебные пособия проходили апробацию в школах. В условиях, когда переходный период внедрения в школьные программы завершился, и разделы статистики и теории вероятностей заняли свое место в учебных планах 7-9 классов, требуется анализ и осмысление согласованности основных определений и обозначений, используемых в этих учебных пособиях. Все эти учебные пособия создавались в условиях отсутствия традиций преподавания этих разделов математики в школе. Такое отсутствие вольно или невольно провоцировало авторов учебных пособий на сравнение с имеющимися учебниками для вузов. Последние же в зависимости от сложившихся традиций по отдельным специализациям высшей школы часто допускали существенный терминологический разнобой и различия в обозначениях основных понятий и записи формул. Анализ содержания указанных выше школьных учебных пособий показывает, что они на сегодняшний день унаследовали от учебников высшей школы эти особенности. С большей степенью точности можно утверждать, что выбор конкретного учебного материала по новым для школы разделам математики, касающихся понятия «случайного», происходит в настоящий момент самым что ни на есть случайным образом, вплоть до названий и обозначений. Поэтому коллективы авторов ведущих школьных учебных пособий по теории вероятностей и статистики решили объединить свои усилия под эгидой Московского института Открытого Образования для выработки согласованных позиций по унификации основных определений и обозначений, используемых в учебных пособиях для школы по теории вероятностей и статистике. Проведем анализ введения темы «Теория вероятностей» в школьных учебниках. Общая характеристика: Содержание обучения теме "Элементы теории вероятностей", выделенное в "Программе для общеобразовательных учреждений. Математика", обеспечивает дальнейшее развитие у учащихся их математических способностей, ориентации на профессии, существенным образом связанных с математикой, подготовку к обучению в ВУЗе. Специфика математического содержания рассматриваемой темы позволяет конкретизировать выделенную основную задачу углубленного изучения математики следующим образом. 1. Продолжить раскрытие содержания математики, как дедуктивной системы знаний. - построить систему определений основных понятий; - выявить дополнительные свойства введенных понятий; - установить связи введенных и ранее изученных понятий. 2. Систематизировать некоторые вероятностные способы решения задач; раскрыть операционный состав поиска решений задач определенных типов. 3. Создать условия для понимания и осознания учащимися основной идеи практической значимости теории вероятностей путем анализа основных теоретических фактов. Раскрыть практические приложения изучаемой в данной теме теории. Достижению поставленных образовательных целей будет способствовать решение следующих задач: 1. Сформировать представление о различных способах определения вероятности события (статистическое, классическое, геометрическое, аксиоматическое) 2. Сформировать знание основных операций над событиями и умения применять их для описания одних событий через другие. 3. Раскрыть сущность теории сложения и умножения вероятностей; определить границы использования этих теорем. Показать их применения для вывода формул полной вероятности. 4. Выявить алгоритмы нахождения вероятностей событий а) по классическому определению вероятности; б) по теории сложения и умножения; в) по формуле0,99 + 0,98P(A|Bn) Рассмотрим пример: Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная из упаковки батарейка будет забракована. Решение. Ситуация, при которой батарейка будет забракована, может сложиться в результате событий: A - «батарейка действительно неисправна и забракована справедливо» или В - «батарейка исправна, но по ошибке забракована». Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02P(A|B3) + … + Р(Вn)P(A|B2) + Р(В3)P(A|B1) + Р(В2)роятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое произошло: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P(B) P(A|B) (в зависимости от того, какое событие произошло первым). Следствия из теоремы: Теорема умножения для независимых событий. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: P(A B) = P(A) P(B) Если А и В независимы, то независимы и пары: (;), (; В), (А;). Примеры задач на теорему умножения: Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Решение. Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156. Ответ: 0,156. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен. Решение. Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: 0,05 · 0,05 = 0,0025. Событие, состоящее в том, что исправен хотя бы один автомат, противоположное. Следовательно, его вероятность равна 1 ? 0,0025 = 0,9975. Ответ: 0,9975. Формула полной вероятности Следствием теорем сложения и умножения вероятностей является формула полной вероятности: Вероятность P(А) события А, которое может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) В1, В2, В3 … Вn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий (гипотез) В1, В2, В3, …, Вn на соответствующие условные вероятности события А: P(А) = Р(В1) полной вероятности. 5. Сформировать предписание, позволяющее рационально выбрать один из алгоритмов при решении конкретной задачи. Выделенные образовательные цели для изучения элементов теории вероятностей дополним постановкой развивающих и воспитательных целей. Развивающие цели: формировать у учащихся устойчивый интерес к предмету, выявлять и развивать математические способности; в процессе обучения развивать речь, мышление, эмоционально-волевую и конкретностно-мотивационную области; самостоятельное нахождение учащимися новых способов решения проблем и задач; применение знаний в новых ситуациях и обстоятельствах; развивать умение объяснить факты, связи между явлениями, преобразовывать материал из одной формы представления в другую (вербальная, знако-символическая, графическая); учить демонстрировать правильное применение методов, видеть логику рассуждений, сходство и различие явлений. Воспитательные цели: формировать у школьников нравственные и эстетические представления, систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе; формировать потребности личности, мотивы социального поведения, деятельности, ценностей и ценностных ориентаций; воспитывать личность, способную к самообразованию и самовоспитанию. Проведем анализ учебника по алгебре за 9 класс «Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей» Макарычев Ю.Н. Это учебное пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, оно дополняет учебники: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. «Алгебра 7», «Алгебра 8», «Алгебра 9», под редакцией Теляковского С.А. Книга состоит из четырех параграфов. В каждом пункте содержатся теоретические сведения и соответствующие упражнения. В конце пункта приводятся упражнения для повторения. К каждому параграфу даются дополнительные упражнения более высокого уровня сложности по сравнению с основными упражнениями. Согласно «Программе для общеобразовательных учреждений» на изучение темы «Теория вероятностей и статистика» в школьном курсе алгебры отводится 15 часов. Материал по данной теме приходится на 9 класс и излагается в следующих параграфах: §3 «Элементы комбинаторики» содержит 4 пункта: Примеры комбинаторных задач. На простых примерах демонстрируется решение комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов. Этот метод иллюстрируется с помощью построение дерева возможных вариантов. Рассматривается правило умножения. Перестановки. Вводится само понятие и формула подсчета перестановок. Размещения. Понятие вводится на конкретном примере. Выводится формула числа размещений. Сочетания. Понятие и формула числа сочетаний. Целью данного параграфа является дать учащимся различные способы описания всех возможных элементарных событий в различных типах случайного опыта. §4 «Начальные сведения из теории вероятностей». Изложение материала начинается с рассмотрения эксперимента, после чего вводят понятие «случайное событие» и «относительная частота случайного события». Вводится статистическое и классическое определение вероятности. Параграф завершается пунктом «сложение и умножение вероятностей». Рассматриваются теоремы сложения и умножения вероятностей, вводятся связанные с ними понятия несовместные, противоположные, независимые события. Этот материал рассчитан на учащихся, проявляющих интерес и склонности к математике, и может быть использован для индивидуальной работы или на внеклассных занятиях с учащимися. Методические рекомендации к данному учебнику даны в ряде статей Макарычева и Миндюка («Элементы комбинаторики в школьном курсе алгебры», «Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры»). А также некоторые критические замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой, которая поможет не допустить ошибок при работе с данным учебником. Цель: переход от качественного описания событий к математическому описанию. Тема «Теория вероятностей» в учебниках Мордковича А.Г., Семенова П.В. за 9-11 классы. На данный момент одним из действующих учебников в школе является учебник Мордковича А.Г., Семенова П.В. «События, вероятности, статистическая обработка данных», к нему также имеются дополнительные главы для 7-9 классов. Проведем его анализ. Согласно «Рабочей программе по алгебре» на изучение темы «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» отводится 20 часов. Материал по теме «Теория вероятностей» раскрывается в следующих параграфах: § 1. Простейшие комбинаторные задачи. Правило умножения и дерево вариантов. Перестановки. Начинается с рассмотрения простых комбинаторных задач, рассматривается таблица возможных вариантов, которая показывает принцип правила умножения. Затем рассматриваются деревья возможных вариантов и перестановки. После теоретического материала идут упражнения по каждому из подпунктов. § 2. Выбор нескольких элементов. Сочетания. Сначала выводится формула для 2-ух элементов, затем для трех, а потом общая для n элементов. § 3. Случайные события и их вероятности. Вводится классическое определение вероятности. Плюсом данного пособия является то, что оно одно из немногих содержит пункты, в которых рассматриваются таблицы и деревья вариантов. Эти пункты необходимы, так как именно таблицы и деревья вариантов учат учащихся представлению и первоначальному анализу данных. Так же в этом учебнике удачно вводится формула сочетаний сначала для двух элементов, затем для трех и обобщается для n элементов. По комбинаторике материал изложен так же удачно. Каждый параграф содержит упражнения, что позволяет закреплять материал. Замечания по данному учебному пособию содержатся в статье Студенецкой и Фадеевой. В 10 классе на данную тему отводится три параграфа. В первом из них «Правило умножения. Перестановки и факториалы», кроме собственно правила умножения, основной акцент делался на вывод из этого правила двух основных комбинаторных тождеств: для числа перестановок и для числа всевозможных подмножеств множества, состоящего из n элементов. При этом факториалы введены как удобный способ сокращенной записи ответа во многих конкретных комбинаторных задачах раньше самого понятия «перестановка». Во втором параграфе 10 класса «Выбор нескольких элементов. Биномиальные коэффициенты»рассматривались классические комбинаторные задачи, связанные с одновременным (или поочередным) выбором нескольких элементов из заданного конечного множества. Наиболее существенным и действительно новым для российской общеобразовательной школы был заключительный параграф «Случайные события и их вероятности». В нем была рассмотрена классическая вероятностная схема, разобраны формулы P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1-P() и способы их применения. Заканчивался параграф переходом к независимым повторениям испытания с двумя исходами. Это наиболее важная с практической точки зрения вероятностная модель (Испытания Бернулли), имеющая значительное число приложений. Последний материал образовывал переход между содержанием учебного материала в 10 и 11 классах. В 11 классе теме «Элементы теории вероятностей» посвящены два параграфа учебника и задачника. В § 22 речь идет о геометрических вероятностях, в § 23 повторяются и расширяются знания о независимых повторениях испытаний с двумя исходами.

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это достоверные события, которые обязательно произойдут, невозможные события и случайные события. Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти. В данной статье будет представлена в кратком виде теория вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Зачем нужна теория вероятности

Исторически потребность исследования этих проблем возникла в XVII веке в связи с развитием и профессионализацией азартных игр и появлением казино. Это было реальное явление, которое требовало своего изучения и исследования.

Игра в карты, кости, рулетку создавала ситуации, когда могло произойти любое из конечного числа равновозможных событий. Возникла необходимость дать числовые оценки возможности наступления того или иного события.

В XX веке выяснилось, что эта, казалось бы, легкомысленная наука играет важную роль в познании фундаментальных процессов, протекающих в микромире. Была создана современная теория вероятностей.

Основные понятия теории вероятности

Объектом изучения теории вероятностей являются события и их вероятности. Если событие является сложным, то его можно разбить на простые составляющие, вероятности которых найти несложно.

Суммой событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло либо событие А, либо событие В, либо события А и В одновременно.

Произведением событий А и В называется событие С, заключающееся в том, что произошло и событие А и событие В.

События А и В называется несовместными, если они не могут произойти одновременно.

Событие А называется невозможным, если оно не может произойти. Такое событие обозначается символом .

Событие А называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Такое событие обозначается символом .

Пусть каждому событию А поставлено в соответствие число P{А). Это число P(А) называется вероятностью события А, если при таком соответствии выполнены следующие условия.

Важным частным случаем является ситуация, когда имеется равновероятных элементарных исходов, и произвольные из этих исходов образуют события А. В этом случае вероятность можно ввести по формуле . Вероятность, введенная таким образом, называется классической вероятностью. Можно доказать, что в этом случае свойства 1-4 выполнены.

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми. Особенно простыми являются задачи по теории вероятностей в демонстрационных вариантах. Легко вычислить число благоприятных исходов , прямо в условии написано число всех исходов .

Ответ получаем по формуле .

Пример задачи из ЕГЭ по математике по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть , где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет определяться по формуле:

Независимые, противоположные и произвольные события

Однако в открытом банке заданий стали встречаться и более сложные задания. Поэтому обратим внимание читателя и на другие вопросы, изучаемые в теории вероятностей.

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события,т.е. .

Теоремы сложения и умножения вероятностей, формулы

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. .

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае .

Последние 2 утверждения называются теоремами сложения и умножения вероятностей.

Не всегда подсчет числа исходов является столь простым. В ряде случаев необходимо использовать формулы комбинаторики. При этом наиболее важным является подсчет числа событий, удовлетворяющих определенным условиям. Иногда такого рода подсчеты могут становиться самостоятельными заданиями.

Сколькими способами можно усадить 6 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Для третьего ученика остается 4 свободных места, для четвертого - 3, для пятого - 2, шестой займет единственное оставшееся место. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение , которое обозначается символом 6! и читается «шесть факториал».

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа перестановок из п элементов В нашем случае .

Рассмотрим теперь другой случай с нашими учениками. Сколькими способами можно усадить 2 учеников на 6 свободных мест? Первый ученик займет любое из 6 мест. Каждому из этих вариантов соответствует 5 способов занять место второму ученику. Чтобы найти число всех вариантов, надо найти произведение .

В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа размещений из n элементов по k элементам

В нашем случае .

И последний случай из этой серии. Сколькими способами можно выбрать трех учеников из 6? Первого ученика можно выбрать 6 способами, второго - 5 способами, третьего - четырьмя. Но среди этих вариантов 6 раз встречается одна и та же тройка учеников. Чтобы найти число всех вариантов, надо вычислить величину: . В общем случае ответ на этот вопрос дает формула для числа сочетаний из элементов по элементам:

В нашем случае .

Примеры решения задач из ЕГЭ по математике на определение вероятности

Задача 1. Из сборника под ред. Ященко.

На тарелке 30 пирожков: 3 с мясом, 18 с капустой и 9 с вишней. Саша наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.

.

Ответ: 0,3.

Задача 2. Из сборника под ред. Ященко.

В каждой партии из 1000 лампочек в среднем 20 бракованных. Найдите вероятность того, что наугад взятая лампочка из партии будет исправной.

Решение: Количество исправных лампочек 1000-20=980. Тогда вероятность того, что взятая наугад лампочка из партии будет исправной:

Ответ: 0,98.

Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся У. верно решит больше 9 задач, равна 0,67. Вероятность того, что У. верно решит больше 8 задач, равна 0,73. Найдите вероятность того, что У. верно решит ровно 9 задач.

Если мы вообразим числовую прямую и на ней отметим точки 8 и 9, то мы увидим, что условие «У. верно решит ровно 9 задач» входит в условие «У. верно решит больше 8 задач», но не относится к условию «У. верно решит больше 9 задач».

Однако, условие «У. верно решит больше 9 задач» содержится в условии «У. верно решит больше 8 задач». Таким образом, если мы обозначим события: «У. верно решит ровно 9 задач» — через А, «У. верно решит больше 8 задач» — через B, «У. верно решит больше 9 задач» через С. То решение будет выглядеть следующим образом:

Ответ: 0,06.

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Давайте подумаем какие у нас даны события. Нам даны два несовместных события. То есть либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Ответ: 0,35.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,29. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Рассмотрим возможные события. У нас есть три лампочки, каждая из которых может перегореть или не перегореть независимо от любой другой лампочки. Это независимые события.

Тогда укажем варианты таких событий. Примем обозначения: — лампочка горит, — лампочка перегорела. И сразу рядом подсчитаем вероятность события. Например, вероятность события, в котором произошли три независимых события «лампочка перегорела», «лампочка горит», «лампочка горит»: , где вероятность события «лампочка горит» подсчитывается как вероятность события, противоположного событию «лампочка не горит», а именно: .

Все книги можно скачать бесплатно и без регистрации.

NEW. Королюк В.С., Портенко Н.И., Скороход А.В. Турбин А.Ф. Справочник по теории вероятностей и матстатистике. 2-е изд. перераб. доп. 1985 год. 640 стр. djvu. 13.2 Мб.
Справочник представляет собой расширенное и переработанное издание книги «Справочник по теории вероятностей и математической статистике» под редакцией В. С. Королюка, вышедшей в 1978 г. в издательстве «Наукова думка». По широте охвата основных идей, методов и конкретных результатов современной теории вероятностей, теории случайных процессов и отчасти математической статистики «Справочник» является единственным изданием подобного рода.
Для научных работников и инженеров.

скачать

NEW. Ф. Мостеллер, Р. Рурке, Дж. Томас. Вероятность. 1969 год. 432 стр. pdf. 12.6 Мб.
Эта книга, написанная группой известных американских математиков и педагогов, представляет собой элементарное введение в теорию вероятностей и статистику - разделы математики, которые находят сейчас все большее и большее применение в науке и в практической деятельности. Написанная живым и ярким языком, она содержит множество примеров, взятых большей частью из сферы повседневной жизни. Несмотря на то, что для чтения книги достаточно владения математикой в объеме школы, она является вполне корректным введением в теорию вероятностей. Я прочел в этой книге то, что в других некогда не видел.

. . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Андронов А.М., Копытов Е.А., Гринглаз Л.Я. Теория вероятностей и математическая статистика. 2004 год. 460 стр. djvu. 6.7 Мб.
От издателя:
Перед вами - расширенный учебник по теории вероятностей и математической статистике. Традиционный материал пополнен такими вопросами, как вероятности комбинаций случайных событий, случайные блуждания, линейные преобразования случайных векторов, численное нахождение нестационарных вероятностей состояний дискретных марковских процессов, применение методов оптимизации для решения задач математической статистики, регрессионные модели. Главное отличие предлагаемой книги от известных учебников и монографий по теории вероятностей и математической статистике заключается в ее ориентации на постоянное использование персонального компьютера при изучении материала. Изложение сопровождается многочисленными примерами решения рассматриваемых задач в среде пакетов Mathcad и STATISTICA. Книга написана на основе более чем тридцатилетнего опыта авторов в преподавании дисциплин теории вероятностей, математической статистики и теории случайных процессов для студентов различных специальностей высших учебных заведений. Представляет практический интерес как для студентов и преподавателей вузов, так и для всех, кто интересуется применением современных вероятностно-статистических методов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Агекян. Теория вероятностей для астронов и физиков. 260 стр. Размер 1.7 Мб. В книге зложен материал так, чтобы использовать его при обработке результатов измерений физикам и астрономам. Полезная книга при расчете погрешностей.

Скачать

И.И. Баврин. Теория вероятностей математическая статистика. 2005 год. 161 стр. djv. 1.7 Мб.
Изложены основы теории вероятностей и математической статистики в приложении к физике, химии, биологии, географии, экологии, приведены упражнения для самостоятельной работы Все основные понятия и положения иллюстрируются разобранными примерами и задачами
Для студентов естественнонаучных специальностей педагогических вузов Может быть использован студентами других вузов

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Бородин А. Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. 1999 год. 224 стр. djvu. 3.6 Мб.
Учебник содержит систематическое изложение основных разделов элементарного курса теории вероятностей и математической статистики. К традиционным разделам добавлен и один новый - «Процедура рекуррентного оценивания», ввиду особой важности этой процедуры для приложений. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров и задач из разных областей знаний.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . скачать

Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. 2005 год. 296 стр. djvu. 2.8 Мб.
В первой части рассматриваются основные понятия теории вероятностей, при этом используются относительно простые математические конструкции, но, тем не менее, изложение ведется на основе аксиоматического построения, предложенного академиком А. Н. Колмогоровым. Во второй части излагаются основные понятия математической статистики. Рассматриваются наиболее часто встречающиеся задачи оценивания неизвестных параметров и проверки статистических гипотез и описываются основные методы их решения. Каждое приведенное положение иллюстрируется примерами. Излагаемый материал в целом соответствует государственному образовательному стандарту.
Студентам, аспирантам и преподавателям вузов, научным работникам различных специальностей и желающим получить первое представление о теории вероятностей и математической статистике.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

В.Н. Вапник. Восстановление зависимостей по эмпиричиским данным. 1979 год. 449 стр. djvu. 6.3 Мб.
Монография посвящена проблеме восстановления зависимостей по эмпирическим данным. В ней исследуется метод минимизации риска на выборках ограниченного объема, согласно которому при восстановлении функциональной зависимости следует выбирать такую функцию, которая удовлетворяет определенному компромиссу между величиной, характеризующей ее «сложность», и величиной, характеризующей степень ее приближения к совокупности эмпирических данных. Рассмотрено применение этого метода к трем основным задачам восстановления зависимостей: задаче обучения распознаванию образов, восстановления регрессии, интерпретации результатов косвенных экспериментов. Показано, что учет ограниченности объема эмпирических данных позволяет решать задачи распознавания образов при большой размерности пространства признаков, восстанавливать регрессионные зависимости при отсутствии модели восстанавливаемой функции, получать устойчивые решения некорректных задач интерпретации результатов косвенных экспериментов. Приведены соответствующие алгоритмы восстановления зависимостей.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

А.И. Волковец, А.Б Гуринович. Теория вероятностей и математическая статистика. Конспект лекций. 2003 год. 84 стр. PDF. 737 Kб.
Конспект лекций по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика» включает в себя 17 лекций по темам, определенным типовой рабочей программой изучения данной дисциплины. Целью изучения является усвоение основных методов формализованного описания и анализа случайных явлений, обработки и анализа результатов физических и численных экспериментов. Для изучения данной дисциплины студенту необходимы знания, полученные при изучении разделов «Ряды», «Множества и операции над ними», «Дифференциальное и интегральное исчисления» курса высшей математики.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Володин. Лекции по теоии вероятностей и математической статистике. 2004 год. 257 стр. Размер 1.4 Мб. PDF. В теорвере делаетс упор на методы построения вероятностых моделей и реализацию этих методов на реальных задачах естествознания. В статистике основное внимание уделяется методам вычисления риска конкретных статистических правил.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Вентцель, Овчаров. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. 2000 год. 480 стр. djvu. 10.3 Мб.
В книге дано систематическое изложение основ теории вероятностей под углом зрения их практических приложений по специальностям: кибернетика, прикладная математика, ЭВМ, автоматизированные системы управления, теория механизмов, радиотехника, теория надежности, транспорт, связь и т. д. Несмотря на разнообразие областей, к которым относятся приложения, все они пронизаны единой методической основой.
Для студентое высших технических учебных заведений. Может быть полезна преподавателям, инженерам и научным работникам разных профилей, которые в своей практической деятельности сталкиваются с необходимостью ставить и решать задачи, связанные с анализом случайных процессов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Вентцель, Овчаров. Теория вероятностей. 1969 год. 365 стр. djvu. 8.3 Мб.
Книга представляет собой сборник задачи и упражнений. Все задачи имеют ответ, а болшинство имеют решения.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Н. Я. ВИЛЕНКИН, В. Г. ПОТАПОВ. ЗАДАЧНИК-ПРАКТИКУМ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ЭЛЕМЕНТАМИ КОМБИНАТОРИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. Уч.пособие. 1979 год. 113 стр. djvu. 1.3 Мб.
Предлагаемая вниманию читателя книга является задачником-практикумом по курсу «Теория вероятностей». Задачник состоит из трех глав, которые в свою очередь разбиты на параграфы. В начале каждого параграфа предельно кратко приводятся основные теоретические сведения, затем даются подробно разобранные типовые примеры и, наконец, предлагаются задачи для самостоятельного решения, снабженные ответами и указаниями. Задачник содержит также тексты лабораторных работ, выполнение которых поможет студенту-заочнику лучше усвоить основные понятия математической статистики.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика. 2003 год. 480 стр. DJVU. 5.8 Mб.
Книга содержит в основном весь материал программы по теории вероятностей и математической статистике. Большое внимание уделено статистическим методам обработки экспериментальных данных. В конце каждой главы помещены задачи с ответами. Предназначается для студентов вузов и лиц, использующих вероятностные и статистические методы при решении практических задач.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Колмогоров. Теория вероятностей. Размер 2.0 Мб.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Кибзун и др. Теория вероятностей и математическая статистика. Уч. пособие. Базовый курс с примерами и задачами. Размер 1.7 Мб. djvu. 225 стр.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

М. Кац. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел. 152 стр.ю djv. 1.3 Мб.
В книге излагаются в очень доступной и увлекательной форме применения некоторых идей теории вероятностей в других областях математики. Основная часть книги посвящена понятию статистической независимости.
Книга будет полезной и интересной для студентов, специалистов-математиков, физиков, инженеров.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

М. Кац. Вероятность и смежные вопросы в физике. 408 стр. djv. 3.8 Мб.
Автор знаком советскому читателю по переводу его работы «Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел» (ИЛ, 1963). Его новая книга в основном посвящена одной из интереснейших задач физики: описать, как система из очень большого числа частиц (газ в сосуде) приходит в состояние равновесия, и объяснить, как необратимость этого процесса во времени согласуется с обратимостью во времени исходных уравнений. Наибольшее внимание уделяется вероятностному аспекту проблемы; рассматриваются статистические модели, имитирующие основные черты задачи. Две первые главы имеют и самостоятельный интерес - на удачно подобранных примерах автор показывает, каким образом понятие вероятности возникает в математических и физических задачах и какой аналитический аппарат использует теория вероятностей. В данное издание включены статьи Каца и других авторов, касающиеся затронутых в книге вопросов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Кендалл. Стьюарт. Многомерный статистический анализ и временные ряды. 375 стр. DJVU. 8.2 Мб.
Книга является последним томом трехтомного курса статистики М. Кендалла и А. Стьюарта, первый том которого вышел в 1966 г. под названием «Теория распределений:», а второй - в 1973 г. под названием «Статистические выводы и связи>.
В книге содержатся сведения по дисперсионному анализу, планированию экспериментов, теории выборочных обследований, многомерному анализу и временным рядам.
Как и первые два тома, книга содержит много практических рекомендаций и примеров их применения, а изложение сочетает более или менее подробный вывод основных результатов с относительно кратким перечислением большого количества более частных сведений.
Книга будет представлять интерес для студентов и аспирантов, специализирующихся в области математической статистики, а также для широкого круга научных работников, имеющих дело с ее приложениями.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Кендалл. Стьюарт. ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ. Том 1. 590 стр. 10,3 Мб. 6.1 Мб.
Содержание: Частотные распределения. Меры расположения и рассеяния. Моменты и семиинварианты. Характеристические функции. Стандартные распределения. Исчисление вероятностей. Вероятность и статистические выводы. Случайный выбор. Стандартные ошибки. Точные выборочные распределения. Аппроксимация выборочных распределений. Аппроксимация выборочных распределений. Порядковые статистики. Многомерное нормальное распределение и квадра¬тичные формы. Распределения связанные с нормальным.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Кендалл. Стьюарт. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ И СВЯЗИ. Том 2. 900 стр. djvu. 10,3 Мб.
В книге содержатся сведения по теории оценивания, проверки гипотез, анализу корреляции, регрессии, непараметрическим методам, последовательному анализу.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебник. 2-е изд.,перераб. доп. 2004 год. 575 стр. djvu. 12.2 Мб.
Это не только учебник, но и краткое руководство к решению задач. Излагаемые основы теории вероятностей и математической статистики сопровождаются большим количестврм задач (в том числе экономических), приводимых с решениями и,для самостоятельной работы. При этом упор делается на основные понятия курса, их теоретико-вероятностный смысл и применение. Приводятся ^примеры использования вероятностных и математико-статистических методов в задачах массового обслуживания и моделях финансового рынка.
Для студентов и аспирантов экономических специальностей и направлений, а таюже преподавателей вузов, научныхх сотрудников и экономистов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и научных работников. 2006 год. 814 стр. djvu. 7.7 Мб.
В книге рассматриваются способы анализа наблюдений методами математической статистики. Последовательно на языке, доступном специалисту - не математику, излагаются современные методы анализа распределений вероятностей, оценки параметров распределений, проверки статистических гипотез, оценки связей между случайными величинами, планирования статистического эксперимента. Основное внимание уделено пояснению примеров применения методов современной математической статистики.
Книга предназначена для инженеров, исследователей, экономистов, медиков, аспирантов и студентов, желающих быстро, экономично и на высоком профессиональном уровне использовать весь арсенал современной математической статистики для решения своих прикладных задач.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

М.Л. Краснов. Теория вероятностей. Учебник. 2001 год. 296 стр. djvu. 3.9 Мб.
При изучении различных явлений в природе и обществе исследователь сталкивается с двумя видами экспериментов - теми, результаты которых однозначно прогнозируемы в данных условиях, и теми, результаты которых в условиях, контролируемых исследователем, однозначно спрогнозировать нельзя, а можно лишь высказать предположение о спектре возможных результатов. В первом случае говорят о детерминированных явлениях, во втором - о явлениях, носящих случайный характер. При этом имеют в виду, что а priori (заранее, до проведения эксперимента или завершения наблюдения за явлением) в первом случае мы в состоянии предсказать результат, а во втором - нет. Для дальнейшего несущественно, чем вызвана подобная непредсказуемость - законами природы, лежащими в основе изучаемого явления или неполнотой информации о процессах, обуславливающих это явление. Важным обстоятельством является наличие самого факта непредсказуемости. Теория вероятностей, изложению основ которой посвящен этот раздел, призвана дать исследователю возможность описывать подобного рода эксперименты и явления и предоставляет ему надежный инструмент для изучения реальности в ситуациях, когда детерминистическое описание невозможно.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Е.Л. Кулешов. Теория вероятностей. Лекции для физиков. 2002 год. 116 стр. djvu. 919 Кб.
Для студентов старших курсов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . скачать

Лазакович, Сташуленок, Яблонский. Курс теориивероятностей. Учебное пособие. 2003 год. 322 стр. PDF. 2.9 Мб.
В основу учебного пособия положен годовой курс лекций, которые авторы в течение ряда лет читали для студентов механико-математического факультета Белорусского государственного университета. В книге содержатся следующие разделы: вероятностные пространства, независимость, случайные величины, числовые характеристики случайных величин, характеристические функции, предельные теоремы, основы теории случайных процессов, элементы математической статистики и приложения, в которых приведены таблицы основных вероятностных распределений и значения некоторых из них. Большинство глав включает в себя дополнения, куда вынесены вспомогательный материал и темы для самостоятельного изучения.
Изложение сопровождается большим количеством примеров, упражнений и задач, иллюстрирующих основные понятия и поясняющих возможные применения доказанных утверждений.
Для студентов математических специальностей университетов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Лоэв М. Теория вероятностей. 1962 год. 449 стр. djvu. 6.2 Мб.
Книга представляет собой обширный систематический курс современной теории вероятностей, написанный на высоком теоретическом уровне. На базе теории меры автор изучает случайные события, случайные величины и их последователь¬ности, функции распределения и характеристические функции, предельные теоремы теории вероятностей и случайные процессы. Изложение сопровождается большим количеством задач разной степени трудности.
Книга для студентов и аспирантов - матемктиков, изучающих теорвер.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Львовский Б.Н. Статистические методы построения эмпирических формул: Учеб. пособие. 2-е изд.,перераб. доп. 1988 год. 239 стр. djvu. 2.3 Мб.
Во 2-м издании пособия изложены основные методы обработки опытных данных. Подробно описаны способы предварительной обработки результатов наблюдений. Рассмотрены статистические методы построений эмпирических формул, метод максимума Правдоподобия, метод средних и коифлюэнтный анализ. Освещена методика планирования и обработки активных экспериментов. Даны основы дисперсионного анализа.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Ю.Д. Максимов редактор. Вероятностные разделы математики. Учебник. 2001 год. 581 стр. djvu. 7.4 Мб.
Разделы: !. Теория вероятностей. 2. Математическая статистика. 3. Теория случайных процессов. 4. Теория массового обслуживания.
Учeбник для бакалавров технического неправления.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Максимов Ю.Д. Математика. Вьшуск 9. Теория вероятностей. Детализированный конспект. Справочник по одномерным непрерывным распределениям. 2002 год. 98 стр. djv. 4,3 Мб.
Пособие соответствует!"осударственному образовательному стандарту и действующим проrpаммам дисциплины «Математика» бакалаврской подroтовки всех общетехнических и экономических направлений. Представляет собой детализированный конспект лекций по теории вероятностей, в основном соответствующий опорному конспекту (выпуск 7 серии опорных конспектов по математике, вьшущенных издательством СПБПУ). В отличие от опорноro конспекта здесь приведены доказательства теорем и выводы формул, опущенные в опорном конспекте, и дан справочник по одномерным непреръmпым распределениям. Пособие предназначено для студентов Bтoporo курса общетехнических факультетов и экономических специальностей. Может быть использовано также для направления «Техническая физика».

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Ж. Невё. Математические основы теории вероятностей. 1969 год. 310 стр. djv. 3.0 Мб.
Автор книги известен своими работами по применению методов функционального анализа и теории меры к вопросам теории вероятностей. Мастерски написанная книга содержит компактное и в то же время полное изложение оснований теории вероятностей. Включено много полезных дополнений и упражнений.
Книга может служить хорошим учебником для студентов и аспирантов, желающих серьезно изучить теорию случайных процессов, и отличным справочником для специалистов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Д.Т. Письменный. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. 2004 год. 256 стр. djvu. 1.4 Мб.
Настоящая книга представляет собой курс лекций по теории вероятностей математической статистике. Первая часть книги содержит основные понятия и теоремы теории вероятностей, такие как случайные события, вероятность, случайные функции, корреляция, условная вероятность, закон больших чисел и предельные теоремы. Втора часть книги посвящена математической статистике, в ней излагаются основ) выборочного метода, теории оценок и проверки гипотез. Изложение теоретического материала сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Предназначена для студентов экономических и технических вузов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Поддубная О.Н. Лекции по теории вероятностей. 2006 год. 125 стр. pdf. 2.0 Мб.
Понятно написаны. К достоинствам курса, например, можно отнести то, что теоретические утверждения поясняются примерами.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Ю.В. Прохоров, Ю.А. Розанов. Теория вероятностей. Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы. 1967 год. 498 стр. djvu. 7.6 Mб.
Книга написана известными американскими математиками и посвящена одному из важных современных направлений теории вероятностей, недостаточно отраженному в литературе на русском языке. Авторы тяготеют к содержательным результатам, а не к максимальной общности, рассматривают ряд примеров и приложений. В книге удачно сочетаются высокий научный уровень изложения и одновременно доступность для студенческой аудитории.
Для специалистов по теории вероятностей, физиков, инженеров, аспирантов и студентов университетов.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Пуанкаре А. Теория вероятностей. 1999 год. 284 стр. djv. 700 Kб.
Книга является одной из частей курса лекций А. Пуанкаре. В ней рассмотрены как общие основы теории вероятностей, так и нетрадиционные вопросы, которые практически не содержатся ни в одном курсе. Рассмотрены различные приложения к физике, математике и механике.
Книга полезна широкому кругу читателей - физикам, математикам, историкам науки.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Пытьев Ю. П. Шишмарев И. А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. Учеб. пособие. МГУ 1983 год. 256 стр. djvu. 4.6 Мб.
В основу книги положен полугодовой курс лекций, читаемый авторами на физическом факультете. Большое место уделено теории случайных процессов: марковских и стационарных. Изложение математически строгое, хотя и не основанное на использовании интеграла Лебега. Часть курса, посвященная математической статистике, содержит разделы, ориентированные на приложения к задачам автоматизации планировании, анализа и интерпретации физических экспериментов. Изложена статистическая теория измерительно-вычислительного комплекса «прибор+ЭВМ», позволяющая существенно улучшить параметры реального экспериментального оборудования путем обработки данных на ЭВМ. Включены элементы теории статистической проверки гипотез, используемые в задаче интерпретации экспериментальных данных.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . скачать

Савельев. Элементарная теория вероятностей. Учебное пособие, Новосибирский ГУ, 2005.
Часть 1 посвящена теории. Размер 660 Кб. Часть 2 посвящкна разбору примеров. Размер 810 Кб. Часть 3. Итегралы Римана и Стилтьеса. 240 стр. djvu. 5.0 Мб. В части 3 пособия подробно описываются элементы дифференциального и интегрального исчислений, которые использовались в части I. Объединен материал из пособий автора «Лекции по математическому анализу, 2.1» (Новосибирск, НГУ, 1973) и «Интегрирование равномерно измеримых, функций» (Новосибирск, НГУ, 1984). Основным объектом является интеграл Стилтьеса. Он определяется как ограниченный линейный функционал на пространстве функций без сложных разрывов, которое рассматривалось в части 1. Интеграл Стилтьеса широко применяется не только в теории вероятностей, но и в геометрии, механике и других областях математики. Приложение в части 3 пособия дополняет приложение в части 2. Для полноты изложения в части 3 повторяются некоторые места из части 1. В приложении сохранена нумерация страниц и пунктов пособия автора «Лекции по математическому анализу».

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать ч.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать ч.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать ч.3

Саврасов Ю.С. Оптимальные решения. Лекции по методам обработки измерений. 2000 год. 153 стр. djvu. 1.1 Мб.
Рассматриваются методы обработки измерений, обеспечивающие наиболее полное извлечение полезной информации об измеряемых параметрах или наблюдаемых явлениях. Излагаемые методы относятся к области теории вероятностей, математической статистики, теории решений, теории полезности, теории фильтрации для динамических систем с дискретным временем. Основой материала книги послужили лекции, которые автор читал в 1994-1997 гг. студентам третьего курса базовой кафедры "Радиофизики" Московского физико-технического института. В предлагаемом виде книга будет полезна студентам физических и технических специальностей, инженерам в области радиолокации, обработки информации и автоматизированных систем управления.
Разобрано много примеров.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Скачать

Самойленко Н.И., Кузнецов А.И., Костенко А.Б.Теория вероятностей. Учебник. 2009 год. 201 стр. PDF. 2.1 Мб.
Учебник знакомит с основными понятиями и методами теории вероятностей. Приведенные методы иллюстрируются типовыми примерами. Каждая тема заканчивается практическим разделом для самостоятельного приобретения навыков по использованию методов теории вероятностей при решении стохастических задач.
Для студентов высших учебных заведений.
Примеры из учебниеа: бросание монеты – опыт, выпадение "орла" или "решки" – события; вытаскивание карты из преферансной колоды – опыт, появление красной или черной масти – события; проведение лекции – опыт, присутствие студента на лекции – событие.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Секей. Парадоксы теории вероятностей и математической статистики. Размер 3.8 Мб. djv. 250 стр.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Скачать

Севастьяннов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. Учубник. 1982 год. 255 стр. djvu. 2.8 Мб.
В основу книги положен годовой курс лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на отделении математики механико-математического факультета МГУ. Основные понятия и факты теории вероятностей вводятся первоначально для конечной схемы. Математическое ожидание в общем случае определяется так же, как интеграл Лебега, однако у читателя не предполагается знание никаких предварительных сведений об интегрировании по Лебегу.
В книге содержатся следующие разделы: независимые испытания и цепи Маркова, предельные теоремы Муавра - Лапласа и Пуассона, случайные величины, характеристические и производящие функции, закон больших чисел, центральная предельная теорема, основные понятия математической статистики, проверка статистических гипотез, статистические оценки, доверительные интервалы.
Для студентов младших курсов университетов и втузов, изучающих теорию вероятностей.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

А.Н. Соболевский. Теория вероятностей и математическая статистика для физиков. 2007 год 47 стр. djv. 515 Кб.
Учебное пособие содержит изложение основ теории вероятностей и матической статистики для студентов-физиков теоретической специализации. Наряду с классическим материалом (схема независимых испытаний Бернулли, конечные однородные цепи Маркова, диффузионные процессы), значительное внимание уделено таким темам, как теория больших уклонений, понятие энтропии в его различных вариантах, устойчивые законы и распределения веро- ятности со степенным убыванием, стохастическое дифференциальное исчисление. Учебное пособие предназначено для студентов, специализирующихся по различным разделам теоретической и математической физики.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .скачать

Тарасов Л. В. Закономерности окружающего мира. В 3-х книгах. 2004 год. djvu.
1. Случайность, необходимость, вероятность. 384 стр. 6.8 Мб.
Данная книга является достаточно популярным и в то же время строго научным развернутым введением в теорию вероятностей, включающим в себя подробный анализ рассматриваемых проблем, широкие обобщения философского плана, отступления исторического характера. Книга имеет четко выраженный учебный характер; ее материал строго структурирован, построен на доказательной основе, снабжен большим количеством графиков и схем; приведено значительное количество оригинальных задач, из которых часть разбирается в книге, а часть предлагается читателю для самостоятельного решения. Книга представляет собой законченный труд и при этом является первой книгой трехтомника автора.
2. Вероятность в современном обществе. 360 стр. 4.5 Мб.
Данная книга демонстрирует принципиальную роль теории вероятностей в современном обществе, которое основывается на высокоразвитых информационных технологиях. Книга является достаточно популярным и в то же время строго наунаучным развернутым введением в исследование операций и теорию информации. Она имеет четко выраженный учебный характер; ее материал строго структурирован, построен на доказательной основе, снабжен большим количеством графиков и схем; приведено значительное количество задач, из которых часть разбирается в книге, а часть предлагается читателю для самостоятельного решения.
3. 440 стр. 7.5 Мб. Эволюция естественно-научного знания.
Здесь в популярной и систематизированной форме анализируется эволюция естественнонаучных картин мира: от научных программ античности к механической картине, затем к электромагнитной картине и, наконец, к современной картине. Демонстрируется переход от динамических (жестко детерминированных) закономерностей к статистическим (вероятностным) закономерностям по мере постепенно углубляющегося научного постижения человеком окружающего мира. Достаточно подробно рассматривается эволюция представлений квантовой физики, физики элементарных частиц, космологии. В заключение обсуждаются идеи самоорганизации открытых неравновесных систем (возникновение диссипативных структур).
Для широкого круга читателей и в первую очередь для школьников старших классов (начиная с 9-го класса), а также для студентов техникумов и высших учебных заведений.

Изучение элементов статистики и теории вероятностей начинается в 7 классе. Включение в курс алгебры начальных сведений из статистики и теории вероятностей направлено на формирование у учащихся таких важных в современном обществе умений, как понимание и интерпретация результатов статистических исследований, широко представленных в средствах массовой информации. В современных школьных учебниках понятие вероятности случайного события вводятся с опорой на жизненный опыт и интуицию учащихся.

Хотелось бы заметить, что в 5-6 классах учащиеся уже должны получить представления о случайных событиях и их вероятностях, поэтому в 7-9 классах можно было бы быстрее знакомить с основами теории вероятности, расширить круг сообщаемых им сведений.

Наше образовательное учреждение апробирует программу «Начальная школа 21 века». И я как учитель математики решила продолжить апробацию этого проекта в 5-6 классах. Курс реализован на базе учебно-методического комплекта М.Б.Воловича «Математика. 5-6 классы». В учебнике «Математика. 6 класс» на изучение элементов теории вероятностей отводится 6 часов. Здесь даются самые первые предварительные сведения о таких понятиях, как испытание, вероятность появления случайного события, достоверные и невозможные события. Но самое главное, что ученики должны усвоить, – при небольшом числе испытаний невозможно предсказать результат случайного события. Однако, если испытаний много, то результаты становятся вполне предсказуемыми. Чтобы учащиеся осознали, что вероятность появления события может быть подсчитана, дается формула, позволяющая вычислить вероятность наступления событий в случае, когда все рассматриваемые исходы «одинаковы».

Тема: «Понятие «вероятность». Случайные события».

Цели урока:

• обеспечить знакомство с понятием «испытание», «исход», «случайное событие», «достоверное событие», «невозможное событие», дать начальное представление о том, что такое «вероятность наступления события», сформировать умение подсчитывать вероятность наступления события;
• развивать умение определять достоверность, невозможность событий;
• повышать познавательный интерес.

Оборудование:

1. М.Б. Волович Математика, 6 класс, М.: Вентана-Граф, 2006.
2. Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк Элементы статистики и теории вероятностей, М.: Просвещение, 2008.
3. Монета в 1 рубль, игральная кость.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Решите ребус:

(Вероятность)

III. Объяснение нового материала

Если монету, например рубль, подбросить вверх и позволить ей упасть на пол, то возможны только два исхода: «монета упала гербом вверх» и «монета упала решкой вверх». Случай, когда монета падает на ребро, подкатывается к стене и упирается в нее, бывает очень редко и обычно не рассматривается.
Издавна в России играли в «орлянку» – подбрасывали монету, если надо было решить спорную проблему, у которой не было очевидно справедливого решения, или разыгрывали какой-нибудь приз. В этих ситуациях прибегали к случаю: одни загадывали выпадение «орла», другие – «решки».
К подбрасыванию монеты иногда прибегают даже при решении весьма важных вопросов.
Например, полуфинальный матч на первенство Европы в 1968 году между командами СССР и Италии закончился вничью. Не выявился победитель ни в дополнительное время, ни в серии пенальти. Тогда было решено, что победителя определит его величество случай. Бросили монету. Случай был благосклонен к итальянцам.
В повседневной жизни, в практической и научной деятельности мы часто наблюдаем те или иные явления, проводим определенные эксперименты.
Событие, которое может произойти, а может не произойти в процессе наблюдения или эксперимента, называют случайным событием .
Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется теорией вероятностей .

Проведем опыт 1: Петя 3 раза подбросил монету вверх. И все 3 раза выпал «орел» – монета упала гербом вверх. Догадайтесь, возможно ли это?
Ответ: Возможно. «Орел» и «решка» выпадают совершенно случайно.

Опыт 2: (учащиеся работают в парах) Подбросить монету в 1 рубль 50 раз и подсчитать, сколько раз выпадет орел. Записать результаты в тетради.
В классе подсчитать, сколько всеми учениками было проведено опытов и каково общее число выпадений орла.

Опыт 3: Ту же самую монету подбрасывали вверх 1000 раз. И все 1000 раз выпал «орел». Догадайтесь, возможно ли это?
Обсудим этот опыт.
Подбрасывание монеты называют испытанием . Выпадение «орла» или «решки» – исходом (результатом) испытания. Если испытание повторяют много раз при одних и тех же условиях, то сведения об исходах всех испытаний называют статистикой .
Статистика фиксирует как число m интересующих нас исходов (результатов), так и общее число N испытаний.
Определение: Отношение называется статистической частотой появления интересующего нас результата.

В XVIII веке французский ученый, почетный член петербургской академии наук Бюффон для проверки правильности подсчета вероятности выпадения «орла» подкинул монету 4040 раз. «Орел» у него выпал 2048 раз.
В XIX веке английский ученый Пирсон подкинул монету 24 000 раз. «Орел» у него выпал 12 012 раз.
Подставим в формулу , позволяющую подсчитать статистическую частоту появления интересующего нас результата, m = 12 012, N = 24 000. Получим = 0,5005.

Рассмотрим пример подбрасывания игрального кубика. Будем считать, что этот кубик имеет правильную форму и сделан из однородного материала и поэтому при его бросании шансы выпадения на его верхней грани любого числа очков от 1 до 6 одинаковы. Говорят, что существует шесть равновозможных исходов этого испытания: выпадение очков 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Вероятность того или иного события проще всего подсчитать, если все n возможных исходов «одинаковы» (ни один из них не имеет преимуществ перед остальными).
В этом случае вероятность P вычисляется по формуле Р = , где n – число возможных исходов.
В примере подбрасывании монеты есть лишь два исхода («орел» и «решка»), т.е. п = 2. Вероятность Р выпадения «орла» равна .
Опыт 4: Каковавероятностьтого, что при бросании игральной кости выпадет:
а) 1 очко; б) более 3 очков.
Ответ: а) , б) .

Определение : Если событие при рассматриваемых условиях происходит всегда, то оно называется достоверным . Вероятность появления достоверного события равна 1.

Есть события, которые при рассматриваемых условиях не происходят никогда. Например, Буратино по совету лисы Алисы и кота Базилио решил зарыть свои золотые монеты на поле Чудес, чтобы из них появилось денежное дерево. Какой будет вероятность того, что их посаженных монет вырастет дерево? Вероятность вырастания денежного дерева из монет, «посаженных» Буратино, равна 0.

Определение: Если событие при рассматриваемых условиях не происходит никогда, то оно называется невозможным . Вероятность невозможного события равна 0.

IV. Физкультминутка

«Волшебный сон»

Все умеют танцевать, бегать, прыгать и играть,
Но не все пока умеют расслабляться, отдыхать.
Есть у них игра такая, очень легкая, простая.
Замедляется движенье, исчезает напряженье,
И становится понятно: расслабление приятно.
Реснички опускаются, глазки закрываются
Мы спокойно oтдыxaeм, сном волшебным засыпаем.
Дышится легко, ровно, глубоко.
Напряженье улетело и расслаблено все тело.
Будто мы лежим на травке...
На зеленой мягкой травке...
Греет солнышко сейчас, руки теплые у нас.
Жарче солнышко сейчас, ноги теплые у нас.
Дышится легко, вольно, глубоко.
Губы теплые и вялые, но нисколько не усталые.
Губы чуть приоткрываются, и приятно расслабляются.
И послушный наш язык быть расслабленным привык».
Громче, быстрее, энергичнее:
«Было славно отдыхать, а теперь пора вставать.
Крепко пальцы сжать в кулак,
И к груди прижать – вот так!
Потянуться, улыбнуться, глубоко вдохнуть, проснуться!
Распахнуть глаза по шире – раз, два, три, четыре!»
Дети встают и хором с учителем произносят:
«веселы, бодры мы снова и к занятиям готовы».

V. Закрепление

Задача 1:

Какие из следующих событий являются достоверными, а какие невозможными:

а) Бросили две игральные кости. Выпало 2 очка. (достоверное)
б) Бросили две игральные кости. Выпало 1 очко. (невозможное)
в) Бросили две игральные кости. Выпало 6 очков. (достоверное)
г) Бросили две игральные кости. Выпало число очков, меньше, чем 13. (достоверное)

Задача 2:

В коробке лежит 5 зеленых, 5 красных и 10 черных карандашей. Достали 1 карандаш. Сравните вероятности следующих событий, используя выражения: более вероятное, менее вероятное, равновероятные.

а) Карандаш оказался цветным;
б) карандаш оказался зеленым;
в) карандаш оказался черным.

Ответ :

а) равновероятные;
б) более вероятное, что карандаш оказался черным;
в) равновероятные.

Задача 3: Петя подбросил игральную кость 23 раза. Однако 1 очко выпало 3 раза, 2 очка выпало 5 раз, 3 очка выпало 4 раза, 4 очка выпало 3 раза, 5 очков выпало 6 раз. В остальных случаях выпало 6 очков. Выполняя задание, округлите десятичные дроби до сотых.

1. Посчитайте статистическую частоту появления наибольшего числа очков, вероятность того, что выпадет 6 очков, и поясните, почему статистическая частота существенно отличается от вероятности появления 6 очков, найденной по формуле.
2. Посчитайте статистическую частоту появления четного числа очков, вероятность того, что выпадет четное число очков, и поясните, почему статистическая частота существенно отличается от вероятности появления четного числа очков, найденной по формуле.

Задача 4: Для украшения елки принесли коробку, в которой находится 10 красных, 7 зеленых, 5 синих и 8 золотых шаров. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что он окажется: а) красным; б) золотым; в) красным или золотым?

VI. Домашнее задание

1. Из коробки, в которой лежат зеленые и красные шары, достают 1 шар, а потом кладут его обратно в коробку. Можно ли считать, что вынимание шара из коробки – испытание? Что может быть результатом испытания?
2. В коробке лежат 2 красных и 8 зеленых шаров.

а) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет красным.
б) Найдите вероятность того, что вытащенный наугад шар будет зеленым.
в) Из коробки вытащили наугад 2 шара. Может ли так оказаться, что оба шара будут красными?

VII. Итог

– Вы узнали самые сведения из теории вероятностей – что такое случайное событие и статистическая частота результата испытания, как вычислить вероятность случайного события при равновозможных исходах. Но надо помнить, что не всегда удается оценить результаты испытаний со случайным исходом и найти вероятность события даже при большом числе испытаний. Например, нельзя найти вероятность заболевания гриппом: слишком много факторов каждый раз влияет на исход этого события.