Существует множество таблиц значений степеней натуральных чисел. Привести их все не представляется возможным. Здесь мы приведем примеры некоторых таких таблиц и задачи на нахождение значений по таким таблицам.

Таблица степеней первых натуральных чисел

Приведем для начала таблицу для нахождения степеней натуральных чисел от $2$ до $12$ по степеням от $1$ до $10$ (таблица 1). Отметим, что мы не приводим степени числа $1$, потому что единица в любой степени будет равняться самой себе.

Находить по этой таблице значения надо следующим образом: В первом столбце находим число, степень которого нас интересует. Запоминаем номер этой строчки. Затем в первой сроке находим показатель степени и запоминаем найденный столбец. Пересечение найденной строки и столбца и даст нам ответ.

Пример 1

Найти $8^7$

Находим в первом столбце число $8$: получаем 8-ю строчку.

Видим, что на их пересечении находится число $2097152$. Следовательно

Таблицы степеней натуральных чисел от $1$ до $100$

Также довольно популярны таблицы степеней от $1$ до $100$. Все их привести невозможно, поэтому мы здесь приведем для примера такие таблицы для квадратов и кубов таких натуральных чисел (таблица 2 и таблица 3).

Эти таблицы напоминают всем известные таблицы умножения, поэтому, мы думаем, читателю не составит труда использование данных таблиц.

Пример 2

а) Данное значение находим в таблице $2$ в $8$ табличке:

б) Данное значение находим в таблице $3$ в $3$ табличке:

Таблица квадратов натуральных чисел от $10$ до $99$

Еще одной пользующейся популярностью таблицей является таблица квадратов чисел от $10$ до $99$ (таблица 4), то есть всех десятичных чисел.

Находить по этой таблице значения надо следующим образом: В первом столбце находим число десятков интересующего нас числа. Запоминаем номер этой строчки. Затем в первой сроке находим число единиц интересующего числа и запоминаем найденный столбец. Пересечение найденной строки и столбца и даст нам ответ.

Пример 3

Найти $37^2$

Находим в первом столбце число $3$: получаем 4-ю строчку.

Находим в первой строке число $7$: получаем 8-й столбец.

Видим, что на их пересечении находится число $1369$. Следовательно

В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень . В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени – натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени.

Навигация по странице.

Что значит «возведение в степень»?

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Определение.

Возведение в степень – это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r – это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5) 5 », то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5 ».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение числа в натуральную степень

На практике равенство на основании обычно применяется в виде . То есть, при возведении числа a в дробную степень m/n сначала извлекается корень n -ой степени из числа a , после чего полученный результат возводится в целую степень m .

Рассмотрим решения примеров возведения в дробную степень.

Пример.

Вычислите значение степени .

Решение.

Покажем два способа решения.

Первый способ. По определению степени с дробным показателем . Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: .

Второй способ. По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства . Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень .

Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают.

Ответ:

Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень.

Пример.

Вычислите (44,89) 2,5 .

Решение.

Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби (при необходимости смотрите статью ): . Теперь выполняем возведение в дробную степень:

Ответ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом (особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа), который обычно проводится с использованием вычислительной техники.

В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: при имеем , а при нуль в степени m/n не определен. Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например, . А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3 .

Возведение в иррациональную степень

Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем . При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий.

Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени . Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем . Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге.

В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1,174367... . Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: . Теперь возведем 2 в рациональную степень 1,17 (суть этого процесса мы описали в предыдущем пункте), получаем 2 1,17 ≈2,250116 . Таким образом, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Список литературы.

• Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
• Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).

Начальный уровень

Степень и ее свойства. Исчерпывающий гид (2019)

Зачем нужны степени? Где они тебе пригодятся? Почему тебе нужно тратить время на их изучение?

Чтобы узнать все о степенях, о том для чего они нужны, как использовать свои знания в повседневной жизни читай эту статью.

И, конечно же, знание степеней приблизит тебя к успешной сдаче ОГЭ или ЕГЭ и к поступлению в ВУЗ твоей мечты.

Let"s go... (Поехали!)

Важное замечание! Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Для этого нужно нажать CTRL+F5 (на Windows) или Cmd+R (на Mac).

НАЧАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ

Возведение в степень - это такая же математическая операция, как сложение, вычитание, умножение или деление.

Сейчас объясню все человеческим языком на очень простых примерах. Будь внимателен. Примеры элементарные, но объясняющий важные вещи.

Начнем со сложения.

Объяснять тут нечего. Ты и так все знаешь: нас восемь человек. У каждого по две бутылки колы. Сколько всего колы? Правильно - 16 бутылок.

Теперь умножение.

Тот же самый пример с колой можно записать по-другому: . Математики - люди хитрые и ленивые. Они сначала замечают какие-то закономерности, а потом придумывают способ как быстрее их «считать». В нашем случае они заметили, что у каждого из восьми человек одинаковое количество бутылок колы и придумали прием, который называется умножением. Согласись, считается легче и быстрее, чем.

Итак, чтобы считать быстрее, легче и без ошибок, нужно всего лишь запомнить таблицу умножения . Ты, конечно, можешь делать все медленнее, труднее и с ошибками! Но…

Вот таблица умножения. Повторяй.

И другой, красивее:

А какие еще хитрые приемы счета придумали ленивые математики? Правильно -возведение числа в степень .

Возведение числа в степень

Если тебе нужно умножить число само на себя пять раз, то математики говорят, что тебе нужно возвести это число в пятую степень. Например, . Математики помнят, что два в пятой степени - это. И решают такие задачки в уме - быстрее, легче и без ошибок.

Для этого нужно всего лишь запомнить то, что выделено цветом в таблице степеней чисел . Поверь, это сильно облегчит тебе жизнь.

Кстати, почему вторую степень называют квадратом числа, а третью - кубом ? Что это значит? Очень хороший вопрос. Сейчас будут тебе и квадраты, и кубы.

Пример из жизни №1

Начнем с квадрата или со второй степени числа.

Представь себе квадратный бассейн размером метра на метра. Бассейн стоит у тебя на даче. Жара и очень хочется купаться. Но… бассейн без дна! Нужно застелить дно бассейна плиткой. Сколько тебе надо плитки? Для того чтобы это определить, тебе нужно узнать площадь дна бассейна.

Ты можешь просто посчитать, тыкая пальцем, что дно бассейна состоит из кубиков метр на метр. Если у тебя плитка метр на метр, тебе нужно будет кусков. Это легко… Но где ты видел такую плитку? Плитка скорее будет см на см. И тогда «пальцем считать» замучаешься. Тогда придется умножать. Итак, по одной стороне дна бассейна у нас поместится плиток (штук) и по другой тоже плиток. Умножив на, ты получишь плиток ().

Ты заметил, что для определения площади дна бассейна мы умножили одно и то же число само на себя? Что это значит? Раз умножается одно и то же число, мы можем воспользоваться приемом «возведение в степень». (Конечно, когда у тебя всего два числа, все равно перемножить их или возвести в степень. Но если у тебя их много, то возводить в степень значительно проще и ошибок при расчетах получается тоже меньше. Для ЕГЭ это очень важно).
Итак, тридцать во второй степени будет (). Или же можно сказать, что тридцать в квадрате будет. Иными словами, вторую степень числа всегда можно представить в виде квадрата. И наоборот, если ты видишь квадрат - это ВСЕГДА вторая степень какого-то числа. Квадрат - это изображение второй степени числа.

Пример из жизни №2

Вот тебе задание, посчитать, сколько квадратов на шахматной доске с помощью квадрата числа... По одной стороне клеток и по другой тоже. Чтобы посчитать их количество, нужно восемь умножить на восемь или… если заметить, что шахматная доска - это квадрат со стороной, то можно возвести восемь в квадрат. Получится клетки. () Так?

Пример из жизни №3

Теперь куб или третья степень числа. Тот же самый бассейн. Но теперь тебе нужно узнать, сколько воды придется залить в этот бассейн. Тебе нужно посчитать объем. (Объемы и жидкости, кстати, измеряются в кубических метрах. Неожиданно, правда?) Нарисуй бассейн: дно размером на метра и глубиной метра и попробуй посчитать, сколько всего кубов размером метр на метр войдет в твой бассейн.

Прямо показывай пальцем и считай! Раз, два, три, четыре…двадцать два, двадцать три… Сколько получилось? Не сбился? Трудно пальцем считать? Так-то! Бери пример с математиков. Они ленивы, поэтому заметили, что чтобы посчитать объем бассейна, надо перемножить друг на друга его длину, ширину и высоту. В нашем случае объем бассейна будет равен кубов… Легче правда?

А теперь представь, насколько математики ленивы и хитры, если они и это упростили. Свели все к одному действию. Они заметили, что длина, ширина и высота равна и что одно и то же число перемножается само на себя… А что это значит? Это значит, что можно воспользоваться степенью. Итак, то, что ты раз считал пальцем, они делают в одно действие: три в кубе равно. Записывается это так: .

Остается только запомнить таблицу степеней . Если ты, конечно, такой же ленивый и хитрый как математики. Если любишь много работать и делать ошибки - можешь продолжать считать пальцем.

Ну и чтобы окончательно убедить тебя, что степени придумали лодыри и хитрюги для решения своих жизненных проблем, а не для того чтобы создать тебе проблемы, вот тебе еще пара примеров из жизни.

Пример из жизни №4

У тебя есть миллиона рублей. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще один миллион. То есть каждый твой миллион в начале каждого года удваивается. Сколько денег у тебя будет через лет? Если ты сейчас сидишь и «считаешь пальцем», значит ты очень трудолюбивый человек и.. глупый. Но скорее всего ты дашь ответ через пару секунд, потому что ты - умный! Итак, в первый год - два умножить на два… во второй год - то, что получилось, еще на два, в третий год… Стоп! Ты заметил, что число перемножается само на себя раз. Значит, два в пятой степени - миллиона! А теперь представь, что у вас соревнование и эти миллиона получит тот, кто быстрее посчитает… Стоит запомнить степени чисел, как считаешь?

Пример из жизни №5

У тебя есть миллиона. В начале каждого года ты зарабатываешь на каждом миллионе еще два. Здорово правда? Каждый миллион утраивается. Сколько денег у тебя будет через года? Давай считать. Первый год - умножить на, потом результат еще на … Уже скучно, потому что ты уже все понял: три умножается само на себя раза. Значит в четвертой степени равно миллион. Надо просто помнить, что три в четвертой степени это или.

Теперь ты знаешь, что с помощью возведения числа в степень ты здорово облегчишь себе жизнь. Давай дальше посмотрим на то, что можно делать со степенями и что тебе нужно знать о них.

Термины и понятия... чтобы не запутаться

Итак, для начала давай определим понятия. Как думаешь, что такое показатель степени ? Это очень просто - это то число, которое находится «вверху» степени числа. Не научно, зато понятно и легко запомнить…

Ну и заодно, что такое основание степени ? Еще проще - это то число, которое находится внизу, в основании.

Вот тебе рисунок для верности.

Ну и в общем виде, чтобы обобщить и лучше запомнить… Степень с основанием « » и показателем « » читается как « в степени » и записывается следующим образом:

Степень числа с натуральным показателем

Ты уже наверное, догадался: потому что показатель степени - это натуральное число. Да, но что такое натуральное число ? Элементарно! Натуральные это те числа, которые используются в счете при перечислении предметов: один, два, три… Мы же когда считаем предметы не говорим: «минус пять», «минус шесть», «минус семь». Мы так же не говорим: «одна третья», или «ноль целых, пять десятых». Это не натуральные числа. А какие это числа как ты думаешь?

Числа типа «минус пять», «минус шесть», «минус семь» относятся к целым числам. Вообще, к целым числам относятся все натуральные числа, числа противоположные натуральным (то есть взятые со знаком минус), и число. Ноль понять легко - это когда ничего нет. А что означают отрицательные («минусовые») числа? А вот их придумали в первую очередь для обозначения долгов: если у тебя баланс на телефоне рублей, это значит, что ты должен оператору рублей.

Всякие дроби - это рациональные числа. Как они возникли, как думаешь? Очень просто. Несколько тысяч лет назад наши предки обнаружили, что им не хватает натуральных чисел для измерения длинны, веса, площади и т.п. И они придумали рациональные числа … Интересно, правда ведь?

Есть еще иррациональные числа. Что это за числа? Если коротко, то бесконечная десятичная дробь. Например, если длину окружности разделить на ее диаметр, то в получится иррациональное число.

Резюме:

Определим понятие степени, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

1. Любое число в первой степени равно самому себе:
2. Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя:
3. Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза:

Определение. Возвести число в натуральную степень — значит умножить число само на себя раз:
.

Свойства степеней

Откуда эти свойства взялись? Сейчас покажу.

Посмотрим: что такое и ?

По определению:

Сколько здесь множителей всего?

Очень просто: к множителям мы дописали множителей, итого получилось множителей.

Но по определению это степень числа с показателем, то есть: , что и требовалось доказать.

Пример : Упростите выражение.

Решение:

Пример: Упростите выражение.

Решение: Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания!
Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

только для произведения степеней!

Ни в коем случае нельзя написать, что.

2. то и есть -ая степень числа

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -ая степень числа:

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме:

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать?

Но это неверно, ведь.

Степень с отрицательным основанием

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени.

Но каким должно быть основание?

В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом . И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже.

Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число? А? ? С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на, получится.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Справился?

Вот ответы: В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным.

Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).

Пример 6) уже не так прост!

6 примеров для тренировки

Разбор решения 6 примеров

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов! Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило.

Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках.

Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно !

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Целыми мы называем натуральные числа, противоположные им (то есть взятые со знаком « ») и число.

целое положительное число , а оно ничем не отличается от натурального, то все выглядит в точности как в предыдущем разделе.

А теперь давайте рассмотрим новые случаи. Начнем с показателя, равного.

Любое число в нулевой степени равно единице :

Как всегда, зададимся вопросом: почему это так?

Рассмотрим какую-нибудь степень с основанием. Возьмем, например, и домножим на:

Итак, мы умножили число на, и получили то же, что и было - . А на какое число надо умножить, чтобы ничего не изменилось? Правильно, на. Значит.

Можем проделать то же самое уже с произвольным числом:

Повторим правило:

Любое число в нулевой степени равно единице.

Но из многих правил есть исключения. И здесь оно тоже есть - это число (в качестве основания).

С одной стороны, в любой степени должен равняться - сколько ноль сам на себя ни умножай, все-равно получишь ноль, это ясно. Но с другой стороны, как и любое число в нулевой степени, должен равняться. Так что из этого правда? Математики решили не связываться и отказались возводить ноль в нулевую степень. То есть теперь нам нельзя не только делить на ноль, но и возводить его в нулевую степень.

Поехали дальше. Кроме натуральных чисел и числа к целым относятся отрицательные числа. Чтобы понять, что такое отрицательная степень, поступим как в прошлый раз: домножим какое-нибудь нормальное число на такое же в отрицательной степени:

Отсюда уже несложно выразить искомое:

Теперь распространим полученное правило на произвольную степень:

Итак, сформулируем правило:

Число в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени. Но при этом основание не может быть нулевым: (т.к. на делить нельзя).

Подведем итоги:

I. Выражение не определено в случае. Если, то.

II. Любое число в нулевой степени равно единице: .

III. Число, не равное нулю, в отрицательной степени обратно такому же числу в положительной степени: .

Задачи для самостоятельного решения:

Ну и, как обычно, примеры для самостоятельного решения:

Разбор задач для самостоятельного решения:

Знаю-знаю, числа страшные, но на ЕГЭ надо быть готовым ко всему! Реши эти примеры или разбери их решение, если не смог решить и ты научишься легко справляться с ними на экзамене!

Продолжим расширять круг чисел, «пригодных» в качестве показателя степени.

Теперь рассмотрим рациональные числа. Какие числа называются рациональными?

Ответ: все, которые можно представить в виде дроби, где и - целые числа, причем.

Чтобы понять, что такое «дробная степень» , рассмотрим дробь:

Возведем обе части уравнения в степень:

Теперь вспомним правило про «степень в степени» :

Какое число надо возвести в степень, чтобы получить?

Эта формулировка - определение корня -ой степени.

Напомню: корнем -ой степени числа () называется число, которое при возведении в степень равно.

То есть, корень -ой степени - это операция, обратная возведению в степень: .

Получается, что. Очевидно, этот частный случай можно расширить: .

Теперь добавляем числитель: что такое? Ответ легко получить с помощью правила «степень в степени»:

Но может ли основание быть любым числом? Ведь корень можно извлекать не из всех чисел.

Никакое!

Вспоминаем правило: любое число, возведенное в четную степень - число положительное. То есть, извлекать корни четной степени из отрицательных чисел нельзя!

А это значит, что нельзя такие числа возводить в дробную степень с четным знаменателем, то есть выражение не имеет смысла.

А что насчет выражения?

Но тут возникает проблема.

Число можно представить в виде дргих, сократимых дробей, например, или.

И получается, что существует, но не существует, а ведь это просто две разные записи одного и того же числа.

Или другой пример: раз, то можно записать. Но стоит нам по-другому записать показатель, и снова получим неприятность: (то есть, получили совсем другой результат!).

Чтобы избежать подобных парадоксов, рассматриваем только положительное основание степени с дробным показателем .

Итак, если:

• — натуральное число;
• — целое число;

Примеры:

Степени с рациональным показателем очень полезны для преобразования выражений с корнями, например:

5 примеров для тренировки

Разбор 5 примеров для тренировки

Ну а теперь - самое сложное. Сейчас мы разберем степень с иррациональным показателем .

Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением

Ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах.

Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя;

...число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число;

...степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число.

Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

КУДА МЫ УВЕРЕНЫ ТЫ ПОСТУПИШЬ! (если научишься решать такие примеры:))

Например:

Реши самостоятельно:

Разбор решений:

1. Начнем с уже обычного для нас правила возведения степени в степень:

Теперь посмотри на показатель. Ничего он тебе не напоминает? Вспоминаем формулу сокращенного умножения разность квадратов:

В данном случае,

Получается, что:

Ответ: .

2. Приводим дроби в показателях степеней к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например:

Ответ: 16

3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Определение степени

Степенью называется выражение вида: , где:

• — основание степени;
• — показатель степени.

Степень с натуральным показателем {n = 1, 2, 3,...}

Возвести число в натуральную степень n — значит умножить число само на себя раз:

Степень с целым показателем {0, ±1, ±2,...}

Если показателем степени является целое положительное число:

Возведение в нулевую степень :

Выражение неопределенное, т.к., с одной стороны, в любой степени - это, а с другой - любое число в -ой степени - это.

Если показателем степени является целое отрицательное число:

(т.к. на делить нельзя).

Еще раз о нулях: выражение не определено в случае. Если, то.

Примеры:

Степень с рациональным показателем

• — натуральное число;
• — целое число;

Примеры:

Свойства степеней

Чтобы проще было решать задачи, попробуем понять: откуда эти свойства взялись? Докажем их.

Посмотрим: что такое и?

По определению:

Итак, в правой части этого выражения получается такое произведение:

Но по определению это степень числа с показателем, то есть:

Что и требовалось доказать.

Пример : Упростите выражение.

Решение : .

Пример : Упростите выражение.

Решение : Важно заметить, что в нашем правиле обязательно должны быть одинаковые основания. Поэтому степени с основанием мы объединяем, а остается отдельным множителем:

Еще одно важное замечание: это правило - только для произведения степеней !

Ни в коем случае нелья написать, что.

Так же, как и с предыдущим свойством, обратимся к определению степени:

Перегруппируем это произведение так:

Получается, что выражение умножается само на себя раз, то есть, согласно определению, это и есть -я степень числа:

По сути это можно назвать «вынесением показателя за скобки». Но никогда нельзя этого делать в сумме: !

Вспомним формулы сокращенного умножения: сколько раз нам хотелось написать? Но это неверно, ведь.

Степень с отрицательным основанием.

До этого момента мы обсуждали только то, каким должен быть показатель степени. Но каким должно быть основание? В степенях с натуральным показателем основание может быть любым числом .

И правда, мы ведь можем умножать друг на друга любые числа, будь они положительные, отрицательные, или даже. Давайте подумаем, какие знаки (« » или « ») будут иметь степени положительных и отрицательных чисел?

Например, положительным или отрицательным будет число? А? ?

С первым все понятно: сколько бы положительных чисел мы друг на друга не умножали, результат будет положительным.

Но с отрицательными немного интереснее. Мы ведь помним простое правило из 6 класса: «минус на минус дает плюс». То есть, или. Но если мы умножим на (), получится - .

И так до бесконечности: при каждом следующем умножении знак будет меняться. Можно сформулировать такие простые правила:

1. четную степень, - число положительное .
2. Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
3. Положительное число в любой степени - число положительное.
4. Ноль в любой степени равен нулю.

Определи самостоятельно, какой знак будут иметь следующие выражения:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Справился? Вот ответы:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

В первых четырех примерах, надеюсь, все понятно? Просто смотрим на основание и показатель степени, и применяем соответствующее правило.

В примере 5) все тоже не так страшно, как кажется: ведь неважно, чему равно основание - степень четная, а значит, результат всегда будет положительным. Ну, за исключением случая, когда основание равно нулю. Основание ведь не равно? Очевидно нет, так как (потому что).

Пример 6) уже не так прост. Тут нужно узнать, что меньше: или? Если вспомнить, что, становится ясно, что, а значит, основание меньше нуля. То есть, применяем правило 2: результат будет отрицательным.

И снова используем определение степени:

Все как обычно - записываем определение степеней и, делим их друг на друга, разбиваем на пары и получаем:

Прежде чем разобрать последнее правило, решим несколько примеров.

Вычисли значения выражений:

Решения :

Если не обращать внимание на восьмую степень, что мы здесь видим? Вспоминаем программу 7 класса. Итак, вспомнили? Это формула сокращенного умножения, а именно - разность квадратов!

Получаем:

Внимательно смотрим на знаменатель. Он очень похож на один из множителей числителя, но что не так? Не тот порядок слагаемых. Если бы их поменять местами, можно было бы применить правило 3. Но как это сделать? Оказывается, очень легко: здесь нам помогает четная степень знаменателя.

Если домножить его на, ничего не поменяется, верно? Но теперь получается следующее:

Магическим образом слагаемые поменялись местами. Это «явление» применимо для любого выражения в четной степени: мы можем беспрепятственно менять знаки в скобках. Но важно запомнить: меняются все знаки одновременно! Нельзя заменить на, изменив только один неугодный нам минус!

Вернемся к примеру:

И снова формула:

Итак, теперь последнее правило:

Как будем доказывать? Конечно, как обычно: раскроем понятие степени и упростим:

Ну а теперь раскроем скобки. Сколько всего получится букв? раз по множителей - что это напоминает? Это не что иное, как определение операции умножения : всего там оказалось множителей. То есть, это, по определению, степень числа с показателем:

Пример:

Степень с иррациональным показателем

В дополнение к информации о степенях для среднего уровня, разберем степень с иррациональным показателем. Все правила и свойства степеней здесь точно такие же, как и для степени с рациональным показателем, за исключением - ведь по определению иррациональные числа - это числа, которые невозможно представить в виде дроби, где и - целые числа (то есть, иррациональные числа - это все действительные числа, кроме рациональных).

При изучении степеней с натуральным, целым и рациональным показателем, мы каждый раз составляли некий «образ», «аналогию», или описание в более привычных терминах. Например, степень с натуральным показателем - это число, несколько раз умноженное само на себя; число в нулевой степени - это как-бы число, умноженное само на себя раз, то есть его еще не начали умножать, значит, само число еще даже не появилось - поэтому результатом является только некая «заготовка числа», а именно число; степень с целым отрицательным показателем - это как будто произошел некий «обратный процесс», то есть число не умножали само на себя, а делили.

Вообразить степень с иррациональным показателем крайне сложно (так же, как сложно представить 4-мерное пространство). Это, скорее, чисто математический объект, который математики создали, чтобы расширить понятие степени на все пространство чисел.

Между прочим, в науке часто используется степень с комплексным показателем, то есть показатель - это даже не действительное число. Но в школе мы о таких сложностях не думаем, постичь эти новые понятия тебе представится возможность в институте.

Итак, что мы делаем, если видим иррациональный показатель степени? Всеми силами пытаемся от него избавиться!:)

Например:

Реши самостоятельно:

1)

2)

3)

Ответы:

1. Вспоминаем формулу разность квадратов. Ответ: .
2. Приводим дроби к одинаковому виду: либо обе десятичные, либо обе обычные. Получим, например: .
3. Ничего особенного, применяем обычные свойства степеней:

КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ РАЗДЕЛА И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Степенью называется выражение вида: , где:

Степень с целым показателем

степень, показатель которой — натуральное число (т.е. целое и положительное).

Степень с рациональным показателем

степень, показатель которой — отрицательные и дробные числа.

Степень с иррациональным показателем

степень, показатель которой — бесконечная десятичная дробь или корень.

Свойства степеней

Особенности степеней.

• Отрицательное число, возведенное в четную степень, - число положительное .
• Отрицательное число, возведенное в нечетную степень, - число отрицательное .
• Положительное число в любой степени - число положительное.
• Ноль в любой степени равен.
• Любое число в нулевой степени равно.

ТЕПЕРЬ ТЕБЕ СЛОВО...

Как тебе статья? Напиши внизу в комментариях понравилась или нет.

Расскажи о своем опыте использования свойств степеней.

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши в комментариях.

И удачи на экзаменах!

Давайте рассмотрим последовательность чисел, первое из которых равно 1, а каждое последующее вдвое больше: 1, 2, 4, 8, 16, ... Используя показатели степени, ее можно записать в эквивалентном виде: 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , ... Называется она вполне ожидаемо: последовательность степеней двойки. Казалось бы, ничего выдающегося в ней нет - последовательность как последовательность, не лучше и не хуже других. Тем не менее, она обладает весьма примечательными свойствами.

Несомненно, многие читатели встречали ее в классической истории об изобретателе шахмат, который попросил у правителя в награду за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно, за вторую - два, за третью - четыре, и так далее, всё время удваивая число зерен. Понятно, что суммарное их количество равно

S = 2 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 63 . (1)

Но так как эта сумма неимоверно велика и во много раз превосходит годовой урожай зерновых по всему миру, вышло, что мудрец ободрал правителя как липку.

Однако зададимся сейчас другим вопросом: как с наименьшими затратами труда подсчитать величину S ? Обладатели калькулятора (или, паче того, компьютера) вполне могут за обозримое время выполнить перемножения, а затем сложить полученные 64 числа, получив ответ: 18 446 744 073 709 551 615. А поскольку объем вычислений немалый, то и вероятность ошибки весьма велика.

Кто похитрей, могут углядеть в этой последовательности геометрическую прогрессию . Не знакомые же с этим понятием (или те, кто попросту забыл стандартную формулу суммы геометрической прогрессии) могут использовать следующие рассуждения. Давайте-ка умножим обе части равенства (1) на 2. Так как при удвоении степени двойки ее показатель увеличивается на 1, то получим

2S = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 64 . (2)

Теперь из (2) вычтем (1). В левой части, понятное дело, получится 2S – S = S . В правой же части произойдет массовое взаимное уничтожение почти всех степеней двойки - от 2 1 до 2 63 включительно, и останется лишь 2 64 – 2 0 = 2 64 – 1. Итак:

S = 2 64 – 1.

Что ж, выражение заметно упростилось, и теперь, имея калькулятор, позволяющий возводить в степень, можно найти значение этой величины без малейших проблем.

А если и калькулятора нет - как быть? Перемножать в столбик 64 двойки? Еще чего не хватало! Опытный инженер или математик-прикладник, для которого главный фактор - время, сумел бы быстро оценить ответ, т.е. найти его приближенно с приемлемой точностью. Как правило, в быту (да и в большинстве естественных наук) вполне допустима погрешность в 2–3%, а если она не превосходит 1% - то это просто великолепно! Оказывается, подсчитать наши зерна с такой погрешностью можно вообще без калькулятора, и всего за несколько минут. Как? Сейчас увидите.

Итак, надо возможно точней найти произведение 64 двоек (единицу в силу ее ничтожности отбросим сразу). Разобьем их на отдельную группу из 4 двоек и еще на 6 групп по 10 двоек. Произведение двоек в отдельной группе равно 2 4 = 16. А произведение 10 двоек в каждой из остальных групп равно 2 10 = 1024 (убедитесь, кто сомневается!). Но 1024 - это около 1000, т.е. 10 3 . Поэтому S должно быть близко к произведению числа 16 на 6 чисел, каждое из которых равно 10 3 , т.е. S ≈ 16·10 18 (ибо 18 = 3·6). Правда, погрешность здесь все же великовата: ведь 6 раз при замене 1024 на 1000 мы ошибались в 1,024 раза, а всего мы ошиблись, как легко видеть, в 1,024 6 раз. Так что теперь - дополнительно перемножать 1,024 шесть раз само на себя? Нет уж, обойдемся! Известно, что для числа х , которое во много раз меньше 1, с высокой точностью справедлива следующая приближенная формула: (1 + x ) n ≈ 1 + xn .

Поэтому 1,024 6 = (1 + 0,24) 6 ≈ 1 + 0,24·6 = 1,144. Посему надо найденное нами число 16·10 18 умножить на число 1,144, в результате чего получится 18 304 000 000 000 000 000, а это отличается от правильного ответа менее чем на 1%. Чего мы и добивались!

В данном случае нам крупно повезло: одна из степеней двойки (а именно - десятая) оказалась весьма близка к одной из степеней десятки (а именно - третьей). Это позволяет нам быстро оценивать значение любой степени двойки, не обязательно 64-й. Среди степеней других чисел подобное встречается нечасто. Например, 5 10 отличается от 10 7 также в 1,024 раза, но... в меньшую сторону. Впрочем, это того же поля ягода: поскольку 2 10 ·5 10 = 10 10 , то во сколько раз 2 10 превосходит 10 3 , во столько же раз 5 10 меньше , чем 10 7 .

Другая интересная особенность рассматриваемой последовательности заключается в том, что любое натуральное число можно построить из различных степеней двойки, причем единственным способом. Например, для номера текущего года имеем

2012 = 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 + 2 10 .

Доказать эти возможность и единственность не составляет особого труда. Начнем с возможности. Пусть нам надо представить в виде суммы различных степеней двойки некоторое натуральное число N . Сначала запишем его в виде суммы N единиц. Так как единица - это 2 0 , то первоначально N есть сумма одинаковых степеней двойки. Затем начнем объединять их по парам. Сумма двух чисел, равных 2 0 , - это 2 1 , так что в результате получится заведомо меньшее количество слагаемых, равных 2 1 , и, возможно, одно число 2 0 , если ему не нашлось пары. Далее попарно объединяем одинаковые слагаемые 2 1 , получая еще меньшее количество чисел 2 2 (здесь тоже возможно появление непарной степени двойки 2 1). Затем снова объединяем равные слагаемые попарно, и так далее. Рано или поздно процесс завершится, ибо количество одинаковых степеней двойки после каждого объединения уменьшается. Когда оно станет равным 1 - дело кончено. Осталось сложить все получившиеся непарные степени двойки - и представление готово.

Что касается доказательства единственности представления, то здесь хорошо подходит метод «от противного». Пусть одно и то же число N удалось представить в виде двух наборов различных степеней двойки, которые не полностью совпадают (т. е. имеются степени двойки, входящие в один набор, но не входящие в другой, и наоборот). Для начала отбросим все совпадающие степени двойки из обоих наборов (если таковые имеются). Получатся два представления одного и того же числа (меньшего или равного N ) в виде суммы различных степеней двойки, причем все степени в представлениях различны . В каждом из представлений выделим наибольшую степень. В силу изложенного выше, для двух представлений эти степени различны . То представление, для которого эта степень больше, назовем первым , другое - вторым . Итак, пусть в первом представлении наибольшая степень равна 2 m , тогда во втором она, очевидно, не превышает 2 m –1 . Но поскольку (и мы с этим уже сталкивались выше, подсчитывая зерна на шахматной доске) справедливо равенство

2 m = (2 m –1 + 2 m –2 + ... + 2 0) + 1,

то 2 m строго больше суммы всех степеней двойки, не превосходящих 2 m –1 . По этой причине уже наибольшая степень двойки, входящая в первое представление, наверняка больше суммы всех степеней двойки, входящих во второе представление. Противоречие!

Фактически мы только что обосновали возможность записи чисел в двоичной системе счисления. Как известно, в ней используются лишь две цифры - ноль и единица, и каждое натуральное число записывается в двоичной системе единственным способом (например, упомянутое выше 2012 - как 11 111 011 100). Если пронумеровать разряды (двоичные цифры) справа налево, начиная с нуля, то номера тех разрядов, в которых стоят единицы, как раз и будут показателями степеней двоек, входящих в представление.

Менее известно следующее свойство множества целых неотрицательных степеней двойки. Давайте некоторым из них произвольным образом присвоим знак «минус», т. е. из положительных сделаем отрицательными. Единственное требование - чтобы в результате и положительных, и отрицательных чисел оказалось бесконечное количество. Например, можно присвоить знак «минус» каждой пятой степени двойки или, допустим, оставить положительными только числа 2 10 , 2 100 , 2 1000 , и так далее - вариантов здесь сколько угодно.

Как ни удивительно, но любое целое число можно (и притом единственным способом) представить в виде суммы различных слагаемых нашей «положительно-отрицательной» последовательности. И доказать это не очень-то сложно (например, индукцией по показателям степеней двоек). Главная идея доказательства - наличие сколь угодно больших по абсолютной величине как положительных, так и отрицательных слагаемых. Попробуйте выполнить доказательство сами.

Интересно понаблюдать за последними цифрами членов последовательности степеней двойки. Так как каждое последующее число последовательности получается удвоением предыдущего, то последняя цифра каждого из них полностью определяется последней цифрой предыдущего числа. А так как различных цифр ограниченное количество, последовательность последних цифр степеней двойки просто обязана быть периодической! Длина периода, естественно, не превышает 10 (поскольку именно столько цифр мы используем), но это сильно завышенное значение. Попробуем оценить его, не выписывая пока саму последовательность. Ясно, что последние цифры всех степеней двойки, начиная с 2 1 , четные . Кроме того, среди них не может быть нуля - потому что число, оканчивающееся нулем, делится на 5, в чем заподозрить степени двойки никак нельзя. А так как четных цифр без нуля имеется всего четыре, то и длина периода не превосходит 4.

Проверка показывает, что так оно и есть, причем периодичность проявляется почти сразу: 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... - в полном соответствии с теорией!

Не менее успешно можно оценить и длину периода последней пары цифр последовательности степеней двойки. Так как все степени двойки, начиная с 2 2 , делятся на 4, то и числа, образованные их последними двумя цифрами, делятся на 4. Не более чем двузначных чисел, делящихся на 4, имеется всего 25 (для однозначных чисел предпоследней цифрой считаем ноль), но из них надо выбросить пять чисел, оканчивающихся нулем: 00, 20, 40, 60 и 80. Так что период может содержать не более 25 – 5 = 20 чисел. Проверка показывает, что так и есть, начинается период с числа 2 2 и содержит пары цифр: 04, 08, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52, а затем опять 04 и так далее.

Аналогично можно доказать, что длина периода последних m цифр последовательности степеней двойки не превышает 4·5 m –1 (более того - на самом деле она равна 4·5 m –1 , но доказать это значительно сложнее).

Итак, на последние цифры степеней двойки наложены довольно жесткие ограничения. А как насчет первых цифр? Здесь ситуация практически противоположная. Оказывается, для любого набора цифр (первая из которых - не ноль) найдется степень двойки, начинающаяся с этого набора цифр. И таких степеней двойки бесконечно много! Например, существует бесконечное количество степеней двойки, начинающихся с цифр 2012 или, скажем, 3 333 333 333 333 333 333 333.

А если рассмотреть только одну самую первую цифру различных степеней двойки - какие значения она может принимать? Нетрудно убедиться, что любые - от 1 до 9 включительно (нуля среди них, естественно, нет). Но какие из них встречаются чаще, а какие реже? Как-то сразу не видно причин, по которым одна цифра должна встречаться чаще другой. Однако более глубокие размышления показывают, что как раз равной встречаемости цифр ожидать не приходится. Действительно, если первая цифра какой-либо степени двойки есть 5, 6, 7, 8 или 9, то первая цифра следующей за ней степени двойки будет обязательно единицей! Поэтому должен иметь место «перекос», по крайней мере, в сторону единицы. Следовательно, вряд ли и остальные цифры будут «равнопредставленными».

Практика (а именно - прямой компьютерный расчет для первых нескольких десятков тысяч степеней двойки) подтверждает наши подозрения. Вот какова относительная доля первых цифр степеней двойки с округлением до 4 знаков после запятой:

1 - 0,3010
2 - 0,1761
3 - 0,1249
4 - 0,0969
5 - 0,0792
6 - 0,0669
7 - 0,0580
8 - 0,0512
9 - 0,0458

Как видим, с ростом цифр эта величина убывает (и потому та же единица примерно в 6,5 раз чаще бывает первой цифрой степеней двойки, чем девятка). Как ни покажется странным, но практически такое же соотношение количеств первых цифр будет иметь место почти для любой последовательности степеней - не только двойки, но, скажем, и тройки, пятерки, восьмерки и вообще почти любого числа, в том числе и нецелого (исключение составляют лишь некоторые «особые» числа). Причины этого весьма глубоки и непросты, и для их уяснения надо знать логарифмы. Для тех, кто с ними знаком, приоткроем завесу: оказывается, относительная доля степеней двойки , десятичная запись которых начинается с цифры F (для F = 1, 2, ..., 9), составляет lg (F + 1) – lg (F ), где lg - так называемый десятичный логарифм, равный показателю степени, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число, стоящее под знаком логарифма.

Используя упомянутую выше связь между степенями двойки и пятерки, А. Канель обнаружил интересное явление. Давайте из последовательности первых цифр степеней двойки (1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, ...) выберем несколько цифр подряд и запишем их в обратном порядке. Оказывается, эти цифры непременно встретятся тоже подряд , начиная с некоторого места, в последовательности первых цифр степеней пятерки.

Степени двойки также являются своеобразным «генератором» для производства широко известных совершенных чисел , которые равны сумме всех своих делителей, за исключением себя самого. Например, у числа 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6. Отбросим тот, который равен самому числу 6. Осталось три делителя, сумма которых как раз равна 1 + 2 + 3 = 6. Поэтому 6 - совершенное число.

Для получения совершенного числа возьмем две последовательные степени двойки: 2 n –1 и 2 n . Уменьшим большую из них на 1, получим 2 n – 1. Оказывается, если это - простое число, то, домножив его на предыдущую степень двойки, мы образуем совершенное число 2 n –1 (2 n – 1). Например, при п = 3 получаем исходные числа 4 и 8. Так как 8 – 1 = 7 - простое число, то 4·7 = 28 - совершенное число. Более того - в свое время Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. Нечетные совершенные числа пока не обнаружены (и мало кто верит в их существование).

Тесную связь имеют степени двойки с так называемыми числами Каталана , последовательность которых имеет вид 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429... Они часто возникают при решении различных комбинаторных задач. Например, сколькими способами можно разбить выпуклый n -угольник на треугольники непересекающимися диагоналями? Всё тот же Эйлер выяснил, что это значение равно (n – 1)-му числу Каталана (обозначим его K n –1), и он же выяснил, что K n = K n –1 ·(4n – 6)/n . Последовательность чисел Каталана имеет множество любопытных свойств, и одно из них (как раз связанное с темой этой статьи) заключается в том, что порядковые номера всех нечетных чисел Каталана являются степенями двойки!

Степени двойки нередко встречаются в различных задачах, причем не только в условиях, но и в ответах. Возьмем, например, популярную когда-то (да и поныне не забытую) Ханойскую башню . Так называлась игра-головоломка, придуманная в XIX веке французским математиком Э. Люка. Она содержит три стержня, на один из которых надето n дисков с отверстием в середине каждого. Диаметры всех дисков различны, и они расположены в порядке убывания снизу вверх, т. е. самый большой диск - внизу (см. рисунок). Получилась как бы башня из дисков.

Требуется перенести эту башню на другой стержень, соблюдая такие правила: перекладывать диски строго по одному (снимая верхний диск с любого стержня) и всегда класть только меньший диск на больший, но не наоборот. Спрашивается: какое наименьшее число ходов для этого потребуется? (Ходом мы называем снятие диска с одного стержня и надевание его на другой.) Ответ: оно равно 2 n – 1, что легко доказывается по индукции.

Пусть для n дисков потребное наименьшее число ходов равно X n . Найдем X n +1 . В процессе работы рано или поздно придется снимать самый большой диск со стержня, на который первоначально были надеты все диски. Так как этот диск можно надевать только на пустой стержень (иначе он «придавит» меньший диск, что запрещено), то все верхние n дисков придется предварительно перенести на третий стержень. Для этого потребуется не меньше X n ходов. Далее переносим наибольший диск на пустой стержень - вот еще один ход. Наконец, чтобы сверху его «притиснуть» меньшими n дисками, опять потребуется не меньше X n ходов. Итак, X n +1 ≥ X n + 1 + X n = 2X n + 1. С другой стороны, описанные выше действия показывают, как можно справиться с задачей именно 2X n + 1 ходами. Поэтому окончательно X n +1 =2X n + 1. Получено рекуррентное соотношение, но для того чтобы его привести к «нормальному» виду, надо еще найти X 1 . Ну, это проще простого: X 1 = 1 (меньше просто не бывает!). Не составляет труда, основываясь на этих данных, выяснить, что X n = 2 n – 1.

Вот еще одна интересная задача:

Найдите все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы нескольких (не менее двух) последовательных натуральных чисел.

Давайте проверим сначала наименьшие числа. Ясно, что число 1 в указанном виде непредставимо. Зато все нечетные, которые больше 1, представить, конечно, можно. В самом деле, любое нечетное число, большее 1, можно записать как 2k + 1 (k - натуральное), что есть сумма двух последовательных натуральных чисел: 2k + 1 = k + (k + 1).

А как обстоят дела с четными числами? Легко убедиться, что числа 2 и 4 нельзя представить в требуемом виде. Может, и для всех четных чисел так? Увы, следующее же четное число опровергает наше предположение: 6 = 1 + 2 + 3. Зато число 8 опять не поддается. Правда, следующие числа вновь уступают натиску: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 12 = 3 + 4 + 5, 14 = 2 + 3 + 4 + 5, а вот 16 - вновь непредставимо.

Что ж, накопленная информация позволяет сделать предварительные выводы. Обратите внимание: не удалось представить в указанном виде только степени двойки . Верно ли это для остальных чисел? Оказывается, да! В самом деле, рассмотрим сумму всех натуральных чисел от m до n включительно. Так как всего их, по условию, не меньше двух, то n > m . Как известно, сумма последовательных членов арифметической прогрессии (а ведь именно с ней мы имеем дело!) равна произведению полусуммы первого и последнего членов на их количество. Полусумма равна (n + m )/2, а количество чисел равно n – m + 1. Поэтому сумма равна (n + m )(n – m + 1)/2. Заметим, что в числителе находятся два сомножителя, каждый из которых строго больше 1, и при этом четность их - различна. Выходит, что сумма всех натуральных чисел от m до n включительно делится на нечетное число, большее 1, и потому не может быть степенью двойки. Так что теперь понятно, почему не удалось представить степени двойки в нужном виде.

Осталось убедиться, что не степени двойки представить можно. Что касается нечетных чисел, то с ними мы уже разобрались выше. Возьмем какое-либо четное число, не являющееся степенью двойки. Пусть наибольшая степень двойки, на которую оно делится, это 2 a (a - натуральное). Тогда если число поделить на 2 a , получится уже нечетное число, большее 1, которое мы запишем в знакомом виде - как 2k + 1 (k - тоже натуральное). Значит, в целом наше четное число, не являющееся степенью двойки, равно 2 a (2k + 1). А теперь рассмотрим два варианта:

1. 2 a +1 > 2k + 1. Возьмем сумму 2k + 1 последовательных натуральных чисел, среднее из которых равно 2 a . Легко видеть, что тогда наименьшее из них равно 2 a – k , а наибольшее равно 2 a + k , причем наименьшее (и, значит, все остальные) - положительное, т. е. действительно натуральное. Ну, а сумма, очевидно, составляет как раз 2 a (2k + 1).
2. 2 a +1 < 2k + 1. Возьмем сумму 2 a +1 последовательных натуральных чисел. Здесь нельзя указать среднее число, ибо количество чисел четное, но указать пару средних чисел можно: пусть это числа k и k + 1. Тогда наименьшее из всех чисел равно k + 1 – 2 a (и тоже положительное!), а наибольшее равно k + 2 a . Сумма их тоже равна 2 a (2k + 1).

Вот и всё. Итак, ответ: непредставимые числа - это степени двойки, и только они.

А вот еще одна задача (впервые ее предложил В. Произволов, но в несколько иной формулировке):

Садовый участок окружен сплошным забором из N досок. Согласно приказу тети Полли Том Сойер белит забор, но по собственной системе: продвигаясь всё время по часовой стрелке, сначала белит произвольную доску, затем пропускает одну доску и белит следующую, затем пропускает две доски и белит следующую, затем пропускает три доски и белит следующую, и так далее, каждый раз пропуская на одну доску больше (при этом некоторые доски могут быть побелены несколько раз - Тома это не смущает).

Том считает, что при такой схеме рано или поздно все доски будут побелены, а тетя Полли уверена, что хотя бы одна доска останется непобеленной, сколько бы Том ни работал. При каких N прав Том, а при каких - тетя Полли?

Описанная система побелки представляется довольно хаотичной, поэтому первоначально может показаться, что для любого (или почти любого) N каждой доске когда-нибудь достанется своя доля известки, т. е., в основном , прав Том. Но первое впечатление обманчиво, потому что на самом деле Том прав только для значений N , являющихся степенями двойки. Для остальных N найдется доска, которая так и останется навеки непобеленной. Доказательство этого факта довольно громоздко (хотя, в принципе, несложно). Предлагаем читателю выполнить его самому.

Вот каковы они - степени двойки. С виду - проще простого, а как копнешь... И затронули мы здесь далеко не все удивительные и загадочные свойства этой последовательности, а лишь те, что бросились в глаза. Ну, а читателю предоставляется право самостоятельно продолжить исследования в этой области. Несомненно, они окажутся плодотворными.

Нулевое их количество).
И не только двойки, как было отмечено ранее!
Жаждущие подробностей могут прочесть статью В. Болтянского «Часто ли степени двойки начинаются с единицы?» («Квант» №5 за 1978 г.), а также статью В. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира» («Квант» №1 за 1998 г.).
См. задачу М1599 из «Задачника «Кванта» («Квант» №6 за 1997 г.).
В настоящее время известны 43 совершенных числа, наибольшее из которых равно 2 30402456 (2 30402457 – 1). Оно содержит свыше 18 миллионов цифр.

Таблица степеней 2 (двойки) от 0 до 32

Приведенная таблица кроме степени двойки показывает максимальные числа, которые может хранить компьютер для заданного числа бит. Причем как для целых так и чисел со знаком.

Исторически сложилось, что компьютеры используют двоичную систему счисления, а, соответственно, и хранения данных. Таким образом, любое число можно представить как последовательность нулей и единиц (бит информации). Существует несколько способов представления чисел в виде двоичной последовательности.

Рассмотрим наиболее простой из них - это целое положительное число. Тогда чем больше число нам нужно записать, тем более длинная последовательность бит нам необходима.

Ниже представлена таблица степеней числа 2 . Она даст нам представление необходимого числа бит, которое нам необходимо для хранения чисел.

Как пользоваться таблицей степеней числа два ?

Первый столбец - это степень двойки , который одновременно, обозначает число бит, которое представляет число.

Второй столбец - значение двойки в соответствующей степени (n) .

Пример нахождения степени числа 2 . Находим в первом столбце число 7. Смотрим по строке вправо и находим значение два в седьмой степени (2 7 ) - это 128

Третий столбец - максимальное число, которое можно представить с помощью заданного числа бит (в первом столбце).

Пример определения максимального целого числа без знака . Если использовать данные из предыдущего примера, мы знаем, что 2 7 = 128 . Это верно, если мы хотим понять, какое количество чисел , можно представить с помощью семи бит. Но, поскольку первое число - это ноль , то максимальное число, которое можно представить с помощью семи бит 128 - 1 = 127 . Это и есть значение третьего столбца.

Степень двойки (n)	Значение степени двойки 2 n	Максимальное число без знака, записанное с помощью n бит	Максимальное число со знаком, записанное с помощью n бит
0	1	-	-
1	2	1	-
2	4	3	1
3	8	7	3
4	16	15	7
5	32	31	15
6	64	63	31
7	128	127	63
8	256	255	127
9	512	511	255
10	1 024	1 023	511
11	2 048	2 047	1023
12	40 96	4 095	2047
13	8 192	8 191	4095
14	16 384	16 383	8191
15	32 768	32 767	16383
16	65 536	65 535	32767
17	131 072	131 071	65 535
18	262 144	262 143	131 071
19	524 288	524 287	262 143
20	1 048 576	1 048 575	524 287
21	2 097 152	2 097 151	1 048 575
22	4 194 304	4 194 303	2 097 151
23	8 388 608	8 388 607	4 194 303
24	16 777 216	16 777 215	8 388 607
25	33 554 432	33 554 431	16 777 215
26	67 108 864	67 108 863	33 554 431
27	134 217 728	134 217 727	67 108 863
28	268 435 456	268 435 455	134 217 727
29	536 870 912	536 870 911	268 435 455
30	1 073 741 824	1 073 741 823	536 870 911
31	2 147 483 648	2 147 483 647	1 073 741 823
32	4 294 967 296	4 294 967 295	2 147 483 647