Действия с иррациональными числами примеры. Числа: натуральные, целые, рациональные, действительные

Материал этой статьи представляет собой начальную информацию про иррациональные числа . Сначала мы дадим определение иррациональных чисел и разъясним его. Дальше приведем примеры иррациональных чисел. Наконец, рассмотрим некоторые подходы к выяснению, является ли заданное число иррациональным или нет.

Навигация по странице.

Определение и примеры иррациональных чисел

При изучении десятичных дробей мы отдельно рассмотрели бесконечные непериодические десятичные дроби. Такие дроби возникают при десятичном измерении длин отрезков, несоизмеримых с единичным отрезком. Также мы отметили, что бесконечные непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби (смотрите перевод обыкновенных дробей в десятичные и обратно), следовательно, эти числа не являются рациональными числами , они представляют так называемые иррациональные числа.

Так мы подошли к определению иррациональных чисел .

Определение.

Числа, которые в десятичной записи представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби, называются иррациональными числами .

Озвученное определение позволяет привести примеры иррациональных чисел . Например, бесконечная непериодическая десятичная дробь 4,10110011100011110000… (количество единиц и нулей каждый раз увеличивается на одну) является иррациональным числом. Приведем еще пример иррационального числа: −22,353335333335… (число троек, разделяющих восьмерки, каждый раз увеличивается на две).

Следует отметить, что иррациональные числа достаточно редко встречаются именно в виде бесконечных непериодических десятичных дробей. Обычно они встречаются в виде , и т.п., а также в виде специально введенных букв. Самыми известными примерами иррациональных чисел в такой записи являются арифметический квадратный корень из двух , число «пи» π=3,141592… , число e=2,718281… и золотое число .

Иррациональные числа также можно определить через действительные числа , которые объединяют рациональные и иррациональные числа.

Определение.

Иррациональные числа – это действительные числа, не являющиеся рациональными.

Является ли данное число иррациональным?

Когда число задано не в виде десятичной дроби, а в виде некоторого , корня, логарифма и т.п., то ответить на вопрос, является ли оно иррациональным, во многих случаях достаточно сложно.

Несомненно, при ответе на поставленный вопрос очень полезно знать, какие числа не являются иррациональными. Из определения иррациональных чисел следует, что иррациональными числами не являются рациональные числа. Таким образом, иррациональными числами НЕ являются:

• конечные и бесконечные периодические десятичные дроби.

Также не является иррациональным числом любая композиция рациональных чисел, связанных знаками арифметических операций (+, −, ·, :). Это объясняется тем, что сумма, разность, произведение и частное двух рациональных чисел является рациональным числом. Например, значения выражений и являются рациональными числами. Здесь же заметим, что если в подобных выражениях среди рациональных чисел содержится одно единственное иррациональное число, то значение всего выражения будет иррациональным числом. Например, в выражении число - иррациональное, а остальные числа рациональные, следовательно - иррациональное число. Если бы было рациональным числом, то из этого следовала бы рациональность числа , а оно не является рациональным.

Если же выражение, которым задано число, содержит несколько иррациональных чисел, знаки корня, логарифмы, тригонометрические функции, числа π , e и т.п., то требуется проводить доказательство иррациональности или рациональности заданного числа в каждом конкретном случае. Однако существует ряд уже полученных результатов, которыми можно пользоваться. Перечислим основные из них.

Доказано, что корень степени k из целого числа является рациональным числом только тогда, когда число под корнем является k-ой степенью другого целого числа, в остальных случаях такой корень задает иррациональное число. Например, числа и - иррациональные, так как не существует целого числа, квадрат которого равен 7 , и не существует целого числа, возведение которого в пятую степень дает число 15 . А числа и не являются иррациональными, так как и .

Что касается логарифмов, то доказать их иррациональность иногда удается методом от противного. Для примера докажем, что log 2 3 является иррациональным числом.

Допустим, что log 2 3 рациональное число, а не иррациональное, то есть его можно представить в виде обыкновенной дроби m/n . и позволяют записать следующую цепочку равенств: . Последнее равенство невозможно, так как в его левой части нечетное число , а в правой части – четное. Так мы пришли к противоречию, значит, наше предположение оказалось неверным, и этим доказано, что log 2 3 - иррациональное число.

Заметим, что lna при любом положительном и отличном от единицы рациональном a является иррациональным числом. Например, и - иррациональные числа.

Также доказано, что число e a при любом отличном от нуля рациональном a является иррациональным, и что число π z при любом отличном от нуля целом z является иррациональным. К примеру, числа - иррациональные.

Иррациональными числами также являются тригонометрические функции sin , cos , tg и ctg при любом рациональном и отличном от нуля значении аргумента. Например, sin1 , tg(−4) , cos5,7 , являются иррациональными числами.

Существуют и другие доказанные результаты, на мы ограничимся уже перечисленными. Следует также сказать, что при доказательстве озвученных выше результатов применяется теория, связанная с алгебраическими числами и трансцендентными числами .

В заключение отметим, что не стоит делать поспешных выводов относительно иррациональности заданных чисел. К примеру, кажется очевидным, что иррациональное число в иррациональной степени есть иррациональное число. Однако это не всегда так. В качестве подтверждения озвученного факта приведем степень . Известно, что - иррациональное число, а также доказано, что - иррациональное число, но - рациональное число. Также можно привести примеры иррациональных чисел, сумма, разность, произведение и частное которых есть рациональные числа. Более того, рациональность или иррациональность чисел π+e , π−e , π·e , π π , π e и многих других до сих пор не доказана.

Список литературы.

• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Что такое иррациональные числа? Почему они так называются? Где они используются и что собой представляют? Немногие могут без раздумий ответить на эти вопросы. Но на самом деле ответы на них довольно просты, хоть нужны не всем и в очень редких ситуациях

Сущность и обозначение

Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические Необходимость введения этой концепции обусловлена тем, что для решения новых возникающих задач уже было недостаточно ранее имеющихся понятий действительных или вещественных, целых, натуральных и рациональных чисел. Например, для того, чтобы вычислить, квадратом какой величины является 2, необходимо использовать непериодические бесконечные десятичные дроби. Кроме того, многие простейшие уравнения также не имеют решения без введения концепции иррационального числа.

Это множество обозначается как I. И, как уже ясно, эти значения не могут быть представлены в виде простой дроби, в числителе которой будет целое, а в знаменателе -

Впервые так или иначе с этим явлением столкнулись индийские математики в VII веке когда было обнаружено, что квадратные корни из некоторых величин не могут быть обозначены явно. А первое доказательство существования подобных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу, который сделал это в процессе изучения равнобедренного прямоугольного треугольника. Серьезный вклад в изучение этого множества привнесли еще некоторые ученые, жившие до нашей эры. Введение концепции иррациональных чисел повлекло за собой пересмотр существовавшей математической системы, вот почему они так важны.

Происхождение названия

Если ratio в переводе с латыни - это "дробь", "отношение", то приставка "ир"
придает этому слову противоположное значение. Таким образом, название множества этих чисел говорит о том, что они не могут быть соотнесены с целым или дробным, имеют отдельное место. Это и вытекает из их сущности.

Место в общей классификации

Иррациональные числа наряду с рациональными относится к группе вещественных или действительных, которые в свою очередь относятся к комплексным. Подмножеств нет, однако различают алгебраическую и трансцендентную разновидность, о которых речь пойдет ниже.

Свойства

Поскольку иррациональные числа - это часть множества действительных, то к ним применимы все их свойства, которые изучаются в арифметике (их также называют основными алгебраическими законами).

a + b = b + a (коммутативность);

(a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность);

a + (-a) = 0 (существование противоположного числа);

ab = ba (переместительный закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивность);

a(b+c) = ab + ac (распределительный закон);

a x 1/a = 1 (существование обратного числа);

Сравнение также проводится в соответствии с общими закономерностями и принципами:

Если a > b и b > c, то a > c (транзитивность соотношения) и. т. д.

Разумеется, все иррациональные числа могут быть преобразованы с помощью основных арифметических действий. Никаких особых правил при этом нет.

Кроме того, на иррациональные числа распространяется действие аксиомы Архимеда. Она гласит, что для любых двух величин a и b справедливо утверждение, что, взяв a в качестве слагаемого достаточное количество раз, можно превзойти b.

Использование

Несмотря на то что в обычной жизни не так уж часто приходится сталкиваться с ними, иррациональные числа не поддаются счету. Их огромное множество, но они практически незаметны. Нас повсюду окружают иррациональные числа. Примеры, знакомые всем, - это число пи, равное 3,1415926..., или e, по сути являющееся основанием натурального логарифма, 2,718281828... В алгебре, тригонометрии и геометрии использовать их приходится постоянно. Кстати, знаменитое значение "золотого сечения", то есть отношение как большей части к меньшей, так и наоборот, также

относится к этому множеству. Менее известное "серебряное" - тоже.

На числовой прямой они расположены очень плотно, так что между любыми двумя величинами, отнесенными к множеству рациональных, обязательно встречается иррациональная.

До сих пор существует масса нерешенных проблем, связанных с этим множеством. Существуют такие критерии, как мера иррациональности и нормальность числа. Математики продолжают исследовать наиболее значительные примеры на предмет принадлежности их к той или иной группе. Например, считается, что е - нормальное число, т. е. вероятность появления в его записи разных цифр одинакова. Что же касается пи, то относительно его пока ведутся исследования. Мерой иррациональности же называют величину, показывающую, насколько хорошо то или иное число может быть приближено рациональными числами.

Алгебраические и трансцендентные

Как уже было упомянуто, иррациональные числа условно разделяются на алгебраические и трансцендентные. Условно, поскольку, строго говоря, эта классификация используется для деления множества C.

Под этим обозначением скрываются комплексные числа, которые включают в себя действительные или вещественные.

Итак, алгебраическим называют такое значение, которое является корнем многочлена, не равного тождественно нулю. Например, квадратный корень из 2 будет относиться к этой категории, поскольку он является решением уравнения x 2 - 2 = 0.

Все же остальные вещественные числа, не удовлетворяющие этому условию, называются трансцендентными. К этой разновидности относятся и наиболее известные и уже упомянутые примеры - число пи и основание натурального логарифма e.

Что интересно, ни одно, ни второе не были изначально выведены математиками в этом качестве, их иррациональность и трансцендентность были доказаны через много лет после их открытия. Для пи доказательство было приведено в 1882 году и упрощено в 1894, что положило конец спорам о проблеме квадратуры круга, которые длились на протяжении 2,5 тысяч лет. Оно до сих пор до конца не изучено, так что современным математикам есть над чем работать. Кстати, первое достаточно точное вычисление этого значения провел Архимед. До него все расчеты были слишком приблизительными.

Для е (числа Эйлера или Непера), доказательство его трансцендентности было найдено в 1873 году. Оно используется в решении логарифмических уравнений.

Среди других примеров - значения синуса, косинуса и тангенса для любых алгебраических ненулевых значений.

Множество всех натуральных чисел обозначают буквой N. Натуральные числа, это числа которые мы используем для счета предметов: 1,2,3,4, … В некоторых источниках, к натуральным числам относят также число 0.

Множество всех целых чисел обозначается буквой Z. Целые числа это все натуральные числа, нуль и отрицательные числа:

1,-2,-3, -4, …

Теперь присоединим к множеству всех целых чисел множество всех обыкновенных дробей: 2/3, 18/17, -4/5 и та далее. Тогда мы получим множество всех рациональных чисел.

Множество рациональных чисел

Множество всех рациональных чисел обозначается буквой Q. Множество всех рациональных чисел (Q) - это множество, состоящее из чисел вида m/n, -m/n и числа 0. В качестве n,m может выступать любое натуральное число. Следует отметить, что все рациональные числа, можно представить в виде конечной или бесконечной ПЕРЕОДИЧЕСКОЙ десятичной дроби. Верно и обратное, что любую конечную или бесконечную периодическую десятичную дробь можно записать в виде рационального числа.

А как же быть например с числом 2.0100100010… ? Оно является бесконечно НЕПЕРЕОДИЧСЕКОЙ десятичной дробью. И оно не относится к рациональным числам.

В школьном курсе алгебры изучаются только вещественные (или действительные) числа. Множество всех действительных чисел обозначается буквой R. Множество R состоит из всех рациональных и всех иррациональных чисел.

Понятие иррациональных чисел

Иррациональные числа - это все бесконечные десятичные непериодические дроби. Иррациональные числа не имеют специального обозначения.

Например, все числа полученные извлечением квадратного корня из натуральных чисел, не являющихся квадратами натуральных чисел - будут иррациональными. (√2, √3, √5, √6, и т.д.).

Но не стоит думать, что иррациональные числа получаются только извлечением квадратных корней. Например, число «пи» тоже является иррациональным, а оно получено делением. И как вы не старайтесь, вы не сможете получить его, извлекая квадратный корень из любого натурального числа.

Понимание чисел, особенно натуральных чисел, является одним из старейших математических "умений". Многие цивилизации, даже современные, приписывали числам некие мистические свойства ввиду их огромной важности в описании природы. Хотя современная наука и математика не подтверждают эти "волшебные" свойства, значение теории чисел неоспоримо.

Исторически сначала появилось множество натуральных чисел, затем довольно скоро к ним добавились дроби и положительные иррациональные числа. Ноль и отрицательные числа были введены после этих подмножеств множества действительных чисел. Последнее множество, множество комплексных чисел, появилось только с развитием современной науки.

В современной математике числа вводят не в историческом порядке, хотя и в довольно близком к нему.

Натуральные числа $\mathbb{N}$

Множество натуральных чисел часто обозначается как $\mathbb{N}=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, и часто его дополняют нулем, обозначая $\mathbb{N}_0$.

В $\mathbb{N}$ определены операции сложения (+) и умножения ($\cdot$) со следующими свойствами для любых $a,b,c\in \mathbb{N}$:

1. $a+b\in \mathbb{N}$, $a\cdot b \in \mathbb{N}$ множество $\mathbb{N}$ замкнуто относительно операций сложения и умножения
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ коммутативность
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ ассоциативность
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ дистрибутивность
5. $a\cdot 1=a$ является нейтральным элементом для умножения

Поскольку множество $\mathbb{N}$ содержит нейтральный элемент для умножения, но не для сложения, добавление нуля к этому множеству обеспечивает включение в него нейтрального элемента для сложения.

Кроме этих двух операций, на множестве $\mathbb{N}$ определены отношения "меньше" ($

1. $a b$ трихотомия
2. если $a\leq b$ и $b\leq a$, то $a=b$ антисимметрия
3. если $a\leq b$ и $b\leq c$, то $a\leq c$ транзитивность
4. если $a\leq b$, то $a+c\leq b+c$
5. если $a\leq b$, то $a\cdot c\leq b\cdot c$

Целые числа $\mathbb{Z}$

Примеры целых чисел:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Решение уравнения $a+x=b$, где $a$ и $b$ - известные натуральные числа, а $x$ - неизвестное натуральное число, требует введения новой операции - вычитания(-). Если существует натуральное число $x$, удовлетворяющее этому уравнению, то $x=b-a$. Однако, это конкретное уравнение не обязательно имеет решение на множестве $\mathbb{N}$, поэтому практические соображения требуют расширения множества натуральных чисел таким образом, чтобы включить решения такого уравнения. Это приводит к введению множества целых чисел: $\mathbb{Z}=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Поскольку $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}$, логично предположить, что введенные ранее операции $+$ и $\cdot$ и отношения $ 1. $0+a=a+0=a$ существует нейтральный элемент для сложения
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ существует противоположное число $-a$ для $a$

Свойство 5.:
5. если $0\leq a$ и $0\leq b$, то $0\leq a\cdot b$

Множество $\mathbb{Z} $ замкнуто также и относительно операции вычитания, то есть $(\forall a,b\in \mathbb{Z})(a-b\in \mathbb{Z})$.

Рациональные числа $\mathbb{Q}$

Примеры рациональных чисел:
$\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{5}{8}, \frac{10}{20}...$

Теперь рассмотрим уравнения вида $a\cdot x=b$, где $a$ и $b$ - известные целые числа, а $x$ - неизвестное. Чтобы решение было возможным, необходимо ввести операцию деления ($:$), и решение приобретает вид $x=b:a$, то есть $x=\frac{b}{a}$. Опять возникает проблема, что $x$ не всегда принадлежит $\mathbb{Z}$, поэтому множество целых чисел необходимо расширить. Таким образом вводится множество рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с элементами $\frac{p}{q}$, где $p\in \mathbb{Z}$ и $q\in \mathbb{N}$. Множество $\mathbb{Z}$ является подмножеством, в котором каждый элемент $q=1$, следовательно $\mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ и операции сложения и умножения распространяются и на это множество по следующим правилам, которые сохраняют все вышеперечисленные свойства и на множестве $\mathbb{Q}$:
$\frac{p_1}{q_1}+\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1}{q_1\cdot q_2}$
$\frac{p-1}{q_1}\cdot \frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1\cdot p_2}{q_1\cdot q_2}$

Деление вводится таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}:\frac{p_2}{q_2}=\frac{p_1}{q_1}\cdot \frac{q_2}{p_2}$

На множестве $\mathbb{Q}$ уравнение $a\cdot x=b$ имеет единственное решение для каждого $a\neq 0$ (деление на ноль не определено). Это значит, что существует обратный элемент $\frac{1}{a}$ or $a^{-1}$:
$(\forall a\in \mathbb{Q}\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac{1}{a})(a\cdot \frac{1}{a}=\frac{1}{a}\cdot a=a)$

Порядок множества $\mathbb{Q}$ можно расширить таким образом:
$\frac{p_1}{q_1}

Множество $\mathbb{Q}$ имеет одно важное свойство: между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, следовательно, не существует двух соседних рациональных чисел, в отличие от множеств натуральных и целых чисел.

Иррациональные числа $\mathbb{I}$

Примеры иррациональных чисел:
$0.333333...$
$\sqrt{2} \approx 1.41422135...$
$\pi \approx 3.1415926535...$

Ввиду того, что между любыми двумя рациональными числами находится бесконечно много других рациональных чисел, легко можно сделать ошибочный вывод, что множество рациональных чисел настолько плотное, что нет необходимости в его дальнейшем расширении. Даже Пифагор в свое время сделал такую ошибку. Однако, уже его современники опровергли этот вывод при исследовании решений уравнения $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) на множестве рациональных чисел. Для решения такого уравнения необходимо ввести понятие квадратного корня, и тогда решение этого уравнения имеет вид $x=\sqrt{2}$. Уравнение типа $x^2=a$, где $a$ - известное рациональное число, а $x$ - неизвестное, не всегда имеет решение на множестве рациональных чисел, и опять возникает необходимость в расширении множества. Возникает множество иррациональных чисел, и такие числа как $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$... принадлежат этому множеству.

Действительные числа $\mathbb{R}$

Объединением множеств рациональных и иррациональных чисел является множество действительных чисел. Поскольку $\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$, снова логично предположить, что введенные арифметические операции и отношения сохраняют свои свойства на новом множестве. Формальное доказательство этого весьма сложно, поэтому вышеупомянутые свойства арифметических операций и отношения на множестве действительных чисел вводятся как аксиомы. В алгебре такой объект называется полем, поэтому говорят, что множество действительных чисел является упорядоченным полем.

Для того, чтобы определение множества действительных чисел было полным, необходимо ввести дополнительную аксиому, различающую множества $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{R}$. Предположим, что $S$ - непустое подмножество множества действительных чисел. Элемент $b\in \mathbb{R}$ называется верхней границей множества $S$, если $\forall x\in S$ справедливо $x\leq b$. Тогда говорят, что множество $S$ ограничено сверху. Наименьшая верхняя граница множества $S$ называется супремум и обозначается $\sup S$. Аналогично вводятся понятия нижней границы, множества, ограниченного снизу, и инфинума $\inf S$ . Теперь недостающая аксиома формулируется следующим образом:

Любое непустое и ограниченное сверху подмножество множества действительных чисел имеет супремум.
Также можно доказать, что поле действительных чисел, определенное вышеуказанным образом, является единственным.

Комплексные числа$\mathbb{C}$

Примеры комплексных чисел:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ где $i = \sqrt{-1}$ или $i^2 = -1$

Множество комплексных чисел представляет собой все упорядоченные пары действительных чисел, то есть $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times \mathbb{R}$, на котором операции сложения и умножения определены следующим образом:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Существует несколько форм записи комплексных чисел, из которых самая распространенная имеет вид $z=a+ib$, где $(a,b)$ - пара действительных чисел, а число $i=(0,1)$ называется мнимой единицей.

Легко показать, что $i^2=-1$. Расширение множества $\mathbb{R}$ на множество $\mathbb{C}$ позволяет определить квадратный корень из отрицательных чисел, что и послужило причиной введения множества комплексных чисел. Также легко показать, что подмножество множества $\mathbb{C}$, заданное как $\mathbb{C}_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb{R}\rbrace$, удовлетворяет всем аксиомам для действительных чисел, следовательно $\mathbb{C}_0=\mathbb{R}$, или $R\subset\mathbb{C}$.

Алгебраическая структура множества $\mathbb{C}$ относительно операций сложения и умножения имеет следующие свойства:
1. коммутативность сложения и умножения
2. ассоциативность сложения и умножения
3. $0+i0$ - нейтральный элемент для сложения
4. $1+i0$ - нейтральный элемент для умножения
5. умножение дистрибутивно по отношению к сложению
6. существует единственный обратный элемент как для сложения, так и для умножения.

Не все действия, рассматриваемые в алгебре, выполнимы в поле рациональных чисел. Примером может служить операция извлечения квадратного корня. Так, если равенство выполняется при значениях , то равенство не имеет места ни при каком рациональном значении Докажем это. Сначала заметим, что целое не может иметь квадрата, равного 2: при имеем а при заведомо больше 2. Предположим теперь, что дробное: (дробь считается несократимой) и

Отсюда имеем должно быть четным числом (иначе квадрат не был бы четным). Положим .

Теперь получается, что и - четное, что противоречит допущению о несократимости дроби

Это показывает, что в области рациональных чисел из числа 2 нельзя извлечь квадратный корень, символ не имеет смысла в области рациональных чисел. Между тем задача: «найти сторону квадрата, зная, что площадь его равна S» - столь же естественна при как и при Выход из этого и других подобных затруднений состоит в дальнейшем расширении понятия числа, во введении нового вида чисел - иррациональных чисел.

Покажем, как вводятся иррациональные числа на примере задачи извлечения квадратного корня из числа 2; для простоты ограничимся положительным значением корня.

Для каждого положительного рационального числа будет иметь место одно из неравенств или Очевидно, что . Рассматриваем затем числа и находим два соседних среди них с тем свойством, что первое имеет квадрат, меньший двух, а второе - больший двух. Именно, Аналогично, продолжая этот процесс, получим ряд неравенств (для получения десятичных дробей, написанных здесь, можно также использовать известный алгоритм приближенного извлечения квадратного корня, п. 13):

Сопоставляя сначала целые части, а затем первые, вторые, третьи и т. д. цифры после запятой у рациональных чисел, между квадратами которых лежит 2, мы можем последовательно выписать эти десятичные знаки:

Процесс отыскания пар рациональных чисел (выраженных конечными десятичными дробями), отличающихся друг от друга на со все большим m может быть продолжен неограниченно. Поэтому можно рассматривать дробь (6.1) как бесконечную десятичную дробь (непериодическую, так как в случае периодичности она представляла бы рациональное число).

Эта бесконечная непериодическая дробь, любое число десятичных знаков которой мы можем выписать, но для которой нельзя осуществить записи одновременно всех знаков, и принимается за число, равное (т. е. за число, квадрат которого равен 2).

Отрицательное значение корня квадратного из двух мы представим в виде

или, пользуясь искусственной формой записи чисел, в виде

Введем теперь следующее определение: иррациональным числом называется всякая бесконечная непериодическая десятичная дробь

где а - делая часть числа (она может быть положительной, равной нулю или отрицательной), а - десятичные знаки (цифры) его дробной части.

Заданное бесконечной непериодической дробью иррациональное число определяет две последовательности конечных десятичных дробей, называемых десятичными приближениями а по недостатку и по избытку:

Например, для запишем

и т. д. Здесь, например, 1,41 - десятичное приближение с точностью до 0,01 по недостатку, а 1,42 - по избытку.

Запись неравенств между иррациональным числом и его десятичными приближениями входит в самое определение понятия иррационального числа и может быть положена в основу определения соотношений «больше» и «меньше» для иррациональных чисел.

Возможность представления иррациональных чисел их все более и более точными десятичными приближениями лежит также в основе определения арифметических действий над иррациональными числами, которые фактически производятся над их иррациональными приближениями по недостатку или по избытку.

К иррациональным числам приводят многие действия, как, например, действие извлечения корня степени из рационального числа (если оно не представляет собой степень другого рационального числа), логарифмирование и т. д. Иррациональным является число , равное отношению длины окружности к ее диаметру (п. 229).

Все рациональные и иррациональные числа образуют в совокупности множество действительных (или вещественных) чисел. Таким образом, всякая десятичная дробь, конечная или бесконечная (периодическая или непериодическая), всегда определяет действительное число.

Всякое отличное от нуля действительное число либо положительно, либо отрицательно.

Напомним в связи с этим следующее определение. Абсолютной величиной или модулем действительного числа а называется число определяемое равенствами а, если

Таким образом, модуль неотрицательного числа равен самому этому числу (верхняя строка равенства); модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с противоположным знаком (нижняя строка). Так, например,

Из определения модуля следует, что модуль любого числа есть число неотрицательное; если модуль числа равен нулю, то и само число равно нулю, в остальных случаях модуль положителен.

Действительные числа образуют числовое поле - поле действительных чисел: результат рациональных действий над действительными числами снова выражается действительным числом. Заметим, что взятые в отдельности иррациональные числа не образуют ни поля, нидаже кольца: например, сумма двух иррациональных чисел равна рациональному числу 3.

Наш краткий очерк развития понятия о числе, построенный по схеме

мы заключим указанием на наиболее важные свойства совокупности действительных чисел.

1. Действительные числа образуют поле.

2. Действия над действительными числами подчинены обычным законам (например, сложение и умножение - законам коммутативности, ассоциативности, дистрибутивности, п. 1).

3. Для любых двух действительных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех соотношений: а больше b (а > b), а меньше , а равно . Говорят поэтому, что множество действительных чисел упорядочено.

4. Принято, наконец, говорить, что множество действительных чисел обладает свойством непрерывности. Смысл, который придается этому выражению, пояснен в п. 8. Именно это свойство существенно отличает поле действительных чисел от поля рациональных чисел.