Шпаргалка: Действительные числа Иррациональные и тригонометрический уравнения.

Ответ : х = 3.

8 метод. Применение производной при решении иррациональных уравнений

Чаще всего при решении уравнений с помощью метода применения производной используется метод оценки.

ПРИМЕР 15:

Решите уравнение: (1)

Решение: Так как https://pandia.ru/text/78/021/images/image122_1.gif" width="371" height="29">, или (2). Рассмотрим функцию ..gif" width="400" height="23 src=">.gif" width="215" height="49"> при всех и, следовательно, возрастает. Поэтому уравнение равносильно уравнению , имеющему корень , являющимся корнем исходного уравнения.

Ответ:

ПРИМЕР 16:

Решить иррациональное уравнение:

Область определения функции есть отрезок . Найдем наибольшее и наименьшее значение значения этой функции на отрезке . Для этого найдем производную функции f(x) : https://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37 height=19" height="19">. Найдем значения функции f(x) на концах отрезка и в точке : Значит, Но и, следовательно, равенство возможно лишь при условииhttps://pandia.ru/text/78/021/images/image136_1.gif" width="37" height="19 src=">. Проверка показывает, что число 3 – корень данного уравнения.

Ответ: х = 3.

9 метод. Функциональный

На экзаменах иногда предлагают решить уравнения, которые можно записать в виде , где - это некоторая функция.

Например, некоторые уравнения: 1) 2) . Действительно, в первом случае , во втором случае . Поэтому решать иррациональные уравнения с помощью следующего утверждения: если функция строго возрастает на множестве Х и для любого , то уравнения и т. д. равносильны на множестве Х .

Решить иррациональное уравнение: https://pandia.ru/text/78/021/images/image145_1.gif" width="103" height="25"> строго возрастает на множестве R, и https://pandia.ru/text/78/021/images/image153_1.gif" width="45" height="24 src=">..gif" width="104" height="24 src="> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему уравнение (1) также имеет единственный корень

Ответ: х = 3.

ПРИМЕР 18:

Решить иррациональное уравнение: (1)

В силу определения квадратного корня получаем, что если уравнение (1) имеет корни, то они принадлежат множеству https://pandia.ru/text/78/021/images/image159_0.gif" width="163" height="47">. (2)

Рассмотрим функцию https://pandia.ru/text/78/021/images/image147_1.gif" width="35" height="21"> строго возрастает на этом множестве для любого ..gif" width="100" height="41"> которое имеет единственный корень Следовательно, и равносильное ему на множестве Х уравнение (1) имеет единственный корень

Ответ: https://pandia.ru/text/78/021/images/image165_0.gif" width="145" height="27 src=">

Решение: Данное уравнение равносильно смешанной системе

Действительные числа. Приближение действительных чисел конечными десятичными дробями.

Веще́ственное, или действи́тельное число - математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение алгебраических уравнений . Если натуральные числа возникли в процессе счета, рациональные - из потребности оперировать частями целого, то вещественные числа предназначены для измерения непрерывных величин. Таким образом, расширение запаса рассматриваемых чисел привело к множеству вещественных чисел, которое помимо чисел рациональных включает также другие элементы, называемые иррациональными числами .

Абсолютная погрешность и её граница.

Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено , считается точным, тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой ) понимают разность между точным и приближенным значением числовой величины: . Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность. Абсолютной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: Относительная погрешность и её граница.

Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности. Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения.

Иррациональные уравнения

Уравнение, в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными. При решении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому, например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство. В самом деле, неверное равенство при возведении в квадрат даёт верное равенство 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Возведём обе части этого уравнения в квадрат; После преобразований приходим к квадратному уравнению; и подставим.

Комплексные числа. Действия над комплексными числами.

Ко́мпле́ксные чи́сла - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма x + iy , где x и y - вещественные числа, i - мнимая единица Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле - это означает, что многочлен степени n с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней, то есть верна основная теорема алгебры. Это одна из основных причин широкого применения комплексных чисел в математических исследованиях. Кроме того, применение комплексных чисел позволяет удобно и компактно сформулировать многие математические модели, применяемые в математической физике и в естественных науках - электротехнике, гидродинамике, картографии, квантовой механике, теории колебаний и многих других.

Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части).

Сложение (a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d ) i .

Вычитание (a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d ) i .

Умножение

Числовая функция. Способы задания функции

В математике числовая функция - это функция, области определения и значений которой являются подмножествами числовых множеств - как правило, множества действительных чисел или множества комплексных чисел .

Словесный: С помощью естественного языка Игрек равно целая часть от икс. Аналитический: С помощью аналитической формулы f (x ) = x !

Графический С помощью графика Фрагмент графика функции .

Табличный: С помощью таблицы значений

Основные свойства функции

1) Область определения функции и область значений функции . Область определения функции x (переменной x ), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции y , которые принимает функция. В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции ) Монотонность функции . Возрастающая функция Убывающая функция . Четная функция х f (-x) = f (x). Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f (-x) = - f (x . Функция называется ограниченной неограниченная .7) Периодическость функции . Функция f (x) - периодическая периодом функции

Графики функций. Простейшие преобразования графиков функцией

График функции - множество точек, у которых абcциссы являются допустимыми значениями аргумента x , а ординаты - соответствующими значениями функции y .

Прямая линия - график линейной функции y = ax + b . Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Парабола - график функции квадратного трёхчлена у = ах 2 + bх + с . Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +с =0

Гипербола - график функции . При а > О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а > 0) или у - х (а < 0).

Логарифмическая функция y = log a x (a > 0)

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис. 19). Эта кривая называется синусоидой .

График функции y = cos x представлен на рис. 20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на /2.

Основные свойства функций. Монотонность, четность, нечетность, периодичность функций.

Область определения функции и область значений функции . Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f (x) определена.

Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.2) Нуль функции - такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.3) Промежутки знакопостоянства функции - такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.5) Четность (нечетность) функции . Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f (-x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f (-x) = - f (x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.6) Ограниченная и неограниченная функции . Функция называется ограниченной , если существует такое положительное число M, что |f (x) | ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная .7) Периодическость функции . Функция f (x) - периодическая , если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f (x+T) = f (x). Такое наименьшее число называется периодом функции . Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

Периодические функции. Правила нахождения основного периода функции.

Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то ненулевой период, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода). Все тригонометрические функции являются периодическими. Являются неверными утверждения относительно суммы периодических функций: Сумма 2 функций с соизмеримыми (даже основными) периодами T 1 и T 2 является функция с периодом НОК (T 1 ,T 2). Сумма 2 непрерывных функций с несоизмеримыми (даже основными) периодами является непериодической функцией. Не существует периодических функций, не равных константе, у которой периодами являются несоизмеримые числа.

Построение графиков степенных функций.

Степенная функция. Это функция: y = ax n , где a, n - постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность : y = ax ; при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу . Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a , т. e. её график - прямая линия, параллельная оси Х , исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Обратная функция

Обра́тная фу́нкция - функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Функция является обратной к функции , если выполнены следующие тождества: для всех для всех

Предел функции в точке. Основные свойства предела.

Корень n-ой степени и его свойства.

Корнем n-ой степени из числа a называется такое число, n-ая степень которого равна a.

Определение: Арифметическим корнем n-ой степени из числа a называют неотрицательное число, n-ая степень которого равна a.

Основные свойства корней:

Степень с произвольным действительным показателем и его свойства.

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число - основанием степени, число - показателем степени.

По определению полагают:

Если и - положительные числа, и - любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

.

.

Степенная функции, её свойства и графики

Степенная функция комплексного переменного f (z ) = z n с целочисленным показателем определяется с помощью аналитического продолжения аналогичной функции вещественного аргумента. Для этого применяется показательная форма записи комплексных чисел. степенная функция с целочисленным показателем является аналитической во всей комплексной плоскости, как произведение конечного числа экземпляров тождественного отображения f (z ) = z . Согласно теореме единственности эти два признака достаточны для единственности полученного аналитического продолжения. Пользуясь таким определением, можно сразу сделать вывод о том, что степенная функция комплексного переменного обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога.

Это функция вида , . Рассматриваются такие случаи:

а). Если , то . Тогда , ; если число - чётное, то и функция - чётная (то есть при всех ); если число - нечётное, то и функция - нечётная (то есть при всех ).

Показательная функция, её свойства и графики

Показательная функция - математическая функция .

В вещественном случае основание степени - некоторое неотрицательное вещественное число, а аргументом функции является вещественный показатель степени.

В теории комплексных функций рассматривается более общий случай, когда аргументом и показателем степени может быть произвольное комплексное число.

В самом общем виде - u v , введена Лейбницем в 1695 г.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Свойства ; ; .

Показательные уравнения.

Перейдем непосредственно к показательным уравнениям. Для того чтобы решить показательное уравнение необходимо воспользоваться следующей теоремой: Если степени равны и основания равны, положительны и отличны от единицы, то равны и их показатели степеней. Докажем эту теорему: Пусть a>1 и a х =a y .

Докажем, что в этом случае х=y. Допустим противное тому, что требуется доказать, т.е. допустим, что x>у или что x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Оба эти результата противоречат условию теоремы. Следовательно, x=у, что и требовалось доказать.

Определение 1 . Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения. Конец отрезка, лежащий на данной прямой, называется основанием перпендикуляра.

Определение 2 . Наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий данную точку с любой точкой прямой, неявляющейся основанием перпендикуляра, опущенного из этой же точки на данную прямую. AB - перпендикуляр к плоскости α.

AC - наклонная, CB - проекция.

С - основание наклонной, B - основание перпендикуляра.

Угол между прямой и плоскостью.

Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Двугранный угол.

Двугранный угол - пространственная геометрическая фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Полуплоскости называются гранями двугранного угла, а их общая прямая - ребром . Двугранные углы измеряются линейным углом, то есть углом, образованным пересечением двугранного угла с плоскостью, перпендикулярной к его ребру. У всякого многогранника, правильного или неправильного, выпуклого или вогнутого, есть двугранный угол на каждом ребре.

Перпендикулярность двух плоскостей.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

1.1 Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения часто встречаются на вступительных экзаменах по математике, так как с их помощью легко диагностируется знание таких понятий, как равносильные преобразования, область определения и другие. Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. Эквивалентность не нарушается при возведении обеих частей в нечетную степень. В противном случае требуется проверка найденных решений или оценка знака обеих частей уравнения. Но существуют и другие приемы, которые могут оказаться более эффективными при решении иррациональных уравнений. Например, метод тригонометрической подстановки.

Пример 1. Решите уравнение

Так как , то . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

Положим , где , тогда

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

Так как , то . Значит, , поэтому можно раскрыть модуль

.

Ответ: .

Решение уравнения алгебраическим способом требует хорошего навыка проведения тождественных преобразований и грамотного обращения с равносильными переходами. Но в общем оба приема решения равноценны.

Пример 2. Решите уравнение

.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Область определения уравнения задается неравенством , что равносильно условию , тогда . Поэтому можно положить . Уравнение примет вид

Так как , то . Раскроем внутренний модуль

Положим , тогда

.

Условию удовлетворяют два значения и .

.

.

Ответ: .

Алгебраическое решение

.

Возведем в квадрат уравнение первой системы совокупности, получим

Пусть , тогда . Уравнение перепишется в виде

Проверкой устанавливаем, что – корень, тогда делением многочлена на двучлен получаем разложение правой части уравнения на множители

От переменной перейдем к переменной , получим

.

Условию удовлетворяют два значения

.

Подставив эти значения в исходное уравнение, получаем, что – корень.

Решая аналогично уравнение второй системы исходной совокупности, находим, что тоже корень.

Ответ: .

Если в предыдущем примере алгебраическое решение и решение с помощью тригонометрической подстановки были равноценны, то в данном случае решение подстановкой выгоднее. При решении уравнения средствами алгебры приходится решать совокупность из двух уравнений, то есть дважды возводить в квадрат. После этого неравносильного преобразования получаются два уравнения четвертой степени с иррациональными коэффициентами, избавиться от которых помогает замена. Еще одна трудность – проверка найденных решений подстановкой в исходное уравнение.

Пример 3. Решите уравнение

.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как , то . Заметим, что отрицательное значение неизвестного не может быть решением задачи. Действительно, преобразуем исходное уравнение к виду

.

Множитель в скобках в левой части уравнения положительный, правая часть уравнения тоже положительная, поэтому множитель в левой части уравнения не может быть отрицательным. Вот почему , тогда , поэтому можно положить Исходное уравнение перепишется в виде

Так как , то и . Уравнение примет вид

Пусть . Перейдем от уравнения к равносильной системе

.

Числа и являются корнями квадратного уравнения

.

Алгебраическое решение Возведем обе части уравнения в квадрат

Введем замену , тогда уравнение запишется в виде

Второй корень является лишним, поэтому рассмотрим уравнение

.

Так как , то .

В данном случае алгебраическое решение в техническом плане проще, но рассмотреть приведенное решение с помощью тригонометрической подстановки следует обязательно. Это связано, во-первых, с нестандартностью самой подстановки, которая разрушает стереотип, что применение тригонометрической подстановки возможно лишь, когда . Оказывается, если тригонометрическая подстановка тоже находит применение. Во-вторых, представляет определенную трудность решение тригонометрического уравнения , которое сводится введением замены к системе уравнений. В определенном смысле эту замену тоже можно считать нестандартной, а знакомство с ней позволяет обогатить арсенал приемов и методов решения тригонометрических уравнений.

Пример 4. Решить уравнение

.

Решение с помощью тригонометрической подстановки

Так как переменная может принимать любые действительные значения, положим . Тогда

,

Так как .

Исходное уравнение с учетом проведенных преобразований примет вид

Так как , поделим обе части уравнения на , получим

Пусть , тогда . Уравнение примет вид

.

Учитывая подстановку , получим совокупность из двух уравнений

.

Решим каждое уравнение совокупности по отдельности.

.

Не может быть значением синуса, так как для любых значений аргумента.

.

Так как и правая часть исходного уравнения положительна, то . Из чего следует, что .

Это уравнение корней не имеет, так как .

Итак, исходное уравнение имеет единственный корень

.

Алгебраическое решение

Данное уравнение легко «превратить» в рациональное уравнение восьмой степени возведением обеих частей исходного уравнения в квадрат. Поиск корней получившегося рационального уравнения затруднен, и необходимо обладать высокой степенью изобретательности, чтобы справиться с задачей. Поэтому целесообразно знать иной способ решения, менее традиционный. Например, подстановку , предложенную И. Ф. Шарыгиным .

Положим , тогда

Преобразуем правую часть уравнения :

С учетом преобразований уравнение примет вид

.

Введем замену , тогда

.

Второй корень является лишним, поэтому , а .

Если заранее не известна идея решения уравнения , то решать стандартно возведением обеих частей уравнения в квадрат проблематично, так как в результате получается уравнение восьмой степени , найти корни которого чрезвычайно сложно. Решение с помощью тригонометрической подстановки выглядит громоздким. Могут возникнуть трудности с поиском корней уравнения , если не заметить, что оно является возвратным. Решение указанного уравнения происходит с применением аппарата алгебры, поэтому можно сказать, что предложенное решение является комбинированным. В нем сведения из алгебры и тригонометрии работают совместно на одну цель – получить решение. Также решение указанного уравнения требует аккуратного рассмотрения двух случаев. Решение заменой технически проще и красивее, чем с помощью тригонометрической подстановки. Желательно, чтобы учащиеся знали такой способ замены и применяли его для решения задач.

Подчеркнем, что применение тригонометрической подстановки для решения задач должно быть осознанным и оправданным. Использовать подстановку целесообразно в тех случаях, когда решение другим способом сложнее или вовсе невозможно. Приведем еще один пример, который, в отличие от предыдущего, проще и быстрее решается стандартным способом.