Урок "пересечение и объединение множеств". Нахождение пересечения и объединения числовых множеств, что такое пересечение множеств

Решение некоторых математических задач заставляет находить пересечение и объединение числовых множеств . Мы уже познакомились с принятыми обозначениями числовых множеств , а в этой статье мы тщательно и на примерах разберемся с нахождением пересечения и объединения числовых множеств. Эти навыки пригодятся, в частности, в процессе решения неравенств с одной переменной и их систем.

Навигация по странице.

Простейшие случаи

Под простейшими случаями мы будем понимать нахождение пересечения и объединения числовых множеств, являющихся набором отдельных чисел. В этих случаях достаточно использовать определения пересечения и объединения множеств .

Напомним, что

Определение.

объединением двух множеств является множество, каждый элемент которого является элементом какого-либо из исходных множеств, а пересечением множеств называется множество, состоящее из всех общих элементов исходных множеств.

Из данных определений несложно получить следующие правила нахождения пересечения и объединения множеств:

Для того чтобы составить объединение двух числовых множеств, содержащих конечное число элементов, нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из второго.
Для того чтобы составить пересечение двух числовых множеств, надо последовательно брать элементы первого множества и проверять, принадлежат ли они второму множеству, те из них, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Действительно, полученное по первому правилу множество будет состоять из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из исходных множеств, поэтому будет объединением этих множеств по определению. А множество, составленное по второму правилу, будет содержать все общие элементы исходных множеств, то есть, будет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим на конкретных примерах применение озвученных правил для нахождения пересечения и объединения множеств.

Например, пусть нужно найти объединение числовых множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Записываем все элементы, например, множества A , имеем 3 , 5 , 7 , 12 , и к ним добавляем недостающие элементы множества B , то есть, 2 , 8 , 11 и 13 , в результате имеем числовое множество {3, 5, 7, 12, 2, 8, 11, 13} . Не помешает упорядочить элементы полученного множества, в итоге получаем искомое объединение: A∪B={2, 3, 5, 7, 8, 11, 12, 13} .

Теперь найдем пересечение двух числовых множеств из предыдущего примера A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} . Согласно правилу, будем последовательно перебирать элементы первого множества A и проверять, входят ли они во множество B . Берем первый элемент 3 , он не принадлежит множеству B , следовательно, он не будет и элементом искомого пересечения. Берем второй элемент множества A , это число 5 . Оно принадлежит множеству B , поэтому принадлежит и пересечению множеств A и B . Так найден первый элемент искомого пересечения – число 5 . Переходим к третьему элементу множества A , это число 7 . Оно не принадлежит B , значит, не принадлежит и пересечению. Наконец, остался последний элемент множества A – число 12 . Оно принадлежит множеству B , следовательно, оно является и элементом пересечения. Итак, пересечение множеств A={3, 5, 7, 12} и B={2, 5, 8, 11, 12, 13} – это есть множество, состоящее из двух элементов 5 и 12 , то есть, A∩B={5, 12} .

Как Вы заметили, выше мы говорили о нахождении пересечения и объединения двух числовых множеств. Что же касается пересечения и объединения трех и большего числа множеств, то его нахождение можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы найти пересечение трех множеств A , B и D можно сначала найти пересечение A и B , после чего найти пересечение полученного результата с множеством D . А теперь конкретно: возьмем числовые множества A={3, 9, 4, 3, 5, 21} , B={2, 7, 9, 21} и D={7, 9, 1, 3} и найдем их пересечение. Имеем A∩B={9, 21} , а пересечение полученного множества с множеством D есть {9} . Таким образом, A∩B∩D={9} .

Однако на практике для нахождения пересечения трех, четырех и т.д. простейших числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, удобно использовать правила, схожие с указанными выше правилами.

Так, чтобы получить объединение трех и большего числа множеств указанного типа, надо к числам первого числового множества добавить недостающие числа второго, к записанным числам добавляем недостающие числа третьего множества и так далее. Чтобы пояснить этот момент возьмем числовые множества A={1, 2} , B={2, 3} и D={1, 3, 4, 5} . К элементам 1 и 2 числового множества A добавляем недостающее число 3 множества B , получаем 1 , 2 , 3 , и к этим числам добавляем недостающие числа 4 и 5 множества D , в итоге получаем нужное нам объединение трех множеств: A∪B∪C={1, 2, 3, 4, 5} .

Что же касается нахождения пересечения трех, четырех и т.д. числовых множеств, состоящих из конечного числа отдельных чисел, нужно последовательно перебрать числа первого множества и проверять, принадлежит ли проверяемое число каждому из остальных множеств. Если да, то это число является элементом пересечения, если нет – то не является. Здесь лишь заметим, что целесообразно в качестве первого брать множество с наименьшим числом элементов. В качестве примера возьмем четыре числовых множества A={3, 1, 7, 12, 5, 2} , B={1, 0, 2, 12} , D={7, 11, 2, 1, 6} , E={1, 7, 15, 8, 2, 6} и найдем их пересечение. Очевидно, множество B содержит меньше всего элементов, поэтому для нахождения пересечения исходных четырех множеств будем брать элементы множестваB и проверять, входят ли они в остальные множества. Итак, берем 1 , это число является элементами и множества A , и D и E , так что это первый элемент искомого пересечения. Берем второй элемент множества B – это нуль. Это число не является элементом множества A , поэтому не будет является и элементом пересечения. Проверяем третий элемент множества B – число 2 . Это число является элементом всех остальных множеств, поэтому, является вторим найденным элементом пересечения. Наконец, остается четвертый элемент множества B . Это число 12 , оно не является элементом множества D , поэтому, не является и элементом искомого пересечения. В итоге имеем A∩B∩D∩E={1, 2} .

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

В нашем примере имеем записи

И

для пересечения и объединения числовых множеств соответственно.

Дальше изображают еще одну координатную прямую, ее удобно расположить под уже имеющимися. На ней будет изображаться искомое пересечение или объединение. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств. При этом эти точки сначала отмечают черточками, позже, когда будет выяснен характер точек с этими координатами, черточки будут заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем случае это точки с координатами −3 и 7 .
Имеем

и

Точки, изображенные на нижней координатной прямой на предыдущем шаге алгоритма, позволяют рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек, о чем мы говорили в . В нашем случае координатную прямую рассматриваем как набор следующих пяти числовых множеств: (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) .

И остается лишь по очереди проверить вхождение каждого из записанных множеств в искомое пересечение или объединение. Все сделанные выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: если промежуток входит в пересечение или объединение, то над ним изображается штриховка, если точка входит в пересечение или объединение, то обозначающий ее штрих заменяем на сплошную точку, если не входит – то делаем ее выколотой. При этом следует придерживаться следующих правил:

промежуток включается в пересечение, если он одновременно включен и в множество A , и в множество B (другими словами, если есть штриховка над этим промежутком над обеими верхними координатными прямыми, отвечающими множествам A и B );
точка включается в пересечение, если она одновременно входит и в множество A , и в множество B (другими словами, если эта точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обеих числовых множеств A и B );
промежуток входит в объединение, если он входит хотя бы в одно из множеств A или B (иными словами, если есть штриховка над этим промежутком хотя бы над одной из координатных прямых, отвечающих множествам A и B );
точка входит в объединение, если она входит хотя бы в одно из множеств A или B (другими словами, если эта точка невыколотая или внутренняя точка какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B ).

Проще говоря, пересечение числовых множеств A и B представляет собой объединение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно есть штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих одновременно и A , и B . А объединение двух числовых множеств есть объединение всех числовых промежутков, над которыми есть штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

Возвращаемся к нашему примеру. Закончим нахождение пересечения множеств. Для этого последовательно будем проверять множества (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) . Начинаем с (−∞, −3) , для наглядности выделим его на чертеже:

Этот промежуток не включаем в искомое пересечение, так как он не включен ни в A , ни в B (над этим промежутком нет штриховки). Так на этом шаге ничего на нашем чертеже не отмечаем и он сохраняет свой начальный вид:

Переходим к следующему множеству {−3} . Число −3 принадлежит множеству B (это невыколотая точка), но очевидно не принадлежит множеству A , поэтому не принадлежит и искомому пересечению. Поэтому на нижней координатной прямой делаем точку с координатой −3 выколотой:

Проверяем следующее множество (−3, 7) .

Оно входит в множество B (над этим интервалом есть штриховка), но не входит в множество A (над этим интервалом нет штриховки), поэтому, не будет входить и в пересечение. Следовательно, на нижней координатной прямой ничего не отмечаем:

Переходим к множеству {7} . Оно включено в множество B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [−3, +∞)) , но не включено в множество A (эта точка выколотая), поэтому оно не будет включено и в искомое пересечение. Отмечаем точку с координатой 7 как выколотую:

Остается проверить промежуток (7, +∞) .

Он входит и в множество A , и в множество B (над этим промежутком есть штриховка), поэтому входит и в пересечение. Ставим штриховку над этим промежутком:

В результате на нижней координатной прямой мы получили изображение искомого пересечения множеств A=(7, +∞) и B=[−3, +∞) . Очевидно, оно представляет собой множество всех действительных чисел, больших семи, то есть, A∩B=(7, +∞) .

Теперь найдем объединение множеств A и B . Начинаем последовательную проверку множеств (−∞, −3) , {−3} , (−3, 7) , {7} , (7, +∞) на предмет их включения в искомое объединение двух числовых множеств A и B .

Первое множество (−∞, −3) не входит ни в A , ни в B (над этим промежутком нет штриховки), поэтому это множество не будет входить и в искомое объединение:

Множество {−3} входит в множество B , поэтому будет входить и в объединение множеств A и B :

Интервал (−3, 7) тоже входит в B (есть штриховка над этим интервалом), следовательно, он будет составной частью искомого объединения:

Множество {7} тоже будет входить в искомое объединение, так как оно входит в числовое множество B :

Наконец, (7, +∞) входит и в множество A , и в множество B , следовательно, будет входить и в искомое объединение:

По полученному изображению объединения множеств A и B заключаем, что A∩B=[−3, +∞) .

Получив некоторый практический опыт, проверку вхождения отдельных промежутков и чисел в состав пересечения или объединения можно будет проводить устно. Благодаря этому, Вы сможете очень быстро записывать результат. Покажем, как будет выглядеть решение примера, если не давать пояснения.

Пример.

Найдите пересечение и объединение множеств A=(−∞, −15)∪{−5}∪∪{12} и B=(−20, −10)∪{−5}∪(2, 3)∪{17} .

Решение.

Изобразим данные числовые множества на координатных прямых, это позволит нам получить изображения их пересечения и объединения:

Ответ:

A∩B=(−20, −15)∪{−5}∪(2, 3) и A∪B=(−∞, −10)∪{−5}∪∪{12, 17} .

Понятно, что при должном понимании озвученный выше алгоритм можно оптимизировать. Например, при нахождении пересечения множеств нет необходимости в проверке всех промежутков и множеств, состоящих их отдельных чисел, на которые разбивают координатную прямую граничные точки исходных множеств. Можно ограничиться проверкой лишь тех промежутков и чисел, которые составляют множество A или B . Остальные промежутки все равно не будут входить в пересечение, так как не принадлежат одному из исходных множеств. Проиллюстрируем сказанное, разобрав решение примера.

Пример.

Каково пересечение числовых множеств A={−2}∪(1, 5) и B=[−4, 3] ?

Решение.

Построим геометрические образы числовых множеств A и B :

Граничные точки заданных множеств разбивают числовую прямую на следующие множества: (−∞, −4) , {−4} , (−4, −2) , {−2} , (−2, 1) , {1} , (1, 3) , {3} , (3, 5) , {5} , (5, +∞) .

Несложно заметить, что числовое множество A можно «собрать» из только что записанных множеств, объединив {−2} , (1, 3) , {3} и (3, 5) . Для нахождения пересечения множеств A и B достаточно проверить, включены ли последние множества в множество B . Те из них, которые включены в B , и будут составлять искомое пересечение. Выполним соответствующую проверку.

Очевидно, {−2} входит в множество B (так как точка с координатой −2 является внутренней точкой отрезка [−4, 3]) . Интервал (1, 3) тоже входит в B (над ним есть штриховка). Множество {3} также входит в B (точка с координатой 3 является граничной и невыколотой множества B ). А интервал (3, 5) не входит в числовое множество B (над ним нет штриховки). Отметив сделанные выводы на чертеже, он примет такой вид

Таким образом, искомое пересечение двух исходных числовых множеств A и B представляет собой объединение следующих множеств {−2} , (1, 3) , {3} , которое можно записать как {−2}∪(1, 3] .

Ответ:

{−2}∪(1, 3] .

Остается лишь обговорить, как находить пересечение и объединение трех и большего количества числовых множеств. Эту задачу можно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств: сначала первого со вторым, дальше полученного результата с третьим, дальше полученного результата с четвертым и так далее. А можно использовать алгоритм, аналогичный уже озвученному. Единственное его отличие в том, что проверку вхождения промежутков и множеств, состоящих из отдельных чисел, нужно проводить не по двум, а по всем исходным множествам. Рассмотрим пример нахождения пересечения и объединения трех множеств.

Пример.

Найдите пересечение и объединение трех числовых множеств A=(−∞, 12] , B=(−3, 25] , D=(−∞, 25)∪{40} .

Решение.

Сначала, как обычно, изображаем числовые множества на координатных прямых, и ставим слева от них фигурную скобку, обозначающую пересечение, и квадратную скобку для объединения, а снизу изображаем координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Так координатная прямая оказывается представлена числовыми множествами (−∞, −3) , {−3} , (−3, 12) , {12} , (12, 25) , {25} , (25, 40) , {40} , (40, ∞) .

Начинаем поиск пересечения, для этого по очереди смотрим, входят ли записанные множества в каждое из множеств A , B и D . Во все три исходных числовых множества входит интервал (−3, 12) и множество {12} . Они и составляют искомое пересечение множеств A , B и D . Имеем A∩B∩D=(−3, 12] .

В свою очередь искомое объединение будут составлять множества (−∞, −3) (входит в A ), {−3} (входит в A ), (−3, 12) (входит в A ), {12} (входит в A ), (12, 25) (входит в B ), {25} (входит в B ) и {40} (входит в D ). Таким образом, A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

Ответ:

A∩B∩D=(−3, 12] , A∪B∪D=(−∞, 25]∪{40} .

В заключение заметим, что пересечение числовых множеств частенько является пустым множеством. Это отвечает случаям, когда исходные множества не имеют элементов, одновременно принадлежащих всем им.

(10, 27) , {27} , (27, +∞) . Ни одно из записанных множеств одновременно не входит в четыре исходных множества, а это означает, что пересечение множеств A , B , D и E есть пустое множеств.

Ответ:

A∩B∩D∩E=∅.

Список литературы.

Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.

Решение некоторых математических задач предполагает нахождение пересечения и объединения числовых множеств. В статье ниже рассмотрим эти действия подробно, в том числе, на конкретных примерах. Полученный навык будет применим для решения неравенств с одной переменной и систем неравенств.

Простейшие случаи

Когда мы говорим о простейших случаях в рассматриваемой теме, то имеем в виду нахождение пересечения и объединения числовых множеств, представляющих из себя набор отдельных чисел. В подобных случаях будет достаточно использования определения пересечения и объединения множеств.

Определение 1

Объединение двух множеств – это множество, в котором каждый элемент является элементом одного из исходных множеств.

Пересечение множеств – это множество, которое состоит из всех общих элементов исходных множеств.

Из указанных определений логически следуют следующие правила:

Чтобы составить объединение двух числовых множеств, имеющих конечное количество элементов, необходимо записать все элементы одного множества и дописать к ним недостающие элементы из второго множества;

Чтобы составить пересечение двух числовых множеств, необходимо элементы первого множества один за другим проверить на принадлежность второму множеству. Те из них, которые окажутся принадлежащими обоим множествам и будут составлять пересечение.

Полученное согласно первому правилу множество будет включать в себя все элементы, принадлежащие хотя бы одному из исходных множеств, т.е. станет объединением этих множеств по определению.

Множество, полученное согласно второму правилу, будет включать в себя все общие элементы исходных множеств, т.е. станет пересечением исходных множеств.

Рассмотрим применение полученных правил на практических примерах.

Пример 1

Исходные данные: числовые множества А = { 3 , 5 , 7 , 12 } и В = { 2 , 5 , 8 , 11 , 12 , 13 } . Необходимо найти объединение и пересечение исходных множеств.

Решение

Определим объединение исходных множеств. Запишем все элементы, к примеру, множества А: 3 , 5 , 7 , 12 . Добавим к ним недостающие элементы множества В: 2 , 8 , 11 и 13 . В конечном итоге имеем числовое множество: { 3 , 5 , 7 , 12 , 2 , 8 , 11 , 13 } . Упорядочим элементы полученного множества и получим искомое объединение: А ∪ B = { 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 } .
Определим пересечение исходных множеств. Согласно правилу, переберем один за другим все элементы первого множества A и проверим, входят ли они во множество B . Рассмотрим первый элемент - число 3: он не принадлежит множеству B , а значит не будет являться элементом искомого пересечения. Проверим второй элемент множества A , т.е. число 5: оно принадлежит множеству B , а значит станет первым элементом искомого пересечения. Третий элемент множества A – число 7 . Оно не является элементом множества B , а, следовательно, не является элементом пересечения. Рассмотрим последний элемент множества A: число 1 . Оно также принадлежит и множеству B , и соответственно станет одним из элементов пересечения. Таким образом, пересечение исходных множеств – множество, состоящее из двух элементов: 5 и 12 , т.е. А ∩ В = { 5 , 12 } .

Ответ: объединение исходных множеств – А ∪ B = { 2 , 3 , 5 , 7 , 8 , 11 , 12 , 13 } ; пересечение исходных множеств - А ∩ В = { 5 , 12 } .

Все вышесказанное относится к работе с двумя множествами. Что же касается нахождения пересечения и объединения трех и более множеств, то решение этой задачи возможно свести к последовательному нахождению пересечения и объединения двух множеств. Например, чтобы определить пересечение трех множеств A , В и С, возможно сначала определить пересечение A и B , а затем найти пересечение полученного результата с множеством C . На примере это выглядит так: пусть будут заданы числовые множества: А = { 3 , 9 , 4 , 3 , 5 , 21 } , В = { 2 , 7 , 9 , 21 } и С = { 7 , 9 , 1 , 3 } . Пересечение первых двух множеств составит: А ∩ В = { 9 , 21 } , а пересечение полученного множества с множеством А ∩ В = { 9 , 21 } . В итоге: А ∩ В ∩ С = { 9 } .

Однако на практике, чтобы найти объединение и пересечение трех и более простейших числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, удобнее применять правила, аналогичные указанным выше.

Т.е., чтобы найти объединение трех и более множеств указанного типа, необходимо к элементам первого множества добавить недостающие элементы второго множества, затем – третьего и т.д. Для пояснения возьмем числовые множества: А = { 1 , 2 } , В = { 2 , 3 } , С = { 1 , 3 , 4 , 5 } . К элементам первого множества A добавится число 3 из множества B , а затем – недостающие числа 4 и 5 множества C . Таким образом, объединение исходных множеств: А ∪ В ∪ С = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } .

Что же касается решения задачи на нахождение пересечения трех и более числовых множеств, которые состоят из конечного количества отдельных чисел, необходимо одно за другим перебрать числа первого множества и поэтапно проверять, принадлежит ли рассматриваемое число каждому из оставшихся множеств. Для пояснения рассмотрим числовые множества:

А = { 3 , 1 , 7 , 12 , 5 , 2 } В = { 1 , 0 , 2 , 12 } С = { 7 , 11 , 2 , 1 , 6 } D = { 1 , 7 , 15 , 8 , 2 , 6 } .

Найдем пересечение исходных множеств. Очевидно, что множество B имеет меньше всего элементов, поэтому именно их мы будем проверять, определяя, входят ли они в остальные множества. Число 1 множества B является элементом и прочих множеств, а значит является первым элементом искомого пересечения. Второе число множества B – число 0 – не является элементом множества A , а, следовательно, не станет элементом пересечения. Продолжаем проверку: число 2 множества B является элементом прочих множеств и становится еще одной частью пересечения. Наконец, последний элемент множества B – число 12 – не является элементом множества D и не является элементом пересечения. Таким образом, получаем: A ∩ B ∩ C ∩ D = { 1 , 2 } .

Координатная прямая и числовые промежутки как объединение их частей

Отметим на координатной прямой произвольную точку, например, с координатой - 5 , 4 . Указанная точка разобьет координатную прямую на два числовых промежутка – два открытых луча (-∞, -5,4) и (-5,4, +∞) и собственно точку. Нетрудно увидеть, что в соответствии с определением объединения множеств любое действительное число будет принадлежать объединению (- ∞ , - 5 , 4) ∪ { - 5 , 4 } ∪ (- 5 , 4 , + ∞) . Т.е. множество всех действительных чисел R = (- ∞ ; + ∞) возможно представить в виде полученного выше объединения. И наоборот, полученное объединение будет являться множеством всех действительных чисел.

Отметим, что заданную точку возможно присоединить к любому из открытых лучей, тогда он станет простым числовым лучом (- ∞ , - 5 , 4 ] или [ - 5 , 4 , + ∞) . При этом множество R будет описываться следующими объединениями: (- ∞ , - 5 , 4 ] ∪ (- 5 , 4 , + ∞) или (- ∞ , - 5 , 4) ∪ [ - 5 , 4 , + ∞) . .

Подобные рассуждения действительны не только относительно точки координатной прямой, но и относительно точки на любом числовом промежутке. Т.е., если мы возьмем любую внутреннюю точку любого произвольного промежутка, его возможно будет представить, как объединение его частей, полученных после деления заданной точкой, и самой точки. К примеру, задан полуинтервал (7 , 32 ] и точка 13 , принадлежащая этому числовому промежутку. Тогда заданный полуинтервал можно представить в виде объединения (7 , 13) ∪ { 13 } ∪ (13 , 32 ] и обратно. Мы можем включить число 13 в любой из промежутков и тогда заданное множество (7 , 32 ] можно представить, как (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] или (7 , 13 ] ∪ (13 , 32 ] . Также мы можем взять в качестве исходных данных не внутреннюю точку заданного полуинтервала, а его конец (точку с координатой 32), тогда заданный полуинтервал можно представить, как объединение интервала (7 , 32) и множества из одного элемента { 32 } . Таким образом: (7 , 32 ] = (7 , 32) ∪ { 32 } .

Еще один вариант: когда берется не одна, а несколько точек на координатной прямой или числовом промежутке. Эти точки разобьют координатную прямую или числовой промежуток на несколько числовых промежутков, а объединение этих промежутков будут составлять исходные множества. К примеру, на координатной прямой заданы точки с координатами - 6 , 0 , 8 , которые разобьют ее на промежутки: (- ∞ , - 6) , (- 6 , 0) , (0 , 8) , (8 , + ∞) . При этом множество всех действительных чисел, олицетворением чего и является координатная прямая, возможно представить в виде объединения полученных промежутков и указанных чисел:

(- ∞ , - 6) ∪ { - 6 } ∪ (- 6 , 0) ∪ { 0 } ∪ (0 , 8) ∪ { 8 } ∪ (8 , + ∞) .

С темой нахождения пересечения и объединения множеств возможно наглядно разобраться, если использовать изображения заданных множеств на координатной прямой (если только речь – не о простейших случаях, рассмотренных в самом начале статьи).

Мы рассмотрим общий подход, который позволяет определить результат пересечения и объединения двух числовых множеств. Опишем подход в виде алгоритма. Рассматривать его шаги будем постепенно, каждый раз приводя очередной этап решения конкретного примера.

Пример 2

Исходные данные: заданы числовые множества А = (7 , + ∞) и В = [ - 3 , + ∞) . Необходимо найти пересечение и объединение данных множеств.

Решение

Изобразим заданные числовые множества на координатных прямых. Их необходимо расположить друг над другом. Для удобства принято считать, что точки начала отсчета заданных множеств совпадают, и остается сохранным расположение точек друг относительно друга: любая точка с большей координатой лежит правее точки с меньшей координатой. При этом, если нам интересно объединение множеств, то координатные прямые объединяют слева квадратной скобкой совокупности; если интересует пересечение, то – фигурной скобкой системы.

В нашем примере для записи пересечения и объединения числовых множеств имеем: и

Изобразим еще одну координатную прямую, расположив ее под уже имеющимися. Она понадобится для отображения искомого пересечения или объединения. На этой координатной прямой отмечают все граничные точки исходных числовых множеств: сначала черточками, а позже, после выяснения характера точек с этими координатами, черточки будет заменены выколотыми или невыколотыми точками. В нашем примере это точки с координатами - 3 и 7 .

Точки, которые изображены на нижней координатной прямой в предыдущем шаге алгоритма, дают возможность рассматривать координатную прямую как набор числовых промежутков и точек (об этом мы говорили выше). В нашем примере координатную прямую представим в виде набора пяти числовых множеств: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) .

Теперь необходимо поочередно проверить принадлежность каждого из записанных множеств искомому пересечению или объединению. Получаемые выводы поэтапно отмечаются на нижней координатной прямой: когда промежуток является частью пересечения или объединения, над ним рисуется штриховка. Когда точка входит в пересечение или объединение, то штрих заменяется на сплошную точку; если точка не является частью пересечения или объединения – ее делают выколотой. В этих действиях нужно придерживаться таких правил:

Промежуток становится частью пересечения, если он одновременно является частью множества A и множества B (или иными словами – если есть штриховка над этим промежутком на обеих координатных прямых, отображающих множества А и B);

Точка становится частью пересечения, если она является одновременно частью каждого из множеств А и В (иными словами – если точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала обоих числовых множеств A и B);

Промежуток становится частью объединения, если он является частью хотя бы одного из множеств A или B (иными словами – если присутствует штриховка над этим промежутком хотя бы на одной из координатных прямых, отображающих множества A и B .

Точка становится частью объединения, если она является частью хотя бы одного из множеств A и B (иными словами – точка является невыколотой или внутренней точкой какого-либо интервала хотя бы одного из множеств A и B).

Кратко резюмируя: пересечением числовых множеств A и B служит пересечение всех числовых промежутков множеств A и B , над которыми одновременно присутствует штриховка, и всех отдельных точек, принадлежащих и множеству А, и множеству В. Объединением числовых множеств A и B служит объединение всех числовых промежутков, над которыми присутствует штриховка хотя бы у одного из множеств A или B , а также всех невыколотых отдельных точек.

Вернемся к примеру, определим пересечение заданных множеств. Для этого поочередно проверим множества: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) . Начнем с множества (- ∞ , - 3) , наглядно выделив его на чертеже:

Этот промежуток не будет включен в пересечение, потому что не является частью ни множества A , ни множества B (нет штриховки). И так наш чертеж сохраняет свой изначальный вид:

Рассмотрим следующее множество { - 3 } . Число - 3 является частью множества B (невыколотой точкой), но не входит в состав множества A , а потому не станет частью искомого пересечения. Соответственно на нижней координатной прямой точку с координатой - 3 делаем выколотой:

Оцениваем следующее множество (- 3 , 7) .

Оно является частью множества B (над интервалом присутствует штриховка), но не входит в множество A (над интервалом штриховка отсутствует): не будет входить в искомое пересечение, а значит на нижней координатной прямой не появляется никаких новых отметок:

Следующее множество на проверку - { 7 } . Оно является составом множества B (точка с координатой 7 является внутренней точкой промежутка [ - 3 , + ∞)), но не является частью множества A (выколотая точка), таким образом, рассматриваемый промежуток не станет частью искомого пересечения.. Отметим точку с координатой 7 как выколотую:

И, наконец, проверяем оставшийся промежуток (7 , + ∞) .

Промежуток входит в оба множества A и B (над промежутком присутствует штриховка), следовательно, становится частью пересечения. Штрихуем место над рассмотренным промежутком:

В конечном счете на нижней координатной прямой образовалось изображение искомого пересечения заданных множеств. Очевидно, что оно является множеством всех действительных чисел больше числа 7 , т.е.: А ∩ В = (7 , + ∞) .

Следующим шагом определим объединение заданных множеств A и B . Последовательно проверим множества (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 7) , { 7 } , (7 , + ∞) , устанавливая факт включения или невключения их в искомое объединение.

Первое множество (- ∞ , - 3) не является частью ни одного из исходных множеств A и B (над промежутками нет штриховок), следовательно, множество (- ∞ , - 3) не войдет в искомое объединение:

Множество { - 3 } входит в множество B , а значит будет входить в искомое объединение множеств A и B:

Множество (- 3 , 7) является составной частью множества B (над интервалом присутствует штриховка) и становится элементом объединения множеств A и B:

Множество 7 входит в числовое множество B , поэтому войдет и в искомое объединение:

Множество (7 , + ∞) , являясь элементом обоих множеств А и В одновременно, становится еще одной частью искомого объединения:

По итоговому изображению объединения исходных множеств А и В получаем: А ∩ В = [ - 3 , + ∞) .

Имея некий практический опыт применения правил нахождения пересечений и объединений множеств, описанные проверки легко проводятся устно, что позволяет быстро записывать конечный результат. Продемонстрируем на практическом примере, как выглядит его решение без детальных пояснений.

Пример 3

Исходные данные: множества А = (- ∞ , - 15) ∪ { - 5 } ∪ [ 0 , 7) ∪ { 12 } и В = (- 20 , - 10) ∪ { - 5 } ∪ (2 , 3) ∪ { 17 } . Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отметим заданные числовые множества на координатных прямых, чтобы иметь возможность получить иллюстрацию искомых пересечения и объединения:

Ответ: А ∩ В = (- 20 , - 15) ∪ { - 5 } ∪ (2 , 3) ; А ∪ В = (- ∞ , - 10) ∪ { - 5 } ∪ [ 0 , 7 ] ∪ { 12 , 17 } .

Также понятно, что при достаточном понимании процесса указанный алгоритм возможно подвергнуть оптимизации. К примеру, в процессе нахождения пересечения можно не тратить время на проверку всех промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, ограничившись рассмотрением только тех промежутков и чисел, которые составляют множество А или В. Прочие промежутки в любом случае не войдут в пересечение, т.к. не являются частью исходных множеств. Составим иллюстрацию сказанного на практическом примере.

Пример 4

Исходные данные: множества А = { - 2 } ∪ [ 1 , 5 ] и B = [ - 4 , 3 ] .

Необходимо определить пересечение исходных множеств.

Решение

Геометрически изобразим числовые множества А и В:

Граничные точки исходных множеств разобьют числовую прямую на несколько множеств:

(- ∞ , - 4) , { - 4 } , (- 4 , - 2) , { - 2 } , (- 2 , - 1) , { 1 } , (1 , 3) , { 3 } , (3 , 5) , { 5 } , (5 , + ∞) .

Легко заметить, что числовое множество A можно записать, объединив некоторые из перечисленных множеств, а именно: { - 2 } , (1 , 3) , { 3 } и (3 , 5) . Достаточно будет проверить эти множества на их включенность также в множество В для того, чтобы найти искомое пересечение. Те, что войдут в множество В и станут элементами пересечения. Проведем проверку.

Совершенно понятно, что { - 2 } является частью множества B , ведь точка с координатой - 2 – внутренняя точка отрезка [ - 4 , 3) . Интервал (1 , 3) и множество { 3 } также входят в множество В (над интервалом присутствует штриховка, а точка с координатой 3 является для множества В граничной и невыколотой). Множество (3 , 5) не будет элементом пересечения, т.к. не входит в множество В (над ним не присутствует штриховка). Отметим все вышесказанное на чертеже:

В итоге искомым пересечением двух заданных множеств будет объединение множеств, которое мы запишем так: { - 2 } ∪ (1 , 3 ] .

Ответ: А ∩ В = { - 2 } ∪ (1 , 3 ] .

В заключении статьи обговорим еще, как решить задачу о нахождении пересечения и объединения нескольких множеств (более 2). Сведем ее, как рекомендовалось ранее, к необходимости определения пересечения и объединения первых двух множеств, затем полученного результата с третьим множеством и так далее. А можно использовать описанный выше алгоритм с единственным только отличием, что проверку вхождения промежутков и множеств, представляющих собой отдельные числа, необходимо проводить не по двум, а всем заданным множествам. Рассмотрим на примере.

Пример 5

Исходные данные: множества А = (- ∞ , 12 ] , В = (- 3 , 25 ] , D = (- ∞ , 25) ꓴ { 40 } . Необходимо определить пересечение и объединение заданных множеств.

Решение

Отображаем заданные числовые множества на координатных прямых и ставим с левой от них стороны фигурную скобку, обозначая пересечение, а также квадратную, обозначая объединение. Ниже отобразим координатные прямые с отмеченными штрихами граничными точками числовых множеств:

Таким образом, координатная прямая представлена следующими множествами: (- ∞ , - 3) , { - 3 } , (- 3 , 12) , { 12 } , (12 , 25) , { 25 } , (25 , 40) , { 40 } , (40 , + ∞) .

Начинаем искать пересечения, поочередно проверяя записанные множества на принадлежность каждому из исходных. Во все три заданных множества входит интервал (- 3 , 12) и множество { - 12 } : они и станут элементами искомого пересечения. Таким образом, получим: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] .

Объединение заданных множеств составят множества: (- ∞ , - 3) - элемент множества А; { - 3 } – элемент множества А; (- 3 , 12) – элемент множества А; { 12 } – элемент множества А; (12 , 25) – элемент множества В; { 25 } – элемент множества В и { 40 } – элемент множества D . Таким образом, получим: A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ { 40 } .

Ответ: A ∩ B ∩ D = (- 3 , 12 ] ; A ∪ B ∪ D = (- ∞ , 25 ] ∪ { 40 } .

Отметим также, что искомое пересечение числовых множеств часто является пустым множеством. Происходит это в тех случаях, когда в заданные множества не включены элементы, одновременно принадлежащие им всем.

Пример 6

Исходные данные: А = [ - 7 , 7 ] ; В = { - 15 } ∪ [ - 12 , 0) ∪ { 5 } ; D = [ - 15 , - 10 ] ∪ [ 10 , + ∞) ; Е = (0 , 27) . Определить пересечение заданных множеств.

Решение

Отобразим исходные множества на координатных прямых и штрихами граничные точки этих множеств на дополнительной прямой.

Отмеченные точки разобьют числовую прямую на множества: (- ∞ , - 15) , { - 15 } , (- 15 , - 12) , { - 12 } , (- 12 , - 10) , { - 10 } , (- 10 , - 7) , { - 7 } , (- 7 , 0) , { 0 } , (0 , 5) , { 5 } , (5 , 7) , { 7 } , (7 , 10) , { 10 } , (10 , 27) , { 27 } , (27 , + ∞) .

Ни одно из них не является одновременно элементом всех исходных множеств, следовательно, пересечение заданных множеств есть пустое множество.

Ответ: A ∩ B ∩ D ∩ Е = Ø .

Множества удобно изображать в виде кругов, которые называют кругами Эйлера.

На рисунке множество пересечения множеств X и Y закрашено в оранжевый цвет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пример :
Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B:
А = {1, 2, 3, 4, 6, 12},
B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C:
C = {1, 2, 3, 6).

Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так:
А ∩ B = C.

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество .
Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:

X ∩ Y = Ø.

Объединение двух множеств – это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.

Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:

D = A UB.

Основными операциями, осуществляемыми над множествами, являются сложение (объединение), умножение (пересечение) и вычитание . Эти операции, как мы увидим дальше, не тождественны одноименным операциям, производимым над числами.

Определение : Объединением (или суммой) двух множеств A и B называется множество, содержащее все такие и только такие элементы, которые являются элементами хотя бы одного из этих множеств. Объединение множеств A и B обозначают как A  B.

Это определение означает, что сложение множеств A и B есть объединение всех их элементов в одно множество A  B. Если одни и те же элементы содержатся в обоих множествах, то в объединение эти элементы входят только по одному разу.

Аналогично определяется объединение трёх и более множеств.

Определение : Пересечением (или умножением) двух множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству A и множеству В одновременно. Пересечение множеств A и B обозначают как A  B.

Аналогично определяется пересечение трёх и более множеств.

Определение : Разностью множеств A и B называется множество, состоящее из тех и только тех элементов множества A и которые не принадлежат множеству В. Разность множеств A и B обозначают как A \ B. Операция, при помощи которой находится разность множеств, называется вычитанием.

Если В  А, то разность A \ B называется дополнением множества B до множества A. Если множество B является подмножеством универсального множества U, то дополнение B до U обозначается , то есть= U \ B.

Упражнения :

Рассмотрим три множества N ={0,2,4,5,6,7}, M ={1,3,5,7,9} и P ={1,3,9,11}. Найти

A = N  M
B = N  M
C = N  P

Ответьте, какими из операций над заданными множествами следует воспользоваться для получения множеств, описанных ниже.

Дано: А – множество всех студентов факультета, В – множество студентов, имеющих академические задолженности. Определить С – множество успевающих студентов факультета.
Дано: А – множество всех отличников факультета, В – множество студентов, не имеющих академических задолженностей, С – множество успевающих студентов, имеющих хотя бы одну тройку. Определить D – множество студентов факультета, успевающих без троек.
Дано: U – множество всех студентов учебной группы, А - множество студентов этой группы, получивших зачет по физкультуре, В – множество студентов той же группы, успешно сдавших зачет по истории Отечества. Определить С – множество студентов той же учебной группы, преуспевших в обеих дисциплинах, D – множество студентов той же группы, «заваливших» хотя бы один из зачетов.

Свойства объединения и пересечения множеств

Из определений объединения и пересечения множеств вытекают свойства этих операций, представленные в виде равенств, справедливых для любых множеств A , B и С .

A  B = B  A - коммутативность объединения;

A  B = B  A - коммутативность пересечения;

A  (B  С ) = (A  B )  С - ассоциативность объединения;

A  (B  С ) = (A  B )  С - ассоциативность пересечения;

A  (B  С ) = (A  B )  (A  С) - дистрибутивность пересечения относительно объединения;

A  (B  С ) = (A  B )  (A  С) - дистрибутивность объединения относительно пересечения;

Законы поглощения:

A  A = A

A  A = A

A  Ø = A

A  Ø = Ø

A  U = U

A  U = A

Следует заметить, что разность не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности, то есть A \ B ≠ B \ A и A \ (B \ С ) ≠ (A \ B ) \ С . В этом легко убедиться, построив диаграммы Эйлера - Венна.

Множество - совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита - от A до Z .

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N - множество натуральных чисел

Z - множество целых чисел

Элемент множества - это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈ . Запись

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 - элемент множества Z .

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество - множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество - множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми .

Подмножество

Подмножество - это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера . Круги Эйлера - это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M , значит множество L M . Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂ :

L ⊂M

Запись L ⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M .

Множества состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком = .

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}

так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M .

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств - это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L ∩M = {3, 11}.

Запись L ∩M читается так: пересечение множеств L и M .

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах .

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪ .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},

то L ∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.