Комплексные числа. Возведение комплексных чисел в степень

Напомним необходимые сведения о комплексных числах.

Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.

Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:

(Например, .)

У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).

§1. Комплексные числа

1°. Определение. Алгебраическая форма записи.

Определение 1 . Комплексными числами называются упорядоченные пары действительных чисели, если для них определены понятие равенства, операции сложения и умножения, удовлетворяющие следующим аксиомам:

1) Два числа
и
равны тогда и только тогда, когда
,
, т.е.

2) Суммой комплексных чисел
и

и равное
, т.е.

3) Произведением комплексных чисел
и
называется число, обозначаемое
и равное, т.е.

Множество комплексных чисел обозначаетсяC .

Формулы (2),(3) для чисел вида
принимают вид

откуда следует, что операции сложения и умножения для чисел вида
совпадают со сложением и умножением для вещественных чисел комплексное число вида
отождествляется с вещественным числом.

Комплексное число
называетсямнимой единицей и обозначается , т.е.
Тогда из (3)

Из (2),(3)  что и значит

Выражение (4) называется алгебраической формой записи комплексного числа.

В алгебраической форме записи операции сложения и умножения принимают вид:

Комплексное число обозначают
,– вещественная часть,– мнимая часть,– чисто мнимое число. Обозначение:
,
.

Определение 2 . Комплексное число
называетсясопряженным с комплексным числом
.

Свойства комплексного сопряжения.

1)

2)
.

3) Если
, то
.

4)
.

5)
– вещественное число.

Доказательство проводится непосредственным вычислением.

Определение 3 . Число
называетсямодулем комплексного числа
и обозначается
.

Очевидно, что
, причем


. Также очевидны формулы:
и
.

2°. Свойства операций сложения и умножения.

1) Коммутативность:
,
.

2) Ассоциативность:,
.

3) Дистрибутивность: .

Доказательство 1) – 3) проводится непосредственными вычислениями на основе аналогичных свойств для вещественных чисел.

4)
,
.

5) , C ! , удовлетворяющее уравнению
. Такое

6) ,C , 0, ! :
. Такое находится умножением уравнения на



.

Пример. Представим комплексное число
в алгебраической форме. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю. Имеем:

3°. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная форма записи комплексного числа.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Тогда
C можно поставить в соответствие точку на плоскости с координатами
.(см. рис. 1). Очевидно, что такое соответствие является взаимно однозначным. При этом действительные числа лежат на оси абсцисс, а чисто мнимые ­− на оси ординат. Поэтому ось абсцисс называютдействительной осью , а ось ординат − мнимой осью . Плоскость, на которой лежат комплексные числа, называется комплексной плоскостью .

Отметим, что и
симметричны относительно начала координат, аисимметричны относительноOx.

Каждому комплексному числу (т.е. каждой точке на плоскости) можно поставить в соответствие вектор с началом в точке O и концом в точке
. Соответствие между векторами и комплексными числами является взаимно однозначным. Поэтому вектор, соответствующий комплексному числу, обозначается той же буквой

Длина вектора
соответствующего комплексному числу
, равна
, причем
,
.

С помощью векторной интерпретации можно видеть, что вектор
− сумма векторови, а
− сумма векторови
.(см. рис. 2). Поэтому справедливы неравенства: ,

Наряду с длиной векторавведем в рассмотрение уголмежду вектороми осьюOx, отсчитываемый от положительного направления оси Ox: если отсчет ведется против часовой стрелки, то знак величина угла рассматривается положительной, если по часовой стрелке – то отрицательной. Этот угол называется аргументом комплексного числа и обозначается
. Уголопределяется не однозначно, а с точностью
… . Для
аргумент не определяется.

Формулы (6) задают так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа.

Из (5) следует, что если
и
то

Из (5)
что поикомплексное число определяется однозначно. Обратное неверно: а именно, по комплексному числуего модульнаходится однозначно, а аргумент, в силу (7), − с точностью
. Также из (7) следует, что аргументможет быть найден как решение уравнения

Однако не все решения этого уравнения являются решениями (7).

Среди всех значений аргумента комплексного числа выбирается одно, которое называется главным значением аргумента и обозначается
. Обычно главное значение аргумента выбирается либо в интервале
, либо в интервале

В тригонометрической форме удобно производить операции умножения и деления.

Теорема 1. Модуль произведения комплексных чисел и равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов, т.е.

, а .

Аналогично

,

Доказательство. Пусть ,. Тогда непосредственным умножением получаем:

Аналогично

.■

Следствие (формула Муавра). Для
справедлива формула Муавра

Пример. Пусть Найдем геометрическое местоположение точки
. Из теоремы 1 следует, что .

Поэтому для ее построение необходимо вначале построить точку , являющуюся инверсией относительно единичной окружности, а затем найти точку, симметричную ей относительно оси Ox.

Пусть
,т.е.
Комплексное число
обозначается
, т.е.R справедлива формула Эйлера

Так как
, то
,
. Из теоремы 1
что с функцией
можно работать как с обычной показательной функцией, т.е. справедливы равенства

,
,
.

Из (8)
показательная форма записи комплексного числа

, где
,

Пример. .

4°. Корни -ой степени из комплексного числа.

Рассмотрим уравнение

Пусть
, а решение уравнения (9) ищется в виде
. Тогда (9) принимает вид
, откуда находим, что
,
, т.е.

,
,
.

Таким образом, уравнение (9) имеет корни

Покажем, что среди (10) имеется ровно различных корней. Действительно,

различны, т.к. их аргументыразличны и отличаются меньше, чем на
. Далее,
, т.к.
. Аналогично
.

Таким образом, уравнение (9) при
имеет ровнокорней
, расположенных в вершинах правильного-угольника, вписанного в окружность радиусас центром в т.O.

Таким образом, доказана

Теорема 2. Извлечение корня -ой степени из комплексного числа
всегда возможно. Все значения корня -ой степени израсположены в вершинах правильного-угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса
. При этом,

Следствие. Корни –ой степени из 1 выражаются формулой

.

Произведение двух корней из 1 является корнем, 1 – корень -ой степени из единицы,корня
:
.

Начнем с любимого квадрата.

Пример 9

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности. Но эти формулы более актуальны длязадач комплексного анализа. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра : Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степеньсправедлива формула:

Просто до безобразия.

Пример 10

Дано комплексное число , найти.

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляетрадиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе. Для удобства делаем дробь правильной:, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот:. Надеюсь всем понятно, чтои– это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 12

Возвести в степень комплексные числа ,,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями

Рассмотрим пример:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями .

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: ,,,,и т.д. Во всех случаях получаетсядва сопряженных комплексных корня.