Что значит задать координатную плоскость. Декартовы координаты точек плоскости

Квадратные уравнения часто появляются во время решения различных задач физики и математики. В данной статье мы рассмотрим, как решать эти равенства универсальным способом "через дискриминант". Примеры использования полученных знаний также даются в статье.

О каких уравнениях пойдет речь?

На рисунке ниже изображена формула, в которой x - неизвестная переменная, а латинские символы a, b, c представляют собой некоторые известные числа.

Каждый из этих символов называется коэффициентом. Как можно заметить, число "a" стоит перед переменной x, возведенной в квадрат. Это максимальная степень представленного выражения, поэтому оно называется квадратным уравнением. Часто используют другое его название: уравнение второго порядка. Само значение a - это квадратный коэффициент (стоящий при переменной в квадрате), b - это линейный коэффициент (он находится рядом с переменной, возведенной в первую степень), наконец, число c - свободный член.

Отметим, что вид уравнения, который изображен на рисунке выше, является общим классическим квадратным выражением. Помимо него существуют другие уравнения второго порядка, в которых коэффициенты b, c могут быть нулевыми.

Когда ставят задачу решить рассматриваемое равенство, то это означает, что такие значения переменной x нужно найти, которые бы ему удовлетворяли. Здесь первым делом нужно запомнить следующую вещь: поскольку максимальная степень икса - это 2, то данный тип выражений не может иметь больше, чем 2 решения. Это означает, что если при решении уравнения были найдены 2 значения x, которые ему удовлетворяют, то можно быть уверенным, что не существует никакого 3-го числа, подставляя которое вместо x, равенство также бы являлось истиной. Решения уравнения в математике называют его корнями.

Способы решения уравнений второго порядка

Решения уравнений этого типа требует знания некоторой теории о них. В школьном курсе алгебры рассматривают 4 различных метода решения. Перечислим их:

с помощью факторизации;
используя формулу для полного квадрата;
применяя график соответствующей квадратичной функции;
используя уравнение дискриминанта.

Плюс первого метода заключается в его простоте, однако, он не для всех уравнений может применяться. Второй способ является универсальным, однако несколько громоздким. Третий метод отличается своей наглядностью, но он не всегда удобен и применим. И, наконец, использование уравнения дискриминанта - это универсальный и достаточно простой способ нахождения корней абсолютно любого уравнения второго порядка. Поэтому в статье рассмотрим только его.

Формула для получения корней уравнения

Обратимся к общему виду квадратного уравнения. Запишем его: a*x²+ b*x + c =0. Перед тем как пользоваться способом его решения "через дискриминант", следует приводить равенство всегда к записанному виду. То есть оно должно состоять из трех слагаемых (или меньше, если b или c равен 0).

Например, если имеется выражение: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², то сначала следует перенести все его члены в одну сторону равенства и сложить слагаемые, содержащие переменную x в одинаковых степенях.

В данном случае эта операция приведет к следующему выражению: -6*x²-4*x+8=0, которое эквивалентно уравнению 6*x²+4*x-8=0 (здесь левую и правую части равенства мы умножили на -1).

В примере выше a = 6, b=4, c=-8. Заметим, что все члены рассматриваемого равенства всегда суммируются между собой, поэтому если появляется знак "-", то это означает, что отрицательным является соответствующий коэффициент, как число c в данном случае.

Разобрав этот момент, перейдем теперь к самой формуле, которая дает возможность получения корней квадратного уравнения. Она имеет вид, который представлен на фото ниже.

Как видно из этого выражения, оно позволяет получать два корня (следует обратить внимание на знак "±"). Для этого в него достаточно подставить коэффициенты b, c, и a.

Понятие о дискриминанте

В предыдущем пункте была приведена формула, которая позволяет быстро решить любое уравнение второго порядка. В ней подкоренное выражение называют дискриминантом, то есть D = b²-4*a*c.

Почему эту часть формулы выделяют, и она даже имеет собственное название? Дело в том, что дискриминант связывает в единое выражение все три коэффициента уравнения. Последний факт означает, что он полностью несет информацию о корнях, которую можно выразить следующим списком:

D>0: равенство имеет 2 различных решения, причем оба они представляют собой действительные числа.
D=0: у уравнения всего один корень, и он является действительным числом.

Задача на определение дискриминанта

Приведем простой пример, как найти дискриминант. Пусть дано такое равенство: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Приведем его к стандартному виду, получаем: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, откуда приходим к равенству: -2*x²+2*x-11 = 0. Здесь a=-2, b=2, c=-11.

Теперь можно воспользоваться названной формулой для дискриминанта: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Полученное число является ответом на поставленную задачу. Поскольку в примере дискриминант меньше нуля, то можно сказать, что данное квадратное уравнение не имеет действительных корней. Его решением будут только числа комплексного типа.

Пример неравенства через дискриминант

Решим задачи несколько иного типа: дано равенство -3*x²-6*x+c = 0. Необходимо найти такие значения c, для которых D>0.

В данном случае известно лишь 2 из 3 коэффициентов, поэтому рассчитать точное значение дискриминанта не получится, однако известно, что он является положительным. Последний факт используем при составлении неравенства: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Решение полученного неравенства приводит к результату: c>-3.

Проверим полученное число. Для этого вычислим D для 2 случаев: c=-2 и c=-4. Число -2 удовлетворяет полученному результату (-2>-3), соответствующий дискриминант будет иметь значение: D = 12>0. В свою очередь, число -4 не удовлетворяет неравенству (-4Таким образом, любые числа c, которые больше -3, будут удовлетворять условию.

Пример решения уравнения

Приведем задачу, которая заключается не только в нахождении дискриминанта, но и в решении уравнения. Необходимо найти корни для равенства -2*x²+7-9*x = 0.

В этом примере дискриминант равен следующему значению: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тогда корни уравнения определятся так: x = (9±√137)/(-4). Это точные значения корней, если вычислить приближенно корень, тогда получатся числа: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометрическая задача

Решим задачу, которая потребует не только умения вычислять дискриминант, но и применения навыков абстрактного мышления и знания, как составлять квадратные уравнения.

У Боба было пуховое одеяло размером 5 x 4 метра. Мальчик захотел пришить к нему по всему периметру сплошную полосу из красивой ткани. Какой толщины будет эта полоса, если известно, что у Боба имеется 10 м² ткани.

Пусть полоса будет иметь толщину x м, тогда площадь ткани по длинной стороне одеяла составит (5+2*x)*x, а поскольку длинных сторон 2, то имеем: 2*x*(5+2*x). По короткой стороне площадь пришитой ткани составит 4*x, так как этих сторон 2, то получаем значение 8*x. Отметим, что к длинной стороне было добавлено значение 2*x, поскольку длина одеяла увеличилась на это число. Общая пришитая к одеялу площадь ткани равна 10 м². Поэтому получаем равенство: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

Для этого примера дискриминант равен: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Его корень равен 22. Воспользовавшись формулой, находим искомые корни: x = (-18±22)/(2*4) = (-5; 0,5). Очевидно, что из двух корней подходит по условию задачи только число 0,5.

Таким образом, полоса из ткани, которую пришьет Боб к своему одеялу, будет иметь ширину 50 см.

Копьевская сельская средняя общеобразовательная школа

10 способов решения квадратных уравнений

Руководитель: Патрикеева Галина Анатольевна,

учитель математики

с.Копьево, 2007

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

1.3 Квадратные уравнения в Индии

1.4 Квадратные уравнения у ал- Хорезми

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

1.6 О теореме Виета

2. Способы решения квадратных уравнений

Заключение

Литература

1. История развития квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения.

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача 11. «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х , другое же меньше, т.е. 10 - х . Разность между ними 2х .

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

100 - х 2 = 96

х 2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2 . Одно из искомых чисел равно 12 , другое 8 . Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у 2 - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах 2 + b х = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Задача 13.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис. 3).

Соответствующее задаче 13 уравнение:

( x /8) 2 + 12 = x

Бхаскара пишет под видом:

х 2 - 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем:

х 2 - 64х + 32 2 = -768 + 1024,

(х - 32) 2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал – Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = b х.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = b х.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида

ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача 14. «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII - XVII вв

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в « Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI - XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.6 О теореме Виета

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. следующим образом: «Если B + D , умноженное на A - A 2 , равно BD , то A равно В и равноD ».

Чтобы понять Виета, следует вспомнить, что А , как и всякая гласная буква, означало у него неизвестное (наше х ), гласные же В, D - коэффициенты при неизвестном. На языке современной алгебры вышеприведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b )х - х 2 = ab ,

х 2 - (а + b )х + а b = 0,

х 1 = а, х 2 = b .

Выражая зависимость между корнями и коэффициентами уравнений общими формулами, записанными с помощью символов, Виет установил единообразие в приемах решения уравнений. Однако символика Виета еще далека от современного вида. Он не признавал отрицательных чисел и по этому при решении уравнений рассматривал лишь случаи, когда все корни положительны.

2. Способы решения квадратных уравнений

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза.

Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:

Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.

Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:

Квадратное уравнение – это уравнение вида:

где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.

В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:

1. Имеют два корня.

2. *Имеют только один корень.

3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней

Как вычисляются корни? Просто!

Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:

Формулы корней имеют следующий вид:

*Эти формулы нужно знать наизусть.

Можно сразу записывать и решать:

Пример:

1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.

2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.

3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Давайте рассмотрим уравнение:

По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…

Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.

Теперь следующий пример:

Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.

Вот и весь процесс решения.

Квадратичная функция.

Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).

Это функция вида:

где х и у — переменные

a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0

Графиком является парабола:

То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.

Рассмотрим примеры:

Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0

а=2 b=8 c= –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12

*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.

Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0

а=1 b=–22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11

В ответе допустимо записать х = 11.

Ответ: х = 11

Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0

а=1 b= –8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.

Ответ: решения нет

Дискриминант отрицательный. Решение есть!

Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.

Понятие комплексного числа.

Немного теории.

Комплексным числом z называется число вида

z = a + bi

где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.

a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.

Мнимая единица равна корню из минус единицы:

Теперь рассмотрим уравнение:

Получили два сопряжённых корня.

Неполное квадратное уравнение.

Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.

Случай 1. Коэффициент b = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем:

Пример:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Случай 2. Коэффициент с = 0.

Уравнение приобретает вид:

Преобразуем, раскладываем на множители:

*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

x 1 = 0 x 2 = 5

Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.

Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.

Полезные свойства и закономерности коэффициентов.

Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.

а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + b + с = 0, то

— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство

a + с = b , то

Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.

Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0

Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит

Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0

Выполняется равенство a + с = b , значит

Закономерности коэффициентов.

1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.

х 1 = –6 х 2 = –1/6.

2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны

аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.

х 1 = – 17 х 2 = 1/17.

4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны

аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.

Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.

х 1 = 10 х 2 = – 1/10

Теорема Виета.

Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.

Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.

СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ

При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1

Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим

х 1 = 5 х 2 = 0,5.

Каково обоснование? Посмотрите что происходит.

Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:

Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:

У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.

Потому результат и делим на 2.

*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.

Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5

Кв. ур-ие и ЕГЭ.

О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).

Что стоит отметить!

1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).

2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.

Библиографическое описание: Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Ельков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Способы решения квадратных уравнений // Юный ученый. 2016. №6.1. С. 17-20..02.2019).

Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.

Что же такое «квадратные уравнения»?

Квадратное уравнение - уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c - некоторые числа (a ≠ 0 ), x - неизвестное.

Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.

a называется первым коэффициентом;
b называется вторым коэффициентом;
c - свободным членом.

А кто же первый "изобрёл" квадратные уравнения?

Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).

Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ax2 + bх = с, а>0

В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.

2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.

3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.

Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.

Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:

Разложение левой части уравнения на множители.
Метод выделения полного квадрата.
Решение квадратных уравнений по формуле.
Графическое решение квадратного уравнения.
Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.

Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.

Пример. x 2 -5x+6=0

Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.

Ответ: x 1 =2, x 2 =3.

Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.

Пример. 3x 2 +2x-5=0

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 +2x-15=0

Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15, а сумма равна - 2. Эти числа - 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.

Ответ: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Решение уравнений способом "переброски".

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а≠0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.

Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а.

При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Пример. 2х 2 - 11х + 15 = 0.

"Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 - 11у + 30 = 0.

Согласно обратной теореме Виета

у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 =2,5 ;у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Ответ: х 1 =2,5; х 2 = 3.

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1.

2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = - 1.

Пример. 345х 2 - 137х - 208 = 0.

Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.

Ответ: х 1 =1; х 2 = -208/345 .

Пример. 132х 2 + 247х + 115 = 0

Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132

Ответ: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132

Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.

8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.

Рис 1. Номограмма

Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.

Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):

Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию

откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.

Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы

Примеры.

1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Ответ:8,0; 1,0.

2) Решим с помощью номограммы уравнение

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Ответ: 4; 0,5.

9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.

Пример. х 2 + 10х = 39.

В оригинале эта задача формулируется следующим образом: "Квадрат и десять корней равны 39".

Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25

Рис. 3 Графический способ решения уравнения х 2 + 10х = 39

Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим

10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x - α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).

Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.

Пример. х²-4х+3=0

Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0

х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х 1 =2, х 2 =3.

Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.

Литература:

Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.
Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2015
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964.

», то есть уравнения первой степени. В этом уроке мы разберем, что называют квадратным уравнением и как его решать.

Что называют квадратным уравнением

Важно!

Степень уравнения определяют по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное.

Если максимальная степень, в которой стоит неизвестное — «2 », значит, перед вами квадратное уравнение.

Примеры квадратных уравнений

5x 2 − 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0,25x = 0
x 2 − 8 = 0

Важно! Общий вид квадратного уравнения выглядит так:

A x 2 + b x + c = 0

«a », «b » и «c » — заданные числа.

«a » — первый или старший коэффициент;
«b » — второй коэффициент;
«c » — свободный член.

Чтобы найти «a », «b » и «c » нужно сравнить свое уравнение с общим видом квадратного уравнения «ax 2 + bx + c = 0 ».

Давайте потренируемся определять коэффициенты «a », «b » и «c » в квадратных уравнениях.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Уравнение	Коэффициенты
a = 5 b = −14 с = 17
a = −7 b = −13 с = 8

= 0

a = −1
b = 1
с =
1
3

x 2 + 0,25x = 0

a = 1
b = 0,25
с = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
с = −8

Как решать квадратные уравнения

В отличии от линейных уравнений для решения квадратных уравнений используется специальная формула для нахождения корней .

Запомните!

Чтобы решить квадратное уравнение нужно:

привести квадратное уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ». То есть в правой части должен остаться только «0 »;
использовать формулу для корней:

Давайте на примере разберем, как применять формулу для нахождения корней квадратного уравнения. Решим квадратное уравнение.

X 2 − 3x − 4 = 0

Уравнение « x 2 − 3x − 4 = 0 » уже приведено к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 » и не требует дополнительных упрощений. Для его решения нам достаточно применить формулу нахождения корней квадратного уравнения .

Определим коэффициенты «a », «b » и «c » для этого уравнения.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

С её помощью решается любое квадратное уравнение.

В формуле «x 1;2 = » часто заменяют подкоренное выражение
«b 2 − 4ac » на букву «D » и называют дискриминантом . Более подробно понятие дискриминанта рассматривается в уроке «Что такое дискриминант ».

Рассмотрим другой пример квадратного уравнения.

x 2 + 9 + x = 7x

В данном виде определить коэффициенты «a », «b » и «c » довольно сложно. Давайте вначале приведем уравнение к общему виду «ax 2 + bx + c = 0 ».

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Теперь можно использовать формулу для корней.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Ответ: x = 3

Бывают случаи, когда в квадратных уравнениях нет корней. Такая ситуация возникает, когда в формуле под корнем оказывается отрицательное число.