МБОУ СОШ № 1 село Новобелокатай

Тема работы:

« Мой лучший урок»

Учитель математики:

Мухаметова Фаузия Караматовна

Преподаваемый предмет математика

2014

Тема урока:

« Нестандартный способ решения логарифмических неравенств»

Класс 11( профильный уровень)

Форма урока комбинированный

Цели урока:

Освоение нового способа решения логарифмических неравенств, и умение применять данный способ при решении заданий С3 (17) ЕГЭ 2015 по математике.

Задачи урока:

- Образовательные: систематизировать, обобщить, расширить умения и знания, связанные с применением методов решения логарифмических неравенств; Умение применять знания при решении заданий ЕГЭ 2015 по математике.

Развивающие : формировать навыки самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы; Развитие логического мышления, внимания,памяти.кругозора.

Воспитательные: воспитывать самостоятельность, умение выслушивать других, умение общаться в группе. Повышение интереса к решению задач, формирование самоконтроля и активация мыслительной деятельности в процессе выполнения заданий.

Методологическая база:

Здоровьесберегающая технология по системе В.Ф. Базарного;

Технология разноуровнего обучения;

Технология группового обучения;

Информационные технологии (сопровождение урока презентацией),

Формы организации учебной деятельности : фронтальная, групповая, индивидуальная, самостоятельная.

Оборудование: у учащихся на рабочем месте оценочные листы, карточки с самостоятельной работой, презентация урока , компьютер, мультимедийный проектор.

Этапы урока:

1. Организационный момент

Учитель Здравствуйте ребята!

Я рада видеть вас всех на уроке и надеюсь на совместную плодотворную работу.

2. Мотивационный момент: написано в презентации ИКТ технология

Пусть эпиграфом нашего урока будут слова:

« Учиться можно только весело…

Чтобы переваривать знания надо их поглощать с аппетитом» Анатоль Франц.

Так давайте же будем активны и внимательны так как нам пригодятся знания при сдаче ЕГЭ.

3. Этап постановки и цели урока:

Сегодня мы на уроке изучим решение логарифмических неравенств нестандартным методом. Так как решения всего варианта отводится 235 минут, то задания С3 нужно где-то 30 минут, вот и нужно найти такой вариант решения, чтобы можно было затратить меньше времени. Задания взяты из пособий ЕГЭ 2015 года по математике.

4. Этап актуализации знаний.

Технология оценивания учебных успехов.

На партах у вас лежат оценочные листы, которые обучающиеся заполняют по ходу урока, в конце сдают учителю. Учитель объясняет как заполнить оценочный лист.

Успешность выполнения задания отмечать символом:

«!»-владею свободно

«+»- могу решать, иногда ошибаюсь

«-«- надо еще поработать

Определение логарифмических неравенств	Умение решать простейшие логарифмические неравенства	Умение пользоваться свойствами логарифмов	Умение пользоваться методом декомпозиции	Работа в парах	Ямогу сам	итог

4. Фронтальная работа

Повторяется определение логарифмических неравенств. Известные методы решения и их алгоритм на конкретных примерах.

Учитель.

Ребята посмотрим на экран.Давайте решим устно.

1)Решите уравнение

2) Вычислите

а) б) в)

Впишите в приведенную в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Ответ:

5 этап Изучение нового материала

Технология проблемного обучения

Учитель

Давайте посмотрим на слайд. Нужно решить данное неравенство. Как можно решить данное неравенство? Теория для учителя:

Метод декомпозиции

Метод декомпозиции заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x), при которой неравенство G(x)^0 равносильно неравенству F(x)^0 в области определения F(x).

Существует несколько выражений F и соответствующие им декомпозиционные G, где k, g, h, p, q – выражения с переменной х (h>0; h≠1; f>0, k>0), a – фиксированное число (а>0, a≠1).

	Выражение F	Выражение G
		(a-1)(f-k) (a-1)(f-a) (a-1)(f-1)
		(h-1)(f-k) (h-1)(f-h) (h-1)(f-1)
	(k≠1, f≠1)	(f-1)(k-1)(h-1)(k-f)
		(h-1)(f-k) (h-1)f
	(f>0; k>0)	(f-k)h
	|f| - |k|	(f-k)(f+k)

Из данных выражений можно вывести некоторые следствия (с учетом области определения):

0 ⬄ 0

В указанных равносильных переходах символ ^ заменяет один из знаков неравенств: >,

На слайде задание, которое разбирается учителем.

Рассмотрим пример решения логарифмического неравенства двумя методами

1. Метод интервалов

О.Д.З.

a) б)

Ответ: (;

Учитель

Можно решить данное неравенство еще другим способом.

2. Метод декомпозиции

Ответ

На примере решения данного неравенства мы убедились, что целесообразнее использовать метод декомпозиции.

Рассмотрим применение этого метода на нескольких неравенствах

Задание1

Ответ: (-1,5; -1) U (-1; 0) U (0;3)

Задание2

Конспект урока «Решение логарифмических неравенств». 11 класс

Разработала и провела учитель первой категории Шайдулина Г.С.

Наш девиз: «Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий».

Многие физики шутят, что «Математика, царица наук, но служанка физики!» Также могут сказать химики, астрономы и даже музыканты. Действительно математика служит основой большинства наук и слова английского философа 16 века Роджера Бэкона « Тот, кто не знает математики не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить собственного невежества.» актуальны и в настоящее время

Тема нашего урока « Логарифмические неравенства».

Цель урока:

1) обобщить знания по теме

«Логарифмические неравенства»

2)рассмотреть типичные трудности, встречающиеся при решении логарифмических неравенств;

3) усилить практическую направленность данной темы для качественной подготовки к ЕГЭ.

Задачи:

Обучающие: повторение, обобщение и систематизация материала темы, контроль усвоения знаний и умений.

Развивающие: развитие математического и общего кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.

Воспитательные: воспитание интереса к математики, активности, умения общаться, общей культуры.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектр, экран, карточки с заданиями, с формулами логарифмов.

Структура урока:

Организационный момент.

Повторение материала. Устная работа.

Историческая справка.

Работа над материалом.

Задания на дом.

Итог урока.

Логарифмическим неравенствам в вариантах ЕГЭ по математике посвящена задача C3 . Научиться решать задания C3 из ЕГЭ по математике должен каждый ученик, если он хочет сдать предстоящий экзамен на «хорошо» или «отлично».

Историческая справка.

Джону Неперу принадлежит сам термин «логарифм», который он перевел как «искусственное число». Джон Непер – шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течение пяти лет в различных университетах Европы изучал математику и другие науки. Затем он серьезно занимался астрономией и математикой. К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».

Начнем урок с устной разминки. Готовы?

Работа у доски.

Во время устной работы с классом двое учеников решают у доски примеры по карточкам.

1.Решите неравенство

2.Решите неравенство

(Учащиеся, выполнявшие задания у доски, комментируют свои решения, ссылаясь на соответствующий теоретический материал, а остальные вносят при необходимости корректировки.)

1) Укажите неверное равенство. Какое правило для этого надо использовать?

а) log 3 27 = 3
б) log 2 0,125 = – 3
а) log 0,5 0,5 = 1
а) lg 10000 = 5.

2)Сравните с нулем значения логарифма. Какое правило для этого надо использовать?

а) lg 7

б) log 0,4 3

в) log 6 0,2

д) log ⅓ 0,6

3) Я хочу вам предложить сыграть в морской бой. Я называю букву строки и номер столбца, а вы называете ответ и ищите соответствующую букву в таблице.

4) Какие из перечисленных логарифмических функций являются возрастающими, и какие убывающими. От чего это зависит?

5) Какова область определения логарифмической функции? Найдите область определения функции:

Разобрать решение на доске.

Как же решаются логарифмические неравенства?

На чем основано решение логарифмических неравенств?

На решение каких неравенств похоже?

(Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции, с учетом области определения логарифмической функции и общих свойств неравенств.)

Алгоритм решения логарифмических неравенств:

А) Найти область определения неравенства (подлогарифмическое выражение больше нуля).
Б) Представить (если возможно) левую и правую части неравенства в виде логарифмов по одному и тому же основанию.
В) Определить, возрастающей или убывающей является логарифмическая функция: если t>1, то возрастающая; если 01, то убывающая.
Г) Перейти к более простому неравенству (подлогарифмических выражений), учитывая, что знак неравенства сохранится, если функция возрастает, и изменится, если она убывает.

Проверка д.з.

1. log 8 (5х-10) < log 8 (14-х).

2. log 3 (х+2) + log 3 х =< 1.

3. log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)

Учимся на чужих ошибках!!!

Кто первый найдет ошибку.

1.Найдите ошибку в решении неравенства:

а) log 8 (5х-10) < log 8 (14-х),

5 x -10 < 14- x ,

6 x < 24,

x < 4.

Ответ: х € (-∞; 4).

Ошибка: не учтена область определения неравенства.

Прокоментировать решение

Верное решение:

log 8 (5х-10)< log 8 (14-х) 

  2< x <4.

Ответ: х € (2;4).

2.Найдите ошибку в решении неравенства:

Ошибка: не учтена область определения исходного неравенства. Верное решение

Ответ: х .

3.Найдите ошибку в решении неравенства:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х) 

Ответ: х €

Ошибка: не учли основание логарифма.

Верное решение:

log 0,5 (3х+1)< log 0,5 (2-х)  

Ответ: х €

Анализируя варианты вступительных экзаменов по математике, можно заметить, что из теории логарифмов на экзаменах часто встречаются логарифмические неравенства, содержащие переменную под логарифмом и в основании логарифма.

Найдите ошибку в решении неравенства:

4 .

А как еще можно решить неравенство №4?

Кто решал другим методом?

Итак, ребята, подводных камней при решении логарифмических неравенств встречается много.

На что же мы должны обратить особое внимание при решении логарифмических неравенств? Как вы думаете?

Итак, что нужно для того, чтобы решать логарифмические уравнения и неравенства ?

Во-первых, внимание . Не допускайте ошибок в проводимых преобразованиях. Следите за тем, чтобы каждое ваше действие не расширяло и не сужало область допустимых значений неравенства, то есть не приводило ни к потере, ни к приобретению посторонних решений.

Во-вторых, умение мыслить логически . Составители ЕГЭ по математике заданиями C3 проверяют умение учащихся оперировать такими понятиями, как система неравенств (пересечение множеств), совокупность неравенств (объедение множеств), осуществлять отбор решений неравенства, руководствуясь его областью допустимых значений.

В-третьих, четкое знание свойств всех элементарных функций (степенных, рациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических), изучаемых в школьном курсе математики и понимание их смысла.

ВНИМАНИЕ!

1. ОДЗ исходного неравенства.

2 .Основание логарифма.

Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значений уравнения определяется системой неравенств:

Рассмотрим график логарифмической функции и график прямой пропорциональности

Отметим, что функция возрастает на области определения, Без графика это можно определить по основанию логарифма. Для где х>0, если основание логарифма больше нуля, но меньше единицы, то функция убывает, если основание логарифма больше единицы, то функция возрастает.

Важно заметить, что логарифмическая функция принимает положительные значения на множестве чисел, больших единицы, запишем это утверждение с помощью символов f(x) при x

Прямая пропорциональность y= x в этом случае на промежутке от одного до плюс бесконечности тоже принимает положительные значения, большие одного. Совпадение это или закономерность? Обо всём по порядку.

Неравенства вида называются логарифмическими, где а — положительное число, отличное от 1 и >0,)>0

Преобразуем неравенство к виду. При переносе слагаемых из одной части неравенства в другую знак слагаемого меняется на противоположный. По свойству логарифма, разность логарифмов с одинаковым основанием можно заменить логарифм частного, таким образом, наше неравенство примет вид.

Обозначим выражение t , тогда неравенство примет вид.

Рассмотрим это неравенство относительно основания а, большего единицы, и относительно основания а, большего нуля и меньшего единицы.

Если основание логарифма а, большего единицы, то функция возрастает на области определения и принимает положительные значения при t больше одного. Вернемся к обратной замене. Значит, дробь должна быть больше одного. Это означает, что f(x)>g(x).

Если же основание логарифма, большего нуля и меньшего единицы, тофункция убывает на области определения и принимает положительные значения при t больше нуля и меньше одного. При обратной замене неравенство равносильно неравенству, а оно выполняется при f(x)

Сделаем вывод:

Если)>0 и при a>1 логарифмическое неравенство

равносильно неравенству того же смысла)>),

а при 0

Равносильно неравенству противоположного смысла)<)

Рассмотрим примеры решения логарифмических неравенств.

Решить неравенство:

Неравенства >0 и область допустимых значений переменной для данного логарифмического неравенства. Основание логарифма пять и оно больше одного, значит исходное неравенство равносильно неравенству. Решим полученную систему неравенств путем уединения переменной для этого. В первом неравенстве перенесем четыре в правую часть неравенства, поменяв знак минус на плюс. Получим.

Во втором неравенстве единицу перенесем в правую часть и запишем как минус один. Получим неравенство В третьем неравенстве минус четыре перенесем в правую часть, запишем как плюс четыре, а х перенесем в левую часть и запишем как минус икс. Получим неравенство. В нём можно привести подобные слагаемые в левой и правой частях неравенства. Получим неравенство. В первом неравенстве поделим левую и правую часть неравенства на 2. Получим неравенство. Полученная в ходе решения система имеет знак одной направленности, в таких случаях очевидно, что данной системе удовлетворяет множество чисел больше пяти. Легко увидеть, что пять тоже удовлетворяет системе неравенств. В противном случае можно построить геометрическую модель данной системы и посмотреть решение.

Отметим на координатной прямой числа минус один, два и пять. Причем числам -1 и 2 будет соответствовать светлая точка, а числу пять — темная точка. Нанесем «штриховку» справа от 2 для первого неравенства, справа от 1 — для второго неравенства и справа от пяти — для третьего неравенства. Пересечение штриховок указывает на множество чисел, больших и равных пяти. Ответ запишем в виде выражения

Пример 2. Решить неравенство

Составим систему неравенств. Неравенства >0 и >0 определяют область допустимых значений неравенства. Основание логарифма равно 0,3, оно больше нуля, но меньше одного, значит логарифмическое неравенство равносильно неравенству с противоположным по смыслу знаком:

Полученная система трудна для параллельного решения неравенств. Решим каждое из них отдельно и рассмотрим общее решение на геометрической модели.

Неравенство является квадратным и решается по свойствам квадратичной функции, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Найдем нули данной функции, для этого её правую часть приравняем к нулю и решим полученное уравнение через разложение на множители. Для этого вынесем общий множитель икс за скобки, в скобках останется от первого слагаемого — шесть, от второго слагаемого — минус икс. Произведение равно нулю тогда, когда один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла. Значит, первый множитель икс равен нулю или второй множитель шесть минус икс равен нулю. Тогда корни уравнения — ноль и шесть. Отметим их на координатной прямой в виде светлых точек, так как решаемое квадратное неравенство строгое и изобразим параболу ветвями вниз, проходящую через эти точки. Квадратичная функция принимает положительные значения на интервале от нуля до шести, значит решением неравенства является множество чисел x

Неравенство является линейным. Оно содержит отрицательные слагаемые, для удобства обе части неравенства умножим на минус единицу. Знак неравенства в этом случае поменяется на противоположный. Получим неравенство.

Перенесём восемь в правую часть неравенства и запишем как минус восемь. Таким образом, решением неравенства является множество чисел от минус бесконечности до минус восьми. Запишем решение неравенства в иде выражения x .

Неравенство сводится к квадратному неравенству, для этого перенесем минус восемь и минус икс в левую часть неравенства. Получим неравенство и приведем подобные 6х и х, Получим 7х, уравнение примет вид. Решается оно по свойствам квадратичной функции графиком которой является парабола с ветвями вниз. Найдем нули функции.0 при =0 и решим полученное квадратное уравнение через формулу дискриминанта Так как коэффициент b равен минус семи, коэффициент а равен минус единице, а с равен 8 то дискриминант уравнения равен 81. Найдем по формуле первый корень, он равен -1, второй корень равен 8.

Отметим полученные значения на координатной прямой темными точками, так рассматриваемое квадратное неравенство относится к нестрогим неравенствам. Изобразим на координатной прямой параболу с ветвями вниз. Квадратичная функция принимает меньшие и равные нулю значения на множестве чисел от минус бесконечности до включая и от 8 до плюс бесконечности включая 8. Решение этого неравенства запишем в виде выражения ]

Итак, все три неравенства решены, отметим их решения на одной координатной прямой. Значения переменной, которые бы удовлетворяли всем трём неравенствам одновременно, нет, что означает, что исходное логарифмическое неравенство не имеет решений. Ответ: решений нет.

Этот факт можно было заметить после решения линейного неравенства, так как решением первого квадратного неравенства являются положительные числа от одного до шести, а решением второго неравенства являются отрицательные числа, то для этих двух неравенств уже нет общих решений и

исходное логарифмические неравенство не имеет решений.

Логарифмы обладают интересными свойствами, упрощающие вычисления и выражения, вспомним некоторые из них

1. Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.
2. Любое число можно представить в виде логарифма. Например, 2 можно записать как логарифм четырех по основанию два или логарифм 25 по основанию 5, минус единицу можно записать как логарифм 0,2 по основанию пять или десятичный логарифм 0,1.

Пример 3. Решить неравенство:

Неравенство нужно преобразовать к виду.

Для этого единицу запишем в виде логарифма 2 по основанию два. А влевой чатси неравенства сумму логарифмов заменим по свойству на тождественно равное ему выражение — логарифм произведения. Получим неравенство вида

Составим систему неравенств. Неравенства, задающие область допустимых значений неравенства, опрелеяются по исходному неравенству, поэтому >0 и >0 будут первыми двумя неравенствами системы. Так как логарифм имеет основание 2, оно больше одного, то неравенство
Равносильно неравенству (х-3)(х-2)2.

В первом неравенстве перенесем минус три в правую часть, получим неравенство х>3, во втором — минус два перенесем в правую часть, получим неравенство х>2.

В третьем — раскроем скобки в левой части неравенства, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена. Получим неравенство.

Решим третье неравенство отдельно: перенесем два в левую часть неравенства и запишем с минусом.

Упростим полученное нравенство до вида. Сумма коэффициентов этого уравнения равна нулю, тогда, по свойству коэффициентов, первый корень равен одному, а второй равен частному от с на а и равен в данном случае 4. Эти уравнения можно решить и через формулу дискриминанта, корни от способа решения не зависят.

Отметим эти корни на координатной прямой в виде тёмных точек, проведем через них параболу ветвями вверх. Неравенство

выполняется на множестве чисел от 1 до 4 включая 1 и 4.

Отметим на одной координатной прямой решение первого и второго неравенства, для этого сделаем штриховку правее трех для первого неравенства и правее двух для второго неравенства и штриховку от 1 до 4 для второго неравенства. Три неравенства одновременно выполняются только на множестве чисел от 3 до 4, включая 4. Значит, это и будет решение исходного логарифмического неравенства.

Вывод: При решении логарифмических неравенств

Если a>1 , то переходят к решению системы из неравенств, определяющих область допустимых значений неравенства, и неравенства подлогорифмических выражений того же знака.

Если 0

Слайд 1)

Цель урока:

• организовать деятельность обучающихся по восприятию, осмыслению, первичному запоминанию и закреплению знаний и способов действий;
• повторить свойства логарифмов;
• обеспечить в ходе урока усвоение нового материала по применению теоремы о логарифмических неравенствах при основании a логарифма для случаев: а)0 < a < 1, б) a > 1;
• создать условие для формирования интереса к математике через ознакомление с ролью математики в развитии человеческой цивилизации, в научно-техническом прогрессе.

Структура урока:

1. Организация начала урока.
2. Проверка домашнего задания.
3. Повторение.
4. Актуализация ведущих знаний и способов действий.
5. Организация усвоения новых знаний и способов действий.
6. Первичная проверка понимания, осмысления и закрепления.
7. Домашнее задание.
8. Рефлексия. Итог урока.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Проверка домашнего задания (Приложение , слайд 2)

3. Повторение (Приложение , слайд 4)

4. Актуализация ведущих знаний и способов действий

– На одном из предыдущих уроков у нас возникла ситуация, при которой мы не смогли решить показательное уравнение, что привело к введению нового математического понятия. Мы ввели определение логарифма, изучили свойства и рассмотрели график логарифмической функции. На предыдущих уроках решали логарифмические уравнения с помощью теоремы и свойств логарифмов. Применяя свойства логарифмической функции, мы смогли решить простейшие неравенства. Но описание свойств окружающего нас мира не ограничивается простейшими неравенствами. Как же поступить в том случае, когда мы получим неравенства, с которыми не справиться с имеющимся объемом знаний? Ответ на этот вопрос мы получим на этом и последующих уроках.

5. Организация усвоения новых знаний и способов действий (Приложение , слайды 5-12).

1) Тема, цель урока.

2) (Приложение , слайд 5)

Определение логарифмического неравенства: логарифмическими неравенствами называют неравенства вида и неравенства, сводящиеся к этому виду.

3) (Приложение , слайд 6)

Для решения неравенства проведем следующие рассуждения:

Получаем 2 случая: a > 1 и 0 < a < 1.
Если a >1, то неравенство log a t > 0 имеет место тогда и только тогда, когда t > 1, значит , т.е. f (x ) > g (x ) (учли, что g (x ) > 0).
Если 0 < a < 1, то неравенство log a t > 0, имеет место тогда и только тогда, когда 0 < t < 1, значит , т.е. f (x ) < g (x ) (учли, что g (x ) > 0 и f (x ) > 0).

(Приложение , слайд 7)

Получаем теорему: если f (x ) > 0 и g (x ) > 0), то логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству того же смысла f (x ) > g (x ) при a > 1
логарифмическое неравенство log a f (x ) > log a g (x ) равносильно неравенству противоположного смысла f (x ) < g (x ), если 0 < a < 1.

4) На практике при решении неравенства переходят к равносильной системе неравенств (Приложение , слайд 8):

5) Пример 1 (Приложение , слайд 9)

Из третьего неравенства следует, что первое неравенство лишнее.

Из третьего неравенства следует, что второе неравенство лишнее.

Пример 2 (Приложение , слайд 10)

Если выполняется второе неравенство, то выполняется и первое (если A > 16, то тем более А > 0). Значит, 16 + 4x – x 2 > 16, x 2 – 4 < 0, x (x – 4) < 0,