Применение свойства ограниченности функции. применение свойств функций к решению уравнений и неравенств работа посвящена одному из нестандартных методов

Подготовил и провел учитель математики

МКОУ «СОШ №1» г. Поворино

Воронежской области

Карташова С. А.

2014г.

Тема урока: «Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

Форма урока – лекция с последующим закреплением. Рассчитан на 2 урока

(Слайд №1)

Цели урока:

Повторить и обобщить знания по теме: «Свойства функций»

Научить применять функциональный метод решения уравнений

Развивать логическое мышление, наблюдательность

Воспитывать активность, творческую инициативу.

(слайд№2)

Оборудование: интерактивная доска, компьютер с презентацией.

План урока:

Организационный момент.

Мотивация учебной деятельности (сообщение темы, целей урока).

Актуализация опорных знаний (повторение свойств основных функций).

Изучение нового материала (функциональный метод решения уравнений).

Закрепление знаний (решение упражнений).

Подведение итогов. Оценки.

Ход урока.

Учитель:

Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь решать не только с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений, но и «нестандартными» методами, о которых мы и поговорим сегодня на уроке. Одним из таких методов решения уравнений является функциональный, основанный на использовании свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.

(слайд№3)

Ответим на вопросы:

Что называется уравнением?

Что называется корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Что называется функцией?

Что называется областью определения функции?

Что называется областью значений функции?

(слайд №4)

Рассмотрим (слайд №5)

ПРИМЕР 1. Решите уравнение:

Решение: ОДЗ:

Ответ: решений нет.

(слайд №6)

ПРИМЕР 2. Решите уравнение:

Решение: ОДЗ:

ОДЗ состоит из одной точки х=1. Остается проверить, является ли х=1 корнем уравнения. Подставив, видим, что х=1 – корень уравнения.

Ответ: х=1.

Учитель:

Иногда оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения)

(слайд № 7 )

ПРИМЕР 3.

Решение. Найдем пересечение областей определения функций в правой и левой частях уравнения:

D 1

Ограничим множество D , учитывая, что левая часть уравнения неотрицательна, и, значит, такой же должна быть правая частью Для этого нужно рассмотреть пересечение множества D с множеством решений неравенства , то есть с множеством . Следовательно, достаточно рассмотреть уравнение на множестве .

Подстановкой убеждаемся, что оба элемента служат решением уравнения.

Ответ: -3; 2.

(слайд № 8 )

ПРИМЕР 4.

Решение.

С учетом того, что корнем уравнения является х=4.

Ответ: 4.

Учитель:

Перейдем к решению уравнений с использованием понятия области значений функции.

(слайд №9-№10)

(слайд №11)

ПРИМЕР 1.

Решение. Так как , то уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решений.

ПРИМЕР 2.

Решение. ОДЗ:

Ответ: нет решений.

Учитель:

Если функция f ( x ) на промежутке Х ограничена сверху, а функция g ( x ) ограничена снизу, то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно системе

(слайд №12)

ПРИМЕР 3.

Решение. По определению,

Равенство достигается, если

Решим первое уравнение системы:

arccos (x-1) =π, x-1 = -1, x=0.

При х=0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство.

Следовательно, решением системы и данного уравнения является х=0.

Ответ: 0.

(слайд №13-14)

ПРИМЕР 4.

Решение.

Найдем максимум этой функции на промежутке (2;4) с помощью производной.

= 0,

g’ + -

g 2 3 4 x

Max

g(3)=2. Имеем

Тогда данное уравнение равносильно системе

Решив первое уравнение системы, получим х=3, проверкой, подставив во второе уравнение убедимся, что х=3 – решение системы и данного уравнения.

Ответ: 3.

(слайд №15)

Учитель:

Этот метод часто встречается на ЕГЭ по математике. Данный метод заключается в том, что одна часть уравнения ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения ограничена снизу этим же числом М. Число М принято называть мажорантой , а этот метод - методом мажорант . В методе мажорант, как вы уже догадались надо хорошо понимать, что такое функция, уметь исследовать свойства функций.

(слайд №16)

Упражнения для закрепления, выработка умений и навыков.

Класс делится на 2 группы по вариантам.

1 вариант.

Докажите, что уравнение не имеет корней.

Решить уравнения: Ответ:2,6.

Ответ: 2.

Учитель:

Мы сегодня рассмотрели нестандартный метод решения уравнений, используя свойства функций, который применим и для решений неравенств, но об этом мы поговорим на нескольких последующих занятиях.

Подведение итогов, оценки.

(слайд №17)

Домашнее задание:

Раздел I. Математика и физика

УДК 372.8 ББК 74.262.21

Н.Е. Ляхова, А.И. Гришина, И.В. Яковенко

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОГРАНИЧЕННОСТИ ФУНКЦИЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Аннотация. В статье представлена методика изучения метода решения «нестандартных» уравнений элементарной математики с использованием ограниченности функций.

Ключевые слова: решение уравнений, использование ограниченности функции.

N.E. Lyakhova, A.I Grishina, I.V. Yakovenko

USE OF LIMITATION OF FUNCTIONS IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS

Abstract. The paper presents a methodology for studying the method for solving the "nonstandard" equations of elementary mathematics with limited functions. Key words: solution of equations, using a limited function.

Ограниченность функций позволяет решать многие нестандартные уравнения и неравенства, одновременно содержащие разнообразные функции, что не позволяет применить к ним стандартные методы решения задачи определенного типа. На использовании ограниченности функций построены такие методы решения уравнений и неравенств, как метод мини-максов и его следствия. Название метода - метод мини-максов - возможно, спорное, но оно позволяет быстро вспомнить суть метода и служит для ученика опорным знаком. Отметим, что изучение этого метода полезно для выпускника школы как с точки зрения расширения его возможностей по решению «нестандартных» задач, так и с точки зрения формирования навыков исследования функции (в особенности методами элементарной математики). И то и другое важно для подготовки выпускника к ЕГЭ по математике, так как контрольно - измерительные материалы традиционно содержат подобные задания, в то время как в школьных учебниках они представлены явно недостаточно либо не представлены совсем.

Суть метода мини-максов заключается в следующем утверждении.

Утверждение 1. Если на области определения X уравнения

а функция

то данное уравнение равносильно системе

f (*) = а g(*) = а "

Действительно, при указанных условиях равенство

возможно тогда и только тогда, когда функции f (*) и g (*) при одном и том же значении * принимают значение а. При этом число а будет являться для функций f (*) и g (*) соответственно наибольшим и наименьшим значениями на множестве X. Заметим, что в случае, если хотя бы одна из функций f (*) или g (*) на множестве X не принимает значение а, то уравнение

не имеет корней. Но в этом случае система также не имеет решений и, следовательно, равносильность уравнения и системы не нарушается. Поэтому при получении необходимых оценок нет необходимости устанавливать, что а является на множестве X наибольшим значением функции f(*) и наименьшим значением функции g(*) .

Используя утверждение 1 и свойства числовых неравенств, нетрудно доказать еще два утверждения, которые являются следствиями метода мини-максов.

Утверждение 2. Пусть множество X - пересечение областей определения функций f (х) и g (х), и на этом множестве имеют место неравенства

тогда неравенство

f (х) + g (х) > а + Ь,

равносильно уравнению

f (х) + g (х) = а + Ь, которое, в свою очередь, равносильно системе:

/ (х) = а, ё (х) = Ь.

Утверждение 3. Пусть множество X - пересечение областей определения функций f (х) и ё (х), и на этом множестве имеют место неравенства

0 < f (х) < а

ё (х) < Ь, где а > 0 , Ь > 0

тогда неравенство

f (х) ё (х) > а Ь

будет равносильно уравнению

f (х) ё (х) = а Ь, которое, в свою очередь, равносильно системе

/ (х) = а, ё(х) = Ь.

Как видно из формулировок утверждений, для реализации метода мини-максов (или его следствий) необходимо производить оценки функций, входящих в уравнения или неравенства. Фактически оценка функций является основным действием при реализации метода. Поэтому и обучение методу необходимо построить на выработке навыков оценки различных функций. На наш взгляд наиболее актуальными для школьников будут следующие приемы такой оценки.

1. Простейший прием - оценка функции вида f (х) = А ± а(х), где а(х) - некоторая неотрицательная функция.

5. Оценка сложной функции.

Остановимся подробнее на каждом приеме, проиллюстрируем его на примерах и приведем набор тренировочных упражнений для выработки навыков решения уравнений с использованием этого приема.

1. Простейший прием оценки функции. Пусть а(х) - некоторая неотрицательная функция, тогда:

Если f (х) = А + а(х), то f (х) > А;

Если f (х) = А - а(х), то f (х) < А.

Первый прием мы назвали простейшим, так как оценка в этом случае практически очевидна при условии, что ученику известен набор неотрицательных функций: 24х, х2", х~2", ха (гдеаеЩ-), |х|, |х| -х, arccosх, агс^х, ах и др. Кроме того, неотрицательные значения будут принимать сложные функции, являющиеся результатом композиции функций, если последняя функция композиции неотрицательна. Таким образом, список неотрицательных функций можно

обобщить: 2^и(х) , (ы(х))2" , (м(х))-2я,агеео8и(х), агссгёи(х), |и(х)|, |и(х) -и(х) , а"(х), (и(х))а (гдеае к).

Приведем примеры на использование метода мини-максов, при решении которых применяется рассмотренный прием оценки.

Пример 1. Решить уравнение 2 + |х(х -1)| = 2 - ^(х -1)(х + 2) . Решение. Функции

/ (х) = |х(х -1)|, Я (х) = 7 (х -1)(х + 2)

неотрицательны. Следовательно, имеет место следующая оценка левой и правой частей уравнения

2 + | х(х -1)| > 2,

2-у/(х-1)(х + 2) < 2 "

Тогда, согласно утверждению 1, исходное уравнение равносильно системе

Тогда:

Если функция f (u) возрастает на отрезке то имеет место неравенство

f (a) < f (u(x)) < f (b);

Если функция f (u) убывает на отрезке , то имеет место неравенство

f (b) < f (u(x)) < f (a) .

Пример 7. Решить уравнение log2 (x2 - 6x+11) = cos((x - 3) sin x).

Решение. Выделяя полный квадрат в квадратном трехчлене, стоящем под знаком логарифма, получим уравнение

log2 (2+(x - 3)2) = cos((x - 3) sin x). Оценим функции, стоящие в левой и правой частях этого уравнения.

f (x) = log2 (2+(x - 3)2) > 1. Действительно, 2 + (x - 3)2 > 2, функция log2 u возрастает, следовательно,

log2 (2+(x - 3)2) > log2 2 = 1. Функция u2 -монотонновозрастаетна .

«Применение непрерывности» - Значение выражения. Геометрический смысл производной. Метод интервалов. Составить уравнение касательной к графику функции. Касательная к графику функции. График близок к касательной. Формула. Вычислим по формуле. Касательной к кривой в данной точке M называется предельное положение секущей NM. Гипербола.

«Экстремум функции» - Зависимость давления газа от температуры. Тема урока: «Признаки возрастания и убывания функции. Тест. Изменение силы тока при размыкании цепи. Исследование функции на экстремум». Изменение переменного тока. План: Зависимость силы тока от напряжения. Зависимость давления газа от объёма. Тема: «Признаки возрастания и убывания функции.

«Функции и их свойства» - Независимую переменную называют - аргумент. Возрастающая функция. Определение функции. Четные и нечетные функции. Монотонность функции. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Все значения независимой переменной образуют область определения функции -D (f). 1. Значения функции положительны.

Всего в теме 23 презентации

Тема: Методы использования ограниченности функций.
Жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой. (Леонард Эйлер) Цели : развитие нового нешаблонного мышления, которое можно успешно применять и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и др).
Задачи : - обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий и, разумному выбору этих заданий на экзамене;

Создание «копилки» нетрадиционных и необычных рассуждений.

Ход урока:

Орг. момент. Формулирование учащимися темы урока посредством выполнения заданий ЕГЭ части А и В и расшифровке темы по убыванию полученных ответов. (В качестве предполагаемых слов зашифровать 12 карточек под номерами от -2 до 10) (приложение 1 и 2)

ограниченности

2. Разделить учащихся на 2 группы, вручить им набор « Теория + 10 заданий» (приложение 3 и 4 ), попросить выбрать те задания, которые можно выполнить по данной теоретической части, обосновать свой выбор. 3. Показать ход выполнения этих заданий на доске учащимися: Носкова К. , Дедевшин И., Веселов И. 4. Разделить задания из карточки на 2 группы для решения их с последующей самопроверкой по листу готовых решений. (приложение 5) 5. Раздать группам листы с описанием новых нестандартных методов решения уравнений и неравенств для выбора следующей темы (в качестве дом. задания отыскать в сборниках ЕГЭ задачи, которые можно решать этим методом)(приложение 6) 6. Рефлексия учащихся (заполнение таблички) Ф.И. учащегося

Приложение 1.
Решите эти задания и расположите ответы в порядке убывания, соберите по ответам тему нашего занятия.

Найти абсциссу точки графика функции у=3х 2 -7х+7, в которой тангенс угла касательной равен -1.

Приложение 2.
9 2 0 7Исследование функций с помощью производной. 10 5 1 -1Метод использования ограниченности функций. 4 -2 8 12Решение неравенств графическим способом.
3 11 6Решения функциональных уравнений.
Исследование

Приложение 3.

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с чётной степенью и другие.

Наиболее распространёнными неравенствами являются следующие:

│f(x) │≥ 0, -1 ≤ sinx≤ 1, -1 ≤ cosx≤ 1, -

-

, a f ( x ) >0, (f(x) ± g(x)) 2 n ≥ 0,
, a + ≥ 2, b + ≤ -2 и многие другие. Здесь n-натуральное число, h(x) ≥ 0, a >0, b 0.

Кроме приведённых простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства -,

,

и неравенства с модулями вида
.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение: выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что
. Так как при этом sinπ x≤ 1, то получаем систему уравнений

Решая второе уравнение системы, получаем что х=. Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение х является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение : так как Однако sin2 π x≤ 1. Поэтому, 5+4 sin2 π x≤ 9. Таким образом, получаем систему уравнений:

Отсюда получаем систему уравнений
, из первого уравнения найдём х=. Подставим его во второе уравнение системы и убедимся, что х= является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=

Приложение 4. Из предложенного списка заданий выберите те, которые можно решить и использованием метода ограниченности функций. 1. Решить уравнение х 2 -4 x=(2-cos
2. Найти количество целочисленных решений неравенства х 2 ctg 2
3. Решить уравнение
4. Решить уравнение 3-( 5. Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х 2 ≥0, удовлетворяющих условию 3 tg 2
6. Решить уравнение
7. Решить уравнение -25х 2 +40х-23=(cos
8. Найти произведение корней уравнения х
9. Решить уравнение
10. Решить уравнение 3- cos 2

Лист самопроверки. Приложение 5. 1. Решить уравнение Решение: т.к. , то т.к. и, то
получаем систему уравнений

решаем первое уравнение, получаем х= , подставим это значение во второе уравнение

2 . Решить уравнение 3- cos 2 Решение: т.к. , то т.к. и, то
получаем систему уравнений

решаем второе уравнение, получаем х= , подставим это значение в первое уравнение

значит х= является решением исходного уравнения. Ответ: х=
3 . Найти количество целочисленных решений неравенства х 2 +7х-8≤0, удовлетворяющих условию ctg 2 Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях хНайдём нули квадратного трёхчлена, по теореме ВиетаРешим неравенство методом интервалов
т.о. хзнаем, что
целочисленные значения х - это числаисключаем Ответ: 8 целочисленных решений4 . Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х 2 ≥0, удовлетворяющих условию 3 tg 2 Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях хНайдём нули выражения, х= и х=Решим неравенство методом интервалов
т.о. хзнаем, что

целочисленные значения х - это числаисключаем Ответ: 7 целочисленных решений
Приложение 6.

Метод использования монотонности функций. При решении уравнения типа f(x)=g(x) в ряде случаев эффективным является метод, который использует монотонность функций у= f(x) и у= g(x).Если функция у= f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке a ≤ x≤ b , а функция у= g(x) непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение f(x)=g(x) на отрезке a ≤ x≤ b может иметь не более одного корня, значит необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Особенно этот метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения f(x)=g(x) представляют собой «неудобные» для совместного исследования функции.Замечание: Если функция у= f(x) возрастает, а функция у= g(x) убывает для a ≤ x≤ b и при этом f (а)> g (а) , то корней уравнения среди a ≤ x≤ b нет.

Пример : Решить уравнение Решение: Областью допустимых значений уравнения являются х
. Нетрудно видеть, что на этой области левая часть уравнения возрастает, а правая - убывает, т.е. функция f (x )=
является возрастающей, а функция g (x )=
- убывающая. В этой связи исходное уравнение может иметь только один корень (если он есть). Подбором находим этот корень уравнения х= 2.Ответ : х=2
Метод решения функциональных уравнений. К числу наиболее сложных задач на ЕГЭ относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида f(f(….f(x)…))=x или f(g(x))=f(h(x)), где f(x),g(x),h(x)- некоторые функции и n≥ 2
Методы решения этих функциональных уравнений основаны на применении многих теорем, рассмотрим одну из них.
Теорема1. Корни уравнения f (x )=0 являются корнями уравнения f(f(….f(x)…))=x
Пример : Решить уравнение х=
, где квадратный корень берётся n раз и n ≥ 1 Решение: Из условия задачи следует, что х > 0. Пусть f (x )=
, тогда наше уравнение можно представить в виде функционального f ( f (…. f ( x )…))= x . Так как при х > 0 функция f (x )= возрастает и f (x ) > 0, то уравнение х= равносильно уравнению f (x )= x , т.е. =х, положительным решением которого является х=
Ответ: х=