"применение свойств функции при решении уравнений и неравенств". «Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций

Тема: Методы использования ограниченности функций.
Жизнь хороша тем, что в ней можно заниматься математикой. (Леонард Эйлер) Цели : развитие нового нешаблонного мышления, которое можно успешно применять и в других сферах человеческой деятельности (кибернетика, вычислительная техника, экономика, радиофизика, химия и др).
Задачи : - обучение оценке объективной и субъективной трудности заданий и, разумному выбору этих заданий на экзамене;

Создание «копилки» нетрадиционных и необычных рассуждений.

Ход урока:

Орг. момент. Формулирование учащимися темы урока посредством выполнения заданий ЕГЭ части А и В и расшифровке темы по убыванию полученных ответов. (В качестве предполагаемых слов зашифровать 12 карточек под номерами от -2 до 10) (приложение 1 и 2)

ограниченности

2. Разделить учащихся на 2 группы, вручить им набор « Теория + 10 заданий» (приложение 3 и 4 ), попросить выбрать те задания, которые можно выполнить по данной теоретической части, обосновать свой выбор. 3. Показать ход выполнения этих заданий на доске учащимися: Носкова К. , Дедевшин И., Веселов И. 4. Разделить задания из карточки на 2 группы для решения их с последующей самопроверкой по листу готовых решений. (приложение 5) 5. Раздать группам листы с описанием новых нестандартных методов решения уравнений и неравенств для выбора следующей темы (в качестве дом. задания отыскать в сборниках ЕГЭ задачи, которые можно решать этим методом)(приложение 6) 6. Рефлексия учащихся (заполнение таблички) Ф.И. учащегося

Приложение 1.
Решите эти задания и расположите ответы в порядке убывания, соберите по ответам тему нашего занятия.

Найти абсциссу точки графика функции у=3х 2 -7х+7, в которой тангенс угла касательной равен -1.

Приложение 2.
9 2 0 7Исследование функций с помощью производной. 10 5 1 -1Метод использования ограниченности функций. 4 -2 8 12Решение неравенств графическим способом.
3 11 6Решения функциональных уравнений.
Исследование

Приложение 3.

Одним из эффективных методов решения уравнений или неравенств является метод, основанный на использовании ограниченности функций. К наиболее известным ограниченным функциям относятся, например, некоторые тригонометрические; обратные тригонометрические функции; функции, содержащие модуль, степень, корень с чётной степенью и другие.

Наиболее распространёнными неравенствами являются следующие:

│f(x) │≥ 0, -1 ≤ sinx≤ 1, -1 ≤ cosx≤ 1, -

-

, a f ( x ) >0, (f(x) ± g(x)) 2 n ≥ 0,
, a + ≥ 2, b + ≤ -2 и многие другие. Здесь n-натуральное число, h(x) ≥ 0, a >0, b 0.

Кроме приведённых простейших неравенств имеются и более сложные, в частности, тригонометрические неравенства -,

,

и неравенства с модулями вида
.

Пример 1. Решить уравнение:

Решение: выделим полный квадрат в правой части уравнения, т.е. . Отсюда следует, что
. Так как при этом sinπ x≤ 1, то получаем систему уравнений

Решая второе уравнение системы, получаем что х=. Подстановкой в первое уравнение убеждаемся, что найденное значение х является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=.

Пример 2. Решить уравнение:

Решение : так как Однако sin2 π x≤ 1. Поэтому, 5+4 sin2 π x≤ 9. Таким образом, получаем систему уравнений:

Отсюда получаем систему уравнений
, из первого уравнения найдём х=. Подставим его во второе уравнение системы и убедимся, что х= является решением системы, а значит, является решением исходного уравнения.

Ответ: х=

Приложение 4. Из предложенного списка заданий выберите те, которые можно решить и использованием метода ограниченности функций. 1. Решить уравнение х 2 -4 x=(2-cos
2. Найти количество целочисленных решений неравенства х 2 ctg 2
3. Решить уравнение
4. Решить уравнение 3-( 5. Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х 2 ≥0, удовлетворяющих условию 3 tg 2
6. Решить уравнение
7. Решить уравнение -25х 2 +40х-23=(cos
8. Найти произведение корней уравнения х
9. Решить уравнение
10. Решить уравнение 3- cos 2

Лист самопроверки. Приложение 5. 1. Решить уравнение Решение: т.к. , то т.к. и, то
получаем систему уравнений

решаем первое уравнение, получаем х= , подставим это значение во второе уравнение

2 . Решить уравнение 3- cos 2 Решение: т.к. , то т.к. и, то
получаем систему уравнений

решаем второе уравнение, получаем х= , подставим это значение в первое уравнение

значит х= является решением исходного уравнения. Ответ: х=
3 . Найти количество целочисленных решений неравенства х 2 +7х-8≤0, удовлетворяющих условию ctg 2 Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях хНайдём нули квадратного трёхчлена, по теореме ВиетаРешим неравенство методом интервалов
т.о. хзнаем, что
целочисленные значения х - это числаисключаем Ответ: 8 целочисленных решений4 . Найти количество целочисленных решений неравенства 16-х 2 ≥0, удовлетворяющих условию 3 tg 2 Решение: т.к. и то при любых допустимых значениях хНайдём нули выражения, х= и х=Решим неравенство методом интервалов
т.о. хзнаем, что

целочисленные значения х - это числаисключаем Ответ: 7 целочисленных решений
Приложение 6.

Метод использования монотонности функций. При решении уравнения типа f(x)=g(x) в ряде случаев эффективным является метод, который использует монотонность функций у= f(x) и у= g(x).Если функция у= f(x) непрерывна и возрастает (убывает) на отрезке a ≤ x≤ b , а функция у= g(x) непрерывна и убывает (возрастает) на этом же отрезке, то уравнение f(x)=g(x) на отрезке a ≤ x≤ b может иметь не более одного корня, значит необходимо или попытаться подбором найти единственный корень уравнения, или показать, что такого корня не существует. Особенно этот метод эффективен в том случае, когда обе части уравнения f(x)=g(x) представляют собой «неудобные» для совместного исследования функции.Замечание: Если функция у= f(x) возрастает, а функция у= g(x) убывает для a ≤ x≤ b и при этом f (а)> g (а) , то корней уравнения среди a ≤ x≤ b нет.

Пример : Решить уравнение Решение: Областью допустимых значений уравнения являются х
. Нетрудно видеть, что на этой области левая часть уравнения возрастает, а правая - убывает, т.е. функция f (x )=
является возрастающей, а функция g (x )=
- убывающая. В этой связи исходное уравнение может иметь только один корень (если он есть). Подбором находим этот корень уравнения х= 2.Ответ : х=2
Метод решения функциональных уравнений. К числу наиболее сложных задач на ЕГЭ относятся задачи, решение которых сводится к рассмотрению функциональных уравнений вида f(f(….f(x)…))=x или f(g(x))=f(h(x)), где f(x),g(x),h(x)- некоторые функции и n≥ 2
Методы решения этих функциональных уравнений основаны на применении многих теорем, рассмотрим одну из них.
Теорема1. Корни уравнения f (x )=0 являются корнями уравнения f(f(….f(x)…))=x
Пример : Решить уравнение х=
, где квадратный корень берётся n раз и n ≥ 1 Решение: Из условия задачи следует, что х > 0. Пусть f (x )=
, тогда наше уравнение можно представить в виде функционального f ( f (…. f ( x )…))= x . Так как при х > 0 функция f (x )= возрастает и f (x ) > 0, то уравнение х= равносильно уравнению f (x )= x , т.е. =х, положительным решением которого является х=
Ответ: х=

Подготовил и провел учитель математики

МКОУ «СОШ №1» г. Поворино

Воронежской области

Карташова С. А.

2014г.

Тема урока: «Решение уравнений нестандартными методами, используя свойства функций»

Форма урока – лекция с последующим закреплением. Рассчитан на 2 урока

(Слайд №1)

Цели урока:

Повторить и обобщить знания по теме: «Свойства функций»

Научить применять функциональный метод решения уравнений

Развивать логическое мышление, наблюдательность

Воспитывать активность, творческую инициативу.

(слайд№2)

Оборудование: интерактивная доска, компьютер с презентацией.

План урока:

Организационный момент.

Мотивация учебной деятельности (сообщение темы, целей урока).

Актуализация опорных знаний (повторение свойств основных функций).

Изучение нового материала (функциональный метод решения уравнений).

Закрепление знаний (решение упражнений).

Подведение итогов. Оценки.

Ход урока.

Учитель:

Для решения большинства уравнений, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь решать не только с помощью стандартных приемов, предназначенных для вполне определенных типов уравнений, но и «нестандартными» методами, о которых мы и поговорим сегодня на уроке. Одним из таких методов решения уравнений является функциональный, основанный на использовании свойств функций. В отличие от графического метода, знание свойств функций позволяет находить точные корни уравнения, при этом не требуется построения графиков функций. Использование свойств функций способствует рационализации решения уравнений.

(слайд№3)

Ответим на вопросы:

Что называется уравнением?

Что называется корнем уравнения?

Что значит решить уравнение?

Что называется функцией?

Что называется областью определения функции?

Что называется областью значений функции?

(слайд №4)

Рассмотрим (слайд №5)

ПРИМЕР 1. Решите уравнение:

Решение: ОДЗ:

Ответ: решений нет.

(слайд №6)

ПРИМЕР 2. Решите уравнение:

Решение: ОДЗ:

ОДЗ состоит из одной точки х=1. Остается проверить, является ли х=1 корнем уравнения. Подставив, видим, что х=1 – корень уравнения.

Ответ: х=1.

Учитель:

Иногда оказывается достаточным рассмотреть не всю область определения функции, а лишь ее подмножество, на котором функция принимает значения, удовлетворяющие некоторым условиям (например, только неотрицательные значения)

(слайд № 7 )

ПРИМЕР 3.

Решение. Найдем пересечение областей определения функций в правой и левой частях уравнения:

D 1

Ограничим множество D , учитывая, что левая часть уравнения неотрицательна, и, значит, такой же должна быть правая частью Для этого нужно рассмотреть пересечение множества D с множеством решений неравенства , то есть с множеством . Следовательно, достаточно рассмотреть уравнение на множестве .

Подстановкой убеждаемся, что оба элемента служат решением уравнения.

Ответ: -3; 2.

(слайд № 8 )

ПРИМЕР 4.

Решение.

С учетом того, что корнем уравнения является х=4.

Ответ: 4.

Учитель:

Перейдем к решению уравнений с использованием понятия области значений функции.

(слайд №9-№10)

(слайд №11)

ПРИМЕР 1.

Решение. Так как , то уравнение не имеет решения.

Ответ: нет решений.

ПРИМЕР 2.

Решение. ОДЗ:

Ответ: нет решений.

Учитель:

Если функция f ( x ) на промежутке Х ограничена сверху, а функция g ( x ) ограничена снизу, то уравнение f ( x ) = g ( x ) равносильно системе

(слайд №12)

ПРИМЕР 3.

Решение. По определению,

Равенство достигается, если

Решим первое уравнение системы:

arccos (x-1) =π, x-1 = -1, x=0.

При х=0 второе уравнение обращается в верное числовое равенство.

Следовательно, решением системы и данного уравнения является х=0.

Ответ: 0.

(слайд №13-14)

ПРИМЕР 4.

Решение.

Найдем максимум этой функции на промежутке (2;4) с помощью производной.

= 0,

g’ + -

g 2 3 4 x

Max

g(3)=2. Имеем

Тогда данное уравнение равносильно системе

Решив первое уравнение системы, получим х=3, проверкой, подставив во второе уравнение убедимся, что х=3 – решение системы и данного уравнения.

Ответ: 3.

(слайд №15)

Учитель:

Этот метод часто встречается на ЕГЭ по математике. Данный метод заключается в том, что одна часть уравнения ограничена сверху неким числом М, а другая часть уравнения ограничена снизу этим же числом М. Число М принято называть мажорантой , а этот метод - методом мажорант . В методе мажорант, как вы уже догадались надо хорошо понимать, что такое функция, уметь исследовать свойства функций.

(слайд №16)

Упражнения для закрепления, выработка умений и навыков.

Класс делится на 2 группы по вариантам.

1 вариант.

Докажите, что уравнение не имеет корней.

Решить уравнения: Ответ:2,6.

Ответ: 2.

Учитель:

Мы сегодня рассмотрели нестандартный метод решения уравнений, используя свойства функций, который применим и для решений неравенств, но об этом мы поговорим на нескольких последующих занятиях.

Подведение итогов, оценки.

(слайд №17)

Домашнее задание:

«Область определения функции» - Область определения квадратичной функции – любое действительное число. Функция называется логарифмической, если переменная величина стоит под знаком логарифма. Логарифмическая функция. Функция, переменная величина которой находится в показателе степени, называется показательной. Квадратичная функция.

«Общие свойства функций» - Общие свойства функций. Найти область определения функции. Четная функция. Является ли эта функция четной или нечетной. По графику определите множество значений функции. По графику определите значения Х. По графику определите промежутки убывания функции. Функция f(x) возрастающая. Дана функция y=f(x).

«Возрастание и убывание функции» - Возрастание и убывание функции синус. Рассмотрим еще один пример. Промежутками убывания косинуса являются отрезки , n - целое. Пусть, например, функция f четна и возрастает на промежутке , где b>a?0. Возрастание и убывание функций. Возрастание и убывание функции косинус. На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10].

«Применение непрерывности» - Значение выражения. Геометрический смысл производной. Метод интервалов. Составить уравнение касательной к графику функции. Касательная к графику функции. График близок к касательной. Формула. Вычислим по формуле. Касательной к кривой в данной точке M называется предельное положение секущей NM. Гипербола.

«Экстремум функции» - Зависимость давления газа от температуры. Тема урока: «Признаки возрастания и убывания функции. Тест. Изменение силы тока при размыкании цепи. Исследование функции на экстремум». Изменение переменного тока. План: Зависимость силы тока от напряжения. Зависимость давления газа от объёма. Тема: «Признаки возрастания и убывания функции.

«Функции и их свойства» - Независимую переменную называют - аргумент. Возрастающая функция. Определение функции. Четные и нечетные функции. Монотонность функции. Значения зависимой переменной называют значениями функции. Все значения независимой переменной образуют область определения функции -D (f). 1. Значения функции положительны.

Всего в теме 23 презентации

Факультативное занятие «Применение свойства ограниченности функций»

Материал, связанный с уравнениями и неравенствами составляет значительную часть школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы.

Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений и неравенств с параметром и т. д.).

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнений и неравенств, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию – линию уравнений и неравенств. Существует три основных направления развертывания данной линии в школьном курсе математики.

Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Уравнения и неравенства являются основной частью математических средств, используемых при решении текстовых задач.

Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем, и в изучении обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом.

Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.

В курсе алгебры, изучаемом нами под редакцией Мордковича, функционально-графическая линия выбрана приоритетной. Весь материал строится по жесткой схеме:функция-уравнения-преобразования.

В ЕГЭ достаточно часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций. Поэтому целесообразно этот материал вынести на курсы по выбору. Но все-таки я предпочитаю некоторые такие задания рассматривать на уроках, начиная с 9 класса .

Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств

Использование свойства ограниченности.

Использование области определения функции.

Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств.

Использование понятия области изменения функции.

- Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций.

СЛАЙД 2.

Мое выступление появящено лишь одному из нестандартных методов решения уравнений и неравенств основанному на свойстве ограниченности функций, входящих в уравнение (неравенство). Предлагаемые мной задачи можно рассматривать на уроках, отведенных для подготовки учащихся к ЕГЭ (три-четыре урока), или использовать по одной – две задачи на уроке, также данный материал можно использовать на факультативном занятии (или на занятии элективного курса).

Уже в 9 классе при изучении свойства ограниченности обращаю внимание на важность этого свойства и возможность его использования при

Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции;

Нахождении множества значений функции.

СЛАЙД3.

Рассматриваются решения некоторых заданий. Предварительно следует повторить основные определени. СЛАЙД 4.

На СЛАЙДАХ 5-9 рассматриваются задания на нахождение наименьшего или наибольшего значений функции.

СЛАЙД 10.

Применение свойства ограниченности функций к решению уравнений и неравенств.

1. МЕТОД МАЖОРАНТ (МЕТОД ОЦЕНКИ)

Основная идея метода мажорант состоит в следующем:

Пусть мы имеем уравнение и существует такое число М , что для любого х из области определения https://pandia.ru/text/78/376/images/image003_26.gif" width="160" height="23">. Тогда уравнение равносильно системе https://pandia.ru/text/78/376/images/image005_16.gif" width="96" height="35 src=">.

Решение. Оценим обе части уравнения .

При всех значениях х верны неравенства https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_10.gif" width="188" height="59 src=">.

Полученная система не имеет решений, так как https://pandia.ru/text/78/376/images/image009_6.gif" width="20" height="20">

Пример 1.2 ..gif" width="157" height="20">.gif" width="75" height="51 src=">.

Решением первого уравнения системы являются значения https://pandia.ru/text/78/376/images/image014_3.gif" width="201" height="48 src=">.

Следовательно, решение системы.

Ответ: .

Пример 1.3. Решить неравенство https://pandia.ru/text/78/376/images/image016_0.gif" width="56" height="19">.gif" width="84" height="21">.gif" width="156 height=61" height="61">.

Обратная замена: х + 1 = 0 .

Ответ: - 1.

Пример 1.4. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение имеет решения. Найдите эти решения.

Решение.

Перепишем уравнение в виде . При всех значениях х выражение поэтому https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_0.gif" width="87" height="19 src="> и ..gif" width="405" height="91">

Ответ: https://pandia.ru/text/78/376/images/image031_0.gif" width="51" height="41 src=">

2. «ВСТРЕЧА НА КРАЮ»

Разновидностью метода мажорант являются задачи («встреча на краю ») в которых множества значений левой и правой частей уравнения или неравенства имеют единственную общую точку, являющуюся наибольшим значением для одной части и наименьшим для другой.

Как начинать решать такие задачи? Прежде всего – привести заданные уравнения или неравенства к более простому виду: путем разложения на множители, избавлением от модулей, логарифмов и т. д. Затем необходимо ещё раз внимательно прочитать задание, попробовать нарисовать графический образ функций входящих в задачу.

Пример 2.1. Решить уравнение .

Решение . Корень уравнения легко угадать – это x = 1. Но доказать его единственность из соображений монотонности не удается, потому что ни левая, ни правая части уравнения не являются монотонными функциями. Здесь используется другая идея..gif" width="191" height="51">. Наибольшее значение правой части полученного уравнения равно 1 и принимается в точке x = 1..gif" width="185" height="52 src=">). Поэтому левая часть достигает при x = 1 своего наименьшего значения, которое также равно 1. Вывод: равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части одновременно равны 1, т. е. при x = 1.

Пример 2.2. Решить уравнение .

1 способ.

Решение: Заметим, что левая часть уравнения не превосходит единицы, в то время как правая часть не меньше единицы. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны единицы. Это возможно только при .

Ответ: .

2 способ. Данное уравнение можно решить графически. Для этого построим в одной системе координат графики правой и левой частей уравнения, т. е график функции и график функции https://pandia.ru/text/78/376/images/image008_7.gif" width="37" height="19">.

Ответ: .

Пример 2. 3. Решить уравнение https://pandia.ru/text/78/376/images/image042_0.gif" width="301" height="35 src=">

то данное уравнение выполняется только в том случае, если выполняется система . Первое уравнение системы имеет единственный корень х = 1, но этот корень не удовлетворяет второму уравнению. Поэтому система решений не имеет.

Ответ : Æ

Пример 2. 4. Решить уравнение https://pandia.ru/text/78/376/images/image045_0.gif" width="105" height="21">, то левая часть уравнения принимает значение от до 2..gif" width="137" height="53">..gif" width="217" height="24"> имеет решение.

Решение.

Оценим обе части неравенства. Для этого преобразуем правую часть неравенства, выделив полный квадрат ..gif" width="71" height="19">.gif" width="121" height="24 src=">.gif" width="51" height="41">(то есть происходит «встреча на краю»).

Ответ :

Пример 2.6. Найдите все значения параметра а при которых уравнение

Галаева Екатерина, ученица 11 класса МАОУ СОШ №149 г Нижнего Новгорода

Работа носит одновременно и прикладной и исследовательский характер. Для полноты исследования были рассмотрены следующие вопросы:

– Как отражаются свойства функции при решении уравнений и неравенств?

– Какие уравнения и неравенства решаются через определение свойств области определения, множества значений, инвариантности?

– Каков алгоритм решения?

– Рассмотрены задания с параметром, предлагаемых в материалах КИМ при подготовке к ЕГЭ.

В работе Екатерина исследовала большой круг задач и систематизировал их по внешнему виду.

Скачать:

Предварительный просмотр:

https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Решить неравенство Решение. Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g (x) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравен­ство f (х) > g (x) выполняется, если х >

Спасибо за внимание!

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Применение свойств функции при решении уравнений и неравенств Выполнила работу: Галаева Екатерина МБОУ СОШ №149 Московского района Ученицы 11 «А» класса Научный руководитель: Фадеева И. А. Учитель математики

Основные направления: Изучение свойств функции: монотонность, ограниченность, область определения и инвариантность Узнать основные утверждения, которые наиболее часто используются при решении уравнений, неравенств и систем Решение задач из материалов КИМ для подготовке к ЕГЭ

Монотонность Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Утверждение 1. Если функция у = f (x) монотонна, то уравнение f (x) = с имеет не более одного корня. x =2 f(x) = - монотонно убывающая, значит, других решений нет. Ответ: x =2

Утверждение 2. Если функция у = f (x) монотонно возрастает, а функция у = g (x) монотонно убывает, то уравнение f (x) = g (x) имеет не более одного корня. 2 - x = lg (x +11) + 1 g (x) = 2 - x является монотонно убывающей, а функция f (x) = lg (x + 11) + 1 монотонно возрастающей на области опреде­ления значит, уравнение f (х) = g (x) имеет не более одного корня. Подбором определяем, что х =-1 . Выше изложенное утверждение обосновывает единственность решения.

а) f (х) ≤ g (x) в том и только в том случае, когда х ϵ (- ∞ ; x 0 ]; б) f (х) ≥ g (x) в том и только в том случае, когда х ϵ [х 0 ; +∞). Наглядный смысл этого утверждения очевиден Утверждение 3. Если функция у = f (х) монотонно возрастает на всей числовой прямой, функция у = g (x) монотонно убывает на всей числовой прямой и f (х 0) = g (x 0), то справедливы следующие утвер­ждения:

Решить неравенство Решение. Функция f (х) = монотонно возрастает на всей числовой прямой, а функция g (x) = монотонно убывает на всей области определения. Поэтому неравен­ство f (х) > g (x) выполняется, если х > 2. Добавим область определения неравенства. Таким образом, получим систему Ответ: (2; 5).

Утверждение 4. Если функция у = f (х) монотонно возрастает, то уравнения f (х)=х и f (f (х))=х имеют одно и то же множество кор­ней, независимо от количество вложений. Следствие. Если n - натуральное число, а функция у = f (х) моно­тонно возрастает, то уравнения f (х)=х и n раз имеют одно и то же множество корней.

Решить уравнение. Ответ: Решение. П ри x ≥1 правая часть уравнения не меньше 1, а левая часть меньше 1. Следовательно, если уравнение имеет корни, то любой из них меньше 1. При x ≤0 правая часть уравнения неположительная, а левая часть положитель­на, в силу того что. Таким образом, любой корень данного уравнения принадлежит интервалу (0; 1) Умножив обе части данного уравнения на х, и разделив на x числитель и знаменатель левой части, получим

Откуда = . Обозначив через t , где t 0, получим уравнение = t . Рассмотрим возрастающую на своей области определения функцию f (t)= 1+ . Полученное уравнение можно записать в виде f (f (f (f (t))))= t , и по следствию утверждения 4 оно имеет то же множество решений, что и уравнение f (t)= t , т.е. уравнение 1 + = t , откуда. Единственным положительным корнем этого квадратного относительно уравнение является. Значит, откуда, т.е. , или. Ответ:

Утверждение 1. Если max f (x) = с и min g (x) = с, то уравнение f (x)= g (x) имеет то же множество решений, что и система Ограниченность Максимальное значение левой части равно 1 и минимальное значение правой части 1 , значит, решение уравнения сводиться к системе уравнений: , из второго уравнения находим возможный претендент x=0 , и убеждаемся, что он является решением и первого уравнения. Ответ: x=1 .

Решить уравнение Решение. Так как sin3x≤1 и cos4x≤1, левая часть данного уравнения не превосходит 7. Равной 7 она может быть в том и только том случае, если откуда где k , n ϵ Z . Остается установить, существуют ли такие целые k и n , при которых последняя система имеет решения. Ответ: Z

В задачах с неизвестными x и параметром a под областью определения понимают множество всех упорядоченных пар чисел (x ; a) , каждая из которых такова, что после подстановки соответствующих значений x и a во все входящие в задачу соотношения они будут определены. Пример 1. При каждом значение параметра a решите неравенство Решение. Найдем область определения этого неравенства. Из которых видно, что система Не имеет решений. Значит, область определения неравенства не содержит никаких пар чисел x и a , а поэтому неравенство не имеет решений. Область определения Ответ:

Инвариантность, т.е. неизменность уравнения или неравенства относительно замены переменной каким-либо алгебраическим выражением от этой переменной. Простейшим примером инвариантности является четность: если – четная функция, то уравнение инвариантно относительно замены x и – x , поскольку = 0. Инвариантность

Найти корни уравнения. Решение. Заметим, что пара инварианта относительно замене. Заменив в равенстве, получим. Умножив обе части данного равенства на 2 и вычтя из полученного равенства почленно равенство, находим 3 , откуда. Теперь осталось решить уравнение, откуда Корнями уравнения являются числа. Ответ: .

Найти все значения a , для каждого из которых уравнение имеет более трех различных решений. Решение задач с параметром Свойство монотонности

|x|= положительно X= |x|= Для существования двух корней числитель должен быть положителен. Поэтому При корни первого и второго уравнения совпадают, что не отвечает требованию условия: наличие более трех корней. Ответ: .

Найти все значения a , при каждом из которых уравнение имеет два корня. Преобразуем уравнение к виду И рассмотрим функцию f(x)= определенную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида y= kt+l . f(x)= При любом раскрытие модуля первого выражения k не превосходит 8, поэтому возрастание и убывание функции f(x) будет зависеть от раскрытия второго модуля. При x f(x) будет убывать, а при x возрастать. То есть, при x=3 функция будет принимать наибольшее значение. Для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы f(3) Свойство монотонности

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Ответ: a

Найти все значения параметра а, при каждом из кото­рых для любого действительного значения х выполнено неравенство Перепишем неравенство в виде, введем новую переменную t = и рассмотрим функцию f (t) = , опреде­ленную и непрерывную на всей числовой прямой. График этой функ­ции представляет собой ломаную, состоящую из отрезков прямых и лучей, каждое звено которой является частью прямой вида, где к

Так как, то t ϵ [-1; 1]. В силу монотонного убывания функции у = f (t) достаточно проверить левый край данного отрезка. З. А истинным является Значит, что возможно, только если числа и и v одного знака либо какое-нибудь из них равно нулю. , = () () 0. Разложив квадрат­ные трехчлены на множители, получим неравенство (, из которого находим, что а ϵ (-∞; -1] U {2} U [ 4; +∞). Ответ: (-∞; - 1] U {2} U }