Правила действий с рациональными числами. Сложение положительных рациональных чисел
Урок4
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Цели : способствовать формированию вычислительных умений и навыков, накоплению знаний о степенях на основе вычислительного опыта; познакомить с записью больших и маленьких чисел с помощью степеней числа 10.
Ход урока
I. Актуализация опорных знаний.
Учитель проводит анализ результатов проверочной работы, каждый ученик получает рекомендации по разработке индивидуального плана коррекции вычислительных умений и навыков.
Затем учащимся предлагается выполнить вычисления и прочитать имена известных математиков, внесших вклад в построение теории степеней:
0,3 2 ; 5 3 ; (– 12) 2 ; ; ; –7 3 ; (–0,2) 3 ; –13 2 ; 1,7 2 ; ; 1,1 2 ; 1 3 .
Ключ:
С помощью компьютера или эпипроектора на экран проецируются портреты ученых Диофанта, Рене Декарта, Симона Стевина. Учащимся предлагается подготовить по желанию исторические справки о жизни и деятельности этих ученых-математиков.
II. Формирование новых понятий и способов действия.
Учащиеся записывают в тетради следующие выражения:
1. 2 + 2 + 2 + 2 + 2;
2. 2 + 2 + 2 + … + 2;
а слагаемых
3. 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5;
4. 5 ∙ 5 … ∙ 5;
n множителей
5. а ∙ а ∙ … ∙ а ;
n множителей
Учащимся предлагается ответить на вопрос: «Как можно представить эти записи более компактно, чтобы они стали "обозримыми"»?
Затем учитель проводит беседу по новой теме, знакомит учащихся с понятием первой степени числа. Учащиеся могут подготовить инсценировку древней индийской легенды об изобретателе шахмат Сете и царе Шераме. Закончить беседу необходимо рассказом об употреблении при записи больших и малых величин степеней числа 10 и, предложив учащимся к рассмотрению несколько справочников по физике, технике, астрономии, дать им самим возможность найти в книгах примеры таких величин.
III. Формирование умений и навыков.
1. Решение упражнений № 40 г), д), е); 51.
В ходе решения учащиеся делают заключение о том, что полезно помнить: степень с отрицательным основанием положительна, если показатель степени четный, и отрицательна, если показатель степени нечетный.
2. Решение упражнений № 41, 47.
IV. Подведение итогов.
Учитель комментирует и оценивает работу учащихся на уроке.
Домашнее задание: п. 1.3, № 42, 43, 52; по желанию: подготовить сообщения о Диофанте, Декарте, Стевине.
Диофант – древнегреческий математик из Александрии (III в.). Сохранилась часть его математического трактата «Арифметика» (6 книг из 13), где дается решение задач, в большинстве приводящихся к так называемым «диофантовым уравнениям», решение которых ищется в рациональных положительных числах (отрицательных чисел у Диофанта нет).
Для обозначения неизвестного и его степеней (до шестой), знака равенства Диофант употреблял сокращенную запись соответствующих слов. Обнаружен учеными также арабский текст еще 4 книг «Арифметики» Диофанта. Сочинения Диофанта явились отправной точкой для исследований П. Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других.
Декарт Рене (31. 03. 159 6 –11. 02. 1650) – французский философ и математик, происходил из старинного дворянского рода. Образование получил в иезуитской школе Ла Флеш в Анжу. В начале Тридцатилетней войны служил в армии, которую оставил в 1621 году; после нескольких лет путешествий переселился в Нидерланды (1629), где провел двадцать лет в уединенных научных занятиях. В 1649 году по приглашению шведской королевы переселился в Стокгольм, но вскоре умер.
Декарт заложил основы аналитической геометрии, ввел многие современные алгебраические обозначения. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин
(х
, у
, z
…) и коэффициентов (а
, b
, с
…), а также обозначения степеней (х
4 , а
5 …). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.
В аналитической геометрии основным достижением Декарта явился созданный им метод координат.
Стевин Симон (1548–1620) – нидерландский ученый и инженер. С 1583 года преподавал в Лейденском университете, в 1600 году организовал инженерную школу при Лейденском университете, где читал лекции по математике. Работа Стевина «Десятина» (1585) посвящена десятичной системе мер и десятичным дробям, которые Симон Стевин ввел в употребление в Европе.
То а + b = b + a, а+(b + с) = (а + b) + с.
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю.
Значит, для любого рационального числа имеем: а + 0 = а, а + (- а)=0.
Умножение рациональных чисел тоже обладает переместительным и сочетательным свойствами. Другими словами, если а, b и с - любые рациональные числа, то ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1.
Значит, для любого рационального числа а имеем:
а) x + 8 - х - 22; в) a-m + 7-8+m;
б) -х-а + 12+а -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - р.
1190. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
1191. Сформулируйте словами переместительное свойство умножения ab = ba и проверьте его при:
1192. Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения a(bc)=(ab)c и проверьте его при:
1193. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
1194. Какое получится число (положительное или отрицательное), если перемножить:
а) одно отрицательное число и два положительных числа;
б) два отрицательных и одно положительное число;
в) 7 отрицательных и несколько положительных чисел;
г) 20 отрицательных и несколько положительных? Сделайте вывод.
1195. Определите знак произведения:
а) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
а) В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя, Сережа и Максим (рис. 91, а). Оказалось, что каждый из мальчиков знаком только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа означает «мы знакомы».)
б) Во дворе гуляют братья и сестры одной семьи. Кто из этих детей мальчики, а кто девочки (рис. 91, б)? (Пунктирные ребра графа означают - "я - сестра", а сплошные - "я - брат".)
1205. Вычислите:
1206. Сравните:
а) 2 3 и 3 2 ; б) (-2) 3 и (-3) 2 ; в) 1 3 и 1 2 ; г) (-1) 3 и (-1) 2 .
1207. Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых
; до десятых; до единиц.
1208. Решите задачу:
1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости велосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста, если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста через ч.
2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между ними 18 км. Скорость автобуса составляет скорости легковой автомашины. Найдите скорости автобуса и легковой автомашины, если известно, что легковая автомашина догонит автобус через ч.
1209. Найдите значение выражения:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора
.
1210. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выражения:
1211. Упростите выражение:
1212. Найдите значение выражения:
1213. Выполните действия:
1214. Ученикам дали задание собрать 2,5 т металлолома. Они собрали 3,2 т металлолома. На сколько процентов учащиеся выполнили задание и на сколько процентов они перевыполнили задание?
1215. Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по проселочной дороге, а остальной путь - по шоссе. Расход бензина на каждые 10 км проселочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе - на 25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на каждые 10 км пути?
1216. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, идущего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а расстояние от села до моста 1 км 800 м?
1217. Выполните действия:
а) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
С рациональными числами люди, как вы знаете, знакомились постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Так, еще недавно у туземцев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от Австралии) были в языке названия только двух чисел: «урапун» (один) и «оказа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун» (три), «оказа-оказа» (четыре) и т. д. Все числа, начиная с семи, туземцы называли словом, обозначавшим «много».
Ученые полагают, что слово для обозначения сотни появилось более 7000 лет назад, для обозначения тысячи - 6000 лет назад, а 5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появляются названия для громадных чисел - до миллиона. Но долгое время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали, что существует самое большое число.
Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287-212 гг. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое большое число, которое умел называть Архимед, было настолько велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но записывать такие громадные числа еще не умели. Это стало возможным только после того, как индийскими математиками в VI в. была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие единиц в разрядах десятичной записи числа.
При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью ввести «ломаные числа» - обыкновенные дроби. Действия над дробями еще в средние века считались самой сложной областью математики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в затруднительное положение, что он «попал в дроби».
Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби . В Европе их ввел в Х585 г. голландский математик и инженер Симон Стевин.
Отрицательные числа появились позднее, чем дроби. Долгое время такие числа считали «несуществующими», «ложными» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество - долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущества» или «долги», но как понимать произведение или частное «имущества» и «долга»?
Однако несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в III в. греческим математиком Диофантом (в виде: «Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое дает прибавляемое» и т. д.), а позже индийский математик Б х а с к а р а (XII в.) выразил те же правила в понятиях «имущество», «долг» («Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество; произведение имущества и долга есть долг». То же правило и при делении).
Было установлено, что свойства действий над отрицательными числами те же, что и над положительными (например, сложение и умножение обладают переместительным свойством). И наконец с начала прошлого века отрицательные числа стали равоправными с положительными.
В дальнейшем в математике появились новые числа - иррациональные, комплексные и другие. О них вы узнаете в старших классах.
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И.Жохов, Математика для 6 класса, Учебник для средней школы
Книги и учебники согласно календарному плануванння по математике 6 класса скачать , помощь школьнику онлайн
Рисунок. Арифметические действия над рациональными числами.
Текст:
Правила при действиях с рациональными числами:
. при сложении чисел с одинаковыми знаками необходимо сложить их модули и перед суммой поставить их общий знак;
. при сложении двух чисел с разными знаками из числа с большим модулем вычитают число с меньшим модулем и перед полученной разностью ставят знак числа, имеющего больший модуль;
. при вычитании одного числа из другого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а - b = а + (-b)
. при умножении двух чисел с одинаковыми знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак плюс;
. при умножении двух чисел с разными знаками перемножаются их модули и перед полученным произведением ставится знак минус;
. при делении чисел с одинаковыми знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак плюс;
. при делении чисел с разными знаками модуль делимого делят на модуль делителя и перед полученным частным ставится знак минус;
. при делении и умножении нуля на любое число, не равное нулю, получается нуль:
. на нуль делить нельзя.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II
§ 36 Действия над рациональными числами
Как известно, две дроби m / n и k / l равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk .
Например, 1 / 3 = 2 / 6 , так как 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 , поскольку (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5 , так как 0 5 = 1 0 и т. д.
Очевидно, что для любого целого числа r , не равного 0,
: m / n = m r / n r
Это вытекает из очевидного равенства т (п r ) = п (т r ). Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов. Например,
5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 и т. д,
1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 и т. д.
0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 и т. д.
В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Напомним, как определяются эти действия.
Сумма двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :
Произведение двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :
m / n k / l = mk / nl (2)
Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) следовало бы показать, что сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители. Например,
1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6
и т. д. Однако рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашей программы.
При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:
1) коммутативный (или переместительный) закон сложения
m / n + k / l = k / l + m / n
2) ассоциативный (или сочетательный) закон сложения:
( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )
3) коммутативный (или переместительный) закон умножения:
m / n k / l = k / l m / n
4) ассоциативный (или сочетательный) закон умножения:
( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )
5) дистрибутивный (или распределительный) закон умножения относительно сложения:
( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q
Сложение и умножение являются основными алгебраическими действиями. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к сложению и умножению.
Разностью двух рациональных чисел m / n и k / l называется такое число х , которое в сумме с k / l дает m / n . Другими словами, разность m / n - k / l
k / l + x = m / n
Можно доказать, что такое уравнение всегда имеет корень и притом только один:
Таким образом, разность двух чисел m / n и k / l находится по формуле:
Если числа m / n и k / l равны между собой, то разность их обращается в нуль; если же эти числа не равны между собой, то разность их либо положительна, либо отрицательна. При m / n - k / l > 0 говорят, что число m / n больше числа k / l ; если же m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n меньше числа k / l .
Частным от деления рационального числа m / n на рациональное число k / l называется такое число х , которое в произведении с k / l дает m / n . Другими словами, частное m / n : k / l определяется как корень уравнения
k / l х = m / n .
Если k / l =/= 0, то данное уравнение имеет единственный корень
х = ml / nk
Если же k / l = 0, то это уравнение либо совсем не имеет корней (при m / n =/= 0), либо имеет бесконечно много корней (при m / n = 0). Желая сделать операцию деления выполнимой однозначно, условимся не рассматривать вовсе деление на нуль. Таким образом, деление рационального числа m / n на рациональное число k / l определено всегда, если только k / l =/= 0. При этом
m / n : k / l = ml / nk
Упражнения
295. Вычислить наиболее рациональным способом и указать, какими законами действий приходится при этом пользоваться;
а) (5 1 / 12 - 3 1 / 4) 24; в) (333 1 / 3 4) (3 / 125 1 / 16) .
б) (1 / 10 - 3 1 / 2) + 9 / 10
Самые разрушительные цунами современности
Инопланетянин, родившийся на земле
Основатель франции. Конституция франции. Энергетика и добыча полезных ископаемых