Δράσεις με τετραγωνικές ρίζες. Μονάδα μέτρησης

Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών

Μέχρι στιγμής, έχουμε κάνει πέντε αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και εκθετικότητα και διάφορες ιδιότητες αυτών των πράξεων χρησιμοποιήθηκαν ενεργά στους υπολογισμούς, για παράδειγμα, a + b = b + a, an-bn = (ab) n κ.λπ.

Αυτό το κεφάλαιο εισάγει μια νέα πράξη - λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού. Για να το χρησιμοποιήσετε με επιτυχία, πρέπει να εξοικειωθείτε με τις ιδιότητες αυτής της λειτουργίας, κάτι που θα κάνουμε σε αυτήν την ενότητα.

Απόδειξη. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Equality" width="120" height="25 id=">!}.

Έτσι διατυπώνουμε το παρακάτω θεώρημα.

(Μια σύντομη σύνθεση που είναι πιο βολική για χρήση στην πράξη: η ρίζα ενός κλάσματος είναι ίση με το κλάσμα των ριζών ή η ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.)

Αυτή τη φορά θα δώσουμε μόνο μια σύντομη καταγραφή της απόδειξης και μπορείτε να προσπαθήσετε να κάνετε κατάλληλα σχόλια παρόμοια με εκείνα που συνέθεσαν την ουσία της απόδειξης του Θεωρήματος 1.

Παρατήρηση 3. Φυσικά, αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί διαφορετικά, ειδικά αν έχετε μια αριθμομηχανή στο χέρι: πολλαπλασιάστε τους αριθμούς 36, 64, 9 και, στη συνέχεια, πάρτε την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος που προκύπτει. Ωστόσο, θα συμφωνήσετε ότι η λύση που προτείνεται παραπάνω φαίνεται πιο πολιτιστική.

Παρατήρηση 4. Στην πρώτη μέθοδο, πραγματοποιήσαμε μετωπικούς υπολογισμούς. Ο δεύτερος τρόπος είναι πιο κομψός:
κάναμε αίτηση τύπος a2 - b2 = (a - b) (a + b) και χρησιμοποίησε την ιδιότητα των τετραγωνικών ριζών.

Παρατήρηση 5. Ορισμένοι «hotheads» προσφέρουν μερικές φορές την ακόλουθη «λύση» στο Παράδειγμα 3:

Αυτό, φυσικά, δεν είναι αλήθεια: βλέπετε - το αποτέλεσμα δεν είναι το ίδιο με το παράδειγμά μας 3. Το γεγονός είναι ότι δεν υπάρχει ιδιοκτησία https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Task" width="148" height="26 id=">!}Υπάρχουν μόνο ιδιότητες που αφορούν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των τετραγωνικών ριζών. Να είστε προσεκτικοί και προσεκτικοί, μην κάνετε ευσεβείς πόθους.

Ολοκληρώνοντας την παράγραφο, σημειώνουμε μια ακόμη μάλλον απλή και ταυτόχρονα σημαντική ιδιότητα:
αν a > 0 και n - φυσικός αριθμός, έπειτα

Μετατροπή παραστάσεων που περιέχουν τη λειτουργία τετραγωνικής ρίζας

Μέχρι στιγμής, έχουμε πραγματοποιήσει μόνο μετασχηματισμούς ορθολογικές εκφράσεις, χρησιμοποιώντας για αυτό τους κανόνες πράξεων σε πολυώνυμα και αλγεβρικά κλάσματα, τύπους συντετμημένου πολλαπλασιασμού κ.λπ. Σε αυτό το κεφάλαιο, εισαγάγαμε μια νέα πράξη - την πράξη εξαγωγής τετραγωνικής ρίζας. το έχουμε διαπιστώσει

όπου, ανάκληση, τα a, b είναι μη αρνητικοί αριθμοί.

Χρησιμοποιώντας αυτά ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι, μπορείτε να εκτελέσετε διάφορους μετασχηματισμούς παραστάσεων που περιέχουν την πράξη τετραγωνικής ρίζας. Ας εξετάσουμε πολλά παραδείγματα και σε όλα τα παραδείγματα θα υποθέσουμε ότι οι μεταβλητές λαμβάνουν μόνο μη αρνητικές τιμές.

Παράδειγμα 3Εισαγάγετε έναν παράγοντα κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας:

Παράδειγμα 6. Απλοποιήστε την έκφραση Λύση. Ας κάνουμε διαδοχικούς μετασχηματισμούς:

Το εμβαδόν ενός τετραγωνικού οικοπέδου είναι 81 dm². Βρείτε την πλευρά του. Ας υποθέσουμε ότι το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι Χδεκατόμετρα. Τότε η περιοχή του οικοπέδου είναι Χ² τετραγωνικά δεκατόμετρα. Αφού, σύμφωνα με τη συνθήκη, η έκταση αυτή είναι 81 dm², λοιπόν Χ² = 81. Το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου είναι θετικός αριθμός. Ένας θετικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι 81 είναι ο αριθμός 9. Κατά την επίλυση του προβλήματος, έπρεπε να βρεθεί ο αριθμός x, το τετράγωνο του οποίου είναι 81, δηλαδή να λυθεί η εξίσωση Χ² = 81. Αυτή η εξίσωση έχει δύο ρίζες: Χ 1 = 9 και Χ 2 \u003d - 9, αφού 9² \u003d 81 και (- 9)² \u003d 81. Και οι δύο αριθμοί 9 και - 9 ονομάζονται τετραγωνικές ρίζες του αριθμού 81.

Σημειώστε ότι μία από τις τετραγωνικές ρίζες Χ= 9 είναι θετικός αριθμός. Ονομάζεται αριθμητική τετραγωνική ρίζα του 81 και συμβολίζεται √81, άρα √81 = 9.

Αριθμητική τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού έναείναι ένας μη αρνητικός αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι ίσο με ένα.

Για παράδειγμα, οι αριθμοί 6 και -6 είναι οι τετραγωνικές ρίζες του 36. Ο αριθμός 6 είναι η αριθμητική τετραγωνική ρίζα του 36, αφού το 6 είναι ένας μη αρνητικός αριθμός και το 6² = 36. Ο αριθμός -6 δεν είναι αριθμητική ρίζα.

Αριθμητική τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού ένασυμβολίζεται ως εξής: √ ένα.

Το σύμβολο ονομάζεται αριθμητική τετραγωνική ρίζα. έναονομάζεται έκφραση ρίζας. Έκφραση √ έναανάγνωση όπως αυτό: η αριθμητική τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού ένα.Για παράδειγμα, √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. Σε περιπτώσεις που είναι ξεκάθαρο ότι μιλάμε για αριθμητική ρίζα, λένε εν συντομία: «η τετραγωνική ρίζα του ένα«.

Η πράξη εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού ονομάζεται λήψη της τετραγωνικής ρίζας. Αυτή η ενέργεια είναι το αντίστροφο του τετραγωνισμού.

Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να τετραγωνιστεί, αλλά δεν μπορεί κάθε αριθμός να είναι τετραγωνικές ρίζες. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα του αριθμού - 4. Εάν υπήρχε μια τέτοια ρίζα, τότε, δηλώνοντάς την με το γράμμα Χ, θα παίρναμε λάθος ισότητα x² \u003d - 4, καθώς υπάρχει ένας μη αρνητικός αριθμός στα αριστερά και ένας αρνητικός αριθμός στα δεξιά.

Έκφραση √ έναέχει νόημα μόνο όταν α ≥ 0. Ο ορισμός της τετραγωνικής ρίζας μπορεί να γραφεί εν συντομία ως: √ α ≥ 0, (√ένα)² = ένα. Ισότητα (√ ένα)² = έναισχύει για α ≥ 0. Έτσι, για να βεβαιωθείτε ότι η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού έναισοδυναμεί σι, δηλαδή, ότι √ ένα =σι, πρέπει να ελέγξετε ότι πληρούνται οι ακόλουθες δύο προϋποθέσεις: β ≥ 0, σι² = ένα.

Η τετραγωνική ρίζα ενός κλάσματος

Ας υπολογίσουμε. Σημειώστε ότι √25 = 5, √36 = 6, και ελέγξτε αν ισχύει η ισότητα.

Επειδή και , τότε η ισότητα είναι αληθινή. Ετσι, .

Θεώρημα:Αν ένα ένα≥ 0 και σι> 0, δηλαδή η ρίζα του κλάσματος είναι ίση με τη ρίζα του αριθμητή διαιρούμενη με τη ρίζα του παρονομαστή. Απαιτείται να αποδειχθεί ότι: και .

Από √ ένα≥0 και √ σι> 0, τότε .

Με την ιδιότητα της αύξησης ενός κλάσματος σε δύναμη και του προσδιορισμού της τετραγωνικής ρίζας το θεώρημα αποδεικνύεται. Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε , σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα .

Δεύτερο παράδειγμα: Αποδείξτε το , αν ένα ≤ 0, σι < 0. .

Άλλο παράδειγμα: Υπολογίστε .

.

Μετασχηματισμός τετραγωνικής ρίζας

Βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή κάτω από το σημάδι της ρίζας. Ας δοθεί μια έκφραση. Αν ένα ένα≥ 0 και σι≥ 0, τότε με το θεώρημα για τη ρίζα του γινομένου, μπορούμε να γράψουμε:

Ένας τέτοιος μετασχηματισμός ονομάζεται παραγοντοποίηση του σημείου της ρίζας. Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Υπολογίστε στο Χ= 2. Απευθείας αντικατάσταση Χ= 2 στη ριζική έκφραση οδηγεί σε περίπλοκους υπολογισμούς. Αυτοί οι υπολογισμοί μπορούν να απλοποιηθούν εάν πρώτα αφαιρέσουμε τους παράγοντες κάτω από το σύμβολο της ρίζας: . Τώρα αντικαθιστώντας το x = 2, παίρνουμε:.

Έτσι, όταν αφαιρούμε τον παράγοντα κάτω από το σύμβολο της ρίζας, η ριζική έκφραση αναπαρίσταται ως γινόμενο στο οποίο ένας ή περισσότεροι παράγοντες είναι τα τετράγωνα των μη αρνητικών αριθμών. Στη συνέχεια εφαρμόζεται το θεώρημα του ριζικού προϊόντος και λαμβάνεται η ρίζα κάθε παράγοντα. Εξετάστε ένα παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση A = √8 + √18 - 4√2 αφαιρώντας τους παράγοντες κάτω από το σύμβολο της ρίζας στους δύο πρώτους όρους, παίρνουμε:. Τονίζουμε ότι η ισότητα ισχύει μόνο όταν ένα≥ 0 και σι≥ 0. αν ένα < 0, то .

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα:
"Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας. Τύποι. Παραδείγματα λύσεων, εργασίες με απαντήσεις"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την τάξη 8
Διαδραστικός οδηγός μελέτης «Γεωμετρία σε 10 λεπτά» για την 8η τάξη
Εκπαιδευτικό συγκρότημα "1Γ: Σχολείο. Γεωμετρία, 8η τάξη"

Ιδιότητες τετραγωνικής ρίζας

Συνεχίζουμε να μελετάμε τις τετραγωνικές ρίζες. Σήμερα θα εξετάσουμε τις κύριες ιδιότητες των ριζών. Όλες οι κύριες ιδιότητες είναι διαισθητικές και συνεπείς με όλες τις λειτουργίες που έχουμε κάνει στο παρελθόν.

Ιδιότητα 1. Η τετραγωνική ρίζα του γινομένου δύο μη αρνητικών αριθμών είναι ίση με το γινόμενο των τετραγωνικών ριζών αυτών των αριθμών: $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(b)$.

Συνηθίζεται να αποδεικνύονται οι όποιες ιδιότητες, ας το κάνουμε.
Έστω $\sqrt(a*b)=x$, $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$. Τότε πρέπει να αποδείξουμε ότι $x=y*z$.
Ας τετραγωνίσουμε κάθε έκφραση.
Αν $\sqrt(a*b)=x$ τότε $a*b=x^2$.
Αν $\sqrt(a)=y$, $\sqrt(b)=z$, τότε τετραγωνίζοντας και τις δύο παραστάσεις, παίρνουμε: $a=y^2$, $b=z^2$.
$a*b=x^2=y^2*z^2$, δηλαδή $x^2=(y*z)^2$. Αν τα τετράγωνα δύο μη αρνητικών αριθμών είναι ίσα, τότε οι ίδιοι οι αριθμοί είναι ίσοι, κάτι που έπρεπε να αποδειχθεί.

Από την ιδιότητά μας προκύπτει ότι, για παράδειγμα, $\sqrt(5)*\sqrt(3)=\sqrt(15)$.

Παρατήρηση 1. Η ιδιότητα ισχύει και για την περίπτωση που υπάρχουν περισσότεροι από δύο μη αρνητικοί παράγοντες κάτω από τη ρίζα.
Ιδιοκτησία 2. Αν $a≥0$ και $b>0$, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$

Δηλαδή η ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.
Απόδειξη.
Ας χρησιμοποιήσουμε τον πίνακα και ας αποδείξουμε εν συντομία την περιουσία μας.

Παραδείγματα χρήσης ιδιοτήτων τετραγωνικών ριζών

Παράδειγμα 1
Υπολογίστε: $\sqrt(81*25*121)$.

Λύση.
Φυσικά, μπορούμε να πάρουμε μια αριθμομηχανή, να πολλαπλασιάσουμε όλους τους αριθμούς κάτω από τη ρίζα και να κάνουμε την πράξη εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας. Και αν δεν υπάρχει αριθμομηχανή στο χέρι, τι γίνεται τότε;
$\sqrt(81*25*121)=\sqrt(81)*\sqrt(25)*\sqrt(121)=9*5*11=495$.
Απάντηση: 495.

Παράδειγμα 2. Υπολογίστε: $\sqrt(11\frac(14)(25))$.

Λύση.
Αντιπροσωπεύουμε τον ριζικό αριθμό ως ακατάλληλο κλάσμα: $11\frac(14)(25)=\frac(11*25+14)(25)=\frac(275+14)(25)=\frac(289)( 25) $.
Ας χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα 2.
$\sqrt(\frac(289)(25))=\frac(\sqrt(289))(\sqrt(25))=\frac(17)(5)=3\frac(2)(5)= 3,4$.
Απάντηση: 3.4.

Παράδειγμα 3
Υπολογίστε: $\sqrt(40^2-24^2)$.

Λύση.
Μπορούμε να αξιολογήσουμε την έκφρασή μας άμεσα, αλλά μπορεί σχεδόν πάντα να απλοποιηθεί. Ας προσπαθήσουμε να το κάνουμε αυτό.
$40^2-24^2=(40-24)(40+24)=16*64$.
Άρα $\sqrt(40^2-24^2)=\sqrt(16*64)=\sqrt(16)*\sqrt(64)=4*8=32$.
Απάντηση: 32.

Παιδιά, σημειώστε ότι δεν υπάρχουν τύποι για τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης ριζικών εκφράσεων και οι παρακάτω εκφράσεις δεν είναι σωστές.
$\sqrt(a+b)≠\sqrt(a)+\sqrt(b)$.
$\sqrt(a-b)≠\sqrt(a)-\sqrt(b)$.

Παράδειγμα 4
Υπολογίστε: α) $\sqrt(32)*\sqrt(8)$; β) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))$.
Λύση.
Οι ιδιότητες που παρουσιάζονται παραπάνω λειτουργούν τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και με αντίστροφη σειρά, δηλαδή:
$\sqrt(a)*\sqrt(b)=\sqrt(a*b)$.
$\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))=\sqrt(\frac(a)(b))$.
Ας το χρησιμοποιήσουμε για να λύσουμε το παράδειγμά μας.
α) $\sqrt(32)*\sqrt(8)=\sqrt(32*8)=\sqrt(256)=16.$

Β) $\frac(\sqrt(32))(\sqrt(8))=\sqrt(\frac(32)(8))=\sqrt(4)=2$.

Απάντηση: α) 16; β) 2.

Ιδιοκτησία 3. Εάν ο $a≥0$ και ο n είναι φυσικός αριθμός, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $\sqrt(a^(2n))=a^n$.

Για παράδειγμα. $\sqrt(a^(16))=a^8$, $\sqrt(a^(24))=a^(12)$ και ούτω καθεξής.

Παράδειγμα 5
Υπολογίστε: $\sqrt(129600)$.

Λύση.
Ο αριθμός που μας παρουσιάζεται είναι αρκετά μεγάλος, ας τον αποσυνθέσουμε σε πρώτους παράγοντες.
Πήραμε: $129600=5^2*2^6*3^4$ ή $\sqrt(129600)=\sqrt(5^2*2^6*3^4)=5*2^3*3^2 =5*8*9=360$.
Απάντηση: 360.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

1. Υπολογίστε: $\sqrt(144*36*64)$.
2. Υπολογίστε: $\sqrt(8\frac(1)(36))$.
3. Υπολογίστε: $\sqrt(52^2-48^2)$.
4. Υπολογίστε:
α) $\sqrt(128*\sqrt(8))$;
β) $\frac(\sqrt(128))(\sqrt(8))$.

Τα μαθηματικά γεννήθηκαν όταν ένα άτομο συνειδητοποίησε τον εαυτό του και άρχισε να τοποθετεί τον εαυτό του ως μια αυτόνομη μονάδα του κόσμου. Η επιθυμία να μετρήσετε, να συγκρίνετε, να υπολογίσετε αυτό που σας περιβάλλει είναι αυτό που κρύβει μια από τις θεμελιώδεις επιστήμες των ημερών μας. Στην αρχή, αυτά ήταν κομμάτια στοιχειωδών μαθηματικών, που επέτρεψαν τη σύνδεση αριθμών με τις φυσικές τους εκφράσεις, αργότερα τα συμπεράσματα άρχισαν να παρουσιάζονται μόνο θεωρητικά (λόγω της αφηρητότητάς τους), αλλά μετά από λίγο, όπως το έθεσε ένας επιστήμονας, " τα μαθηματικά έφτασαν στο ανώτατο όριο της πολυπλοκότητας όταν όλοι οι αριθμοί». Η έννοια της «τετραγωνικής ρίζας» εμφανίστηκε σε μια εποχή που μπορούσε εύκολα να υποστηριχθεί από εμπειρικά δεδομένα, ξεπερνώντας το επίπεδο των υπολογισμών.

Πώς ξεκίνησαν όλα

Η πρώτη αναφορά της ρίζας, η οποία σήμερα συμβολίζεται ως √, καταγράφηκε στα γραπτά των Βαβυλωνίων μαθηματικών, οι οποίοι έθεσαν τα θεμέλια για τη σύγχρονη αριθμητική. Φυσικά, έμοιαζαν λίγο με τη σημερινή μορφή - οι επιστήμονες εκείνων των χρόνων χρησιμοποίησαν για πρώτη φορά ογκώδη δισκία. Όμως στη δεύτερη χιλιετία π.Χ. μι. κατέληξαν σε έναν κατά προσέγγιση τύπο υπολογισμού που έδειχνε πώς να πάρει την τετραγωνική ρίζα. Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει μια πέτρα στην οποία οι Βαβυλώνιοι επιστήμονες χάραξαν τη διαδικασία εξόδου √2 και αποδείχθηκε τόσο σωστή που η απόκλιση στην απάντηση βρέθηκε μόνο στο δέκατο δεκαδικό ψηφίο.

Επιπλέον, η ρίζα χρησιμοποιήθηκε αν ήταν απαραίτητο να βρεθεί η πλευρά ενός τριγώνου, με την προϋπόθεση ότι οι άλλες δύο ήταν γνωστές. Λοιπόν, όταν λύνουμε τετραγωνικές εξισώσεις, δεν υπάρχει διαφυγή από την εξαγωγή της ρίζας.

Μαζί με τα βαβυλωνιακά έργα, το αντικείμενο του άρθρου μελετήθηκε στο κινεζικό έργο "Mathematics in Nine Books" και οι αρχαίοι Έλληνες κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οποιοσδήποτε αριθμός από τον οποίο δεν εξάγεται η ρίζα χωρίς υπόλοιπο δίνει ένα παράλογο αποτέλεσμα.

Η προέλευση αυτού του όρου συνδέεται με την αραβική αναπαράσταση του αριθμού: οι αρχαίοι επιστήμονες πίστευαν ότι το τετράγωνο ενός αυθαίρετου αριθμού μεγαλώνει από τη ρίζα, όπως ένα φυτό. Στα λατινικά, αυτή η λέξη ακούγεται σαν ρίζα (μπορεί κανείς να εντοπίσει ένα μοτίβο - οτιδήποτε έχει σημασιολογικό φορτίο «ρίζας» είναι σύμφωνο, είτε είναι ραπανάκι είτε ισχιαλγία).

Οι επιστήμονες των επόμενων γενεών άντλησαν αυτήν την ιδέα, χαρακτηρίζοντάς την ως Rx. Για παράδειγμα, τον 15ο αιώνα, για να υποδείξουν ότι η τετραγωνική ρίζα προέρχεται από έναν αυθαίρετο αριθμό α, έγραψαν R 2 a. Το «τσιμπούρι» √, γνωστό στη σύγχρονη εμφάνιση, εμφανίστηκε μόλις τον 17ο αιώνα χάρη στον Rene Descartes.

Οι μέρες μας

Μαθηματικά, η τετραγωνική ρίζα του y είναι ο αριθμός z του οποίου το τετράγωνο είναι y. Με άλλα λόγια, το z 2 =y είναι ισοδύναμο με √y=z. Ωστόσο, αυτός ο ορισμός είναι σχετικός μόνο για την αριθμητική ρίζα, καθώς υποδηλώνει μια μη αρνητική τιμή της έκφρασης. Με άλλα λόγια, √y=z, όπου το z είναι μεγαλύτερο ή ίσο με 0.

Γενικά, που ισχύει για τον προσδιορισμό μιας αλγεβρικής ρίζας, η τιμή μιας παράστασης μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική. Έτσι, λόγω του γεγονότος ότι z 2 =y και (-z) 2 =y, έχουμε: √y=±z ή √y=|z|.

Λόγω του γεγονότος ότι η αγάπη για τα μαθηματικά έχει αυξηθεί μόνο με την ανάπτυξη της επιστήμης, υπάρχουν διάφορες εκδηλώσεις στοργής για αυτά, που δεν εκφράζονται σε ξηρούς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, μαζί με τόσο ενδιαφέροντα γεγονότα όπως η ημέρα του Πι, γιορτάζονται και οι διακοπές της τετραγωνικής ρίζας. Γιορτάζονται εννέα φορές σε εκατό χρόνια και καθορίζονται σύμφωνα με την ακόλουθη αρχή: οι αριθμοί που δηλώνουν την ημέρα και τον μήνα κατά σειρά πρέπει να είναι η τετραγωνική ρίζα του έτους. Έτσι, την επόμενη φορά αυτή η γιορτή θα γιορταστεί στις 4 Απριλίου 2016.

Ιδιότητες της τετραγωνικής ρίζας στο πεδίο R

Σχεδόν όλες οι μαθηματικές εκφράσεις έχουν γεωμετρική βάση, αυτή η μοίρα δεν πέρασε και √y, που ορίζεται ως η πλευρά ενός τετραγώνου με εμβαδόν y.

Πώς να βρείτε τη ρίζα ενός αριθμού;

Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι υπολογισμού. Ο απλούστερος, αλλά ταυτόχρονα αρκετά δυσκίνητος, είναι ο συνηθισμένος αριθμητικός υπολογισμός, ο οποίος έχει ως εξής:

1) από τον αριθμό του οποίου τη ρίζα χρειαζόμαστε, οι περιττοί αριθμοί αφαιρούνται με τη σειρά τους - έως ότου το υπόλοιπο της παραγωγής είναι μικρότερο από το αφαιρούμενο ή ίσο με μηδέν. Ο αριθμός των κινήσεων θα γίνει τελικά ο επιθυμητός αριθμός. Για παράδειγμα, υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα του 25:

Ο επόμενος περιττός αριθμός είναι το 11, το υπόλοιπο είναι: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?

Για τέτοιες περιπτώσεις, υπάρχει μια επέκταση της σειράς Taylor:

√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , όπου το n παίρνει τιμές από 0 έως

+∞ και |y|≤1.

Γραφική παράσταση της συνάρτησης z=√y

Θεωρήστε μια στοιχειώδη συνάρτηση z=√y στο πεδίο των πραγματικών αριθμών R, όπου το y είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν. Το διάγραμμα της μοιάζει με αυτό:

Η καμπύλη μεγαλώνει από την αρχή και αναγκαστικά διασχίζει το σημείο (1; 1).

Ιδιότητες της συνάρτησης z=√y στο πεδίο των πραγματικών αριθμών R

1. Το πεδίο ορισμού της εξεταζόμενης συνάρτησης είναι το διάστημα από το μηδέν έως το συν άπειρο (περιλαμβάνεται το μηδέν).

2. Το εύρος τιμών της εξεταζόμενης συνάρτησης είναι το διάστημα από το μηδέν έως το συν άπειρο (περιλαμβάνεται και πάλι το μηδέν).

3. Η συνάρτηση παίρνει την ελάχιστη τιμή (0) μόνο στο σημείο (0; 0). Δεν υπάρχει μέγιστη τιμή.

4. Η συνάρτηση z=√y δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.

5. Η συνάρτηση z=√y δεν είναι περιοδική.

6. Υπάρχει μόνο ένα σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης z=√y με τους άξονες συντεταγμένων: (0; 0).

7. Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης z=√y είναι και το μηδέν αυτής της συνάρτησης.

8. Η συνάρτηση z=√y αυξάνεται συνεχώς.

9. Η συνάρτηση z=√y παίρνει μόνο θετικές τιμές, επομένως, η γραφική παράσταση της καταλαμβάνει την πρώτη γωνία συντεταγμένων.

Επιλογές για την εμφάνιση της συνάρτησης z=√y

Στα μαθηματικά, για να διευκολυνθεί ο υπολογισμός μιγαδικών παραστάσεων, χρησιμοποιείται μερικές φορές η μορφή ισχύος της γραφής της τετραγωνικής ρίζας: √y=y 1/2. Αυτή η επιλογή είναι βολική, για παράδειγμα, για την αύξηση μιας συνάρτησης σε μια ισχύ: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2 . Αυτή η μέθοδος είναι επίσης μια καλή αναπαράσταση για διαφοροποίηση με ολοκλήρωση, αφού χάρη σε αυτήν η τετραγωνική ρίζα αντιπροσωπεύεται από μια συνηθισμένη συνάρτηση ισχύος.

Και στον προγραμματισμό, η αντικατάσταση του συμβόλου √ είναι ο συνδυασμός των γραμμάτων sqrt.

Αξίζει να σημειωθεί ότι σε αυτή την περιοχή η τετραγωνική ρίζα έχει μεγάλη ζήτηση, καθώς αποτελεί μέρος των περισσότερων γεωμετρικών τύπων που είναι απαραίτητοι για τους υπολογισμούς. Ο ίδιος ο αλγόριθμος μέτρησης είναι αρκετά περίπλοκος και βασίζεται στην αναδρομή (μια συνάρτηση που καλεί τον εαυτό του).

Η τετραγωνική ρίζα στο μιγαδικό πεδίο Γ

Σε γενικές γραμμές, ήταν το θέμα αυτού του άρθρου που ώθησε την ανακάλυψη του πεδίου των μιγαδικών αριθμών C, καθώς οι μαθηματικοί κυνηγούνταν από το ζήτημα της απόκτησης ρίζας ζυγού βαθμού από έναν αρνητικό αριθμό. Έτσι εμφανίστηκε η φανταστική μονάδα i, η οποία χαρακτηρίζεται από μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα: το τετράγωνό της είναι -1. Χάρη σε αυτό, οι τετραγωνικές εξισώσεις και με αρνητική διάκριση πήραν μια λύση. Στο C, για την τετραγωνική ρίζα, οι ίδιες ιδιότητες είναι σχετικές με το R, το μόνο πράγμα είναι ότι αφαιρούνται οι περιορισμοί στην έκφραση ρίζας.

Τύποι ρίζας. ιδιότητες των τετραγωνικών ριζών.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Στο προηγούμενο μάθημα, καταλάβαμε τι είναι η τετραγωνική ρίζα. Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε τι είναι φόρμουλες για ρίζες, τι είναι ιδιότητες της ρίζαςκαι τι μπορεί να γίνει για όλα αυτά.

Τύποι ρίζας, ιδιότητες ρίζας και κανόνες για ενέργειες με ρίζες- είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα. Υπάρχουν εκπληκτικά λίγοι τύποι για τις τετραγωνικές ρίζες. Κάτι που φυσικά ευχαριστεί! Αντίθετα, μπορείτε να γράψετε πολλά από όλα τα είδη τύπων, αλλά μόνο τρεις αρκούν για πρακτική και σίγουρη εργασία με τις ρίζες. Όλα τα άλλα πηγάζουν από αυτά τα τρία. Αν και πολλοί ξεφεύγουν από τις τρεις φόρμουλες των ριζών, ναι...

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό. Εκεί είναι:

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.