Αλγεβρικοί τύποι προόδου. Η έννοια της αριθμητικής προόδου

Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Θεωρητικές πληροφορίες

Θεωρητικές πληροφορίες

	Αριθμητική πρόοδος	Γεωμετρική πρόοδος
Ορισμός	Αριθμητική πρόοδος a nκαλείται μια ακολουθία, κάθε μέλος της οποίας, ξεκινώντας από το δεύτερο, ισούται με το προηγούμενο μέλος, που προστίθεται με τον ίδιο αριθμό ρε (ρε- διαφορά εξέλιξης)	γεωμετρική πρόοδος b nκαλείται μια ακολουθία μη μηδενικών αριθμών, κάθε όρος της οποίας, ξεκινώντας από τον δεύτερο, ισούται με τον προηγούμενο όρο πολλαπλασιασμένο με τον ίδιο αριθμό q (q- παρονομαστής προόδου)
Επαναλαμβανόμενη φόρμουλα	Για κάθε φυσικό n a n + 1 = a n + d	Για κάθε φυσικό n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
τύπος nου όρου	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
χαρακτηριστική ιδιότητα
Άθροισμα των πρώτων ν όρων

Παραδείγματα εργασιών με σχόλια

Ασκηση 1

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n) Α'1 = -6, Α2

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

ένα 22 = Α'1+ d (22 - 1) = Α'1+ 21η

Κατά όρο:

Α'1= -6, άρα ένα 22= -6 + 21η.

Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d= α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 2

Βρείτε τον πέμπτο όρο της γεωμετρικής προόδου: -3; 6;....

1ος τρόπος (χρησιμοποιώντας τον τύπο ν-όρου)

Σύμφωνα με τον τύπο του ν-ου μέλους μιας γεωμετρικής προόδου:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Επειδή β 1 = -3,

2ος τρόπος (με χρήση αναδρομικού τύπου)

Εφόσον ο παρονομαστής της προόδου είναι -2 (q = -2), τότε:

β 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

β 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

β 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: β 5 = -48.

Εργασία 3

Σε αριθμητική πρόοδο ( α ιδ) α 74 = 34; ένα 76= 156. Βρείτε τον εβδομήντα πέμπτο όρο αυτής της προόδου.

Για μια αριθμητική πρόοδο, η χαρακτηριστική ιδιότητα έχει τη μορφή .

Επομένως:

.

Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο:

Απάντηση: 95.

Εργασία 4

Σε αριθμητική πρόοδο ( a n ) a n= 3n - 4. Να βρείτε το άθροισμα των πρώτων δεκαεπτά όρων.

Για να βρεθεί το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιούνται δύο τύποι:

.

Ποιο από αυτά είναι πιο βολικό να εφαρμοστεί σε αυτήν την περίπτωση;

Κατά συνθήκη, ο τύπος του nου μέλους της αρχικής προόδου είναι γνωστός ( a n) a n= 3n - 4. Μπορεί να βρεθεί αμέσως και Α'1, και ένα 16χωρίς να βρεις δ . Επομένως, χρησιμοποιούμε τον πρώτο τύπο.

Απάντηση: 368.

Εργασία 5

Σε αριθμητική πρόοδο a n) Α'1 = -6; Α2= -8. Βρείτε τον εικοστό δεύτερο όρο της προόδου.

Σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = Α'1+ 21η.

Κατά όρο, εάν Α'1= -6, λοιπόν ένα 22= -6 + 21η. Είναι απαραίτητο να βρείτε τη διαφορά των προόδων:

d= α 2 – α 1 = -8 – (-6) = -2

ένα 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Απάντηση: ένα 22 = -48.

Εργασία 6

Καταγράφονται αρκετοί διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου:

Βρείτε τον όρο της προόδου, που συμβολίζεται με το γράμμα x .

Όταν λύνουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο για τον nο όρο b n \u003d b 1 ∙ q n - 1για γεωμετρικές προόδους. Το πρώτο μέλος της εξέλιξης. Για να βρείτε τον παρονομαστή της προόδου q, πρέπει να πάρετε οποιονδήποτε από αυτούς τους όρους της προόδου και να διαιρέσετε με τον προηγούμενο. Στο παράδειγμά μας, μπορείτε να πάρετε και να διαιρέσετε με. Παίρνουμε ότι q \u003d 3. Αντί για n, αντικαθιστούμε 3 στον τύπο, καθώς είναι απαραίτητο να βρούμε τον τρίτο όρο μιας δεδομένης γεωμετρικής προόδου.

Αντικαθιστώντας τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο, παίρνουμε:

.

Απάντηση:.

Εργασία 7

Από τις αριθμητικές προόδους που δίνονται από τον τύπο του nου μέλους, επιλέξτε αυτή για την οποία ικανοποιείται η συνθήκη ένα 27 > 9:

Εφόσον η καθορισμένη συνθήκη πρέπει να ικανοποιηθεί για τον 27ο όρο της προόδου, αντικαθιστούμε 27 αντί για n σε καθεμία από τις τέσσερις προόδους. Στην 4η εξέλιξη παίρνουμε:

.

Απάντηση: 4.

Εργασία 8

Σε αριθμητική πρόοδο Α'1= 3, d = -1,5. Καθορίστε τη μεγαλύτερη τιμή του n για την οποία ισχύει η ανισότητα a n > -6.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι απλό πράγμα. Και σε νόημα και σε τύπο. Αλλά υπάρχουν όλα τα είδη εργασιών σε αυτό το θέμα. Από στοιχειώδες έως αρκετά συμπαγές.

Αρχικά, ας ασχοληθούμε με τη σημασία και τον τύπο του αθροίσματος. Και μετά θα αποφασίσουμε. Για τη δική σας ευχαρίστηση.) Η έννοια του αθροίσματος είναι τόσο απλή όσο το χαμήλωμα. Για να βρείτε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, χρειάζεται απλώς να προσθέσετε προσεκτικά όλα τα μέλη της. Εάν αυτοί οι όροι είναι λίγοι, μπορείτε να προσθέσετε χωρίς τύπους. Αλλά αν υπάρχουν πολλά, ή πολλά ... η προσθήκη είναι ενοχλητική.) Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος σώζει.

Ο τύπος του αθροίσματος είναι απλός:

Ας μάθουμε τι είδους γράμματα περιλαμβάνονται στον τύπο. Αυτό θα ξεκαθαρίσει πολλά.

S n είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Αποτέλεσμα προσθήκης όλαμέλη, με πρώταεπί τελευταίος.Είναι σημαντικό. Προσθέστε ακριβώς όλαμέλη στη σειρά, χωρίς κενά και άλματα. Και, ακριβώς, ξεκινώντας από πρώτα.Σε προβλήματα όπως η εύρεση του αθροίσματος του τρίτου και του όγδοου όρων ή του αθροίσματος των όρων πέντε έως εικοστού, η άμεση εφαρμογή του τύπου θα είναι απογοητευτική.)

Α'1 - ο πρώτοςμέλος της προόδου. Όλα είναι ξεκάθαρα εδώ, είναι απλό πρώτααριθμός σειράς.

a n- τελευταίοςμέλος της προόδου. Ο τελευταίος αριθμός της σειράς. Δεν είναι πολύ γνωστό όνομα, αλλά, όταν εφαρμόζεται στην ποσότητα, είναι πολύ κατάλληλο. Τότε θα το δείτε μόνοι σας.

n είναι ο αριθμός του τελευταίου μέλους. Είναι σημαντικό να καταλάβουμε ότι στον τύπο αυτός ο αριθμός συμπίπτει με τον αριθμό των μελών που προστέθηκαν.

Ας ορίσουμε την έννοια τελευταίοςμέλος a n. Συμπληρωματική ερώτηση: τι είδους μέλος θα τελευταίος,αν δοθεί ατελείωτεςαριθμητική πρόοδος;

Για μια σίγουρη απάντηση, πρέπει να κατανοήσετε τη στοιχειώδη σημασία μιας αριθμητικής προόδου και ... να διαβάσετε προσεκτικά την εργασία!)

Στην εργασία εύρεσης του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου, εμφανίζεται πάντα ο τελευταίος όρος (άμεσα ή έμμεσα), που θα πρέπει να περιοριστεί.Διαφορετικά, ένα πεπερασμένο, συγκεκριμένο ποσό απλά δεν υπάρχει.Για τη λύση, δεν έχει σημασία τι είδους εξέλιξη δίνεται: πεπερασμένη ή άπειρη. Δεν έχει σημασία πώς δίνεται: από μια σειρά αριθμών, ή από τον τύπο του nου μέλους.

Το πιο σημαντικό είναι να κατανοήσουμε ότι ο τύπος λειτουργεί από τον πρώτο όρο της προόδου στον όρο με τον αριθμό n.Στην πραγματικότητα, το πλήρες όνομα του τύπου μοιάζει με αυτό: το άθροισμα των πρώτων ν όρων μιας αριθμητικής προόδου.Ο αριθμός αυτών των πρώτων μελών, δηλ. n, καθορίζεται αποκλειστικά από την εργασία. Στην εργασία, όλες αυτές οι πολύτιμες πληροφορίες είναι συχνά κρυπτογραφημένες, ναι ... Αλλά τίποτα, στα παρακάτω παραδείγματα θα αποκαλύψουμε αυτά τα μυστικά.)

Παραδείγματα εργασιών για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου.

Καταρχήν χρήσιμες πληροφορίες:

Η κύρια δυσκολία στις εργασίες για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου είναι ο σωστός προσδιορισμός των στοιχείων του τύπου.

Οι συντάκτες των εργασιών κρυπτογραφούν αυτά τα στοιχεία με απεριόριστη φαντασία.) Το κύριο πράγμα εδώ είναι να μην φοβάστε. Κατανοώντας την ουσία των στοιχείων, αρκεί απλώς να τα αποκρυπτογραφήσουμε. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα λεπτομερώς. Ας ξεκινήσουμε με μια εργασία που βασίζεται σε ένα πραγματικό GIA.

1. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a n = 2n-3,5. Βρείτε το άθροισμα των 10 πρώτων όρων.

Καλή δουλειά. Εύκολο.) Για να προσδιορίσουμε την ποσότητα σύμφωνα με τον τύπο, τι πρέπει να γνωρίζουμε; Πρώτο Μέλος Α'1, τελευταίος όρος a n, ναι ο αριθμός του τελευταίου όρου n.

Πού να βρείτε τον τελευταίο αριθμό μέλους n? Ναι, στο ίδιο μέρος, στην κατάσταση! Λέει βρείτε το άθροισμα τα πρώτα 10 μέλη.Λοιπόν, τι αριθμός θα είναι τελευταίος,δέκατο μέλος;) Δεν θα το πιστέψετε, ο αριθμός του είναι δέκατος!) Επομένως, αντί για a nθα αντικαταστήσουμε στον τύπο ένα 10, αλλά ανταυτού n- δέκα. Και πάλι, ο αριθμός του τελευταίου μέλους είναι ίδιος με τον αριθμό των μελών.

Μένει να καθοριστεί Α'1και ένα 10. Αυτό υπολογίζεται εύκολα από τον τύπο του nου όρου, που δίνεται στη δήλωση προβλήματος. Δεν ξέρετε πώς να το κάνετε; Επισκεφθείτε το προηγούμενο μάθημα, χωρίς αυτό - τίποτα.

Α'1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ένα 10\u003d 2 10 - 3,5 \u003d 16,5

S n = S 10.

Ανακαλύψαμε τη σημασία όλων των στοιχείων του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Απομένει να τα αντικαταστήσουμε και να μετρήσουμε:

Αυτό είναι το μόνο που υπάρχει σε αυτό. Απάντηση: 75.

Μια άλλη εργασία που βασίζεται στο GIA. Λίγο πιο περίπλοκο:

2. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος (a n), η διαφορά της οποίας είναι 3,7. a 1 \u003d 2.3. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 15 όρων.

Γράφουμε αμέσως τον τύπο αθροίσματος:

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε την τιμή οποιουδήποτε μέλους με τον αριθμό του. Ψάχνουμε για μια απλή αντικατάσταση:

a 15 \u003d 2,3 + (15-1) 3,7 \u003d 54,1

Απομένει να αντικαταστήσουμε όλα τα στοιχεία του τύπου για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου και να υπολογίσουμε την απάντηση:

Απάντηση: 423.

Παρεμπιπτόντως, εάν στον τύπο αθροίσματος αντί για a nΑπλώς αντικαταστήστε τον τύπο του nου όρου, παίρνουμε:

Δίνουμε παρόμοια, παίρνουμε έναν νέο τύπο για το άθροισμα των μελών μιας αριθμητικής προόδου:

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ντος όρος δεν απαιτείται εδώ. a n. Σε ορισμένες εργασίες, αυτός ο τύπος βοηθάει πολύ, ναι... Μπορείτε να θυμηθείτε αυτόν τον τύπο. Και μπορείτε απλά να το αποσύρετε την κατάλληλη στιγμή, όπως εδώ. Εξάλλου, ο τύπος για το άθροισμα και ο τύπος για τον nο όρο πρέπει να θυμόμαστε με κάθε τρόπο.)

Τώρα η εργασία με τη μορφή μιας σύντομης κρυπτογράφησης):

3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών διψήφιων αριθμών που είναι πολλαπλάσια του τριών.

Πως! Κανένα πρώτο μέλος, κανένα τελευταίο, καμία εξέλιξη... Πώς να ζήσεις!;

Θα πρέπει να σκεφτείτε με το κεφάλι σας και να βγάλετε από τη συνθήκη όλα τα στοιχεία του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Τι είναι οι διψήφιοι αριθμοί - ξέρουμε. Αποτελούνται από δύο αριθμούς.) Ποιος διψήφιος αριθμός θα πρώτα? 10, πιθανώς.) το τελευταίο πράγμαδιψήφιος αριθμός; 99, φυσικά! Οι τριψήφιοι θα τον ακολουθήσουν...

Πολλαπλάσια των τριών... Χμ... Είναι αριθμοί που διαιρούνται ομοιόμορφα με το τρία, εδώ! Το δέκα δεν διαιρείται με το τρία, το 11 δεν διαιρείται... Το 12... διαιρείται! Άρα, κάτι προκύπτει. Μπορείτε ήδη να γράψετε μια σειρά σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Αυτή η σειρά θα είναι μια αριθμητική πρόοδος; Φυσικά! Κάθε όρος διαφέρει από τον προηγούμενο αυστηρά κατά τρεις. Εάν προστεθεί 2 ή 4 στον όρο, ας πούμε, το αποτέλεσμα, δηλ. ένας νέος αριθμός δεν θα διαιρείται πλέον με το 3. Μπορείτε να προσδιορίσετε αμέσως τη διαφορά της αριθμητικής προόδου στο σωρό: d = 3.Χρήσιμος!)

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε με ασφάλεια ορισμένες παραμέτρους προόδου:

Ποιος θα είναι ο αριθμός nτελευταίο μέλος; Όποιος πιστεύει ότι το 99 κάνει μοιραία λάθος ... Αριθμοί - πηγαίνουν πάντα στη σειρά και τα μέλη μας ξεπερνούν τους τρεις πρώτους. Δεν ταιριάζουν.

Εδώ υπάρχουν δύο λύσεις. Ένας τρόπος είναι για τους σούπερ εργατικούς. Μπορείτε να ζωγραφίσετε την πρόοδο, ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και να μετρήσετε τον αριθμό των όρων με το δάχτυλό σας.) Ο δεύτερος τρόπος είναι για τους σκεπτόμενους. Πρέπει να θυμάστε τον τύπο για τον nο όρο. Εάν εφαρμοστεί ο τύπος στο πρόβλημά μας, παίρνουμε ότι το 99 είναι το τριακοστό μέλος της προόδου. Εκείνοι. n = 30.

Εξετάζουμε τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου:

Κοιτάμε και χαιρόμαστε.) Βγάλαμε όλα τα απαραίτητα για τον υπολογισμό του ποσού από την κατάσταση του προβλήματος:

Α'1= 12.

ένα 30= 99.

S n = S 30.

Αυτό που μένει είναι η στοιχειώδης αριθμητική. Αντικαταστήστε τους αριθμούς στον τύπο και υπολογίστε:

Απάντηση: 1665

Ένας άλλος τύπος δημοφιλών παζλ:

4. Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Βρείτε το άθροισμα των όρων από τον εικοστό έως τον τριακοστό τέταρτο.

Κοιτάμε τον τύπο του αθροίσματος και ... στεναχωριόμαστε.) Ο τύπος, να σας θυμίσω, υπολογίζει το άθροισμα από την πρώτημέλος. Και στο πρόβλημα πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα από τον εικοστό...Ο τύπος δεν θα λειτουργήσει.

Μπορείτε, φυσικά, να ζωγραφίσετε ολόκληρη την εξέλιξη σε μια σειρά και να βάλετε τα μέλη από 20 έως 34. Αλλά ... κατά κάποιο τρόπο αποδεικνύεται ανόητα και για μεγάλο χρονικό διάστημα, σωστά;)

Υπάρχει μια πιο κομψή λύση. Ας χωρίσουμε τη σειρά μας σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος θα από τον πρώτο όρο έως τον δέκατο ένατο.Το δεύτερο μέρος - είκοσι έως τριάντα τέσσερα.Είναι σαφές ότι αν υπολογίσουμε το άθροισμα των όρων του πρώτου μέρους S 1-19, ας το προσθέσουμε στο άθροισμα των μελών του δεύτερου μέρους S 20-34, παίρνουμε το άθροισμα της προόδου από τον πρώτο όρο στον τριακοστό τέταρτο S 1-34. Σαν αυτό:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Αυτό δείχνει ότι για να βρείτε το άθροισμα S 20-34μπορεί να γίνει με απλή αφαίρεση

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Λαμβάνονται υπόψη και τα δύο ποσά στη δεξιά πλευρά από την πρώτημέλος, δηλ. Ο τυπικός τύπος αθροίσματος είναι αρκετά εφαρμόσιμος σε αυτά. Ξεκινάμε;

Εξάγουμε τις παραμέτρους προόδου από την συνθήκη εργασίας:

d = 1,5.

Α'1= -21,5.

Για να υπολογίσουμε τα αθροίσματα των πρώτων 19 και των πρώτων 34 όρων, θα χρειαστούμε τον 19ο και τον 34ο όρο. Τις μετράμε σύμφωνα με τον τύπο του nου όρου, όπως στο πρόβλημα 2:

ένα 19\u003d -21,5 + (19-1) 1,5 \u003d 5,5

ένα 34\u003d -21,5 + (34-1) 1,5 \u003d 28

Δεν έμεινε τίποτα. Αφαιρέστε το άθροισμα των 19 όρων από το άθροισμα των 34 όρων:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Απάντηση: 262,5

Μια σημαντική σημείωση! Υπάρχει μια πολύ χρήσιμη δυνατότητα για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Αντί για άμεσο υπολογισμό τι χρειάζεστε (S 20-34),μετρήσαμε τι, φαίνεται, δεν χρειάζεται - S 1-19.Και μετά αποφάσισαν S 20-34, απορρίπτοντας τα περιττά από το πλήρες αποτέλεσμα. Μια τέτοια "προσποίηση με τα αυτιά" συχνά σώζει σε κακούς γρίφους.)

Σε αυτό το μάθημα, εξετάσαμε προβλήματα για τα οποία αρκεί να κατανοήσουμε την έννοια του αθροίσματος μιας αριθμητικής προόδου. Λοιπόν, πρέπει να γνωρίζετε μερικούς τύπους.)

Πρακτικές συμβουλές:

Όταν λύνετε οποιοδήποτε πρόβλημα για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, συνιστώ να γράψετε αμέσως τους δύο κύριους τύπους από αυτό το θέμα.

Φόρμουλα του ντος μέλους:

Αυτοί οι τύποι θα σας πουν αμέσως τι να αναζητήσετε, προς ποια κατεύθυνση να σκεφτείτε για να λύσετε το πρόβλημα. Βοηθάει.

Και τώρα τα καθήκοντα για ανεξάρτητη λύση.

5. Να βρείτε το άθροισμα όλων των διψήφιων αριθμών που δεν διαιρούνται με το τρία.

Καλό;) Η υπόδειξη είναι κρυμμένη στη σημείωση για το πρόβλημα 4. Λοιπόν, το πρόβλημα 3 θα βοηθήσει.

6. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από την συνθήκη: a 1 =-5,5; a n+1 = a n +0,5. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 24 όρων.

Ασυνήθιστο;) Αυτή είναι μια επαναλαμβανόμενη φόρμουλα. Μπορείτε να διαβάσετε σχετικά στο προηγούμενο μάθημα. Μην αγνοήσετε τον σύνδεσμο, τέτοια παζλ βρίσκονται συχνά στο GIA.

7. Η Βάσια μάζεψε χρήματα για τις διακοπές. Μέχρι και 4550 ρούβλια! Και αποφάσισα να χαρίσω στον πιο αγαπημένο άνθρωπο (τον εαυτό μου) λίγες μέρες ευτυχίας). Ζήστε όμορφα χωρίς να αρνηθείτε τίποτα στον εαυτό σας. Ξοδέψτε 500 ρούβλια την πρώτη μέρα και ξοδέψτε 50 ρούβλια περισσότερα κάθε επόμενη μέρα από την προηγούμενη! Μέχρι να τελειώσουν τα λεφτά. Πόσες μέρες ευτυχίας είχε η Βάσια;

Είναι δύσκολο;) Μια πρόσθετη φόρμουλα από την εργασία 2 θα βοηθήσει.

Απαντήσεις (σε αταξία): 7, 3240, 6.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Για παράδειγμα, η ακολουθία \(2\); \(5\); \(οκτώ\); \(έντεκα\); Το \(14\)… είναι μια αριθμητική πρόοδος, επειδή κάθε επόμενο στοιχείο διαφέρει από το προηγούμενο κατά τρία (μπορεί να ληφθεί από το προηγούμενο προσθέτοντας τρία):

Σε αυτή την εξέλιξη, η διαφορά \(d\) είναι θετική (ίση με \(3\)), και επομένως κάθε επόμενος όρος είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο. Τέτοιες προόδους ονομάζονται αυξανόμενη.

Ωστόσο, το \(d\) μπορεί επίσης να είναι αρνητικός αριθμός. Για παράδειγμα, σε αριθμητική πρόοδο \(16\); \(δέκα\); \(τέσσερα\); \(-2\); \(-8\)… η διαφορά προόδου \(d\) είναι ίση με μείον έξι.

Και σε αυτήν την περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο θα είναι μικρότερο από το προηγούμενο. Αυτές οι προόδους ονομάζονται μειώνεται.

Σημειογραφία αριθμητικής προόδου

Η πρόοδος υποδηλώνεται με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Οι αριθμοί που σχηματίζουν μια πρόοδο ονομάζονται μέλη(ή στοιχεία).

Συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα με την αριθμητική πρόοδο, αλλά με αριθμητικό δείκτη ίσο με τον αριθμό του στοιχείου κατά σειρά.

Για παράδειγμα, η αριθμητική πρόοδος \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) αποτελείται από τα στοιχεία \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) και ούτω καθεξής.

Με άλλα λόγια, για την εξέλιξη \(a_n = \αριστερά\(2; 5; 8; 11; 14…\δεξιά\)\)

Επίλυση προβλημάτων με αριθμητική πρόοδο

Κατ' αρχήν, οι παραπάνω πληροφορίες είναι ήδη αρκετές για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα σε μια αριθμητική πρόοδο (συμπεριλαμβανομένων αυτών που προσφέρονται στο OGE).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες \(b_1=7; d=4\). Βρείτε το \(b_5\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_5=23\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται οι τρεις πρώτοι όροι μιας αριθμητικής προόδου: \(62; 49; 36…\) Βρείτε την τιμή του πρώτου αρνητικού όρου αυτής της προόδου..
Λύση:

	Μας δίνονται τα πρώτα στοιχεία της ακολουθίας και γνωρίζουμε ότι είναι μια αριθμητική πρόοδος. Δηλαδή, κάθε στοιχείο διαφέρει από το γειτονικό κατά τον ίδιο αριθμό. Βρείτε ποιο αφαιρώντας το προηγούμενο από το επόμενο στοιχείο: \(d=49-62=-13\).
	Τώρα μπορούμε να επαναφέρουμε την πρόοδό μας στο επιθυμητό (πρώτο αρνητικό) στοιχείο.
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(-3\)

Παράδειγμα (OGE). Δίνονται πολλά διαδοχικά στοιχεία μιας αριθμητικής προόδου: \(...5; x; 10; 12,5...\) Βρείτε την τιμή του στοιχείου που συμβολίζεται με το γράμμα \(x\).
Λύση:

	Για να βρούμε το \(x\), πρέπει να ξέρουμε πόσο διαφέρει το επόμενο στοιχείο από το προηγούμενο, με άλλα λόγια, τη διαφορά προόδου. Ας το βρούμε από δύο γνωστά γειτονικά στοιχεία: \(d=12,5-10=2,5\).
	Και τώρα βρίσκουμε αυτό που ψάχνουμε χωρίς κανένα πρόβλημα: \(x=5+2,5=7,5\).
	Ετοιμος. Μπορείτε να γράψετε μια απάντηση.

Απάντηση: \(7,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις ακόλουθες συνθήκες: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

Πρέπει να βρούμε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων της προόδου. Όμως δεν γνωρίζουμε τις έννοιές τους, μας δίνεται μόνο το πρώτο στοιχείο. Επομένως, υπολογίζουμε πρώτα τις τιμές με τη σειρά, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που μας δίνονται: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Και έχοντας υπολογίσει τα έξι στοιχεία που χρειαζόμαστε, βρίσκουμε το άθροισμά τους.

\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)

Το ποσό που ζητήθηκε βρέθηκε.

Απάντηση: \(S_6=9\).

Παράδειγμα (OGE). Σε αριθμητική πρόοδο \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Βρείτε τη διαφορά αυτής της εξέλιξης.
Λύση:

Απάντηση: \(d=7\).

Σημαντικοί τύποι αριθμητικής προόδου

Όπως μπορείτε να δείτε, πολλά προβλήματα αριθμητικής προόδου μπορούν να λυθούν απλά κατανοώντας το κύριο πράγμα - ότι μια αριθμητική πρόοδος είναι μια αλυσίδα αριθμών και κάθε επόμενο στοιχείο σε αυτήν την αλυσίδα προκύπτει προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό στον προηγούμενο (η διαφορά της προόδου).

Ωστόσο, μερικές φορές υπάρχουν καταστάσεις που είναι πολύ άβολο να λυθεί "στο μέτωπο". Για παράδειγμα, φανταστείτε ότι στο πρώτο παράδειγμα, δεν χρειάζεται να βρούμε το πέμπτο στοιχείο \(b_5\), αλλά το τριακόσιο ογδόντα έκτο \(b_(386)\). Τι είναι, εμείς \ (385 \) φορές να προσθέσουμε τέσσερις; Ή φανταστείτε ότι στο προτελευταίο παράδειγμα, πρέπει να βρείτε το άθροισμα των πρώτων εβδομήντα τριών στοιχείων. Το μέτρημα είναι μπερδεμένο...

Επομένως, σε τέτοιες περιπτώσεις, δεν λύνονται "στο μέτωπο", αλλά χρησιμοποιούν ειδικούς τύπους που προέρχονται για αριθμητική πρόοδο. Και οι κυριότεροι είναι ο τύπος για τον nο όρο της προόδου και ο τύπος για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων.

Τύπος για το \(n\)ο μέλος: \(a_n=a_1+(n-1)d\), όπου \(a_1\) είναι το πρώτο μέλος της προόδου.
\(n\) – αριθμός του απαιτούμενου στοιχείου.
Το \(a_n\) είναι μέλος της προόδου με τον αριθμό \(n\).

Αυτός ο τύπος μας επιτρέπει να βρούμε γρήγορα τουλάχιστον το τριακόσιο, ακόμη και το εκατομμυριοστό στοιχείο, γνωρίζοντας μόνο το πρώτο και τη διαφορά προόδου.

Παράδειγμα. Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Βρείτε το \(b_(246)\).
Λύση:

Απάντηση: \(b_(246)=1850\).

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), όπου

\(a_n\) είναι ο τελευταίος αθροιστικός όρος.

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες \(a_n=3,4n-0,6\). Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(25\) όρων αυτής της προόδου.
Λύση:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Για να υπολογίσουμε το άθροισμα των πρώτων είκοσι πέντε στοιχείων, πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή του πρώτου και του εικοστού πέμπτου όρου. Η πρόοδός μας δίνεται από τον τύπο του nου όρου ανάλογα με τον αριθμό του (βλ. λεπτομέρειες). Ας υπολογίσουμε το πρώτο στοιχείο αντικαθιστώντας το \(n\) με ένα.
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\)		Τώρα ας βρούμε τον εικοστό πέμπτο όρο αντικαθιστώντας τον εικοστό πέντε αντί του \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\)		Λοιπόν, τώρα υπολογίζουμε το απαιτούμενο ποσό χωρίς προβλήματα.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(25)=1090\).

Για το άθροισμα \(n\) των πρώτων όρων, μπορείτε να πάρετε έναν άλλο τύπο: απλά πρέπει να \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) αντί για \(a_n\) αντικαταστήστε τον τύπο για αυτό \(a_n=a_1+(n-1)d\). Παίρνουμε:

Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων n όρων είναι: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), όπου

\(S_n\) – το απαιτούμενο άθροισμα \(n\) των πρώτων στοιχείων.
Το \(a_1\) είναι ο πρώτος όρος που αθροίζεται.
\(d\) – διαφορά προόδου.
\(n\) - ο αριθμός των στοιχείων στο άθροισμα.

Παράδειγμα. Βρείτε το άθροισμα των πρώτων \(33\)-ex όρων της αριθμητικής προόδου: \(17\); \(15,5\); \(δεκατέσσερα\)…
Λύση:

Απάντηση: \(S_(33)=-231\).

Πιο πολύπλοκα προβλήματα αριθμητικής προόδου

Τώρα έχετε όλες τις πληροφορίες που χρειάζεστε για να λύσετε σχεδόν οποιοδήποτε πρόβλημα αριθμητικής προόδου. Ας ολοκληρώσουμε το θέμα εξετάζοντας προβλήματα στα οποία πρέπει όχι μόνο να εφαρμόσετε τύπους, αλλά και να σκεφτείτε λίγο (στα μαθηματικά, αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο ☺)

Παράδειγμα (OGE). Βρείτε το άθροισμα όλων των αρνητικών όρων της προόδου: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Λύση:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Η εργασία μοιάζει πολύ με την προηγούμενη. Ξεκινάμε να λύνουμε με τον ίδιο τρόπο: πρώτα βρίσκουμε το \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Τώρα θα αντικαθιστούσαμε το \(d\) στον τύπο για το άθροισμα ... και εδώ εμφανίζεται μια μικρή απόχρωση - δεν ξέρουμε \(n\). Με άλλα λόγια, δεν ξέρουμε πόσοι όροι θα χρειαστεί να προστεθούν. Πώς να μάθετε; Ας σκεφτούμε. Θα σταματήσουμε να προσθέτουμε στοιχεία όταν φτάσουμε στο πρώτο θετικό στοιχείο. Δηλαδή, πρέπει να μάθετε τον αριθμό αυτού του στοιχείου. Πως? Ας γράψουμε τον τύπο για τον υπολογισμό οποιουδήποτε στοιχείου μιας αριθμητικής προόδου: \(a_n=a_1+(n-1)d\) για την περίπτωσή μας.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1) 0,3\)		Χρειαζόμαστε το \(a_n\) να είναι μεγαλύτερο από το μηδέν. Ας μάθουμε για τι \(n\) θα συμβεί αυτό.
\(-19,3+(n-1) 0,3>0\)
\((n-1) 0,3>19,3\) \(|: 0,3\)		Διαιρούμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας με \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Μεταφέρουμε μείον ένα, χωρίς να ξεχνάμε να αλλάξουμε ταμπέλες
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Χρήση υπολογιστή...
\(n>65.333…\)		…και αποδεικνύεται ότι το πρώτο θετικό στοιχείο θα έχει τον αριθμό \(66\). Αντίστοιχα, το τελευταίο αρνητικό έχει \(n=65\). Για κάθε ενδεχόμενο, ας το τσεκάρουμε.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1) 0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1) 0,3=0,2\)		Επομένως, πρέπει να προσθέσουμε τα πρώτα \(65\) στοιχεία.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Η απάντηση είναι έτοιμη.

Απάντηση: \(S_(65)=-630,5\).

Παράδειγμα (OGE). Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από τις συνθήκες: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Βρείτε το άθροισμα από το \(26\)ο έως το στοιχείο \(42\) συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου.
Λύση:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει επίσης να βρείτε το άθροισμα των στοιχείων, αλλά ξεκινώντας όχι από το πρώτο, αλλά από το \(26\)ο. Δεν έχουμε συνταγή για αυτό. Πώς να αποφασίσετε; Εύκολο - για να πάρετε το άθροισμα από το \(26\)ο στο \(42\)ο, πρέπει πρώτα να βρείτε το άθροισμα από το \(1\)ο στο \(42\)ο και στη συνέχεια να αφαιρέσετε από αυτό το άθροισμα από το πρώτο στο \ (25 \) ου (βλ. εικόνα).
	Για την πρόοδό μας \(a_1=-33\), και τη διαφορά \(d=4\) (εξάλλου, προσθέτουμε τέσσερα στο προηγούμενο στοιχείο για να βρούμε το επόμενο). Γνωρίζοντας αυτό, βρίσκουμε το άθροισμα των πρώτων \(42\)-uh στοιχείων.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Τώρα το άθροισμα των πρώτων \(25\)-ου στοιχείων.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Και τέλος, υπολογίζουμε την απάντηση.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Απάντηση: \(S=1683\).

Για μια αριθμητική πρόοδο, υπάρχουν αρκετοί ακόμη τύποι που δεν έχουμε εξετάσει σε αυτό το άρθρο λόγω της χαμηλής πρακτικής χρησιμότητάς τους. Ωστόσο, μπορείτε να τα βρείτε εύκολα.

Η έννοια της αριθμητικής ακολουθίας υπονοεί ότι κάθε φυσικός αριθμός αντιστοιχεί σε κάποια πραγματική τιμή. Μια τέτοια σειρά αριθμών μπορεί να είναι και αυθαίρετη και να έχει ορισμένες ιδιότητες - μια εξέλιξη. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε επόμενο στοιχείο (μέλος) της ακολουθίας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας το προηγούμενο.

Μια αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία αριθμητικών τιμών στην οποία τα γειτονικά μέλη της διαφέρουν μεταξύ τους κατά τον ίδιο αριθμό (όλα τα στοιχεία της σειράς, ξεκινώντας από το 2ο, έχουν παρόμοια ιδιότητα). Αυτός ο αριθμός - η διαφορά μεταξύ του προηγούμενου και του επόμενου μέλους - είναι σταθερός και ονομάζεται διαφορά προόδου.

Διαφορά προόδου: Ορισμός

Θεωρήστε μια ακολουθία που αποτελείται από j τιμές A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j ανήκει στο σύνολο των φυσικών αριθμών N. Μια αριθμητική πρόοδος, σύμφωνα με τον ορισμό της, είναι μια ακολουθία , στην οποία a(3) - a(2) = a(4) - a(3) = a(5) - a(4) = ... = a(j) - a(j-1) = d. Η τιμή του d είναι η επιθυμητή διαφορά αυτής της προόδου.

d = a(j) - a(j-1).

Διανέμω:

• Μια αυξανόμενη πρόοδος, οπότε d > 0. Παράδειγμα: 4, 8, 12, 16, 20, …
• φθίνουσα εξέλιξη, τότε δ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Διαφορά προόδου και αυθαίρετα στοιχεία της

Εάν είναι γνωστά 2 αυθαίρετα μέλη της προόδου (i-th, k-th), τότε η διαφορά για αυτήν την ακολουθία μπορεί να καθοριστεί με βάση τη σχέση:

a(i) = a(k) + (i - k)*d, άρα d = (a(i) - a(k))/(i-k).

Η διαφορά προόδου και ο πρώτος όρος της

Αυτή η έκφραση θα βοηθήσει στον προσδιορισμό της άγνωστης τιμής μόνο σε περιπτώσεις όπου ο αριθμός του στοιχείου της ακολουθίας είναι γνωστός.

Διαφορά προόδου και το άθροισμά της

Το άθροισμα μιας προόδου είναι το άθροισμα των μελών της. Για να υπολογίσετε τη συνολική τιμή των πρώτων j στοιχείων του, χρησιμοποιήστε τον αντίστοιχο τύπο:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, αλλά αφού a(j) = a(1) + d(j – 1), μετά S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

IV Yakovlev | Υλικά για τα μαθηματικά | MathUs.ru

Αριθμητική πρόοδος

Μια αριθμητική πρόοδος είναι ένα ειδικό είδος ακολουθίας. Επομένως, πριν ορίσουμε μια αριθμητική (και στη συνέχεια γεωμετρική) πρόοδο, πρέπει να συζητήσουμε εν συντομία τη σημαντική έννοια μιας αριθμητικής ακολουθίας.

Ακολουθία

Φανταστείτε μια συσκευή στην οθόνη της οποίας εμφανίζονται ορισμένοι αριθμοί ο ένας μετά τον άλλο. Ας πούμε 2? 7; 13; ένας; 6; 0; 3; : : : Ένα τέτοιο σύνολο αριθμών είναι απλώς ένα παράδειγμα ακολουθίας.

Ορισμός. Αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών στους οποίους σε κάθε αριθμό μπορεί να εκχωρηθεί ένας μοναδικός αριθμός (δηλαδή να τεθεί σε αντιστοιχία με έναν μοναδικό φυσικό αριθμό)1. Ο αριθμός με τον αριθμό n ονομάζεται το ντο μέλος της ακολουθίας.

Έτσι, στο παραπάνω παράδειγμα, ο πρώτος αριθμός έχει τον αριθμό 2, ο οποίος είναι το πρώτο μέλος της ακολουθίας, ο οποίος μπορεί να συμβολιστεί με a1. ο αριθμός πέντε έχει τον αριθμό 6 που είναι το πέμπτο μέλος της ακολουθίας, που μπορεί να συμβολιστεί με a5 . Γενικά, το ντο μέλος μιας ακολουθίας συμβολίζεται με ένα (ή bn , cn , κ.λπ.).

Μια πολύ βολική κατάσταση είναι όταν το nο μέλος της ακολουθίας μπορεί να καθοριστεί με κάποιον τύπο. Για παράδειγμα, ο τύπος an = 2n 3 καθορίζει την ακολουθία: 1; ένας; 3; 5; 7; : : : Ο τύπος an = (1)n ορίζει την ακολουθία: 1; ένας; ένας; ένας; : ::

Δεν είναι κάθε σύνολο αριθμών μια ακολουθία. Άρα, ένα τμήμα δεν είναι ακολουθία. περιέχει ¾πάρα πολλούς¿ αριθμούς που πρέπει να επαναριθμηθούν. Το σύνολο R όλων των πραγματικών αριθμών δεν είναι επίσης ακολουθία. Αυτά τα γεγονότα αποδεικνύονται κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης.

Αριθμητική πρόοδος: βασικοί ορισμοί

Τώρα είμαστε έτοιμοι να ορίσουμε μια αριθμητική πρόοδο.

Ορισμός. Αριθμητική πρόοδος είναι μια ακολουθία στην οποία κάθε όρος (ξεκινώντας από τον δεύτερο) ισούται με το άθροισμα του προηγούμενου όρου και κάποιο σταθερό αριθμό (που ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου).

Για παράδειγμα, ακολουθία 2; 5; οκτώ; έντεκα; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 2 και διαφορά 3. Ακολουθία 7; 2; 3; οκτώ; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο 7 και διαφορά 5. Ακολουθία 3; 3; 3; : : : είναι μια αριθμητική πρόοδος με μηδενική διαφορά.

Ισοδύναμος ορισμός: Μια ακολουθία an ονομάζεται αριθμητική πρόοδος εάν η διαφορά an+1 an είναι σταθερή τιμή (δεν εξαρτάται από το n).

Μια αριθμητική πρόοδος λέγεται ότι αυξάνεται εάν η διαφορά της είναι θετική και μειώνεται εάν η διαφορά της είναι αρνητική.

1 Και εδώ είναι ένας πιο συνοπτικός ορισμός: μια ακολουθία είναι μια συνάρτηση που ορίζεται στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Για παράδειγμα, η ακολουθία των πραγματικών αριθμών είναι η συνάρτηση f: N! R.

Από προεπιλογή, οι ακολουθίες θεωρούνται άπειρες, δηλαδή περιέχουν άπειρο αριθμό αριθμών. Αλλά κανείς δεν μπαίνει στον κόπο να εξετάσει και πεπερασμένες ακολουθίες. Στην πραγματικότητα, οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο αριθμών μπορεί να ονομαστεί πεπερασμένη ακολουθία. Για παράδειγμα, η τελική ακολουθία 1; 2; 3; τέσσερα? Το 5 αποτελείται από πέντε αριθμούς.

Τύπος του ν ου μέλους μιας αριθμητικής προόδου

Είναι εύκολο να καταλάβουμε ότι μια αριθμητική πρόοδος καθορίζεται πλήρως από δύο αριθμούς: τον πρώτο όρο και τη διαφορά. Επομένως, τίθεται το ερώτημα: πώς, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο και τη διαφορά, βρίσκουμε έναν αυθαίρετο όρο μιας αριθμητικής προόδου;

Δεν είναι δύσκολο να ληφθεί ο επιθυμητός τύπος για τον nο όρο μιας αριθμητικής προόδου. Αφήστε ένα

αριθμητική πρόοδος με διαφορά δ. Εχουμε:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::):
Συγκεκριμένα γράφουμε:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
και τώρα γίνεται σαφές ότι ο τύπος για ένα είναι:
an = a1 + (n 1)d:

Εργασία 1. Στην αριθμητική πρόοδο 2; 5; οκτώ; έντεκα; : : : βρείτε τον τύπο του nου μέλους και υπολογίστε τον εκατοστό όρο.

Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο (1) έχουμε:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Ιδιότητα και σημάδι αριθμητικής προόδου

ιδιότητα μιας αριθμητικής προόδου. Στην αριθμητική πρόοδο an για οποιαδήποτε

Με άλλα λόγια, κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου (ξεκινώντας από το δεύτερο) είναι ο αριθμητικός μέσος όρος των γειτονικών μελών.

	Απόδειξη. Εχουμε:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

που ήταν και το ζητούμενο.

Γενικότερα, η αριθμητική πρόοδος α ικανοποιεί την ισότητα

a n = a n k+ a n+k

για οποιοδήποτε n > 2 και οποιοδήποτε φυσικό k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Αποδεικνύεται ότι ο τύπος (2) δεν είναι μόνο απαραίτητη αλλά και επαρκής προϋπόθεση για να είναι μια ακολουθία αριθμητική πρόοδος.

Σημάδι αριθμητικής προόδου. Αν ισχύει η ισότητα (2) για όλα τα n > 2, τότε η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Απόδειξη. Ας ξαναγράψουμε τον τύπο (2) ως εξής:

a na n 1= a n+1a n:

Αυτό δείχνει ότι η διαφορά an+1 an δεν εξαρτάται από το n, και αυτό σημαίνει απλώς ότι η ακολουθία an είναι μια αριθμητική πρόοδος.

Η ιδιότητα και το πρόσημο μιας αριθμητικής προόδου μπορούν να διατυπωθούν ως μία πρόταση. για ευκολία, θα το κάνουμε για τρεις αριθμούς (αυτή είναι η κατάσταση που εμφανίζεται συχνά σε προβλήματα).

Χαρακτηρισμός μιας αριθμητικής προόδου. Τρεις αριθμοί a, b, c σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο αν και μόνο αν 2b = a + c.

Πρόβλημα 2. (Κρατικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας, Οικονομική Σχολή, 2007) Τρεις αριθμοί 8x, 3 x2 και 4 με την καθορισμένη σειρά σχηματίζουν μια φθίνουσα αριθμητική πρόοδο. Βρείτε το x και γράψτε τη διαφορά αυτής της προόδου.

Λύση. Με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, έχουμε:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x=5:

Αν x = 1, τότε λαμβάνεται μια φθίνουσα πρόοδος 8, 2, 4 με διαφορά 6. Εάν x = 5, τότε προκύπτει μια αύξουσα πρόοδος 40, 22, 4. αυτή η περίπτωση δεν λειτουργεί.

Απάντηση: x = 1, η διαφορά είναι 6.

Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου

Ο μύθος λέει ότι μια φορά ο δάσκαλος είπε στα παιδιά να βρουν το άθροισμα των αριθμών από το 1 έως το 100 και κάθισε να διαβάσει την εφημερίδα ήσυχα. Ωστόσο, μέσα σε λίγα λεπτά, ένα αγόρι είπε ότι είχε λύσει το πρόβλημα. Ήταν ο 9χρονος Carl Friedrich Gauss, αργότερα ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς στην ιστορία.

Η ιδέα του μικρού Γκάους ήταν αυτή. Αφήνω

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Ας γράψουμε αυτό το άθροισμα με αντίστροφη σειρά:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

και προσθέστε αυτούς τους δύο τύπους:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Κάθε όρος σε αγκύλες είναι ίσος με 101 και υπάρχουν συνολικά 100 τέτοιοι όροι. Επομένως

2S = 101 100 = 10100;

Χρησιμοποιούμε αυτήν την ιδέα για να εξαγάγουμε τον τύπο του αθροίσματος

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Μια χρήσιμη τροποποίηση του τύπου (3) λαμβάνεται αντικαθιστώντας τον τύπο για τον nο όρο an = a1 + (n 1)d σε αυτόν:

		2a1 + (n 1)d

Εργασία 3. Να βρείτε το άθροισμα όλων των θετικών τριψήφιων αριθμών που διαιρούνται με το 13.

Λύση. Οι τριψήφιοι αριθμοί που είναι πολλαπλάσια του 13 σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο με τον πρώτο όρο 104 και τη διαφορά 13. Ο ντος όρος αυτής της προόδου είναι:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ας μάθουμε πόσα μέλη περιέχει η πρόοδός μας. Για να γίνει αυτό, λύνουμε την ανισότητα:

ένα 6999; 91 + 13n 6999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Άρα υπάρχουν 69 μέλη στην πρόοδό μας. Σύμφωνα με τον τύπο (4) βρίσκουμε την απαιτούμενη ποσότητα:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2