Αρμονικές ταλαντώσεις σε ηλεκτρικό ταλαντούμενο κύκλωμα. Μια εξίσωση που περιγράφει διεργασίες σε ένα κύκλωμα ταλάντωσης

Δωρεάν δονήσεις στο κύκλωμα.

Τα κυκλώματα AC που εξετάστηκαν στις προηγούμενες ενότητες υποδηλώνουν ότι ένα ζεύγος στοιχείων - ένας πυκνωτής και ένας επαγωγέας σχηματίζουν ένα είδος ταλαντευτικού συστήματος. Τώρα θα δείξουμε ότι αυτό όντως ισχύει, σε ένα κύκλωμα που αποτελείται μόνο από αυτά τα στοιχεία (Εικ. 669) είναι δυνατές ακόμη και ελεύθερες ταλαντώσεις, δηλαδή χωρίς εξωτερική πηγή EMF.

ρύζι. 669
Επομένως, ονομάζεται ένα κύκλωμα (ή μέρος ενός άλλου κυκλώματος) που αποτελείται από έναν πυκνωτή και έναν επαγωγέα ταλαντευτικό κύκλωμα.
Αφήστε τον πυκνωτή να φορτιστεί σε ένα φορτίο qo και στη συνέχεια να συνδεθεί ένας επαγωγέας σε αυτόν. Μια τέτοια διαδικασία μπορεί εύκολα να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας το κύκλωμα, το σχήμα του οποίου φαίνεται στο Σχ. 670: πρώτα το κλειδί κλείνει στη θέση του 1 , ενώ ο πυκνωτής φορτίζεται σε τάση ίση με το EMF της πηγής, μετά την οποία το κλειδί μεταφέρεται στις θέσεις 2 , μετά την οποία αρχίζει η εκφόρτιση του πυκνωτή μέσω του πηνίου.

ρύζι. 670
Για να προσδιορίσετε την εξάρτηση της φόρτισης του πυκνωτή από το χρόνο q(t)εφαρμόστε το νόμο του Ohm, σύμφωνα με τον οποίο η τάση κατά μήκος του πυκνωτή U C = q/Cίσο με το EMF της αυτοεπαγωγής που εμφανίζεται στο πηνίο

Εδώ, "πρώτος" σημαίνει παράγωγο σε σχέση με το χρόνο.
Έτσι, η εξίσωση αποδεικνύεται έγκυρη

Αυτή η εξίσωση περιέχει δύο άγνωστες συναρτήσεις - την εξάρτηση από το χρόνο φόρτισης q(t)και ρεύμα Το), οπότε δεν μπορεί να λυθεί. Ωστόσο, η ισχύς του ρεύματος είναι παράγωγο του φορτίου του πυκνωτή q / (t) = I(t), άρα η παράγωγος της ισχύος ρεύματος είναι η δεύτερη παράγωγος του φορτίου

Λαμβάνοντας υπόψη αυτή τη σχέση, ξαναγράφουμε την εξίσωση (1) στη μορφή

Παραδόξως, αυτή η εξίσωση συμπίπτει πλήρως με την καλά μελετημένη εξίσωση των αρμονικών ταλαντώσεων (η δεύτερη παράγωγος της άγνωστης συνάρτησης είναι ανάλογη με αυτήν την ίδια τη συνάρτηση με αρνητικό συντελεστή αναλογικότητας x // = −ω o 2 x)! Επομένως, η λύση αυτής της εξίσωσης θα είναι η αρμονική συνάρτηση

με κυκλική συχνότητα

Αυτός ο τύπος ορίζει φυσική συχνότητα του ταλαντωτικού κυκλώματος. Αντίστοιχα, η περίοδος ταλάντωσης του φορτίου του πυκνωτή (και η ισχύς του ρεύματος στο κύκλωμα) είναι ίση με

Η έκφραση που προκύπτει για την περίοδο ταλάντωσης ονομάζεται Ο τύπος του J. Thompson.
Ως συνήθως, για να ορίσετε αυθαίρετες παραμέτρους ΕΝΑ, φ στη γενική λύση (4), είναι απαραίτητο να ρυθμίσετε τις αρχικές συνθήκες - τη φόρτιση και την ισχύ του ρεύματος στην αρχική χρονική στιγμή. Ειδικότερα, για το εξεταζόμενο παράδειγμα του κυκλώματος στο Σχ. 670, οι αρχικές συνθήκες έχουν τη μορφή: στο t = 0, q = qo, I=0, οπότε η εξάρτηση της φόρτισης του πυκνωτή από το χρόνο θα περιγραφεί από τη συνάρτηση

και η τρέχουσα ισχύς αλλάζει με το χρόνο σύμφωνα με το νόμο

Η παραπάνω θεώρηση του κυκλώματος ταλάντωσης είναι κατά προσέγγιση - οποιοδήποτε πραγματικό κύκλωμα έχει ενεργή αντίσταση (σύνδεση καλωδίων και περιελίξεις πηνίου).

ρύζι. 671
Επομένως, στην εξίσωση (1), η πτώση τάσης σε αυτήν την ενεργή αντίσταση θα πρέπει να ληφθεί υπόψη, επομένως αυτή η εξίσωση θα λάβει τη μορφή

το οποίο, λαμβάνοντας υπόψη τη σχέση μεταξύ φορτίου και ισχύος ρεύματος, μετατρέπεται στη μορφή

Αυτή η εξίσωση είναι επίσης γνωστή σε εμάς - αυτή είναι η εξίσωση των αποσβεσμένων ταλαντώσεων

και ο συντελεστής εξασθένησης, όπως αναμενόταν, είναι ανάλογος της ενεργού αντίστασης του κυκλώματος β = R/L.
Οι διεργασίες που συμβαίνουν σε ένα κύκλωμα ταλάντωσης μπορούν επίσης να περιγραφούν χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Αν παραμελήσουμε την ενεργή αντίσταση του κυκλώματος, τότε το άθροισμα των ενεργειών του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και του μαγνητικού πεδίου του πηνίου παραμένει σταθερό, το οποίο εκφράζεται με την εξίσωση

που είναι επίσης εξίσωση αρμονικών ταλαντώσεων με συχνότητα που καθορίζεται από τον τύπο (5). Στη μορφή της, αυτή η εξίσωση συμπίπτει επίσης με τις εξισώσεις που προκύπτουν από το νόμο της διατήρησης της ενέργειας κατά τις μηχανικές δονήσεις. Δεδομένου ότι οι εξισώσεις που περιγράφουν τις ταλαντώσεις του ηλεκτρικού φορτίου ενός πυκνωτή είναι παρόμοιες με τις εξισώσεις που περιγράφουν τις μηχανικές ταλαντώσεις, είναι δυνατόν να γίνει μια αναλογία μεταξύ των διεργασιών που συμβαίνουν σε ένα ταλαντευόμενο κύκλωμα και των διεργασιών σε οποιοδήποτε μηχανικό σύστημα. Στο σχ. 672 μια τέτοια αναλογία σχεδιάστηκε για τις ταλαντώσεις ενός μαθηματικού εκκρεμούς. Σε αυτή την περίπτωση, τα ανάλογα είναι «φόρτιση πυκνωτή q(t)− γωνία εκτροπής εκκρεμούς φ(t)» και «τρέχον I(t) = q / (t)− ταχύτητα εκκρεμούς V(t)».


ρύζι. 672
Χρησιμοποιώντας αυτή την αναλογία, περιγράφουμε ποιοτικά τη διαδικασία των ταλαντώσεων φορτίου και ηλεκτρικού ρεύματος στο κύκλωμα. Την αρχική στιγμή, ο πυκνωτής φορτίζεται, η ισχύς του ηλεκτρικού ρεύματος είναι μηδέν, όλη η ενέργεια περιέχεται στην ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή (η οποία είναι παρόμοια με τη μέγιστη απόκλιση του εκκρεμούς από την ισορροπία θέση). Στη συνέχεια, ο πυκνωτής αρχίζει να εκφορτίζεται, η ισχύς του ρεύματος αυξάνεται, ενώ το EMF αυτοεπαγωγής εμφανίζεται στο πηνίο, το οποίο εμποδίζει την αύξηση του ρεύματος. η ενέργεια του πυκνωτή μειώνεται, μετατρέποντας σε ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου (αναλογία - το εκκρεμές μετακινείται στο κατώτερο σημείο του με αυξανόμενη ταχύτητα). Όταν το φορτίο στον πυκνωτή γίνει ίσο με μηδέν, η ισχύς του ρεύματος φτάνει στη μέγιστη τιμή του, ενώ όλη η ενέργεια μετατρέπεται στην ενέργεια του μαγνητικού πεδίου (το εκκρεμές έχει φτάσει στο χαμηλότερο σημείο του, η ταχύτητά του είναι μέγιστη). Στη συνέχεια, το μαγνητικό πεδίο αρχίζει να μειώνεται, ενώ το EMF αυτοεπαγωγής διατηρεί το ρεύμα στην ίδια κατεύθυνση, ενώ ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζεται και τα σημάδια των φορτίων στις πλάκες πυκνωτών είναι αντίθετα από την αρχική κατανομή (αναλογικό - το εκκρεμές κινείται στην αντίθετη αρχική μέγιστη απόκλιση). Στη συνέχεια, το ρεύμα στο κύκλωμα σταματά, ενώ το φορτίο του πυκνωτή γίνεται ξανά μέγιστο, αλλά αντίθετο σε πρόσημο (το εκκρεμές έχει φτάσει στη μέγιστη απόκλιση), μετά την οποία η διαδικασία θα επαναληφθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση.

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΚΥΜΑΤΑ

§1 Ταλαντωτικό κύκλωμα.

Φυσικές δονήσεις στο κύκλωμα ταλάντωσης.

Φόρμουλα Thomson.

Απόσβεση και εξαναγκασμένη ταλαντώσεις στον κ.κ.

1. Δωρεάν δονήσεις σε c.c.

Ταλαντωτικό κύκλωμα (c.c.) είναι ένα κύκλωμα που αποτελείται από έναν πυκνωτή και έναν επαγωγέα. Υπό ορισμένες προϋποθέσεις στο κ.κ. Μπορεί να προκύψουν ηλεκτρομαγνητικές διακυμάνσεις στο φορτίο, το ρεύμα, την τάση και την ενέργεια.

Εξετάστε το κύκλωμα που φαίνεται στο σχήμα 2. Εάν βάλετε το κλειδί στη θέση 1, τότε ο πυκνωτής θα φορτιστεί και θα εμφανιστεί μια φόρτιση στις πλάκες τουQκαι ένταση U C. Εάν στη συνέχεια γυρίσετε το κλειδί στη θέση 2, τότε ο πυκνωτής θα αρχίσει να εκφορτίζεται, το ρεύμα θα ρέει στο κύκλωμα, ενώ η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου που περικλείεται μεταξύ των πλακών του πυκνωτή θα μετατραπεί σε ενέργεια μαγνητικού πεδίου συγκεντρωμένη στον επαγωγέαμεγάλο. Η παρουσία ενός επαγωγέα οδηγεί στο γεγονός ότι το ρεύμα στο κύκλωμα δεν αυξάνεται αμέσως, αλλά σταδιακά λόγω του φαινομένου της αυτοεπαγωγής. Καθώς ο πυκνωτής αποφορτίζεται, το φορτίο στις πλάκες του θα μειωθεί, το ρεύμα στο κύκλωμα θα αυξηθεί. Η μέγιστη τιμή του ρεύματος βρόχου θα φτάσει όταν η φόρτιση στις πλάκες είναι ίση με μηδέν. Από αυτό το σημείο και μετά, το ρεύμα βρόχου θα αρχίσει να μειώνεται, αλλά, λόγω του φαινομένου της αυτοεπαγωγής, θα διατηρείται από το μαγνητικό πεδίο του επαγωγέα, δηλ. όταν ο πυκνωτής αποφορτιστεί πλήρως, η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου που αποθηκεύεται στον επαγωγέα θα αρχίσει να μετατρέπεται σε ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου. Λόγω του ρεύματος βρόχου, ο πυκνωτής θα αρχίσει να επαναφορτίζεται και ένα φορτίο αντίθετο από το αρχικό θα αρχίσει να συσσωρεύεται στις πλάκες του. Ο πυκνωτής θα επαναφορτιστεί μέχρι να μετατραπεί όλη η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του επαγωγέα σε ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή. Στη συνέχεια, η διαδικασία θα επαναληφθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση, και έτσι, θα προκύψουν ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις στο κύκλωμα.

Ας γράψουμε τον 2ο νόμο του Kirchhoff για το θεωρούμενο κ.κ.,

Διαφορική εξίσωση κ.κ.

Έχουμε λάβει μια διαφορική εξίσωση για τις ταλαντώσεις φορτίου σε ένα κ.κ. Αυτή η εξίσωση είναι παρόμοια με μια διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση ενός σώματος υπό τη δράση μιας οιονεί ελαστικής δύναμης. Επομένως, η λύση αυτής της εξίσωσης θα γραφτεί παρόμοια

Η εξίσωση των διακυμάνσεων φορτίου σε κ.κ.

Η εξίσωση των διακυμάνσεων της τάσης στις πλάκες πυκνωτών στο κ.κ.

Η εξίσωση των διακυμάνσεων του ρεύματος σε κ.κ.

1. Απόσβεση ταλαντώσεων σε QC

Θεωρήστε ένα C.C. που περιέχει χωρητικότητα, επαγωγή και αντίσταση. Ο 2ος νόμος του Kirchhoff σε αυτή την περίπτωση θα γραφτεί στη φόρμα

- παράγοντας εξασθένησης,

Δική κυκλική συχνότητα.

- - διαφορική εξίσωση απόσβεσης ταλαντώσεων στο κ.κ.

Η εξίσωση των ταλαντώσεων αποσβεσμένου φορτίου σε κ.κ.

Ο νόμος της μεταβολής του πλάτους φορτίου κατά την απόσβεση ταλαντώσεων στο κ.κ.

Η περίοδος απόσβεσης ταλαντώσεων.

Μείωση της εξασθένησης.

- λογαριθμική μείωση απόσβεσης.

Η καλοσύνη του κυκλώματος.

Εάν η απόσβεση είναι ασθενής, τότε T ≈T 0

Διερευνούμε τη μεταβολή της τάσης στις πλάκες πυκνωτών.

Η μεταβολή του ρεύματος είναι εκτός φάσης κατά φ από την τάση.

at - είναι δυνατές αποσβεσμένες ταλαντώσεις,

σε - κρίσιμη κατάσταση

μια γραβάτα. R > RΠρος το- δεν συμβαίνουν διακυμάνσεις (απεριοδική εκφόρτιση του πυκνωτή).

• Ηλεκτρομαγνητικές δονήσειςείναι περιοδικές αλλαγές με την πάροδο του χρόνου σε ηλεκτρικά και μαγνητικά μεγέθη σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα.

• Ελεύθεροςονομάζονται τέτοια διακυμάνσεις, που προκύπτουν σε ένα κλειστό σύστημα λόγω της απόκλισης αυτού του συστήματος από μια κατάσταση σταθερής ισορροπίας.

Κατά τις ταλαντώσεις λαμβάνει χώρα μια συνεχής διαδικασία μετατροπής της ενέργειας του συστήματος από μια μορφή σε άλλη. Στην περίπτωση των ταλαντώσεων του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου, η ανταλλαγή μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο μεταξύ των ηλεκτρικών και μαγνητικών συνιστωσών αυτού του πεδίου. Το απλούστερο σύστημα όπου μπορεί να πραγματοποιηθεί αυτή η διαδικασία είναι ταλαντευτικό κύκλωμα.

• Ιδανικό κύκλωμα ταλάντωσης (Κύκλωμα LC) - ένα ηλεκτρικό κύκλωμα που αποτελείται από ένα πηνίο επαγωγής μεγάλοκαι έναν πυκνωτή ντο.

Σε αντίθεση με ένα πραγματικό κύκλωμα ταλάντωσης, το οποίο έχει ηλεκτρική αντίσταση R, η ηλεκτρική αντίσταση ενός ιδανικού κυκλώματος είναι πάντα μηδέν. Επομένως, ένα ιδανικό ταλαντευόμενο κύκλωμα είναι ένα απλοποιημένο μοντέλο ενός πραγματικού κυκλώματος.

Το σχήμα 1 δείχνει ένα διάγραμμα ενός ιδανικού κυκλώματος ταλάντωσης.

Ενέργεια κυκλώματος

Ολική ενέργεια του ταλαντωτικού κυκλώματος

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Που Εμείς- την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του ταλαντωτικού κυκλώματος σε μια δεδομένη στιγμή, Μεείναι η χωρητικότητα του πυκνωτή, u- την τιμή της τάσης στον πυκνωτή σε μια δεδομένη στιγμή, q- την τιμή του φορτίου του πυκνωτή σε μια δεδομένη στιγμή, Wm- την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του ταλαντωτικού κυκλώματος σε μια δεδομένη στιγμή, μεγάλο- αυτεπαγωγή πηνίου, Εγώ- την τιμή του ρεύματος στο πηνίο σε μια δεδομένη στιγμή.

Διεργασίες στο ταλαντευτικό κύκλωμα

Εξετάστε τις διεργασίες που συμβαίνουν στο κύκλωμα ταλάντωσης.

Για να αφαιρέσουμε το κύκλωμα από τη θέση ισορροπίας, φορτίζουμε τον πυκνωτή έτσι ώστε να υπάρχει φόρτιση στις πλάκες του Qm(Εικ. 2, θέση 1 ). Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) βρίσκουμε την τιμή της τάσης κατά μήκος του πυκνωτή. Δεν υπάρχει ρεύμα στο κύκλωμα σε αυτό το χρονικό σημείο, δηλ. Εγώ = 0.

Αφού κλείσει το κλειδί, κάτω από τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, θα εμφανιστεί ένα ηλεκτρικό ρεύμα στο κύκλωμα, η ισχύς του ρεύματος Εγώπου θα αυξάνονται με την πάροδο του χρόνου. Ο πυκνωτής αυτή τη στιγμή θα αρχίσει να εκφορτίζεται, επειδή. τα ηλεκτρόνια που δημιουργούν το ρεύμα (υπενθυμίζω ότι η κατεύθυνση της κίνησης των θετικών φορτίων λαμβάνεται ως κατεύθυνση του ρεύματος) φεύγουν από την αρνητική πλάκα του πυκνωτή και έρχονται στη θετική (βλ. Εικ. 2, θέση 2 ). Μαζί με χρέωση qη ένταση θα μειωθεί u\(\left(u = \dfrac(q)(C) \right).\) Καθώς αυξάνεται η ισχύς του ρεύματος, θα εμφανιστεί ένα αυτοεπαγωγικό emf μέσω του πηνίου, αποτρέποντας μια αλλαγή στην τρέχουσα ισχύ. Ως αποτέλεσμα, η ισχύς του ρεύματος στο κύκλωμα ταλάντωσης θα αυξηθεί από το μηδέν σε μια ορισμένη μέγιστη τιμή όχι αμέσως, αλλά σε μια ορισμένη χρονική περίοδο, που καθορίζεται από την αυτεπαγωγή του πηνίου.

Φόρτιση πυκνωτή qμειώνεται και κάποια στιγμή γίνεται ίση με μηδέν ( q = 0, u= 0), το ρεύμα στο πηνίο θα φτάσει μια ορισμένη τιμή I m(βλέπε εικ. 2, θέση 3 ).

Χωρίς το ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή (και την αντίσταση), τα ηλεκτρόνια που δημιουργούν το ρεύμα συνεχίζουν να κινούνται με αδράνεια. Σε αυτή την περίπτωση, τα ηλεκτρόνια που φτάνουν στην ουδέτερη πλάκα του πυκνωτή του δίνουν αρνητικό φορτίο, τα ηλεκτρόνια που φεύγουν από την ουδέτερη πλάκα του δίνουν θετικό φορτίο. Ο πυκνωτής αρχίζει να φορτίζει q(και τάση u), αλλά με αντίθετο πρόσημο, δηλ. ο πυκνωτής επαναφορτίζεται. Τώρα το νέο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή εμποδίζει τα ηλεκτρόνια να κινηθούν, άρα το ρεύμα Εγώαρχίζει να μειώνεται (βλ. Εικ. 2, θέση 4 ). Και πάλι, αυτό δεν συμβαίνει αμέσως, αφού τώρα το EMF αυτοεπαγωγής επιδιώκει να αντισταθμίσει τη μείωση του ρεύματος και το «υποστηρίζει». Και η τιμή του ρεύματος I m(έγκυος 3 ) καταλήγει μέγιστο ρεύμαστο περίγραμμα.

Και πάλι, υπό τη δράση του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, θα εμφανιστεί ένα ηλεκτρικό ρεύμα στο κύκλωμα, αλλά κατευθυνόμενο προς την αντίθετη κατεύθυνση, την ισχύ του ρεύματος Εγώπου θα αυξάνονται με την πάροδο του χρόνου. Και ο πυκνωτής θα αποφορτιστεί αυτή τη στιγμή (βλ. Εικ. 2, θέση 6 ) στο μηδέν (βλ. Εικ. 2, θέση 7 ). Και τα λοιπά.

Από τη φόρτιση του πυκνωτή q(και τάση u) καθορίζει την ενέργεια του ηλεκτρικού του πεδίου Εμείς\(\left(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \right),\) και το ρεύμα στο πηνίο Εγώ- ενέργεια μαγνητικού πεδίου wm\(\left(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \right),\) τότε μαζί με τις αλλαγές στη φόρτιση, την τάση και την ισχύ ρεύματος, θα αλλάξουν και οι ενέργειες.

Ονομασίες στον πίνακα:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2 )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Η συνολική ενέργεια ενός ιδανικού κυκλώματος ταλάντωσης διατηρείται με την πάροδο του χρόνου, αφού υπάρχει απώλεια ενέργειας σε αυτό (χωρίς αντίσταση). Επειτα

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Έτσι, ιδανικά LC- το κύκλωμα θα παρουσιάζει περιοδικές αλλαγές στις τιμές ισχύος ρεύματος Εγώ, χρέωση qκαι το άγχος u, και η συνολική ενέργεια του κυκλώματος θα παραμείνει σταθερή. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ότι υπάρχουν ελεύθερες ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις.

• Ελεύθερες ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσειςστο κύκλωμα - αυτές είναι περιοδικές αλλαγές στη φόρτιση στις πλάκες πυκνωτών, την ισχύ του ρεύματος και την τάση στο κύκλωμα, που συμβαίνουν χωρίς κατανάλωση ενέργειας από εξωτερικές πηγές.

Έτσι, η εμφάνιση ελεύθερων ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα οφείλεται στην επαναφόρτιση του πυκνωτή και στην εμφάνιση αυτοεπαγωγικού EMF στο πηνίο, το οποίο «παρέχει» αυτή την επαναφόρτιση. Σημειώστε ότι η φόρτιση στον πυκνωτή qκαι το ρεύμα στο πηνίο Εγώφτάσουν τις μέγιστες τιμές τους Qmκαι I mσε διάφορα χρονικά σημεία.

Οι ελεύθερες ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις στο κύκλωμα συμβαίνουν σύμφωνα με τον αρμονικό νόμο:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \left(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \right), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \left(\omega \cdot t+\varphi _(2) \right).\)

Το μικρότερο χρονικό διάστημα κατά το οποίο LC- το κύκλωμα επιστρέφει στην αρχική του κατάσταση (στην αρχική τιμή του φορτίου αυτής της επένδυσης), ονομάζεται περίοδος ελεύθερων (φυσικών) ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα.

Η περίοδος των ελεύθερων ηλεκτρομαγνητικών ταλαντώσεων σε LC-Το περίγραμμα καθορίζεται από τον τύπο Thomson:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

Από την άποψη της μηχανικής αναλογίας, ένα εκκρεμές ελατηρίου χωρίς τριβή αντιστοιχεί σε ένα ιδανικό κύκλωμα ταλάντωσης και σε ένα πραγματικό - με τριβή. Λόγω της δράσης των δυνάμεων τριβής, οι ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου εξασθενούν με την πάροδο του χρόνου.

*Παραγωγή του τύπου Thomson

Αφού η συνολική ενέργεια του ιδανικού LC-το κύκλωμα, ίσο με το άθροισμα των ενεργειών του ηλεκτροστατικού πεδίου του πυκνωτή και του μαγνητικού πεδίου του πηνίου, διατηρείται, τότε ανά πάσα στιγμή η ισότητα

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Λαμβάνουμε την εξίσωση των ταλαντώσεων στο LC-κύκλωμα, χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Διαφοροποίηση της έκφρασης για τη συνολική ενέργειά της σε σχέση με το χρόνο, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

παίρνουμε μια εξίσωση που περιγράφει τις ελεύθερες ταλαντώσεις σε ένα ιδανικό κύκλωμα:

\(\left(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \right)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Ξαναγράφοντάς το ως:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

Σημειώστε ότι αυτή είναι η εξίσωση αρμονικών ταλαντώσεων με κυκλική συχνότητα

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Αντίστοιχα, η περίοδος των υπό εξέταση ταλαντώσεων

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Λογοτεχνία

1. Zhilko, V.V. Φυσική: σχολικό βιβλίο. επίδομα για την 11η τάξη γενικής εκπαίδευσης. σχολείο από τα ρωσικά lang. εκπαίδευση / V.V. Zhilko, L.G. Μάρκοβιτς. - Μινσκ: Ναρ. Ασβέτα, 2009. - Σ. 39-43.

Φορτίστε τον πυκνωτή από την μπαταρία και συνδέστε τον στο πηνίο. Στο κύκλωμα που δημιουργήσαμε θα ξεκινήσουν αμέσως ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις (Εικ. 46). Το ρεύμα εκφόρτισης του πυκνωτή, που διέρχεται από το πηνίο, δημιουργεί ένα μαγνητικό κλάσμα γύρω του. Αυτό σημαίνει ότι κατά την εκφόρτιση ενός πυκνωτή, η ενέργεια του ηλεκτρικού του πεδίου μετατρέπεται σε ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου, όπως όταν δονείται ένα εκκρεμές ή μια χορδή, η δυναμική ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια.

Καθώς ο πυκνωτής αποφορτίζεται, η τάση στις πλάκες του πέφτει και το ρεύμα στο κύκλωμα αυξάνεται και μέχρι να αποφορτιστεί πλήρως ο πυκνωτής, το ρεύμα θα είναι μέγιστο (πλάτος ρεύματος). Αλλά ακόμη και μετά το τέλος της εκφόρτισης του πυκνωτή, το ρεύμα δεν θα σταματήσει - το μειούμενο μαγνητικό πεδίο του πηνίου θα υποστηρίξει την κίνηση των φορτίων και θα αρχίσουν και πάλι να συσσωρεύονται στις πλάκες πυκνωτών. Σε αυτή την περίπτωση, το ρεύμα στο κύκλωμα μειώνεται και η τάση στον πυκνωτή αυξάνεται. Αυτή η διαδικασία της αντίστροφης μετάβασης της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου του πηνίου στην ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή θυμίζει κάπως αυτό που συμβαίνει όταν το εκκρεμές, έχοντας παρακάμψει το μεσαίο σημείο, ανεβαίνει.

Μέχρι να σταματήσει το ρεύμα στο κύκλωμα και να εξαφανιστεί το μαγνητικό πεδίο του πηνίου, ο πυκνωτής θα φορτιστεί στη μέγιστη (πλάτος) τάση αντίστροφης πολικότητας. Το τελευταίο σημαίνει ότι στην πλάκα όπου υπήρχαν παλιά θετικά φορτία, τώρα θα υπάρχουν αρνητικά και το αντίστροφο. Επομένως, όταν αρχίσει ξανά η εκφόρτιση του πυκνωτή (και αυτό θα συμβεί αμέσως μετά την πλήρη φόρτισή του), τότε το αντίστροφο ρεύμα θα ρέει στο κύκλωμα.

Η περιοδικά επαναλαμβανόμενη ανταλλαγή ενέργειας μεταξύ του πυκνωτή και του πηνίου είναι η ηλεκτρομαγνητική ταλάντωση στο κύκλωμα. Στη διαδικασία αυτών των ταλαντώσεων, ένα εναλλασσόμενο ρεύμα ρέει στο κύκλωμα (δηλαδή, όχι μόνο το μέγεθος, αλλά και η κατεύθυνση του ρεύματος αλλάζει) και μια εναλλασσόμενη τάση δρα στον πυκνωτή (δηλαδή, όχι μόνο το μέγεθος του οι αλλαγές τάσης, αλλά και η πολικότητα των φορτίων που συσσωρεύονται στις πλάκες). Μία από τις κατευθύνσεις της τάσης ρεύματος ονομάζεται υπό όρους θετική και η αντίθετη κατεύθυνση είναι αρνητική.

Παρατηρώντας αλλαγές στην τάση ή το ρεύμα, μπορείτε να σχεδιάσετε τις ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις στο κύκλωμα (Εικ. 46), όπως ακριβώς σχεδιάσαμε τις μηχανικές ταλαντώσεις του εκκρεμούς (). Στο γράφημα, οι τιμές του θετικού ρεύματος ή της τάσης απεικονίζονται πάνω από τον οριζόντιο άξονα και οι αρνητικές - κάτω από αυτόν τον άξονα. Αυτή η μισή περίοδος κατά την οποία το ρεύμα ρέει προς τη θετική κατεύθυνση ονομάζεται συχνά θετικός μισός κύκλος του ρεύματος και το άλλο μισό είναι ο αρνητικός μισός κύκλος του ρεύματος. Μπορούμε επίσης να μιλήσουμε για τη θετική και αρνητική τάση μισού κύκλου.

Θα ήθελα να τονίσω για άλλη μια φορά ότι χρησιμοποιούμε τις λέξεις «θετικό» και «αρνητικό» αρκετά υπό όρους, μόνο για να διακρίνουμε δύο αντίθετες κατευθύνσεις ρεύματος.

Οι ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις, που συναντήσαμε, ονομάζονται ελεύθερες ή φυσικές ταλαντώσεις. Εμφανίζονται κάθε φορά που μεταφέρουμε μια ορισμένη ποσότητα ενέργειας στο κύκλωμα και στη συνέχεια αφήνουμε τον πυκνωτή και το πηνίο να ανταλλάσσουν ελεύθερα αυτήν την ενέργεια. Η συχνότητα των ελεύθερων ταλαντώσεων (δηλαδή η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης και ρεύματος στο κύκλωμα) εξαρτάται από το πόσο γρήγορα ο πυκνωτής και το πηνίο μπορούν να αποθηκεύσουν και να απελευθερώσουν ενέργεια. Αυτό, με τη σειρά του, εξαρτάται από την αυτεπαγωγή Lk και την χωρητικότητα Ck του κυκλώματος, όπως η συχνότητα μιας χορδής εξαρτάται από τη μάζα και την ελαστικότητά της. Όσο μεγαλύτερη είναι η επαγωγή L του πηνίου, τόσο περισσότερος χρόνος χρειάζεται για να δημιουργηθεί ένα μαγνητικό πεδίο σε αυτό και τόσο περισσότερο αυτό το μαγνητικό πεδίο μπορεί να διατηρήσει το ρεύμα στο κύκλωμα. Όσο μεγαλύτερη είναι η χωρητικότητα C του πυκνωτή, τόσο περισσότερο θα αποφορτιστεί και τόσο περισσότερο θα χρειαστεί για να επαναφορτιστεί αυτός ο πυκνωτής. Έτσι, όσο περισσότερα Lk και C στο κύκλωμα, τόσο πιο αργές γίνονται οι ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις σε αυτό, τόσο χαμηλότερη είναι η συχνότητά τους. Η εξάρτηση της συχνότητας f σχετικά με τις ελεύθερες ταλαντώσεις από το L στο και το C στο κύκλωμα εκφράζεται με έναν απλό τύπο, ο οποίος είναι ένας από τους βασικούς τύπους της ραδιομηχανικής:

Η έννοια αυτού του τύπου είναι εξαιρετικά απλή: για να αυξηθεί η συχνότητα των φυσικών ταλαντώσεων f 0, είναι απαραίτητο να μειωθεί η επαγωγή L στο ή η χωρητικότητα C στο κύκλωμα. Για να μειωθεί η f 0, η αυτεπαγωγή και η χωρητικότητα πρέπει να αυξηθούν (Εικ. 47).

Από τον τύπο για τη συχνότητα, μπορεί κανείς εύκολα να εξαγάγει (το έχουμε κάνει ήδη με τον τύπο του νόμου του Ohm) τύπους υπολογισμού για τον προσδιορισμό μιας από τις παραμέτρους του κυκλώματος L k ή C k σε μια δεδομένη συχνότητα f0 και μια γνωστή δεύτερη παράμετρο . Οι τύποι που είναι κατάλληλοι για πρακτικούς υπολογισμούς δίνονται στα φύλλα 73, 74 και 75.

>> Μια εξίσωση που περιγράφει τις διεργασίες σε ένα κύκλωμα ταλάντωσης. Περίοδος ελεύθερων ηλεκτρικών ταλαντώσεων

§ 30 ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΣΤΟ ΤΑΛΑΝΤΩΤΙΚΟ ΚΥΚΛΩΜΑ. ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΩΡΕΑΝ ΗΛΕΚΤΡΙΚΩΝ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ

Ας στραφούμε τώρα στην ποσοτική θεωρία των διεργασιών σε ένα ταλαντευόμενο κύκλωμα.

Μια εξίσωση που περιγράφει τις διεργασίες σε ένα κύκλωμα ταλάντωσης.Θεωρήστε ένα κύκλωμα ταλάντωσης, του οποίου η αντίσταση R μπορεί να αγνοηθεί (Εικ. 4.6).

Η εξίσωση που περιγράφει τις ελεύθερες ηλεκτρικές ταλαντώσεις στο κύκλωμα μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Η συνολική ηλεκτρομαγνητική ενέργεια W του κυκλώματος ανά πάσα στιγμή είναι ίση με το άθροισμα των ενεργειών του από το μαγνητικό και το ηλεκτρικό πεδίο:

Αυτή η ενέργεια δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου εάν η αντίστασή της R του κυκλώματος είναι μηδέν. Επομένως, η χρονική παράγωγος της συνολικής ενέργειας είναι μηδέν. Επομένως, το άθροισμα των χρονικών παραγώγων των ενεργειών του μαγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου είναι ίσο με μηδέν:

Η φυσική έννοια της εξίσωσης (4.5) είναι ότι ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου είναι ίσος σε απόλυτη τιμή με τον ρυθμό μεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου. το σύμβολο "-" υποδεικνύει ότι όσο αυξάνεται η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου, η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου μειώνεται (και αντίστροφα).

Υπολογίζοντας τις παραγώγους στην εξίσωση (4.5), παίρνουμε 1

Αλλά η χρονική παράγωγος του φορτίου είναι η τρέχουσα ισχύς σε μια δεδομένη στιγμή:

Επομένως, η εξίσωση (4.6) μπορεί να ξαναγραφτεί με την ακόλουθη μορφή:

1 Υπολογίζουμε τα παράγωγα σε σχέση με το χρόνο. Επομένως, η παράγωγος (ι 2) "δεν είναι απλώς ίση με 2 i, όπως θα ήταν κατά τον υπολογισμό της παραγώγου αλλά i. Είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε το 2 i με την παράγωγο i" της τρέχουσας ισχύος σε σχέση με το χρόνο, αφού υπολογίζεται η παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης. Το ίδιο ισχύει και για την παράγωγο (q 2)».

Η παράγωγος του ρεύματος ως προς το χρόνο δεν είναι παρά η δεύτερη παράγωγος του φορτίου ως προς το χρόνο, όπως η παράγωγος της ταχύτητας ως προς το χρόνο (επιτάχυνση) είναι η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης ως προς το χρόνο. Αντικαθιστώντας την εξίσωση (4.8) i "= q" και διαιρώντας το αριστερό και το δεξί μέρος αυτής της εξίσωσης με το Li, λαμβάνουμε την κύρια εξίσωση που περιγράφει τις ελεύθερες ηλεκτρικές ταλαντώσεις στο κύκλωμα:

Τώρα μπορείτε να εκτιμήσετε πλήρως τη σημασία των προσπαθειών που έχουν καταβληθεί για τη μελέτη των ταλαντώσεων μιας μπάλας σε ένα ελατήριο και ένα μαθηματικό εκκρεμές. Άλλωστε, η εξίσωση (4.9) δεν διαφέρει σε τίποτα, εκτός από τη σημειογραφία, από την εξίσωση (3.11), η οποία περιγράφει τις δονήσεις μιας μπάλας σε ένα ελατήριο. Αντικαθιστώντας το x με q, το x" με q", το k με 1/C και το m με το L στην εξίσωση (3.11), λαμβάνουμε ακριβώς την εξίσωση (4.9). Αλλά η εξίσωση (3.11) έχει ήδη λυθεί παραπάνω. Επομένως, γνωρίζοντας τον τύπο που περιγράφει τις ταλαντώσεις ενός εκκρεμούς ελατηρίου, μπορούμε αμέσως να γράψουμε έναν τύπο για την περιγραφή των ηλεκτρικών ταλαντώσεων στο κύκλωμα.

Περιεχόμενο μαθήματος περίληψη μαθήματοςυποστήριξη πλαισίων παρουσίασης μαθήματος επιταχυντικές μέθοδοι διαδραστικές τεχνολογίες Πρακτική εργασίες και ασκήσεις εργαστήρια αυτοεξέτασης, προπονήσεις, περιπτώσεις, αναζητήσεις ερωτήσεις συζήτησης εργασιών για το σπίτι ρητορικές ερωτήσεις από μαθητές εικονογραφήσεις ήχου, βίντεο κλιπ και πολυμέσαφωτογραφίες, εικόνες γραφικά, πίνακες, σχήματα χιούμορ, ανέκδοτα, ανέκδοτα, παραβολές κόμικς, ρήσεις, σταυρόλεξα, αποσπάσματα Πρόσθετα περιλήψειςάρθρα τσιπ για περιπετειώδη cheat sheets σχολικά βιβλία βασικά και πρόσθετο γλωσσάρι όρων άλλα Βελτίωση σχολικών βιβλίων και μαθημάτωνδιόρθωση λαθών στο σχολικό βιβλίοενημέρωση ενός τεμαχίου στο σχολικό βιβλίο στοιχεία καινοτομίας στο μάθημα αντικαθιστώντας τις απαρχαιωμένες γνώσεις με νέες Μόνο για δασκάλους τέλεια μαθήματαημερολογιακό σχέδιο για το έτος μεθοδολογικές συστάσεις του προγράμματος συζήτησης Ολοκληρωμένα Μαθήματα