Πώς να βρείτε την αντίστροφη ορίζουσα. αντίστροφη μήτρα

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα.

Σε αυτό το άρθρο, θα ασχοληθούμε με την έννοια του αντίστροφου πίνακα, τις ιδιότητές του και τους τρόπους εύρεσης του. Ας σταθούμε λεπτομερώς στην επίλυση παραδειγμάτων στα οποία απαιτείται η κατασκευή ενός αντίστροφου πίνακα για έναν δεδομένο.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Αντίστροφος πίνακας - ορισμός.

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με χρήση πίνακα αλγεβρικών προσθηκών.

Ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα.

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο Gauss-Jordan.

Εύρεση στοιχείων του αντίστροφου πίνακα με επίλυση των αντίστοιχων συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Αντίστροφος πίνακας - ορισμός.

Η έννοια του αντίστροφου πίνακα εισάγεται μόνο για τετράγωνους πίνακες των οποίων η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, δηλαδή για μη μοναδικούς τετραγωνικούς πίνακες.

Ορισμός.

Μήτραονομάζεται αντίστροφο του πίνακα, του οποίου η ορίζουσα είναι διαφορετική από το μηδέν, αν οι ισότητες είναι αληθείς , όπου μιείναι η μήτρα ταυτότητας της τάξης nστο n.

Εύρεση του αντίστροφου πίνακα με χρήση πίνακα αλγεβρικών προσθηκών.

Πώς να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα για ένα δεδομένο;

Πρώτον, χρειαζόμαστε τις έννοιες μεταφερόμενος πίνακας, τον ελάσσονα πίνακα και το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου του πίνακα.

Ορισμός.

Ανήλικοςκ-ου Σειράμήτρες ΕΝΑΣειρά Μστο nείναι ο προσδιοριστής του πίνακα τάξεων κστο κ, το οποίο προκύπτει από τα στοιχεία του πίνακα ΑΛΛΑπου βρίσκεται στο επιλεγμένο κγραμμές και κστήλες. ( κδεν υπερβαίνει τον μικρότερο αριθμό Μή n).

Ανήλικος (η-1)ουσειρά, η οποία αποτελείται από τα στοιχεία όλων των σειρών, εκτός από i-th, και όλες οι στήλες εκτός από ι-ου, τετράγωνος πίνακας ΑΛΛΑΣειρά nστο nας το χαρακτηρίσουμε ως .

Με άλλα λόγια, το δευτερεύον προκύπτει από τον τετραγωνικό πίνακα ΑΛΛΑΣειρά nστο nδιασταύρωση στοιχείων i-thγραμμές και ι-ουστήλη.

Για παράδειγμα, ας γράψουμε, ελάσσονα 2οσειρά, η οποία λαμβάνεται από τη μήτρα επιλογή των στοιχείων της δεύτερης, τρίτης σειράς και πρώτης, τρίτης στήλης . Δείχνουμε επίσης το δευτερεύον, το οποίο προκύπτει από τον πίνακα διαγράφοντας τη δεύτερη σειρά και την τρίτη στήλη . Ας επεξηγήσουμε την κατασκευή αυτών των ανηλίκων: και .

Ορισμός.

Αλγεβρική πρόσθεσητο στοιχείο ενός τετραγωνικού πίνακα ονομάζεται δευτερεύον (η-1)ουσειρά, η οποία λαμβάνεται από τη μήτρα ΑΛΛΑ, διαγράφοντας στοιχεία του i-thγραμμές και ι-ουστήλη πολλαπλασιαζόμενη επί .

Το αλγεβρικό συμπλήρωμα ενός στοιχείου συμβολίζεται ως . Ετσι, .

Για παράδειγμα, για μια μήτρα το αλγεβρικό συμπλήρωμα του στοιχείου είναι .

Δεύτερον, θα χρειαστούμε δύο ιδιότητες της ορίζουσας, τις οποίες συζητήσαμε στην ενότητα υπολογισμός καθοριστικού πίνακα:

Με βάση αυτές τις ιδιότητες της ορίζουσας, οι ορισμοί πράξεις πολλαπλασιασμού ενός πίνακα με έναν αριθμόκαι την έννοια του αντίστροφου πίνακα, έχουμε την ισότητα , όπου είναι ένας μετατιθέμενος πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι αλγεβρικά συμπληρώματα.

Μήτρα είναι πράγματι το αντίστροφο του πίνακα ΑΛΛΑ, αφού οι ισότητες . Ας το δείξουμε

Ας συνθέσουμε αλγόριθμος αντίστροφης μήτραςχρησιμοποιώντας την ισότητα .

Ας αναλύσουμε τον αλγόριθμο για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Δίνεται μια μήτρα . Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.

Λύση.

Υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα ΑΛΛΑ, επεκτείνοντάς το κατά τα στοιχεία της τρίτης στήλης:

Η ορίζουσα είναι μη μηδενική, άρα ο πίνακας ΑΛΛΑαναστρεπτός.

Ας βρούμε έναν πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες:

Να γιατί

Ας εκτελέσουμε τη μεταφορά του πίνακα από αλγεβρικές προσθήκες:

Τώρα βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα ως :

Ας ελέγξουμε το αποτέλεσμα:

Ισότητα εκτελούνται, επομένως, ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται σωστά.

Ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα.

Έννοια του αντίστροφου πίνακα, ισότητα , οι ορισμοί των πράξεων σε πίνακες και οι ιδιότητες της ορίζουσας ενός πίνακα καθιστούν δυνατή την τεκμηρίωση των ακόλουθων ιδιότητες αντίστροφου πίνακα:

Εξετάστε έναν άλλο τρόπο για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα για έναν τετραγωνικό πίνακα ΑΛΛΑΣειρά nστο n.

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη λύση nσυστήματα γραμμικών ανομοιογενών αλγεβρικών εξισώσεων με nάγνωστος. Οι άγνωστες μεταβλητές σε αυτά τα συστήματα εξισώσεων είναι τα στοιχεία του αντίστροφου πίνακα.

Η ιδέα είναι πολύ απλή. Να συμβολίσετε τον αντίστροφο πίνακα ως Χ, αυτό είναι, . Αφού εξ ορισμού του αντίστροφου πίνακα , τότε

Εξισώνοντας τα αντίστοιχα στοιχεία ανά στήλες, παίρνουμε nσυστήματα γραμμικών εξισώσεων

Τα λύνουμε με οποιονδήποτε τρόπο και σχηματίζουμε έναν αντίστροφο πίνακα από τις τιμές που βρέθηκαν.

Ας αναλύσουμε αυτή τη μέθοδο με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Δίνεται μια μήτρα . Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα.

Λύση.

Αποδέχομαι . Η ισότητα μας δίνει τρία συστήματα γραμμικών μη ομοιογενών αλγεβρικών εξισώσεων:

Δεν θα περιγράψουμε τη λύση αυτών των συστημάτων· εάν είναι απαραίτητο, ανατρέξτε στην ενότητα επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

Από το πρώτο σύστημα εξισώσεων έχουμε , από το δεύτερο - , από το τρίτο - . Επομένως, ο επιθυμητός αντίστροφος πίνακας έχει τη μορφή . Συνιστούμε να ελέγξετε για να βεβαιωθείτε ότι το αποτέλεσμα είναι σωστό.

Συνοψίζω.

Εξετάσαμε την έννοια ενός αντίστροφου πίνακα, τις ιδιότητές του και τρεις μεθόδους εύρεσης του.

Παράδειγμα λύσεων αντίστροφης μήτρας

Ασκηση 1.Λύστε SLAE χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του αντίστροφου πίνακα. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Έναρξη φόρμας

Τέλος φόρμας

Λύση. Ας γράψουμε τον πίνακα με τη μορφή: Διάνυσμα Β: Β Τ = (1,2,3,4) Κύρια ορίζουσα Ελάσσονα για (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Μικρό για (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Μικρό για (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 δευτερεύοντα για (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 δευτερεύουσα ορίζουσα ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Μεταφερόμενος πίνακαςΑλγεβρικά συμπληρώματα Δ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Αντίστροφος Πίνακας Διάνυσμα αποτελέσματος X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

δείτε επίσης Λύσεις SLAE με τη μέθοδο της αντίστροφης μήτραςΣε σύνδεση. Για να το κάνετε αυτό, εισαγάγετε τα δεδομένα σας και λάβετε μια απόφαση με αναλυτικά σχόλια.

Εργασία 2. Να γράψετε το σύστημα των εξισώσεων σε μορφή πίνακα και να το λύσετε χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα. Ελέγξτε το ληφθέν διάλυμα. Λύση:xml:xls

Παράδειγμα 2. Να γράψετε το σύστημα των εξισώσεων σε μορφή πίνακα και να το λύσετε χρησιμοποιώντας τον αντίστροφο πίνακα. Λύση:xml:xls

Παράδειγμα. Δίνεται σύστημα τριών γραμμικών εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Απαιτείται: 1) βρείτε τη λύση του χρησιμοποιώντας Οι τύποι του Cramer; 2) γράψτε το σύστημα σε μορφή πίνακα και λύστε το χρησιμοποιώντας λογισμό πινάκων. Κατευθυντήριες γραμμές. Αφού λύσετε με τη μέθοδο του Cramer, βρείτε το κουμπί "Λύση αντίστροφου πίνακα για αρχικά δεδομένα". Θα λάβετε την κατάλληλη απόφαση. Έτσι, τα δεδομένα δεν θα χρειαστεί να συμπληρωθούν ξανά. Λύση. Σημειώστε με A - τον πίνακα των συντελεστών για αγνώστους. X - μήτρα στήλης αγνώστων. Β - μήτρα-στήλη ελεύθερων μελών:

Διάνυσμα B: B T =(4,-3,-3) Λαμβάνοντας υπόψη αυτούς τους συμβολισμούς, αυτό το σύστημα εξισώσεων παίρνει την ακόλουθη μορφή πίνακα: Α*Χ = B. Εάν ο πίνακας Α είναι μη ενικός (η ορίζουσα του είναι μη μηδενική, τότε έχει αντίστροφος πίνακας Α -1. Πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με A -1, παίρνουμε: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Αυτή η ισότητα ονομάζεται σημειογραφία μήτρας της λύσης του συστήματος γραμμικών εξισώσεων. Για να βρεθεί μια λύση στο σύστημα των εξισώσεων, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο αντίστροφος πίνακας A -1 . Το σύστημα θα έχει λύση εάν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι μη μηδενική. Ας βρούμε τον κύριο καθοριστικό παράγοντα. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Άρα, η ορίζουσα είναι 14 ≠ 0, οπότε συνεχίζουμε τη λύση. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τον αντίστροφο πίνακα μέσω αλγεβρικών προσθηκών. Ας έχουμε έναν μη ενικό πίνακα Α:

Υπολογίζουμε αλγεβρικές προσθήκες.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Εξέταση. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 έγγρ:xml:xls Απάντηση: -1,1,2.

Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας nης τάξης

Ο πίνακας A -1 ονομάζεται αντίστροφη μήτρασε σχέση με τον πίνακα A, εάν A * A -1 = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της νης τάξης.

Μήτρα ταυτότητας- ένας τέτοιος τετράγωνος πίνακας, στον οποίο όλα τα στοιχεία κατά μήκος της κύριας διαγωνίου, που περνούν από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, είναι ένα και τα υπόλοιπα είναι μηδενικά, για παράδειγμα:

αντίστροφη μήτραμπορεί να υπάρχει μόνο για τετράγωνους πίνακεςεκείνοι. για τους πίνακες που έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών.

Θεώρημα συνθήκης ύπαρξης αντίστροφου πίνακα

Για να έχει μια μήτρα αντίστροφη μήτρα, είναι απαραίτητο και επαρκές να είναι μη εκφυλισμένος.

Ο πίνακας A = (A1, A2,...A n) ονομάζεται μη εκφυλισμένοςαν τα διανύσματα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητα. Ο αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων στήλης ενός πίνακα ονομάζεται κατάταξη του πίνακα. Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι για να υπάρχει ένας αντίστροφος πίνακας, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του πίνακα να είναι ίση με τη διάστασή του, δηλ. r = n.

Αλγόριθμος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Γράψτε τον πίνακα Α στον πίνακα για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss και στα δεξιά (στη θέση των δεξιών τμημάτων των εξισώσεων) αντιστοιχίστε τον πίνακα Ε σε αυτόν.
Χρησιμοποιώντας μετασχηματισμούς Jordan, φέρτε τον πίνακα A σε έναν πίνακα που αποτελείται από μεμονωμένες στήλες. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να μετασχηματιστεί ταυτόχρονα ο πίνακας Ε.
Εάν είναι απαραίτητο, αναδιατάξτε τις σειρές (εξισώσεις) του τελευταίου πίνακα έτσι ώστε ο πίνακας ταυτότητας Ε να λαμβάνεται κάτω από τον πίνακα Α του αρχικού πίνακα.
Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα A -1, ο οποίος βρίσκεται στον τελευταίο πίνακα κάτω από τον πίνακα E του αρχικού πίνακα.

Παράδειγμα 1

Για τον πίνακα A, βρείτε τον αντίστροφο πίνακα A -1

Λύση: Καταγράφουμε τον πίνακα A και στα δεξιά εκχωρούμε τον πίνακα ταυτότητας E. Χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς Jordan, ανάγουμε τον πίνακα A στον πίνακα ταυτότητας E. Οι υπολογισμοί φαίνονται στον Πίνακα 31.1.

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών πολλαπλασιάζοντας τον αρχικό πίνακα Α και τον αντίστροφο πίνακα Α -1.

Ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού του πίνακα, λαμβάνεται ο πίνακας ταυτότητας. Επομένως, οι υπολογισμοί είναι σωστοί.

Απάντηση:

Επίλυση εξισώσεων μήτρας

Οι εξισώσεις μήτρας μπορεί να μοιάζουν με:

AX = B, XA = B, AXB = C,

όπου A, B, C δίνονται πίνακες, X είναι ο επιθυμητός πίνακας.

Οι εξισώσεις μήτρας λύνονται πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση με αντίστροφους πίνακες.

Για παράδειγμα, για να βρείτε τον πίνακα από μια εξίσωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε αυτήν την εξίσωση επί στα αριστερά.

Επομένως, για να βρείτε μια λύση στην εξίσωση, πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα και να τον πολλαπλασιάσετε με τον πίνακα στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης.

Ομοίως λύνονται και άλλες εξισώσεις.

Παράδειγμα 2

Να λύσετε την εξίσωση AX = B αν

Λύση: Εφόσον το αντίστροφο του πίνακα είναι ίσο (βλ. παράδειγμα 1)

Μέθοδος matrix στην οικονομική ανάλυση

Μαζί με άλλα βρίσκουν και εφαρμογή μεθόδους μήτρας. Αυτές οι μέθοδοι βασίζονται σε γραμμική άλγεβρα και διανυσματική μήτρα. Τέτοιες μέθοδοι χρησιμοποιούνται για τους σκοπούς της ανάλυσης πολύπλοκων και πολυδιάστατων οικονομικών φαινομένων. Τις περισσότερες φορές, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται όταν είναι απαραίτητο να συγκριθεί η λειτουργία των οργανισμών και τα δομικά τους τμήματα.

Κατά τη διαδικασία εφαρμογής μεθόδων ανάλυσης μήτρας, μπορούν να διακριθούν διάφορα στάδια.

Στο πρώτο στάδιοπραγματοποιείται ο σχηματισμός ενός συστήματος οικονομικών δεικτών και στη βάση του συντάσσεται ένας πίνακας αρχικών δεδομένων, ο οποίος είναι ένας πίνακας στον οποίο εμφανίζονται οι αριθμοί του συστήματος στις επιμέρους γραμμές του (i = 1,2,....,n), και κατά μήκος των κάθετων γραφημάτων - αριθμοί δεικτών (j = 1,2,....,m).

Στο δεύτερο στάδιογια κάθε κάθετη στήλη, αποκαλύπτεται η μεγαλύτερη από τις διαθέσιμες τιμές των δεικτών, η οποία λαμβάνεται ως μονάδα.

Μετά από αυτό, όλα τα ποσά που απεικονίζονται σε αυτή τη στήλη διαιρούνται με τη μεγαλύτερη τιμή και σχηματίζεται ένας πίνακας τυποποιημένων συντελεστών.

Στο τρίτο στάδιοόλα τα συστατικά του πίνακα είναι τετράγωνα. Εάν έχουν διαφορετική σημασία, τότε σε κάθε δείκτη του πίνακα εκχωρείται ένας συγκεκριμένος συντελεστής στάθμισης κ. Η αξία του τελευταίου καθορίζεται από ειδικό.

Στο τελευταίο τέταρτο στάδιοβρέθηκαν τιμές βαθμολογιών Rjομαδοποιούνται με αύξουσα ή φθίνουσα σειρά.

Οι παραπάνω μέθοδοι μήτρας θα πρέπει να χρησιμοποιούνται, για παράδειγμα, σε μια συγκριτική ανάλυση διαφόρων επενδυτικών σχεδίων, καθώς και στην αξιολόγηση άλλων δεικτών οικονομικής απόδοσης των οργανισμών.

Ο πίνακας $A^(-1)$ ονομάζεται αντίστροφος του τετραγωνικού πίνακα $A$ εάν $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, όπου $E $ είναι ο πίνακας ταυτότητας, η σειρά του οποίου είναι ίση με τη σειρά του πίνακα $A$.

Ένας μη ενικός πίνακας είναι ένας πίνακας του οποίου η ορίζουσα δεν είναι ίση με το μηδέν. Κατά συνέπεια, ένας εκφυλισμένος πίνακας είναι αυτός του οποίου η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

Ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ υπάρχει εάν και μόνο εάν ο πίνακας $A$ είναι μη ενικός. Εάν υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, τότε είναι μοναδικός.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να βρείτε το αντίστροφο ενός πίνακα και θα δούμε δύο από αυτούς. Αυτή η σελίδα θα συζητήσει τη μέθοδο πρόσθετου πίνακα, η οποία θεωρείται τυπική στα περισσότερα ανώτερα μαθήματα μαθηματικών. Ο δεύτερος τρόπος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα (μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών), ο οποίος περιλαμβάνει τη χρήση της μεθόδου Gauss ή της μεθόδου Gauss-Jordan, εξετάζεται στο δεύτερο μέρος.

Μέθοδος συμπληρωματικής (ενωτικής) μήτρας

Ας δοθεί ο πίνακας $A_(n\times n)$. Για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$, απαιτούνται τρία βήματα:

Βρείτε την ορίζουσα του πίνακα $A$ και βεβαιωθείτε ότι $\Delta A\neq 0$, δηλ. ότι η μήτρα Α είναι μη εκφυλισμένη.
Συνθέστε αλγεβρικά συμπληρώματα $A_(ij)$ για κάθε στοιχείο του πίνακα $A$ και γράψτε τον πίνακα $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ από τον πίνακα που βρέθηκε αλγεβρικά συμπληρώματα.
Γράψτε τον αντίστροφο πίνακα λαμβάνοντας υπόψη τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Η μήτρα $(A^(*))^T$ αναφέρεται συχνά ως η πρόσθετη (αμοιβαία, συμμαχική) μήτρα του $A$.

Εάν η απόφαση λαμβάνεται με μη αυτόματο τρόπο, τότε η πρώτη μέθοδος είναι καλή μόνο για πίνακες σχετικά μικρών παραγγελιών: δεύτερη (), τρίτη (), τέταρτη (). Για να βρεθεί ο αντίστροφος πίνακας για έναν πίνακα υψηλότερης τάξης, χρησιμοποιούνται άλλες μέθοδοι. Για παράδειγμα, η μέθοδος Gauss, η οποία συζητείται στο δεύτερο μέρος.

Παράδειγμα #1

Βρείτε τον πίνακα αντίστροφο προς τον πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Εφόσον όλα τα στοιχεία της τέταρτης στήλης είναι ίσα με μηδέν, τότε $\Delta A=0$ (δηλαδή ο πίνακας $A$ είναι εκφυλισμένος). Εφόσον $\Delta A=0$, δεν υπάρχει αντίστροφος πίνακας του $A$.

Παράδειγμα #2

Βρείτε τον πίνακα αντίστροφο προς τον πίνακα $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της πρόσθετης μήτρας. Αρχικά, ας βρούμε την ορίζουσα του δεδομένου πίνακα $A$:

$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Αφού $\Delta A \neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, οπότε συνεχίζουμε τη λύση. Εύρεση Αλγεβρικών Συμπληρωμάτων

\begin(στοιχισμένο) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(στοίχιση)

Συνθέστε έναν πίνακα αλγεβρικών συμπληρωμάτων: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Μεταφέρετε τον προκύπτοντα πίνακα: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (το προκύπτον ο πίνακας ονομάζεται συχνά ο συνδεδεμένος ή ο ενιαίος πίνακας του πίνακα $A$). Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, έχουμε:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right) $$

Βρέθηκε λοιπόν ο αντίστροφος πίνακας: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \δεξιά) $. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A^(-1)\cdot A=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ αλλά ως $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\right)$:

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\right)$.

Παράδειγμα #3

Βρείτε το αντίστροφο του πίνακα $A=\left(\begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Ας ξεκινήσουμε με τον υπολογισμό της ορίζουσας του πίνακα $A$. Άρα, η ορίζουσα του πίνακα $A$ είναι:

$$ \Δέλτα A=\αριστερά| \begin(array) (cccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Αφού $\Delta A\neq 0$, τότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας, οπότε συνεχίζουμε τη λύση. Βρίσκουμε τα αλγεβρικά συμπληρώματα κάθε στοιχείου του δεδομένου πίνακα:

Συνθέτουμε έναν πίνακα αλγεβρικών προσθηκών και τον μεταφέρουμε:

$$ A^*=\left(\begin(array) (cccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\αρχή(πίνακας) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \δεξιά) $$

Χρησιμοποιώντας τον τύπο $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, παίρνουμε:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Άρα $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Για να ελέγξετε την αλήθεια του αποτελέσματος, αρκεί να ελέγξετε την αλήθεια μιας από τις ισότητες: $A^(-1)\cdot A=E$ ή $A\cdot A^(-1)=E$. Ας ελέγξουμε την ισότητα $A\cdot A^(-1)=E$. Για να δουλέψουμε λιγότερο με κλάσματα, θα αντικαταστήσουμε τον πίνακα $A^(-1)$ όχι με τη μορφή $\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, αλλά ως $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (cccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Ο έλεγχος πέρασε με επιτυχία, ο αντίστροφος πίνακας $A^(-1)$ βρέθηκε σωστά.

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Παράδειγμα #4

Βρείτε τον αντίστροφο πίνακα του $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Για έναν πίνακα τέταρτης τάξης, η εύρεση του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες είναι κάπως δύσκολη. Ωστόσο, τέτοια παραδείγματα βρίσκονται στις εργασίες ελέγχου.

Για να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, πρέπει πρώτα να υπολογίσετε την ορίζουσα του πίνακα $A$. Ο καλύτερος τρόπος για να το κάνετε αυτό σε αυτήν την περίπτωση είναι να επεκτείνετε την ορίζουσα σε μια σειρά (στήλη). Επιλέγουμε οποιαδήποτε γραμμή ή στήλη και βρίσκουμε το αλγεβρικό συμπλήρωμα κάθε στοιχείου της επιλεγμένης γραμμής ή στήλης.

Μέθοδοι εύρεσης του αντίστροφου πίνακα, . Θεωρήστε έναν τετράγωνο πίνακα

Σημειώστε Δ = det A.

Ο τετραγωνικός πίνακας Α ονομάζεται μη εκφυλισμένος,ή μη ειδικόςαν η ορίζουσα του είναι μη μηδενική, και εκφυλισμένος,ή ειδικός, ανΔ = 0.

Ένας τετραγωνικός πίνακας Β υπάρχει για έναν τετράγωνο πίνακα Α ίδιας τάξης εάν το γινόμενο τους A B = B A = E, όπου E είναι ο πίνακας ταυτότητας της ίδιας τάξης με τους πίνακες A και B.

Θεώρημα . Για να έχει ο πίνακας Α αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζοντή του να είναι μη μηδενική.

Αντίστροφος πίνακας προς τον πίνακα Α, που συμβολίζεται με Α- 1 άρα Β = Α - 1 και υπολογίζεται με τον τύπο

, (1)

όπου А i j - αλγεβρικά συμπληρώματα στοιχείων a i j του πίνακα A..

Ο υπολογισμός του A -1 με τον τύπο (1) για πίνακες υψηλής τάξης είναι πολύ επίπονος, επομένως στην πράξη είναι βολικό να βρεθεί το A -1 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών (EP). Οποιοσδήποτε μη μοναδικός πίνακας A μπορεί να μειωθεί κατά το EP μόνο των στηλών (ή μόνο των γραμμών) στον πίνακα ταυτότητας E. Εάν τα EP που εκτελούνται στον πίνακα A εφαρμόζονται με την ίδια σειρά στον πίνακα ταυτότητας E, τότε το αποτέλεσμα είναι έναν αντίστροφο πίνακα. Είναι βολικό να εκτελείτε ένα EP στους πίνακες Α και Ε ταυτόχρονα, γράφοντας και τους δύο πίνακες δίπλα-δίπλα μέσω της γραμμής. Σημειώνουμε για άλλη μια φορά ότι κατά την αναζήτηση της κανονικής μορφής ενός πίνακα, για να τον βρει κανείς, μπορεί να χρησιμοποιήσει μετασχηματισμούς σειρών και στηλών. Εάν πρέπει να βρείτε τον αντίστροφο πίνακα, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε μόνο γραμμές ή μόνο στήλες στη διαδικασία μετασχηματισμού.

Παράδειγμα 2.10. Για μήτρα βρείτε το Α -1.

Λύση.Αρχικά βρίσκουμε την ορίζουσα του πίνακα Α
οπότε υπάρχει ο αντίστροφος πίνακας και μπορούμε να τον βρούμε με τον τύπο: , όπου A i j (i,j=1,2,3) - αλγεβρικά συμπληρώματα στοιχείων a i j του αρχικού πίνακα.

Οπου .

Παράδειγμα 2.11. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των στοιχειωδών μετασχηματισμών, βρείτε A -1 για τον πίνακα: A=.

Λύση.Εκχωρούμε έναν πίνακα ταυτότητας της ίδιας σειράς στον αρχικό πίνακα στα δεξιά: . Με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών στηλών, μειώνουμε το αριστερό «μισό» στο ταυτιστικό, εκτελώντας ταυτόχρονα ακριβώς τέτοιους μετασχηματισμούς στον δεξιό πίνακα.
Για να το κάνετε αυτό, αλλάξτε την πρώτη και τη δεύτερη στήλη: ~ . Προσθέτουμε την πρώτη στην τρίτη στήλη και την πρώτη πολλαπλασιάζουμε με -2 στη δεύτερη: . Από την πρώτη στήλη αφαιρούμε τη διπλασιασμένη δεύτερη και από την τρίτη - τη δεύτερη πολλαπλασιασμένη επί 6. . Ας προσθέσουμε την τρίτη στήλη στην πρώτη και τη δεύτερη: . Πολλαπλασιάστε την τελευταία στήλη με -1: . Ο τετράγωνος πίνακας που λαμβάνεται στα δεξιά της κατακόρυφης ράβδου είναι ο αντίστροφος πίνακας του δεδομένου πίνακα Α. Άρα,
.

Στο πρώτο μέρος, εξετάστηκε μια μέθοδος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες. Εδώ περιγράφουμε μια άλλη μέθοδο για την εύρεση αντίστροφων πινάκων: χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς Gauss και Gauss-Jordan. Συχνά αυτή η μέθοδος εύρεσης του αντίστροφου πίνακα ονομάζεται μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών.

Μέθοδος στοιχειωδών μετασχηματισμών

Για να εφαρμοστεί αυτή η μέθοδος, ο δεδομένος πίνακας $A$ και ο πίνακας ταυτότητας $E$ γράφονται σε έναν πίνακα, δηλ. σχηματίστε μια μήτρα της μορφής $(A|E)$ (αυτή η μήτρα ονομάζεται επίσης εκτεταμένη μήτρα). Μετά από αυτό, με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών που εκτελούνται με τις σειρές του διευρυμένου πίνακα, ο πίνακας στα αριστερά της γραμμής γίνεται ενότητα και ο διευρυμένος πίνακας παίρνει τη μορφή $\left(E| A^(-1) \right )$. Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί σε αυτήν την κατάσταση περιλαμβάνουν τις ακόλουθες ενέργειες:

Αντικατάσταση δύο γραμμών.
Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας συμβολοσειράς με κάποιον μη μηδενικό αριθμό.
Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα με οποιονδήποτε παράγοντα.

Αυτοί οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί μπορούν να εφαρμοστούν με διαφορετικούς τρόπους. Συνήθως επιλέγεται η μέθοδος Gauss ή η μέθοδος Gauss-Jordan. Γενικά, οι μέθοδοι Gauss και Gauss-Jordan προορίζονται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων και όχι για την εύρεση αντίστροφων πινάκων. Η φράση "εφαρμογή της μεθόδου Gauss για να βρεθεί το αντίστροφο ενός πίνακα" θα πρέπει να γίνει κατανοητή εδώ ως "εφαρμογή των πράξεων που είναι εγγενείς στη μέθοδο Gauss για την εύρεση του αντιστρόφου ενός πίνακα."

Η αρίθμηση των παραδειγμάτων συνεχίστηκε από το πρώτο μέρος. Στα παραδείγματα εξετάζεται η χρήση της μεθόδου Gauss για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα και στα παραδείγματα αναλύεται η χρήση της μεθόδου Gauss-Jordan. Πρέπει να σημειωθεί ότι εάν κατά τη διάρκεια της λύσης όλα τα στοιχεία κάποιας σειράς ή στήλης του πίνακα που βρίσκονται πριν από τη γραμμή μηδενιστούν, τότε ο αντίστροφος πίνακας δεν υπάρχει.

Παράδειγμα #5

Βρείτε τον πίνακα $A^(-1)$ εάν $A=\left(\begin(array) (cccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\δεξιά)$.

Σε αυτό το παράδειγμα, ο αντίστροφος πίνακας θα βρεθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian. Ο επαυξημένος πίνακας, ο οποίος είναι γενικά $(A|E)$, σε αυτό το παράδειγμα έχει την ακόλουθη μορφή: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(πίνακας) \δεξιά)$.

Σκοπός: χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, φέρτε τον επαυξημένο πίνακα στη μορφή $\left(E|A^(-1) \right)$. Εφαρμόζουμε τις ίδιες πράξεις που χρησιμοποιούνται στην επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss. Για να εφαρμόσετε τη μέθοδο Gaussian, είναι βολικό όταν το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς του διευρυμένου πίνακα είναι ένα. Για να το πετύχουμε αυτό, ανταλλάσσουμε την πρώτη και την τρίτη σειρά του διευρυμένου πίνακα, ο οποίος γίνεται: $ \left(\begin(array) (ccc|cccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(πίνακας) \δεξιά)$.

Τώρα ας πάμε στη λύση. Η μέθοδος Gauss χωρίζεται σε δύο στάδια: προς τα εμπρός και προς τα πίσω (μια λεπτομερής περιγραφή αυτής της μεθόδου για την επίλυση συστημάτων εξισώσεων δίνεται στα παραδείγματα του αντίστοιχου θέματος). Τα ίδια δύο βήματα θα εφαρμοστούν στη διαδικασία εύρεσης του αντίστροφου πίνακα.

εμπρός εγκεφαλικό επεισόδιο

Το πρώτο βήμα

Με τη βοήθεια της πρώτης σειράς, επαναφέρουμε τα στοιχεία της πρώτης στήλης που βρίσκονται κάτω από την πρώτη σειρά:

Να σχολιάσω λίγο αυτό που έκανα. Ο συμβολισμός $II-2\cdot I$ σημαίνει ότι τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης σειράς, προηγουμένως πολλαπλασιασμένα επί δύο, έχουν αφαιρεθεί από τα στοιχεία της δεύτερης σειράς. Αυτή η ενέργεια μπορεί να γραφτεί ξεχωριστά ως εξής:

Η ενέργεια $III-7\cdot I$ εκτελείται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Εάν υπάρχουν δυσκολίες με την εκτέλεση αυτών των πράξεων, μπορούν να εκτελεστούν χωριστά (όμοια με την ενέργεια $II-2\cdot I$ που φαίνεται παραπάνω) και το αποτέλεσμα εισάγεται στη συνέχεια στον εκτεταμένο πίνακα.

Δεύτερο βήμα

Με τη βοήθεια της δεύτερης γραμμής, επαναφέρουμε το στοιχείο της δεύτερης στήλης, που βρίσκεται κάτω από τη δεύτερη γραμμή:

Διαιρέστε την τρίτη γραμμή με το 5:

Η ευθεία διαδρομή τελείωσε. Όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο του πίνακα μέχρι τη γραμμή μηδενίστηκαν.

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ

Το πρώτο βήμα

Με τη βοήθεια της τρίτης σειράς, επαναφέρουμε τα στοιχεία της τρίτης στήλης που βρίσκονται πάνω από την τρίτη σειρά:

Πριν προχωρήσετε στο επόμενο βήμα, διαχωρίστε τη δεύτερη γραμμή κατά $7 $:

Δεύτερο βήμα

Με τη βοήθεια της δεύτερης γραμμής, επαναφέρουμε τα στοιχεία της δεύτερης στήλης που βρίσκονται πάνω από τη δεύτερη γραμμή:

Οι μετασχηματισμοί ολοκληρώθηκαν, ο αντίστροφος πίνακας βρίσκεται με τη μέθοδο Gauss: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(πίνακας) \δεξιά)$. Ο έλεγχος, εάν είναι απαραίτητο, μπορεί να γίνει με τον ίδιο τρόπο όπως στα προηγούμενα παραδείγματα. Εάν παραλείψετε όλες τις επεξηγήσεις, τότε η λύση θα έχει τη μορφή:

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & ~27/5 \end(array) \right)$.

Παράδειγμα #6

Βρείτε τον πίνακα $A^(-1)$ εάν $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(πίνακας) \δεξιά)$.

Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα σε αυτό το παράδειγμα, θα χρησιμοποιήσουμε τις ίδιες πράξεις που χρησιμοποιούνται για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Δίνονται λεπτομερείς εξηγήσεις, αλλά εδώ περιοριζόμαστε σε σύντομα σχόλια. Ας γράψουμε τον επαυξημένο πίνακα: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(πίνακας) \δεξιά)$. Εναλλάξτε την πρώτη και την τέταρτη σειρά αυτού του πίνακα: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(πίνακας) \δεξιά)$.

εμπρός εγκεφαλικό επεισόδιο

Οι μετασχηματισμοί προς τα εμπρός έχουν ολοκληρωθεί. Όλα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από την κύρια διαγώνιο του πίνακα στα αριστερά της γραμμής είναι μηδενικά.

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ

Βρέθηκε αντίστροφη Gaussian, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ τέλος( πίνακας)\δεξιά)$. Ο έλεγχος, εάν είναι απαραίτητο, πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως στα παραδείγματα Νο. 2 και Νο. 3.

Απάντηση: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(πίνακας) \ δεξιά) $.

Παράδειγμα #7

Βρείτε τον πίνακα $A^(-1)$ εάν $A=\left(\begin(array) (cccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\δεξιά)$.

Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα, εφαρμόζουμε τις λειτουργίες που χαρακτηρίζουν τη μέθοδο Gauss-Jordan. Η διαφορά από τη μέθοδο Gauss, που εξετάστηκε στα προηγούμενα παραδείγματα και , είναι ότι η λύση πραγματοποιείται σε ένα στάδιο. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η μέθοδος Gauss χωρίζεται σε 2 στάδια: την κίνηση προς τα εμπρός ("κάνουμε" μηδενικά κάτω από την κύρια διαγώνιο του πίνακα στη ράβδο) και την αντίστροφη κίνηση (επαναφέρουμε τα στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο του πίνακα στο μπαρ). Για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα με τη μέθοδο Gauss-Jordan, δεν απαιτούνται δύο στάδια λύσης. Αρχικά, ας φτιάξουμε έναν επαυξημένο πίνακα: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (cccc|cccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & -2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Το πρώτο βήμα

Μηδενίστε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης εκτός από ένα. Στην πρώτη στήλη, όλα τα στοιχεία είναι μη μηδενικά, οπότε μπορούμε να επιλέξουμε οποιοδήποτε στοιχείο. Πάρτε, για παράδειγμα, $(-4)$:

Το επιλεγμένο στοιχείο $(-4)$ βρίσκεται στην τρίτη σειρά, επομένως χρησιμοποιούμε την τρίτη σειρά για να μηδενίσουμε τα επιλεγμένα στοιχεία της πρώτης στήλης:

Ας κάνουμε το πρώτο στοιχείο της τρίτης σειράς ίσο με ένα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε τα στοιχεία της τρίτης σειράς του διευρυμένου πίνακα με $(-4)$:

Τώρα ας αρχίσουμε να μηδενίζουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης στήλης:

Σε περαιτέρω βήματα, δεν θα είναι πλέον δυνατή η χρήση της τρίτης γραμμής, επειδή την έχουμε ήδη εφαρμόσει στο πρώτο βήμα.

Δεύτερο βήμα

Ας επιλέξουμε κάποιο μη μηδενικό στοιχείο της δεύτερης στήλης και ας μηδενίσουμε όλα τα άλλα στοιχεία της δεύτερης στήλης. Μπορούμε να επιλέξουμε ένα από τα δύο στοιχεία: $\frac(11)(2)$ ή $\frac(39)(4)$. Το στοιχείο $\left(-\frac(5)(4) \right)$ δεν μπορεί να επιλεγεί επειδή βρίσκεται στην τρίτη γραμμή, την οποία χρησιμοποιήσαμε στο προηγούμενο βήμα. Ας επιλέξουμε το στοιχείο $\frac(11)(2)$, το οποίο βρίσκεται στην πρώτη γραμμή. Ας αλλάξουμε το $\frac(11)(2)$ σε ένα στην πρώτη γραμμή:

Τώρα ας μηδενίσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης στήλης:

Σε περαιτέρω συλλογισμό, η πρώτη γραμμή δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί.

Τρίτο βήμα

Είναι απαραίτητο να επαναφέρετε όλα τα στοιχεία της τρίτης στήλης εκτός από ένα. Πρέπει να επιλέξουμε κάποιο μη μηδενικό στοιχείο της τρίτης στήλης. Ωστόσο, δεν μπορούμε να πάρουμε $\frac(6)(11)$ ή $\frac(13)(11)$ επειδή αυτά τα στοιχεία βρίσκονται στην πρώτη και την τρίτη γραμμή που χρησιμοποιήσαμε νωρίτερα. Η επιλογή είναι μικρή: παραμένει μόνο το στοιχείο $\frac(2)(11)$, το οποίο βρίσκεται στη δεύτερη γραμμή. Διαιρέστε όλα τα στοιχεία της δεύτερης γραμμής με $\frac(2)(11)$:

Τώρα ας μηδενίσουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της τρίτης στήλης:

Ολοκληρώθηκαν οι μετασχηματισμοί με τη μέθοδο Gauss-Jordan. Απομένει μόνο να γίνει μονάδα η μήτρα μέχρι τη γραμμή. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αλλάξετε τη σειρά των γραμμών. Πρώτα, αλλάξτε την πρώτη και την τρίτη γραμμή:

$$ \left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \end(πίνακας) \δεξιά) $$

Τώρα ας ανταλλάξουμε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή:

$$ \left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \end(πίνακας) \δεξιά) $$

Άρα $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. Φυσικά, η λύση μπορεί να πραγματοποιηθεί με διαφορετικό τρόπο, επιλέγοντας τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο. Συνήθως αυτό ακριβώς κάνουν, γιατί σε αυτήν την περίπτωση, στο τέλος της λύσης, οι γραμμές δεν θα πρέπει να αλλάξουν. Έδωσα την προηγούμενη λύση για έναν μόνο σκοπό: να δείξω ότι η επιλογή μιας σειράς σε κάθε βήμα δεν είναι θεμελιώδης. Αν επιλέξουμε διαγώνια στοιχεία σε κάθε βήμα, τότε η λύση θα είναι η εξής.