Πώς να βρείτε τη γωνία μεταξύ των κλίσεων συνάρτησης. Διανυσματική ανάλυση κλιμακωτό πεδίο επιφανειών και γραμμών στάθμης κατευθυντική παράγωγος παράγωγος κλίση του βαθμωτού πεδίου βασικές ιδιότητες της κλίσης αμετάβλητος ορισμός των κανόνων βαθμίδωσης για τον υπολογισμό της κλίσης

Εργασία 2. Βρείτε το συνημίτονο της γωνίας a μεταξύ των κλίσεων πεδίου στα σημεία A(1, 2, 2) και B(-3, 1, 0). Λύση.

Πρόβλημα 3. Για τη συνάρτηση, βρείτε την παράγωγο προς την κατεύθυνση της εσωτερικής κανονικής προς κυλινδρική επιφάνεια x 2 + z 2 = a 2 + c 2 στο σημείο M 0(a, b, c). Λύση. Έστω f(x, y, z) = x 2 + z 2. Η επιφάνεια που δίνεται στη συνθήκη είναι η επίπεδη επιφάνεια για την f που διέρχεται από το σημείο M 0. Έχουμε η συνάρτηση f στο σημείο M 0 αναπτύσσεται ταχύτερα στη βαθμίδα κατεύθυνσης f, που σημαίνει προς την κατεύθυνση της κανονικής προς μια δεδομένη επιφάνεια.

Με βάση τη μορφή της συνάρτησης f, συμπεραίνουμε ότι αυτή είναι η φορά του εξωτερικού κανονικού. Ως εκ τούτου, μονάδα διάνυσμαη εσωτερική κανονική στο σημείο M 0 θα είναι ίση με

Πρόβλημα 5. Υπολογίστε τη ροή του διανυσματικού πεδίου a = (z 2 – x, 1, y 5) έως εσωτερική επιφάνεια S: y 2 = 2 x, αποκόπτεται κατά επίπεδα: x = 2, z = 0, z = 3. Λύση.

Λύση. Μέθοδος I Το περίγραμμα L είναι ένας κύκλος ακτίνας R που βρίσκεται στο επίπεδο z = 3. Ας επιλέξουμε τον προσανατολισμό όπως φαίνεται στο σχήμα, δηλαδή αριστερόστροφα. Παραμετρικές εξισώσειςοι κύκλοι μοιάζουν

μέθοδος II. Για να υπολογίσουμε την κυκλοφορία χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Stokes, επιλέγουμε κάποια επιφάνεια S που εκτείνεται από ένα περίγραμμα. Είναι φυσικό να παίρνουμε ως S έναν κύκλο με το περίγραμμα L ως όριο. Η εξίσωση επιφάνειας S έχει τη μορφή: Σύμφωνα με τον επιλεγμένο προσανατολισμό του περιγράμματος, η κανονική προς την επιφάνεια πρέπει να λαμβάνεται ίση με

Πρόβλημα 7. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα Stokes, βρείτε την κυκλοφορία του διανυσματικού πεδίου κατά μήκος της τομής x 2 + y 2 + z 2 = R 2 κατά το επίπεδο z = 0. Λύση. Σύμφωνα με τον τύπο του Stokes

Πρόβλημα 8. Βρείτε τη διανυσματική ροή μέσω μέρους της σφαίρας x 2 + y 2 + z 2 = R 2, για x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, προς την κατεύθυνση της εξωτερικής κανονικής. Λύση. Εξ ορισμού της διανυσματικής ροής μέσω μιας επιφάνειας, βρίσκουμε

1 0 Η κλίση κατευθύνεται κάθετα προς την επίπεδη επιφάνεια (ή προς τη γραμμή στάθμης εάν το πεδίο είναι επίπεδο).

2 0 Η κλίση κατευθύνεται προς την αύξηση της συνάρτησης πεδίου.

3 0 Ο συντελεστής κλίσης είναι ίσος με τη μεγαλύτερη παράγωγο σε κατεύθυνση σε ένα δεδομένο σημείο του πεδίου:

Αυτές οι ιδιότητες παρέχουν ένα αμετάβλητο χαρακτηριστικό της κλίσης. Λένε ότι το διάνυσμα gradU δείχνει την κατεύθυνση και το μέγεθος της μεγαλύτερης αλλαγής κλιμακωτό πεδίοσε αυτό το σημείο.

Παρατήρηση 2.1.Αν η συνάρτηση U(x,y) είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, τότε το διάνυσμα

(2.3)

βρίσκεται στο oxy plane.

Έστω U=U(x,y,z) και V=V(x,y,z) διαφοροποιήσιμες συναρτήσεις στο σημείο М 0 (x,y,z). Τότε ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες:

α) grad()= ; β) grad(UV)=VgradU+UgradV;

γ) grad(U V)=gradU gradV; δ) δ) βαθμού = , V ;

ε) gradU( = gradU, όπου , U=U() έχει παράγωγο σε σχέση με .

Παράδειγμα 2.1.Δίνεται η συνάρτηση U=x 2 +y 2 +z 2. Να προσδιορίσετε τη διαβάθμιση της συνάρτησης στο σημείο Μ(-2;3;4).

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (2.2) έχουμε

.

Οι επίπεδες επιφάνειες αυτού του βαθμωτού πεδίου είναι η οικογένεια των σφαιρών x 2 +y 2 +z 2, το διάνυσμα gradU=(-4;6;8) είναι κανονικό διάνυσμααεροπλάνα.

Παράδειγμα 2.2.Βρείτε τη διαβάθμιση του βαθμωτού πεδίου U=x-2y+3z.

Λύση.Σύμφωνα με τον τύπο (2.2) έχουμε

Οι επίπεδες επιφάνειες ενός δεδομένου βαθμωτού πεδίου είναι επίπεδα

x-2y+3z=C; το διάνυσμα gradU=(1;-2;3) είναι το κανονικό διάνυσμα των επιπέδων αυτής της οικογένειας.

Παράδειγμα 2.3.Βρείτε τη μεγαλύτερη κλίση της ανόδου της επιφάνειας U=x y στο σημείο M(2;2;4).

Λύση.Εχουμε:

Παράδειγμα 2.4.Βρείτε το μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα στην επίπεδη επιφάνεια του βαθμωτού πεδίου U=x 2 +y 2 +z 2 .

Λύση.Οι επίπεδες επιφάνειες ενός δεδομένου βαθμωτό πεδίο-σφαίρα x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

Η κλίση κατευθύνεται κάθετα προς την επίπεδη επιφάνεια, έτσι

Ορίζει το κανονικό διάνυσμα στην επίπεδη επιφάνεια στο σημείο M(x,y,z). Για ένα μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα λαμβάνουμε την έκφραση

, Οπου

.

Παράδειγμα 2.5.Βρείτε την κλίση πεδίου U= , όπου και είναι σταθερά διανύσματα, r είναι το διάνυσμα ακτίνας του σημείου.

Λύση.Αφήνω

Επειτα:
. Με τον κανόνα της διαφοροποίησης της ορίζουσας παίρνουμε

Ως εκ τούτου,

Παράδειγμα 2.6.Βρείτε την κλίση της απόστασης, όπου P(x,y,z) είναι το σημείο πεδίου που μελετάται, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) είναι κάποιο σταθερό σημείο.

Λύση.Έχουμε διάνυσμα κατεύθυνσης μονάδας.

Παράδειγμα 2.7.Να βρείτε τη γωνία μεταξύ των κλίσεων των συναρτήσεων στο σημείο M 0 (1,1).

Λύση.Βρίσκουμε τις διαβαθμίσεις αυτών των συναρτήσεων στο σημείο M 0 (1,1), έχουμε

; Η γωνία μεταξύ gradU και gradV στο σημείο M 0 προσδιορίζεται από την ισότητα

Άρα =0.

Παράδειγμα 2.8.Βρείτε την κατευθυντική παράγωγο, το διάνυσμα ακτίνας είναι ίσο με

(2.4)

Λύση.Βρείτε την κλίση αυτής της συνάρτησης:

Αντικαθιστώντας το (2.5) στο (2.4), παίρνουμε

Παράδειγμα 2.9.Βρείτε στο σημείο M 0 (1;1;1) την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο βαθμωτό πεδίο U=xy+yz+xz και το μέγεθος αυτής της μεγαλύτερης μεταβολής σε αυτό το σημείο.

Λύση.Η κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο πεδίο υποδεικνύεται από το διανυσματικό βαθμό U(M). Το βρίσκουμε:

Και αυτό σημαίνει... Αυτό το διάνυσμα καθορίζει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης αυτού του τομέαστο σημείο Μ 0 (1;1;1). Το μέγεθος της μεγαλύτερης αλλαγής πεδίου σε αυτό το σημείο είναι ίσο με

.

Παράδειγμα 3.1.Βρείτε διανυσματικές γραμμές ενός διανυσματικού πεδίου όπου είναι ένα σταθερό διάνυσμα.

Λύση.Έχουμε έτσι

(3.3)

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με x, του δεύτερου με y, του τρίτου με το z και προσθέστε όρο με όρο. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα των αναλογιών, παίρνουμε

Εξ ου και xdx+ydy+zdz=0, που σημαίνει

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. Τώρα πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος (3.3) με c 1, το δεύτερο με c 2, το τρίτο με c 3 και προσθέτοντας όρο με όρο, παίρνουμε

Όπου από 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

Και, επομένως, με 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . Ένα 2-const.

Οι απαιτούμενες εξισώσεις διανυσματικών γραμμών

Αυτές οι εξισώσεις δείχνουν ότι οι διανυσματικές γραμμές λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της τομής σφαιρών που έχουν κοινό κέντρο στην αρχή με επίπεδα κάθετο στο διάνυσμα . Από αυτό προκύπτει ότι οι διανυσματικές γραμμές είναι κύκλοι των οποίων τα κέντρα βρίσκονται σε ευθεία γραμμή που διέρχεται από την αρχή προς την κατεύθυνση του διανύσματος c. Τα επίπεδα των κύκλων είναι κάθετα στην καθορισμένη ευθεία.

Παράδειγμα 3.2.Εύρεση διανυσματικής γραμμής πεδίου περνώντας από το σημείο (1,0,0).

Λύση. Διαφορικές εξισώσειςδιανυσματικές γραμμές

άρα έχουμε . Επίλυση της πρώτης εξίσωσης. Ή αν εισάγουμε την παράμετρο t, τότε θα έχουμε Σε αυτή την περίπτωση, την εξίσωση παίρνει τη μορφή ή dz=bdt, από όπου z=bt+c 2.

Εάν σε κάθε σημείο του χώρου ή μέρος του χώρου προσδιορίζεται η τιμή μιας συγκεκριμένης ποσότητας, τότε λένε ότι καθορίζεται το πεδίο αυτής της ποσότητας. Ένα πεδίο ονομάζεται βαθμωτό αν η ποσότητα που εξετάζεται είναι βαθμωτή, δηλ. χαρακτηρίζεται πλήρως από το αριθμητική αξία. Για παράδειγμα, το πεδίο θερμοκρασίας. Το βαθμωτό πεδίο δίνεται από τη συνάρτηση βαθμωτού σημείου u = /(M). Εάν ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων εισάγεται στο χώρο, τότε υπάρχει συνάρτηση τριών μεταβλητών x, yt z - οι συντεταγμένες του σημείου M: Ορισμός. Η επίπεδη επιφάνεια ενός βαθμωτού πεδίου είναι το σύνολο των σημείων στα οποία η συνάρτηση f(M) παίρνει την ίδια τιμή. Εξίσωση επίπεδης επιφάνειας Παράδειγμα 1. Βρείτε επιφάνειες βαθμωτού πεδίου ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Βαθμωτό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές στάθμης Κατευθυντική παράγωγος Παράγωγος Κλίση πεδίου Βασικές ιδιότητες βαθμίδωσης Αμετάβλητος ορισμός κλίσης Κανόνες για τον υπολογισμό μιας κλίσης -4 Σύμφωνα με τον ορισμό , η εξίσωση μιας επίπεδης επιφάνειας θα είναι. Αυτή είναι η εξίσωση μιας σφαίρας (με Ф 0) με το κέντρο της στην αρχή. Ένα κλιμακωτό πεδίο ονομάζεται επίπεδο εάν το πεδίο είναι το ίδιο σε όλα τα επίπεδα παράλληλα σε ένα συγκεκριμένο επίπεδο. Εάν το υποδεικνυόμενο επίπεδο ληφθεί ως το επίπεδο xOy, τότε η συνάρτηση πεδίου δεν θα εξαρτάται από τη συντεταγμένη z, δηλ. θα είναι συνάρτηση μόνο των ορισμάτων x και y Ένα επίπεδο πεδίο μπορεί να χαρακτηριστεί χρησιμοποιώντας γραμμές επιπέδου - a σύνολο σημείων στο επίπεδο στο οποίο η συνάρτηση /(x, y) έχει ένα και επίσης τη σημασία. Εξίσωση γραμμής στάθμης - Παράδειγμα 2. Βρείτε τις γραμμές επιπέδου ενός βαθμωτού πεδίου Οι γραμμές επιπέδου δίνονται από τις εξισώσεις Όταν c = 0 παίρνουμε ένα ζεύγος ευθειών, παίρνουμε μια οικογένεια υπερβολών (Εικ. 1). 1.1. Κατευθυντική παράγωγος Έστω ένα βαθμωτό πεδίο που ορίζεται από τη βαθμωτή συνάρτηση u = /(Af). Ας πάρουμε το σημείο Afo και ας επιλέξουμε την κατεύθυνση που καθορίζεται από το διάνυσμα I. Ας πάρουμε ένα άλλο σημείο M έτσι ώστε το διάνυσμα M0M να είναι παράλληλο με το διάνυσμα 1 (Εικ. 2). Ας συμβολίσουμε το μήκος του διανύσματος MoM με A/ και την αύξηση της συνάρτησης /(Af) - /(Afo), που αντιστοιχεί στη μετατόπιση του D1, με Di. Η στάση καθορίζει μέση ταχύτητααλλαγές στο βαθμωτό πεδίο ανά μονάδα μήκους στη δεδομένη κατεύθυνση, έτσι ώστε το διάνυσμα M0M να παραμένει παράλληλο με το διάνυσμα I όλη την ώρα. Αν στο D/O υπάρχει ένα πεπερασμένο όριο της σχέσης (5), τότε ονομάζεται παράγωγος της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο Afo προς τη δεδομένη κατεύθυνση I και συμβολίζεται με το σύμβολο 3!^. Άρα, εξ ορισμού, αυτός ο ορισμός δεν σχετίζεται με την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων, δηλ. είναι **παραλλαγής. Ας βρούμε μια έκφραση για την παράγωγο σε σχέση με την κατεύθυνση μέσα Καρτεσιανό σύστημασυντεταγμένες Αφήστε τη συνάρτηση / να είναι διαφοροποιήσιμη σε ένα σημείο. Ας εξετάσουμε την τιμή του /(Af) σε ένα σημείο. Τότε η συνολική αύξηση της συνάρτησης μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: όπου και τα σύμβολα σημαίνουν ότι οι επιμέρους παράγωγοι υπολογίζονται στο σημείο Afo. Επομένως, εδώ οι ποσότητες jfi, ^ είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος. Εφόσον τα διανύσματα MoM και I είναι συν-κατευθυνόμενα, τα συνημίτονά τους είναι τα ίδια: Εφόσον ο M Afo, όντας πάντα στην ευθεία γραμμή, παράλληλα με το διάνυσμα 1, τότε οι γωνίες είναι σταθερές γιατί Τέλος, από τις ισότητες (7) και (8) παίρνουμε το Eamuan είναι 1. Οι μερικές παράγωγοι είναι παράγωγοι της συνάρτησης και κατά τις κατευθύνσεις των αξόνων συντεταγμένων ως προς - Παράδειγμα 3. Βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης στην κατεύθυνση προς το σημείο Το διάνυσμα έχει μήκος. Τα συνημίτονα κατεύθυνσής του: Σύμφωνα με τον τύπο (9), θα έχουμε Το γεγονός ότι, σημαίνει ότι το βαθμωτό πεδίο σε ένα σημείο σε μια δεδομένη διεύθυνση ηλικίας - Για ένα επίπεδο πεδίο, η παράγωγος ως προς την κατεύθυνση I σε ένα σημείο είναι υπολογίζεται από τον τύπο όπου a είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα I με τον άξονα Oh. Зммчмм 2. Ο τύπος (9) για τον υπολογισμό της παραγώγου προς την κατεύθυνση I σε ένα δεδομένο σημείο Afo παραμένει σε ισχύ όταν το σημείο M τείνει στο σημείο Mo κατά μήκος μιας καμπύλης για την οποία το διάνυσμα I εφάπτεται στο σημείο PrIShr 4. Υπολογίστε την παράγωγο του βαθμωτή πεδίο στο σημείο Afo(l, 1). που ανήκει σε παραβολή προς την κατεύθυνση αυτής της καμπύλης (στην κατεύθυνση της αυξανόμενης τετμημένης). Η διεύθυνση ] μιας παραβολής σε ένα σημείο θεωρείται ότι είναι η κατεύθυνση της εφαπτομένης στην παραβολή σε αυτό το σημείο (Εικ. 3). Έστω η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Afo σχηματίζει γωνία o με τον άξονα Ox. Τότε από πού προέρχονται τα συνημίτονο της εφαπτομένης Ας υπολογίσουμε τις τιμές του και στο σημείο; Έχουμε τώρα χρησιμοποιώντας τον τύπο (10) παίρνουμε. Βρείτε την παράγωγο του βαθμωτού πεδίου σε ένα σημείο κατά μήκος της κατεύθυνσης του κύκλου Η διανυσματική εξίσωση ενός κύκλου έχει τη μορφή. Βρίσκουμε το μοναδιαίο διάνυσμα της εφαπτομένης του κύκλου Το σημείο αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου Η τιμή του r στο σημείο Afo θα είναι ίση Ας υπολογίσουμε τις τιμές των μερικών παραγώγων του δεδομένου κλιμακωτού πεδίου στο σημείο αυτό. Κλίση βαθμωτών πεδίου Αφήστε το βαθμωτό πεδίο να οριστεί από μια βαθμωτή συνάρτηση που θεωρείται ότι είναι διαφορίσιμη. Ορισμός. Η κλίση του βαθμωτού πεδίου "σε ένα δεδομένο σημείο M είναι ένα διάνυσμα που συμβολίζεται με το σύμβολο grad και και ορίζεται από την ισότητα. Είναι σαφές ότι αυτό το διάνυσμα εξαρτάται τόσο από τη συνάρτηση / όσο και από το σημείο M στο οποίο υπολογίζεται η παράγωγός του. Έστω 1 ένα μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση Τότε ο τύπος για την κατευθυντική παράγωγο μπορεί να γραφτεί με την ακόλουθη μορφή: . Έτσι, η παράγωγος της συνάρτησης και στην κατεύθυνση 1 είναι ίση με κλιμακωτό προϊόνκλίση της συνάρτησης u(M) στο μοναδιαίο διάνυσμα της διεύθυνσης I. 2.1. Βασικές ιδιότητες της κλίσης Θεώρημα 1. Η κλίση του βαθμωτού πεδίου είναι κάθετη στην επιφάνεια του επιπέδου (ή στη γραμμή στάθμης εάν το πεδίο είναι επίπεδο). (2) Ας περάσουμε αυθαίρετο σημείο M επίπεδο επιφάνεια u = const και επιλέξτε σε αυτή την επιφάνεια μια ομαλή καμπύλη L που διέρχεται από το σημείο M (Εικ. 4). Έστω I ένα διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη L στο σημείο M. Εφόσον στην επίπεδη επιφάνεια u(M) = u(M|) για οποιοδήποτε σημείο Mj e L, τότε από την άλλη πλευρά, = (gradu, 1°). Να γιατί. Αυτό σημαίνει ότι τα διανύσματα grad και και 1° είναι ορθογώνια Έτσι, το διανυσματικό grad και είναι ορθογώνιο σε οποιαδήποτε εφαπτομένη στην επίπεδη επιφάνεια στο σημείο M. Έτσι, είναι ορθογώνιο στην ίδια την επιφάνεια στο σημείο M. Θεώρημα 2. Η κλίση κατευθύνεται προς την αύξηση της συνάρτησης πεδίου. Προηγουμένως, αποδείξαμε ότι η κλίση του βαθμωτού πεδίου κατευθύνεται κατά μήκος της κανονικής προς την επίπεδη επιφάνεια, η οποία μπορεί να προσανατολιστεί είτε προς την κατεύθυνση της αύξουσας συνάρτησης u(M) είτε προς την κατεύθυνση της φθίνουσας. Ας συμβολίσουμε με n την κανονική της επιφάνειας στάθμης, προσανατολισμένη προς την κατεύθυνση της αυξανόμενης συνάρτησης ti(M), και ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης u προς την κατεύθυνση αυτής της κανονικής (Εικ. 5). Έχουμε Αφού σύμφωνα με την συνθήκη του Σχ. 5 και επομένως ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Κλιμακωτό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές στάθμης Παράγωγος κατά κατεύθυνση Παράγωγος Κλίση του κλιμακωτού πεδίου Βασικές ιδιότητες της κλίσης Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Κανόνες για τον υπολογισμό της κλίσης Συνάγεται ότι η βαθμίδα είναι κατευθύνεται προς την ίδια κατεύθυνση με αυτήν που επιλέξαμε την κανονική n, δηλαδή προς την κατεύθυνση της αύξουσας συνάρτησης u(M). Θεώρημα 3. Το μήκος της βαθμίδας είναι ίσο με τη μεγαλύτερη παράγωγο ως προς την κατεύθυνση σε ένα δεδομένο σημείο του πεδίου (εδώ ο έλεγχος γίνεται κατά μήκος όλων των πιθανών κατευθύνσεων σε ένα δεδομένο σημείο Μ). Έχουμε πού είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων 1 και grad n Επειδή η μεγαλύτερη τιμή είναι το Παράδειγμα 1. Βρείτε την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής του βαθμωτού πεδίου σε ένα σημείο και επίσης το μέγεθος αυτής της μεγαλύτερης αλλαγής στο καθορισμένο σημείο. Η κατεύθυνση της μεγαλύτερης αλλαγής στο βαθμωτό πεδίο υποδεικνύεται από ένα διάνυσμα. Έχουμε έτσι ώστε Αυτό το διάνυσμα καθορίζει την κατεύθυνση της μεγαλύτερης αύξησης στο πεδίο σε ένα σημείο. Το μέγεθος της μεγαλύτερης αλλαγής πεδίου σε αυτό το σημείο είναι 2,2. Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Οι ποσότητες που χαρακτηρίζουν τις ιδιότητες του υπό μελέτη αντικειμένου και δεν εξαρτώνται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων ονομάζονται αμετάβλητες αυτού του αντικειμένου. Για παράδειγμα, το μήκος μιας καμπύλης είναι αμετάβλητο αυτής της καμπύλης, αλλά η εφαπτομένη γωνία της καμπύλης με τον άξονα Ox δεν είναι αμετάβλητη. Με βάση τις τρεις ιδιότητες της βαθμίδωσης πεδίου που αποδείχθηκαν παραπάνω, μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο αμετάβλητο ορισμό της κλίσης. Ορισμός. Η βαθμιδωτή κλίση πεδίου είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται κάθετα προς την ισόπεδη επιφάνεια προς την κατεύθυνση της αύξησης της συνάρτησης πεδίου και έχει μήκος ίσο με τη μεγαλύτερη παράγωγο κατεύθυνσης (σε ένα δεδομένο σημείο). Έστω ένα μοναδιαίο κανονικό διάνυσμα που κατευθύνεται προς την κατεύθυνση του αυξανόμενου πεδίου. Στη συνέχεια, Παράδειγμα 2. Βρείτε την κλίση της απόστασης - κάποιο σταθερό σημείο, και M(x,y,z) - την τρέχουσα. 4 Έχουμε πού είναι το διάνυσμα διεύθυνσης μονάδας. Κανόνες για τον υπολογισμό της κλίσης όπου c είναι σταθερός αριθμός. Οι δεδομένοι τύποι λαμβάνονται απευθείας από τον ορισμό της βαθμίδας και τις ιδιότητες των παραγώγων. Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης προϊόντος, η απόδειξη είναι παρόμοια με την απόδειξη της ιδιότητας Έστω F(u) μια διαφοροποιήσιμη βαθμωτή συνάρτηση. Τότε 4 Εξ ορισμού του fadient έχουμε Εφαρμογή του κανόνα διαφοροποίησης σε όλους τους όρους στη δεξιά πλευρά σύνθετη λειτουργία. Λαμβάνουμε συγκεκριμένα, ο τύπος (6) προκύπτει από τον τύπο Παράδειγμα 3. Βρείτε την παράγωγο ως προς την κατεύθυνση του διανύσματος ακτίνας r από τη συνάρτηση Χρησιμοποιώντας τον τύπο (3) και χρησιμοποιώντας τον τύπο Ως αποτέλεσμα, λαμβάνουμε ότι το Παράδειγμα 4 Έστω ένα επίπεδο βαθμωτό πεδίο - αποστάσεις από κάποιο σημείο σε δύο σταθερά σημεία αυτού του επιπέδου. Ας εξετάσουμε μια αυθαίρετη έλλειψη με εστίες Fj και F] και ας αποδείξουμε ότι κάθε ακτίνα φωτός που αναδύεται από τη μία εστία της έλλειψης, μετά την ανάκλαση από την έλλειψη, καταλήγει στην άλλη εστία της. Οι γραμμές στάθμης της συνάρτησης (7) είναι ΔΙΑΝΥΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Βαθμωτό πεδίο Επιφάνειες και γραμμές στάθμης Κατευθυντική παράγωγος Παράγωγος Κλίμακα πεδίου Βασικές ιδιότητες της βαθμίδας Αμετάβλητος ορισμός της κλίσης Οι κανόνες για τον υπολογισμό της κλίσης Οι εξισώσεις (8) περιγράφουν μια οικογένεια ελλείψεων με εστίες στο σημεία F) και Fj. Σύμφωνα με το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 2, έχουμε έτσι την κλίση δεδομένο πεδίο ίσο με το διάνυσμα PQ της διαγωνίου ενός ρόμβου που κατασκευάζεται στα μοναδιαία διανύσματα του r; και διανύσματα ακτίνας. σύρεται στο σημείο P(x, y) από τις εστίες F| και Fj, και επομένως βρίσκεται στη διχοτόμο της γωνίας μεταξύ αυτών των διανυσμάτων ακτίνας (Εικ. 6). Σύμφωνα με το Tooromo 1, η κλίση PQ είναι κάθετη στην έλλειψη (8) στο σημείο. Επομένως, Εικ. 6. το κανονικό προς την έλλειψη (8) σε οποιοδήποτε σημείο διχοτομεί τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων ακτίνας που σύρονται σε αυτό το σημείο. Από αυτό και από το γεγονός ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης, λαμβάνουμε: μια ακτίνα φωτός που αναδύεται από μια εστία της έλλειψης, που ανακλάται από αυτήν, σίγουρα θα πέσει σε μια άλλη εστία αυτής της έλλειψης.