Κατά την επίλυση πολλών μαθηματικά προβλήματα, ειδικά αυτές που συμβαίνουν πριν από τον βαθμό 10, η σειρά των ενεργειών που εκτελούνται που θα οδηγήσουν στον στόχο είναι σαφώς καθορισμένη. Τέτοια προβλήματα περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις, γραμμικές και τετραγωνικές ανισώσεις, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που ανάγονται σε τετραγωνικές. Η αρχή της επιτυχούς επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα προβλήματα είναι η εξής: πρέπει να καθορίσετε τον τύπο του προβλήματος που επιλύετε, να θυμάστε την απαραίτητη σειρά ενεργειών που θα οδηγήσουν στο επιθυμητό αποτέλεσμα, δηλ. απαντήστε και ακολουθήστε αυτά τα βήματα.

Είναι προφανές ότι η επιτυχία ή η αποτυχία στην επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος εξαρτάται κυρίως από το πόσο σωστά καθορίζεται ο τύπος της εξίσωσης που επιλύεται, πόσο σωστά αναπαράγεται η ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση είναι απαραίτητο να έχετε τις δεξιότητες για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών και υπολογισμών.

Η κατάσταση είναι διαφορετική με τριγωνομετρικές εξισώσεις.Δεν είναι καθόλου δύσκολο να τεκμηριωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά τον καθορισμό της αλληλουχίας των ενεργειών που θα οδηγούσαν στη σωστή απάντηση.

Μερικές φορές είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος του με βάση την εμφάνιση μιας εξίσωσης. Και χωρίς να γνωρίζουμε τον τύπο της εξίσωσης, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε το σωστό από πολλές δεκάδες τριγωνομετρικούς τύπους.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

1. Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».
2. Φέρτε την εξίσωση σε «πανομοιότυπες συναρτήσεις».
3. παραμετροποιήστε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Ας σκεφτούμε βασικές μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

I. Αναγωγή στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να εκφράσετε μια τριγωνομετρική συνάρτηση ως προς γνωστές συνιστώσες.

Βήμα 2.Βρείτε το όρισμα συνάρτησης χρησιμοποιώντας τους τύπους:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = αρκτάνη a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Βήμα 3.Βρείτε την άγνωστη μεταβλητή.

Παράδειγμα.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Λύση.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Απάντηση: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Αντικατάσταση μεταβλητής

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Να μειώσετε την εξίσωση σε αλγεβρική μορφή σε σχέση με μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Βήμα 2.Σημειώστε τη συνάρτηση που προκύπτει με τη μεταβλητή t (αν χρειάζεται, εισάγετε περιορισμούς στο t).

Βήμα 3.Καταγράψτε και λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει.

Βήμα 4.Κάντε μια αντίστροφη αντικατάσταση.

Βήμα 5.Να λύσετε την απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση.

Παράδειγμα.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Λύση.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Έστω sin (x/2) = t, όπου |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ή e = -3/2, δεν ικανοποιεί τη συνθήκη |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Απάντηση: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Μέθοδος μείωσης σειράς εξίσωσης

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Αντικαταστήστε αυτήν την εξίσωση με μια γραμμική, χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού:

αμαρτία 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας τις μεθόδους I και II.

Παράδειγμα.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Λύση.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Απάντηση: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Ομογενείς εξισώσεις

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Μειώστε αυτήν την εξίσωση στη φόρμα

α) a sin x + b cos x = 0 (ομογενής εξίσωση πρώτου βαθμού)

ή στη θέα

β) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (ομοιογενής εξίσωση δεύτερου βαθμού).

Βήμα 2.Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

α) cos x ≠ 0;

β) cos 2 x ≠ 0;

και πάρτε την εξίσωση για το tan x:

α) a tan x + b = 0;

β) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Βήμα 3.Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Λύση.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Έστω tg x = t, τότε

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ή t = -4, που σημαίνει

tg x = 1 ή tg x = -4.

Από την πρώτη εξίσωση x = π/4 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Μέθοδος μετασχηματισμού εξίσωσης με χρήση τριγωνομετρικών τύπων

Διάγραμμα λύσης

Βήμα 1.Χρησιμοποιώντας όλους τους πιθανούς τριγωνομετρικούς τύπους, ανάγετε αυτήν την εξίσωση σε μια εξίσωση που επιλύεται με τις μεθόδους I, II, III, IV.

Βήμα 2.Λύστε την εξίσωση που προκύπτει χρησιμοποιώντας γνωστές μεθόδους.

Παράδειγμα.

αμαρτία x + αμαρτία 2x + αμαρτία 3x = 0.

Λύση.

1) (αμαρτία x + αμαρτία 3x) + αμαρτία 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) αμαρτία 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ή 2cos x + 1 = 0;

Από την πρώτη εξίσωση 2x = π/2 + πn, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση cos x = -1/2.

Έχουμε x = π/4 + πn/2, n Є Z; από τη δεύτερη εξίσωση x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Ως αποτέλεσμα, x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Απάντηση: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Η ικανότητα και η ικανότητα επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ σημαντικό, η ανάπτυξή τους απαιτεί σημαντική προσπάθεια, τόσο από την πλευρά του μαθητή όσο και από την πλευρά του δασκάλου.

Πολλά προβλήματα στερεομετρίας, φυσικής κ.λπ. σχετίζονται με τη λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων.Η διαδικασία επίλυσης τέτοιων προβλημάτων ενσωματώνει πολλές από τις γνώσεις και τις δεξιότητες που αποκτώνται με τη μελέτη των στοιχείων της τριγωνομετρίας.

Οι τριγωνομετρικές εξισώσεις κατέχουν σημαντική θέση στη διαδικασία εκμάθησης των μαθηματικών και της προσωπικής ανάπτυξης γενικότερα.

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Δεν ξέρετε πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

ιστοσελίδα, όταν αντιγράφετε υλικό εν όλω ή εν μέρει, απαιτείται σύνδεσμος προς την πηγή.

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων

Εισαγωγή 2

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων 5

Αλγεβρική 5

Επίλυση εξισώσεων με χρήση της συνθήκης ισότητας τριγωνομετρικών συναρτήσεων με το ίδιο όνομα 7

Παραγοντοποίηση 8

Αναγωγή στην ομοιογενή εξίσωση 10

Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας 11

Μετατροπή προϊόντος σε άθροισμα 14

Καθολική αντικατάσταση 14

Συμπέρασμα 17

Εισαγωγή

Μέχρι τη δέκατη τάξη, η σειρά των ενεργειών πολλών ασκήσεων που οδηγούν στον στόχο είναι, κατά κανόνα, σαφώς καθορισμένη. Για παράδειγμα, γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις και ανισώσεις, κλασματικές εξισώσεις και εξισώσεις που μπορούν να αναχθούν σε δευτεροβάθμια κ.λπ. Χωρίς να εξετάσουμε λεπτομερώς την αρχή επίλυσης καθενός από τα αναφερόμενα παραδείγματα, σημειώνουμε τα γενικά πράγματα που είναι απαραίτητα για την επιτυχή επίλυσή τους.

Στις περισσότερες περιπτώσεις, πρέπει να καθορίσετε τι είδους εργασία είναι η εργασία, να θυμάστε τη σειρά των ενεργειών που οδηγούν στον στόχο και να εκτελέσετε αυτές τις ενέργειες. Προφανώς, η επιτυχία ή η αποτυχία ενός μαθητή στην κατάκτηση τεχνικών για την επίλυση εξισώσεων εξαρτάται κυρίως από το πόσο καλά είναι σε θέση να προσδιορίσει σωστά τον τύπο της εξίσωσης και να θυμάται την ακολουθία όλων των σταδίων της επίλυσής της. Φυσικά, υποτίθεται ότι ο μαθητής έχει τις δεξιότητες να εκτελεί πανομοιότυπους μετασχηματισμούς και υπολογισμούς.

Μια εντελώς διαφορετική κατάσταση προκύπτει όταν ένας μαθητής συναντά τριγωνομετρικές εξισώσεις. Επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να διαπιστωθεί το γεγονός ότι η εξίσωση είναι τριγωνομετρική. Προκύπτουν δυσκολίες κατά την εύρεση μιας πορείας δράσης που θα οδηγούσε σε θετικό αποτέλεσμα. Και εδώ ο μαθητής αντιμετωπίζει δύο προβλήματα. Είναι δύσκολο να προσδιοριστεί ο τύπος από την εμφάνιση της εξίσωσης. Και χωρίς να γνωρίζετε τον τύπο, είναι σχεδόν αδύνατο να επιλέξετε την επιθυμητή φόρμουλα από τις πολλές δεκάδες διαθέσιμες.

Για να βοηθήσουν τους μαθητές να βρουν το δρόμο τους μέσα από τον σύνθετο λαβύρινθο των τριγωνομετρικών εξισώσεων, εισάγονται αρχικά σε εξισώσεις που ανάγονται σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις όταν εισάγεται μια νέα μεταβλητή. Στη συνέχεια λύνουν ομοιογενείς εξισώσεις και αυτές που μπορούν να αναχθούν σε αυτές. Όλα τελειώνουν, κατά κανόνα, με εξισώσεις, για να λυθούν οι οποίες είναι απαραίτητο να συνυπολογίσουμε την αριστερή πλευρά και, στη συνέχεια, να εξισώσουμε κάθε έναν από τους παράγοντες στο μηδέν.

Συνειδητοποιώντας ότι οι ντουζίνα και μισή εξισώσεις που συζητούνται στα μαθήματα δεν είναι σαφώς αρκετές για να θέσουν τον μαθητή σε ένα ανεξάρτητο ταξίδι μέσα από την τριγωνομετρική «θάλασσα», ο δάσκαλος προσθέτει μερικές ακόμη δικές του συστάσεις.

Για να λύσετε μια τριγωνομετρική εξίσωση, πρέπει να δοκιμάσετε:

Φέρτε όλες τις συναρτήσεις που περιλαμβάνονται στην εξίσωση στις «ίδιες γωνίες».

Μειώστε την εξίσωση σε "πανομοιότυπες συναρτήσεις".

Συντελεστής στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης κ.λπ.

Όμως, παρά το γεγονός ότι γνωρίζουν τους βασικούς τύπους τριγωνομετρικών εξισώσεων και πολλές αρχές για την εύρεση των λύσεών τους, πολλοί μαθητές εξακολουθούν να βρίσκονται μπερδεμένοι από κάθε εξίσωση που είναι ελαφρώς διαφορετική από αυτές που λύθηκαν πριν. Παραμένει ασαφές τι πρέπει να επιδιώξουμε όταν έχουμε αυτή ή εκείνη την εξίσωση, γιατί σε μια περίπτωση είναι απαραίτητο να χρησιμοποιούμε τύπους διπλής γωνίας, σε άλλη - μισή γωνία και σε τρίτη - τύπους προσθήκης κ.λπ.

Ορισμός 1.Τριγωνομετρική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία το άγνωστο περιέχεται κάτω από το πρόσημο των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ορισμός 2.Μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται ότι έχει ίσες γωνίες αν όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που περιλαμβάνονται σε αυτήν έχουν ίσα ορίσματα. Μια τριγωνομετρική εξίσωση λέγεται ότι έχει πανομοιότυπες συναρτήσεις εάν περιέχει μόνο μία από τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Ορισμός 3.Η ισχύς ενός μονωνύμου που περιέχει τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι το άθροισμα των εκθετών των δυνάμεων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων που περιλαμβάνονται σε αυτό.

Ορισμός 4.Μια εξίσωση ονομάζεται ομοιογενής αν όλα τα μονώνυμα που περιλαμβάνονται σε αυτήν έχουν τον ίδιο βαθμό. Αυτός ο βαθμός ονομάζεται τάξη της εξίσωσης.

Ορισμός 5.Τριγωνομετρική εξίσωση που περιέχει μόνο συναρτήσεις αμαρτίαΚαι cos, ονομάζεται ομοιογενές αν όλα τα μονώνυμα ως προς τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν τον ίδιο βαθμό και οι ίδιες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν ίσες γωνίες και ο αριθμός των μονοωνύμων είναι 1 μεγαλύτερος από τη σειρά της εξίσωσης.

Μέθοδοι επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων αποτελείται από δύο στάδια: μετασχηματισμός της εξίσωσης για να ληφθεί η απλούστερη μορφή της και επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης που προκύπτει. Υπάρχουν επτά βασικές μέθοδοι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Εγώ. Αλγεβρική μέθοδος.Αυτή η μέθοδος είναι πολύ γνωστή από την άλγεβρα. (Μέθοδος αντικατάστασης και αντικατάστασης μεταβλητής).

Λύστε εξισώσεις.

1)

Ας εισάγουμε τη σημειογραφία Χ=2 αμαρτία3 t, παίρνουμε

Λύνοντας αυτήν την εξίσωση, παίρνουμε:
ή

εκείνοι. μπορεί να καταγραφεί

Κατά την καταγραφή του προκύπτοντος διαλύματος λόγω της παρουσίας σημείων βαθμός
δεν έχει νόημα να το γράψω.

Απάντηση:

Ας υποδηλώσουμε

Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση
. Οι ρίζες του είναι αριθμοί
Και
. Επομένως, αυτή η εξίσωση ανάγεται στις απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις
Και
. Λύνοντάς τα, διαπιστώνουμε ότι
ή
.

Απάντηση:
;
.

Ας υποδηλώσουμε

δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση

Που σημαίνει

Απάντηση:

Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης:

Έτσι, αυτή η αρχική εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως:

, δηλ.

Έχοντας ορίσει
, παίρνουμε
Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση έχουμε:

δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση

Καταγράφουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης:

Απάντηση:

Υποκατάσταση
ανάγει αυτή την εξίσωση σε δευτεροβάθμια εξίσωση
. Οι ρίζες του είναι αριθμοί
Και
. Επειδή
, τότε η δεδομένη εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση: χωρίς ρίζες.

II. Επίλυση εξισώσεων με χρήση της συνθήκης ισότητας ομώνυμων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

ΕΝΑ)
, Αν

σι)
, Αν

V)
, Αν

Χρησιμοποιώντας αυτές τις συνθήκες, εξετάστε το ενδεχόμενο να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις:

6)

Χρησιμοποιώντας όσα ειπώθηκαν στο μέρος α) βρίσκουμε ότι η εξίσωση έχει λύση αν και μόνο αν
.

Λύνοντας αυτή την εξίσωση, βρίσκουμε
.

Έχουμε δύο ομάδες λύσεων:

.

7) Λύστε την εξίσωση:
.

Χρησιμοποιώντας την συνθήκη του στοιχείου β) συμπεραίνουμε ότι
.

Λύνοντας αυτές τις τετραγωνικές εξισώσεις, παίρνουμε:

.

8) Λύστε την εξίσωση
.

Από αυτή την εξίσωση συμπεραίνουμε ότι . Λύνοντας αυτήν την τετραγωνική εξίσωση, βρίσκουμε ότι

.

III. Παραγοντοποίηση.

Εξετάζουμε αυτή τη μέθοδο με παραδείγματα.

9) Λύστε την εξίσωση
.

Λύση. Ας μετακινήσουμε όλους τους όρους της εξίσωσης προς τα αριστερά: .

Ας μετασχηματίσουμε και παραγοντοποιήσουμε την παράσταση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης:
.

.

.

1)
2)

Επειδή
Και
μην αποδεχτείτε την τιμή μηδέν

ταυτόχρονα, τότε χωρίζουμε και τα δύο μέρη

εξισώσεις για
,

Απάντηση:

10) Λύστε την εξίσωση:

Λύση.

ή

Απάντηση:

11) Λύστε την εξίσωση

Λύση:

1)
2)
3)

,

Απάντηση:

IV. Αναγωγή σε ομοιογενή εξίσωση.

Για να λύσετε μια ομοιογενή εξίσωση χρειάζεστε:

Μετακινήστε όλα τα μέλη του στην αριστερή πλευρά.

Τοποθετήστε όλους τους κοινούς παράγοντες εκτός παρενθέσεων.

Εξισώστε όλους τους παράγοντες και τις αγκύλες με μηδέν.

Οι αγκύλες ίσες με το μηδέν δίνουν μια ομοιογενή εξίσωση μικρότερου βαθμού, η οποία πρέπει να διαιρεθεί με
(ή
) στο ανώτερο πτυχίο?

Λύστε την αλγεβρική εξίσωση που προκύπτει για
.

Ας δούμε παραδείγματα:

12) Λύστε την εξίσωση:

Λύση.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με
,

Εισαγωγή ονομασιών
, όνομα

ρίζες αυτής της εξίσωσης:

επομένως 1)
2)

Απάντηση:

13) Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Χρησιμοποιώντας τους τύπους διπλής γωνίας και τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, ανάγουμε αυτήν την εξίσωση σε ένα μισό όρισμα:

Αφού μειώσουμε παρόμοιους όρους έχουμε:

Διαιρώντας την ομοιογενή τελευταία εξίσωση με
, παίρνουμε

θα υποδείξω
, παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση
, του οποίου οι ρίζες είναι αριθμοί

Ετσι

Εκφραση
πηγαίνει στο μηδέν στο
, δηλ. στο
,
.

Η λύση της εξίσωσης που λάβαμε δεν περιλαμβάνει αυτούς τους αριθμούς.

Απάντηση:
, .

V. Εισαγωγή βοηθητικής γωνίας.

Θεωρήστε μια εξίσωση της φόρμας

Οπου α, β, γ- συντελεστές, Χ- άγνωστο.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με

Τώρα οι συντελεστές της εξίσωσης έχουν τις ιδιότητες του ημιτόνου και του συνημιτόνου, δηλαδή: το μέτρο του καθενός από αυτά δεν υπερβαίνει το ένα και το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ίσο με 1.

Τότε μπορούμε να τα ορίσουμε ανάλογα
(Εδώ - βοηθητική γωνία) και η εξίσωσή μας παίρνει τη μορφή: .

Επειτα

Και η απόφασή του

Σημειώστε ότι οι συμβολισμοί που εισάγονται είναι αμοιβαία εναλλάξιμοι.

14) Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Εδώ
, οπότε διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με

Απάντηση:

15) Λύστε την εξίσωση

Λύση. Επειδή
, τότε αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση

Επειδή
, τότε υπάρχει μια γωνία τέτοια που
,
(εκείνοι.
).

Εχουμε

Επειδή
, τότε τελικά παίρνουμε:

.

Σημειώστε ότι οι εξισώσεις της μορφής έχουν λύση αν και μόνο αν

16) Λύστε την εξίσωση:

Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, ομαδοποιούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τα ίδια ορίσματα

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με δύο

Ας μετατρέψουμε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο:

Απάντηση:

VI. Μετατροπή προϊόντος σε άθροισμα.

Εδώ χρησιμοποιούνται οι αντίστοιχοι τύποι.

17) Λύστε την εξίσωση:

Λύση. Ας μετατρέψουμε την αριστερή πλευρά σε άθροισμα:

VII.Καθολική αντικατάσταση.

,

αυτοί οι τύποι ισχύουν για όλους

Υποκατάσταση
που ονομάζεται καθολική.

18) Λύστε την εξίσωση:

Λύση: Αντικαταστήστε και
στην έκφρασή τους μέσω
και δηλώνουν
.

Παίρνουμε μια ορθολογική εξίσωση
, το οποίο μετατρέπεται σε τετράγωνο
.

Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι οι αριθμοί
.

Επομένως, το πρόβλημα περιορίστηκε στην επίλυση δύο εξισώσεων
.

Το βρίσκουμε
.

Προβολή αξίας
δεν ικανοποιεί την αρχική εξίσωση, η οποία επαληθεύεται με έλεγχο - αντικατάσταση της δεδομένης τιμής tστην αρχική εξίσωση.

Απάντηση:
.

Σχόλιο. Η εξίσωση 18 θα μπορούσε να είχε λυθεί με άλλο τρόπο.

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της εξίσωσης με 5 (δηλ. με
):
.

Επειδή
, τότε υπάρχει ένας τέτοιος αριθμός
, Τι
Και
. Επομένως η εξίσωση παίρνει τη μορφή:
ή
. Από εδώ το βρίσκουμε
Οπου
.

19) Λύστε την εξίσωση
.

Λύση. Δεδομένου ότι οι λειτουργίες
Και
έχουν τη μεγαλύτερη τιμή ίση με 1, τότε το άθροισμά τους είναι ίσο με 2 αν
Και
, ταυτόχρονα δηλαδή
.

Απάντηση:
.

Κατά την επίλυση αυτής της εξίσωσης χρησιμοποιήθηκε το όριο των συναρτήσεων και.

Συμπέρασμα.

Όταν εργάζεστε στο θέμα «Επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων», είναι χρήσιμο για κάθε δάσκαλο να ακολουθεί τις ακόλουθες συστάσεις:

Συστηματοποίηση μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Επιλέξτε μόνοι σας τα βήματα για να εκτελέσετε μια ανάλυση της εξίσωσης και τα σημάδια της σκοπιμότητας χρήσης μιας συγκεκριμένης μεθόδου λύσης.

Σκεφτείτε τρόπους για να παρακολουθείτε μόνοι σας τις δραστηριότητές σας κατά την εφαρμογή της μεθόδου.

Μάθετε να συνθέτετε «δικές σας» εξισώσεις για καθεμία από τις μεθόδους που μελετάτε.

Παράρτημα Νο. 1

Να λύσετε ομογενείς ή αναγώγιμες σε ομοιογενείς εξισώσεις.

1.	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.
5.	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.
7.	Μαλλομέταξο ύφασμα.
	Μαλλομέταξο ύφασμα.

Μαθήματα 54-55. Συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων (προαιρετικά)

09.07.2015 9315 915

Στόχος: εξετάστε τα πιο τυπικά συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων και μεθόδους επίλυσής τους.

I. Επικοινωνία του θέματος και του σκοπού των μαθημάτων

II. Επανάληψη και εμπέδωση του καλυπτόμενου υλικού

1. Απαντήσεις σε ερωτήσεις σχετικά με την εργασία (ανάλυση άλυτων προβλημάτων).

2. Παρακολούθηση αφομοίωσης του υλικού (ανεξάρτητη εργασία).

Επιλογή 1

Λύστε την ανισότητα:

Επιλογή 2

Λύστε την ανισότητα:

III. Εκμάθηση νέου υλικού

Στις εξετάσεις, τα συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων είναι πολύ λιγότερο κοινά από τις τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις. Δεν υπάρχει σαφής ταξινόμηση συστημάτων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Επομένως, θα τα χωρίσουμε υπό όρους σε ομάδες και θα εξετάσουμε τρόπους επίλυσης αυτών των προβλημάτων.

1. Τα απλούστερα συστήματα εξισώσεων

Αυτά περιλαμβάνουν συστήματα στα οποία είτε μία από τις εξισώσεις είναι γραμμική είτε οι εξισώσεις του συστήματος μπορούν να λυθούν ανεξάρτητα η μία από την άλλη.

Παράδειγμα 1

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Εφόσον η πρώτη εξίσωση είναι γραμμική, εκφράζουμε τη μεταβλητή από αυτήνκαι αντικαθιστούμε στη δεύτερη εξίσωση:Χρησιμοποιούμε τον τύπο αναγωγής και την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα. Παίρνουμε την εξίσωσηή Ας εισάγουμε μια νέα μεταβλητήτ = αμαρτία u. Έχουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, του οποίου οι ρίζες t 1 = 1/3 και t 2 = 2 (δεν είναι κατάλληλο γιατίαμαρτία y ≤ 1). Ας επιστρέψουμε στο παλιό άγνωστο και ας πάρουμε την εξίσωσηαμαρτωλός = 1/3, του οποίου η λύσηΤώρα είναι εύκολο να βρεις το άγνωστο:Άρα, το σύστημα των εξισώσεων έχει λύσειςόπου n ∈ Z.

Παράδειγμα 2

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Οι εξισώσεις του συστήματος είναι ανεξάρτητες. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε τις λύσεις σε κάθε εξίσωση. Παίρνουμε:Προσθέτουμε και αφαιρούμε τις εξισώσεις αυτού του συστήματος γραμμικών εξισώσεων ανά όρο και βρίσκουμε:που

Λάβετε υπόψη ότι λόγω της ανεξαρτησίας των εξισώσεων, κατά την εύρεση των x - y και x + y, πρέπει να καθορίζονται διαφορετικοί ακέραιοι αριθμοί n και k. Αν αντί για κ προμηθεύτηκε επίσης n , τότε οι λύσεις θα έχουν την εξής μορφή:Σε αυτή την περίπτωση, ένας άπειρος αριθμός λύσεων θα χαθεί και, επιπλέον, θα προέκυπτε σύνδεση μεταξύ των μεταβλητώνΧ και y: x = 3y (κάτι που δεν συμβαίνει στην πραγματικότητα). Για παράδειγμα, είναι εύκολο να ελεγχθεί ότι αυτό το σύστημα έχει μια λύση x = 5π και y = n (σύμφωνα με τους τύπους που λαμβάνονται), η οποία όταν k = n αδύνατο να βρεθεί. Οπότε να προσέχεις.

2. Συστήματα τύπου

Τέτοια συστήματα ανάγονται στα απλούστερα με την προσθήκη και την αφαίρεση εξισώσεων. Σε αυτή την περίπτωση λαμβάνουμε συστήματαή Ας σημειώσουμε έναν προφανή περιορισμό:Και Η ίδια η λύση τέτοιων συστημάτων δεν παρουσιάζει δυσκολίες.

Παράδειγμα 3

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Ας μετατρέψουμε πρώτα τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος χρησιμοποιώντας την ισότηταΠαίρνουμε: Ας αντικαταστήσουμε την πρώτη εξίσωση με τον αριθμητή αυτού του κλάσματος:και εκφράζουν Τώρα έχουμε ένα σύστημα εξισώσεωνΑς προσθέσουμε και ας αφαιρέσουμε αυτές τις εξισώσεις. Εχουμε: ήΑς γράψουμε τις λύσεις σε αυτό το απλούστερο σύστημα:Προσθέτοντας και αφαιρώντας αυτές τις γραμμικές εξισώσεις, βρίσκουμε:

3. Συστήματα τύπου

Τέτοια συστήματα μπορούν να θεωρηθούν ως τα πιο απλά και να επιλυθούν ανάλογα. Ωστόσο, υπάρχει ένας άλλος τρόπος για να το λύσετε: να μετατρέψετε το άθροισμα των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο και να χρησιμοποιήσετε την υπόλοιπη εξίσωση.

Παράδειγμα 4

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Αρχικά, μετασχηματίζουμε την πρώτη εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των ημιτόνων των γωνιών. Παίρνουμε:Χρησιμοποιώντας τη δεύτερη εξίσωση, έχουμε:που Ας γράψουμε τις λύσεις αυτής της εξίσωσης:Λαμβάνοντας υπόψη τη δεύτερη εξίσωση αυτού του συστήματος, προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεωνΑπό αυτό το σύστημα βρίσκουμε Είναι βολικό να γράφουμε τέτοιες αποφάσεις με πιο ορθολογική μορφή. Για τα ανώτερα ζώδια έχουμε:για χαμηλότερα ζώδια -

4. Συστήματα τύπου

Πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να ληφθεί μια εξίσωση που περιέχει μόνο έναν άγνωστο. Για να γίνει αυτό, για παράδειγμα, ας εκφράσουμε από μια εξίσωσηαμαρτία υ, από άλλο - cos u. Ας τετραγωνίσουμε αυτές τις αναλογίες και ας τις αθροίσουμε. Τότε παίρνουμε μια τριγωνομετρική εξίσωση που περιέχει τον άγνωστο x. Ας λύσουμε αυτή την εξίσωση. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε εξίσωση αυτού του συστήματος, παίρνουμε μια εξίσωση για την εύρεση του αγνώστου y.

Παράδειγμα 5

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Ας γράψουμε το σύστημα στη φόρμαΑς τετραγωνίσουμε κάθε εξίσωση του συστήματος και πάρουμε:Ας προσθέσουμε τις εξισώσεις αυτού του συστήματος:ή Χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα, γράφουμε την εξίσωση στη μορφήή Λύσεις αυτής της εξίσωσης cos x = 1/2 (τότε ) και cos x = 1/4 (από όπου ), όπου n, k ∈ Z . Λαμβάνοντας υπόψη τη σύνδεση μεταξύ των αγνώστων cos y = 1 – 3 cos x, παίρνουμε: για cos x = 1/2 cos y = -1/2; για cos x = 1/4 cos y = 1/4. Πρέπει να θυμόμαστε ότι κατά την επίλυση ενός συστήματος εξισώσεων, πραγματοποιήθηκε τετραγωνισμός και αυτή η λειτουργία θα μπορούσε να οδηγήσει στην εμφάνιση εξωτερικών ριζών. Επομένως, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος, από την οποία προκύπτει ότι οι ποσότητεςαμαρτία x και αμαρτία y πρέπει να έχει το ίδιο πρόσημο.

Λαμβάνοντας αυτό υπόψη, λαμβάνουμε λύσεις σε αυτό το σύστημα εξισώσεωνΚαι όπου n, m, k, l ∈ Z . Σε αυτή την περίπτωση, για άγνωστα x και y, επιλέγονται ταυτόχρονα είτε το ανώτερο είτε το κατώτερο πρόσημο.

Σε ειδική περίπτωσητο σύστημα μπορεί να λυθεί μετατρέποντας το άθροισμα (ή τη διαφορά) των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε γινόμενο και στη συνέχεια διαιρώντας τις εξισώσεις όρο προς όρο.

Παράδειγμα 6

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Σε κάθε εξίσωση, μετατρέπουμε το άθροισμα και τη διαφορά των συναρτήσεων σε γινόμενο και διαιρούμε κάθε εξίσωση με το 2. Παίρνουμε:Δεδομένου ότι κανένας παράγοντας στις αριστερές πλευρές των εξισώσεων δεν είναι ίσος με μηδέν, διαιρούμε τις εξισώσεις όρο προς όρο (για παράδειγμα, τον δεύτερο με τον πρώτο). Παίρνουμε:που Ας αντικαταστήσουμε την τιμή που βρέθηκεγια παράδειγμα, στην πρώτη εξίσωση:Ας το λάβουμε υπόψη Επειτα που

Αποκτήσαμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεωνΠροσθέτοντας και αφαιρώντας τις εξισώσεις αυτού του συστήματος, βρίσκουμεΚαι όπου n, k ∈ Z.

5. Συστήματα που επιλύονται με αντικατάσταση αγνώστων

Εάν το σύστημα περιέχει μόνο δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις ή μπορεί να αναχθεί σε αυτήν τη μορφή, τότε είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε την αντικατάσταση αγνώστων.

Παράδειγμα 7

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Δεδομένου ότι αυτό το σύστημα περιλαμβάνει μόνο δύο τριγωνομετρικές συναρτήσεις, εισάγουμε νέες μεταβλητές a =ταν χ και β = αμαρτία u. Λαμβάνουμε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεωνΑπό την πρώτη εξίσωση εκφράζουμε ένα =σι + 3 και αντικαταστήστε στο δεύτερο:ή Οι ρίζες αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης b 1 = 1 και b 2 = -4. Οι αντίστοιχες τιμές είναι a1 = 4 και a2 = -1. Ας επιστρέψουμε στα παλιά άγνωστα. Λαμβάνουμε δύο συστήματα απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων:

α) την απόφασή της όπου n, k ∈ Z.

σι) δεν έχει λύσεις, γιατί sin y ≥ -1.

Παράδειγμα 8

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Ας μετατρέψουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος έτσι ώστε να περιέχει μόνο τις συναρτήσεις sin x και cos u. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε τους τύπους μείωσης. Παίρνουμε:(που ) Και (Επειτα ). Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος έχει τη μορφή:ή Αποκτήσαμε ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεωνΑς εισάγουμε νέες μεταβλητές a = sin x και b = cos u. Έχουμε ένα συμμετρικό σύστημα εξισώσεων η μόνη λύση στην οποίαα = β = 1/2. Ας επιστρέψουμε στα παλιά άγνωστα και ας πάρουμε το απλούστερο σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεωνη λύση του οποίου όπου n, k ∈ Z.

6. Συστήματα για τα οποία είναι σημαντικά τα χαρακτηριστικά των εξισώσεων

Σχεδόν κατά την επίλυση οποιουδήποτε συστήματος εξισώσεων, χρησιμοποιείται ένα ή άλλο χαρακτηριστικό του. Συγκεκριμένα, μια από τις πιο κοινές μεθόδους για την επίλυση ενός συστήματος είναι οι μετασχηματισμοί ταυτότητας, οι οποίοι καθιστούν δυνατή τη λήψη μιας εξίσωσης που περιέχει μόνο έναν άγνωστο. Η επιλογή των μετασχηματισμών, φυσικά, καθορίζεται από τις ιδιαιτερότητες των εξισώσεων του συστήματος.

Παράδειγμα 9

Ας λύσουμε το σύστημα

Ας δώσουμε προσοχή στις αριστερές πλευρές των εξισώσεων, για παράδειγμα προςΧρησιμοποιώντας τύπους αναγωγής, την κάνουμε συνάρτηση με όρισμα π/4 + x. Παίρνουμε:Τότε το σύστημα των εξισώσεων μοιάζει με:Για να εξαλείψουμε τη μεταβλητή x, πολλαπλασιάζουμε τις εξισώσεις όρο προς όρο και παίρνουμε:ή 1 = αμαρτία 3 2у, από όπου αμαρτία 2у = 1. Βρίσκουμε Και Είναι βολικό να εξετάζουμε χωριστά τις περιπτώσεις ζυγών και περιττών τιμών n. Για άρτιο n (n = 2 k, όπου k ∈ Z) Τότε από την πρώτη εξίσωση αυτού του συστήματος παίρνουμε:όπου m ∈ Z. Για περίεργο Τότε από την πρώτη εξίσωση έχουμε:Λοιπόν, αυτό το σύστημα έχει λύσεις

Όπως και στην περίπτωση των εξισώσεων, υπάρχουν αρκετά συχνά συστήματα εξισώσεων στα οποία η περιορισμένη φύση των συναρτήσεων ημιτονοειδούς και συνημιτόνου παίζει σημαντικό ρόλο.

Παράδειγμα 10

Ας λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων

Πρώτα απ 'όλα, μετασχηματίζουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος:ή ή ή ή Λαμβάνοντας υπόψη την περιορισμένη φύση της συνάρτησης ημιτόνου, βλέπουμε ότι η αριστερή πλευρά της εξίσωσης δεν είναι μικρότερη από 2 και η δεξιά πλευρά δεν είναι μεγαλύτερη από 2. Επομένως, μια τέτοια εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις συνθήκες sin 2 2x = 1 και sin 2 y = 1.

Γράφουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος στη μορφή sin 2 y = 1 - cos 2 z ή sin 2 y = sin 2 z, και μετά sin 2 z = 1. Αποκτήσαμε ένα σύστημα απλών τριγωνομετρικών εξισώσεωνΧρησιμοποιώντας τον τύπο για τη μείωση του βαθμού, γράφουμε το σύστημα στη φόρμαή Επειτα

Φυσικά, όταν λύνουμε άλλα συστήματα τριγωνομετρικών εξισώσεων, είναι απαραίτητο να προσέχουμε και τα χαρακτηριστικά αυτών των εξισώσεων.

Λήψη υλικού

Δείτε το αρχείο με δυνατότητα λήψης για το πλήρες κείμενο του υλικού.
Η σελίδα περιέχει μόνο ένα τμήμα του υλικού.

Η χρήση των εξισώσεων είναι ευρέως διαδεδομένη στη ζωή μας. Χρησιμοποιούνται σε πολλούς υπολογισμούς, κατασκευές κατασκευών ακόμα και σε αθλήματα. Ο άνθρωπος χρησιμοποιούσε εξισώσεις στην αρχαιότητα, και από τότε η χρήση τους έχει αυξηθεί. Τριγωνομετρικές εξισώσεις είναι όλες οι εξισώσεις που περιλαμβάνουν μια μεταβλητή κάτω από το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης. Για παράδειγμα: \[\sin x= a, \cos x = b\]. Η επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων καταλήγει στις ακόλουθες δευτερεύουσες εργασίες:

* Επίλυση της εξίσωσης.

* επιλογή ριζών.

Η απάντηση σε τέτοιες εξισώσεις γράφεται ως:

βαθμούς?

Radians.

Για να λυθεί αυτό το είδος εξίσωσης είναι απαραίτητο να μετατραπεί η εξίσωση σε μία/πολλές βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις: \[\sin x = a; \cos x = a: \tan x = a; \cot x = a.\] Και η λύση σε τέτοιες βασικές εξισώσεις είναι να χρησιμοποιήσετε έναν πίνακα μετατροπών ή να αναζητήσετε τις θέσεις του \[x\] στον κύκλο μονάδας.

Για παράδειγμα, δίνονται τριγωνομετρικές εξισώσεις που μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας έναν πίνακα μετατροπών της ακόλουθης μορφής:

\[\tan (x - \pi/4) = 0\]

Απάντηση: \

\[\cot2x = 1.732\]

Απάντηση: x = \[\pi /12 + \pi n\]

\[\sin x = 0,866\]

Απάντηση: \[ x = \pi/3 \]

Πού μπορώ να λύσω ένα σύστημα τριγωνομετρικών εξισώσεων διαδικτυακά δωρεάν;

Μπορείτε να λύσετε την εξίσωση στην ιστοσελίδα μας https://site. Ο δωρεάν διαδικτυακός λύτης θα σας επιτρέψει να λύσετε διαδικτυακές εξισώσεις οποιασδήποτε πολυπλοκότητας μέσα σε λίγα δευτερόλεπτα. Το μόνο που χρειάζεται να κάνετε είναι απλώς να εισαγάγετε τα δεδομένα σας στο πρόγραμμα επίλυσης. Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε οδηγίες βίντεο και να μάθετε πώς να λύσετε την εξίσωση στον ιστότοπό μας. Και αν εξακολουθείτε να έχετε ερωτήσεις, μπορείτε να τις ρωτήσετε στην ομάδα VKontakte http://vk.com/pocketteacher. Γίνετε μέλος της ομάδας μας, είμαστε πάντα στην ευχάριστη θέση να σας βοηθήσουμε.

Τελειωμένες εργασίες

ΠΤΥΧΙΟ ΕΡΓΑΣΙΕΣ

Έχουν ήδη περάσει πολλά και τώρα είσαι απόφοιτος, αν, φυσικά, γράψεις τη διατριβή σου εγκαίρως. Αλλά η ζωή είναι τέτοιο πράγμα που μόνο τώρα σου γίνεται ξεκάθαρο ότι, έχοντας πάψει να είσαι μαθητής, θα χάσεις όλες τις φοιτητικές χαρές, πολλές από τις οποίες δεν έχεις δοκιμάσει ποτέ, αναβάλλοντας τα πάντα και αναβάλλοντάς τα για αργότερα. Και τώρα, αντί να προλάβετε, εργάζεστε στη διατριβή σας; Υπάρχει μια εξαιρετική λύση: κατεβάστε τη διατριβή που χρειάζεστε από την ιστοσελίδα μας - και θα έχετε αμέσως πολύ ελεύθερο χρόνο!
Οι διατριβές έχουν υπερασπιστεί με επιτυχία σε κορυφαία πανεπιστήμια της Δημοκρατίας του Καζακστάν.
Κόστος εργασίας από 20.000 τένγκε

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Το πρόγραμμα του μαθήματος είναι η πρώτη σοβαρή πρακτική εργασία. Με τη συγγραφή των μαθημάτων ξεκινά η προετοιμασία για την ανάπτυξη διπλωματικών έργων. Εάν ένας μαθητής μάθει να παρουσιάζει σωστά το περιεχόμενο ενός θέματος σε ένα μάθημα και να το μορφοποιεί σωστά, τότε στο μέλλον δεν θα έχει κανένα πρόβλημα με τη σύνταξη εκθέσεων, τη σύνταξη διατριβών ή την εκτέλεση άλλων πρακτικών εργασιών. Προκειμένου να βοηθηθούν οι μαθητές στη συγγραφή αυτού του τύπου μαθητικής εργασίας και να διευκρινιστούν ερωτήματα που προκύπτουν κατά την προετοιμασία της, μάλιστα, δημιουργήθηκε αυτή η ενότητα πληροφοριών.
Κόστος εργασίας από 2.500 τένγκε

ΔΙΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΔΙΠΤΥΧΕΙΕΣ

Επί του παρόντος, στα ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα του Καζακστάν και των χωρών της ΚΑΚ, το επίπεδο ανώτερης επαγγελματικής εκπαίδευσης που ακολουθεί μετά το πτυχίο είναι πολύ κοινό - μεταπτυχιακό. Στο μεταπτυχιακό οι φοιτητές σπουδάζουν με στόχο την απόκτηση μεταπτυχιακού τίτλου, το οποίο αναγνωρίζεται στις περισσότερες χώρες του κόσμου περισσότερο από ένα πτυχίο και αναγνωρίζεται και από ξένους εργοδότες. Αποτέλεσμα των μεταπτυχιακών σπουδών είναι η υπεράσπιση μιας μεταπτυχιακής διατριβής.
Θα σας παρέχουμε ενημερωμένο αναλυτικό και κειμενικό υλικό, στην τιμή περιλαμβάνονται 2 επιστημονικά άρθρα και μια περίληψη.
Κόστος εργασίας από 35.000 τένγκε

ΕΚΘΕΣΕΙΣ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ

Μετά την ολοκλήρωση κάθε είδους πρακτικής άσκησης φοιτητή (εκπαιδευτική, βιομηχανική, προπτυχιακή), απαιτείται έκθεση. Αυτό το έγγραφο θα είναι η επιβεβαίωση της πρακτικής εργασίας του μαθητή και η βάση για τη διαμόρφωση αξιολόγησης για εξάσκηση. Συνήθως, για να συντάξετε μια έκθεση για μια πρακτική άσκηση, πρέπει να συλλέξετε και να αναλύσετε πληροφορίες σχετικά με την επιχείρηση, να εξετάσετε τη δομή και τη ρουτίνα εργασίας του οργανισμού στον οποίο πραγματοποιείται η πρακτική άσκηση, να καταρτίσετε ένα χρονοδιάγραμμα και να περιγράψετε την πρακτική σας δραστηριότητες.
Θα σας βοηθήσουμε να συντάξετε μια αναφορά για την πρακτική σας άσκηση, λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιαιτερότητες των δραστηριοτήτων μιας συγκεκριμένης επιχείρησης.