Βρείτε μια εξίσωση για δύο σημεία. Διάφορες εξισώσεις ευθείας γραμμής

Ορισμός.Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

και οι σταθερές Α, Β δεν ισούνται ταυτόχρονα με μηδέν. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - η γραμμή διέρχεται από την αρχή

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να παρουσιαστεί με διάφορες μορφές ανάλογα με τις δεδομένες αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα

Ορισμός.Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση Ax + By + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2) κάθετο στην (3, -1).

Απόφαση. Στο A = 3 και B = -1, συνθέτουμε την εξίσωση μιας ευθείας: 3x - y + C = 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει. 3 - 2 + C = 0, επομένως, C = -1. Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία

Έστω δύο σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) στο διάστημα, τότε η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από αυτά τα σημεία:

Εάν κάποιος από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής θα πρέπει να οριστεί ίσος με το μηδέν. Στο επίπεδο, η ευθεία εξίσωση που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1 ≠ x 2 και x = x 1 εάν x 1 = x 2.

Κλάσμα = k λέγεται συντελεστής κλίσηςευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Απόφαση.Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας από σημείο και κλίση

Αν το σύνολο Ax + Wu + C = 0 οδηγεί στη μορφή:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίσηκ.

Εξίσωση ευθείας με διάνυσμα σημείου και κατεύθυνσης

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εκχώρηση μιας ευθείας γραμμής μέσω ενός σημείου και ενός κατευθυντικού διανύσματος μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός.Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1, α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν τη συνθήκη A α 1 + B α 2 = 0 ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Απόφαση.Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0, ή x + y + C / A = 0. για x = 1, y = 2 παίρνουμε C / A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C≠0, τότε, διαιρώντας με –C, παίρνουμε: ή

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής έναείναι η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα x, και σι- η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα Oy.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας x - y + 1 = 0. Να βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας στα τμήματα.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + Vy + C = 0 πολλαπλασιαστούν με τον αριθμό , η οποία ονομάζεται παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής. Το πρόσημο ± του συντελεστή κανονικοποίησης πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ * С< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση της γραμμής 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται να γραφούν διάφοροι τύποι εξισώσεων για αυτή τη γραμμή.

η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

; cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p=5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες παράλληλες προς τους άξονες ή που διέρχονται από την αρχή.

Παράδειγμα. Η ευθεία γραμμή κόβει ίσα θετικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής εάν το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από αυτά τα τμήματα είναι 8 cm 2.

Απόφαση.Η ευθύγραμμη εξίσωση έχει τη μορφή: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Παράδειγμα. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (-2, -3) και την αρχή.

Απόφαση. Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: , όπου x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο

Ορισμός.Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 . Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/ k 2 .

Θεώρημα.Οι ευθείες γραμμές Ax + Vy + C \u003d 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 είναι παράλληλες όταν οι συντελεστές A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB είναι ανάλογοι. Αν επίσης С 1 = λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία

Ορισμός.Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Απόσταση από σημείο σε γραμμή

Θεώρημα.Εάν δίνεται ένα σημείο M(x 0, y 0), τότε η απόσταση από την ευθεία Ax + Vy + C \u003d 0 ορίζεται ως

Απόδειξη.Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M στη δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

(1)

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα. Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Παράδειγμα. Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Απόφαση. Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα. Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Απόφαση. Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b. k = . Τότε y = . Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση: από όπου b = 17. Σύνολο: .

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο K(x 0; y 0) και είναι παράλληλη προς την ευθεία y = kx + a βρίσκεται με τον τύπο:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Όπου k είναι η κλίση της ευθείας.

Εναλλακτική φόρμουλα:
Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1 ; y 1) και είναι παράλληλη προς την ευθεία Ax+By+C=0 αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Παράδειγμα #1. Να συνθέσετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Μ 0 (-2.1) και ταυτόχρονα:
α) παράλληλη προς την ευθεία 2x+3y -7 = 0;
β) κάθετη στην ευθεία 2x+3y -7 = 0.
Απόφαση . Ας αναπαραστήσουμε την εξίσωση κλίσης ως y = kx + a . Για να γίνει αυτό, θα μεταφέρουμε όλες τις τιμές εκτός από το y στη δεξιά πλευρά: 3y = -2x + 7 . Στη συνέχεια διαιρούμε τη δεξιά πλευρά με τον συντελεστή 3 . Παίρνουμε: y = -2/3x + 7/3
Να βρείτε την εξίσωση ΝΚ που διέρχεται από το σημείο Κ(-2;1) παράλληλο στην ευθεία y = -2 / 3 x + 7 / 3
Αντικαθιστώντας x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 παίρνουμε:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ή
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ή 3y + 2x +1 = 0

Παράδειγμα #2. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας παράλληλης στην ευθεία 2x + 5y = 0 και σχηματίζοντας μαζί με τους άξονες συντεταγμένων ένα τρίγωνο του οποίου το εμβαδόν είναι 5.
Απόφαση . Δεδομένου ότι οι ευθείες είναι παράλληλες, η εξίσωση της επιθυμητής ευθείας είναι 2x + 5y + C = 0. Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου, όπου a και b είναι τα σκέλη του. Βρείτε τα σημεία τομής της επιθυμητής ευθείας με τους άξονες συντεταγμένων:
;
.
Άρα, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Αντικαταστήστε στον τύπο για την περιοχή: . Παίρνουμε δύο λύσεις: 2x + 5y + 10 = 0 και 2x + 5y - 10 = 0 .

Παράδειγμα #3. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2; 5) και την παράλληλη ευθεία 5x-7y-4=0 .
Απόφαση. Αυτή η ευθεία μπορεί να παρασταθεί με την εξίσωση y = 5/7 x – 4/7 (εδώ a = 5/7). Η εξίσωση της επιθυμητής γραμμής είναι y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), δηλ. 7(y-5)=5(x+2) ή 5x-7y+45=0 .

Παράδειγμα #4. Λύνοντας το παράδειγμα 3 (A=5, B=-7) χρησιμοποιώντας τον τύπο (2), βρίσκουμε 5(x+2)-7(y-5)=0.

Παράδειγμα αριθμός 5. Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-2;5) και μιας παράλληλης ευθείας 7x+10=0.
Απόφαση. Εδώ Α=7, Β=0. Ο τύπος (2) δίνει 7(x+2)=0, δηλ. x+2=0. Ο τύπος (1) δεν είναι εφαρμόσιμος, καθώς αυτή η εξίσωση δεν μπορεί να λυθεί ως προς το y (αυτή η ευθεία είναι παράλληλη με τον άξονα y).

Ιδιότητες ευθείας στην Ευκλείδεια γεωμετρία.

Υπάρχουν άπειρες γραμμές που μπορούν να τραβηχτούν σε οποιοδήποτε σημείο.

Μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων που δεν συμπίπτουν, υπάρχει μόνο μία ευθεία γραμμή.

Δύο μη συμπίπτουσες γραμμές στο επίπεδο είτε τέμνονται σε ένα μόνο σημείο είτε είναι

παράλληλη (ακολουθεί από την προηγούμενη).

Στον τρισδιάστατο χώρο, υπάρχουν τρεις επιλογές για τη σχετική θέση δύο γραμμών:

γραμμές τέμνονται?

οι ευθείες είναι παράλληλες.

ευθείες γραμμές τέμνονται.

Ευθεία γραμμή- αλγεβρική καμπύλη πρώτης τάξης: στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, μια ευθεία γραμμή

δίνεται στο επίπεδο από εξίσωση πρώτου βαθμού (γραμμική εξίσωση).

Γενική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

και σταθερό Α, Βόχι ίσο με μηδέν ταυτόχρονα. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται γενικός

ευθύγραμμη εξίσωση.Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών Α, Βκαι ΜεΕίναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- η γραμμή διέρχεται από την αρχή

. A = 0, B ≠0, C ≠0 ( By + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Ω

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C = 0)- ευθεία παράλληλη προς τον άξονα OU

. B = C = 0, A ≠ 0- η γραμμή συμπίπτει με τον άξονα OU

. A = C = 0, B ≠ 0- η γραμμή συμπίπτει με τον άξονα Ω

Η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μπορεί να αναπαρασταθεί με διάφορες μορφές ανάλογα με κάθε δεδομένο

αρχικές συνθήκες.

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β)

κάθετη στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο A(1, 2)κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Απόφαση. Ας συνθέσουμε στο A \u003d 3 και B \u003d -1 την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C \u003d 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C

αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου Α στην παράσταση που προκύπτει. Παίρνουμε: 3 - 2 + C = 0, επομένως

C = -1. Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Αφήστε δύο σημεία να δίνονται στο διάστημα M 1 (x 1 , y 1 , z 1)και M2 (x 2, y 2 , z 2),έπειτα ευθύγραμμη εξίσωση,

περνώντας από αυτά τα σημεία:

Εάν οποιοσδήποτε από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν. Επί

επίπεδο, η εξίσωση μιας ευθείας που γράφτηκε παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1 ≠ x 2και x = x 1, αν x 1 = x 2 .

Κλάσμα = κπου ονομάζεται συντελεστής κλίσης ευθεία.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Απόφαση. Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κλίση.

Αν η γενική εξίσωση μιας ευθείας Ah + Wu + C = 0φέρτε στη φόρμα:

και ορίζουν , τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει

εξίσωση ευθείας με κλίση k.

Η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα σημείο και ενός κατευθυντικού διανύσματος.

Κατ' αναλογία με το σημείο που εξετάζει την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω του κανονικού διανύσματος, μπορείτε να εισαγάγετε την εργασία

μια ευθεία γραμμή μέσα από ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης μιας ευθείας γραμμής.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα (α 1 , α 2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν την προϋπόθεση

Αα 1 + Βα 2 = 0που ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής.

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και που διέρχεται από το σημείο Α(1, 2).

Απόφαση. Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0.Σύμφωνα με τον ορισμό,

Οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1 * A + (-1) * B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0,ή x + y + C / A = 0.

στο x=1, y=2παίρνουμε C/A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

x + y - 3 = 0

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C≠0, τότε, διαιρώντας με -C, παίρνουμε:

ή πού

Η γεωμετρική σημασία των συντελεστών είναι ότι ο συντελεστής a είναι η συντεταγμένη του σημείου τομής

ευθεία με άξονα Ω,ένα σι- η συντεταγμένη του σημείου τομής της ευθείας με τον άξονα OU.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας x - y + 1 = 0.Βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ah + Wu + C = 0διαιρέστε με αριθμό , η οποία ονομάζεται

παράγοντα ομαλοποίησης, τότε παίρνουμε

xcosφ + ysinφ - p = 0 -κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Το πρόσημο ± του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε μ * Γ< 0.

R- το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στη γραμμή,

ένα φ - τη γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετη με τη θετική φορά του άξονα Ω.

Παράδειγμα. Δίνεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται για τη σύνταξη διαφόρων τύπων εξισώσεων

αυτή η ευθεία γραμμή.

Η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

Η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

Εξίσωση ευθείας γραμμής:

cos φ = 12/13; αμαρτία φ= -5/13; p=5.

Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν μπορεί να αναπαρασταθεί κάθε ευθεία με μια εξίσωση σε τμήματα, για παράδειγμα, ευθείες,

παράλληλα με τους άξονες ή περνώντας από την αρχή.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Αν δίνονται δύο γραμμές y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2, τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών

θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2. Δύο ευθείες είναι κάθετες

αν k 1 \u003d -1 / k 2 .

Θεώρημα.

Απευθείας Ah + Wu + C = 0και A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0είναι παράλληλοι όταν οι συντελεστές είναι ανάλογοι

A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Αν επίσης С 1 \u003d λС, τότε οι γραμμές συμπίπτουν. Συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών

βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των γραμμών.

Η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο είναι κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία.

Ορισμός. Μια γραμμή που διέρχεται από ένα σημείο M 1 (x 1, y 1)και κάθετα στη γραμμή y = kx + b

παριστάνεται από την εξίσωση:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν δοθεί ένας βαθμός M(x 0, y 0),τότε η απόσταση από τη γραμμή Ah + Wu + C = 0οριζεται ως:

Απόδειξη. Αφήστε το θέμα M 1 (x 1, y 1)- η βάση της καθέτου έπεσε από το σημείο Μγια ένα δεδομένο

απευθείας. Στη συνέχεια η απόσταση μεταξύ των σημείων Μκαι Μ 1:

(1)

Συντεταγμένες x 1και 1μπορεί να βρεθεί ως λύση στο σύστημα εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετα

δεδομένη γραμμή. Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Εξίσωση γραμμής σε επίπεδο.

Όπως είναι γνωστό, οποιοδήποτε σημείο στο επίπεδο καθορίζεται από δύο συντεταγμένες σε κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Τα συστήματα συντεταγμένων μπορεί να είναι διαφορετικά ανάλογα με την επιλογή βάσης και προέλευσης.

Ορισμός. Γραμμική εξίσωσηείναι η σχέση y = f(x) μεταξύ των συντεταγμένων των σημείων που απαρτίζουν αυτή την ευθεία.

Σημειώστε ότι η εξίσωση γραμμής μπορεί να εκφραστεί με παραμετρικό τρόπο, δηλαδή, κάθε συντεταγμένη κάθε σημείου εκφράζεται μέσω κάποιας ανεξάρτητης παραμέτρου t.

Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η τροχιά ενός κινούμενου σημείου. Σε αυτή την περίπτωση, ο χρόνος παίζει ρόλο παραμέτρου.

Εξίσωση ευθείας γραμμής σε επίπεδο.

Ορισμός. Οποιαδήποτε ευθεία στο επίπεδο μπορεί να δοθεί με μια εξίσωση πρώτης τάξης

Ah + Wu + C = 0,

εξάλλου οι σταθερές Α, Β δεν ισούνται ταυτόχρονα με μηδέν, δηλ. A 2 + B 2  0. Αυτή η εξίσωση πρώτης τάξης ονομάζεται η γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής.

Ανάλογα με τις τιμές των σταθερών A, B και C, είναι δυνατές οι ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

C \u003d 0, A  0, B  0 - η γραμμή διέρχεται από την αρχή

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - η γραμμή είναι παράλληλη με τον άξονα Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - η ευθεία συμπίπτει με τον άξονα Ox

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κανονικό διάνυσμα.

Ορισμός. Σε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα με συνιστώσες (Α, Β) είναι κάθετο στην ευθεία που δίνεται από την εξίσωση Ax + By + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (1, 2) κάθετο στο διάνυσμα (3, -1).

Ας συνθέσουμε στο A \u003d 3 και B \u003d -1 την εξίσωση της ευθείας: 3x - y + C \u003d 0. Για να βρούμε τον συντελεστή C, αντικαθιστούμε τις συντεταγμένες του δεδομένου σημείου A στην παράσταση που προκύπτει.

Παίρνουμε: 3 - 2 + C \u003d 0, επομένως C \u003d -1.

Σύνολο: η επιθυμητή εξίσωση: 3x - y - 1 \u003d 0.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.

Εάν οποιοσδήποτε από τους παρονομαστές είναι ίσος με μηδέν, ο αντίστοιχος αριθμητής πρέπει να ισούται με μηδέν.

Σε ένα επίπεδο, η εξίσωση μιας ευθείας που γράφεται παραπάνω απλοποιείται:

αν x 1  x 2 και x \u003d x 1, εάν x 1 \u003d x 2.

Κλάσμα
=k λέγεται συντελεστής κλίσηςευθεία.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(1, 2) και Β(3, 4).

Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τύπο, παίρνουμε:

Εξίσωση ευθείας με σημείο και κλίση.

Αν η γενική εξίσωση της ευθείας Ax + Vy + C = 0 οδηγεί στη μορφή:

και ορίζουν
, τότε καλείται η εξίσωση που προκύπτει εξίσωση ευθείας με κλίσηκ.

Η εξίσωση μιας ευθείας σε ένα σημείο και ενός κατευθυντικού διανύσματος.

Ορισμός. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα ( 1 ,  2), τα συστατικά του οποίου ικανοποιούν τη συνθήκη A 1 + B 2 = 0 ονομάζεται κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας

Ah + Wu + C = 0.

Παράδειγμα.Να βρείτε την εξίσωση ευθείας με διάνυσμα κατεύθυνσης (1, -1) και περνώντας από το σημείο Α(1, 2).

Θα αναζητήσουμε την εξίσωση της επιθυμητής ευθείας με τη μορφή: Ax + By + C = 0. Σύμφωνα με τον ορισμό, οι συντελεστές πρέπει να πληρούν τις προϋποθέσεις:

1A + (-1)B = 0, δηλ. Α = Β.

Τότε η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή: Ax + Ay + C = 0, ή x + y + C/A = 0.

στο x = 1, y = 2 παίρνουμε С/A = -3, δηλ. επιθυμητή εξίσωση:

Εξίσωση ευθείας σε τμήματα.

Αν στη γενική εξίσωση της ευθείας Ah + Wu + C = 0 C 0, τότε, διαιρώντας με –C, παίρνουμε:
ή

, που

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της ευθείας x - y + 1 = 0. Να βρείτε την εξίσωση αυτής της ευθείας στα τμήματα.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης Ax + Wy + C = 0 διαιρούμενο με τον αριθμό
, η οποία ονομάζεται κανονικοποιητικό παράγοντα, τότε παίρνουμε

xcos + ysin - p = 0 –

κανονική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Το πρόσημο  του κανονικοποιητικού παράγοντα πρέπει να επιλέγεται έτσι ώστε С< 0.

p είναι το μήκος της καθέτου που έπεσε από την αρχή στην ευθεία και  είναι η γωνία που σχηματίζει αυτή η κάθετο με τη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox.

Παράδειγμα.Δίνεται η γενική εξίσωση της γραμμής 12x - 5y - 65 = 0. Απαιτείται να γραφούν διάφοροι τύποι εξισώσεων για αυτή τη γραμμή.

η εξίσωση αυτής της ευθείας σε τμήματα:

η εξίσωση αυτής της ευθείας με την κλίση: (διαιρέστε με 5)

κανονική εξίσωση ευθείας:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Παράδειγμα.Η ευθεία γραμμή κόβει ίσα θετικά τμήματα στους άξονες συντεταγμένων. Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής εάν το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από αυτά τα τμήματα είναι 8 cm 2.

Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή:
, a = b = 1; αβ/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 δεν ταιριάζει στην συνθήκη του προβλήματος.

Σύνολο:
ή x + y - 4 = 0.

Παράδειγμα.Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (-2, -3) και την αρχή.

Η εξίσωση μιας ευθείας έχει τη μορφή:
, όπου x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Γωνία μεταξύ των γραμμών σε ένα επίπεδο.

Ορισμός. Εάν δοθούν δύο ευθείες y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , τότε η οξεία γωνία μεταξύ αυτών των γραμμών θα οριστεί ως

Δύο ευθείες είναι παράλληλες αν k 1 = k 2 .

Δύο ευθείες είναι κάθετες αν k 1 = -1/k 2 .

Θεώρημα. Ευθείες γραμμές Ax + Vy + C = 0 και A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 είναι παράλληλοι όταν οι συντελεστές Α είναι ανάλογοι 1 =  Α, Β 1 =  Β. Εάν επίσης Γ 1 =  C, τότε οι γραμμές συμπίπτουν.

Οι συντεταγμένες του σημείου τομής δύο ευθειών βρίσκονται ως λύση στο σύστημα εξισώσεων αυτών των ευθειών.

Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο

κάθετη σε αυτή τη γραμμή.

Ορισμός. Η ευθεία που διέρχεται από το σημείο M 1 (x 1, y 1) και είναι κάθετη στην ευθεία y \u003d kx + b αντιπροσωπεύεται από την εξίσωση:

Η απόσταση από ένα σημείο σε μια γραμμή.

Θεώρημα. Αν ένα σημείο M(x 0 , y 0 ), τότε η απόσταση από τη γραμμή Ax + Vy + C = 0 ορίζεται ως

Απόδειξη. Έστω το σημείο M 1 (x 1, y 1) η βάση της καθέτου που έπεσε από το σημείο M στη δεδομένη ευθεία. Τότε η απόσταση μεταξύ των σημείων M και M 1:

Οι συντεταγμένες x 1 και y 1 μπορούν να βρεθούν ως λύση στο σύστημα των εξισώσεων:

Η δεύτερη εξίσωση του συστήματος είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο M 0 κάθετο σε μια δεδομένη ευθεία.

Αν μετατρέψουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος στη μορφή:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

τότε, λύνοντας, παίρνουμε:

Αντικαθιστώντας αυτές τις εκφράσεις στην εξίσωση (1), βρίσκουμε:

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα.Προσδιορίστε τη γωνία μεταξύ των ευθειών: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Παράδειγμα.Δείξτε ότι οι ευθείες 3x - 5y + 7 = 0 και 10x + 6y - 3 = 0 είναι κάθετες.

Βρίσκουμε: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, επομένως, οι γραμμές είναι κάθετες.

Παράδειγμα.Δίνονται οι κορυφές του τριγώνου A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Βρείτε την εξίσωση για το ύψος που προκύπτει από την κορυφή Γ.

Βρίσκουμε την εξίσωση της πλευράς ΑΒ:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Η επιθυμητή εξίσωση ύψους είναι: Ax + By + C = 0 ή y = kx + b.

k = . Τότε y =
. Επειδή το ύψος διέρχεται από το σημείο C, τότε οι συντεταγμένες του ικανοποιούν αυτήν την εξίσωση:
από όπου b = 17. Σύνολο:
.

Απάντηση: 3x + 2y - 34 = 0.

Αναλυτική γεωμετρία στο χώρο.

Γραμμική εξίσωση στο χώρο.

Η εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο κατά ένα σημείο και

διάνυσμα κατεύθυνσης.

Πάρτε μια αυθαίρετη γραμμή και ένα διάνυσμα (m, n, p) παράλληλα με τη δεδομένη ευθεία. Διάνυσμα που ονομάζεται οδηγός διάνυσμαευθεία.

Ας πάρουμε δύο αυθαίρετα σημεία M 0 (x 0 , y 0 , z 0) και M(x, y, z) στην ευθεία.

Μ1

Ας υποδηλώσουμε τα διανύσματα ακτίνας αυτών των σημείων ως και , είναι προφανές ότι - =
.

Επειδή φορείς
και είναι συγγραμμικές, τότε η σχέση είναι αληθής
= t, όπου t είναι κάποια παράμετρος.

Συνολικά μπορούμε να γράψουμε: = + t.

Επειδή αυτή η εξίσωση ικανοποιείται από τις συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου της ευθείας, τότε η εξίσωση που προκύπτει είναι παραμετρική εξίσωση ευθείας γραμμής.

Αυτή η διανυσματική εξίσωση μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή συντεταγμένων:

Μετασχηματίζοντας αυτό το σύστημα και εξισώνοντας τις τιμές της παραμέτρου t, λαμβάνουμε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής στο χώρο:

Ορισμός. Συνημίτονα κατεύθυνσηςάμεσες είναι τα συνημίτονα κατεύθυνσης του διανύσματος , το οποίο μπορεί να υπολογιστεί με τους τύπους:

;

.

Από εδώ παίρνουμε: m: n: p = cos : cos : cos.

Καλούνται οι αριθμοί m, n, p παράγοντες κλίσηςευθεία. Επειδή είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα, τα m, n και p δεν μπορούν να είναι μηδέν ταυτόχρονα, αλλά ένας ή δύο από αυτούς τους αριθμούς μπορεί να είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή, στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής, οι αντίστοιχοι αριθμητές θα πρέπει να εξισωθούν με το μηδέν.

Εξίσωση ευθείας σε διαστημική διέλευση

μέσα από δύο σημεία.

Εάν δύο αυθαίρετα σημεία M 1 (x 1, y 1, z 1) και M 2 (x 2, y 2, z 2) σημειώνονται σε ευθεία γραμμή στο χώρο, τότε οι συντεταγμένες αυτών των σημείων πρέπει να ικανοποιούν την εξίσωση του ευθεία γραμμή που λήφθηκε παραπάνω:

Επιπλέον, για το σημείο Μ 1 μπορούμε να γράψουμε:

Λύνοντας αυτές τις εξισώσεις μαζί, παίρνουμε:

Αυτή είναι η εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία του χώρου.

Γενικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο.

Η εξίσωση μιας ευθείας μπορεί να θεωρηθεί ως η εξίσωση μιας ευθείας τομής δύο επιπέδων.

Όπως συζητήθηκε παραπάνω, ένα επίπεδο σε διανυσματική μορφή μπορεί να δοθεί από την εξίσωση:

+ D = 0, όπου

- κανονικό αεροπλάνο. - ακτίνα-διάνυσμα αυθαίρετου σημείου του επιπέδου.

Οι κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο είναι εξισώσεις που ορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από ένα δεδομένο σημείο συγγραμμικά προς ένα διάνυσμα κατεύθυνσης.

Έστω ένα σημείο και ένα διάνυσμα κατεύθυνσης. Ένα αυθαίρετο σημείο βρίσκεται σε μια γραμμή μεγάλομόνο εάν τα διανύσματα και είναι συγγραμμικά, δηλ. ικανοποιούν την συνθήκη:

Οι παραπάνω εξισώσεις είναι οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας.

Αριθμοί Μ , nκαι Πείναι προβολές του διανύσματος κατεύθυνσης στους άξονες συντεταγμένων. Εφόσον το διάνυσμα είναι μη μηδενικό, τότε όλοι οι αριθμοί Μ , nκαι Πδεν μπορεί να είναι μηδέν ταυτόχρονα. Αλλά ένα ή δύο από αυτά μπορεί να είναι μηδέν. Στην αναλυτική γεωμετρία, για παράδειγμα, επιτρέπεται ο ακόλουθος συμβολισμός:

που σημαίνει ότι οι προβολές του διανύσματος στους άξονες Oyκαι Οζείναι ίσα με μηδέν. Επομένως, τόσο το διάνυσμα όσο και η ευθεία που δίνονται από τις κανονικές εξισώσεις είναι κάθετες στους άξονες Oyκαι Οζ, δηλαδή αεροπλάνα yOz .

Παράδειγμα 1Να συνθέσετε εξισώσεις ευθείας σε χώρο κάθετο σε επίπεδο και περνώντας από το σημείο τομής αυτού του επιπέδου με τον άξονα Οζ .

Απόφαση. Να βρείτε το σημείο τομής του δεδομένου επιπέδου με τον άξονα Οζ. Από οποιοδήποτε σημείο του άξονα Οζ, έχει συντεταγμένες , λοιπόν, υποθέτοντας στη δεδομένη εξίσωση του επιπέδου x=y= 0, παίρνουμε 4 z- 8 = 0 ή z= 2. Επομένως, το σημείο τομής του δεδομένου επιπέδου με τον άξονα Οζέχει συντεταγμένες (0; 0; 2) . Εφόσον η επιθυμητή ευθεία είναι κάθετη στο επίπεδο, είναι παράλληλη με το κανονικό της διάνυσμα. Επομένως, το κανονικό διάνυσμα μπορεί να χρησιμεύσει ως το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας γραμμής δεδομένο αεροπλάνο.

Τώρα γράφουμε τις επιθυμητές εξισώσεις της ευθείας που διέρχεται από το σημείο ΕΝΑ= (0; 0; 2) προς την κατεύθυνση του διανύσματος:

Εξισώσεις ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία

Μια ευθεία γραμμή μπορεί να οριστεί από δύο σημεία που βρίσκονται πάνω της και Στην περίπτωση αυτή, το κατευθυντικό διάνυσμα της ευθείας μπορεί να είναι το διάνυσμα . Τότε οι κανονικές εξισώσεις της ευθείας παίρνουν τη μορφή

Οι παραπάνω εξισώσεις ορίζουν μια ευθεία που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.

Παράδειγμα 2Να γράψετε την εξίσωση μιας ευθείας στο χώρο που διέρχεται από τα σημεία και .

Απόφαση. Γράφουμε τις επιθυμητές εξισώσεις της ευθείας με τη μορφή που δίνεται παραπάνω στη θεωρητική αναφορά:

Αφού , τότε η επιθυμητή γραμμή είναι κάθετη στον άξονα Oy .

Ευθεία ως γραμμή τομής επιπέδων

Μια ευθεία γραμμή στο χώρο μπορεί να οριστεί ως μια γραμμή τομής δύο μη παράλληλων επιπέδων και, δηλαδή, ως ένα σύνολο σημείων που ικανοποιούν ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων

Οι εξισώσεις του συστήματος ονομάζονται και γενικές εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο.

Παράδειγμα 3Να συνθέσετε κανονικές εξισώσεις ευθείας στο χώρο που δίνουν οι γενικές εξισώσεις

Απόφαση. Για να γράψετε τις κανονικές εξισώσεις μιας ευθείας γραμμής ή, που είναι το ίδιο, την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία, πρέπει να βρείτε τις συντεταγμένες οποιωνδήποτε δύο σημείων στην ευθεία. Μπορούν να είναι τα σημεία τομής μιας ευθείας με οποιαδήποτε δύο επίπεδα συντεταγμένων, για παράδειγμα yOzκαι xOz .

Σημείο τομής γραμμής με επίπεδο yOzέχει τετμημένη Χ= 0 . Επομένως, υποθέτοντας σε αυτό το σύστημα εξισώσεων Χ= 0, παίρνουμε ένα σύστημα με δύο μεταβλητές:

Η απόφασή της y = 2 , z= 6 μαζί με Χ= 0 ορίζει ένα σημείο ΕΝΑ(0; 2; 6) της επιθυμητής γραμμής. Υποθέτοντας τότε στο δεδομένο σύστημα εξισώσεων y= 0 , παίρνουμε το σύστημα

Η απόφασή της Χ = -2 , z= 0 μαζί με y= 0 ορίζει ένα σημείο σι(-2; 0; 0) τομή μιας ευθείας με ένα επίπεδο xOz .

Τώρα γράφουμε τις εξισώσεις μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία ΕΝΑ(0; 2; 6) και σι (-2; 0; 0) :

ή αφού διαιρέσουμε τους παρονομαστές με -2: