Επίπεδα πολύγωνα που αποτελούν την επιφάνεια ενός πολύεδρου. Ένα πολύεδρο είναι ένα σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό επίπεδων πολυγώνων

Κύβος, μπάλα, πυραμίδα, κύλινδρος, κώνος - γεωμετρικά σώματα. Ανάμεσά τους είναι τα πολύεδρα. Πολύεδροείναι ένα γεωμετρικό σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων. Κάθε ένα από αυτά τα πολύγωνα ονομάζεται όψη του πολυέδρου, οι πλευρές και οι κορυφές αυτών των πολυγώνων είναι, αντίστοιχα, οι ακμές και οι κορυφές του πολυέδρου.

Διεδρικές γωνίες μεταξύ γειτονικών όψεων, δηλ. όψεις που έχουν κοινή πλευρά -την άκρη του πολύεδρου- είναι επίσης διεδρικά μυαλά του πολύεδρου.Οι γωνίες των πολυγώνων - οι όψεις ενός κυρτού πολυγώνου - είναι επίπεδα μυαλά του πολύεδρου.Εκτός από επίπεδες και δίεδρες γωνίες, έχει επίσης ένα κυρτό πολύεδρο πολυεδρικές γωνίες.Αυτές οι γωνίες σχηματίζουν όψεις που έχουν κοινή κορυφή.

Ανάμεσα στα πολύεδρα υπάρχουν πρίσματαΚαι πυραμίδες.

Πρίσμα -είναι ένα πολύεδρο του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από δύο ίσα πολύγωνα και παραλληλόγραμμα που έχουν κοινές πλευρές με καθεμία από τις βάσεις.

Καλούνται δύο ίσα πολύγωνα αιτιολογικό ggrizmg, και παραλληλόγραμμα είναι αυτή πλευρικόςάκρα. Οι πλευρικές όψεις σχηματίζονται πλευρική επιφάνειαπρίσματα. Οι άκρες που δεν βρίσκονται στη βάση ονομάζονται πλευρικές νευρώσειςπρίσματα.

Το πρίσμα λέγεται p-κάρβουνο,αν οι βάσεις του είναι i-gon. Στο Σχ. Το 24.6 δείχνει ένα τετράγωνο πρίσμα ABCDA"B"C"D".

Το πρίσμα λέγεται ευθεία,αν οι πλευρικές του όψεις είναι ορθογώνιες (Εικ. 24.7).

Το πρίσμα λέγεται σωστός , αν είναι ευθύγραμμο και οι βάσεις του είναι κανονικά πολύγωνα.

Ένα τετράπλευρο πρίσμα ονομάζεται παραλληλεπίπεδο , αν οι βάσεις του είναι παραλληλόγραμμες.

Το παραλληλεπίπεδο λέγεται ορθογώνιος,αν όλες οι όψεις του είναι ορθογώνιες.

Διαγώνιος παραλληλεπίπεδουείναι ένα τμήμα που συνδέει τις αντίθετες κορυφές του. Ένα παραλληλεπίπεδο έχει τέσσερις διαγώνιες.

Έχει αποδειχθεί ότιΟι διαγώνιοι ενός παραλληλεπίπεδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται από αυτό το σημείο. Οι διαγώνιοι ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ίσες.

Πυραμίδαείναι ένα πολύεδρο, η επιφάνεια του οποίου αποτελείται από ένα πολύγωνο - τη βάση της πυραμίδας, και τρίγωνα που έχουν μια κοινή κορυφή, που ονομάζονται πλευρικές όψεις της πυραμίδας. Η κοινή κορυφή αυτών των τριγώνων ονομάζεται μπλουζαπυραμίδες, νευρώσεις που εκτείνονται από την κορυφή, - πλευρικές νευρώσειςπυραμίδες.

Η κάθετη που πέφτει από την κορυφή της πυραμίδας στη βάση, καθώς και το μήκος αυτής της καθέτου, λέγεται ύψοςπυραμίδες.

Η πιο απλή πυραμίδα - τριγωνικόςή τετράεδρο (Εικ. 24.8). Η ιδιαιτερότητα μιας τριγωνικής πυραμίδας είναι ότι κάθε πρόσωπο μπορεί να θεωρηθεί ως βάση.

Η πυραμίδα ονομάζεται σωστός,αν η βάση του είναι ένα κανονικό πολύγωνο και όλες οι πλευρικές ακμές είναι ίσες μεταξύ τους.

Σημειώστε ότι πρέπει να διακρίνουμε κανονικό τετράεδρο(δηλαδή ένα τετράεδρο στο οποίο όλες οι ακμές είναι ίσες μεταξύ τους) και κανονική τριγωνική πυραμίδα(στη βάση του βρίσκεται ένα κανονικό τρίγωνο και οι πλευρικές άκρες είναι ίσες μεταξύ τους, αλλά το μήκος τους μπορεί να διαφέρει από το μήκος της πλευράς του τριγώνου, που είναι η βάση του πρίσματος).

Διακρίνω διόγκωσηΚαι μη κυρτόπολύεδρα. Μπορείτε να ορίσετε ένα κυρτό πολύεδρο εάν χρησιμοποιήσετε την έννοια του κυρτού γεωμετρικού σώματος: ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτός.αν είναι κυρτό σχήμα, δηλ. μαζί με οποιαδήποτε δύο σημεία του, περιέχει επίσης εξ ολοκλήρου το τμήμα που τα συνδέει.

Ένα κυρτό πολύεδρο μπορεί να οριστεί διαφορετικά: ένα πολύεδρο ονομάζεται κυρτός,αν βρίσκεται εξ ολοκλήρου στη μία πλευρά καθενός από τα πολύγωνα που το οριοθετούν.

Αυτοί οι ορισμοί είναι ισοδύναμοι. Δεν παρέχουμε απόδειξη αυτού του γεγονότος.

Όλα τα πολύεδρα που έχουν εξεταστεί μέχρι τώρα ήταν κυρτά (κύβος, παραλληλεπίπεδο, πρίσμα, πυραμίδα κ.λπ.). Το πολύεδρο που φαίνεται στο Σχ. 24.9, δεν είναι κυρτό.

Έχει αποδειχθεί ότισε ένα κυρτό πολύεδρο, όλες οι όψεις είναι κυρτά πολύγωνα.

Ας εξετάσουμε πολλά κυρτά πολύεδρα (Πίνακας 24.1)

Από αυτόν τον πίνακα προκύπτει ότι για όλα τα θεωρούμενα κυρτά πολύεδρα η ισότητα B - P + σολ= 2. Αποδείχθηκε ότι αυτό ισχύει και για κάθε κυρτό πολύεδρο. Αυτή η ιδιότητα αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον L. Euler και ονομάστηκε θεώρημα του Euler.

Ένα κυρτό πολύεδρο ονομάζεται σωστόςαν οι όψεις του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και ο ίδιος αριθμός όψεων συγκλίνουν σε κάθε κορυφή.

Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της κυρτής πολυεδρικής γωνίας, μπορεί κανείς να το αποδείξει αυτό Δεν υπάρχουν περισσότεροι από πέντε διαφορετικοί τύποι κανονικών πολύεδρων.

Πράγματι, αν ο ανεμιστήρας και το πολύεδρο είναι κανονικά τρίγωνα, τότε τα 3, 4 και 5 μπορούν να συγκλίνουν σε μία κορυφή, αφού 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Αν τρία κανονικά τρίγωνα συγκλίνουν σε κάθε κορυφή ενός πολυανεμιστήρα, τότε παίρνουμε δεξιό τετράεδρο,που μεταφράζεται από το Phetic σημαίνει «τετράεδρο» (Εικ. 24.10, ΕΝΑ).

Αν τέσσερα κανονικά τρίγωνα συναντώνται σε κάθε κορυφή ενός πολυέδρου, τότε παίρνουμε οκτάεδρο(Εικ. 24.10, V).Η επιφάνειά του αποτελείται από οκτώ κανονικά τρίγωνα.

Αν πέντε κανονικά τρίγωνα συγκλίνουν σε κάθε κορυφή ενός πολυέδρου, τότε παίρνουμε εικοσάεδρο(Εικ. 24.10, δ). Η επιφάνειά του αποτελείται από είκοσι κανονικά τρίγωνα.

Εάν οι όψεις ενός πολυανεμιστήρα είναι τετράγωνες, τότε μόνο τρεις από αυτές μπορούν να συγκλίνουν σε μία κορυφή, αφού 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также εξάεδρο(Εικ. 24.10, σι).

Εάν τα άκρα ενός πολυανεμιστήρα είναι κανονικά πεντάγωνα, τότε μόνο το phi μπορεί να συγκλίνει σε μία κορυφή, αφού 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется δωδεκάεδρο(Εικ. 24.10, ρε).Η επιφάνειά του αποτελείται από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα.

Οι όψεις ενός πολύεδρου δεν μπορούν να είναι εξαγωνικές ή περισσότερες, αφού ακόμη και για ένα εξάγωνο 120° 3 = 360°.

Στη γεωμετρία, έχει αποδειχθεί ότι στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο υπάρχουν ακριβώς πέντε διαφορετικοί τύποι κανονικών πολύεδρων.

Για να φτιάξετε ένα μοντέλο πολυέδρου, πρέπει να το φτιάξετε σκούπισμα(ακριβέστερα η ανάπτυξη της επιφάνειάς του).

Η ανάπτυξη ενός πολυέδρου είναι μια εικόνα σε ένα επίπεδο που προκύπτει εάν η επιφάνεια του πολυέδρου κοπεί κατά μήκος ορισμένων άκρων και ξεδιπλωθεί έτσι ώστε όλα τα πολύγωνα που περιλαμβάνονται σε αυτήν την επιφάνεια να βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.

Σημειώστε ότι ένα πολύεδρο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές εξελίξεις ανάλογα με τις άκρες που κόβουμε. Το σχήμα 24.11 δείχνει σχήματα που είναι διάφορες εξελίξεις μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, δηλαδή μιας πυραμίδας με τετράγωνο στη βάση της και όλες τις πλευρικές ακμές ίσες μεταξύ τους.

Προκειμένου ένα σχήμα σε ένα επίπεδο να είναι μια ανάπτυξη ενός κυρτού πολυέδρου, πρέπει να ικανοποιεί έναν αριθμό απαιτήσεων που σχετίζονται με τα χαρακτηριστικά του πολυέδρου. Για παράδειγμα, τα σχήματα στο Σχ. Το 24.12 δεν είναι εξελίξεις μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας: στο σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 24.12, ΕΝΑ,στην κορυφή Μτέσσερις όψεις συγκλίνουν, κάτι που δεν μπορεί να συμβεί σε μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα. και στο σχήμα που φαίνεται στο Σχ. 24.12, σι,πλευρικές νευρώσεις Α ΒΚαι Ήλιοςόχι ίσα.

Γενικά, η ανάπτυξη ενός πολυέδρου μπορεί να επιτευχθεί κόβοντας την επιφάνειά του όχι μόνο κατά μήκος των άκρων. Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας ανάπτυξης κύβου φαίνεται στο Σχ. 24.13. Επομένως, πιο συγκεκριμένα, η ανάπτυξη ενός πολυέδρου μπορεί να οριστεί ως ένα επίπεδο πολύγωνο από το οποίο μπορεί να κατασκευαστεί η επιφάνεια αυτού του πολυέδρου χωρίς επικαλύψεις.

Σώματα περιστροφής

Σώμα περιστροφήςονομάζεται σώμα που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της περιστροφής κάποιου σχήματος (συνήθως επίπεδου) γύρω από μια ευθεία γραμμή. Αυτή η γραμμή ονομάζεται άξονα περιστροφής.

Κύλινδρος- σώμα του εγώ, το οποίο λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της περιστροφής ενός ορθογωνίου γύρω από μια από τις πλευρές του. Στην περίπτωση αυτή, το καθορισμένο μέρος είναι άξονα του κυλίνδρου.Στο Σχ. Το 24.14 δείχνει έναν κύλινδρο με άξονα OO',που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο ΑΑ"Ο"Ογύρω από μια ευθεία γραμμή ΟΟ».Πόντοι ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕΚαι ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ"- κέντρα των βάσεων των κυλίνδρων.

Ένας κύλινδρος που προκύπτει από την περιστροφή ενός ορθογωνίου γύρω από μια από τις πλευρές του ονομάζεται ευθεία κυκλικήένας κύλινδρος, αφού οι βάσεις του είναι δύο ίσοι κύκλοι που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα έτσι ώστε το τμήμα που συνδέει τα κέντρα των κύκλων να είναι κάθετο σε αυτά τα επίπεδα. Η πλευρική επιφάνεια του κυλίνδρου σχηματίζεται από τμήματα ίσα με την πλευρά του ορθογωνίου παράλληλη προς τον άξονα του κυλίνδρου.

ΣκούπισμαΗ πλευρική επιφάνεια ενός δεξιού κυκλικού κυλίνδρου, εάν κοπεί κατά μήκος μιας γεννήτριας, είναι ένα ορθογώνιο, η μία πλευρά του οποίου είναι ίση με το μήκος της γεννήτριας και η άλλη με το μήκος της περιφέρειας της βάσης.

Κώνος- αυτό είναι ένα σώμα που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της περιστροφής ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από ένα από τα πόδια.

Σε αυτή την περίπτωση, το υποδεικνυόμενο πόδι είναι ακίνητο και καλείται ο άξονας του κώνου.Στο Σχ. Το Σχήμα 24.15 δείχνει έναν κώνο με άξονα SO, που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο SOA με ορθή γωνία Ο γύρω από το σκέλος S0. Το σημείο S ονομάζεται κορυφή του κώνου, ΟΑ- την ακτίνα της βάσης του.

Ο κώνος που προκύπτει από την περιστροφή ενός ορθογωνίου τριγώνου γύρω από το ένα σκέλος του ονομάζεται ίσιος κυκλικός κώνοςαφού η βάση του είναι κύκλος και η κορυφή του προβάλλεται στο κέντρο αυτού του κύκλου. Η πλευρική επιφάνεια του κώνου σχηματίζεται από τμήματα ίσα με την υποτείνουσα του τριγώνου, κατά την περιστροφή του οποίου σχηματίζεται ένας κώνος.

Εάν η πλευρική επιφάνεια του κώνου κοπεί κατά μήκος της γεννήτριας, τότε μπορεί να «ξεδιπλωθεί» σε ένα επίπεδο. ΣκούπισμαΗ πλευρική επιφάνεια ενός δεξιού κυκλικού κώνου είναι ένας κυκλικός τομέας με ακτίνα ίση με το μήκος της γεννήτριας.

Όταν ένας κύλινδρος, κώνος ή οποιοδήποτε άλλο σώμα περιστροφής τέμνει ένα επίπεδο που περιέχει τον άξονα περιστροφής, αποδεικνύεται αξονική τομή.Το αξονικό τμήμα του κυλίνδρου είναι ένα ορθογώνιο, το αξονικό τμήμα του κώνου είναι ένα ισοσκελές τρίγωνο.

Μπάλα- αυτό είναι ένα σώμα που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της περιστροφής ενός ημικυκλίου γύρω από τη διάμετρό του. Στο Σχ. Το 24.16 δείχνει μια μπάλα που λαμβάνεται περιστρέφοντας ένα ημικύκλιο γύρω από τη διάμετρο ΑΑ».Τελεία ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕπου ονομάζεται το κέντρο της μπάλας,και η ακτίνα του κύκλου είναι η ακτίνα της μπάλας.

Η επιφάνεια της μπάλας ονομάζεται σφαίρα.Η σφαίρα δεν μπορεί να μετατραπεί σε ένα επίπεδο.

Οποιοδήποτε τμήμα μιας μπάλας σε ένα επίπεδο είναι κύκλος. Η ακτίνα διατομής της μπάλας θα είναι μεγαλύτερη αν το αεροπλάνο περάσει από το κέντρο της μπάλας. Επομένως, το τμήμα μιας μπάλας από ένα επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας ονομάζεται μεγάλος κύκλος της μπάλας,και ο κύκλος που το οριοθετεί είναι μεγάλος κύκλος.

ΕΙΚΟΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Σε αντίθεση με τις επίπεδες φιγούρες, τα γεωμετρικά σώματα δεν μπορούν να απεικονιστούν με ακρίβεια, για παράδειγμα, σε ένα φύλλο χαρτιού. Ωστόσο, με τη βοήθεια σχεδίων σε ένα επίπεδο, μπορείτε να πάρετε μια αρκετά σαφή εικόνα των χωρικών μορφών. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούνται ειδικές μέθοδοι για την απεικόνιση τέτοιων μορφών σε ένα επίπεδο. Ένα από αυτά είναι παράλληλος σχεδιασμός.

Έστω ένα επίπεδο και μια ευθεία που τέμνει το α ΕΝΑ.Ας πάρουμε ένα αυθαίρετο σημείο Α στο διάστημα που δεν ανήκει στην ευθεία ΕΝΑ,και θα σας καθοδηγήσουμε Χαπευθείας ΕΝΑ",παράλληλα με τη γραμμή ΕΝΑ(Εικ. 24.17). Ευθεία ΕΝΑ"τέμνει το επίπεδο σε κάποιο σημείο Χ",η οποία ονομάζεται παράλληλη προβολή του σημείου Χ στο επίπεδο α.

Αν το σημείο Α βρίσκεται σε ευθεία γραμμή ΕΝΑ,στη συνέχεια με παράλληλη προβολή Χ"είναι το σημείο στο οποίο η γραμμή ΕΝΑτέμνει το επίπεδο ΕΝΑ.

Αν το σημείο Χανήκει στο επίπεδο α, μετά στο σημείο Χ"συμπίπτει με το σημείο Χ.

Έτσι, αν δίνεται ένα επίπεδο α και μια ευθεία που το τέμνει ΕΝΑ.μετά κάθε σημείο Χο χώρος μπορεί να συσχετιστεί με ένα μόνο σημείο Α" - μια παράλληλη προβολή του σημείου Χστο επίπεδο a (όταν σχεδιάζετε παράλληλα στην ευθεία ΕΝΑ).Επίπεδο ΕΝΑπου ονομάζεται επίπεδο προβολής.Σχετικά με τη γραμμή ΕΝΑλένε ότι θα γαβγίσει κατεύθυνση σχεδιασμού -αντικατάσταση grri απευθείας ΕΝΑοποιοδήποτε άλλο άμεσο αποτέλεσμα σχεδιασμού παράλληλα με αυτό δεν θα αλλάξει. Όλες οι ευθείες παράλληλες σε μια ευθεία ΕΝΑ,καθορίζουν την ίδια κατεύθυνση σχεδίασης και καλούνται μαζί με την ευθεία ΕΝΑπροβάλλοντας ευθείες γραμμές.

Προβολήφιγούρες φάκαλέστε ένα σετ ΦΑ'προβολή όλων των σημείων. Χαρτογράφηση κάθε σημείου Χφιγούρες φά«Η παράλληλη προβολή του είναι ένα σημείο Χ"φιγούρες ΦΑ",που ονομάζεται παράλληλος σχεδιασμόςφιγούρες φά(Εικ. 24.18).

Μια παράλληλη προβολή ενός πραγματικού αντικειμένου είναι η σκιά του που πέφτει σε μια επίπεδη επιφάνεια στο φως του ήλιου, αφού οι ακτίνες του ήλιου μπορούν να θεωρηθούν παράλληλες.

Ο παράλληλος σχεδιασμός έχει μια σειρά από ιδιότητες, η γνώση των οποίων είναι απαραίτητη όταν απεικονίζονται γεωμετρικά σώματα σε ένα επίπεδο. Ας διατυπώσουμε τα κυριότερα χωρίς να προσκομίσουμε την απόδειξή τους.

Θεώρημα 24.1. Κατά τον παράλληλο σχεδιασμό, ικανοποιούνται οι ακόλουθες ιδιότητες για ευθείες γραμμές που δεν είναι παράλληλες προς την κατεύθυνση σχεδιασμού και για τμήματα που βρίσκονται σε αυτές:

1) η προβολή μιας γραμμής είναι μια γραμμή και η προβολή ενός τμήματος είναι ένα τμήμα.

2) οι προβολές των παράλληλων γραμμών είναι παράλληλες ή συμπίπτουν.

3) η αναλογία των μηκών των προβολών των τμημάτων που βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες είναι ίση με την αναλογία των μηκών των ίδιων των τμημάτων.

Από αυτό το θεώρημα προκύπτει συνέπεια:με παράλληλη προβολή, το μέσο του τμήματος προβάλλεται στο μέσο της προβολής του.

Όταν απεικονίζονται γεωμετρικά σώματα σε ένα επίπεδο, είναι απαραίτητο να διασφαλίζεται ότι πληρούνται οι καθορισμένες ιδιότητες. Διαφορετικά μπορεί να είναι αυθαίρετο. Έτσι, οι γωνίες και οι λόγοι των μηκών των μη παράλληλων τμημάτων μπορούν να αλλάξουν αυθαίρετα, δηλαδή, για παράδειγμα, ένα τρίγωνο σε παράλληλη σχεδίαση απεικονίζεται ως αυθαίρετο τρίγωνο. Αν όμως το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, τότε η προβολή της μέσης του πρέπει να συνδέει την κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς.

Και μια ακόμη απαίτηση πρέπει να τηρείται κατά την απεικόνιση χωρικών σωμάτων σε ένα επίπεδο - για να βοηθήσει στη δημιουργία μιας σωστής ιδέας για αυτά.

Ας απεικονίσουμε, για παράδειγμα, ένα κεκλιμένο πρίσμα του οποίου οι βάσεις είναι τετράγωνα.

Ας φτιάξουμε πρώτα την κάτω βάση του πρίσματος (μπορείτε να ξεκινήσετε από την κορυφή). Σύμφωνα με τους κανόνες του παράλληλου σχεδιασμού, το όγκο θα απεικονίζεται ως ένα αυθαίρετο παραλληλόγραμμο ABCD (Εικ. 24.19, α). Εφόσον οι άκρες του πρίσματος είναι παράλληλες, χτίζουμε παράλληλες ευθείες που διέρχονται από τις κορυφές του κατασκευασμένου παραλληλογράμμου και βάζουμε πάνω τους ίσα τμήματα AA", BB', CC", DD", το μήκος των οποίων είναι αυθαίρετο. Συνδέοντας σημεία Α", Β", Γ", Δ σε σειρά ", παίρνουμε ένα τετράπλευρο Α" Β "Γ" Δ", που απεικονίζει την άνω βάση του πρίσματος. Δεν είναι δύσκολο να αποδείξουμε ότι Α Β Γ Δ"- παραλληλόγραμμο ίσο με παραλληλόγραμμο Α Β Γ Δκαι, κατά συνέπεια, έχουμε την εικόνα ενός πρίσματος, οι βάσεις του οποίου είναι ίσα τετράγωνα και οι υπόλοιπες όψεις είναι παραλληλόγραμμα.

Εάν χρειάζεται να απεικονίσετε ένα ευθύ πρίσμα, οι βάσεις του οποίου είναι τετράγωνα, τότε μπορείτε να δείξετε ότι οι πλευρικές άκρες αυτού του πρίσματος είναι κάθετες στη βάση, όπως γίνεται στο Σχ. 24.19, σι.

Επιπλέον, το σχέδιο στο Σχ. 24.19, σιμπορεί να θεωρηθεί μια εικόνα ενός κανονικού πρίσματος, αφού η βάση του είναι ένα τετράγωνο - ένα κανονικό τετράπλευρο, και επίσης ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, αφού όλες οι όψεις του είναι ορθογώνια.

Ας μάθουμε τώρα πώς να απεικονίσουμε μια πυραμίδα σε ένα αεροπλάνο.

Για να απεικονίσετε μια κανονική πυραμίδα, σχεδιάστε πρώτα ένα κανονικό πολύγωνο που βρίσκεται στη βάση και το κέντρο του είναι ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.Στη συνέχεια σχεδιάστε ένα κατακόρυφο τμήμα OSπου απεικονίζει το ύψος της πυραμίδας. Σημειώστε ότι η κατακόρυφη θέση του τμήματος OSπαρέχει μεγαλύτερη ευκρίνεια του σχεδίου. Τέλος, το σημείο S συνδέεται με όλες τις κορυφές της βάσης.

Ας απεικονίσουμε, για παράδειγμα, μια κανονική πυραμίδα, η βάση της οποίας είναι ένα κανονικό εξάγωνο.

Για να απεικονίσετε σωστά ένα κανονικό εξάγωνο κατά την παράλληλη σχεδίαση, πρέπει να δώσετε προσοχή στα ακόλουθα. Έστω ABCDEF ένα κανονικό εξάγωνο. Τότε το ALLF είναι ένα ορθογώνιο (Εικ. 24.20) και, επομένως, κατά τον παράλληλο σχεδιασμό θα απεικονίζεται ως ένα αυθαίρετο παραλληλόγραμμο B"C"E"F". Δεδομένου ότι η διαγώνιος AD διέρχεται από το σημείο O - το κέντρο του πολυγώνου ABCDEF και είναι παράλληλη με τα τμήματα. BC και EF και AO = OD, τότε με παράλληλη σχεδίαση θα αντιπροσωπεύεται από ένα αυθαίρετο τμήμα A "D" , περνώντας από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ"παράλληλο ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ"Και E"F"και επιπλέον, Α"Ο" = Ο"Δ".

Έτσι, η ακολουθία κατασκευής της βάσης μιας εξαγωνικής πυραμίδας είναι η εξής (Εικ. 24.21):

§ απεικονίζουν ένα αυθαίρετο παραλληλόγραμμο B"C"E"F"και οι διαγώνιες του? σημειώστε το σημείο τομής τους Ο";

§ μέσα από ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ"σχεδιάστε μια ευθεία παράλληλη V'S"(ή E"F');

§ επιλέξτε ένα αυθαίρετο σημείο στην κατασκευασμένη γραμμή ΕΝΑ"και σημειώστε το σημείο ΡΕ"τέτοια που Ο"Δ" = Α"Ο"και συνδέστε την τελεία ΕΝΑ"με τελείες ΣΕ"Και φά", και το σημείο Δ" - μεαποσιωπητικά ΜΕ"Και ΜΙ".

Για να ολοκληρώσετε την κατασκευή της πυραμίδας, σχεδιάστε ένα κατακόρυφο τμήμα OS(το μήκος του επιλέγεται αυθαίρετα) και συνδέστε το σημείο S σε όλες τις κορυφές της βάσης.

Σε παράλληλη προβολή, η μπάλα απεικονίζεται ως κύκλος της ίδιας ακτίνας. Για να κάνετε την εικόνα της μπάλας πιο οπτική, σχεδιάστε μια προβολή κάποιου μεγάλου κύκλου, το επίπεδο του οποίου δεν είναι κάθετο στο επίπεδο προβολής. Αυτή η προβολή θα είναι έλλειψη. Το κέντρο της μπάλας θα αντιπροσωπεύεται από το κέντρο αυτής της έλλειψης (Εικ. 24.22). Τώρα μπορούμε να βρούμε τους αντίστοιχους πόλους Νκαι S, με την προϋπόθεση ότι το τμήμα που τα συνδέει είναι κάθετο στο ισημερινό επίπεδο. Για να γίνει αυτό, μέσα από το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕσχεδιάστε μια ευθεία κάθετη ΑΒκαι σημειώστε το σημείο C - την τομή αυτής της γραμμής με την έλλειψη. τότε μέσω του σημείου Γ σχεδιάζουμε μια εφαπτομένη στην έλλειψη που αντιπροσωπεύει τον ισημερινό. Έχει αποδειχθεί ότι η απόσταση ΕΚίση με την απόσταση από το κέντρο της μπάλας σε κάθε έναν από τους πόλους. Επομένως, αφήνοντας στην άκρη τα τμήματα ΕΠΙΚαι OSίσος ΕΚ,παίρνουμε τους πόλους Ν και Σ.

Ας εξετάσουμε μια από τις τεχνικές κατασκευής μιας έλλειψης (βασίζεται σε μετασχηματισμό του επιπέδου, που ονομάζεται συμπίεση): κατασκευάστε έναν κύκλο με διάμετρο και σχεδιάστε χορδές κάθετες στη διάμετρο (Εικ. 24.23). Το μισό από κάθε χορδή χωρίζεται στη μέση και τα σημεία που προκύπτουν συνδέονται με μια ομαλή καμπύλη. Αυτή η καμπύλη είναι μια έλλειψη της οποίας ο κύριος άξονας είναι το τμήμα AB,και το κέντρο είναι ένα σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ.

Αυτή η τεχνική μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απεικόνιση ενός ευθύγραμμου κυκλικού κυλίνδρου (Εικ. 24.24) και ενός ευθύγραμμου κυκλικού κώνου (Εικ. 24.25) σε ένα επίπεδο.

Ένας ευθύς κυκλικός κώνος απεικονίζεται έτσι. Πρώτα, χτίζουν μια έλλειψη - τη βάση, μετά βρίσκουν το κέντρο της βάσης - το σημείο ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕκαι σχεδιάστε ένα ευθύγραμμο τμήμα κάθετα OSπου αντιπροσωπεύει το ύψος του κώνου. Από το σημείο S, οι εφαπτομένες σχεδιάζονται στην έλλειψη (αυτό γίνεται "με το μάτι", εφαρμόζοντας έναν χάρακα) και επιλέγονται τμήματα SCΚαι SDαυτές οι ευθείες γραμμές από το σημείο S έως τα σημεία εφαπτομένης Γ και Δ.Σημειώστε ότι το τμήμα CDδεν συμπίπτει με τη διάμετρο της βάσης του κώνου.

"Τύποι πολύεδρων" - Κανονικά αστρικά πολύεδρα. Δωδεκάεδρος. Μικρό αστρικό δωδεκάεδρο. Πολύεδρα. Εξάεδρο. Στερεά του Πλάτωνα. Πρισματοειδές. Πυραμίδα. Εικοσάεδρο. Οκτάεδρο. Ένα σώμα που περιορίζεται από έναν πεπερασμένο αριθμό επιπέδων. Αστρικό οκτάεδρο. Δύο πρόσωπα. Νόμος της αμοιβαιότητας. Μαθηματικός. Τετράεδρο.

«Πολύεδρο γεωμετρικού σώματος» - Πολύεδρο. Πρίσματα. Η ύπαρξη ασύγκριτων ποσοτήτων. Πουανκαρέ. Ακρη. Μέτρηση όγκου. Πρόσωπα παραλληλεπίπεδου. Ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Βλέπουμε συχνά μια πυραμίδα στο δρόμο. Πολύεδρο. Ενδιαφέροντα γεγονότα. Αλεξανδρινός φάρος. Γεωμετρικά σχήματα. Απόσταση μεταξύ αεροπλάνων. Μέμφις.

"Cascades of polyhedra" - Η άκρη ενός κύβου. Οκτάεδρο άκρο. Κύβος και δωδεκάεδρος. Μοναδικό τετράεδρο. Δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο. Δωδεκάεδρο και τετράεδρο. Οκτάεδρο και εικοσάεδρο. Πολύεδρο. Κανονικό πολύεδρο. Οκτάεδρο και δωδεκάεδρο. Εικοσάεδρο και οκτάεδρο. Μοναδικό εικοσάεδρο. Τετράεδρο και εικοσάεδρο. Μοναδικό δωδεκάεδρο. Οκτάεδρο και τετράεδρο. Κύβος και τετράεδρο.

«Πολύεδρα» στερεομετρία» - Πολύεδρα στην αρχιτεκτονική. Τμήμα πολύεδρων. Δώστε ένα όνομα στο πολύεδρο. Μεγάλη Πυραμίδα της Γκίζας. Πλατωνικά στερεά. Διορθώστε τη λογική αλυσίδα. Πολύεδρο. Ιστορική αναφορά. Η ωραιότερη ώρα των πολυεδρών. Επίλυση προβλήματος. Στόχοι μαθήματος. «Παίζοντας με τους θεατές» Αντιστοιχούν τα γεωμετρικά σχήματα και τα ονόματά τους;

«Αστρικές μορφές πολύεδρων» - Μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο. Το πολύεδρο που φαίνεται στο σχήμα. Αστέρια πολύεδρα. Πλαϊνά πλευρά. Αστρικά κυβοκτάεδρα. Αστρικό κολοβό εικοσάεδρο. Ένα πολύεδρο που λαμβάνεται με την περικοπή ενός αστεριού κολοβωμένου εικοσάεδρου. Κορυφές του μεγάλου αστεριού δωδεκάεδρου. Αστρικά εικοσάεδρα. Μεγάλο δωδεκάεδρο.

«Τμήμα πολυέδρου κατά επίπεδο» - Τομή πολύεδρων. Πολύγωνα. Τα κοψίματα σχημάτιζαν ένα πεντάγωνο. Ίχνη του αεροπλάνου κοπής. Ενότητα. Ας βρούμε το σημείο τομής των ευθειών. Επίπεδο. Κατασκευάστε μια διατομή ενός κύβου. Κατασκευάστε μια διατομή του πρίσματος. Βρίσκουμε το νόημα. Πρίσμα. Μέθοδοι κατασκευής τομών. Το εξάγωνο που προκύπτει. Τομή ενός κύβου. Αξιωματική μέθοδος.

Υπάρχουν 29 παρουσιάσεις συνολικά

Γεωμετρικά σώματα

Εισαγωγή

Στη στερεομετρία μελετώνται φιγούρες στο χώρο, που ονομάζονται γεωμετρικά σώματα.

Τα αντικείμενα γύρω μας μας δίνουν μια ιδέα για τα γεωμετρικά σώματα. Σε αντίθεση με τα πραγματικά αντικείμενα, τα γεωμετρικά σώματα είναι φανταστικά αντικείμενα. Σαφώς γεωμετρικό σώμαπρέπει να το φανταστεί κανείς ως ένα μέρος του χώρου που καταλαμβάνεται από ύλη (πηλός, ξύλο, μέταλλο, ...) και περιορίζεται από μια επιφάνεια.

Όλα τα γεωμετρικά σώματα χωρίζονται σε πολύεδραΚαι στρογγυλά σώματα.

Πολύεδρα

Πολύεδροείναι ένα γεωμετρικό σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό επίπεδων πολυγώνων.

Ακραπολύεδρο, λέγονται τα πολύγωνα που αποτελούν την επιφάνειά του.

Παϊδάκιαενός πολύεδρου, λέγονται οι πλευρές των όψεων του πολύεδρου.

Κορυφέςενός πολυέδρου λέγονται οι κορυφές των όψεων του πολυέδρου.

Τα πολύεδρα χωρίζονται σε κυρτόςΚαι μη κυρτό.

Το πολύεδρο ονομάζεται κυρτός, εάν βρίσκεται εξ ολοκλήρου στη μία πλευρά οποιουδήποτε προσώπου του.

Ασκηση. Προσδιορίζω άκρα, παϊδάκιαΚαι κορυφέςκύβος που φαίνεται στο σχήμα.

Τα κυρτά πολύεδρα χωρίζονται σε πρίσματαΚαι πυραμίδες.

Πρίσμα

Πρίσμαείναι ένα πολύεδρο με δύο ίσες και παράλληλες όψεις
n-gons, και τα υπόλοιπα nτα πρόσωπα είναι παραλληλόγραμμα.

Δύο n-gons λέγονται βάσεις πρίσματος, παραλληλόγραμμα – πλαϊνά πρόσωπα. Οι πλευρές των πλευρικών όψεων και βάσεων ονομάζονται νευρώσεις πρίσματος, τα άκρα των άκρων λέγονται τις κορυφές του πρίσματος. Οι πλευρικές ακμές είναι άκρες που δεν ανήκουν στις βάσεις.

Τα πολύγωνα A 1 A 2 ...A n και B 1 B 2 ...B n είναι οι βάσεις του πρίσματος.

Παραλληλόγραμμα A 1 A 2 B 2 B 1, ... - πλευρικές όψεις.

Ιδιότητες πρίσματος:

· Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες και παράλληλες.

· Οι πλευρικές ακμές του πρίσματος είναι ίσες και παράλληλες.

Διαγώνιος πρίσματοςονομάζεται τμήμα που συνδέει δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.

Ύψος πρίσματοςονομάζεται κάθετη που πέφτει από ένα σημείο της άνω βάσης στο επίπεδο της κάτω βάσης.

Ένα πρίσμα ονομάζεται 3-γωνικό, 4-γωνικό, ..., n-κάρβουνο, αν η βάση του
3-gons, 4-gons, ..., n-γκόνς.

Άμεσο πρίσμαονομάζεται πρίσμα του οποίου οι πλευρικές νευρώσεις είναι κάθετες στις βάσεις. Οι πλευρικές όψεις ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ορθογώνια.

Κεκλιμένο πρίσμαονομάζεται πρίσμα που δεν είναι ευθύ. Οι πλευρικές όψεις ενός κεκλιμένου πρίσματος είναι παραλληλόγραμμες.

Με το σωστό πρίσμαπου ονομάζεται ευθείαένα πρίσμα με κανονικά πολύγωνα στη βάση του.

Περιοχή πλήρη επιφάνειαπρίσματαονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεών του.

Περιοχή πλευρική επιφάνειαπρίσματαονομάζεται το άθροισμα των εμβαδών των πλευρικών του όψεων.

μικρόγεμάτος = μικρόπλευρά + 2 μικρόβασικός

Πολύεδρο

• Πολύεδρο- αυτό είναι ένα σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό επίπεδων πολυγώνων.

Το πολύεδρο ονομάζεται κυρτός

• Το πολύεδρο ονομάζεται κυρτός ,αν βρίσκεται στη μία πλευρά κάθε επίπεδου πολυγώνου στην επιφάνειά του.

• Ευκλείδης (πιθανώς 330-277 π.Χ.) - μαθηματικός της Αλεξανδρινής σχολής της Αρχαίας Ελλάδας, συγγραφέας της πρώτης πραγματείας για τα μαθηματικά που έχει φτάσει σε εμάς, «Στοιχεία» (σε 15 βιβλία)

πλαϊνά πρόσωπα.

• Ένα πρίσμα είναι ένα πολύεδρο, το οποίο αποτελείται από δύο επίπεδα πολύγωνα που βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα και συνδυάζονται με παράλληλη μετάφραση, και όλα τα τμήματα που συνδέουν τα αντίστοιχα σημεία αυτών των πολυγώνων.Τα πολύγωνα Ф και Ф1 που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα ονομάζονται βάσεις πρίσματος και οι υπόλοιπες όψεις ονομάζονται πλαϊνά πρόσωπα.

• Η επιφάνεια του πρίσματος λοιπόν αποτελείται από δύο ίσα πολύγωνα (βάσεις) και παραλληλόγραμμα (πλευρικές όψεις). Υπάρχουν πρίσματα τριγωνικά, τετράγωνα, πενταγωνικά κ.λπ. ανάλογα με τον αριθμό των κορυφών της βάσης.

• Αν η πλευρική ακμή ενός πρίσματος είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης του, τότε ένα τέτοιο πρίσμα ονομάζεται ευθεία ; αν η πλευρική ακμή του πρίσματος δεν είναι κάθετη στο επίπεδο της βάσης του, τότε ένα τέτοιο πρίσμα λέγεται κεκλιμένος . Ένα ευθύ πρίσμα έχει ορθογώνιες πλευρικές όψεις.

Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες.

• Οι βάσεις του πρίσματος είναι ίσες.

• Οι βάσεις ενός πρίσματος βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα.

• Οι πλευρικές ακμές ενός πρίσματος είναι παράλληλες και ίσες.

• Το ύψος ενός πρίσματος είναι η απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων του.

• Αποδεικνύεται ότι ένα πρίσμα μπορεί να είναι όχι μόνο ένα γεωμετρικό σώμα, αλλά και ένα καλλιτεχνικό αριστούργημα.Ήταν το πρίσμα που έγινε η βάση για τους πίνακες των Πικάσο, Μπρακ, Γκρις κ.λπ.

• Αποδεικνύεται ότι μια νιφάδα χιονιού μπορεί να πάρει το σχήμα ενός εξαγωνικού πρίσματος, αλλά αυτό θα εξαρτηθεί από τη θερμοκρασία του αέρα.

• Τον 3ο αιώνα π.Χ. μι. κατασκευάστηκε ένας φάρος για να μπορούν τα πλοία να περνούν με ασφάλεια τους υφάλους στο δρόμο τους προς τον κόλπο της Αλεξάνδρειας. Το βράδυ τους βοηθούσε σε αυτό η αντανάκλαση των φλόγων και τη μέρα μια στήλη καπνού. Ήταν ο πρώτος φάρος στον κόσμο και στάθηκε για 1.500 χρόνια.

• Ο φάρος χτίστηκε στο μικρό νησί του Φάρου στη Μεσόγειο Θάλασσα, στα ανοιχτά της Αλεξάνδρειας. Χρειάστηκαν 20 χρόνια για να κατασκευαστεί και ολοκληρώθηκε γύρω στο 280 π.Χ.

• Τον 14ο αιώνα ο φάρος καταστράφηκε από σεισμό. Τα συντρίμμια του χρησιμοποιήθηκαν για την κατασκευή ενός στρατιωτικού οχυρού. Το φρούριο έχει ξαναχτιστεί αρκετές φορές και εξακολουθεί να βρίσκεται στη θέση του πρώτου φάρου στον κόσμο.

Ο Μαύσωλος ήταν ηγεμόνας της Καρίας. Πρωτεύουσα της περιοχής ήταν η Αλικαρνασσός. Ο Μαύσωλος παντρεύτηκε την αδερφή του Αρτεμισία. Αποφάσισε να φτιάξει έναν τάφο για τον εαυτό του και τη βασίλισσά του. Ο Μαβσόλ ονειρευόταν ένα μεγαλοπρεπές μνημείο που θα θύμιζε στον κόσμο τον πλούτο και τη δύναμή του. Πέθανε πριν ολοκληρωθούν οι εργασίες στον τάφο. Η Αρτεμισία συνέχισε να ηγείται της κατασκευής. Ο τάφος χτίστηκε το 350 π.Χ. μι. Ονομάστηκε Μαυσωλείο από τον βασιλιά.

Οι στάχτες του βασιλικού ζεύγους φυλάσσονταν σε χρυσές τεφροδόχους σε έναν τάφο στη βάση του κτιρίου. Μια σειρά από πέτρινα λιοντάρια φύλαγαν αυτό το δωμάτιο. Η ίδια η κατασκευή έμοιαζε με ελληνικό ναό, που περιβάλλεται από κολώνες και αγάλματα. Στην κορυφή του κτιρίου υπήρχε μια βαθμιδωτή πυραμίδα. Σε ύψος 43 μ. πάνω από το έδαφος, στέφθηκε με ένα γλυπτό άρματος που το έσερναν άλογα. Πιθανότατα υπήρχαν αγάλματα του βασιλιά και της βασίλισσας πάνω του.

• Δεκαοκτώ αιώνες αργότερα, ένας σεισμός κατέστρεψε το Μαυσωλείο ολοσχερώς. Πέρασαν άλλα τριακόσια χρόνια πριν οι αρχαιολόγοι ξεκινήσουν τις ανασκαφές. Το 1857, όλα τα ευρήματα μεταφέρθηκαν στο Βρετανικό Μουσείο του Λονδίνου. Τώρα, στη θέση που ήταν κάποτε το Μαυσωλείο, έχουν απομείνει μόνο μια χούφτα πέτρες.

κρυστάλλους.

Δεν υπάρχουν μόνο γεωμετρικά σχήματα που δημιουργούνται από τα ανθρώπινα χέρια. Υπάρχουν πολλά από αυτά στην ίδια τη φύση. Η επίδραση στην εμφάνιση της επιφάνειας της γης φυσικών παραγόντων όπως ο άνεμος, το νερό, το φως του ήλιου είναι πολύ αυθόρμητη και χαοτική. Ωστόσο, οι αμμόλοφοι, βότσαλα στην παραλία, Ο κρατήρας ενός εξαφανισμένου ηφαιστείου, κατά κανόνα, έχει γεωμετρικά κανονικά σχήματα. Μερικές φορές βρίσκονται πέτρες στο έδαφος τέτοιου σχήματος, σαν κάποιος να τις είχε κόψει προσεκτικά, να τις λειώσει και να τις γυαλίσει. είναι - κρυστάλλους.

παραλληλεπίπεδο.

• Αν η βάση του πρίσματος είναι παραλληλόγραμμο, τότε λέγεται παραλληλεπίπεδο.

• Τα μοντέλα ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι:

• δροσερό δωμάτιο

• Αποδεικνύεται ότι οι κρύσταλλοι ασβεστίτη, ανεξάρτητα από το πόσο συνθλίβονται σε μικρότερα μέρη, πάντα διασπώνται σε θραύσματα σε σχήμα παραλληλεπίπεδου.

• Τα κτίρια της πόλης έχουν τις περισσότερες φορές το σχήμα των πολύεδρων. Κατά κανόνα, πρόκειται για συνηθισμένα παραλληλεπίπεδα. Και μόνο απροσδόκητες αρχιτεκτονικές λύσεις διακοσμούν πόλεις.

• 1. Είναι ένα πρίσμα κανονικό αν οι ακμές του είναι ίσες;

• α) ναι? γ) όχι. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

• 2. Το ύψος ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος είναι 6 εκ. Η πλευρά της βάσης είναι 4 εκ. Βρείτε τη συνολική επιφάνεια αυτού του πρίσματος.

• 3. Τα εμβαδά των δύο πλευρικών όψεων ενός κεκλιμένου τριγωνικού πρίσματος είναι 40 και 30 cm2. Η γωνία μεταξύ αυτών των όψεων είναι ευθεία. Βρείτε την πλευρική επιφάνεια του πρίσματος.

• 4. Στο παραλληλεπίπεδο ABCDA1B1C1D1 σχεδιάζονται οι τομές A1BC και CB1D1. Σε ποια αναλογία αυτά τα επίπεδα διαιρούν τη διαγώνιο AC1;

• 1) ένα τετράεδρο με 4 όψεις, 4 κορυφές, 6 άκρες.

• 2) κύβος - 6 όψεις, 8 κορυφές, 12 άκρες.

• 3) οκτάεδρο - 8 όψεις, 6 κορυφές, 12 άκρες.

• 4) δωδεκάεδρο - 12 όψεις, 20 κορυφές, 30 άκρες.

• 5) εικοσάεδρο - 20 όψεις, 12 κορυφές, 30 άκρες.

Ο Θαλής της Μιλήτου, ιδρυτής Ιόνιο Πυθαγόρας της Σάμου

Επιστήμονες και φιλόσοφοι της Αρχαίας Ελλάδας υιοθέτησαν και ξαναδούλεψαν τα επιτεύγματα του πολιτισμού και της επιστήμης της Αρχαίας Ανατολής. Ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Δημόκριτος, ο Εύδοξος και άλλοι ταξίδεψαν στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα για να σπουδάσουν μουσική, μαθηματικά και αστρονομία. Δεν είναι τυχαίο ότι οι απαρχές της ελληνικής γεωμετρικής επιστήμης συνδέονται με το όνομα Ο Θαλής της Μιλήτου, ιδρυτής Ιόνιοσχολεία. Οι Ίωνες, που κατοικούσαν στην περιοχή που συνόρευε με τις ανατολικές χώρες, ήταν οι πρώτοι που δανείστηκαν τη γνώση της Ανατολής και άρχισαν να την αναπτύσσουν. Οι επιστήμονες της Ιωνικής σχολής ήταν οι πρώτοι που υποβλήθηκαν σε λογική επεξεργασία και συστηματοποίησαν μαθηματικές πληροφορίες που δανείστηκαν από τους αρχαίους ανατολικούς λαούς, ιδιαίτερα από τους Βαβυλώνιους. Ο Πρόκλος και άλλοι ιστορικοί αποδίδουν πολλές γεωμετρικές ανακαλύψεις στον Θαλή, τον επικεφαλής αυτής της σχολής. Σχετικά με τη στάση Πυθαγόρας της Σάμουγια τη γεωμετρία, ο Πρόκλος γράφει τα εξής στο σχόλιό του στα Στοιχεία του Ευκλείδη: «Μελέτησε αυτήν την επιστήμη (δηλαδή τη γεωμετρία), ξεκινώντας από τα πρώτα θεμέλιά της, και προσπάθησε να αποκτήσει θεωρήματα χρησιμοποιώντας καθαρά λογική σκέψη». Ο Πρόκλος αποδίδει στον Πυθαγόρα, εκτός από το γνωστό θεώρημα για το τετράγωνο της υποτείνουσας, την κατασκευή πέντε κανονικών πολύεδρων:

Στερεά του Πλάτωνα

Στερεά του Πλάτωνα είναι κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα. Όλες οι πολυεδρικές γωνίες ενός κανονικού πολυέδρου είναι ίσες. Όπως προκύπτει από τον υπολογισμό του αθροίσματος των επίπεδων γωνιών σε μια κορυφή, δεν υπάρχουν περισσότερα από πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο που υποδεικνύεται παρακάτω, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κανονικά πολύεδρα (αυτό αποδείχθηκε από τον Ευκλείδη). Είναι κανονικό τετράεδρο, κύβος, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο και εικοσάεδρο.

Οκτάεδρο (Εικ. 3).

• Οκτάεδρο -οκτάεδρο; ένα σώμα που οριοθετείται από οκτώ τρίγωνα. Ένα κανονικό οκτάεδρο οριοθετείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα. (Εικ. 3).

• Δωδεκάεδρο -δωδεκάεδρο, ένα σώμα που οριοθετείται από δώδεκα πολύγωνα. κανονικό πεντάγωνο? ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα . (Εικ. 4).

• Εικοσάεδρο -είκοσι-έδρον, σώμα που οριοθετείται από είκοσι πολύγωνα. το κανονικό εικοσάεδρο περιορίζεται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύεδρα. (Εικ. 5).

Οι όψεις του δωδεκάεδρου είναι κανονικά πεντάγωνα. Οι διαγώνιοι ενός κανονικού πενταγώνου σχηματίζουν το λεγόμενο αστρικό πεντάγωνο - μια μορφή που χρησίμευσε ως έμβλημα, σήμα αναγνώρισης για τους μαθητές του Πυθαγόρα. Είναι γνωστό ότι η Πυθαγόρεια Συμμαχία ήταν ταυτόχρονα φιλοσοφική σχολή, πολιτικό κόμμα και θρησκευτική αδελφότητα. Σύμφωνα με το μύθο, ένας Πυθαγόρειος αρρώστησε σε μια ξένη χώρα και δεν μπορούσε να πληρώσει τον ιδιοκτήτη του σπιτιού που τον φρόντιζε πριν από το θάνατό του. Ο τελευταίος ζωγράφισε στον τοίχο του σπιτιού του ένα πεντάγωνο σε σχήμα αστεριού. Βλέποντας αυτό το σημάδι λίγα χρόνια αργότερα, ένας άλλος περιπλανώμενος Πυθαγόρειος ρώτησε τι είχε συμβεί από τον ιδιοκτήτη και τον αντάμειψε γενναιόδωρα.

• Δεν έχουν διατηρηθεί αξιόπιστες πληροφορίες για τη ζωή και τις επιστημονικές δραστηριότητες του Πυθαγόρα. Του πιστώνεται η δημιουργία του δόγματος της ομοιότητας των μορφών. Ήταν πιθανώς από τους πρώτους επιστήμονες που θεώρησαν τη γεωμετρία όχι ως πρακτική και εφαρμοσμένη επιστήμη, αλλά ως μια αφηρημένη λογική επιστήμη.

Η σχολή του Πυθαγόρα ανακάλυψε την ύπαρξη ασύμμετρων μεγεθών, δηλαδή αυτών των οποίων η σχέση δεν μπορεί να εκφραστεί με κανέναν ακέραιο ή κλασματικό αριθμό. Ένα παράδειγμα είναι ο λόγος του μήκους της διαγωνίου ενός τετραγώνου προς το μήκος της πλευράς του, ίσος με C2. Αυτός ο αριθμός δεν είναι ρητός (δηλ. ακέραιος ή λόγος δύο ακεραίων) και ονομάζεται παράλογος, δηλ. παράλογος (από τη λατινική αναλογία - στάση).

Τετράεδρο (Εικ. 1).

• Τετράεδρο -τετράεδρο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τρίγωνα, δηλ. τριγωνική πυραμίδα? Ένα κανονικό τετράεδρο οριοθετείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. (Εικ. 1).

• Κύβος ή κανονικό εξάεδρο (Εικ. 2).

Τετράεδρο -τετράεδρο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τρίγωνα, δηλ. τριγωνική πυραμίδα? Ένα κανονικό τετράεδρο οριοθετείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. (Εικ. 1).

• Τετράεδρο -τετράεδρο, του οποίου όλες οι όψεις είναι τρίγωνα, δηλ. τριγωνική πυραμίδα? Ένα κανονικό τετράεδρο οριοθετείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. ένα από τα πέντε κανονικά πολύγωνα. (Εικ. 1).

• Κύβος ή κανονικό εξάεδρο - ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα με ίσες ακμές, που περιορίζεται από έξι τετράγωνα. (Εικ. 2).

Πυραμίδα

• Πυραμίδα- ένα πολύεδρο, το οποίο αποτελείται από ένα επίπεδο πολύγωνο - τη βάση της πυραμίδας, τα σημεία που δεν βρίσκονται στο επίπεδο της κορυφής της βάσης της πυραμίδας και όλα τα τμήματα που συνδέουν την κορυφή της πυραμίδας με τα σημεία της βάσης

Η εικόνα δείχνει μια πενταγωνική πυραμίδα SABCDEκαι την ανάπτυξή του. Τα τρίγωνα που έχουν κοινή κορυφή ονομάζονται πλαϊνά πρόσωπαπυραμίδες? κοινή κορυφή των πλευρικών όψεων - μπλουζαπυραμίδες? ένα πολύγωνο στο οποίο δεν ανήκει αυτή η κορυφή είναι βάσηπυραμίδες? οι άκρες της πυραμίδας συγκλίνουν στην κορυφή της - πλευρικές νευρώσειςπυραμίδες. ΥψοςΗ πυραμίδα είναι ένα κάθετο τμήμα που τραβιέται μέσω της κορυφής του στο επίπεδο βάσης, με άκρα στην κορυφή και στο επίπεδο βάσης της πυραμίδας. Στο σχήμα υπάρχει ένα τμήμα ΕΤΣΙ- ύψος της πυραμίδας.

• Ορισμός . Μια πυραμίδα της οποίας η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο και της οποίας η κορυφή προβάλλεται στο κέντρο της ονομάζεται κανονική.

• Το σχήμα δείχνει μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα.

Οι όγκοι των σιταποθηκών και άλλων κατασκευών με τη μορφή κύβων, πρισμάτων και κυλίνδρων υπολογίστηκαν από τους Αιγύπτιους και τους Βαβυλώνιους, τους Κινέζους και τους Ινδούς πολλαπλασιάζοντας την περιοχή βάσης με το ύψος. Ωστόσο, η αρχαία Ανατολή γνώριζε κυρίως μόνο ορισμένους κανόνες, που βρέθηκαν πειραματικά, οι οποίοι χρησιμοποιήθηκαν για την εύρεση όγκων για τις περιοχές των μορφών. Σε μεταγενέστερο χρόνο, όταν η γεωμετρία διαμορφώθηκε ως επιστήμη, βρέθηκε μια γενική προσέγγιση για τον υπολογισμό των όγκων των πολυέδρων.

• Από τους αξιόλογους Έλληνες επιστήμονες του V - IV αιώνα. π.Χ., οι οποίοι ανέπτυξαν τη θεωρία των όγκων ήταν ο Δημόκριτος από τα Άβδηρα και ο Εύδοξος ο Κνίδιος.

• Ο Ευκλείδης δεν χρησιμοποιεί τον όρο «όγκος». Για αυτόν, ο όρος "κύβος", για παράδειγμα, σημαίνει επίσης τον όγκο ενός κύβου. Στο XI βιβλίο των «Αρχών» παρουσιάζονται μεταξύ άλλων τα ακόλουθα θεωρήματα.

• 1. Τα παραλληλεπίπεδα με ίσα ύψη και ίσες βάσεις είναι ίσα σε μέγεθος.

• 2. Ο λόγος των όγκων δύο παραλληλεπιπέδων με ίσα ύψη είναι ίσος με τον λόγο των εμβαδών των βάσεων τους.

• 3. Σε παραλληλεπίπεδα ίσου εμβαδού τα εμβαδά των βάσεων είναι αντιστρόφως ανάλογα με τα ύψη.

• Τα θεωρήματα του Ευκλείδη αφορούν μόνο τη σύγκριση όγκων, αφού ο Ευκλείδης πιθανώς θεώρησε ότι ο άμεσος υπολογισμός των όγκων των σωμάτων ήταν θέμα πρακτικών εγχειριδίων στη γεωμετρία. Στα εφαρμοσμένα έργα του Ήρωνα της Αλεξάνδρειας υπάρχουν κανόνες για τον υπολογισμό του όγκου ενός κύβου, πρίσματος, παραλληλεπίπεδου και άλλων χωρικών μορφών.

• Ένα πρίσμα του οποίου η βάση είναι ένα παραλληλόγραμμο ονομάζεται παραλληλεπίπεδο.

• Σύμφωνα με τον ορισμό ένα παραλληλεπίπεδο είναι ένα τετράγωνο πρίσμα, του οποίου όλες οι όψεις είναι παραλληλόγραμμα. Τα παραλληλεπίπεδα, όπως και τα πρίσματα, μπορούν να είναι ευθείαΚαι κεκλιμένος. Το σχήμα 1 δείχνει ένα κεκλιμένο παραλληλεπίπεδο και το σχήμα 2 δείχνει ένα ευθύ παραλληλεπίπεδο.

• Ονομάζεται ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου η βάση είναι ορθογώνιο ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο. Όλες οι όψεις ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου είναι ορθογώνια. Τα μοντέλα ενός ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου είναι μια τάξη, ένα τούβλο και ένα σπιρτόκουτο.

• Τα μήκη των τριών άκρων ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου που έχει κοινό άκρο ονομάζονται Μετρήσεις. Για παράδειγμα, υπάρχουν σπιρτόκουτα με διαστάσεις 15, 35, 50 mm. Ο κύβος είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ίσες διαστάσεις. Και οι έξι όψεις του κύβου είναι ίσα τετράγωνα.

• Ας εξετάσουμε μερικές ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου.

• Θεώρημα. Το παραλληλεπίπεδο είναι συμμετρικό περίπου στο μέσο της διαγωνίου του.

• Προκύπτει άμεσα από το θεώρημα σημαντικές ιδιότητες ενός παραλληλεπίπεδου:

• 1. Οποιοδήποτε τμήμα με άκρα που ανήκουν στην επιφάνεια του παραλληλεπίπεδου και διέρχεται από το μέσο της διαγωνίου του διαιρείται στο μισό από αυτό. Συγκεκριμένα, όλες οι διαγώνιοι ενός παραλληλεπιπέδου τέμνονται σε ένα σημείο και διχοτομούνται από αυτό. 2. Οι απέναντι όψεις ενός παραλληλεπιπέδου είναι παράλληλες και ίσες

Εισαγωγή

Μια επιφάνεια που αποτελείται από πολύγωνα και οριοθετεί κάποιο γεωμετρικό σώμα ονομάζεται πολυεδρική επιφάνεια ή πολύεδρο.

Ένα πολύεδρο είναι ένα οριοθετημένο σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων. Τα πολύγωνα που συνέδεαν ένα πολύεδρο ονομάζονται όψεις και οι γραμμές τομής των όψεων ονομάζονται ακμές.

Τα πολύεδρα μπορεί να έχουν ποικίλη και πολύ περίπλοκη δομή. Διάφορες κατασκευές, όπως σπίτια που χτίζονται με τούβλα και τσιμεντόλιθους, είναι παραδείγματα πολύεδρων. Άλλα παραδείγματα μπορούν να βρεθούν ανάμεσα στα έπιπλα, όπως ένα τραπέζι. Στη χημεία, το σχήμα των μορίων υδρογονάνθρακα είναι ένα τετράεδρο, ένα κανονικό εικοσάεδρο, ένας κύβος. Στη φυσική, οι κρύσταλλοι χρησιμεύουν ως παραδείγματα πολύεδρων.

Από την αρχαιότητα, οι ιδέες για την ομορφιά έχουν συνδεθεί με τη συμμετρία. Αυτό πιθανώς εξηγεί το ενδιαφέρον των ανθρώπων για τα πολύεδρα - εκπληκτικά σύμβολα συμμετρίας που τράβηξαν την προσοχή εξαιρετικών στοχαστών που έμειναν έκπληκτοι από την ομορφιά, την τελειότητα και την αρμονία αυτών των μορφών.

Οι πρώτες αναφορές των πολύεδρων είναι γνωστές τρεις χιλιάδες χρόνια π.Χ. στην Αίγυπτο και τη Βαβυλώνα. Αρκεί να θυμηθούμε τις περίφημες αιγυπτιακές πυραμίδες και την πιο διάσημη από αυτές, την Πυραμίδα του Χέοπα. Πρόκειται για μια κανονική πυραμίδα, στη βάση της οποίας βρίσκεται ένα τετράγωνο με πλευρά 233 μ και το ύψος της φτάνει τα 146,5 μ. Δεν είναι τυχαίο που λένε ότι η Πυραμίδα του Χέοπα είναι μια σιωπηλή πραγματεία για τη γεωμετρία.

Η ιστορία των κανονικών πολύεδρων ανάγεται στην αρχαιότητα. Ξεκινώντας από τον 7ο αιώνα π.Χ., στην Αρχαία Ελλάδα δημιουργήθηκαν φιλοσοφικές σχολές, στις οποίες σημειώθηκε σταδιακή μετάβαση από την πρακτική στη φιλοσοφική γεωμετρία. Η συλλογιστική με τη βοήθεια της οποίας κατέστη δυνατή η απόκτηση νέων γεωμετρικών ιδιοτήτων απέκτησε μεγάλη σημασία σε αυτές τις σχολές.

Μια από τις πρώτες και πιο γνωστές σχολές ήταν η Πυθαγόρεια σχολή, που πήρε το όνομά της από τον ιδρυτή της Πυθαγόρα. Το χαρακτηριστικό σημάδι των Πυθαγορείων ήταν το πεντάγραμμο, στη γλώσσα των μαθηματικών είναι ένα κανονικό μη κυρτό ή σε σχήμα αστεριού πεντάγωνο. Στο πεντάγραμμο ανατέθηκε η ικανότητα να προστατεύει ένα άτομο από τα κακά πνεύματα.

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι η ύλη αποτελείται από τέσσερα βασικά στοιχεία: φωτιά, γη, αέρα και νερό. Απέδωσαν την ύπαρξη πέντε κανονικών πολύεδρων στη δομή της ύλης και του Σύμπαντος. Σύμφωνα με αυτή τη γνώμη, τα άτομα των κύριων στοιχείων πρέπει να έχουν τη μορφή διαφορετικών σωμάτων:

§ Το Σύμπαν είναι ένα δωδεκάεδρο

§ Γη - κύβος

§ Φωτιά - τετράεδρο

§ Νερό – εικοσάεδρο

§ Αέρα - οκτάεδρο

Αργότερα, η διδασκαλία των Πυθαγορείων για τα κανονικά πολύεδρα σκιαγραφήθηκε στα έργα του από έναν άλλο αρχαίο Έλληνα επιστήμονα, τον ιδεαλιστή φιλόσοφο Πλάτωνα. Από τότε, τα κανονικά πολύεδρα έγιναν γνωστά ως πλατωνικά στερεά.

Τα πλατωνικά στερεά είναι κανονικά ομοιογενή κυρτά πολύεδρα, δηλαδή κυρτά πολύεδρα, των οποίων όλες οι όψεις και γωνίες είναι ίσες και οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα. Ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνει σε κάθε κορυφή ενός κανονικού πολυέδρου. Όλες οι δίεδρες γωνίες στα άκρα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες στις κορυφές ενός κανονικού πολυγώνου είναι ίσες. Τα πλατωνικά στερεά είναι ένα τρισδιάστατο ανάλογο επίπεδων κανονικών πολυγώνων.

Η θεωρία των πολυεδρών είναι ένας σύγχρονος κλάδος των μαθηματικών. Σχετίζεται στενά με την τοπολογία, τη θεωρία γραφημάτων και έχει μεγάλη σημασία τόσο για τη θεωρητική έρευνα στη γεωμετρία όσο και για πρακτικές εφαρμογές σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, για παράδειγμα, άλγεβρα, θεωρία αριθμών, εφαρμοσμένα μαθηματικά - γραμμικός προγραμματισμός, θεωρία βέλτιστου ελέγχου. Επομένως, αυτό το θέμα είναι σχετικό και η γνώση σχετικά με αυτό το θέμα είναι σημαντική για τη σύγχρονη κοινωνία.

Κύριο μέρος

Ένα πολύεδρο είναι ένα οριοθετημένο σώμα του οποίου η επιφάνεια αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό πολυγώνων.

Ας δώσουμε έναν ορισμό του πολυέδρου που είναι ισοδύναμος με τον πρώτο ορισμό του πολυέδρου.

Πολύεδρο – Αυτό είναι ένα σχήμα που είναι η ένωση ενός πεπερασμένου αριθμού τετραέδρων για τα οποία πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

1) κάθε δύο τετράεδρα δεν έχουν κοινά σημεία ή έχουν κοινή κορυφή ή μόνο κοινή άκρη ή ολόκληρη κοινή όψη.

2) από κάθε τετράεδρο στο άλλο μπορείτε να πάτε κατά μήκος μιας αλυσίδας τετραέδρων, στην οποία κάθε επόμενο είναι δίπλα στο προηγούμενο κατά μήκος μιας ολόκληρης όψης.

Πολυεδρικά στοιχεία

Η όψη ενός πολυέδρου είναι ένα ορισμένο πολύγωνο (ένα πολύγωνο είναι μια περιορισμένη κλειστή περιοχή της οποίας το όριο αποτελείται από έναν πεπερασμένο αριθμό τμημάτων).

Οι πλευρές των όψεων ονομάζονται άκρες του πολυέδρου και οι κορυφές των όψεων ονομάζονται κορυφές του πολυέδρου. Τα στοιχεία ενός πολυέδρου, εκτός από τις κορυφές, τις ακμές και τις όψεις του, περιλαμβάνουν επίσης τις επίπεδες γωνίες των όψεών του και τις δίεδρες γωνίες στις άκρες του. Η διεδρική γωνία σε μια άκρη ενός πολύεδρου καθορίζεται από τις όψεις του που πλησιάζουν αυτή την άκρη.

Ταξινόμηση πολύεδρων

Κυρτό πολύεδρο -είναι ένα πολύεδρο, του οποίου οποιαδήποτε δύο σημεία μπορούν να συνδεθούν με ένα τμήμα. Τα κυρτά πολύεδρα έχουν πολλές αξιοσημείωτες ιδιότητες.

Θεώρημα Euler.Για κάθε κυρτό πολύεδρο V-R+G=2,

Οπου ΣΕ – τον ​​αριθμό των κορυφών του, R - τον αριθμό των πλευρών του, σολ - τον αριθμό των προσώπων του.

Θεώρημα Cauchy.Δύο κλειστά κυρτά πολύεδρα, που αποτελούνται πανομοιότυπα από αντίστοιχα ίσες όψεις, είναι ίσα.

Ένα κυρτό πολύεδρο θεωρείται κανονικό εάν όλες οι όψεις του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και ο ίδιος αριθμός ακμών συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του.

Κανονικό πολύεδρο

Ένα πολύεδρο ονομάζεται κανονικό εάν, πρώτον, είναι κυρτό, δεύτερον, όλες οι όψεις του είναι ίσα κανονικά πολύγωνα, τρίτον, ο ίδιος αριθμός όψεων συναντάται σε κάθε κορυφή του και, τέταρτον, όλες οι δίεδρες γωνίες του είναι ίσες.

Υπάρχουν πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα - το τετράεδρο, το οκτάεδρο και το εικοσάεδρο με τριγωνικές όψεις, ο κύβος (εξάεδρο) με τετράγωνες όψεις και το δωδεκάεδρο με πενταγωνικές όψεις. Η απόδειξη αυτού του γεγονότος είναι γνωστή για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια. με αυτή την απόδειξη και τη μελέτη των πέντε κανονικών σωμάτων ολοκληρώνονται τα Στοιχεία του Ευκλείδη (του αρχαίου Έλληνα μαθηματικού, συγγραφέα των πρώτων θεωρητικών πραγματειών για τα μαθηματικά που μας έχουν φτάσει). Γιατί τα κανονικά πολύεδρα πήραν τέτοια ονόματα; Αυτό οφείλεται στον αριθμό των προσώπων τους. Ένα τετράεδρο έχει 4 όψεις, μεταφρασμένο από το ελληνικό "tetra" - τέσσερα, "hedron" - πρόσωπο. Ένα εξάεδρο (κύβος) έχει 6 όψεις, ένα "εξάεδρο" έχει έξι. οκτάεδρο - οκτάεδρο, "οκτάεδρο" - οκτώ. δωδεκάεδρο - δωδεκάεδρο, "δώδεκα" - δώδεκα. Το εικοσάεδρο έχει 20 όψεις και το icosi έχει είκοσι.

2.3. Τύποι κανονικών πολύεδρων:

1) Κανονικό τετράεδρο(αποτελείται από τέσσερα ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του είναι η κορυφή τριών τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 180 0).

2)Κύβος- ένα παραλληλεπίπεδο, του οποίου όλα τα πρόσωπα είναι τετράγωνα. Ο κύβος αποτελείται από έξι τετράγωνα. Κάθε κορυφή του κύβου είναι η κορυφή τριών τετραγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 270 0.

3) Κανονικό οκτάεδροή απλά οκτάεδρο– ένα πολύεδρο με οκτώ κανονικές τριγωνικές όψεις και τέσσερις όψεις που συναντώνται σε κάθε κορυφή. Το οκτάεδρο αποτελείται από οκτώ ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του οκταέδρου είναι η κορυφή τεσσάρων τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 240 0. Μπορεί να κατασκευαστεί διπλώνοντας τις βάσεις δύο πυραμίδων, των οποίων οι βάσεις είναι τετράγωνες και οι πλευρικές όψεις είναι κανονικά τρίγωνα. Οι άκρες ενός οκταέδρου μπορούν να ληφθούν συνδέοντας τα κέντρα των γειτονικών όψεων ενός κύβου, αλλά αν συνδέσουμε τα κέντρα των γειτονικών όψεων ενός κανονικού οκταέδρου, θα έχουμε τις άκρες ενός κύβου. Λένε ότι ο κύβος και το οκτάεδρο είναι διπλά μεταξύ τους.

4)Εικοσάεδρο- αποτελείται από είκοσι ισόπλευρα τρίγωνα. Κάθε κορυφή του εικοσάεδρου είναι η κορυφή πέντε τριγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι ίσο με 300 0.

5) Δωδεκάεδρο- ένα πολύεδρο που αποτελείται από δώδεκα κανονικά πεντάγωνα. Κάθε κορυφή του δωδεκάεδρου είναι η κορυφή τριών κανονικών πενταγώνων. Επομένως, το άθροισμα των επίπεδων γωνιών σε κάθε κορυφή είναι 324 0.

Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι επίσης διπλά μεταξύ τους με την έννοια ότι συνδέοντας τα κέντρα των γειτονικών όψεων του εικοσάεδρου με τμήματα, παίρνουμε ένα δωδεκάεδρο και το αντίστροφο.

Ένα κανονικό τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του.

Επιπλέον, δεν υπάρχει κανένα κανονικό πολύεδρο του οποίου οι όψεις είναι κανονικά εξάγωνα, επτάγωνα και n-γώνια γενικά για n ≥ 6.

Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα πολύεδρο στο οποίο όλες οι όψεις είναι κανονικά ίσα πολύγωνα και όλες οι δίεδρες γωνίες είναι ίσες. Υπάρχουν όμως και πολύεδρα στα οποία όλες οι πολυεδρικές γωνίες είναι ίσες και οι όψεις είναι κανονικές, αλλά αντίθετες κανονικά πολύγωνα. Τα πολύεδρα αυτού του τύπου ονομάζονται ισογωνικά ημικανονικά πολύεδρα. Τα πολύεδρα αυτού του τύπου ανακαλύφθηκαν για πρώτη φορά από τον Αρχιμήδη. Περιέγραψε λεπτομερώς 13 πολύεδρα, τα οποία αργότερα ονομάστηκαν τα σώματα του Αρχιμήδη προς τιμή του μεγάλου επιστήμονα. Αυτά είναι κολοβό τετράεδρο, κολοβό οξαέδρο, κολοβωμένο εικοσάεδρο, κολοβό κύβο, κολοβωμένο δωδεκάεδρο, κυβοκτάεδρο, εικοσιδωδεκάεδρο, κολοβωμένο κυβοκτάεδρο, κολοβωμένο εικοσιδωδεκάεδρο, ρομβοϊδόδεκαεδρο be, "snub" (kur μύτη) δωδεκάεδρο.

2.4. Τα ημικανονικά πολύεδρα ή τα στερεά του Αρχιμήδειου είναι κυρτά πολύεδρα με δύο ιδιότητες:

1. Όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα δύο ή περισσότερων τύπων (αν όλες οι όψεις είναι κανονικά πολύγωνα του ίδιου τύπου, είναι κανονικό πολύεδρο).

2. Για οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών, υπάρχει μια συμμετρία του πολυέδρου (δηλαδή μια κίνηση που μετατρέπει το πολύεδρο στον εαυτό του) μεταφέροντας τη μια κορυφή στην άλλη. Ειδικότερα, όλες οι πολυεδρικές γωνίες κορυφής είναι ίσες.

Εκτός από τα ημικανονικά πολύεδρα, από τα κανονικά πολύεδρα - Πλατωνικά στερεά - μπορείτε να αποκτήσετε τα λεγόμενα κανονικά αστρικά πολύεδρα. Υπάρχουν μόνο τέσσερα από αυτά, ονομάζονται επίσης σώματα Kepler-Poinsot. Ο Κέπλερ ανακάλυψε ένα μικρό δωδεκάεδρο, το οποίο ονόμασε φραγκόσυκο ή σκαντζόχοιρο, και ένα μεγάλο δωδεκάεδρο. Ο Poinsot ανακάλυψε δύο άλλα κανονικά αστεροειδή πολύεδρα, αντίστοιχα διπλά από το πρώτο δύο: το μεγάλο αστρικό δωδεκάεδρο και το μεγάλο εικοσάεδρο.

Δύο τετράεδρα που περνούν το ένα από το άλλο σχηματίζουν ένα οκτάεδρο. Ο Johannes Kepler έδωσε σε αυτή τη φιγούρα το όνομα "stella octangula" - "οκταγωνικό αστέρι". Βρίσκεται επίσης στη φύση: αυτός είναι ο λεγόμενος διπλός κρύσταλλος.

Στον ορισμό ενός κανονικού πολυέδρου, η λέξη "κυρτή" δεν τονίστηκε εσκεμμένα - βασιζόμενη στην προφανή προφανή. Και σημαίνει μια πρόσθετη απαίτηση: «και όλες οι όψεις των οποίων βρίσκονται στη μία πλευρά του αεροπλάνου που διέρχεται από οποιαδήποτε από αυτές». Εάν εγκαταλείψουμε έναν τέτοιο περιορισμό, τότε στα πλατωνικά στερεά, εκτός από το «εκτεταμένο οκτάεδρο», θα πρέπει να προσθέσουμε άλλα τέσσερα πολύεδρα (ονομάζονται στερεά Kepler-Poinsot), καθένα από τα οποία θα είναι «σχεδόν κανονικό». Όλα αυτά προέρχονται από το «πρωταγωνιστή» του Πλατόνοφ σώμα, δηλαδή επεκτείνοντας τις άκρες του μέχρι να τέμνονται μεταξύ τους και γι' αυτό ονομάζονται αστρικά. Ο κύβος και το τετράεδρο δεν δημιουργούν νέες φιγούρες - τα πρόσωπά τους, όσο και να συνεχίσετε, δεν τέμνονται.

Εάν επεκτείνετε όλες τις όψεις του οκταέδρου μέχρι να διασταυρωθούν μεταξύ τους, θα λάβετε μια φιγούρα που εμφανίζεται όταν δύο τετράεδρα αλληλοδιεισδύουν - το "stella octangula", το οποίο ονομάζεται "εκτεταμένο". οκτάεδρο."

Το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο δίνουν στον κόσμο τέσσερα «σχεδόν κανονικά πολύεδρα» ταυτόχρονα. Ένα από αυτά είναι το μικρό αστρικό δωδεκάεδρο, το οποίο απέκτησε για πρώτη φορά ο Johannes Kepler.

Για αιώνες, οι μαθηματικοί δεν αναγνώριζαν το δικαίωμα όλων των ειδών τα αστέρια να ονομάζονται πολύγωνα λόγω του γεγονότος ότι οι πλευρές τους τέμνονται. Ο Ludwig Schläfli δεν έδιωξε ένα γεωμετρικό σώμα από την οικογένεια των πολύεδρων απλώς και μόνο επειδή οι όψεις του διασταυρώθηκαν· ωστόσο, παρέμεινε ανένδοτος μόλις η συζήτηση στράφηκε στο μικρό αστερικό δωδεκάεδρο. Το επιχείρημά του ήταν απλό και βαρύ: αυτό το ζώο της Κεπλερίας δεν υπακούει στη φόρμουλα του Euler! Σχηματίζονται οι ράχες του δώδεκα όψεις, τριάντα ακμές και δώδεκα κορυφές, και, επομένως, το B+G-R δεν ισούται καθόλου με δύο.

Ο Schläfli είχε και δίκιο και λάθος. Φυσικά, ο γεωμετρικός σκαντζόχοιρος δεν είναι τόσο τσιμπημένος ώστε να επαναστατεί ενάντια στην αλάνθαστη φόρμουλα. Απλώς δεν χρειάζεται να θεωρήσετε ότι σχηματίζεται από δώδεκα τεμνόμενες όψεις σε σχήμα αστεριού, αλλά να το δείτε ως ένα απλό, ειλικρινές γεωμετρικό σώμα που αποτελείται από 60 τρίγωνα, με 90 άκρες και 32 κορυφές.

Τότε το B+G-R=32+60-90 είναι ίσο, όπως αναμενόταν, με 2. Αλλά τότε η λέξη «σωστό» δεν ισχύει για αυτό το πολύεδρο - τελικά, οι όψεις του δεν είναι πλέον ισόπλευρες, αλλά απλώς ισοσκελές τρίγωνα. Ο Κέπλερ δεν το έκανε συνειδητοποίησε ότι η φιγούρα που έλαβε είχε διπλό.

Το πολύεδρο, το οποίο ονομάζεται «μεγάλο δωδεκάεδρο», κατασκευάστηκε από τον Γάλλο γεωμέτρη Louis Poinsot διακόσια χρόνια μετά τις αστρικές μορφές του Κέπλερ.

Το μεγάλο εικοσάεδρο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τον Louis Poinsot το 1809. Και πάλι ο Κέπλερ, έχοντας δει ένα μεγάλο αστεροειδή δωδεκάεδρο, άφησε την τιμή να ανακαλύψει τη δεύτερη φιγούρα στον Λουί Πουινσό. Αυτά τα στοιχεία υπακούουν επίσης κατά το ήμισυ στον τύπο του Euler.

Πρακτική χρήση

Πολύεδρα στη φύση

Τα κανονικά πολύεδρα είναι τα πιο συμφέροντα σχήματα, γι' αυτό και είναι ευρέως διαδεδομένα στη φύση. Αυτό επιβεβαιώνεται από το σχήμα ορισμένων κρυστάλλων. Για παράδειγμα, οι κρύσταλλοι επιτραπέζιου αλατιού έχουν σχήμα κύβου. Στην παραγωγή αλουμινίου χρησιμοποιείται χαλαζίας αλουμινίου-καλίου, ο μονοκρύσταλλος του οποίου έχει σχήμα κανονικού οκταέδρου. Η παραγωγή θειικού οξέος, σιδήρου και ειδικών τύπων τσιμέντου δεν μπορεί να γίνει χωρίς θειούχους πυρίτες. Οι κρύσταλλοι αυτής της χημικής ουσίας έχουν σχήμα δωδεκάεδρου. Το θειικό νάτριο αντιμόνιο, μια ουσία που συντίθεται από επιστήμονες, χρησιμοποιείται σε διάφορες χημικές αντιδράσεις. Ο κρύσταλλος του θειικού αντιμονίου νατρίου έχει σχήμα τετραέδρου. Το τελευταίο κανονικό πολύεδρο, το εικοσάεδρο, μεταφέρει το σχήμα των κρυστάλλων του βορίου.

Τα πολύεδρα σε σχήμα αστεριού είναι πολύ διακοσμητικά, γεγονός που τους επιτρέπει να χρησιμοποιούνται ευρέως στη βιομηχανία κοσμημάτων για την κατασκευή όλων των ειδών κοσμημάτων. Χρησιμοποιούνται επίσης στην αρχιτεκτονική. Πολλές μορφές αστρικών πολύεδρων προτείνονται από την ίδια τη φύση. Οι νιφάδες χιονιού είναι πολύεδρα σε σχήμα αστεριού. Από την αρχαιότητα, οι άνθρωποι προσπάθησαν να περιγράψουν όλους τους πιθανούς τύπους νιφάδων χιονιού και συνέταξαν ειδικούς άτλαντες. Αρκετές χιλιάδες διαφορετικοί τύποι νιφάδων χιονιού είναι πλέον γνωστοί.

Τα κανονικά πολύεδρα βρίσκονται επίσης στη ζωντανή φύση. Για παράδειγμα, ο σκελετός του μονοκύτταρου οργανισμού Feodaria (Circjgjnia icosahtdra) έχει σχήμα εικοσάεδρου. Τα περισσότερα feodaria ζουν στα βάθη της θάλασσας και χρησιμεύουν ως λεία για κοραλλιογενή ψάρια. Αλλά το πιο απλό ζώο προστατεύεται με δώδεκα αγκάθια που αναδύονται από τις 12 κορυφές του σκελετού. Μοιάζει περισσότερο με αστρικό πολύεδρο.

Μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε πολύεδρα σε μορφή λουλουδιών. Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα είναι οι κάκτοι.

Σχετική πληροφορία.