Μαθήματα: Τριγωνομετρία. Η τριγωνομετρία έκανε απλή και ξεκάθαρη Εκμάθηση τριγωνομετρίας

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Οι προεπισκοπήσεις διαφανειών είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύουν όλα τα χαρακτηριστικά της παρουσίασης. Εάν ενδιαφέρεστε για αυτό το έργο, κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

1. Εισαγωγή.

Πλησιάζοντας στο σχολείο, ακούω τις φωνές των παιδιών από το γυμναστήριο, προχωράω - τραγουδούν, ζωγραφίζουν... συναισθήματα και συναισθήματα είναι παντού. Το γραφείο μου, μάθημα άλγεβρας, δέκατη δημοτικού. Εδώ είναι το σχολικό μας βιβλίο, στο οποίο το μάθημα της τριγωνομετρίας αποτελεί το ήμισυ του όγκου του και υπάρχουν δύο σελιδοδείκτες σε αυτό - αυτά είναι τα μέρη όπου βρήκα λέξεις που δεν σχετίζονται με τη θεωρία της τριγωνομετρίας.

Από τους λίγους είναι μαθητές που αγαπούν τα μαθηματικά, νιώθουν την ομορφιά τους και δεν ρωτούν γιατί είναι απαραίτητο να σπουδάσουν τριγωνομετρία, πού εφαρμόζεται η ύλη που έμαθαν; Η πλειοψηφία είναι αυτοί που απλώς ολοκληρώνουν εργασίες για να μην πάρουν κακό βαθμό. Και πιστεύουμε ακράδαντα ότι η εφαρμοσμένη αξία των μαθηματικών είναι να αποκτήσετε γνώσεις επαρκείς για να περάσετε με επιτυχία τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους και να εισέλθετε σε ένα πανεπιστήμιο (εγγραφείτε και ξεχάστε).

Ο κύριος στόχος του μαθήματος που παρουσιάζεται είναι να δείξει την εφαρμοσμένη αξία της τριγωνομετρίας σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας. Τα παραδείγματα που δίνονται θα βοηθήσουν τους μαθητές να δουν τη σύνδεση μεταξύ αυτής της ενότητας των μαθηματικών και άλλων μαθημάτων που μελετώνται στο σχολείο. Το περιεχόμενο αυτού του μαθήματος αποτελεί στοιχείο επαγγελματικής κατάρτισης των μαθητών.

Πείτε κάτι νέο για ένα φαινομενικά γνωστό γεγονός. Δείξτε μια λογική σύνδεση μεταξύ αυτού που ήδη γνωρίζουμε και αυτού που απομένει να μάθουμε. Άνοιξε λίγο την πόρτα και κοίτα πέρα ​​από το σχολικό πρόγραμμα. Ασυνήθιστες εργασίες, συνδέσεις με τα σημερινά γεγονότα - αυτές είναι οι τεχνικές που χρησιμοποιώ για να πετύχω τους στόχους μου. Εξάλλου, τα σχολικά μαθηματικά ως μάθημα δεν συμβάλλουν τόσο στη μάθηση όσο στην ανάπτυξη του ατόμου, της σκέψης και της κουλτούρας του.

2. Περίληψη μαθήματος για την άλγεβρα και τις αρχές της ανάλυσης (βαθμός 10).

Ώρα διοργάνωσης:Τοποθετήστε έξι πίνακες σε ημικύκλιο (μοντέλο μοιρογνωμόνιου), φύλλα εργασίας για μαθητές στα τραπέζια (Παράρτημα 1).

Ανακοινώνοντας το θέμα του μαθήματος: «Η τριγωνομετρία είναι απλή και ξεκάθαρη».

Κατά τη διάρκεια της άλγεβρας και της στοιχειώδους ανάλυσης, αρχίζουμε να μελετάμε την τριγωνομετρία· θα ήθελα να μιλήσω για την εφαρμοσμένη σημασία αυτού του τμήματος των μαθηματικών.

Διατριβή μαθήματος:

«Το μεγάλο βιβλίο της φύσης μπορεί να διαβαστεί μόνο από εκείνους που γνωρίζουν τη γλώσσα στην οποία είναι γραμμένο και αυτή η γλώσσα είναι τα μαθηματικά».
(Γ. Γαλιλαίος).

Στο τέλος του μαθήματος, θα σκεφτούμε μαζί αν μπορέσαμε να εξετάσουμε αυτό το βιβλίο και να κατανοήσουμε τη γλώσσα στην οποία γράφτηκε.

Τριγωνομετρία οξείας γωνίας.

Η τριγωνομετρία είναι ελληνική λέξη και μεταφράζεται σημαίνει «μέτρηση τριγώνων». Η εμφάνιση της τριγωνομετρίας σχετίζεται με μετρήσεις στη γη, τις κατασκευές και την αστρονομία. Και η πρώτη σου γνωριμία με αυτό έγινε όταν σήκωσες ένα μοιρογνωμόνιο. Έχετε παρατηρήσει πώς είναι τοποθετημένα τα τραπέζια; Σκεφτείτε το στο μυαλό σας: αν πάρουμε ένα τραπέζι ως συγχορδία, τότε ποιο είναι το μέτρο μοίρας του τόξου που υποτάσσεται;

Ας θυμηθούμε το μέτρο των γωνιών: 1 ° = 1/360μέρος κύκλου («βαθμός» – από το λατινικό grad – βήμα). Ξέρετε γιατί ο κύκλος χωρίστηκε σε 360 μέρη, γιατί όχι σε 10, 100 ή 1000 μέρη, όπως συμβαίνει, για παράδειγμα, όταν μετράμε μήκη; Θα σας πω μια από τις εκδοχές.

Προηγουμένως, οι άνθρωποι πίστευαν ότι η Γη είναι το κέντρο του Σύμπαντος και είναι ακίνητη, και ο Ήλιος κάνει μια περιστροφή γύρω από τη Γη την ημέρα, το γεωκεντρικό σύστημα του κόσμου, "geo" - Γη ( Εικόνα Νο. 1). Βαβυλώνιοι ιερείς που έκαναν αστρονομικές παρατηρήσεις ανακάλυψαν ότι την ημέρα της ισημερίας ο Ήλιος, από την ανατολή έως τη δύση του ηλίου, περιγράφει ένα ημικύκλιο στο θησαυροφυλάκιο του ουρανού, στο οποίο η ορατή διάμετρος (διάμετρος) του Ήλιου ταιριάζει ακριβώς 180 φορές, 1 ° - ίχνος Ήλιου. ( Εικόνα Νο. 2).

Για πολύ καιρό, η τριγωνομετρία είχε καθαρά γεωμετρικό χαρακτήρα. Συνεχίζετε την εισαγωγή σας στην τριγωνομετρία λύνοντας ορθογώνια τρίγωνα. Μαθαίνετε ότι το ημίτονο οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα, το συνημίτονο είναι ο λόγος της γειτονικής πλευράς προς την υποτείνουσα, η εφαπτομένη είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά και η συνεφαπτομένη είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι. Και να θυμάστε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο που έχει μια δεδομένη γωνία, η αναλογία των πλευρών δεν εξαρτάται από το μέγεθος του τριγώνου. Μάθετε τα θεωρήματα ημιτόνου και συνημιτόνου για την επίλυση αυθαίρετων τριγώνων.

Το 2010, το μετρό της Μόσχας έγινε 75 ετών. Κάθε μέρα κατεβαίνουμε στο μετρό και δεν το παρατηρούμε…

Εργασία Νο. 1.Η γωνία κλίσης όλων των κυλιόμενων σκαλών στο μετρό της Μόσχας είναι 30 μοίρες. Γνωρίζοντας αυτό, τον αριθμό των λαμπτήρων στην κυλιόμενη σκάλα και την κατά προσέγγιση απόσταση μεταξύ των λαμπτήρων, μπορείτε να υπολογίσετε το κατά προσέγγιση βάθος του σταθμού. Υπάρχουν 15 λαμπτήρες στην κυλιόμενη σκάλα στο σταθμό Tsvetnoy Boulevard και 2 λάμπες στο σταθμό Prazhskaya. Υπολογίστε το βάθος αυτών των σταθμών εάν οι αποστάσεις μεταξύ των λαμπτήρων, από την είσοδο της κυλιόμενης σκάλας μέχρι την πρώτη λάμπα και από την τελευταία λάμπα έως την έξοδο της κυλιόμενης σκάλας, είναι 6 m ( Εικόνα Νο. 3). Απάντηση: 48 m και 9 m

Εργασία για το σπίτι. Ο βαθύτερος σταθμός του μετρό της Μόσχας είναι το Victory Park. Ποιο είναι το βάθος του; Σας προτείνω να βρείτε ανεξάρτητα τα δεδομένα που λείπουν για να λύσετε το πρόβλημα της εργασίας σας.

Έχω στα χέρια μου έναν δείκτη λέιζερ, ο οποίος είναι και εύρος εύρεσης. Ας μετρήσουμε, για παράδειγμα, την απόσταση από τον πίνακα.

Ο Κινέζος σχεδιαστής Huan Qiaokun μάντεψε ότι συνδύασε δύο αποστασιομετρητές λέιζερ και ένα μοιρογνωμόνιο σε μια συσκευή και απέκτησε ένα εργαλείο που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε ένα επίπεδο ( Εικόνα Νο. 4). Ποιο θεώρημα πιστεύετε ότι λύνει αυτό το πρόβλημα; Θυμηθείτε τη διατύπωση του θεωρήματος συνημιτόνου. Συμφωνείτε μαζί μου ότι οι γνώσεις σας είναι ήδη επαρκείς για να κάνετε μια τέτοια εφεύρεση; Λύστε προβλήματα γεωμετρίας και κάντε μικρές ανακαλύψεις κάθε μέρα!

Σφαιρική τριγωνομετρία.

Εκτός από την επίπεδη γεωμετρία του Ευκλείδη (πλανομετρία), μπορεί να υπάρχουν και άλλες γεωμετρίες στις οποίες οι ιδιότητες των σχημάτων δεν λαμβάνονται υπόψη σε ένα επίπεδο, αλλά σε άλλες επιφάνειες, για παράδειγμα, στην επιφάνεια μιας μπάλας ( Εικόνα Νο. 5). Ο πρώτος μαθηματικός που έθεσε τα θεμέλια για την ανάπτυξη μη Ευκλείδειων γεωμετριών ήταν ο N.I. Λομπατσέφσκι – «Κοπέρνικος της Γεωμετρίας». Από το 1827 για 19 χρόνια ήταν πρύτανης του Πανεπιστημίου του Καζάν.

Η σφαιρική τριγωνομετρία, η οποία αποτελεί μέρος της σφαιρικής γεωμετρίας, εξετάζει τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών των τριγώνων σε μια σφαίρα που σχηματίζεται από τόξα μεγάλων κύκλων σε μια σφαίρα ( Εικόνα Νο. 6).

Ιστορικά, η σφαιρική τριγωνομετρία και γεωμετρία προέκυψαν από τις ανάγκες της αστρονομίας, της γεωδαισίας, της ναυσιπλοΐας και της χαρτογραφίας. Σκεφτείτε ποιος από αυτούς τους τομείς έχει λάβει τόσο ταχεία ανάπτυξη τα τελευταία χρόνια που τα αποτελέσματά του χρησιμοποιούνται ήδη σε σύγχρονους φορείς επικοινωνίας. ... Μια σύγχρονη εφαρμογή της πλοήγησης είναι ένα σύστημα δορυφορικής πλοήγησης, το οποίο σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τη θέση και την ταχύτητα ενός αντικειμένου από ένα σήμα του δέκτη του.

Παγκόσμιο Σύστημα Πλοήγησης (GPS). Για να προσδιορίσετε το γεωγραφικό πλάτος και το μήκος του δέκτη, είναι απαραίτητο να λαμβάνετε σήματα από τουλάχιστον τρεις δορυφόρους. Η λήψη ενός σήματος από τον τέταρτο δορυφόρο καθιστά δυνατό τον προσδιορισμό του ύψους του αντικειμένου πάνω από την επιφάνεια ( Εικόνα Νο. 7).

Ο υπολογιστής-δέκτης λύνει τέσσερις εξισώσεις σε τέσσερις αγνώστους μέχρι να βρεθεί μια λύση που σύρει όλους τους κύκλους σε ένα σημείο ( Εικόνα Νο. 8).

Η γνώση της τριγωνομετρίας οξείας γωνίας αποδείχθηκε ανεπαρκής για την επίλυση πιο περίπλοκων πρακτικών προβλημάτων. Κατά τη μελέτη περιστροφικών και κυκλικών κινήσεων, η τιμή της γωνίας και του κυκλικού τόξου δεν περιορίζονται. Προέκυψε η ανάγκη να περάσουμε στην τριγωνομετρία ενός γενικευμένου επιχειρήματος.

Τριγωνομετρία γενικευμένου επιχειρήματος.

Ο κύκλος ( Εικόνα Νο. 9). Οι θετικές γωνίες σχεδιάζονται αριστερόστροφα, οι αρνητικές γωνίες απεικονίζονται δεξιόστροφα. Είστε εξοικειωμένοι με την ιστορία μιας τέτοιας συμφωνίας;

Όπως γνωρίζετε, τα μηχανικά και τα ρολόγια ηλίου είναι σχεδιασμένα με τέτοιο τρόπο ώστε τα χέρια τους να περιστρέφονται «κατά μήκος του ήλιου», δηλ. στην ίδια κατεύθυνση προς την οποία βλέπουμε τη φαινομενική κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη. (Θυμηθείτε την αρχή του μαθήματος - το γεωκεντρικό σύστημα του κόσμου). Αλλά με την ανακάλυψη από τον Κοπέρνικο της αληθινής (θετικής) κίνησης της Γης γύρω από τον Ήλιο, η κίνηση του Ήλιου γύρω από τη Γη που βλέπουμε (δηλαδή, φαινομενική) είναι πλασματική (αρνητική). Ηλιοκεντρικό σύστημα του κόσμου (ήλιο - Ήλιος) ( Εικόνα Νο. 10).

Ζέσταμα.

1. Τεντώστε το δεξί σας χέρι μπροστά σας, παράλληλα με την επιφάνεια του τραπεζιού, και κάντε μια κυκλική περιστροφή 720 μοιρών.
2. Εκτείνετε το αριστερό σας χέρι μπροστά σας, παράλληλα με την επιφάνεια του τραπεζιού, και κάντε μια κυκλική περιστροφή (–1080) μοιρών.
3. Τοποθετήστε τα χέρια σας στους ώμους σας και κάντε 4 κυκλικές κινήσεις μπρος-πίσω. Ποιο είναι το άθροισμα των γωνιών περιστροφής;

Το 2010, οι Χειμερινοί Ολυμπιακοί Αγώνες διεξήχθησαν στο Βανκούβερ· μαθαίνουμε τα κριτήρια για τη βαθμολόγηση της άσκησης ενός σκέιτερ που εκτελείται με την επίλυση του προβλήματος.

Εργασία Νο. 2.Εάν ένας σκέιτερ κάνει μια στροφή 10.800 μοιρών ενώ εκτελεί την άσκηση «βίδα» σε 12 δευτερόλεπτα, τότε λαμβάνει μια «άριστη» βαθμολογία. Προσδιορίστε πόσες στροφές θα κάνει ο σκέιτερ σε αυτό το διάστημα και την ταχύτητα της περιστροφής του (στροφές ανά δευτερόλεπτο). Απάντηση: 2,5 στροφές/δευτ.

Εργασία για το σπίτι. Σε ποια γωνία στρέφεται ο σκέιτερ, ο οποίος έλαβε «μη ικανοποιητική» βαθμολογία, αν στον ίδιο χρόνο περιστροφής η ταχύτητά του ήταν 2 στροφές ανά δευτερόλεπτο.

Το πιο βολικό μέτρο τόξων και γωνιών που σχετίζονται με περιστροφικές κινήσεις αποδείχθηκε ότι ήταν το μέτρο ακτινίου (ακτίνας), ως μεγαλύτερη μονάδα μέτρησης μιας γωνίας ή τόξου ( Εικόνα Νο. 11). Αυτό το μέτρο μέτρησης γωνιών εισήλθε στην επιστήμη μέσω των αξιοσημείωτων έργων του Leonhard Euler. Ελβετός στην καταγωγή, έζησε στη Ρωσία για 30 χρόνια και ήταν μέλος της Ακαδημίας Επιστημών της Αγίας Πετρούπολης. Σε αυτόν οφείλουμε την «αναλυτική» ερμηνεία όλης της τριγωνομετρίας, έβγαλε τους τύπους που τώρα μελετάτε, εισήγαγε ομοιόμορφα σημάδια: αμαρτία Χ, συν Χ, tg Χ, ctg Χ.

Εάν μέχρι τον 17ο αιώνα η ανάπτυξη του δόγματος των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χτίστηκε σε γεωμετρική βάση, τότε, ξεκινώντας από τον 17ο αιώνα, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις άρχισαν να εφαρμόζονται για την επίλυση προβλημάτων στη μηχανική, την οπτική, τον ηλεκτρισμό, για την περιγραφή ταλαντωτικών διεργασιών και κυμάτων. διάδοση. Όπου έχουμε να αντιμετωπίσουμε περιοδικές διεργασίες και ταλαντώσεις, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν βρει εφαρμογή. Οι συναρτήσεις που εκφράζουν τους νόμους των περιοδικών διεργασιών έχουν μια ειδική ιδιότητα που είναι εγγενής μόνο σε αυτές: επαναλαμβάνουν τις τιμές τους μέσα από το ίδιο διάστημα αλλαγής στο όρισμα. Οι αλλαγές σε οποιαδήποτε συνάρτηση μεταφέρονται πιο ξεκάθαρα στο γράφημά της ( Εικόνα Νο. 12).

Έχουμε ήδη απευθυνθεί στο σώμα μας για βοήθεια κατά την επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν περιστροφή. Ας ακούσουμε τους χτύπους της καρδιάς μας. Η καρδιά είναι ένα ανεξάρτητο όργανο. Ο εγκέφαλος ελέγχει οποιονδήποτε από τους μυς μας εκτός από την καρδιά. Έχει το δικό του κέντρο ελέγχου - τον φλεβόκομβο. Με κάθε συστολή της καρδιάς, ένα ηλεκτρικό ρεύμα εξαπλώνεται σε όλο το σώμα - ξεκινώντας από τον φλεβόκομβο (το μέγεθος ενός κόκκου κεχριού). Μπορεί να καταγραφεί με ηλεκτροκαρδιογράφο. Σχεδιάζει ένα ηλεκτροκαρδιογράφημα (ημιτονοειδές) ( Εικόνα Νο. 13).

Τώρα ας μιλήσουμε για μουσική. Τα μαθηματικά είναι μουσική, είναι μια ένωση ευφυΐας και ομορφιάς.
Η μουσική είναι μαθηματικά στους υπολογισμούς, άλγεβρα στην αφαίρεση, τριγωνομετρία στην ομορφιά. Η αρμονική ταλάντωση (αρμονική) είναι ημιτονοειδής ταλάντωση. Το γράφημα δείχνει πώς αλλάζει η πίεση του αέρα στο τύμπανο του αυτιού του ακροατή: πάνω και κάτω σε ένα τόξο, περιοδικά. Ο αέρας πιέζει, τώρα πιο δυνατός, τώρα πιο αδύναμος. Η δύναμη της πρόσκρουσης είναι πολύ μικρή και οι δονήσεις συμβαίνουν πολύ γρήγορα: εκατοντάδες και χιλιάδες κρούσεις κάθε δευτερόλεπτο. Αντιλαμβανόμαστε τέτοιες περιοδικές δονήσεις ως ήχο. Η προσθήκη δύο διαφορετικών αρμονικών δίνει μια δόνηση πιο πολύπλοκου σχήματος. Το άθροισμα τριών αρμονικών είναι ακόμη πιο περίπλοκο και οι φυσικοί ήχοι και οι ήχοι των μουσικών οργάνων αποτελούνται από μεγάλο αριθμό αρμονικών. ( Εικόνα Νο. 14.)

Κάθε αρμονική χαρακτηρίζεται από τρεις παραμέτρους: πλάτος, συχνότητα και φάση. Η συχνότητα ταλάντωσης δείχνει πόσα χτυπήματα της πίεσης του αέρα συμβαίνουν σε ένα δευτερόλεπτο. Οι υψηλές συχνότητες γίνονται αντιληπτές ως «υψηλοί», «λεπτοί» ​​ήχοι. Πάνω από 10 KHz – τρίξιμο, σφύριγμα. Οι μικρές συχνότητες γίνονται αντιληπτές ως ήχοι «χαμηλοί», «μπάσο», βουητό. Το πλάτος είναι το εύρος των κραδασμών. Όσο μεγαλύτερη είναι η εμβέλεια, τόσο μεγαλύτερη είναι η επίδραση στο τύμπανο και όσο πιο δυνατός είναι ο ήχος που ακούμε ( Εικόνα Νο. 15). Φάση είναι η μετατόπιση των ταλαντώσεων στο χρόνο. Η φάση μπορεί να μετρηθεί σε μοίρες ή ακτίνια. Ανάλογα με τη φάση, το σημείο μηδέν στο γράφημα μετατοπίζεται. Για να ρυθμίσετε μια αρμονική, αρκεί να καθορίσετε τη φάση από -180 έως +180 μοίρες, αφού σε μεγάλες τιμές η ταλάντωση επαναλαμβάνεται. Δύο ημιτονοειδή σήματα με το ίδιο πλάτος και συχνότητα, αλλά διαφορετικές φάσεις, προστίθενται αλγεβρικά ( Εικόνα Νο. 16).

Περίληψη μαθήματος.Πιστεύετε ότι μπορέσαμε να διαβάσουμε μερικές σελίδες από το Μεγάλο Βιβλίο της Φύσης; Έχοντας μάθει για την εφαρμοσμένη σημασία της τριγωνομετρίας, σας έγινε πιο ξεκάθαρος ο ρόλος της σε διάφορους τομείς της ανθρώπινης δραστηριότητας, καταλάβατε το υλικό που παρουσιάζεται; Στη συνέχεια θυμηθείτε και απαριθμήστε τους τομείς εφαρμογής της τριγωνομετρίας που γνωρίσατε σήμερα ή γνωρίζατε πριν. Ελπίζω ότι ο καθένας από εσάς βρήκε κάτι νέο και ενδιαφέρον στο σημερινό μάθημα. Ίσως αυτό το νέο πράγμα να σας πει τον δρόμο για την επιλογή ενός μελλοντικού επαγγέλματος, αλλά ανεξάρτητα από το ποιος γίνετε, η μαθηματική σας εκπαίδευση θα σας βοηθήσει να γίνετε επαγγελματίας και πνευματικά ανεπτυγμένο άτομο.

Εργασία για το σπίτι. Διαβάστε την περίληψη του μαθήματος (

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες ή/και βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικούς φορείς στη Ρωσική Ομοσπονδία - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

- -
Συνήθως, όταν θέλουν να τρομάξουν κάποιον με ΤΡΟΜΑΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, αναφέρουν κάθε λογής ημίτονο και συνημίτονο ως παράδειγμα, ως κάτι πολύ περίπλοκο και αηδιαστικό. Αλλά στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια όμορφη και ενδιαφέρουσα ενότητα που μπορεί να γίνει κατανοητή και να λυθεί.
Το θέμα ξεκινάει στην 9η δημοτικού και δεν είναι πάντα ξεκάθαρα την πρώτη φορά, υπάρχουν πολλές λεπτότητες και κόλπα. Προσπάθησα να πω κάτι για το θέμα.

Εισαγωγή στον κόσμο της τριγωνομετρίας:
Προτού βιαστείτε ασταμάτητα σε τύπους, πρέπει να καταλάβετε από τη γεωμετρία τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο κ.λπ.
Ημίτονο γωνίας- ο λόγος της αντίθετης (γωνίας) πλευράς προς την υποτείνουσα.
Συνημίτονο- η αναλογία παρακείμενου προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένη γραμμή- απέναντι πλευρά σε διπλανή πλευρά
Συνεφαπτομένη- δίπλα στο απέναντι.

Τώρα εξετάστε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας στο επίπεδο συντεταγμένων και σημειώστε κάποια γωνία άλφα σε αυτόν: (οι φωτογραφίες μπορούν να κάνουν κλικ, τουλάχιστον μερικές)
-
-
Οι λεπτές κόκκινες γραμμές είναι οι κάθετες από το σημείο τομής του κύκλου και η ορθή γωνία στον άξονα βόδι και όυ. Το κόκκινο x και y είναι η τιμή των συντεταγμένων x και y στους άξονες (το γκρι x και y είναι απλώς για να υποδείξουν ότι πρόκειται για άξονες συντεταγμένων και όχι μόνο για γραμμές).
Πρέπει να σημειωθεί ότι οι γωνίες υπολογίζονται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα βόδι αριστερόστροφα.
Ας βρούμε το ημίτονο, το συνημίτονο κ.λπ.
sin a: η απέναντι πλευρά είναι ίση με y, η υποτείνουσα είναι ίση με 1.
sin a = y / 1 = y
Για να είναι απολύτως σαφές από πού παίρνω το y και το 1, για λόγους σαφήνειας, ας τακτοποιήσουμε τα γράμματα και ας δούμε τα τρίγωνα.
- -
AF = AE = 1 - ακτίνα του κύκλου.
Επομένως ΑΒ = 1 ως ακτίνα. ΑΒ - υποτείνουσα.
BD = CA = y - ως τιμή για το oh.
AD = CB = x - ως τιμή σύμφωνα με το oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Ακολουθεί το συνημίτονο:
cos a: διπλανή πλευρά - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Επίσης βγάζουμε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
tg a = y / x = αμαρτία a / cos a
κούνια α = x / y = cos a / αμαρτία α
Ξαφνικά αντλήσαμε τον τύπο για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Λοιπόν, ας ρίξουμε μια συγκεκριμένη ματιά στο πώς λύνεται αυτό.
Για παράδειγμα, a = 45 μοίρες.
Παίρνουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία γωνία 45 μοιρών. Είναι αμέσως ξεκάθαρο σε κάποιους ότι πρόκειται για ισόπλευρο τρίγωνο, αλλά θα το περιγράψω ούτως ή άλλως.
Ας βρούμε την τρίτη γωνία του τριγώνου (η πρώτη είναι 90, η δεύτερη είναι 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε οι πλευρές τους είναι ίσες, έτσι ακούστηκε.
Έτσι, αποδεικνύεται ότι αν προσθέσουμε δύο τέτοια τρίγωνα το ένα πάνω στο άλλο, θα έχουμε ένα τετράγωνο με διαγώνιο ίση με ακτίνα = 1. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, γνωρίζουμε ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά α είναι ίση με μια ρίζα δύο.
Τώρα σκεφτόμαστε. Αν το 1 (η υποτείνουσα γνωστή και ως διαγώνιος) είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου επί τη ρίζα του δύο, τότε η πλευρά του τετραγώνου θα πρέπει να είναι ίση με 1/sqrt(2) και αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος από τη ρίζα δύο, παίρνουμε sqrt(2)/2 . Και αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε AD = AC => x = y
Βρίσκοντας τις τριγωνομετρικές μας συναρτήσεις:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Πρέπει να εργαστείτε με τις υπόλοιπες τιμές γωνίας με τον ίδιο τρόπο. Μόνο τα τρίγωνα δεν θα είναι ισοσκελές, αλλά οι πλευρές μπορούν να βρεθούν εξίσου εύκολα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε έναν πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων από διαφορετικές γωνίες:
-
-
Επιπλέον, αυτός ο πίνακας είναι απατηλός και πολύ βολικός.
Πώς να το συνθέσετε μόνοι σας χωρίς καμία ταλαιπωρία:Σχεδιάστε έναν τέτοιο πίνακα και γράψτε τους αριθμούς 1 2 3 στα κουτάκια.
-
-
Τώρα από αυτά τα 1 2 3 παίρνετε τη ρίζα και διαιρείτε με το 2. Αποδεικνύεται ως εξής:
-
-
Τώρα διαγράφουμε το ημίτονο και γράφουμε το συνημίτονο. Οι τιμές του είναι το κατοπτρικό ημίτονο:
-
-
Η εφαπτομένη είναι εξίσου εύκολο να εξαχθεί - πρέπει να διαιρέσετε την τιμή της ημιτονοειδούς γραμμής με την τιμή της συνημιτονοειδούς γραμμής:
-
-
Η τιμή συνεφαπτομένης είναι η ανεστραμμένη τιμή της εφαπτομένης. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε κάτι σαν αυτό:
- -

Σημείωσηαυτή η εφαπτομένη δεν υπάρχει στο P/2, για παράδειγμα. Σκεφτείτε γιατί. (Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.)

Τι πρέπει να θυμάστε εδώ:ημίτονο είναι η τιμή y, συνημίτονο είναι η τιμή x. Η εφαπτομένη είναι ο λόγος του y προς το x και η συνεφαπτομένη είναι το αντίθετο. Έτσι, για να προσδιορίσετε τις τιμές των ημιτόνων / συνημιτόνων, αρκεί να σχεδιάσετε τον πίνακα που περιέγραψα παραπάνω και έναν κύκλο με άξονες συντεταγμένων (είναι βολικό να κοιτάξετε τις τιμές σε γωνίες 0, 90, 180, 360).
- -

Λοιπόν, ελπίζω ότι μπορείτε να διακρίνετε κατάλυμα:
- -
Το πρόσημο του ημιτόνου, του συνημιτόνου κ.λπ. εξαρτάται από το σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία. Αν και, η απολύτως πρωτόγονη λογική σκέψη θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση, αν λάβετε υπόψη ότι στο δεύτερο και τρίτο τρίμηνο το x είναι αρνητικό, και το y είναι αρνητικό στο τρίτο και τέταρτο. Τίποτα τρομακτικό ή τρομακτικό.

Νομίζω ότι δεν θα ήταν λάθος να αναφέρω τύποι μείωσηςαλά φαντάσματα, όπως ακούνε όλοι, που έχει έναν κόκκο αλήθειας. Δεν υπάρχουν τύποι ως τέτοιοι, καθώς είναι περιττοί. Το ίδιο το νόημα όλης αυτής της ενέργειας: Βρίσκουμε εύκολα τις τιμές γωνίας μόνο για το πρώτο τέταρτο (30 μοίρες, 45, 60). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, επομένως μπορούμε να σύρουμε οποιαδήποτε μεγάλη γωνία στο πρώτο τέταρτο. Τότε θα βρούμε αμέσως το νόημά του. Αλλά απλά το σύρσιμο δεν αρκεί - πρέπει να θυμάστε για το σημάδι. Για αυτό χρησιμεύουν οι τύποι μείωσης.
Έτσι, έχουμε μια μεγάλη γωνία, ή μάλλον περισσότερο από 90 μοίρες: a = 120. Και πρέπει να βρούμε το ημίτονο και το συνημίτονο του. Για να γίνει αυτό, θα αποσυνθέσουμε το 120 στις ακόλουθες γωνίες με τις οποίες μπορούμε να εργαστούμε:
αμαρτία α = αμαρτία 120 = αμαρτία (90 + 30)
Βλέπουμε ότι αυτή η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, το ημίτονο εκεί είναι θετικό, επομένως διατηρείται το σύμβολο + μπροστά από το ημίτονο.
Για να απαλλαγούμε από τις 90 μοίρες, αλλάζουμε το ημίτονο σε συνημίτονο. Λοιπόν, αυτός είναι ένας κανόνας που πρέπει να θυμάστε:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Ή μπορείτε να το φανταστείτε αλλιώς:
αμαρτία 120 = αμαρτία (180 - 60)
Για να απαλλαγούμε από τις 180 μοίρες, δεν αλλάζουμε τη λειτουργία.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Έχουμε την ίδια τιμή, οπότε όλα είναι σωστά. Τώρα το συνημίτονο:
cos 120 = cos (90 + 30)
Το συνημίτονο στο δεύτερο τρίμηνο είναι αρνητικό, οπότε βάζουμε πρόσημο μείον. Και αλλάζουμε τη συνάρτηση στην αντίθετη, αφού πρέπει να αφαιρέσουμε 90 μοίρες.
cos (90 + 30) = - αμαρτία 30 = - 1 / 2
Ή:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Τι πρέπει να γνωρίζετε, να μπορείτε να κάνετε και να κάνετε για να μεταφέρετε γωνίες στο πρώτο τρίμηνο:
- να αποσυνθέσετε τη γωνία σε εύπεπτους όρους.
-Λάβετε υπόψη σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία και βάλτε το κατάλληλο πρόσημο εάν η συνάρτηση σε αυτό το τέταρτο είναι αρνητική ή θετική.
-Απαλλαγείτε από περιττά πράγματα:
*αν πρέπει να απαλλαγείτε από τα 90, 270, 450 και τα υπόλοιπα 90+180n, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, τότε η συνάρτηση αντιστρέφεται (ημίτονο σε συνημίτονο, εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και αντίστροφα).
*αν πρέπει να απαλλαγείτε από το 180 και το υπόλοιπο 180+180n, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε η συνάρτηση δεν αλλάζει. (Υπάρχει ένα χαρακτηριστικό εδώ, αλλά είναι δύσκολο να το εξηγήσω με λόγια, αλλά οκ).
Αυτό είναι όλο. Δεν νομίζω ότι είναι απαραίτητο να απομνημονεύσετε τους ίδιους τους τύπους όταν μπορείτε να θυμάστε μερικούς κανόνες και να τους χρησιμοποιήσετε εύκολα. Παρεμπιπτόντως, αυτοί οι τύποι είναι πολύ εύκολο να αποδειχθούν:
-
-
Και συντάσσουν επίσης δυσκίνητους πίνακες, τότε ξέρουμε:
-
-

Βασικές εξισώσεις τριγωνομετρίας:πρέπει να τα ξέρεις πολύ, πολύ καλά, από καρδιάς.
Θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα(ισότητα):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Αν δεν το πιστεύετε, καλύτερα να το ελέγξετε μόνοι σας και να το δείτε μόνοι σας. Αντικαταστήστε τις τιμές διαφορετικών γωνιών.
Αυτή η φόρμουλα είναι πολύ, πολύ χρήσιμη, να την θυμάστε πάντα. χρησιμοποιώντας το μπορείτε να εκφράσετε το ημίτονο μέσω συνημίτονο και αντίστροφα, κάτι που μερικές φορές είναι πολύ χρήσιμο. Αλλά, όπως κάθε άλλη φόρμουλα, πρέπει να ξέρετε πώς να το χειριστείτε. Να θυμάστε πάντα ότι το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. Να γιατί κατά την εξαγωγή της ρίζας πρέπει να γνωρίζετε το τέταρτο.

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:Έχουμε ήδη αντλήσει αυτούς τους τύπους στην αρχή.
tg a = αμαρτία a / cos a
κούνια α = cos a / αμαρτία α

Προϊόν εφαπτομένης και συνεφαπτομένης:
tg a * ctg a = 1
Επειδή:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - τα κλάσματα ακυρώνονται.

Όπως μπορείτε να δείτε, όλες οι φόρμουλες είναι ένα παιχνίδι και ένας συνδυασμός.
Ακολουθούν δύο ακόμη, που προκύπτουν από τη διαίρεση με το συνημιτονο τετράγωνο και το ημιτονο τετράγωνο του πρώτου τύπου:
-
-
Λάβετε υπόψη ότι οι δύο τελευταίοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν με περιορισμό στην τιμή της γωνίας a, καθώς δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Τύποι προσθήκης:αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας διανυσματική άλγεβρα.
- -
Χρησιμοποιείται σπάνια, αλλά με ακρίβεια. Υπάρχουν τύποι στη σάρωση, αλλά μπορεί να είναι δυσανάγνωστοι ή η ψηφιακή φόρμα να γίνεται πιο εύκολα αντιληπτή:
- -

Τύποι διπλής γωνίας:
Λαμβάνονται με βάση τους τύπους πρόσθεσης, για παράδειγμα: το συνημίτονο διπλής γωνίας είναι cos 2a = cos (a + a) - σας θυμίζει κάτι; Μόλις αντικατέστησαν το betta με ένα άλφα.
- -
Οι δύο επόμενοι τύποι προέρχονται από την πρώτη αντικατάσταση sin^2(a) = 1 - cos^2(a) και cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Το ημίτονο διπλής γωνίας είναι απλούστερο και χρησιμοποιείται πολύ πιο συχνά:
- -
Και ειδικοί διεστραμμένοι μπορούν να αντλήσουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη διπλής γωνίας, δεδομένου ότι ταν α = αμαρτία α / συν α κ.λπ.
-
-

Για τα παραπάνω πρόσωπα Τύποι τριπλής γωνίας:προκύπτουν προσθέτοντας γωνίες 2α και α, αφού γνωρίζουμε ήδη τους τύπους για τις διπλές γωνίες.
-
-

Τύποι μισής γωνίας:
- -
Δεν ξέρω πώς προέρχονται, ή ακριβέστερα, πώς να το εξηγήσω... Αν γράψουμε αυτούς τους τύπους, αντικαθιστώντας την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα με a/2, τότε η απάντηση θα συγκλίνει.

Τύποι πρόσθεσης και αφαίρεσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
-
-
Λαμβάνονται από τύπους προσθήκης, αλλά κανείς δεν νοιάζεται. Δεν συμβαίνουν συχνά.

Όπως καταλαβαίνετε, υπάρχουν ακόμα ένα σωρό φόρμουλες, η λίστα που είναι απλά άσκοπη, γιατί δεν θα μπορώ να γράψω κάτι επαρκές για αυτούς, και ξηρές φόρμουλες μπορούν να βρεθούν οπουδήποτε, και είναι ένα παιχνίδι με προηγούμενες υπάρχουσες φόρμουλες. Όλα είναι τρομερά λογικά και ακριβή. Τελευταία θα σου πω σχετικά με τη μέθοδο της βοηθητικής γωνίας:
Η μετατροπή της έκφρασης a cosx + b sinx στη μορφή Acos(x+) ή Asin(x+) ονομάζεται μέθοδος εισαγωγής βοηθητικής γωνίας (ή πρόσθετου ορίσματος). Η μέθοδος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, κατά την εκτίμηση των τιμών των συναρτήσεων, σε ακραία προβλήματα και είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ορισμένα προβλήματα δεν μπορούν να λυθούν χωρίς την εισαγωγή μιας βοηθητικής γωνίας.
Ανεξάρτητα από το πώς προσπαθήσατε να εξηγήσετε αυτήν τη μέθοδο, δεν προέκυψε τίποτα, επομένως θα πρέπει να το κάνετε μόνοι σας:
-
-
Πράγμα τρομακτικό, αλλά χρήσιμο. Εάν λύσετε τα προβλήματα, θα πρέπει να λυθεί.
Από εδώ, για παράδειγμα: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Ακολουθούν στο μάθημα γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αλλά αυτό αρκεί για ένα μάθημα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι στο σχολείο αυτό το διδάσκουν για έξι μήνες.

Γράψτε τις ερωτήσεις σας, λύστε προβλήματα, ζητήστε σαρώσεις ορισμένων εργασιών, ανακαλύψτε το, δοκιμάστε το.
Πάντα δικός σου, Dan Faraday.

Ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη - όταν προφέρετε αυτές τις λέξεις παρουσία μαθητών γυμνασίου, μπορείτε να είστε σίγουροι ότι τα δύο τρίτα από αυτούς θα χάσουν το ενδιαφέρον τους για περαιτέρω συνομιλία. Ο λόγος έγκειται στο γεγονός ότι τα βασικά της τριγωνομετρίας στο σχολείο διδάσκονται σε πλήρη απομόνωση από την πραγματικότητα, και ως εκ τούτου οι μαθητές δεν βλέπουν το νόημα στη μελέτη τύπων και θεωρημάτων.

Στην πραγματικότητα, μετά από πιο προσεκτική εξέταση, αυτός ο τομέας γνώσης αποδεικνύεται πολύ ενδιαφέρον, καθώς και εφαρμοσμένος - η τριγωνομετρία χρησιμοποιείται στην αστρονομία, τις κατασκευές, τη φυσική, τη μουσική και πολλούς άλλους τομείς.

Ας εξοικειωθούμε με τις βασικές έννοιες και ας αναφέρουμε αρκετούς λόγους για να μελετήσουμε αυτόν τον κλάδο της μαθηματικής επιστήμης.

Ιστορία

Είναι άγνωστο σε ποιο χρονικό σημείο η ανθρωπότητα άρχισε να δημιουργεί τη μελλοντική τριγωνομετρία από την αρχή. Ωστόσο, τεκμηριώνεται ότι ήδη από τη δεύτερη χιλιετία π.Χ., οι Αιγύπτιοι ήταν εξοικειωμένοι με τα βασικά αυτής της επιστήμης: οι αρχαιολόγοι βρήκαν έναν πάπυρο με μια εργασία στην οποία έπρεπε να βρουν τη γωνία κλίσης της πυραμίδας σε δύο γνωστές πλευρές.

Οι επιστήμονες της Αρχαίας Βαβυλώνας πέτυχαν πιο σοβαρές επιτυχίες. Με την πάροδο των αιώνων, μελετώντας την αστρονομία, κατέκτησαν μια σειρά από θεωρήματα, εισήγαγαν ειδικές μεθόδους μέτρησης γωνιών, τις οποίες, παρεμπιπτόντως, χρησιμοποιούμε σήμερα: μοίρες, λεπτά και δευτερόλεπτα δανείστηκαν από την ευρωπαϊκή επιστήμη στον ελληνορωμαϊκό πολιτισμό, στον οποίο αυτές οι μονάδες προέρχονταν από τους Βαβυλώνιους.

Υποτίθεται ότι το περίφημο Πυθαγόρειο θεώρημα, που σχετίζεται με τις βασικές αρχές της τριγωνομετρίας, ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους σχεδόν πριν από τέσσερις χιλιάδες χρόνια.

Ονομα

Κυριολεκτικά, ο όρος «τριγωνομετρία» μπορεί να μεταφραστεί ως «μέτρηση τριγώνων». Το κύριο αντικείμενο μελέτης σε αυτό το τμήμα της επιστήμης για πολλούς αιώνες ήταν το ορθογώνιο τρίγωνο, ή ακριβέστερα, η σχέση μεταξύ των μεγεθών των γωνιών και των μηκών των πλευρών του (σήμερα, η μελέτη της τριγωνομετρίας από το μηδέν ξεκινά με αυτό το τμήμα) . Υπάρχουν συχνά καταστάσεις στη ζωή όπου είναι πρακτικά αδύνατο να μετρηθούν όλες οι απαιτούμενες παραμέτρους ενός αντικειμένου (ή η απόσταση από το αντικείμενο) και τότε καθίσταται απαραίτητο να ληφθούν τα δεδομένα που λείπουν μέσω υπολογισμών.

Για παράδειγμα, στο παρελθόν, οι άνθρωποι δεν μπορούσαν να μετρήσουν την απόσταση από τα διαστημικά αντικείμενα, αλλά οι προσπάθειες υπολογισμού αυτών των αποστάσεων έγιναν πολύ πριν από την έλευση της εποχής μας. Η τριγωνομετρία έπαιξε επίσης καθοριστικό ρόλο στη ναυσιπλοΐα: με κάποιες γνώσεις, ο καπετάνιος μπορούσε πάντα να πλοηγείται δίπλα στα αστέρια τη νύχτα και να προσαρμόζει την πορεία.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Η εξοικείωση της τριγωνομετρίας από το μηδέν απαιτεί κατανόηση και απομνημόνευση αρκετών βασικών όρων.

Το ημίτονο μιας ορισμένης γωνίας είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα. Ας διευκρινίσουμε ότι το απέναντι σκέλος είναι η πλευρά που βρίσκεται απέναντι από τη γωνία που εξετάζουμε. Έτσι, εάν μια γωνία είναι 30 μοίρες, το ημίτονο αυτής της γωνίας θα είναι πάντα, για οποιοδήποτε μέγεθος του τριγώνου, ίσο με ½. Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Εφαπτομένη είναι η αναλογία της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά (ή, που είναι η ίδια, η αναλογία ημιτονοειδούς προς συνημίτονο). Η συνεφαπτομένη είναι η μονάδα που διαιρείται με την εφαπτομένη.

Αξίζει να αναφέρουμε τον περίφημο αριθμό Pi (3,14...), που είναι το μισό του μήκους ενός κύκλου με ακτίνα μίας μονάδας.

Λαϊκά λάθη

Οι άνθρωποι που μαθαίνουν τριγωνομετρία από την αρχή κάνουν πολλά λάθη - κυρίως λόγω απροσεξίας.

Πρώτον, όταν λύνετε προβλήματα γεωμετρίας, πρέπει να θυμάστε ότι η χρήση ημιτόνων και συνημιτόνων είναι δυνατή μόνο σε ορθογώνιο τρίγωνο. Συμβαίνει ότι ένας μαθητής παίρνει «αυτόματα» τη μεγαλύτερη πλευρά ενός τριγώνου ως υποτείνουσα και παίρνει λανθασμένα αποτελέσματα υπολογισμού.

Δεύτερον, αρχικά είναι εύκολο να συγχέουμε τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου για την επιλεγμένη γωνία: θυμηθείτε ότι το ημίτονο των 30 μοιρών είναι αριθμητικά ίσο με το συνημίτονο του 60 και αντίστροφα. Εάν αντικαταστήσετε έναν λανθασμένο αριθμό, όλοι οι περαιτέρω υπολογισμοί θα είναι λανθασμένοι.

Τρίτον, μέχρι να λυθεί πλήρως το πρόβλημα, δεν θα πρέπει να στρογγυλοποιήσετε καμία τιμή, να εξάγετε ρίζες ή να γράψετε ένα κοινό κλάσμα ως δεκαδικό. Συχνά οι μαθητές προσπαθούν να πάρουν έναν «όμορφο» αριθμό σε ένα πρόβλημα τριγωνομετρίας και να εξαγάγουν αμέσως τη ρίζα του τρία, αν και μετά από ακριβώς μία ενέργεια αυτή η ρίζα μπορεί να μειωθεί.

Ετυμολογία της λέξης "sine"

Η ιστορία της λέξης "sine" είναι πραγματικά ασυνήθιστη. Το γεγονός είναι ότι η κυριολεκτική μετάφραση αυτής της λέξης από τα λατινικά σημαίνει "κούφιο". Αυτό συμβαίνει επειδή η σωστή κατανόηση της λέξης χάθηκε κατά τη μετάφραση από τη μια γλώσσα στην άλλη.

Τα ονόματα των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων προέρχονται από την Ινδία, όπου η έννοια του ημιτόνου υποδηλώθηκε με τη λέξη "string" στα σανσκριτικά - το γεγονός είναι ότι το τμήμα, μαζί με το τόξο του κύκλου στον οποίο στηριζόταν, έμοιαζε με τόξο . Κατά τη διάρκεια της ακμής του αραβικού πολιτισμού, τα επιτεύγματα της Ινδίας στον τομέα της τριγωνομετρίας δανείστηκαν και ο όρος πέρασε στα αραβικά ως μεταγραφή. Συνέβη ότι αυτή η γλώσσα είχε ήδη μια παρόμοια λέξη που υποδηλώνει κατάθλιψη και αν οι Άραβες κατανοούσαν τη φωνητική διαφορά μεταξύ της μητρικής και της δανεικής λέξης, τότε οι Ευρωπαίοι, μεταφράζοντας επιστημονικές πραγματείες στα λατινικά, μετέφρασαν κατά λάθος κυριολεκτικά την αραβική λέξη, η οποία δεν είχε τίποτα να κάνει με την έννοια του ημιτονοειδούς . Το χρησιμοποιούμε ακόμα μέχρι σήμερα.

Πίνακες αξιών

Υπάρχουν πίνακες που περιέχουν αριθμητικές τιμές για ημίτονο, συνημίτονα και εφαπτομένες όλων των πιθανών γωνιών. Παρακάτω παρουσιάζουμε δεδομένα για γωνίες 0, 30, 45, 60 και 90 μοιρών, τα οποία πρέπει να μάθουμε ως υποχρεωτικό τμήμα της τριγωνομετρίας για τα «ανδρείκελα»· ευτυχώς, είναι αρκετά εύκολο να τα θυμόμαστε.

Εάν συμβεί ότι η αριθμητική τιμή του ημιτόνου ή του συνημιτονοειδούς μιας γωνίας "βγήκε από το μυαλό σας", υπάρχει τρόπος να την εξαγάγετε μόνοι σας.

Γεωμετρική παράσταση

Ας σχεδιάσουμε έναν κύκλο και ας τραβήξουμε τους άξονες της τετμημένης και των τεταγμένων στο κέντρο της. Ο άξονας της τετμημένης είναι οριζόντιος, ο άξονας των τεταγμένων είναι κάθετος. Συνήθως υπογράφονται ως «Χ» και «Υ» αντίστοιχα. Τώρα θα τραβήξουμε μια ευθεία γραμμή από το κέντρο του κύκλου έτσι ώστε να ληφθεί η γωνία που χρειαζόμαστε μεταξύ αυτού και του άξονα Χ. Τέλος, από το σημείο που η ευθεία τέμνει τον κύκλο, ρίχνουμε μια κάθετη στον άξονα Χ. Το μήκος του τμήματος που θα προκύψει θα είναι ίσο με την αριθμητική τιμή του ημιτόνου της γωνίας μας.

Αυτή η μέθοδος είναι πολύ σχετική εάν ξεχάσατε την απαιτούμενη τιμή, για παράδειγμα, κατά τη διάρκεια μιας εξέτασης και δεν έχετε διαθέσιμο βιβλίο τριγωνομετρίας. Δεν θα λάβετε έναν ακριβή αριθμό με αυτόν τον τρόπο, αλλά σίγουρα θα δείτε τη διαφορά μεταξύ ½ και 1,73/2 (ημίτονο και συνημίτονο γωνίας 30 μοιρών).

Εφαρμογή

Μερικοί από τους πρώτους ειδικούς που χρησιμοποίησαν την τριγωνομετρία ήταν ναυτικοί που δεν είχαν άλλο σημείο αναφοράς στην ανοιχτή θάλασσα εκτός από τον ουρανό πάνω από τα κεφάλια τους. Σήμερα, οι καπετάνιοι πλοίων (αεροπλάνα και άλλα μέσα μεταφοράς) δεν αναζητούν το συντομότερο μονοπάτι χρησιμοποιώντας τα αστέρια, αλλά καταφεύγουν ενεργά στην πλοήγηση GPS, κάτι που θα ήταν αδύνατο χωρίς τη χρήση τριγωνομετρίας.

Σχεδόν σε κάθε τμήμα της φυσικής, θα βρείτε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας ημιτόνια και συνημίτονα: είτε είναι η εφαρμογή δύναμης στη μηχανική, οι υπολογισμοί της διαδρομής των αντικειμένων στην κινηματική, οι δονήσεις, η διάδοση κυμάτων, η διάθλαση του φωτός - απλά δεν μπορείτε να κάνετε χωρίς βασική τριγωνομετρία στους τύπους.

Ένα άλλο επάγγελμα που είναι αδιανόητο χωρίς τριγωνομετρία είναι ο τοπογράφος. Χρησιμοποιώντας ένα θεοδόλιθο και ένα επίπεδο ή μια πιο σύνθετη συσκευή - ένα ταχύμετρο, αυτοί οι άνθρωποι μετρούν τη διαφορά ύψους μεταξύ διαφορετικών σημείων στην επιφάνεια της γης.

Επαναληψιμότητα

Η τριγωνομετρία δεν ασχολείται μόνο με τις γωνίες και τις πλευρές ενός τριγώνου, αν και από εδώ ξεκίνησε η ύπαρξή του. Σε όλους τους τομείς όπου υπάρχει κυκλικότητα (βιολογία, ιατρική, φυσική, μουσική κ.λπ.) θα συναντήσετε ένα γράφημα του οποίου το όνομα είναι πιθανώς γνωστό σε εσάς - αυτό είναι ένα ημιτονοειδές κύμα.

Ένα τέτοιο γράφημα είναι ένας κύκλος που ξεδιπλώνεται κατά μήκος του άξονα του χρόνου και μοιάζει με κύμα. Αν έχετε δουλέψει ποτέ με παλμογράφο στο μάθημα φυσικής, ξέρετε για τι πράγμα μιλάμε. Τόσο ο ισοσταθμιστής μουσικής όσο και η συσκευή παρακολούθησης καρδιακών παλμών χρησιμοποιούν τύπους τριγωνομετρίας στην εργασία τους.

Τελικά

Όταν σκέφτονται πώς να μάθουν την τριγωνομετρία, οι περισσότεροι μαθητές γυμνασίου και γυμνασίου αρχίζουν να τη θεωρούν δύσκολη και μη πρακτική επιστήμη, αφού εξοικειώνονται μόνο με βαρετές πληροφορίες από ένα σχολικό βιβλίο.

Όσον αφορά το μη πρακτικό, έχουμε ήδη δει ότι, στον ένα ή τον άλλο βαθμό, η ικανότητα χειρισμού ημιτονίων και εφαπτομένων απαιτείται σχεδόν σε κάθε τομέα δραστηριότητας. Όσο για την πολυπλοκότητα... Σκεφτείτε: αν οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν αυτή τη γνώση πριν από δύο χιλιάδες χρόνια, όταν ένας ενήλικας είχε λιγότερες γνώσεις από τον σημερινό μαθητή γυμνασίου, είναι ρεαλιστικό για εσάς προσωπικά να μελετήσετε αυτό το πεδίο της επιστήμης σε βασικό επίπεδο; Λίγες ώρες στοχαστική εξάσκηση στην επίλυση προβλημάτων - και θα πετύχετε τον στόχο σας μελετώντας το βασικό μάθημα, τη λεγόμενη τριγωνομετρία για ανδρείκελα.

Πίσω στο 1905, οι Ρώσοι αναγνώστες μπορούσαν να διαβάσουν στο βιβλίο του Ουίλιαμ Τζέιμς «Ψυχολογία» τον συλλογισμό του σχετικά με το «γιατί η σχολαστική μάθηση είναι τόσο κακός τρόπος μάθησης;»

«Η γνώση που αποκτάται μέσω της απλής εκμάθησης είναι σχεδόν αναπόφευκτα ξεχασμένη εντελώς χωρίς ίχνος. Αντίθετα, το νοητικό υλικό, που αποκτάται από τη μνήμη σταδιακά, μέρα με τη μέρα, σε σχέση με διάφορα περιβάλλοντα, συνδέεται συνειρμικά με άλλα εξωτερικά γεγονότα και υπόκειται επανειλημμένα σε συζήτηση, σχηματίζει ένα τέτοιο σύστημα, μπαίνει σε μια τέτοια σύνδεση με τις άλλες πτυχές μας. η διάνοια, αποκαθίσταται εύκολα στη μνήμη από μια μάζα εξωτερικών περιστάσεων, η οποία παραμένει ένα ανθεκτικό απόκτημα για μεγάλο χρονικό διάστημα.»

Έχουν περάσει περισσότερα από 100 χρόνια από τότε και αυτά τα λόγια παραμένουν εκπληκτικά επίκαιρα. Αυτό πείθεσαι καθημερινά όταν δουλεύεις με μαθητές. Τα τεράστια κενά στη γνώση είναι τόσο μεγάλα που μπορεί να υποστηριχθεί: το σχολικό μάθημα των μαθηματικών με διδακτικούς και ψυχολογικούς όρους δεν είναι ένα σύστημα, αλλά ένα είδος συσκευής που ενθαρρύνει τη βραχυπρόθεσμη μνήμη και δεν ενδιαφέρεται καθόλου για τη μακροπρόθεσμη μνήμη .

Η γνώση του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών σημαίνει ότι κατέχεις την ύλη κάθε τομέα των μαθηματικών και μπορείς να ενημερώνεις οποιαδήποτε από αυτές ανά πάσα στιγμή. Για να το πετύχετε αυτό, πρέπει να επικοινωνείτε συστηματικά με καθένα από αυτά, κάτι που μερικές φορές δεν είναι πάντα δυνατό λόγω του μεγάλου φόρτου εργασίας στο μάθημα.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος μακροπρόθεσμης απομνημόνευσης γεγονότων και τύπων - αυτά είναι σήματα αναφοράς.

Η τριγωνομετρία είναι ένα από τα μεγάλα τμήματα των σχολικών μαθηματικών, που μελετάται στο μάθημα της γεωμετρίας στις τάξεις 8 και 9 και στο μάθημα της άλγεβρας στην τάξη 9, της άλγεβρας και της στοιχειώδους ανάλυσης στη τάξη 10.

Ο μεγαλύτερος όγκος υλικού που μελετήθηκε στην τριγωνομετρία πέφτει στη 10η τάξη. Το μεγαλύτερο μέρος αυτού του υλικού τριγωνομετρίας μπορεί να μάθει και να απομνημονευτεί τριγωνομετρικός κύκλος(κύκλος μοναδιαίας ακτίνας με το κέντρο του στην αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων). Παράρτημα 1.ppt

Αυτές είναι οι ακόλουθες έννοιες τριγωνομετρίας:

• ορισμοί ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης γωνίας.
• Μέτρηση ακτινικής γωνίας.
• πεδίο ορισμού και εύρος τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων
• Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων για ορισμένες τιμές του αριθμητικού και γωνιακού ορίσματος.
• περιοδικότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
• ομαλότητα και παραδοξότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
• αύξηση και μείωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
• τύποι μείωσης?
• Τιμές αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
• επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
• επίλυση απλών ανισοτήτων.
• βασικοί τύποι τριγωνομετρίας.

Ας εξετάσουμε τη μελέτη αυτών των εννοιών στον τριγωνομετρικό κύκλο.

1) Ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

Αφού εισαγάγουν την έννοια του τριγωνομετρικού κύκλου (κύκλος μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο στην αρχή), της αρχικής ακτίνας (η ακτίνα του κύκλου προς την κατεύθυνση του άξονα Ox) και της γωνίας περιστροφής, οι μαθητές αποκτούν ανεξάρτητα ορισμούς για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε τριγωνομετρικό κύκλο, χρησιμοποιώντας τους ορισμούς από τη γεωμετρία του μαθήματος, δηλαδή θεωρώντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ίση με 1.

Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι η τετμημένη ενός σημείου ενός κύκλου όταν η αρχική ακτίνα περιστρέφεται κατά μια δεδομένη γωνία.

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η τεταγμένη ενός σημείου σε έναν κύκλο όταν η αρχική ακτίνα περιστρέφεται κατά μια δεδομένη γωνία.

2) Ακτινική μέτρηση γωνιών σε τριγωνομετρικό κύκλο.

Αφού εισαγάγουμε το μέτρο ακτινίου μιας γωνίας (1 ακτίνιο είναι η κεντρική γωνία, η οποία αντιστοιχεί στο μήκος του τόξου ίσο με το μήκος της ακτίνας του κύκλου), οι μαθητές καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η μέτρηση ακτίνων της γωνίας είναι η αριθμητική τιμή του η γωνία περιστροφής στον κύκλο, ίση με το μήκος του αντίστοιχου τόξου όταν η αρχική ακτίνα περιστρέφεται κατά δεδομένη γωνία. .

Ο τριγωνομετρικός κύκλος χωρίζεται σε 12 ίσα μέρη από τις διαμέτρους του κύκλου. Γνωρίζοντας ότι η γωνία είναι σε ακτίνια, μπορείτε να προσδιορίσετε τη μέτρηση του ακτινίου για γωνίες που είναι πολλαπλάσια του .

Και οι μετρήσεις ακτίνων των γωνιών, πολλαπλάσια, λαμβάνονται ομοίως:

3) Τομέας ορισμού και εύρος τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Η αντιστοιχία μεταξύ των γωνιών περιστροφής και των τιμών συντεταγμένων ενός σημείου σε έναν κύκλο θα είναι συνάρτηση;

Κάθε γωνία περιστροφής αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του κύκλου, που σημαίνει ότι αυτή η αντιστοιχία είναι συνάρτηση.

Λήψη των λειτουργιών

Στον τριγωνομετρικό κύκλο μπορείτε να δείτε ότι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και το εύρος τιμών είναι .

Ας εισαγάγουμε τις έννοιες των ευθειών εφαπτομένων και συνεφαπτομένων σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.

1) Αφήστε Ας εισαγάγουμε μια βοηθητική ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy, στην οποία καθορίζονται οι εφαπτομένες για οποιοδήποτε αριθμητικό όρισμα.

2) Παρομοίως, λαμβάνουμε μια σειρά συνεφαπτομένων. Έστω y=1, τότε . Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές συνεφαπτομένης καθορίζονται σε ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox.

Σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

για εφαπτομένη -

για συνεφαπτομένη -

4) Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε τριγωνομετρικό κύκλο.

Το σκέλος απέναντι από τη γωνία προς τα μέσα είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή το άλλο σκέλος σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αυτό σημαίνει ότι ορίζοντας ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, μπορείτε να καθορίσετε τιμές για γωνίες που είναι πολλαπλάσια ή ακτίνια. Οι τιμές ημιτόνου προσδιορίζονται κατά μήκος του άξονα Oy, το συνημίτονο κατά μήκος του άξονα Ox και οι τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας πρόσθετους άξονες παράλληλους στους άξονες Oy και Ox, αντίστοιχα.

Οι πινακοποιημένες τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου βρίσκονται στους αντίστοιχους άξονες ως εξής:

Πίνακες τιμών εφαπτομένης και συνεφαπτομένης -

5) Περιοδικότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Στον τριγωνομετρικό κύκλο μπορείτε να δείτε ότι οι τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου επαναλαμβάνονται κάθε ακτίνιο και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη - κάθε ακτίνιο.

6) Ομοιότητα και περιττότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να ληφθεί συγκρίνοντας τις τιμές των θετικών και των αντίθετων γωνιών περιστροφής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Το καταλαβαίνουμε

Αυτό σημαίνει ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, όλες οι άλλες συναρτήσεις είναι περιττές.

7) Αύξηση και μείωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ο τριγωνομετρικός κύκλος δείχνει ότι η ημιτονοειδής συνάρτηση αυξάνεται και μειώνεται

Συλλογιζόμενοι παρομοίως, λαμβάνουμε τα διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης συνημίτονου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

8) Τύποι αναγωγής.

Για τη γωνία παίρνουμε τη μικρότερη τιμή της γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο. Όλοι οι τύποι λαμβάνονται συγκρίνοντας τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα σκέλη επιλεγμένων ορθογωνίων τριγώνων.

Αλγόριθμος για την εφαρμογή τύπων αναγωγής:

1) Προσδιορίστε το πρόσημο της συνάρτησης όταν περιστρέφεται σε μια δεδομένη γωνία.

Όταν στρίβετε σε μια γωνία η συνάρτηση διατηρείται, όταν περιστρέφεται κατά γωνία - ακέραιος, περιττός αριθμός, η συνσυνάρτηση (

9) Τιμές αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ας εισαγάγουμε αντίστροφες συναρτήσεις για τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας συνάρτησης.

Κάθε τιμή ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης στον τριγωνομετρικό κύκλο αντιστοιχεί μόνο σε μία τιμή της γωνίας περιστροφής. Αυτό σημαίνει ότι για μια συνάρτηση ο τομέας ορισμού είναι, το εύρος τιμών είναι - Για τη συνάρτηση ο τομέας ορισμού είναι, το εύρος τιμών είναι. Ομοίως, λαμβάνουμε το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών των αντίστροφων συναρτήσεων για συνημίτονο και συνεφαπτομένη.

Αλγόριθμος για την εύρεση των τιμών των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

1) εύρεση της τιμής του ορίσματος της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης στον αντίστοιχο άξονα.

2) εύρεση της γωνίας περιστροφής της αρχικής ακτίνας, λαμβάνοντας υπόψη το εύρος τιμών της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Για παράδειγμα:

10) Επίλυση απλών εξισώσεων σε τριγωνομετρικό κύκλο.

Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής , βρίσκουμε σημεία στον κύκλο των οποίων οι τεταγμένες είναι ίσες και γράφουμε τις αντίστοιχες γωνίες, λαμβάνοντας υπόψη την περίοδο της συνάρτησης.

Για την εξίσωση, βρίσκουμε σημεία στον κύκλο των οποίων τα τετμημένα είναι ίσα και γράφουμε τις αντίστοιχες γωνίες, λαμβάνοντας υπόψη την περίοδο της συνάρτησης.

Ομοίως για εξισώσεις της μορφής Οι τιμές προσδιορίζονται στις γραμμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων και καταγράφονται οι αντίστοιχες γωνίες περιστροφής.

Όλες οι έννοιες και οι τύποι της τριγωνομετρίας μαθαίνονται από τους ίδιους τους μαθητές υπό τη σαφή καθοδήγηση του δασκάλου χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Στο μέλλον, αυτός ο «κύκλος» θα χρησιμεύσει ως σήμα αναφοράς ή εξωτερικός παράγοντας για να αναπαράγουν στη μνήμη τις έννοιες και τους τύπους της τριγωνομετρίας.

Η μελέτη της τριγωνομετρίας σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο βοηθά:

• επιλογή του βέλτιστου στυλ επικοινωνίας για ένα δεδομένο μάθημα, οργάνωση εκπαιδευτικής συνεργασίας.
• οι στόχοι μαθήματος γίνονται προσωπικά σημαντικοί για κάθε μαθητή.
• το νέο υλικό βασίζεται στην προσωπική εμπειρία δράσης, σκέψης και συναισθήματος του μαθητή.
• το μάθημα περιλαμβάνει διάφορες μορφές εργασίας και τρόπους απόκτησης και αφομοίωσης γνώσης. Υπάρχουν στοιχεία αμοιβαίας και αυτομάθησης. αυτο- και αμοιβαίος έλεγχος?
• υπάρχει γρήγορη απάντηση σε παρεξήγηση και λάθος (κοινή συζήτηση, συμβουλές υποστήριξης, αμοιβαίες διαβουλεύσεις).