Σύμφωνα με τη μέθοδο Gauss. Μέθοδος Gauss: περιγραφή του αλγορίθμου για την επίλυση συστήματος γραμμικών εξισώσεων, παραδείγματα, λύσεις

Μέθοδος Gaussιδανικό για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (SLAE). Έχει πολλά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με άλλες μεθόδους:

Πρώτον, δεν χρειάζεται να εξεταστεί πρώτα το σύστημα εξισώσεων για συνέπεια.
δεύτερον, η μέθοδος Gauss μπορεί να λύσει όχι μόνο SLAE στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός, αλλά και συστήματα εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με ο αριθμός των άγνωστων μεταβλητών ή ο προσδιοριστής του κύριου πίνακα είναι ίσος με μηδέν.
Τρίτον, η μέθοδος Gauss οδηγεί σε αποτελέσματα με σχετικά μικρό αριθμό υπολογιστικών πράξεων.

Σύντομη επισκόπηση του άρθρου.

Αρχικά, δίνουμε τους απαραίτητους ορισμούς και εισάγουμε σημειώσεις.

Στη συνέχεια, θα περιγράψουμε τον αλγόριθμο της μεθόδου Gauss για την απλούστερη περίπτωση, δηλαδή για συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, ο αριθμός των εξισώσεων στις οποίες συμπίπτει με τον αριθμό των άγνωστων μεταβλητών και η ορίζουσα του κύριου πίνακα του συστήματος είναι όχι ίσο με μηδέν. Κατά την επίλυση τέτοιων συστημάτων εξισώσεων, η ουσία της μεθόδου Gauss είναι πιο ευδιάκριτη, η οποία είναι η διαδοχική εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών. Επομένως, η μέθοδος Gauss ονομάζεται επίσης μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων. Θα δείξουμε λεπτομερείς λύσεις πολλών παραδειγμάτων.

Συμπερασματικά, θα εξετάσουμε τη λύση με τη μέθοδο Gauss συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, ο κύριος πίνακας των οποίων είναι είτε ορθογώνιος είτε ενικός. Η λύση σε τέτοια συστήματα έχει ορισμένα χαρακτηριστικά, τα οποία θα εξετάσουμε λεπτομερώς χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Βασικοί ορισμοί και σημειώσεις.

Θεωρήστε ένα σύστημα p γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους (το p μπορεί να είναι ίσο με n):

Όπου υπάρχουν άγνωστες μεταβλητές, είναι αριθμοί (πραγματικοί ή μιγαδικοί) και είναι ελεύθεροι όροι.

Αν , τότε ονομάζεται το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ομοιογενής, σε διαφορετική περίπτωση - ετερογενής.

Καλείται το σύνολο των τιμών των άγνωστων μεταβλητών για τις οποίες όλες οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται ταυτότητες απόφαση της SLAU.

Αν υπάρχει τουλάχιστον μία λύση σε ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, τότε καλείται άρθρωση, σε διαφορετική περίπτωση - μη άρθρωση.

Εάν ένα SLAE έχει μια μοναδική λύση, τότε ονομάζεται βέβαιος. Εάν υπάρχουν περισσότερες από μία λύσεις, τότε το σύστημα καλείται αβέβαιος.

Λένε ότι το σύστημα είναι γραμμένο φόρμα συντεταγμένων, αν έχει τη μορφή
.

Αυτό το σύστημα σε μορφή μήτραςη εγγραφή έχει τη μορφή , όπου - ο κύριος πίνακας του SLAE, - ο πίνακας της στήλης των άγνωστων μεταβλητών, - ο πίνακας των ελεύθερων όρων.

Αν προσθέσουμε μια μήτρα-στήλη ελεύθερων όρων στον πίνακα Α ως (n+1)η στήλη, παίρνουμε το λεγόμενο εκτεταμένη μήτρασυστήματα γραμμικών εξισώσεων. Συνήθως, ένας εκτεταμένος πίνακας συμβολίζεται με το γράμμα T και η στήλη των ελεύθερων όρων χωρίζεται με μια κάθετη γραμμή από τις υπόλοιπες στήλες, δηλαδή

Ο τετραγωνικός πίνακας Α ονομάζεται εκφυλισμένος, αν η ορίζουσα του είναι μηδέν. Αν , τότε καλείται ο πίνακας Α μη εκφυλισμένος.

Πρέπει να σημειωθεί το ακόλουθο σημείο.

Εάν εκτελέσετε τις παρακάτω ενέργειες με ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

ανταλλάξτε δύο εξισώσεις,
πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης με έναν αυθαίρετο και μη μηδενικό πραγματικό (ή μιγαδικό) αριθμό k,
και στις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης προσθέστε τα αντίστοιχα μέρη μιας άλλης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k,

τότε παίρνετε ένα ισοδύναμο σύστημα που έχει τις ίδιες λύσεις (ή, όπως το αρχικό, δεν έχει λύσεις).

Για έναν εκτεταμένο πίνακα ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, αυτές οι ενέργειες θα σημαίνουν τη διεξαγωγή στοιχειωδών μετασχηματισμών με τις σειρές:

ανταλλάσσοντας δύο γραμμές,
πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς του πίνακα T με έναν μη μηδενικό αριθμό k,
προσθέτοντας στα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς ενός πίνακα τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα με έναν αυθαίρετο αριθμό k.

Τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην περιγραφή της μεθόδου Gauss.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων και ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι μη ενικός, με τη μέθοδο Gauss.

Τι θα κάναμε στο σχολείο αν μας έδιναν το καθήκον να βρούμε λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων; .

Κάποιοι θα το έκαναν αυτό.

Σημειώστε ότι προσθέτοντας την αριστερή πλευρά της πρώτης στην αριστερή πλευρά της δεύτερης εξίσωσης και τη δεξιά πλευρά στη δεξιά πλευρά, μπορείτε να απαλλαγείτε από τις άγνωστες μεταβλητές x 2 και x 3 και να βρείτε αμέσως το x 1:

Αντικαθιστούμε την τιμή που βρέθηκε x 1 =1 στην πρώτη και τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Αν πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της τρίτης εξίσωσης του συστήματος με -1 και τις προσθέσουμε στα αντίστοιχα μέρη της πρώτης εξίσωσης, απαλλαγούμε από την άγνωστη μεταβλητή x 3 και μπορούμε να βρούμε το x 2:

Αντικαθιστούμε την προκύπτουσα τιμή x 2 = 2 στην τρίτη εξίσωση και βρίσκουμε την υπόλοιπη άγνωστη μεταβλητή x 3:

Άλλοι θα έκαναν διαφορετικά.

Ας επιλύσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος σε σχέση με την άγνωστη μεταβλητή x 1 και ας αντικαταστήσουμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος για να εξαιρέσουμε αυτή τη μεταβλητή από αυτές:

Τώρα ας λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος για το x 2 και ας αντικαταστήσουμε το αποτέλεσμα που προκύπτει με την τρίτη εξίσωση για να εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 2 από αυτήν:

Από την τρίτη εξίσωση του συστήματος είναι σαφές ότι x 3 =3. Από τη δεύτερη εξίσωση βρίσκουμε , και από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε .

Γνωστές λύσεις, σωστά;

Το πιο ενδιαφέρον εδώ είναι ότι η δεύτερη μέθοδος λύσης είναι ουσιαστικά η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων, δηλαδή η μέθοδος Gauss. Όταν εκφράσαμε τις άγνωστες μεταβλητές (πρώτη x 1, στο επόμενο στάδιο x 2) και τις αντικαταστήσαμε στις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος, έτσι τις αποκλείσαμε. Πραγματοποιήσαμε εξάλειψη έως ότου έμεινε μόνο μία άγνωστη μεταβλητή στην τελευταία εξίσωση. Η διαδικασία της διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων ονομάζεται άμεση Gaussian μέθοδος. Αφού ολοκληρώσουμε την κίνηση προς τα εμπρός, έχουμε την ευκαιρία να υπολογίσουμε την άγνωστη μεταβλητή που βρέθηκε στην τελευταία εξίσωση. Με τη βοήθειά του, βρίσκουμε την επόμενη άγνωστη μεταβλητή από την προτελευταία εξίσωση κ.ο.κ. Η διαδικασία της διαδοχικής εύρεσης άγνωστων μεταβλητών κατά τη μετάβαση από την τελευταία εξίσωση στην πρώτη ονομάζεται αντίστροφη της μεθόδου Gauss.

Πρέπει να σημειωθεί ότι όταν εκφράζουμε x 1 ως x 2 και x 3 στην πρώτη εξίσωση, και στη συνέχεια αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει στη δεύτερη και τρίτη εξίσωση, οι ακόλουθες ενέργειες οδηγούν στο ίδιο αποτέλεσμα:

Πράγματι, μια τέτοια διαδικασία καθιστά επίσης δυνατή την εξάλειψη της άγνωστης μεταβλητής x 1 από τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Αποχρώσεις με την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών με τη χρήση της μεθόδου Gauss προκύπτουν όταν οι εξισώσεις του συστήματος δεν περιέχουν κάποιες μεταβλητές.

Για παράδειγμα, στο SLAU στην πρώτη εξίσωση δεν υπάρχει άγνωστη μεταβλητή x 1 (με άλλα λόγια, ο συντελεστής μπροστά της είναι μηδέν). Επομένως, δεν μπορούμε να λύσουμε την πρώτη εξίσωση του συστήματος για x 1 προκειμένου να εξαλειφθεί αυτή η άγνωστη μεταβλητή από τις υπόλοιπες εξισώσεις. Η διέξοδος από αυτήν την κατάσταση είναι να ανταλλάξουμε τις εξισώσεις του συστήματος. Εφόσον εξετάζουμε συστήματα γραμμικών εξισώσεων των οποίων οι ορίζοντες των κύριων πινάκων είναι διαφορετικοί από το μηδέν, υπάρχει πάντα μια εξίσωση στην οποία υπάρχει η μεταβλητή που χρειαζόμαστε και μπορούμε να αναδιατάξουμε αυτήν την εξίσωση στη θέση που χρειαζόμαστε. Για το παράδειγμά μας, αρκεί να ανταλλάξουμε την πρώτη και τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος , τότε μπορείτε να επιλύσετε την πρώτη εξίσωση για το x 1 και να την εξαιρέσετε από τις υπόλοιπες εξισώσεις του συστήματος (αν και το x 1 δεν υπάρχει πλέον στη δεύτερη εξίσωση).

Ελπίζουμε να καταλάβετε την ουσία.

Ας περιγράψουμε Αλγόριθμος μεθόδου Gauss.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε ένα σύστημα n γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με n άγνωστες μεταβλητές της μορφής , και έστω η ορίζουσα του κύριου πίνακα του να είναι διαφορετική από το μηδέν.

Θα υποθέσουμε ότι , αφού μπορούμε πάντα να το πετύχουμε αυτό αναδιατάσσοντας τις εξισώσεις του συστήματος. Ας εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος, ξεκινώντας από τη δεύτερη. Για να γίνει αυτό, στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με , στην τρίτη εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στην nη εξίσωση προσθέτουμε την πρώτη, πολλαπλασιαζόμενη με . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και .

Θα είχαμε φτάσει στο ίδιο αποτέλεσμα αν είχαμε εκφράσει x 1 ως προς άλλες άγνωστες μεταβλητές στην πρώτη εξίσωση του συστήματος και αντικαθιστούσαμε την έκφραση που προκύπτει με όλες τις άλλες εξισώσεις. Έτσι, η μεταβλητή x 1 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από τη δεύτερη.

Στη συνέχεια, προχωράμε με παρόμοιο τρόπο, αλλά μόνο με μέρος του προκύπτοντος συστήματος, το οποίο σημειώνεται στο σχήμα

Για να γίνει αυτό, στην τρίτη εξίσωση του συστήματος προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με , στην τέταρτη εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με , και ούτω καθεξής, στην nη εξίσωση προσθέτουμε τη δεύτερη, πολλαπλασιαζόμενη με . Το σύστημα των εξισώσεων μετά από τέτοιους μετασχηματισμούς θα πάρει τη μορφή

πού και . Έτσι, η μεταβλητή x 2 εξαιρείται από όλες τις εξισώσεις, ξεκινώντας από την τρίτη.

Στη συνέχεια, προχωράμε στην εξάλειψη του αγνώστου x 3, ενώ ενεργούμε παρόμοια με το τμήμα του συστήματος που σημειώνεται στο σχήμα

Συνεχίζουμε λοιπόν την άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss μέχρι το σύστημα να πάρει τη μορφή

Από αυτή τη στιγμή ξεκινάμε το αντίστροφο της μεθόδου Gauss: υπολογίζουμε το x n από την τελευταία εξίσωση καθώς, χρησιμοποιώντας την τιμή του x n που προκύπτει, βρίσκουμε x n-1 από την προτελευταία εξίσωση, και ούτω καθεξής, βρίσκουμε x 1 από την πρώτη εξίσωση .

Ας δούμε τον αλγόριθμο χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Μέθοδος Gauss.

Λύση.

Ο συντελεστής a 11 είναι μη μηδενικός, οπότε ας προχωρήσουμε στην άμεση πρόοδο της μεθόδου Gauss, δηλαδή στον αποκλεισμό της άγνωστης μεταβλητής x 1 από όλες τις εξισώσεις του συστήματος εκτός από την πρώτη. Για να το κάνετε αυτό, στην αριστερή και δεξιά πλευρά της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης εξίσωσης, προσθέστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί, αντίστοιχα. Και :

Η άγνωστη μεταβλητή x 1 έχει εξαλειφθεί, ας προχωρήσουμε στην εξάλειψη του x 2 . Στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τρίτης και τέταρτης εξίσωσης του συστήματος προσθέτουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες με αντίστοιχα Και :

Για να ολοκληρώσουμε την πρόοδο προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, πρέπει να εξαλείψουμε την άγνωστη μεταβλητή x 3 από την τελευταία εξίσωση του συστήματος. Ας προσθέσουμε στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τέταρτης εξίσωσης, αντίστοιχα, την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της τρίτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί :

Μπορείτε να ξεκινήσετε το αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Από την τελευταία εξίσωση έχουμε ,
από την τρίτη εξίσωση παίρνουμε,
από το δεύτερο,
από την πρώτη.

Για έλεγχο, μπορείτε να αντικαταστήσετε τις λαμβανόμενες τιμές των άγνωστων μεταβλητών στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Όλες οι εξισώσεις μετατρέπονται σε ταυτότητες, γεγονός που δείχνει ότι η λύση με τη μέθοδο Gauss βρέθηκε σωστά.

Απάντηση:

Τώρα ας δώσουμε μια λύση στο ίδιο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian σε σημειογραφία πίνακα.

Παράδειγμα.

Βρείτε τη λύση του συστήματος των εξισώσεων Μέθοδος Gauss.

Λύση.

Ο εκτεταμένος πίνακας του συστήματος έχει τη μορφή . Στην κορυφή κάθε στήλης βρίσκονται οι άγνωστες μεταβλητές που αντιστοιχούν στα στοιχεία του πίνακα.

Η άμεση προσέγγιση της μεθόδου Gauss εδώ περιλαμβάνει τη μείωση της εκτεταμένης μήτρας του συστήματος σε τραπεζοειδή μορφή χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Αυτή η διαδικασία είναι παρόμοια με την εξάλειψη άγνωστων μεταβλητών που κάναμε με το σύστημα σε μορφή συντεταγμένων. Τώρα θα το δείτε αυτό.

Ας μετατρέψουμε τον πίνακα έτσι ώστε όλα τα στοιχεία της πρώτης στήλης, ξεκινώντας από τη δεύτερη, να μηδενίζονται. Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης γραμμής προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης γραμμής πολλαπλασιαζόμενα επί , και αναλόγως:

Στη συνέχεια, μετασχηματίζουμε τον πίνακα που προκύπτει έτσι ώστε στη δεύτερη στήλη όλα τα στοιχεία, ξεκινώντας από την τρίτη, να μηδενίζονται. Αυτό θα αντιστοιχεί στην εξάλειψη της άγνωστης μεταβλητής x 2 . Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της τρίτης και τέταρτης σειράς προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα, πολλαπλασιαζόμενα με αντίστοιχα Και :

Απομένει να εξαιρεθεί η άγνωστη μεταβλητή x 3 από την τελευταία εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, στα στοιχεία της τελευταίας σειράς του πίνακα που προκύπτει προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της προτελευταίας σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί :

Πρέπει να σημειωθεί ότι αυτός ο πίνακας αντιστοιχεί σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων

που αποκτήθηκε νωρίτερα μετά από μια κίνηση προς τα εμπρός.

Είναι ώρα να γυρίσουμε πίσω. Στη σημειογραφία μήτρας, το αντίστροφο της μεθόδου Gauss περιλαμβάνει τον μετασχηματισμό του πίνακα που προκύπτει έτσι ώστε ο πίνακας που σημειώνεται στο σχήμα

έγινε διαγώνιος, πήρε δηλαδή τη μορφή

που είναι κάποιοι αριθμοί.

Αυτοί οι μετασχηματισμοί είναι παρόμοιοι με τους προς τα εμπρός μετασχηματισμούς της μεθόδου Gauss, αλλά εκτελούνται όχι από την πρώτη γραμμή στην τελευταία, αλλά από την τελευταία στην πρώτη.

Προσθέστε στα στοιχεία της τρίτης, δεύτερης και πρώτης γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία της τελευταίας γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί , ξανά και ξανά αντίστοιχα:

Τώρα προσθέστε στα στοιχεία της δεύτερης και της πρώτης γραμμής τα αντίστοιχα στοιχεία της τρίτης γραμμής, πολλαπλασιαζόμενα επί και επί, αντίστοιχα:

Στο τελευταίο βήμα της αντίστροφης μεθόδου Gauss, στα στοιχεία της πρώτης σειράς προσθέτουμε τα αντίστοιχα στοιχεία της δεύτερης σειράς, πολλαπλασιαζόμενα επί:

Ο προκύπτων πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα των εξισώσεων , από όπου βρίσκουμε τις άγνωστες μεταβλητές.

Απάντηση:

ΣΗΜΕΙΩΣΗ.

Όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, θα πρέπει να αποφεύγονται οι κατά προσέγγιση υπολογισμοί, καθώς αυτό μπορεί να οδηγήσει σε εντελώς εσφαλμένα αποτελέσματα. Συνιστούμε να μην στρογγυλοποιείτε δεκαδικούς αριθμούς. Είναι καλύτερα να μετακινηθείτε από τα δεκαδικά κλάσματα στα συνηθισμένα κλάσματα.

Παράδειγμα.

Να λύσετε ένα σύστημα τριών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss .

Λύση.

Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα οι άγνωστες μεταβλητές έχουν διαφορετικό προσδιορισμό (όχι x 1, x 2, x 3, αλλά x, y, z). Ας περάσουμε στα συνηθισμένα κλάσματα:

Ας εξαιρέσουμε τον άγνωστο x από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος:

Στο προκύπτον σύστημα, η άγνωστη μεταβλητή y απουσιάζει στη δεύτερη εξίσωση, αλλά η y υπάρχει στην τρίτη εξίσωση, επομένως, ας ανταλλάξουμε τη δεύτερη και την τρίτη εξίσωση:

Αυτό ολοκληρώνει την άμεση εξέλιξη της μεθόδου Gauss (δεν χρειάζεται να εξαιρέσουμε το y από την τρίτη εξίσωση, αφού αυτή η άγνωστη μεταβλητή δεν υπάρχει πλέον).

Ας ξεκινήσουμε την αντίστροφη κίνηση.

Από την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε ,
από την προτελευταία

από την πρώτη εξίσωση που έχουμε

Απάντηση:

X = 10, y = 5, z = -20.

Επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων στα οποία ο αριθμός των εξισώσεων δεν συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων ή ο κύριος πίνακας του συστήματος είναι ενικός, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss.

Συστήματα εξισώσεων, ο κύριος πίνακας των οποίων είναι ορθογώνιος ή τετράγωνος ενικός, μπορεί να μην έχουν λύσεις, μπορεί να έχουν μία μόνο λύση ή μπορεί να έχουν άπειρο αριθμό λύσεων.

Τώρα θα καταλάβουμε πώς η μέθοδος Gauss μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη συμβατότητα ή την ασυνέπεια ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων και, στην περίπτωση της συμβατότητάς του, να προσδιορίσουμε όλες τις λύσεις (ή μία μόνο λύση).

Κατ' αρχήν, η διαδικασία εξάλειψης άγνωστων μεταβλητών στην περίπτωση τέτοιων SLAE παραμένει η ίδια. Ωστόσο, αξίζει να αναφερθούμε λεπτομερώς σε ορισμένες καταστάσεις που μπορεί να προκύψουν.

Ας περάσουμε στο πιο σημαντικό στάδιο.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι το σύστημα των γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, αφού ολοκληρώσει την πρόοδο προς τα εμπρός της μεθόδου Gauss, παίρνει τη μορφή και ούτε μία εξίσωση δεν περιορίστηκε σε (σε αυτή την περίπτωση θα συμπεράνουμε ότι το σύστημα είναι ασυμβίβαστο). Τίθεται ένα λογικό ερώτημα: «Τι να κάνουμε μετά»;

Ας γράψουμε τις άγνωστες μεταβλητές που έρχονται πρώτες σε όλες τις εξισώσεις του προκύπτοντος συστήματος:

Στο παράδειγμά μας αυτά είναι τα x 1, x 4 και x 5. Στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος αφήνουμε μόνο εκείνους τους όρους που περιέχουν τις γραπτές άγνωστες μεταβλητές x 1, x 4 και x 5, οι υπόλοιποι όροι μεταφέρονται στη δεξιά πλευρά των εξισώσεων με το αντίθετο πρόσημο:

Ας δώσουμε στις άγνωστες μεταβλητές που βρίσκονται στα δεξιά των εξισώσεων αυθαίρετες τιμές, όπου - αυθαίρετοι αριθμοί:

Μετά από αυτό, οι δεξιές πλευρές όλων των εξισώσεων του SLAE μας περιέχουν αριθμούς και μπορούμε να προχωρήσουμε στο αντίστροφο της μεθόδου Gauss.

Από την τελευταία εξίσωση του συστήματος έχουμε, από την προτελευταία εξίσωση που βρίσκουμε, από την πρώτη εξίσωση παίρνουμε

Η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα σύνολο τιμών άγνωστων μεταβλητών

Δίνοντας Αριθμούς διαφορετικές τιμές, θα λάβουμε διαφορετικές λύσεις στο σύστημα των εξισώσεων. Δηλαδή το σύστημα των εξισώσεων μας έχει άπειρες λύσεις.

Απάντηση:

Οπου - αυθαίρετους αριθμούς.

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τις λύσεις αρκετών ακόμη παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Να λύσετε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Μέθοδος Gauss.

Λύση.

Ας εξαιρέσουμε την άγνωστη μεταβλητή x από τη δεύτερη και τρίτη εξίσωση του συστήματος. Για να γίνει αυτό, στην αριστερή και δεξιά πλευρά της δεύτερης εξίσωσης, προσθέτουμε, αντίστοιχα, την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί , και στην αριστερή και δεξιά πλευρά της τρίτης εξίσωσης, προσθέτουμε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης δεξιές πλευρές της πρώτης εξίσωσης, πολλαπλασιαζόμενες επί:

Τώρα ας εξαιρέσουμε το y από την τρίτη εξίσωση του προκύπτοντος συστήματος εξισώσεων:

Το SLAE που προκύπτει είναι ισοδύναμο με το σύστημα .

Αφήνουμε στην αριστερή πλευρά των εξισώσεων του συστήματος μόνο τους όρους που περιέχουν τις άγνωστες μεταβλητές x και y και μετακινούμε τους όρους με την άγνωστη μεταβλητή z στη δεξιά πλευρά:

Εκπαιδευτικό ίδρυμα "Κράτος της Λευκορωσίας

Γεωπονική Ακαδημία»

Τμήμα Ανωτάτων Μαθηματικών

Κατευθυντήριες γραμμές

να μελετήσει το θέμα «Μέθοδος Gauss για επίλυση συστημάτων γραμμικών

εξισώσεις» από φοιτητές της σχολής λογιστικής αλληλογραφίας (NISPO)

Gorki, 2013

Μέθοδος Gauss για την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Ισοδύναμα συστήματα εξισώσεων

Δύο συστήματα γραμμικών εξισώσεων λέγονται ισοδύναμα αν κάθε λύση του ενός από αυτά είναι λύση του άλλου. Η διαδικασία επίλυσης ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων συνίσταται στη διαδοχική μετατροπή του σε ισοδύναμο σύστημα χρησιμοποιώντας το λεγόμενο στοιχειώδεις μεταμορφώσεις , τα οποία είναι:

1) αναδιάταξη οποιωνδήποτε δύο εξισώσεων του συστήματος.

2) πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές οποιασδήποτε εξίσωσης του συστήματος με έναν μη μηδενικό αριθμό.

3) προσθέτοντας σε οποιαδήποτε εξίσωση μια άλλη εξίσωση πολλαπλασιασμένη με οποιοδήποτε αριθμό.

4) διαγραφή μιας εξίσωσης που αποτελείται από μηδενικά, δηλ. εξισώσεις της μορφής

Gaussian εξάλειψη

Σκεφτείτε το σύστημα Μγραμμικές εξισώσεις με nάγνωστος:

Η ουσία της μεθόδου Gauss ή της μεθόδου διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων είναι η εξής.

Πρώτον, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, το άγνωστο εξαλείφεται από όλες τις εξισώσεις του συστήματος εκτός από την πρώτη. Τέτοιοι μετασχηματισμοί συστήματος ονομάζονται Gaussian βήμα εξάλειψης . Το άγνωστο λέγεται ενεργοποίηση μεταβλητής στο πρώτο βήμα της μεταμόρφωσης. Ο συντελεστής ονομάζεται παράγοντας ανάλυσης , ονομάζεται η πρώτη εξίσωση επίλυση της εξίσωσης , και η στήλη των συντελεστών στο στήλη άδεια .

Όταν εκτελείτε ένα βήμα της εξάλειψης Gaussian, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους κανόνες:

1) οι συντελεστές και ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης επίλυσης παραμένουν αμετάβλητοι.

2) οι συντελεστές της στήλης ανάλυσης που βρίσκεται κάτω από τον συντελεστή ανάλυσης γίνονται μηδέν.

3) όλοι οι άλλοι συντελεστές και οι ελεύθεροι όροι κατά την εκτέλεση του πρώτου βήματος υπολογίζονται σύμφωνα με τον κανόνα του ορθογωνίου:

, Οπου Εγώ=2,3,…,Μ; ι=2,3,…,n.

Παρόμοιους μετασχηματισμούς θα κάνουμε και στη δεύτερη εξίσωση του συστήματος. Αυτό θα οδηγήσει σε ένα σύστημα στο οποίο το άγνωστο θα εξαλειφθεί σε όλες τις εξισώσεις εκτός από τις δύο πρώτες. Ως αποτέλεσμα τέτοιων μετασχηματισμών σε καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος (άμεση πρόοδος της μεθόδου Gauss), το αρχικό σύστημα ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα βημάτων ενός από τους ακόλουθους τύπους.

Αντίστροφη μέθοδος Gaussian

Σύστημα βημάτων

έχει τριγωνική εμφάνιση και τέλος (Εγώ=1,2,…,n). Ένα τέτοιο σύστημα έχει μια μοναδική λύση. Οι άγνωστοι προσδιορίζονται ξεκινώντας από την τελευταία εξίσωση (αντίστροφη της μεθόδου Gauss).

Το σύστημα βημάτων έχει τη μορφή

όπου, δηλ. ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος είναι μικρότερος ή ίσος με τον αριθμό των αγνώστων. Αυτό το σύστημα δεν έχει λύσεις, αφού η τελευταία εξίσωση δεν θα ικανοποιηθεί για καμία τιμή της μεταβλητής.

Σύστημα τύπου βήματος

έχει αμέτρητες λύσεις. Από την τελευταία εξίσωση, το άγνωστο εκφράζεται μέσω των αγνώστων . Στη συνέχεια, στην προτελευταία εξίσωση, αντί του αγνώστου, η έκφρασή του αντικαθίσταται μέσω των αγνώστων . Συνεχίζοντας το αντίστροφο της μεθόδου Gauss, τα άγνωστα μπορεί να εκφραστεί με όρους αγνώστων . Στην προκειμένη περίπτωση οι άγνωστοι λέγονται Ελεύθερος και μπορεί να πάρει οποιεσδήποτε τιμές, και άγνωστες βασικός.

Κατά την επίλυση συστημάτων στην πράξη, είναι βολικό να εκτελούνται όλοι οι μετασχηματισμοί όχι με ένα σύστημα εξισώσεων, αλλά με έναν εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, που αποτελείται από συντελεστές για αγνώστους και μια στήλη ελεύθερων όρων.

Παράδειγμα 1. Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Λύση. Ας δημιουργήσουμε μια εκτεταμένη μήτρα του συστήματος και ας εκτελέσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς:

Στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος, ο αριθμός 3 (επισημαίνεται) είναι ο συντελεστής ανάλυσης, η πρώτη σειρά είναι η σειρά ανάλυσης και η πρώτη στήλη είναι η στήλη ανάλυσης. Κατά τη μετάβαση στον επόμενο πίνακα, η σειρά ανάλυσης δεν αλλάζει· όλα τα στοιχεία της στήλης ανάλυσης κάτω από το στοιχείο ανάλυσης αντικαθίστανται από μηδενικά. Και όλα τα άλλα στοιχεία του πίνακα υπολογίζονται εκ νέου σύμφωνα με τον κανόνα του τετράπλευρου. Αντί για το στοιχείο 4 στη δεύτερη γραμμή γράφουμε , αντί για το στοιχείο -3 στη δεύτερη γραμμή θα γραφεί και τα λοιπά. Έτσι, θα ληφθεί ο δεύτερος πίνακας. Το στοιχείο ανάλυσης αυτού του πίνακα θα είναι ο αριθμός 18 στη δεύτερη σειρά. Για να σχηματίσουμε τον επόμενο (τρίτη μήτρα), αφήνουμε τη δεύτερη σειρά αμετάβλητη, στη στήλη κάτω από το στοιχείο επίλυσης γράφουμε μηδέν και υπολογίζουμε εκ νέου τα υπόλοιπα δύο στοιχεία: αντί για τον αριθμό 1 γράφουμε , και αντί για τον αριθμό 16 γράφουμε .

Ως αποτέλεσμα, το αρχικό σύστημα περιορίστηκε σε ένα ισοδύναμο σύστημα

Από την τρίτη εξίσωση βρίσκουμε . Ας αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή στη δεύτερη εξίσωση: y=3. Ας αντικαταστήσουμε τις τιμές που βρέθηκαν στην πρώτη εξίσωση yΚαι z: , Χ=2.

Έτσι, η λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων είναι Χ=2, y=3, .

Παράδειγμα 2. Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Λύση. Ας εκτελέσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος:

Στον δεύτερο πίνακα, κάθε στοιχείο της τρίτης σειράς διαιρείται με 2.

Στον τέταρτο πίνακα, κάθε στοιχείο της τρίτης και της τέταρτης σειράς χωρίστηκε με 11.

. Ο προκύπτων πίνακας αντιστοιχεί στο σύστημα των εξισώσεων

Επίλυση αυτού του συστήματος, βρίσκουμε , , .

Παράδειγμα 3. Επίλυση συστήματος εξισώσεων

Λύση. Ας γράψουμε τον εκτεταμένο πίνακα του συστήματος και ας εκτελέσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς:

Στον δεύτερο πίνακα, κάθε στοιχείο της δεύτερης, τρίτης και τέταρτης σειράς χωρίστηκε με 7.

Ως αποτέλεσμα, προέκυψε ένα σύστημα εξισώσεων

ισοδύναμο με το αρχικό.

Δεδομένου ότι υπάρχουν δύο λιγότερες εξισώσεις από άγνωστες, τότε από τη δεύτερη εξίσωση . Ας αντικαταστήσουμε την έκφραση στην πρώτη εξίσωση: , .

Έτσι, οι τύποι δίνουν μια γενική λύση σε αυτό το σύστημα εξισώσεων. Τα άγνωστα είναι δωρεάν και μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε αξία.

Ας, για παράδειγμα, Επειτα Και . Λύση είναι μια από τις ιδιαίτερες λύσεις του συστήματος, από τις οποίες υπάρχουν αμέτρητες.

Ερωτήσεις για τον αυτοέλεγχο της γνώσης

1) Ποιοι μετασχηματισμοί γραμμικών συστημάτων ονομάζονται στοιχειώδεις;

2) Ποιοι μετασχηματισμοί του συστήματος ονομάζονται βήμα εξάλειψης Gauss;

3) Τι είναι μια μεταβλητή επίλυσης, ο συντελεστής επίλυσης, η στήλη επίλυσης;

4) Ποιοι κανόνες θα πρέπει να χρησιμοποιούνται κατά την εκτέλεση ενός βήματος Gaussian elimination;

Από τις αρχές του 16ου-18ου αιώνα, οι μαθηματικοί άρχισαν εντατικά να μελετούν συναρτήσεις, χάρη στις οποίες έχουν αλλάξει τόσα πολλά στη ζωή μας. Η τεχνολογία των υπολογιστών απλά δεν θα υπήρχε χωρίς αυτή τη γνώση. Διάφορες έννοιες, θεωρήματα και τεχνικές λύσης έχουν δημιουργηθεί για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων, γραμμικών εξισώσεων και συναρτήσεων. Μία από αυτές τις καθολικές και ορθολογικές μεθόδους και τεχνικές για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων και των συστημάτων τους ήταν η μέθοδος Gauss. Πίνακες, η κατάταξή τους, ορίζουσα - τα πάντα μπορούν να υπολογιστούν χωρίς τη χρήση πολύπλοκων πράξεων.

Τι είναι το SLAU

Στα μαθηματικά, υπάρχει η έννοια του SLAE - ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων. Πώς είναι αυτή; Αυτό είναι ένα σύνολο από εξισώσεις m με τις απαιτούμενες n άγνωστες ποσότητες, που συνήθως συμβολίζονται ως x, y, z ή x 1, x 2 ... x n ή άλλα σύμβολα. Η επίλυση ενός δεδομένου συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss σημαίνει εύρεση όλων των αγνώστων. Αν ένα σύστημα έχει τον ίδιο αριθμό αγνώστων και εξισώσεων, τότε ονομάζεται σύστημα νης τάξης.

Οι πιο δημοφιλείς μέθοδοι επίλυσης SLAE

Στα εκπαιδευτικά ιδρύματα της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, μελετώνται διάφορες μέθοδοι επίλυσης τέτοιων συστημάτων. Τις περισσότερες φορές πρόκειται για απλές εξισώσεις που αποτελούνται από δύο άγνωστα, επομένως οποιαδήποτε υπάρχουσα μέθοδος για την εύρεση της απάντησης σε αυτά δεν θα πάρει πολύ χρόνο. Αυτό μπορεί να μοιάζει με μια μέθοδο αντικατάστασης, όταν μια άλλη προέρχεται από μια εξίσωση και αντικαθίσταται στην αρχική. Ή τη μέθοδο της αφαίρεσης και της πρόσθεσης κατά όρο. Αλλά η μέθοδος Gauss θεωρείται η πιο εύκολη και καθολική. Καθιστά δυνατή την επίλυση εξισώσεων με οποιονδήποτε αριθμό αγνώστων. Γιατί η συγκεκριμένη τεχνική θεωρείται λογική; Είναι απλό. Το καλό με τη μέθοδο matrix είναι ότι δεν απαιτεί επανεγγραφή περιττών συμβόλων πολλές φορές ως άγνωστα· αρκεί να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις στους συντελεστές - και θα έχετε ένα αξιόπιστο αποτέλεσμα.

Πού χρησιμοποιούνται στην πράξη τα SLAE;

Η λύση στα SLAE είναι τα σημεία τομής των γραμμών στα γραφήματα των συναρτήσεων. Στην εποχή των υπολογιστών μας υψηλής τεχνολογίας, τα άτομα που συνδέονται στενά με την ανάπτυξη παιχνιδιών και άλλων προγραμμάτων πρέπει να γνωρίζουν πώς να επιλύουν τέτοια συστήματα, τι αντιπροσωπεύουν και πώς να ελέγχουν την ορθότητα του αποτελέσματος που προκύπτει. Τις περισσότερες φορές, οι προγραμματιστές αναπτύσσουν ειδικά προγράμματα αριθμομηχανής γραμμικής άλγεβρας, η οποία περιλαμβάνει επίσης ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος Gauss σας επιτρέπει να υπολογίσετε όλες τις υπάρχουσες λύσεις. Χρησιμοποιούνται επίσης άλλοι απλοποιημένοι τύποι και τεχνικές.

Κριτήριο συμβατότητας SLAU

Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να λυθεί μόνο εάν είναι συμβατό. Για λόγους σαφήνειας, ας αναπαραστήσουμε το SLAE με τη μορφή Ax=b. Έχει λύση αν το rang(A) ισούται με το rang(A,b). Σε αυτήν την περίπτωση, το (A,b) είναι ένας πίνακας εκτεταμένης μορφής που μπορεί να ληφθεί από τον πίνακα A ξαναγράφοντας τον με ελεύθερους όρους. Αποδεικνύεται ότι η επίλυση γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο Gaussian είναι αρκετά εύκολη.

Ίσως κάποια από τα σύμβολα να μην είναι απολύτως ξεκάθαρα, επομένως είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τα πάντα με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι υπάρχει ένα σύστημα: x+y=1; 2x-3y=6. Αποτελείται από δύο μόνο εξισώσεις, στις οποίες υπάρχουν 2 άγνωστοι. Το σύστημα θα έχει λύση μόνο εάν η κατάταξη του πίνακα του είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα. Τι είναι η κατάταξη; Αυτός είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων γραμμών του συστήματος. Στην περίπτωσή μας, η κατάταξη του πίνακα είναι 2. Ο πίνακας Α θα αποτελείται από συντελεστές που βρίσκονται κοντά στα άγνωστα και οι συντελεστές που βρίσκονται πίσω από το σύμβολο "=" ταιριάζουν επίσης στον εκτεταμένο πίνακα.

Γιατί τα SLAE μπορούν να αναπαρασταθούν σε μορφή μήτρας;

Με βάση το κριτήριο συμβατότητας σύμφωνα με το αποδεδειγμένο θεώρημα Kronecker-Capelli, ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων μπορεί να αναπαρασταθεί σε μορφή πίνακα. Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian cascade, μπορείτε να λύσετε τη μήτρα και να πάρετε μια ενιαία αξιόπιστη απάντηση για ολόκληρο το σύστημα. Εάν η κατάταξη ενός συνηθισμένου πίνακα είναι ίση με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα του, αλλά είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων, τότε το σύστημα έχει άπειρο αριθμό απαντήσεων.

Μετασχηματισμοί μήτρας

Πριν προχωρήσετε στην επίλυση πινάκων, πρέπει να γνωρίζετε ποιες ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν στα στοιχεία τους. Υπάρχουν αρκετοί στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

Ξαναγράφοντας το σύστημα σε μορφή πίνακα και λύνοντάς το, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε όλα τα στοιχεία της σειράς με τον ίδιο συντελεστή.
Για να μετατρέψετε τον πίνακα σε κανονική μορφή, μπορείτε να ανταλλάξετε δύο παράλληλες σειρές. Η κανονική μορφή υποδηλώνει ότι όλα τα στοιχεία μήτρας που βρίσκονται κατά μήκος της κύριας διαγωνίου γίνονται ένα και τα υπόλοιπα γίνονται μηδενικά.
Τα αντίστοιχα στοιχεία των παράλληλων σειρών του πίνακα μπορούν να προστεθούν το ένα στο άλλο.

Μέθοδος Jordan-Gauss

Η ουσία της επίλυσης συστημάτων γραμμικών ομοιογενών και ανομοιογενών εξισώσεων με τη χρήση της μεθόδου Gauss είναι η σταδιακή εξάλειψη των αγνώστων. Ας πούμε ότι έχουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων στο οποίο υπάρχουν δύο άγνωστοι. Για να τα βρείτε, πρέπει να ελέγξετε το σύστημα για συμβατότητα. Η εξίσωση λύνεται πολύ απλά με τη μέθοδο Gauss. Είναι απαραίτητο να γράψετε τους συντελεστές που βρίσκονται κοντά σε κάθε άγνωστο σε μορφή πίνακα. Για να λύσετε το σύστημα, θα χρειαστεί να γράψετε τον εκτεταμένο πίνακα. Εάν μία από τις εξισώσεις περιέχει μικρότερο αριθμό αγνώστων, τότε το "0" πρέπει να τοποθετηθεί στη θέση του στοιχείου που λείπει. Όλες οι γνωστές μέθοδοι μετασχηματισμού εφαρμόζονται στον πίνακα: πολλαπλασιασμός, διαίρεση με έναν αριθμό, προσθήκη των αντίστοιχων στοιχείων της σειράς μεταξύ τους και άλλα. Αποδεικνύεται ότι σε κάθε σειρά είναι απαραίτητο να αφήσετε μία μεταβλητή με την τιμή "1", η υπόλοιπη πρέπει να μειωθεί στο μηδέν. Για πιο ακριβή κατανόηση, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε τη μέθοδο Gauss με παραδείγματα.

Ένα απλό παράδειγμα επίλυσης συστήματος 2x2

Αρχικά, ας πάρουμε ένα απλό σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων, στο οποίο θα υπάρχουν 2 άγνωστοι.

Ας το ξαναγράψουμε σε μια εκτεταμένη μήτρα.

Για να λυθεί αυτό το σύστημα γραμμικών εξισώσεων, απαιτούνται μόνο δύο πράξεις. Πρέπει να φέρουμε τη μήτρα σε κανονική μορφή, έτσι ώστε να υπάρχουν κατά μήκος της κύριας διαγωνίου. Έτσι, μεταφέροντας από τη μορφή του πίνακα πίσω στο σύστημα, παίρνουμε τις εξισώσεις: 1x+0y=b1 και 0x+1y=b2, όπου b1 και b2 είναι οι προκύπτουσες απαντήσεις στη διαδικασία λύσης.

Η πρώτη ενέργεια κατά την επίλυση ενός εκτεταμένου πίνακα θα είναι η εξής: η πρώτη σειρά πρέπει να πολλαπλασιαστεί με -7 και να προστεθούν αντίστοιχα στοιχεία στη δεύτερη σειρά για να απαλλαγούμε από έναν άγνωστο στη δεύτερη εξίσωση.
Δεδομένου ότι η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss περιλαμβάνει τη μείωση του πίνακα σε κανονική μορφή, τότε είναι απαραίτητο να εκτελέσουμε τις ίδιες πράξεις με την πρώτη εξίσωση και να αφαιρέσουμε τη δεύτερη μεταβλητή. Για να γίνει αυτό, αφαιρούμε τη δεύτερη γραμμή από την πρώτη και παίρνουμε την απαιτούμενη απάντηση - τη λύση του SLAE. Ή, όπως φαίνεται στο σχήμα, πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη σειρά με έναν παράγοντα -1 και προσθέτουμε τα στοιχεία της δεύτερης σειράς στην πρώτη σειρά. Είναι το ίδιο.

Όπως μπορούμε να δούμε, το σύστημά μας επιλύθηκε με τη μέθοδο Jordan-Gauss. Το ξαναγράφουμε στην απαιτούμενη μορφή: x=-5, y=7.

Ένα παράδειγμα λύσης SLAE 3x3

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα πιο πολύπλοκο σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Η μέθοδος Gauss καθιστά δυνατό τον υπολογισμό της απάντησης ακόμη και για το πιο φαινομενικά συγκεχυμένο σύστημα. Επομένως, για να εμβαθύνετε στη μεθοδολογία υπολογισμού, μπορείτε να προχωρήσετε σε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα με τρία άγνωστα.

Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, ξαναγράφουμε το σύστημα με τη μορφή εκτεταμένου πίνακα και αρχίζουμε να το φέρνουμε στην κανονική του μορφή.

Για να λύσετε αυτό το σύστημα, θα χρειαστεί να εκτελέσετε πολύ περισσότερες ενέργειες από ό,τι στο προηγούμενο παράδειγμα.

Πρώτα πρέπει να κάνετε την πρώτη στήλη ένα στοιχείο μονάδας και τα υπόλοιπα μηδενικά. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε την πρώτη εξίσωση με -1 και προσθέστε τη δεύτερη εξίσωση σε αυτήν. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι ξαναγράφουμε την πρώτη γραμμή στην αρχική της μορφή και τη δεύτερη σε τροποποιημένη μορφή.
Στη συνέχεια, αφαιρούμε τον ίδιο πρώτο άγνωστο από την τρίτη εξίσωση. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα στοιχεία της πρώτης σειράς με -2 και προσθέστε τα στην τρίτη σειρά. Τώρα η πρώτη και η δεύτερη γραμμή ξαναγράφονται στην αρχική τους μορφή και η τρίτη - με αλλαγές. Όπως μπορείτε να δείτε από το αποτέλεσμα, πήραμε το πρώτο στην αρχή της κύριας διαγωνίου του πίνακα και τα υπόλοιπα μηδενικά. Λίγα βήματα ακόμη, και το σύστημα εξισώσεων με τη μέθοδο Gaussian θα λυθεί αξιόπιστα.
Τώρα πρέπει να εκτελέσετε λειτουργίες σε άλλα στοιχεία των σειρών. Η τρίτη και η τέταρτη δράση μπορούν να συνδυαστούν σε μία. Πρέπει να διαιρέσουμε τη δεύτερη και την τρίτη γραμμή με -1 για να απαλλαγούμε από τα μείον στη διαγώνιο. Έχουμε ήδη φέρει την τρίτη γραμμή στην απαιτούμενη φόρμα.
Στη συνέχεια φέρνουμε τη δεύτερη γραμμή σε κανονική μορφή. Για να γίνει αυτό, πολλαπλασιάζουμε τα στοιχεία της τρίτης σειράς με -3 και τα προσθέτουμε στη δεύτερη σειρά του πίνακα. Από το αποτέλεσμα είναι σαφές ότι η δεύτερη γραμμή περιορίζεται επίσης στη μορφή που χρειαζόμαστε. Απομένει να γίνουν μερικές ακόμη πράξεις και να αφαιρεθούν οι συντελεστές των αγνώστων από την πρώτη γραμμή.
Για να κάνετε 0 από το δεύτερο στοιχείο μιας σειράς, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την τρίτη σειρά με -3 και να την προσθέσετε στην πρώτη σειρά.
Το επόμενο αποφασιστικό βήμα θα είναι να προσθέσετε τα απαραίτητα στοιχεία της δεύτερης σειράς στην πρώτη σειρά. Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε την κανονική μορφή του πίνακα και, κατά συνέπεια, την απάντηση.

Όπως μπορείτε να δείτε, η επίλυση εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss είναι αρκετά απλή.

Ένα παράδειγμα επίλυσης συστήματος εξισώσεων 4x4

Μερικά πιο πολύπλοκα συστήματα εξισώσεων μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian χρησιμοποιώντας προγράμματα υπολογιστών. Είναι απαραίτητο να εισαγάγετε τους συντελεστές για τους αγνώστους στα υπάρχοντα κενά κελιά και το ίδιο το πρόγραμμα θα υπολογίσει βήμα προς βήμα το απαιτούμενο αποτέλεσμα, περιγράφοντας λεπτομερώς κάθε ενέργεια.

Βήμα προς βήμα οδηγίες για την επίλυση ενός τέτοιου παραδείγματος περιγράφονται παρακάτω.

Στο πρώτο βήμα, οι ελεύθεροι συντελεστές και οι αριθμοί για αγνώστους εισάγονται σε κενά κελιά. Έτσι, παίρνουμε τον ίδιο εκτεταμένο πίνακα που γράφουμε χειροκίνητα.

Και εκτελούνται όλες οι απαραίτητες αριθμητικές πράξεις για να φέρουν τον εκτεταμένο πίνακα στην κανονική του μορφή. Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ότι η απάντηση σε ένα σύστημα εξισώσεων δεν είναι πάντα ακέραιοι. Μερικές φορές η λύση μπορεί να είναι από κλασματικούς αριθμούς.

Έλεγχος της ορθότητας της λύσης

Η μέθοδος Jordan-Gauss προβλέπει τον έλεγχο της ορθότητας του αποτελέσματος. Για να μάθετε εάν οι συντελεστές υπολογίζονται σωστά, πρέπει απλώς να αντικαταστήσετε το αποτέλεσμα στο αρχικό σύστημα εξισώσεων. Η αριστερή πλευρά της εξίσωσης πρέπει να ταιριάζει με τη δεξιά πλευρά πίσω από το πρόσημο ίσου. Εάν οι απαντήσεις δεν ταιριάζουν, τότε πρέπει να υπολογίσετε ξανά το σύστημα ή να προσπαθήσετε να εφαρμόσετε σε αυτό μια άλλη μέθοδο επίλυσης SLAE που είναι γνωστή σε εσάς, όπως αντικατάσταση ή αφαίρεση και πρόσθεση ανά όρο. Εξάλλου, τα μαθηματικά είναι μια επιστήμη που έχει έναν τεράστιο αριθμό διαφορετικών μεθόδων επίλυσης. Αλλά να θυμάστε: το αποτέλεσμα πρέπει να είναι πάντα το ίδιο, ανεξάρτητα από τη μέθοδο λύσης που χρησιμοποιήσατε.

Μέθοδος Gauss: τα πιο συνηθισμένα σφάλματα κατά την επίλυση SLAE

Κατά την επίλυση γραμμικών συστημάτων εξισώσεων, συνήθως συμβαίνουν σφάλματα όπως εσφαλμένη μεταφορά συντελεστών σε μορφή πίνακα. Υπάρχουν συστήματα στα οποία λείπουν κάποιοι άγνωστοι από μία από τις εξισώσεις· στη συνέχεια, κατά τη μεταφορά δεδομένων σε έναν εκτεταμένο πίνακα, μπορεί να χαθούν. Ως αποτέλεσμα, κατά την επίλυση αυτού του συστήματος, το αποτέλεσμα μπορεί να μην αντιστοιχεί στο πραγματικό.

Ένα άλλο σημαντικό λάθος μπορεί να είναι η εσφαλμένη εγγραφή του τελικού αποτελέσματος. Είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε ξεκάθαρα ότι ο πρώτος συντελεστής θα αντιστοιχεί στον πρώτο άγνωστο από το σύστημα, ο δεύτερος - στον δεύτερο και ούτω καθεξής.

Η μέθοδος Gauss περιγράφει λεπτομερώς τη λύση γραμμικών εξισώσεων. Χάρη σε αυτό, είναι εύκολο να πραγματοποιήσετε τις απαραίτητες λειτουργίες και να βρείτε το σωστό αποτέλεσμα. Επιπλέον, αυτό είναι ένα καθολικό εργαλείο για την εύρεση μιας αξιόπιστης απάντησης σε εξισώσεις οποιασδήποτε πολυπλοκότητας. Ίσως αυτός είναι ο λόγος που χρησιμοποιείται τόσο συχνά κατά την επίλυση SLAE.

Σε αυτό το άρθρο, η μέθοδος θεωρείται ως μέθοδος επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων (SLAE). Η μέθοδος είναι αναλυτική, δηλαδή, σας επιτρέπει να γράψετε έναν αλγόριθμο λύσης σε μια γενική μορφή και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε τιμές από συγκεκριμένα παραδείγματα εκεί. Σε αντίθεση με τη μέθοδο του πίνακα ή τους τύπους του Cramer, όταν λύνετε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss, μπορείτε επίσης να εργαστείτε με εκείνες που έχουν άπειρο αριθμό λύσεων. Ή δεν το έχουν καθόλου.

Τι σημαίνει η επίλυση με τη μέθοδο Gaussian;

Αρχικά, πρέπει να γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων μας στο Φαίνεται κάπως έτσι. Πάρτε το σύστημα:

Οι συντελεστές γράφονται με τη μορφή πίνακα και οι ελεύθεροι όροι γράφονται σε ξεχωριστή στήλη στα δεξιά. Η στήλη με τους ελεύθερους όρους διαχωρίζεται για ευκολία.Η μήτρα που περιλαμβάνει αυτή τη στήλη ονομάζεται εκτεταμένη.

Στη συνέχεια, ο κύριος πίνακας με τους συντελεστές πρέπει να μειωθεί σε μια ανώτερη τριγωνική μορφή. Αυτό είναι το κύριο σημείο επίλυσης του συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss. Με απλά λόγια, μετά από ορισμένους χειρισμούς, η μήτρα θα πρέπει να φαίνεται έτσι ώστε το κάτω αριστερό τμήμα της να περιέχει μόνο μηδενικά:

Στη συνέχεια, αν γράψετε ξανά τον νέο πίνακα ως σύστημα εξισώσεων, θα παρατηρήσετε ότι η τελευταία σειρά περιέχει ήδη την τιμή μιας από τις ρίζες, η οποία στη συνέχεια αντικαθίσταται στην παραπάνω εξίσωση, βρίσκεται μια άλλη ρίζα κ.ο.κ.

Αυτή είναι μια περιγραφή της λύσης με τη μέθοδο Gaussian με τους πιο γενικούς όρους. Τι θα συμβεί αν ξαφνικά το σύστημα δεν έχει λύση; Ή είναι άπειρα πολλά από αυτά; Για να απαντήσουμε σε αυτές και σε πολλές άλλες ερωτήσεις, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ξεχωριστά όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται για την επίλυση της μεθόδου Gauss.

Πίνακες, οι ιδιότητές τους

Δεν υπάρχει κρυφό νόημα στη μήτρα. Αυτός είναι απλώς ένας βολικός τρόπος καταγραφής δεδομένων για επακόλουθες λειτουργίες με αυτό. Ακόμη και οι μαθητές δεν χρειάζεται να τους φοβούνται.

Η μήτρα είναι πάντα ορθογώνια, γιατί είναι πιο βολική. Ακόμη και στη μέθοδο Gauss, όπου όλα καταλήγουν στην κατασκευή ενός πίνακα τριγωνικής μορφής, ένα ορθογώνιο εμφανίζεται στην καταχώρηση, μόνο με μηδενικά στο σημείο όπου δεν υπάρχουν αριθμοί. Τα μηδενικά μπορεί να μην γράφονται, αλλά υπονοούνται.

Η μήτρα έχει μέγεθος. Το "πλάτος" του είναι ο αριθμός των σειρών (m), το "μήκος" είναι ο αριθμός των στηλών (n). Στη συνέχεια, το μέγεθος του πίνακα A (για τη συμβολή τους συνήθως χρησιμοποιούνται κεφαλαία λατινικά γράμματα) θα συμβολίζεται ως A m×n. Αν m=n, τότε αυτός ο πίνακας είναι τετράγωνος και m=n είναι η σειρά του. Αντίστοιχα, οποιοδήποτε στοιχείο του πίνακα Α μπορεί να συμβολιστεί με τους αριθμούς σειρών και στηλών του: a xy ; x - αριθμός σειράς, αλλαγές, y - αριθμός στήλης, αλλαγές.

Το Β δεν είναι το κύριο σημείο της απόφασης. Κατ 'αρχήν, όλες οι λειτουργίες μπορούν να εκτελεστούν απευθείας με τις ίδιες τις εξισώσεις, αλλά η σημείωση θα είναι πολύ πιο περίπλοκη και θα είναι πολύ πιο εύκολο να μπερδευτείτε σε αυτήν.

Καθοριστικός

Ο πίνακας έχει επίσης μια ορίζουσα. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό. Δεν χρειάζεται να μάθετε τη σημασία του τώρα· μπορείτε απλώς να δείξετε πώς υπολογίζεται και στη συνέχεια να πείτε ποιες ιδιότητες του πίνακα καθορίζει. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε την ορίζουσα είναι μέσω διαγωνίων. Οι φανταστικές διαγώνιοι σχεδιάζονται στον πίνακα. τα στοιχεία που βρίσκονται σε καθένα από αυτά πολλαπλασιάζονται και στη συνέχεια προστίθενται τα προϊόντα που προκύπτουν: διαγώνιες με κλίση προς τα δεξιά - με σύμβολο συν, με κλίση προς τα αριστερά - με σύμβολο μείον.

Είναι εξαιρετικά σημαντικό να σημειωθεί ότι η ορίζουσα μπορεί να υπολογιστεί μόνο για έναν τετραγωνικό πίνακα. Για έναν ορθογώνιο πίνακα, μπορείτε να κάνετε τα εξής: επιλέξτε το μικρότερο από τον αριθμό των γραμμών και τον αριθμό των στηλών (ας είναι k) και, στη συνέχεια, σημειώστε τυχαία k στήλες και k σειρές στον πίνακα. Τα στοιχεία στη τομή των επιλεγμένων στηλών και γραμμών θα σχηματίσουν έναν νέο τετράγωνο πίνακα. Εάν η ορίζουσα ενός τέτοιου πίνακα είναι ένας μη μηδενικός αριθμός, ονομάζεται ελάσσονα βάσης του αρχικού ορθογώνιου πίνακα.

Πριν ξεκινήσετε να λύνετε ένα σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gaussian, δεν βλάπτει να υπολογίσετε την ορίζουσα. Εάν αποδειχθεί μηδέν, τότε μπορούμε αμέσως να πούμε ότι ο πίνακας έχει είτε άπειρο αριθμό λύσεων είτε καμία απολύτως. Σε μια τέτοια θλιβερή περίπτωση, πρέπει να προχωρήσετε περαιτέρω και να μάθετε για την κατάταξη του πίνακα.

Ταξινόμηση συστήματος

Υπάρχει κάτι όπως η κατάταξη μιας μήτρας. Αυτή είναι η μέγιστη τάξη της μη μηδενικής ορίζοντάς της (αν θυμηθούμε τη βασική ελάσσονα, μπορούμε να πούμε ότι η κατάταξη ενός πίνακα είναι η τάξη της ελάσσονος βάσης).

Με βάση την κατάσταση με την κατάταξη, το SLAE μπορεί να χωριστεί σε:

Αρθρωση. UΣτα κοινά συστήματα, η κατάταξη του κύριου πίνακα (που αποτελείται μόνο από συντελεστές) συμπίπτει με την κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα (με μια στήλη ελεύθερων όρων). Τέτοια συστήματα έχουν μια λύση, αλλά όχι απαραίτητα μία, επομένως, επιπλέον τα κοινά συστήματα χωρίζονται σε:
- βέβαιος- έχοντας μια ενιαία λύση. Σε ορισμένα συστήματα, η κατάταξη του πίνακα και ο αριθμός των αγνώστων (ή ο αριθμός των στηλών, που είναι το ίδιο πράγμα) είναι ίσοι.
- απροσδιόριστο -με άπειρο αριθμό λύσεων. Η κατάταξη των πινάκων σε τέτοια συστήματα είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.
Ασύμβατες. UΣε τέτοια συστήματα, οι τάξεις των κύριων και εκτεταμένων πινάκων δεν συμπίπτουν. Τα ασύμβατα συστήματα δεν έχουν λύση.

Η μέθοδος Gauss είναι καλή γιατί κατά τη διάρκεια της λύσης επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει είτε μια ξεκάθαρη απόδειξη της ασυνέπειας του συστήματος (χωρίς να υπολογίζονται οι ορίζουσες μεγάλων πινάκων), είτε μια λύση σε γενική μορφή για ένα σύστημα με άπειρο αριθμό λύσεων.

Στοιχειώδεις μεταμορφώσεις

Πριν προχωρήσετε απευθείας στην επίλυση του συστήματος, μπορείτε να το κάνετε λιγότερο περίπλοκο και πιο βολικό για υπολογισμούς. Αυτό επιτυγχάνεται μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών - τέτοιοι που η εφαρμογή τους δεν αλλάζει με κανέναν τρόπο την τελική απάντηση. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ορισμένοι από τους δεδομένους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς ισχύουν μόνο για πίνακες, η πηγή των οποίων ήταν το SLAE. Ακολουθεί μια λίστα με αυτούς τους μετασχηματισμούς:

Αναδιάταξη γραμμών. Προφανώς, εάν αλλάξετε τη σειρά των εξισώσεων στην εγγραφή συστήματος, αυτό δεν θα επηρεάσει τη λύση με κανέναν τρόπο. Κατά συνέπεια, οι σειρές στη μήτρα αυτού του συστήματος μπορούν επίσης να ανταλλάσσονται, χωρίς φυσικά να ξεχνάμε τη στήλη των ελεύθερων όρων.
Πολλαπλασιάζοντας όλα τα στοιχεία μιας συμβολοσειράς με έναν συγκεκριμένο συντελεστή. Πολύ χρήσιμο! Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μείωση μεγάλων αριθμών σε έναν πίνακα ή την αφαίρεση μηδενικών. Πολλές αποφάσεις, ως συνήθως, δεν θα αλλάξουν, αλλά οι περαιτέρω λειτουργίες θα γίνουν πιο βολικές. Το κύριο πράγμα είναι ότι ο συντελεστής δεν είναι ίσος με μηδέν.
Αφαίρεση σειρών με αναλογικούς παράγοντες. Αυτό προκύπτει εν μέρει από την προηγούμενη παράγραφο. Εάν δύο ή περισσότερες σειρές σε έναν πίνακα έχουν αναλογικούς συντελεστές, τότε όταν μία από τις σειρές πολλαπλασιαστεί/διαιρεθεί με τον συντελεστή αναλογικότητας, προκύπτουν δύο (ή, πάλι, περισσότερες) απολύτως ίδιες σειρές και οι επιπλέον μπορούν να αφαιρεθούν, αφήνοντας μόνο ένα.
Αφαίρεση μηδενικής γραμμής. Εάν, κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού, λαμβάνεται μια σειρά κάπου στην οποία όλα τα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένου του ελεύθερου όρου, είναι μηδέν, τότε μια τέτοια σειρά μπορεί να ονομαστεί μηδέν και να πεταχτεί έξω από τη μήτρα.
Προσθέτοντας στα στοιχεία μιας σειράς τα στοιχεία μιας άλλης (στις αντίστοιχες στήλες), πολλαπλασιαζόμενα με έναν ορισμένο συντελεστή. Η πιο αφανής και πιο σημαντική μεταμόρφωση όλων. Αξίζει να σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Προσθήκη συμβολοσειράς πολλαπλασιασμένη με έναν παράγοντα

Για ευκολία κατανόησης, αξίζει να αναλύσουμε αυτή τη διαδικασία βήμα προς βήμα. Δύο σειρές λαμβάνονται από τον πίνακα:

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a 21 a 22 ... a 2n | β 2

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να προσθέσετε το πρώτο στο δεύτερο, πολλαπλασιασμένο με τον συντελεστή "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Στη συνέχεια, η δεύτερη σειρά στη μήτρα αντικαθίσταται με μια νέα και η πρώτη παραμένει αμετάβλητη.

a 11 a 12 ... a 1n | β1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο συντελεστής πολλαπλασιασμού μπορεί να επιλεγεί με τέτοιο τρόπο ώστε, ως αποτέλεσμα της προσθήκης δύο σειρών, ένα από τα στοιχεία της νέας σειράς να είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, είναι δυνατό να ληφθεί μια εξίσωση σε ένα σύστημα όπου θα υπάρχει ένας λιγότερο άγνωστος. Και αν λάβετε δύο τέτοιες εξισώσεις, τότε η πράξη μπορεί να γίνει ξανά και να πάρετε μια εξίσωση που θα περιέχει δύο λιγότερους αγνώστους. Και αν κάθε φορά μηδενίζετε έναν συντελεστή από όλες τις σειρές που είναι κάτω από την αρχική, τότε μπορείτε, σαν σκάλες, να κατεβείτε στο κάτω μέρος του πίνακα και να πάρετε μια εξίσωση με έναν άγνωστο. Αυτό ονομάζεται επίλυση του συστήματος με τη χρήση της μεθόδου Gauss.

Γενικά

Ας υπάρχει σύστημα. Έχει m εξισώσεις και n άγνωστες ρίζες. Μπορείτε να το γράψετε ως εξής:

Ο κύριος πίνακας καταρτίζεται από τους συντελεστές του συστήματος. Μια στήλη ελεύθερων όρων προστίθεται στον εκτεταμένο πίνακα και, για ευκολία, χωρίζεται με μια γραμμή.

η πρώτη σειρά του πίνακα πολλαπλασιάζεται με τον συντελεστή k = (-a 21 /a 11).
Η πρώτη τροποποιημένη σειρά και η δεύτερη σειρά του πίνακα προστίθενται.
αντί για τη δεύτερη σειρά, το αποτέλεσμα της προσθήκης από την προηγούμενη παράγραφο εισάγεται στη μήτρα.
τώρα ο πρώτος συντελεστής στη νέα δεύτερη σειρά είναι 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Τώρα εκτελείται η ίδια σειρά μετασχηματισμών, εμπλέκονται μόνο η πρώτη και η τρίτη σειρά. Αντίστοιχα, σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, το στοιχείο a 21 αντικαθίσταται από ένα 31. Στη συνέχεια όλα επαναλαμβάνονται για ένα 41, ... ένα m1. Το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας όπου το πρώτο στοιχείο στις σειρές είναι μηδέν. Τώρα πρέπει να ξεχάσετε τη γραμμή νούμερο ένα και να εκτελέσετε τον ίδιο αλγόριθμο, ξεκινώντας από τη γραμμή δύο:

συντελεστής k = (-a 32 /a 22);
η δεύτερη τροποποιημένη γραμμή προστίθεται στην "τρέχουσα" γραμμή.
το αποτέλεσμα της προσθήκης αντικαθίσταται στην τρίτη, τέταρτη και ούτω καθεξής γραμμές, ενώ η πρώτη και η δεύτερη παραμένουν αμετάβλητες.
στις σειρές του πίνακα τα δύο πρώτα στοιχεία είναι ήδη ίσα με μηδέν.

Ο αλγόριθμος πρέπει να επαναληφθεί μέχρι να εμφανιστεί ο συντελεστής k = (-a m,m-1 /a mm). Αυτό σημαίνει ότι η τελευταία φορά που εκτελέστηκε ο αλγόριθμος ήταν μόνο για την κάτω εξίσωση. Τώρα η μήτρα μοιάζει με τρίγωνο ή έχει βαθμιδωτό σχήμα. Στην κάτω γραμμή υπάρχει η ισότητα a mn × x n = b m. Ο συντελεστής και ο ελεύθερος όρος είναι γνωστοί και η ρίζα εκφράζεται μέσω αυτών: x n = b m /a mn. Η προκύπτουσα ρίζα αντικαθίσταται στην επάνω γραμμή για να βρεθεί x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. Και ούτω καθεξής κατ' αναλογία: σε κάθε επόμενη γραμμή υπάρχει μια νέα ρίζα και, έχοντας φτάσει στην "κορυφή" του συστήματος, μπορείτε να βρείτε πολλές λύσεις. Θα είναι το μόνο.

Όταν δεν υπάρχουν λύσεις

Εάν σε μία από τις σειρές του πίνακα όλα τα στοιχεία εκτός από τον ελεύθερο όρο είναι ίσα με μηδέν, τότε η εξίσωση που αντιστοιχεί σε αυτή τη σειρά μοιάζει με 0 = b. Δεν έχει λύση. Και αφού μια τέτοια εξίσωση περιλαμβάνεται στο σύστημα, τότε το σύνολο των λύσεων ολόκληρου του συστήματος είναι κενό, είναι δηλαδή εκφυλισμένο.

Όταν υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων

Μπορεί να συμβεί στον δεδομένο τριγωνικό πίνακα να μην υπάρχουν σειρές με ένα στοιχείο συντελεστή της εξίσωσης και έναν ελεύθερο όρο. Υπάρχουν μόνο γραμμές που, όταν ξαναγραφούν, θα μοιάζουν με εξίσωση με δύο ή περισσότερες μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι το σύστημα έχει άπειρο αριθμό λύσεων. Σε αυτή την περίπτωση, η απάντηση μπορεί να δοθεί με τη μορφή γενικής λύσης. Πως να το κάνεις?

Όλες οι μεταβλητές στον πίνακα χωρίζονται σε βασικές και ελεύθερες. Τα βασικά είναι αυτά που στέκονται «στην άκρη» των σειρών στον πίνακα βημάτων. Τα υπόλοιπα είναι δωρεάν. Στη γενική λύση, οι βασικές μεταβλητές γράφονται μέσω ελεύθερων.

Για ευκολία, ο πίνακας ξαναγράφεται πρώτα σε ένα σύστημα εξισώσεων. Στη συνέχεια, στην τελευταία από αυτές, όπου ακριβώς μένει μόνο μία βασική μεταβλητή, αυτή παραμένει στη μία πλευρά και όλα τα άλλα μεταφέρονται στην άλλη. Αυτό γίνεται για κάθε εξίσωση με μία βασική μεταβλητή. Στη συνέχεια, στις υπόλοιπες εξισώσεις, όπου είναι δυνατόν, η έκφραση που προκύπτει για αυτό αντικαθίσταται αντί της βασικής μεταβλητής. Εάν το αποτέλεσμα είναι πάλι μια παράσταση που περιέχει μόνο μία βασική μεταβλητή, εκφράζεται ξανά από εκεί και ούτω καθεξής, έως ότου κάθε βασική μεταβλητή γραφτεί ως έκφραση με ελεύθερες μεταβλητές. Αυτή είναι η γενική λύση του SLAE.

Μπορείτε επίσης να βρείτε τη βασική λύση του συστήματος - δώστε στις δωρεάν μεταβλητές οποιεσδήποτε τιμές και, στη συνέχεια, για τη συγκεκριμένη περίπτωση υπολογίστε τις τιμές των βασικών μεταβλητών. Υπάρχει ένας άπειρος αριθμός συγκεκριμένων λύσεων που μπορούν να δοθούν.

Λύση με συγκεκριμένα παραδείγματα

Εδώ είναι ένα σύστημα εξισώσεων.

Για ευκολία, είναι καλύτερο να δημιουργήσετε αμέσως τη μήτρα του

Είναι γνωστό ότι όταν λυθεί με τη μέθοδο Gauss, η εξίσωση που αντιστοιχεί στην πρώτη σειρά θα παραμείνει αμετάβλητη στο τέλος των μετασχηματισμών. Επομένως, θα είναι πιο κερδοφόρο εάν το επάνω αριστερό στοιχείο της μήτρας είναι το μικρότερο - τότε τα πρώτα στοιχεία των υπόλοιπων σειρών μετά τις πράξεις θα μετατραπούν στο μηδέν. Αυτό σημαίνει ότι στον μεταγλωττισμένο πίνακα θα είναι πλεονεκτικό να τοποθετηθεί η δεύτερη σειρά στη θέση της πρώτης.

δεύτερη γραμμή: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

τρίτη γραμμή: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Τώρα, για να μην μπερδευτείτε, πρέπει να γράψετε έναν πίνακα με τα ενδιάμεσα αποτελέσματα των μετασχηματισμών.

Προφανώς, ένας τέτοιος πίνακας μπορεί να γίνει πιο βολικός για την αντίληψη χρησιμοποιώντας ορισμένες λειτουργίες. Για παράδειγμα, μπορείτε να αφαιρέσετε όλα τα "πλην" από τη δεύτερη γραμμή πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1".

Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι στην τρίτη γραμμή όλα τα στοιχεία είναι πολλαπλάσια των τριών. Στη συνέχεια, μπορείτε να συντομεύσετε τη συμβολοσειρά με αυτόν τον αριθμό, πολλαπλασιάζοντας κάθε στοιχείο με "-1/3" (μείον - ταυτόχρονα, για να αφαιρέσετε τις αρνητικές τιμές).

Φαίνεται πολύ πιο ωραίο. Τώρα πρέπει να αφήσουμε ήσυχη την πρώτη γραμμή και να δουλέψουμε με τη δεύτερη και την τρίτη. Το καθήκον είναι να προσθέσουμε τη δεύτερη γραμμή στην τρίτη γραμμή, πολλαπλασιασμένη με έναν τέτοιο συντελεστή ώστε το στοιχείο a 32 να γίνει ίσο με μηδέν.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (εάν κατά τη διάρκεια ορισμένων μετασχηματισμών η απάντηση δεν αποδειχθεί ακέραιος, συνιστάται να διατηρηθεί η ακρίβεια των υπολογισμών προς αποχώρηση είναι «ως έχει», με τη μορφή συνηθισμένων κλασμάτων και μόνο τότε, όταν ληφθούν οι απαντήσεις, αποφασίστε εάν θα στρογγυλοποιήσετε και θα μετατρέψετε σε άλλη μορφή εγγραφής)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Ο πίνακας γράφεται ξανά με νέες τιμές.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Όπως μπορείτε να δείτε, ο προκύπτων πίνακας έχει ήδη μια κλιμακωτή μορφή. Επομένως, δεν απαιτούνται περαιτέρω μετασχηματισμοί του συστήματος με τη μέθοδο Gaussian. Αυτό που μπορείτε να κάνετε εδώ είναι να αφαιρέσετε τον συνολικό συντελεστή "-1/7" από την τρίτη γραμμή.

Τώρα όλα είναι όμορφα. Το μόνο που μένει να κάνετε είναι να γράψετε ξανά τον πίνακα με τη μορφή ενός συστήματος εξισώσεων και να υπολογίσετε τις ρίζες

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Ο αλγόριθμος με τον οποίο θα βρεθούν τώρα οι ρίζες ονομάζεται αντίστροφη κίνηση στη μέθοδο Gauss. Η εξίσωση (3) περιέχει την τιμή z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

Και η πρώτη εξίσωση μας επιτρέπει να βρούμε το x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Έχουμε το δικαίωμα να ονομάσουμε ένα τέτοιο σύστημα κοινό, και μάλιστα οριστικό, δηλαδή να έχει μια μοναδική λύση. Η απάντηση γράφεται με την ακόλουθη μορφή:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Παράδειγμα αβέβαιου συστήματος

Η παραλλαγή της επίλυσης ενός συγκεκριμένου συστήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gauss έχει αναλυθεί· τώρα είναι απαραίτητο να εξεταστεί η περίπτωση εάν το σύστημα είναι αβέβαιο, δηλαδή, μπορούν να βρεθούν άπειρες λύσεις για αυτό.

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)

3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)

x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)

5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)

Η ίδια η εμφάνιση του συστήματος είναι ήδη ανησυχητική, επειδή ο αριθμός των αγνώστων είναι n = 5 και η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι ήδη ακριβώς μικρότερη από αυτόν τον αριθμό, επειδή ο αριθμός των σειρών είναι m = 4, δηλαδή, η μεγαλύτερη τάξη του τετραγώνου της ορίζουσας είναι 4. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει άπειρος αριθμός λύσεων και πρέπει να αναζητήσετε τη γενική του εμφάνιση. Η μέθοδος Gauss για γραμμικές εξισώσεις σας επιτρέπει να το κάνετε αυτό.

Αρχικά, ως συνήθως, συντάσσεται ένας εκτεταμένος πίνακας.

Δεύτερη γραμμή: συντελεστής k = (-a 21 /a 11) = -3. Στην τρίτη γραμμή, το πρώτο στοιχείο είναι πριν από τους μετασχηματισμούς, επομένως δεν χρειάζεται να αγγίξετε τίποτα, πρέπει να το αφήσετε ως έχει. Τέταρτη γραμμή: k = (-a 4 1 /a 11) = -5

Πολλαπλασιάζοντας τα στοιχεία της πρώτης σειράς με κάθε έναν από τους συντελεστές τους με τη σειρά και προσθέτοντάς τα στις απαιτούμενες σειρές, λαμβάνουμε έναν πίνακα με την ακόλουθη μορφή:

Όπως μπορείτε να δείτε, η δεύτερη, η τρίτη και η τέταρτη σειρά αποτελούνται από στοιχεία ανάλογα μεταξύ τους. Το δεύτερο και το τέταρτο είναι γενικά πανομοιότυπα, επομένως ένα από αυτά μπορεί να αφαιρεθεί αμέσως, και το υπόλοιπο μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον συντελεστή "-1" και να πάρει τη γραμμή 3. Και πάλι, από δύο όμοιες γραμμές, αφήστε μία.

Το αποτέλεσμα είναι ένας τέτοιος πίνακας. Ενώ το σύστημα δεν έχει ακόμη καταγραφεί, είναι απαραίτητο να προσδιοριστούν οι βασικές μεταβλητές εδώ - αυτές που βρίσκονται στους συντελεστές a 11 = 1 και a 22 = 1, και οι ελεύθερες - όλες οι υπόλοιπες.

Στη δεύτερη εξίσωση υπάρχει μόνο μία βασική μεταβλητή - x 2. Αυτό σημαίνει ότι μπορεί να εκφραστεί από εκεί γράφοντάς το μέσω των μεταβλητών x 3 , x 4 , x 5 , οι οποίες είναι ελεύθερες.

Αντικαθιστούμε την έκφραση που προκύπτει στην πρώτη εξίσωση.

Το αποτέλεσμα είναι μια εξίσωση στην οποία η μόνη βασική μεταβλητή είναι x 1 . Ας κάνουμε το ίδιο με το x 2.

Όλες οι βασικές μεταβλητές, από τις οποίες υπάρχουν δύο, εκφράζονται ως τρεις ελεύθερες· τώρα μπορούμε να γράψουμε την απάντηση σε γενική μορφή.

Μπορείτε επίσης να καθορίσετε μία από τις συγκεκριμένες λύσεις του συστήματος. Για τέτοιες περιπτώσεις, συνήθως επιλέγονται μηδενικά ως τιμές για ελεύθερες μεταβλητές. Τότε η απάντηση θα είναι:

16, 23, 0, 0, 0.

Παράδειγμα μη συνεργατικού συστήματος

Η επίλυση ασυμβίβαστων συστημάτων εξισώσεων με τη μέθοδο Gauss είναι η ταχύτερη. Τελειώνει αμέσως μόλις σε ένα από τα στάδια προκύψει μια εξίσωση που δεν έχει λύση. Δηλαδή, εξαλείφεται το στάδιο του υπολογισμού των ριζών, που είναι αρκετά μεγάλο και κουραστικό. Θεωρείται το ακόλουθο σύστημα:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Ως συνήθως, η μήτρα συντάσσεται:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

Και μειώνεται σε μια σταδιακή μορφή:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Μετά τον πρώτο μετασχηματισμό, η τρίτη γραμμή περιέχει μια εξίσωση της μορφής

χωρίς λύση. Κατά συνέπεια, το σύστημα είναι ασυνεπές και η απάντηση θα είναι το κενό σύνολο.

Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου

Εάν επιλέξετε ποια μέθοδο θα επιλύσετε SLAE σε χαρτί με στυλό, τότε η μέθοδος που συζητήθηκε σε αυτό το άρθρο φαίνεται η πιο ελκυστική. Είναι πολύ πιο δύσκολο να μπερδευτείτε σε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς από ό,τι εάν πρέπει να αναζητήσετε με μη αυτόματο τρόπο έναν προσδιοριστή ή κάποιον δύσκολο αντίστροφο πίνακα. Ωστόσο, εάν χρησιμοποιείτε προγράμματα για εργασία με δεδομένα αυτού του τύπου, για παράδειγμα, υπολογιστικά φύλλα, τότε αποδεικνύεται ότι τέτοια προγράμματα περιέχουν ήδη αλγόριθμους για τον υπολογισμό των κύριων παραμέτρων των πινάκων - ορίζοντα, δευτερεύουσες, αντίστροφες και ούτω καθεξής. Και αν είστε βέβαιοι ότι το μηχάνημα θα υπολογίσει μόνο του αυτές τις τιμέςκαι δεν θα κάνει λάθη, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο matrix ή τους τύπους του Cramer, επειδή η εφαρμογή τους αρχίζει και τελειώνει με τον υπολογισμό των οριζόντων και των αντίστροφων πινάκων .

Εφαρμογή

Δεδομένου ότι η λύση Gaussian είναι ένας αλγόριθμος και ο πίνακας είναι στην πραγματικότητα ένας δισδιάστατος πίνακας, μπορεί να χρησιμοποιηθεί στον προγραμματισμό. Αλλά επειδή το άρθρο τοποθετείται ως οδηγός "για ανδρείκελα", θα πρέπει να ειπωθεί ότι το πιο εύκολο μέρος για να τοποθετήσετε τη μέθοδο είναι τα υπολογιστικά φύλλα, για παράδειγμα, το Excel. Και πάλι, κάθε SLAE που εισάγεται σε έναν πίνακα με τη μορφή πίνακα θα θεωρείται από το Excel ως ένας δισδιάστατος πίνακας. Και για πράξεις με αυτά υπάρχουν πολλές ωραίες εντολές: πρόσθεση (μπορείτε να προσθέσετε μόνο πίνακες του ίδιου μεγέθους!), πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό, πολλαπλασιασμός πινάκων (επίσης με ορισμένους περιορισμούς), εύρεση των αντίστροφων και μεταφερόμενων πινάκων και, το πιο σημαντικό , υπολογίζοντας την ορίζουσα. Εάν αυτή η χρονοβόρα εργασία αντικατασταθεί από μία μόνο εντολή, είναι δυνατό να προσδιοριστεί η κατάταξη της μήτρας πολύ πιο γρήγορα και, επομένως, να διαπιστωθεί η συμβατότητα ή η ασυμβατότητά της.

1. Σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

1.1 Η έννοια ενός συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Ένα σύστημα εξισώσεων είναι μια συνθήκη που αποτελείται από την ταυτόχρονη εκτέλεση πολλών εξισώσεων σε σχέση με πολλές μεταβλητές. Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (εφεξής SLAE) που περιέχει m εξισώσεις και n αγνώστους ονομάζεται σύστημα της μορφής:

όπου οι αριθμοί a ij ονομάζονται συντελεστές συστήματος, οι αριθμοί b i ονομάζονται ελεύθεροι όροι, ένα ijΚαι β i(i=1,…, m; b=1,…, n) αντιπροσωπεύουν κάποιους γνωστούς αριθμούς και το x 1 ,…, x n– άγνωστο. Στον προσδιορισμό των συντελεστών ένα ijο πρώτος δείκτης i δηλώνει τον αριθμό της εξίσωσης και ο δεύτερος j είναι ο αριθμός του αγνώστου στον οποίο βρίσκεται αυτός ο συντελεστής. Πρέπει να βρεθούν οι αριθμοί x n. Είναι βολικό να γράψετε ένα τέτοιο σύστημα σε μορφή συμπαγούς μήτρας: AX=B.Εδώ το Α είναι ο πίνακας των συντελεστών του συστήματος, που ονομάζεται κύριος πίνακας.

– διάνυσμα στήλης αγνώστων xj.
είναι ένα διάνυσμα στήλης ελεύθερων όρων bi.

Το γινόμενο των πινάκων Α*Χ ορίζεται, αφού στον πίνακα Α υπάρχουν τόσες στήλες όσες και οι σειρές στον πίνακα Χ (n τεμάχια).

Ο εκτεταμένος πίνακας ενός συστήματος είναι ο πίνακας Α του συστήματος, ο οποίος συμπληρώνεται από μια στήλη ελεύθερων όρων

1.2 Επίλυση συστήματος γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων

Η λύση σε ένα σύστημα εξισώσεων είναι ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών (τιμές μεταβλητών), όταν αντικαθιστώνται αντί για μεταβλητές, καθεμία από τις εξισώσεις του συστήματος μετατρέπεται σε πραγματική ισότητα.

Μια λύση σε ένα σύστημα είναι n τιμές των αγνώστων x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, με την αντικατάσταση των οποίων όλες οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται αληθινές ισότητες. Οποιαδήποτε λύση στο σύστημα μπορεί να γραφτεί ως πίνακας στήλης

Ένα σύστημα εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση και ασυνεπές εάν δεν έχει καμία λύση.

Ένα συνεπές σύστημα λέγεται ότι είναι καθορισμένο εάν έχει μία μόνο λύση και αόριστο εάν έχει περισσότερες από μία λύσεις. Στην τελευταία περίπτωση, κάθε λύση της ονομάζεται συγκεκριμένη λύση του συστήματος. Το σύνολο όλων των συγκεκριμένων λύσεων ονομάζεται γενική λύση.

Η επίλυση ενός συστήματος σημαίνει να ανακαλύψετε εάν είναι συμβατό ή ασυνεπές. Εάν το σύστημα είναι συνεπές, βρείτε τη γενική του λύση.

Δύο συστήματα ονομάζονται ισοδύναμα (ισοδύναμα) αν έχουν την ίδια γενική λύση. Με άλλα λόγια, τα συστήματα είναι ισοδύναμα εάν κάθε λύση του ενός από αυτά είναι λύση του άλλου και το αντίστροφο.

Ένας μετασχηματισμός, η εφαρμογή του οποίου μετατρέπει ένα σύστημα σε ένα νέο σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό, ονομάζεται ισοδύναμος ή ισοδύναμος μετασχηματισμός. Παραδείγματα ισοδύναμων μετασχηματισμών περιλαμβάνουν τους ακόλουθους μετασχηματισμούς: εναλλαγή δύο εξισώσεων ενός συστήματος, εναλλαγή δύο αγνώστων μαζί με τους συντελεστές όλων των εξισώσεων, πολλαπλασιασμός των δύο πλευρών οποιασδήποτε εξίσωσης ενός συστήματος με έναν μη μηδενικό αριθμό.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές αν όλοι οι ελεύθεροι όροι είναι ίσοι με μηδέν:

Ένα ομοιογενές σύστημα είναι πάντα συνεπές, αφού το x1=x2=x3=…=xn=0 είναι λύση του συστήματος. Αυτή η λύση ονομάζεται μηδενική ή τετριμμένη.

2. Gaussian μέθοδος εξάλειψης

2.1 Η ουσία της μεθόδου εξάλειψης Gauss

Η κλασική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων είναι η μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων - Γκαουσιανή μέθοδος(ονομάζεται επίσης μέθοδος εξάλειψης Gauss). Αυτή είναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης μεταβλητών, όταν, χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, ένα σύστημα εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα βηματικής (ή τριγωνικής) μορφής, από το οποίο όλες οι άλλες μεταβλητές βρίσκονται διαδοχικά, ξεκινώντας από την τελευταία (από αριθμός) μεταβλητές.

Η διαδικασία επίλυσης με τη μέθοδο Gaussian αποτελείται από δύο στάδια: κινήσεις προς τα εμπρός και προς τα πίσω.

1. Άμεσο εγκεφαλικό επεισόδιο.

Στο πρώτο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη άμεση κίνηση, όταν, μέσω στοιχειωδών μετασχηματισμών στις σειρές, το σύστημα φέρεται σε βαθμιδωτό ή τριγωνικό σχήμα ή διαπιστώνεται ότι το σύστημα είναι ασυμβίβαστο. Δηλαδή, μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης του πίνακα, επιλέξτε ένα μη μηδενικό, μετακινήστε το στην ανώτατη θέση αναδιατάσσοντας τις σειρές και αφαιρέστε την πρώτη σειρά που προκύπτει από τις υπόλοιπες σειρές μετά την αναδιάταξη, πολλαπλασιάζοντάς την με μια τιμή ίση με την αναλογία του πρώτου στοιχείου καθεμιάς από αυτές τις σειρές προς το πρώτο στοιχείο της πρώτης σειράς, μηδενίζοντας έτσι τη στήλη κάτω από αυτήν.

Αφού ολοκληρωθούν αυτοί οι μετασχηματισμοί, η πρώτη γραμμή και η πρώτη στήλη διαγράφονται νοερά και συνεχίζονται μέχρι να παραμείνει ένας πίνακας μηδενικού μεγέθους. Εάν σε οποιαδήποτε επανάληψη δεν υπάρχει μη μηδενικό στοιχείο μεταξύ των στοιχείων της πρώτης στήλης, τότε μεταβείτε στην επόμενη στήλη και εκτελέστε μια παρόμοια λειτουργία.

Στο πρώτο στάδιο (άμεση διαδρομή), το σύστημα μειώνεται σε μια κλιμακωτή (ιδίως, τριγωνική) μορφή.

Το παρακάτω σύστημα έχει μια σταδιακή μορφή:

Συντελεστές aii ονομάζονται τα κύρια (οδηγητικά) στοιχεία του συστήματος.

(αν a11=0, αναδιατάξτε τις σειρές του πίνακα έτσι ώστε έναΤο 11 δεν ήταν ίσο με 0. Αυτό είναι πάντα δυνατό, γιατί διαφορετικά ο πίνακας περιέχει μια στήλη μηδέν, η ορίζοντή του είναι ίση με μηδέν και το σύστημα είναι ασυνεπές).

Ας μετασχηματίσουμε το σύστημα εξαλείφοντας το άγνωστο x1 σε όλες τις εξισώσεις εκτός από την πρώτη (χρησιμοποιώντας στοιχειώδεις μετασχηματισμούς του συστήματος). Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί

και προσθέστε όρο προς όρο με τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (ή από τη δεύτερη εξίσωση αφαιρέστε όρο προς όρο με τον πρώτο, πολλαπλασιαζόμενο με ). Στη συνέχεια πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της πρώτης εξίσωσης επί και τις προσθέτουμε στην τρίτη εξίσωση του συστήματος (ή από την τρίτη αφαιρούμε την πρώτη πολλαπλασιαζόμενη επί ). Έτσι, πολλαπλασιάζουμε διαδοχικά την πρώτη γραμμή με έναν αριθμό και προσθέτουμε σε Εγώη γραμμή, για i= 2, 3, …,n.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, λαμβάνουμε ένα ισοδύναμο σύστημα:

– νέες τιμές συντελεστών για αγνώστους και ελεύθερους όρους στις τελευταίες εξισώσεις m-1 του συστήματος, οι οποίες καθορίζονται από τους τύπους:

Έτσι, στο πρώτο βήμα, καταστρέφονται όλοι οι συντελεστές που βρίσκονται κάτω από το πρώτο βασικό στοιχείο a 11

0, στο δεύτερο βήμα τα στοιχεία που βρίσκονται κάτω από το δεύτερο οδηγό στοιχείο a 22 (1) καταστρέφονται (εάν είναι 22 (1) 0), κ.λπ. Συνεχίζοντας περαιτέρω αυτή τη διαδικασία, τελικά, στο βήμα (m-1), ανάγουμε το αρχικό σύστημα σε τριγωνικό σύστημα.

Εάν, κατά τη διαδικασία αναγωγής του συστήματος σε μια σταδιακή μορφή, εμφανίζονται μηδενικές εξισώσεις, δηλ. ισότητες της μορφής 0=0, απορρίπτονται. Αν εμφανιστεί μια εξίσωση της μορφής

τότε αυτό δείχνει την ασυμβατότητα του συστήματος.

Εδώ τελειώνει η άμεση εξέλιξη της μεθόδου του Gauss.

2. Αντίστροφο εγκεφαλικό επεισόδιο.

Στο δεύτερο στάδιο, πραγματοποιείται η λεγόμενη αντίστροφη κίνηση, η ουσία της οποίας είναι να εκφραστούν όλες οι βασικές μεταβλητές που προκύπτουν ως μη βασικές και να δημιουργηθεί ένα θεμελιώδες σύστημα λύσεων ή, εάν όλες οι μεταβλητές είναι βασικές , στη συνέχεια να εκφράσετε αριθμητικά τη μοναδική λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων.

Αυτή η διαδικασία ξεκινά με την τελευταία εξίσωση, από την οποία εκφράζεται η αντίστοιχη βασική μεταβλητή (υπάρχει μόνο μία) και αντικαθίσταται από τις προηγούμενες εξισώσεις και ούτω καθεξής, ανεβαίνοντας τα «σκαλιά».

Κάθε γραμμή αντιστοιχεί ακριβώς σε μία βασική μεταβλητή, επομένως σε κάθε βήμα εκτός από την τελευταία (ανώτατη), η κατάσταση επαναλαμβάνει ακριβώς την περίπτωση της τελευταίας γραμμής.

Σημείωση: στην πράξη, είναι πιο βολικό να εργάζεστε όχι με το σύστημα, αλλά με την εκτεταμένη μήτρα του, εκτελώντας όλους τους στοιχειώδεις μετασχηματισμούς στις σειρές του. Είναι βολικό ο συντελεστής a11 να είναι ίσος με 1 (αναδιάταξη των εξισώσεων ή διαιρέστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το a11).

2.2 Παραδείγματα επίλυσης SLAE με τη χρήση της μεθόδου Gauss

Σε αυτή την ενότητα, χρησιμοποιώντας τρία διαφορετικά παραδείγματα, θα δείξουμε πώς η μέθοδος Gauss μπορεί να λύσει SLAE.

Παράδειγμα 1. Λύστε ένα SLAE 3ης τάξης.

Ας επαναφέρουμε τους συντελεστές στο

στη δεύτερη και τρίτη γραμμή. Για να το κάνετε αυτό, πολλαπλασιάστε τα με 2/3 και 1, αντίστοιχα, και προσθέστε τα στην πρώτη γραμμή: