Η έννοια της ετεροσκεδαστικότητας των υπολειμμάτων σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης. Ετεροσκεδαστικότητα τυχαίων υπολειμμάτων

Ετεροσκεδαστικότητα

Ένα τυχαίο σφάλμα είναι μια απόκλιση σε ένα γραμμικό μοντέλο πολλαπλή παλινδρόμηση:

εi=yi–β0–β1x1i–…–βmxmi

Λόγω του ότι η αξία τυχαίο σφάλμαΤο μοντέλο παλινδρόμησης είναι μια άγνωστη ποσότητα, που υπολογίζεται δείγμα αξιολόγησηςτυχαίο σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης σύμφωνα με τον τύπο:

όπου ei είναι τα υπολείμματα του μοντέλου παλινδρόμησης.

Ο όρος ετεροσκεδαστικότητα σε με μια ευρεία έννοιανοείται ως υπόθεση για τη διακύμανση τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης.

Κατά την κατασκευή ενός μοντέλου κανονικής γραμμικής παλινδρόμησης, λαμβάνουμε υπόψη παρακάτω συνθήκεςσχετικά με το τυχαίο σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης:

6) η μαθηματική προσδοκία για το τυχαίο σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης είναι μηδέν σε όλες τις παρατηρήσεις:

7) η διακύμανση τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης είναι σταθερή για όλες τις παρατηρήσεις:

8) δεν υπάρχει συστηματική σχέση μεταξύ των τιμών των τυχαίων σφαλμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης σε οποιαδήποτε δύο παρατηρήσεις, δηλαδή τα τυχαία σφάλματα του μοντέλου παλινδρόμησης δεν συσχετίζονται μεταξύ τους (η συνδιακύμανση των τυχαίων σφαλμάτων οποιωνδήποτε δύο διαφορετικών παρατηρήσεων είναι μηδέν):

Δεύτερη προϋπόθεση

σημαίνει ομοιοσκεδαστικότητα (ομοιογενής εξάπλωση) των διακυμάνσεων τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης.

Ομοσκεδαστικότητα αναφέρεται στην υπόθεση ότι η διακύμανση του τυχαίου σφάλματος βi είναι γνωστή σταθερή τιμήγια όλες τις παρατηρήσεις.

Αλλά στην πράξη, η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας του τυχαίου σφάλματος βi ή των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης ei δεν ικανοποιείται πάντα.

Η ετεροσκεδαστικότητα είναι η υπόθεση ότι οι διακυμάνσεις τυχαίων σφαλμάτων είναι διαφορετικές για όλες τις παρατηρήσεις, που σημαίνει παραβίαση της δεύτερης συνθήκης του κανονικού γραμμικού μοντέλου πολλαπλής παλινδρόμησης:

Η ετεροσκεδαστικότητα μπορεί να γραφτεί μέσω του πίνακα συνδιακύμανσης των τυχαίων σφαλμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης:

Τότε μπορούμε να πούμε ότι το τυχαίο σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης βi υπακούει στον νόμο της κανονικής κατανομής με μηδενική μαθηματική προσδοκία και διακύμανση G2Ω:

όπου Ω είναι ο πίνακας συνδιακύμανσης τυχαίου σφάλματος.

Εάν το τυχαίο σφάλμα διαφέρει

Τα μοντέλα παλινδρόμησης είναι γνωστά εκ των προτέρων, το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας εξαλείφεται εύκολα. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, όχι μόνο οι διακυμάνσεις των τυχαίων σφαλμάτων είναι άγνωστες, αλλά και η ίδια η συνάρτηση παλινδρόμησης y=f(x), η οποία πρέπει να κατασκευαστεί και να εκτιμηθεί.

Για να ανιχνευθεί η ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης, είναι απαραίτητο να αναλυθούν. Σε αυτή την περίπτωση, ελέγχονται οι ακόλουθες υποθέσεις.

Η κύρια υπόθεση H0 υποθέτει τη σταθερότητα των διακυμάνσεων τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης, δηλαδή την παρουσία συνθηκών ομοσκεδαστικότητας στο μοντέλο:

Η εναλλακτική υπόθεση H1 υποθέτει τη μεταβλητότητα των διακυμάνσεων τυχαίων σφαλμάτων σε διαφορετικές παρατηρήσεις, δηλαδή την παρουσία συνθηκών ετεροσκεδαστικότητας στο μοντέλο:

Η ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης μπορεί να οδηγήσει σε αρνητικές συνέπειες:

1) οι εκτιμήσεις άγνωστων συντελεστών ενός κανονικού μοντέλου γραμμικής παλινδρόμησης είναι αμερόληπτες και συνεπείς, αλλά η ιδιότητα της αποδοτικότητας χάνεται.

2) υπάρχει μεγάλη πιθανότητα οι εκτιμήσεις των τυπικών σφαλμάτων των συντελεστών του μοντέλου παλινδρόμησης να υπολογιστούν λανθασμένα, γεγονός που μπορεί τελικά να οδηγήσει στη δήλωση μιας λανθασμένης υπόθεσης σχετικά με τη σημασία των συντελεστών παλινδρόμησης και τη σημασία του μοντέλου παλινδρόμησης ως ένα ολόκληρο.

Ομοσκεδαστικότητα

Ομοσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων σημαίνει ότι η διακύμανση κάθε διακύμανσης είναι ίδια για όλες τις τιμές του x. Εάν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, τότε εμφανίζεται ετεροσκεδαστικότητα. Η παρουσία ετεροσκεδαστικότητας φαίνεται καθαρά από το πεδίο συσχέτισης.

Επειδή Η διασπορά χαρακτηρίζει την απόκλιση είναι σαφές από τα σχήματα ότι στην πρώτη περίπτωση, η διασπορά των υπολειμμάτων αυξάνεται καθώς αυξάνεται το x και στη δεύτερη, η διασπορά των υπολειμμάτων φτάνει σε μια μέγιστη τιμή σε μέσες τιμές x και μειώνεται. σε ελάχιστες και μέγιστες τιμές x. Η παρουσία ετεροσκεδαστικότητας θα μειώσει την αποτελεσματικότητα της εκτίμησης των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης. Η παρουσία ομοσκεδαστικότητας ή ετεροσκεδαστικότητας μπορεί επίσης να προσδιοριστεί σχεδιάζοντας την εξάρτηση των υπολειμμάτων από τις θεωρητικές τιμές.

Μία από τις παραδοχές του OLS είναι ότι η διακύμανση των υπολειμμάτων είναι ομοσκεδαστική. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή του παράγοντα Χ, τα υπολείμματα e έχουν την ίδια διακύμανση. Εάν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, τότε εμφανίζεται ετεροσκεδαστικότητα. Η παρουσία ετεροσκεδαστικότητας μπορεί να αποδειχθεί ξεκάθαρα στο πεδίο συσχέτισης (βλ. σχήμα).

Ομοσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων σημαίνει ότι η διακύμανση των υπολειμμάτων είναι ίδια για κάθε τιμή του Χ. Χρησιμοποιώντας μια τρισδιάστατη εικόνα, μπορούν να ληφθούν τα ακόλουθα γραφήματα για να απεικονίσουν την ομο- και την ετεροσκεδαστικότητα

Το σχήμα με την ομοσκεδαστικότητα δείχνει ότι για κάθε τιμή του Χ, οι κατανομές των υπολειμμάτων είναι ίδιες, σε αντίθεση με την ετεροσκεδαστικότητα.

Για πολλαπλή παλινδρόμηση, ο τύπος των γραφημάτων είναι ο πιο οπτικός τρόπος μελέτης της ομο- και της ετεροσκεδαστικότητας.

Η παρουσία ετεροσκεδαστικότητας μπορεί σε ορισμένες περιπτώσεις να οδηγήσει σε μεροληπτικές εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης, αν και οι αμερόληπτες εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης, κατά κανόνα, εξαρτώνται από τη συμμόρφωση με τη δεύτερη προϋπόθεση του OLS, δηλαδή την ανεξαρτησία των υπολειμμάτων και των τιμών των παραγόντων. Η ετεροσκεδαστικότητα θα μειώσει την αποτελεσματικότητα των εκτιμήσεων β. Συγκεκριμένα, καθίσταται δύσκολη η χρήση του τύπου για το τυπικό σφάλμα του συντελεστή παλινδρόμησης Sb, ο οποίος προϋποθέτει μια ομοιόμορφη διακύμανση των υπολειμμάτων για οποιεσδήποτε τιμές παραγόντων.

Ορισμός Ετεροσκεδαστικότητας

Με ένα μικρό μέγεθος δείγματος, το οποίο είναι χαρακτηριστικό για τους περισσότερους, για την αξιολόγηση της ετεροσκεδαστικότητας, χρησιμοποιείται η μέθοδος Goldfeld-Quandt, η οποία αναπτύχθηκε το 1965 από τους Goldfeld και Quandt, όπου θεώρησαν έναν παράγοντα ενός παράγοντα. γραμμικό μοντέλο, για τα οποία η διακύμανση των υπολειμμάτων αυξάνεται αναλογικά με το τετράγωνο του συντελεστή. Για να αξιολογήσουν την παραβίαση της ομοσκεδαστικότητας, πρότειναν να γίνουν οι ακόλουθες επεμβάσεις.

Τακτοποιήστε τις παρατηρήσεις καθώς αυξάνεται ο παράγοντας Χ.
Εξαιρέστε από την εξέταση C κεντρικές παρατηρήσεις, και (n - C): 2 > p, όπου p είναι ο αριθμός των παραμέτρων που εκτιμώνται.
Χωρίστε το σύνολο των (n - C) παρατηρήσεων σε δύο ομάδες (με μικρές και μεγάλες αξίεςπαράγοντας Χ).
Προσδιορίστε το υπολειπόμενο άθροισμα των τετραγώνων για την πρώτη (S1) και τη δεύτερη (S2) ομάδες και βρείτε την αναλογία: R = S1: S2.

Κάνοντας μηδενική υπόθεσησχετικά με την ομοσκεδαστικότητα, η σχέση R θα ικανοποιήσει το κριτήριο Fisher με (n - C - 2p): 2 βαθμούς ελευθερίας για κάθε υπολειπόμενο ποσότετράγωνα. Η μεγαλύτερη τιμή R υπερβαίνει αξία πίνακα F-test, όσοι εισέρχονται σε μεγαλύτερο βαθμόπαραβιάζεται η προϋπόθεση της ισότητας των διακυμάνσεων των υπολειμματικών τιμών.

Απαντήσεις σε χαρτιά εξετάσεωνστην οικονομετρία Yakovleva Angelina Vitalievna

57. Ετεροσκεδαστικότητα υπολειμμάτων μοντέλου παλινδρόμησης

Τυχαίο σφάλμαονομάζεται απόκλιση σε ένα γραμμικό μοντέλο πολλαπλής παλινδρόμησης:

?i=yi–?0–?1x1i–…–?mxmi

Λόγω του γεγονότος ότι το μέγεθος του τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης είναι ένα άγνωστο μέγεθος, μια δειγματοληπτική εκτίμηση του τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Οπου ei– υπολείμματα του μοντέλου παλινδρόμησης.

Ο όρος ετεροσκεδαστικότητα είναι ευρέως κατανοητός ως μια υπόθεση σχετικά με τη διακύμανση των τυχαίων σφαλμάτων σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης.

Κατά την κατασκευή ενός κανονικού μοντέλου γραμμικής παλινδρόμησης, λαμβάνονται υπόψη οι ακόλουθες συνθήκες σχετικά με το τυχαίο σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης:

6) αναμενόμενη αξίαΤο τυχαίο σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης είναι μηδέν σε όλες τις παρατηρήσεις:

7) η διακύμανση τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης είναι σταθερή για όλες τις παρατηρήσεις:

Δεύτερη προϋπόθεση

Κάτω από ομοσκεδαστικότητααναφέρεται στην υπόθεση ότι η διακύμανση του τυχαίου σφάλματος ;Εγώείναι μια γνωστή σταθερά για όλες τις παρατηρήσεις.

Αλλά στην πράξη, η υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας του τυχαίου σφάλματος;i ή των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης eiδεν εκπληρώνεται πάντα.

Κάτω από ετεροσκεδαστικότητα(ετεροσκεδαστικότητα - ετερογενής διασπορά) αναφέρεται στην υπόθεση ότι οι διακυμάνσεις τυχαίων σφαλμάτων είναι διαφορετικές τιμές για όλες τις παρατηρήσεις, που σημαίνει παραβίαση της δεύτερης συνθήκης του κανονικού γραμμικού μοντέλου πολλαπλής παλινδρόμησης:

Τότε μπορεί να υποστηριχθεί ότι το τυχαίο σφάλμα του μοντέλου παλινδρόμησης ;Εγώυπακούει στον νόμο της κανονικής κατανομής με μηδενική μαθηματική προσδοκία και διασπορά G2;:

?i~N(0; G2?),

Οπου ? – πίνακας συνδιακύμανσης τυχαίου σφάλματος.

Εάν το τυχαίο σφάλμα διαφέρει

Τα μοντέλα παλινδρόμησης είναι γνωστά εκ των προτέρων, το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας εξαλείφεται εύκολα. Ωστόσο, στις περισσότερες περιπτώσεις, όχι μόνο οι διακυμάνσεις των τυχαίων σφαλμάτων είναι άγνωστες, αλλά και η ίδια η συνάρτηση παλινδρόμησης y=f(x),να κατασκευαστεί και να αξιολογηθεί.

Κύρια υπόθεση H0υποθέτει τη σταθερότητα των διακυμάνσεων τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης, δηλαδή την παρουσία συνθηκών ομοσκεδαστικότητας στο μοντέλο:

2) υπάρχει μεγάλη πιθανότητα οι εκτιμήσεις τυπικά σφάλματαΟι συντελεστές του μοντέλου παλινδρόμησης θα υπολογιστούν λανθασμένα, γεγονός που μπορεί τελικά να οδηγήσει στη δήλωση μιας λανθασμένης υπόθεσης σχετικά με τη σημασία των συντελεστών παλινδρόμησης και τη σημασία του μοντέλου παλινδρόμησης στο σύνολό του.

Από το βιβλίο Απαντήσεις σε εξεταστικά γραπτά στην οικονομετρία συγγραφέας Yakovleva Angelina Vitalievna

14. Εκτίμηση συντελεστών μοντέλου ζευγαρωμένης παλινδρόμησης χρησιμοποιώντας συντελεστής δειγματοληψίαςπαλινδρομήσεις εκτός από τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωνα, με τη βοήθεια του οποίου στις περισσότερες περιπτώσεις προσδιορίζονται οι άγνωστες παράμετροι του μοντέλου παλινδρόμησης, στην περίπτωση ενός μοντέλου γραμμικής ζευγαρωμένης παλινδρόμησης

Από το βιβλίο του συγγραφέα

15. Εκτίμηση της διακύμανσης τυχαίου σφάλματος του μοντέλου παλινδρόμησης κατά τη διεξαγωγή ανάλυση παλινδρόμησηςη κύρια δυσκολία είναι ότι γενική διακύμανσηΤο τυχαίο σφάλμα είναι μια άγνωστη ποσότητα, η οποία απαιτεί τον υπολογισμό του αμερόληπτου

Από το βιβλίο του συγγραφέα

18. Χαρακτηριστικά της ποιότητας ενός μοντέλου παλινδρόμησης Η ποιότητα ενός μοντέλου παλινδρόμησης είναι η επάρκεια του κατασκευασμένου μοντέλου προς τα αρχικά (παρατηρούμενα) δεδομένα Για την αξιολόγηση της ποιότητας ενός μοντέλου παλινδρόμησης, χρησιμοποιούνται ειδικοί δείκτες μοντέλο ζευγαρωμένης παλινδρόμησης

Από το βιβλίο του συγγραφέα

35. Έλεγχος της υπόθεσης σχετικά με τη σημασία των συντελεστών παλινδρόμησης και του μοντέλου πολλαπλής παλινδρόμησης ως σύνολο

Από το βιβλίο του συγγραφέα

39. Μοντέλα παλινδρόμησης μη γραμμικά σε σχέση με μεταβλητές παραγόντων Κατά τη μελέτη κοινωνικοοικονομικών φαινομένων και διαδικασιών, δεν μπορούν να περιγραφούν όλες οι εξαρτήσεις χρησιμοποιώντας γραμμική σύνδεση. Επομένως, στην οικονομετρική μοντελοποίηση η κατηγορία των μη γραμμικών

Από το βιβλίο του συγγραφέα

40. Μοντέλα παλινδρόμησης που είναι μη γραμμικά ως προς τους εκτιμώμενους συντελεστές Τα μοντέλα παλινδρόμησης που είναι μη γραμμικά ως προς τις εκτιμώμενες παραμέτρους είναι μοντέλα στα οποία η προκύπτουσα μεταβλητή yi εξαρτάται μη γραμμικά από τους συντελεστές παλινδρόμησης είναι μη γραμμικά σε σχέση με

Από το βιβλίο του συγγραφέα

41. Μοντέλα παλινδρόμησης με ορισμό σημείων διακοπής. Τα μοντέλα παλινδρόμησης με σημεία διακοπής είναι μοντέλα που δεν μπορούν να αναχθούν σε γραμμική μορφή, δηλαδή τα μοντέλα εσωτερικά μη γραμμικής παλινδρόμησης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: 1) τμηματικά μοντέλα γραμμικής παλινδρόμησης.

Από το βιβλίο του συγγραφέα

44. Μέθοδοι για τη μη γραμμική εκτίμηση των συντελεστών του μοντέλου παλινδρόμησης Η συνάρτηση απώλειας ή σφάλματος ονομάζεται συνάρτηση της μορφής Επίσης, το άθροισμα των μονάδων των αποκλίσεων των παρατηρούμενων τιμών του προκύπτοντος χαρακτηριστικού y από τις θεωρητικές μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μια συνάρτηση απώλειας

Από το βιβλίο του συγγραφέα

46. Έλεγχος της υπόθεσης σχετικά με τη σημασία ενός μοντέλου μη γραμμικής παλινδρόμησης. Έλεγχος της υπόθεσης για γραμμική εξάρτησημεταξύ μεταβλητών του μοντέλου παλινδρόμησης Σε μοντέλα μη γραμμικής παλινδρόμησης που είναι εσωτερικά γραμμικά, δηλ. μπορούν να αναχθούν σε γραμμική μορφή, όλοι διαδίδονται

Από το βιβλίο του συγγραφέα

58. Δοκιμή Glaser για την ανίχνευση της ετεροσκεδαστικότητας των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης

Από το βιβλίο του συγγραφέα

59. Δοκιμή Goldfeld-Quandt για την ανίχνευση ετεροσκεδαστικότητας υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης Η κύρια προϋπόθεση για τη διεξαγωγή της δοκιμής Goldfeld-Quandt είναι η υπόθεση ότι κανονικός νόμοςΜοντέλο παλινδρόμησης τυχαίας κατανομής σφαλμάτων. Εξετάστε την εφαρμογή αυτού

Από το βιβλίο του συγγραφέα

60. Εξάλειψη της ετεροσκεδαστικότητας στα υπολείμματα του μοντέλου παλινδρόμησης Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την εξάλειψη της ετεροσκεδαστικότητας στα υπολείμματα του μοντέλου παλινδρόμησης. Ας δούμε μερικά από αυτά απλή μέθοδοςεξαλείφοντας την ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης

Από το βιβλίο του συγγραφέα

61. Αυτοσυσχέτιση υπολειμμάτων μοντέλου παλινδρόμησης. Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης. Συνάρτηση αυτοσυσχέτισης Η αυτοσυσχέτιση είναι η συσχέτιση που εμφανίζεται μεταξύ των επιπέδων της μεταβλητής που μελετάται. Αυτός είναι ένας συσχετισμός που εμφανίζεται με την πάροδο του χρόνου. Η παρουσία αυτοσυσχέτισης συχνότερα

Από το βιβλίο του συγγραφέα

62. Κριτήριο Durbin-Watson για την ανίχνευση της αυτοσυσχέτισης των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης Εκτός από την αυτοσυσχέτιση και τη μερική συναρτήσεις αυτοσυσχέτισηςΗ δοκιμή Durbin-Watson χρησιμοποιείται για την ανίχνευση της αυτοσυσχέτισης των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης. Ωστόσο, αυτό το κριτήριο

Από το βιβλίο του συγγραφέα

63. Εξάλειψη της αυτοσυσχέτισης των υπολειμμάτων του μοντέλου παλινδρόμησης Λόγω του γεγονότος ότι η παρουσία αυτοσυσχέτισης μεταξύ υπολειμμάτων μοντέλου σε ένα μοντέλο παλινδρόμησης μπορεί να οδηγήσει σε αρνητικά αποτελέσματαόλη η διαδικασία εκτίμησης άγνωστων συντελεστών μοντέλου, αυτοσυσχέτιση υπολειμμάτων

Από το βιβλίο του συγγραφέα

67. Μοντέλα παλινδρόμησης με μεταβλητή δομή. Ψευδικές μεταβλητές Κατά τη δημιουργία ενός μοντέλου παλινδρόμησης, μπορεί να προκύψει μια κατάσταση όταν είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν όχι μόνο ποσοτικές, αλλά και ποιοτικές μεταβλητές (για παράδειγμα, ηλικία, εκπαίδευση, φύλο, φυλή).

Αξιολόγηση της ακρίβειας των μοντέλων παλινδρόμησης.

Για την αξιολόγηση της ακρίβειας, χρησιμοποιούνται συχνότερα δύο δείκτες, οι οποίοι είναι για γραμμικό και για μη γραμμικά μοντέλαέχουν τη μορφή:

1. Μέσο σφάλμα προσέγγισης

2. Μέσο τετραγωνικό σφάλμα προσέγγισης

8.1. Η ουσία και οι λόγοι της ετεροσκεδαστικότητας

Η δεύτερη συνθήκη Gauss–Markov για την ομοσκεδαστικότητα, δηλαδή η ισομεταβλητότητα των υπολειμμάτων, είναι μια από τις πιο σημαντικές προϋποθέσεις του OLS.

Δεδομένου ότι η μαθηματική προσδοκία των υπολειμμάτων σε κάθε παρατήρηση είναι μηδέν, τα τετράγωνα των υπολειμμάτων μπορούν να χρησιμεύσουν ως εκτιμήσεις των αποκλίσεων τους.

Αυτά τα τετράγωνα υπόλοιπα περιλαμβάνονται στο ESS(το οποίο ελαχιστοποιείται στο OLS) με τα ίδια βάρη μονάδων, και αυτό δεν είναι πάντα νόμιμο, αφού στην πράξη η ετεροσκεδαστικότητα δεν είναι τόσο σπάνια.

Για παράδειγμα, όσο αυξάνεται το εισόδημα, όχι μόνο αυξάνεται μέσο επίπεδοκατανάλωση, αλλά και διακύμανση στην κατανάλωση. Είναι πιο χαρακτηριστικό για άτομα με υψηλά εισοδήματα, αφού έχουν μεγαλύτερο περιθώριο κατανομής εισοδήματος. Το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας είναι πιο συνηθισμένο για χωρικά δείγματα. Προφανώς, παρουσία ετεροσκεδαστικότητας, οι παρατηρήσεις με μεγαλύτερη διακύμανση θα πρέπει να είναι ESSδώστε μικρότερη βαρύτητα και το αντίστροφο, και να μην τα θεωρείτε εξίσου σταθμισμένα, όπως γίνεται στην κλασική OLS.

Ένα σημείο σε ένα διάγραμμα διασποράς που προέρχεται από μια παρατήρηση με μικρότερη διακύμανση ορίζει την κατεύθυνση της γραμμής παλινδρόμησης με μεγαλύτερη ακρίβεια από ένα σημείο από μια παρατήρηση με μεγαλύτερη διακύμανση.

Οι συνέπειες της ετεροσκεδαστικότητας είναι:

1. Οι εκτιμήσεις παραμέτρων δεν θα είναι αποτελεσματικές, δηλαδή δεν θα έχουν τη μικρότερη απόκλιση σε σύγκριση με άλλες εκτιμήσεις. ωστόσο θα παραμείνουν αεκτοπισμένοι.

2. Οι διακυμάνσεις των εκτιμήσεων θα μετατοπιστούν, αφού η διακύμανση θα μετατοπιστεί κατά έναν βαθμό ελευθερίας, ο οποίος χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό των εκτιμήσεων των αποκλίσεων όλων των συντελεστών.

3. Συμπεράσματα βασισμένα σε υπερεκτιμημένα φάΚαι tστατιστικολόγος, και εκτιμήσεις διαστήματοςθα είναι αναξιόπιστη.

8.2.Ανίχνευση ετεροσκεδαστικότητας

Αυτό είναι ένα αρκετά δύσκολο έργο. διασπορά σ 2 (ε i) συνήθως δεν μπορεί να προσδιοριστεί, αφού για μια συγκεκριμένη τιμή η επεξηγηματική μεταβλητή x iή μια συγκεκριμένη διανυσματική τιμή Χμε πολλαπλή παλινδρόμηση έχουμε μόνο μία τιμή για την εξαρτημένη μεταβλητή y iκαι μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή ενός μοντέλου της μεταβλητής

Ωστόσο, ένας αριθμός μεθόδων και δοκιμών έχουν αναπτυχθεί τώρα για την ανίχνευση ετεροσκεδαστικότητας:

1. Γραφικός- το έχουμε πει ήδη Μ(ε i)=0; Αυτό σημαίνει ότι η διακύμανση του υπολοίπου μπορεί να αντικατασταθεί από την εκτίμησή του και η τιμή μπορεί να ληφθεί ως αυτή η εκτίμηση. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να δημιουργήσετε ένα γράφημα σε συντεταγμένες: υπάρχει μια συνάρτηση του x iκαι χρησιμοποιήστε το για να μελετήσετε τη φύση αυτής της εξάρτησης. Εάν υπάρχουν πολλές επεξηγηματικές μεταβλητές, τότε ελέγχεται η εξάρτηση για κάθε μεταβλητή x j, δηλαδή μελετάται η εξάρτηση

Μπορείτε επίσης να εξετάσετε την εξάρτηση από τη μεταβλητή στοείναι ένας γραμμικός συνδυασμός όλων των επεξηγηματικών μεταβλητών.

2. Δοκιμή συσχέτιση κατάταξηςΑκοντιστής

Αξίες x iΚαι ε iταξινομούνται με αύξουσα σειρά και για κάθε παρατήρηση στη σειρά Χκαι στη σειρά ε ο βαθμός (αριθμός) του καθορίζεται σύμφωνα με την παρούσα διάταξη. Διαφορά d iμεταξύ τάξεων ΧΚαι ε για κάθε παρατήρηση ο αριθμός υπολογίζεται ως

Στη συνέχεια υπολογίζεται ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης:

Είναι γνωστό ότι εάν τα υπολείμματα δεν συσχετίζονται με τις επεξηγηματικές μεταβλητές, τότε τα στατιστικά

έχει κατανομή Μαθητή με τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας

df = n−2.

Εάν η υπολογιζόμενη τιμή t– τα στατιστικά στοιχεία υπερβαίνουν την πινακοποιημένη κρίσιμη τιμή στο εκχωρημένο επίπεδο σημαντικότητας γ της υπόθεσης Ν 0, τότε η υπόθεση για την απουσία ετεροσκεδαστικότητας απορρίπτεται και η ετεροσκεδαστικότητα αναγνωρίζεται ως σημαντική. Κρίσιμη αξία t–Τα στατιστικά στοιχεία καθορίζονται από τον πίνακα ως

Εάν το μοντέλο παλινδρόμησης είναι πολλαπλό, έλεγχος υποθέσεων ΝΙσχύει 0 για κάθε επεξηγηματική μεταβλητή.

3. Δοκιμή Goldfeld–Quandt

Θεωρείται ότι η διακύμανση των υπολειμμάτων σε κάθε παρατήρηση είναι ανάλογη ή αντιστρόφως ανάλογη με τον παλινδρομητή ενδιαφέροντος, θεωρείται επίσης ότι τα υπολείμματα είναι κανονικά κατανεμημένα και δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στα υπολείμματα.

Σε περίπτωση πολλαπλής παλινδρόμησης, συνιστάται η διεξαγωγή της δοκιμής για κάθε παλινδρόμηση χωριστά.

Ακολουθία δοκιμής:

α) οι παρατηρήσεις (σειρές πίνακα) ταξινομούνται με αύξουσα σειρά του παλινδρομητή που μας ενδιαφέρει.

β) το δείγμα που παραγγέλθηκε με αυτόν τον τρόπο χωρίζεται σε 3 υποδείγματα με όγκους , , , και μπορούμε να υποθέσουμε ότι οι Συγγραφείς της δοκιμαστικής προσφοράς παρακάτω τιμές: n= 30, k = 11; n= 60, κ = 22; n= 100, κ= 36…38; n= 300, k = 110 και ούτω καθεξής (βλ. Πίνακα 8.1).

Κατά την εκτίμηση των παραμέτρων της εξίσωσης παλινδρόμησης, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Σε αυτή την περίπτωση, κάνουμε ορισμένες υποθέσεις σχετικά με την τυχαία συνιστώσα . Στο μοντέλο

στο = ΕΝΑ + σι 1  Χ + 

η τυχαία συνιστώσα  είναι μια μη παρατηρήσιμη μεταβλητή. Αφού αξιολογηθούν οι παράμετροι του μοντέλου, υπολογίζοντας τις διαφορές μεταξύ των πραγματικών και των θεωρητικών τιμών του προκύπτοντος χαρακτηριστικού στο, μπορούμε να καθορίσουμε εκτιμήσεις της τυχαίας συνιστώσας ( στο). Όταν αλλάζετε τις προδιαγραφές του μοντέλου, προσθέτετε νέες παρατηρήσεις σε αυτό, δειγματοληπτικές εκτιμήσεις υπολειμμάτων Εγώ, μπορεί να αλλάξει. Επομένως, το έργο της ανάλυσης παλινδρόμησης περιλαμβάνει όχι μόνο την κατασκευή του ίδιου του μοντέλου, αλλά και τη μελέτη των τυχαίων αποκλίσεων  Εγώ, δηλ. υπολειμματικές τιμές.

Η προηγούμενη ενότητα εξέτασε επίσημους ελέγχους της στατιστικής σημασίας της παλινδρόμησης και των συντελεστών συσχέτισης χρησιμοποιώντας t-Τεστ του μαθητή και φά-κριτήρια. Όταν χρησιμοποιούνται αυτά τα κριτήρια, γίνονται υποθέσεις σχετικά με τη συμπεριφορά των υπολειμμάτων  Εγώ. Τα υπολείμματα είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές και ο μέσος όρος τους είναι 0. έχουν την ίδια (σταθερή) διακύμανση και ακολουθούν κανονική κατανομή.

Οι εκτιμήσεις των παραμέτρων παλινδρόμησης πρέπει να πληρούν ορισμένα κριτήρια: να είναι αμερόληπτες, συνεπείς και αποτελεσματικές.

Αμερόληπτη εκτίμησησημαίνει ότι η μαθηματική προσδοκία των υπολοίπων είναι μηδέν. Κατά συνέπεια, με μεγάλο αριθμό δειγματοληπτικών εκτιμήσεων, τα υπολείμματα δεν θα συσσωρεύονται και η παράμετρος παλινδρόμησης που βρέθηκε σι Εγώμπορεί να θεωρηθεί ως ο μέσος όρος ενός πιθανού μεγάλου αριθμού αμερόληπτων εκτιμήσεων.

Για πρακτικούς σκοπούς, δεν είναι μόνο σημαντική η αμερόληπτη, αλλά και η αποτελεσματικότητα των εκτιμήσεων. Οι βαθμοί μετράνε αποτελεσματικός, εάν χαρακτηρίζονται από τη μικρότερη διασπορά.

Ο βαθμός ρεαλισμού των διαστημάτων εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους παλινδρόμησης διασφαλίζεται εάν οι εκτιμήσεις δεν είναι μόνο αμερόληπτες και αποτελεσματικές, αλλά και πλούσιος. Η συνέπεια των εκτιμήσεων χαρακτηρίζεται από αύξηση της ακρίβειάς τους με την αύξηση του μεγέθους του δείγματος.

Μελέτες υπολειμμάτων  Εγώπεριλαμβάνει τον έλεγχο της παρουσίας των ακόλουθων πέντε προαπαιτούμενων OLS (βλέπε συνθήκες Gauss–Markov):

Τυχαία φύση των υπολειμμάτων.

Για να γίνει αυτό, σχεδιάστε την εξάρτηση των υπολειμμάτων  Εγώαπό τις θεωρητικές τιμές του προκύπτοντος χαρακτηριστικού .Αν δεν υπάρχει κατευθυντικότητα στη θέση σημείων στη γραφική παράσταση  Εγώ, τότε τα υπόλοιπα  Εγώαντιπροσωπεύουν τυχαίες μεταβλητές και η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων είναι δικαιολογημένη, θεωρητικές τιμές καλή προσέγγιση των πραγματικών τιμών στο.

Μηδέν μέση αξίαισορροπίες, ανεξάρτητες από Χ Εγώ .

Η δεύτερη υπόθεση OLS σχετικά με τα μηδενικά μέσα υπολείμματα σημαίνει ότι ( στο ) = 0. Αυτό είναι εφικτό για γραμμικά μοντέλα και μοντέλα που είναι μη γραμμικά σε σχέση με τις συμπεριλαμβανόμενες μεταβλητές. Για μοντέλα που είναι μη γραμμικά στις εκτιμώμενες παραμέτρους και μπορούν να αναχθούν σε γραμμική μορφή με λογάριθμο, μέσο σφάλμαισούται με μηδέν για τους λογάριθμους των αρχικών δεδομένων. Έτσι, για ένα μοντέλο της φόρμας

Ομοσκεδαστικότητα διακύμανση κάθε απόκλισης Εγώ είναι το ίδιο για όλες τις αξίεςΧ.

Η τρίτη υπόθεση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων απαιτεί η διακύμανση των υπολειμμάτων να είναι ομοσκεδαστικός. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε τιμή παράγοντα Χ Εγώτα υπολείμματα έχουν την ίδια διακύμανση. Εάν αυτή η προϋπόθεση για την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων δεν πληρούται, τότε ετεροσκεδαστικότητα(Εικ. 1).

Ομοσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων σημαίνει ότι η διακύμανση των υπολειμμάτων  Εγώείναι το ίδιο για κάθε τιμή Χ.

Η παρουσία ετεροσκεδαστικότητας σε σε ορισμένες περιπτώσειςμπορεί να οδηγήσει σε μεροληπτικές εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης, αν και οι αμερόληπτες εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης εξαρτώνται κυρίως από τη συμμόρφωση με τη δεύτερη προϋπόθεση του OLS, δηλ. ανεξαρτησία των υπολειμμάτων και των τιμών των παραγόντων.

Η ετεροσκεδαστικότητα θα μειώσει την αποτελεσματικότητα των εκτιμήσεων σι Εγώ. Συγκεκριμένα, καθίσταται δύσκολη η χρήση του τύπου για το τυπικό σφάλμα του συντελεστή παλινδρόμησης , το οποίο προϋποθέτει ομοιόμορφη διακύμανση υπολειμμάτων για οποιεσδήποτε τιμές συντελεστών.

Ας σκεφτούμε δοκιμές, που μας επιτρέπουν να αναλύσουμε το μοντέλο για την ομοσκεδαστικότητα.

Με ένα μικρό μέγεθος δείγματος, που είναι πιο χαρακτηριστικό για τις οικονομετρικές μελέτες, μπορεί να εκτιμηθεί η ετεροσκεδαστικότητα. Μέθοδος Goldfeld  Quandt , που αναπτύχθηκε το 1965. Οι Goldfeld και Quandt εξέτασαν ένα μονοπαραγοντικό γραμμικό μοντέλο για το οποίο η διακύμανση των υπολειμμάτων αυξάνεται με το τετράγωνο του παράγοντα. Προκειμένου να αξιολογηθεί η παραβίαση της ομοφυλοφιλίας, πρότειναν παραμετρική δοκιμήπου περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

Παραγγελία Ππαρατηρήσεις καθώς αυξάνεται η μεταβλητή Χ.

Εξαίρεση από την εξέταση ΜΕκεντρικές παρατηρήσεις· όπου ( Π Γ)/2 > R, Οπου R αριθμός παραμέτρων προς εκτίμηση.

Από πειραματικούς υπολογισμούς που πραγματοποιήθηκαν από τους συγγραφείς της μεθόδου για την περίπτωση ενός παράγοντα, συνιστάται ότι Π= 30 λήψη ΜΕ= 8, και σε Π= 60 – αναλόγως ΜΕ = 16.

Διαίρεση πληθυσμού από ( Π  ΜΕ) παρατηρήσεις σε δύο ομάδες (με μικρές και μεγάλες τιμές του παράγοντα, αντίστοιχα Χ) και προσδιορισμός εξισώσεων παλινδρόμησης για κάθε ομάδα.

Προσδιορισμός του υπολειπόμενου αθροίσματος τετραγώνων για το πρώτο ( μικρό 1) και δεύτερο ( μικρό 2) ομάδες και εύρεση των σχέσεών τους: R = μικρό 1 /μικρό 2 όπου μικρό 1 > μικρό 2 .

Όταν η μηδενική υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας ικανοποιηθεί, ο λόγος Rθα ικανοποιήσει φά-κριτήριο με ( ΠΜΕ2R)/2 βαθμοί ελευθερίας για κάθε υπολειπόμενο άθροισμα τετραγώνων. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή Rυπερβαίνει την τιμή του πίνακα φά-κριτήριο, τόσο περισσότερο παραβιάζεται η προϋπόθεση της ισότητας των διακυμάνσεων των υπολειμματικών τιμών.

Το κριτήριο Goldfeld-Quandt χρησιμοποιείται επίσης για τον έλεγχο υπολειμμάτων πολλαπλής παλινδρόμησης για ετεροσκεδαστικότητα.

Η παρουσία ετεροσκεδαστικότητας στα υπολείμματα παλινδρόμησης μπορεί επίσης να ελεγχθεί χρησιμοποιώντας Συσχέτιση βαθμού Spearman . Η ουσία του τεστ είναι ότι στην περίπτωση της ετεροσκεδαστικότητας, τα απόλυτα υπολείμματα  Εγώσυσχετίζονται με τιμές παραγόντων Χ Εγώ. Αυτή η συσχέτιση μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας τον συντελεστή συσχέτισης κατάταξης του Spearman:

, (31)

Οπου ρε απόλυτη διαφορά μεταξύ των βαθμών των αξιών Χ Εγώκαι | Εγώ |.

Η στατιστική σημασία του  μπορεί να εκτιμηθεί χρησιμοποιώντας t-κριτήρια:

. (32)

Συγκρίνοντας αυτήν την τιμή με την τιμή του πίνακα στο  = 0,05 και τον αριθμό των βαθμών ελευθερίας ( Π  Μ). Είναι γενικά αποδεκτό ότι αν t  > t , τότε η συσχέτιση μεταξύ  ΕγώΚαι Χ Εγώστατιστικά σημαντική, δηλαδή υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων. Διαφορετικά, γίνεται αποδεκτή η υπόθεση ότι τα υπολείμματα δεν είναι ετεροσκεδαστικά.

Τα εξεταζόμενα κριτήρια δεν παρέχουν ποσοτική αξιολόγηση της εξάρτησης της διακύμανσης των σφαλμάτων παλινδρόμησης από τις αντίστοιχες τιμές των παραγόντων που περιλαμβάνονται στην παλινδρόμηση. Επιτρέπουν μόνο να προσδιορίσει την παρουσία ή την απουσία ετεροσκεδαστικότητας στα υπολείμματα. Επομένως, εάν διαπιστωθεί η ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων, είναι δυνατόν να ποσοτικοποιηθεί η εξάρτηση της διακύμανσης των σφαλμάτων παλινδρόμησης από τις τιμές των παραγόντων. Για το σκοπό αυτό μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα τεστ White, Park, Glaser κ.λπ.

Το τεστ του White υποθέτει ότι η διακύμανση του σφάλματος παλινδρόμησης είναι μια τετραγωνική συνάρτηση των τιμών των παραγόντων, δηλ. παρουσία ενός παράγοντα  2 = ΕΝΑ+ bx + cx 2 + u, ή παρουσία παραγόντων:

 2 = ένα + σι 1 Χ 1 + σι 11 +σι 2 Χ 2 + σι 22 +σι 12 Χ 1 Χ 2 + … + σι Π Χ Π + σι σελ + + σι 1 Π Χ 1 Χ Π + σι 2 Π Χ 2 Χ Π + … + u.

Έτσι, το μοντέλο περιλαμβάνει όχι μόνο τις τιμές των παραγόντων, αλλά και τα τετράγωνά τους, καθώς και τα ζευγαρωμένα προϊόντα. Δεδομένου ότι κάθε παράμετρος μοντέλου =φά(Χ Εγώ) πρέπει να υπολογιστεί με βάση έναν επαρκή αριθμό βαθμών ελευθερίας, τότε όσο μικρότερος είναι ο όγκος του υπό μελέτη πληθυσμού, τόσο λιγότερο η τετραγωνική συνάρτηση μπορεί να περιέχει ανά ζεύγη γινόμενα παραγόντων. Για παράδειγμα, εάν η παλινδρόμηση βασίζεται σε 30 παρατηρήσεις ως y Εγώ = ένα + σι 1 Χ +  Εγώ, τότε η επόμενη τετραγωνική συνάρτηση για τα υπόλοιπα μπορεί να αναπαρασταθεί μόνο ως

 2 = ΕΝΑ + σι 1 Χ + σι 11 Χ 2 + u,

αφού για κάθε παράμετρο στο Χπρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον 6-7 παρατηρήσεις. Η δοκιμή του White περιλαμβάνεται πλέον στο τυπικό πρόγραμμα ανάλυσης παλινδρόμησης στο πακέτο Econometric Views. Η παρουσία ή η απουσία ετεροσκεδαστικότητας των υπολειμμάτων κρίνεται από την τιμή φά-Κριτήριο Fisher για τετραγωνική λειτουργίαπαλινδρόμηση των υπολειμμάτων. Εάν η πραγματική αξία φά-τα κριτήρια είναι υψηλότερα από το πίνακα, επομένως, υπάρχει σαφής συσχέτιση μεταξύ της διακύμανσης σφάλματος και των τιμών των παραγόντων που περιλαμβάνονται στην παλινδρόμηση και λαμβάνει χώρα ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων. Σε διαφορετική περίπτωση ( φάγεγονός< φάΠίνακας) συμπεραίνεται ότι δεν υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα στα υπολείμματα παλινδρόμησης.

Δοκιμή πάρκου αναφέρεται επίσης σε επίσημα τεστ ετεροσκεδαστικότητας. Υποτίθεται ότι η διασπορά των υπολειμμάτων σχετίζεται με τις τιμές των συντελεστών συνάρτησης ln  2 = ΕΝΑ + σι ln Χ + Και. Αυτή η παλινδρόμηση δημιουργείται για κάθε παράγοντα σε ένα πολυπαραγοντικό μοντέλο. Ελέγχεται η σημασία του συντελεστή παλινδρόμησης σιΜε t-Τεστ του μαθητή. Εάν ο συντελεστής παλινδρόμησης για την εξίσωση ln 2 αποδειχθεί στατιστικά σημαντικός, τότε, κατά συνέπεια, υπάρχει εξάρτηση ln 2 από το ln Χ, δηλ. υπάρχει ετεροσκεδαστικότητα των υπολειμμάτων.

Εάν οι δοκιμές White and Park προορίζονται να αξιολογήσουν την ετεροσκεδαστικότητα για τα τετράγωνα υπολείμματα  2, τότε Δοκιμή Glaser βασίζεται σε παλινδρόμηση των απόλυτων τιμών των υπολειμμάτων ||, δηλ. θεωρείται η συνάρτηση | Εγώ | = ΕΝΑ + σι + Και Εγώ. Παλινδρόμηση | Εγώ| από Χ Εγώκατασκευάζεται στο διαφορετικές έννοιεςπαράμετρος Με, και στη συνέχεια επιλέξτε τη συνάρτηση για την οποία ο συντελεστής παλινδρόμησης σιαποδεικνύεται ότι είναι το πιο σημαντικό, δηλ. έχει τη μεγαλύτερη σημασία t-Τεστ μαθητή ή φά-Κριτήριο Fisher και R 2 .

Όταν ανιχνεύεται ετεροσκεδαστικότητα στα υπολείμματα παλινδρόμησης, ο στόχος είναι να εξαλειφθεί, κάτι που επιτυγχάνεται με τη χρήση της μεθόδου των γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων (βλ. παρακάτω).

Χωρίς αυτοσυσχέτιση υπολειμμάτων. Τιμές υπολειμμάτων Εγώ , κατανέμονται ανεξάρτητα το ένα από το άλλο.

Αυτοσυσχέτιση υπολειμμάτων σημαίνει την παρουσία συσχέτισης μεταξύ των υπολειμμάτων των τρεχουσών και των προηγούμενων (επακόλουθων) παρατηρήσεων.

Κατά τη δημιουργία μοντέλων παλινδρόμησης, η συμμόρφωση με αυτήν την προϋπόθεση είναι εξαιρετικά σημαντική. Συντελεστής συσχέτισης μεταξύ  Εγώκαι  Εγώ-1, όπου  Εγώ υπολείμματα σημερινών παρατηρήσεων,  Εγώ-1  υπολείμματα από προηγούμενες παρατηρήσεις μπορούν να οριστούν ως

, (33)

που αντιστοιχεί στον τύπο για τον συντελεστή γραμμικής συσχέτισης. Εάν αυτός ο συντελεστής αποδειχθεί ότι είναι σημαντικά διαφορετικός από το μηδέν, τότε τα υπολείμματα συσχετίζονται αυτόματα και η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας φά() εξαρτάται από ι-σημείο παρατήρησης και για την κατανομή των υπολειμματικών τιμών σε άλλα σημεία παρατήρησης.

Η απουσία αυτοσυσχέτισης των υπολειμμάτων διασφαλίζει τη συνέπεια και την αποτελεσματικότητα των εκτιμήσεων των συντελεστών παλινδρόμησης. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να συμμορφώνεστε με αυτή την προϋπόθεση του OLS κατά την κατασκευή μοντέλων παλινδρόμησης με βάση χρονοσειρές, όπου, παρουσία τάσης, τα επόμενα επίπεδα των χρονοσειρών, κατά κανόνα, εξαρτώνται από τα προηγούμενα επίπεδά τους.

Τα υπολείμματα ακολουθούν κανονική κατανομή.

Η υπόθεση της κανονικής κατανομής των υπολειμμάτων επιτρέπει τον έλεγχο των παραμέτρων παλινδρόμησης και συσχέτισης χρησιμοποιώντας κριτήρια tΚαι φά. Ταυτόχρονα, οι εκτιμήσεις παλινδρόμησης που βρέθηκαν με χρήση OLS έχουν καλές ιδιότητες ακόμη και απουσία κανονικής κατανομής υπολειμμάτων, δηλ. όταν παραβιάζεται η πέμπτη προϋπόθεση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων.

Μαζί με τις προϋποθέσεις της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων ως μεθόδου εκτίμησης των παραμέτρων παλινδρόμησης, κατά την κατασκευή μοντέλων παλινδρόμησης, πρέπει να πληρούνται ορισμένες απαιτήσεις σχετικά με τις μεταβλητές που περιλαμβάνονται στο μοντέλο. Πρώτα απ 'όλα, ο αριθμός των μεταβλητών Τδεν πρέπει να είναι περισσότερο από
. Διαφορετικά, οι παράμετροι παλινδρόμησης αποδεικνύονται στατιστικά ασήμαντες. ΣΕ γενική εικόναη χρήση του OLS είναι δυνατή εάν ο αριθμός των παρατηρήσεων Πυπερβαίνει τον αριθμό των εκτιμώμενων παραμέτρων Τ, δηλ. Σύστημα κανονικές εξισώσειςέχει λύση μόνο όταν Π > Τ.

Εάν δεν πληρούνται οι βασικές παραδοχές του OLS, είναι απαραίτητο να προσαρμόσετε το μοντέλο, αλλάζοντας τις προδιαγραφές του, προσθέτοντας (εξαιρουμένων) ορισμένων παραγόντων, μετασχηματίζοντας τα αρχικά δεδομένα ώστε να ληφθούν εκτιμήσεις των συντελεστών παλινδρόμησης που έχουν την ιδιότητα να είναι αμερόληπτοι, χαμηλότερη τιμή της διασποράς των υπολειμμάτων και επομένως παρέχουν πιο αποτελεσματικό στατιστικό έλεγχο της σημασίας των παραμέτρων παλινδρόμησης. Αυτός ο στόχος, όπως ήδη αναφέρθηκε, εξυπηρετείται με τη χρήση της μεθόδου γενικευμένων ελαχίστων τετραγώνων.