Ας προβάλουμε ένα σημείο ΕΝΑορθογώνια και στα δύο επίπεδα προβολής:

AA 1 _|_ P 1 ;AA 1 ^P 1 =A 1 ;

AA 2 _|_ P 2 ;AA 2 ^P 2 =A 2 ;

Ακτίνες προβολής ΑΑ 1 και ΑΑ 2αμοιβαία κάθετα και δημιουργούν ένα προεξέχον επίπεδο στο χώρο AA 1 AA 2,κάθετα και στις δύο πλευρές των προεξοχών. Αυτό το επίπεδο τέμνει τα επίπεδα προβολής κατά μήκος των γραμμών που διέρχονται από τις προεξοχές του σημείου ΕΝΑ.

Για να έχετε ένα επίπεδο σχέδιο, συνδυάστε το οριζόντιο επίπεδο των προβολών Σ 1με το μετωπικό επίπεδο P 2 να περιστρέφεται γύρω από τον άξονα P 2 / P 1 (Εικ. 61, α). Τότε και οι δύο προβολές του σημείου θα βρίσκονται στην ίδια ευθεία κάθετα στον άξονα P 2 / P 1. Ευθεία Α 1 Α 2,σύνδεση οριζόντια Α'1και μετωπική Α2προβολή ενός σημείου ονομάζεται κάθετη γραμμή επικοινωνίας.

Το επίπεδο σχέδιο που προκύπτει ονομάζεται σύνθετο σχέδιο.Είναι μια εικόνα ενός αντικειμένου σε πολλά συνδυασμένα επίπεδα. Ένα σύνθετο σχέδιο που αποτελείται από δύο ορθογώνιες προεξοχές που συνδέονται μεταξύ τους ονομάζεται δύο προβολές. Σε αυτό το σχέδιο, οι οριζόντιες και μετωπικές προεξοχές των σημείων βρίσκονται πάντα στην ίδια κατακόρυφη γραμμή σύνδεσης.

Δύο αλληλοσυνδεόμενες ορθογώνιες προεξοχές ενός σημείου καθορίζουν μοναδικά τη θέση του σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Αν προσδιορίσουμε τη θέση του σημείου ΕΝΑσε σχέση με αυτά τα επίπεδα (Εικ. 61, β) το ύψος του h (AA 1 =h)και βάθος f(AA 2 =f ), μετά αυτάΟι ποσότητες σε ένα σύνθετο σχέδιο υπάρχουν ως τμήματα μιας κάθετης γραμμής επικοινωνίας. Αυτή η περίσταση διευκολύνει την ανακατασκευή του σχεδίου, δηλαδή τον προσδιορισμό από το σχέδιο της θέσης του σημείου σε σχέση με τα επίπεδα προβολής. Για να γίνει αυτό, αρκεί να επαναφέρετε μια κάθετη στο επίπεδο σχεδίασης (θεωρώντας την μετωπική) στο σημείο A 2 του σχεδίου με μήκος ίσο με το βάθος φά. Το άκρο αυτής της καθέτου θα καθορίσει τη θέση του σημείου ΕΝΑσε σχέση με το επίπεδο σχεδίασης.

60.gif

Εικόνα:

61.gif

Εικόνα:

7. Ερωτήσεις αυτοδιαγνωστικού ελέγχου

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΔΟΚΙΜΟΥ

4. Πώς ονομάζεται η απόσταση που καθορίζει τη θέση ενός σημείου σε σχέση με το επίπεδο προβολής; P 1, P 2;

7. Πώς να κατασκευάσετε μια πρόσθετη προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο P 4 _|_ P 2 , P 4 _|_ P 1 , P 5 _|_ P 4 ?

9. Πώς μπορείτε να κατασκευάσετε ένα σύνθετο σχέδιο ενός σημείου χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του;

33. Στοιχεία μιγαδικού σχεδίου τριών προβολών σημείου

§ 33. Στοιχεία μιγαδικού σχεδίου τριών προβολών σημείου

Για να προσδιορίσετε τη θέση ενός γεωμετρικού σώματος στο χώρο και να λάβετε πρόσθετες πληροφορίες για τις εικόνες του, μπορεί να χρειαστεί να κατασκευαστεί μια τρίτη προβολή. Τότε το τρίτο επίπεδο προβολής βρίσκεται στα δεξιά του παρατηρητή, κάθετο στο οριζόντιο επίπεδο προβολής ταυτόχρονα Σ 1και το μετωπικό επίπεδο των προεξοχών P 2 (Εικ. 62, α). Ως αποτέλεσμα της τομής του μετωπιαίου P 2 και προφίλ P 3 επίπεδα προβολής παίρνουμε έναν νέο άξονα P 2 / P 3 , που βρίσκεται στο σύνθετο σχέδιο παράλληλα με την κατακόρυφη γραμμή επικοινωνίας Α 1 Α 2(Εικ. 62, σι).Προβολή τρίτου σημείου ΕΝΑ- προφίλ - φαίνεται να σχετίζεται με την μετωπική προβολή Α2μια νέα γραμμή επικοινωνίας που ονομάζεται οριζόντια

Ρύζι. 62

Νώε. Οι μετωπικές και οι προβολές προφίλ των σημείων βρίσκονται πάντα στην ίδια οριζόντια γραμμή σύνδεσης. Εξάλλου A 1 A 2 _|_ Α 2 Α 1Και A 2 A 3 , _| _ P 2 / P 3 .

Η θέση ενός σημείου στο χώρο σε αυτή την περίπτωση χαρακτηρίζεται από την γεωγραφικό πλάτος- την απόσταση από αυτό έως το επίπεδο προφίλ των προβολών P 3, το οποίο συμβολίζουμε με το γράμμα R.

Το μιγαδικό σχέδιο ενός σημείου που προκύπτει ονομάζεται τριών προβολών.

Σε ένα σχέδιο τριών προβολών, το βάθος ενός σημείου ΑΑ 2προβάλλεται χωρίς παραμόρφωση στα επίπεδα P 1 και P 2 (Εικ. 62, ΕΝΑ).Αυτή η περίσταση μας επιτρέπει να κατασκευάσουμε μια τρίτη - μετωπική προβολή του σημείου ΕΝΑκατά μήκος της οριζόντιας του Α'1και μετωπική Α2προβολές (Εικ. 62, V).Για να γίνει αυτό, πρέπει να σχεδιάσετε μια οριζόντια γραμμή επικοινωνίας μέσω της μετωπικής προβολής του σημείου A 2 A 3 _|_A 2 A 1 .Στη συνέχεια, οπουδήποτε στο σχέδιο, σχεδιάστε τον άξονα προβολής P 2 / P 3 _|_ Α 2 Α 3,μετρήστε το βάθος f ενός σημείου στην οριζόντια πεδίο προβολής και τοποθετήστε το κατά μήκος της οριζόντιας γραμμής σύνδεσης από τον άξονα προβολής P 2 / P 3. Ας πάρουμε μια προβολή προφίλ Α 3σημεία ΕΝΑ.

Έτσι, σε ένα σύνθετο σχέδιο που αποτελείται από τρεις ορθογώνιες προεξοχές ενός σημείου, δύο προεξοχές βρίσκονται στην ίδια γραμμή σύνδεσης. Οι γραμμές επικοινωνίας είναι κάθετες στους αντίστοιχους άξονες προβολής. δύο προβολές ενός σημείου καθορίζουν πλήρως τη θέση της τρίτης προβολής του.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι στα σύνθετα σχέδια, κατά κανόνα, τα επίπεδα προβολής δεν περιορίζονται και η θέση τους καθορίζεται με άξονες (Εικ. 62, γ). Σε περιπτώσεις που οι συνθήκες του προβλήματος δεν το απαιτούν,

Αποδεικνύεται ότι οι προβολές των σημείων μπορούν να δοθούν χωρίς να απεικονίζονται άξονες (Εικ. 63, α, β).Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται αβάσιμο. Οι γραμμές επικοινωνίας μπορούν επίσης να σχεδιαστούν με ένα διάλειμμα (Εικ. 63, β).

62.gif

Εικόνα:

63.gif

Εικόνα:

34. Θέση σημείου σε τρισδιάστατο γωνιακό χώρο

§ 34. Θέση σημείου στο χώρο τρισδιάστατης γωνίας

Η θέση των προβολών των σημείων σε ένα σύνθετο σχέδιο εξαρτάται από τη θέση του σημείου στο χώρο μιας τρισδιάστατης γωνίας. Ας δούμε μερικές περιπτώσεις:

• το σημείο βρίσκεται στο διάστημα (βλ. Εικ. 62). Σε αυτή την περίπτωση έχει βάθος, ύψος και πλάτος.
• το σημείο βρίσκεται στο επίπεδο προβολής Σ 1- δεν έχει ύψος, P 2 - δεν έχει βάθος, Pz - δεν έχει πλάτος.
• το σημείο βρίσκεται στον άξονα προβολής, το P 2 / P 1 δεν έχει βάθος και ύψος, το P 2 / P 3 δεν έχει βάθος και πλάτος και το P 1 / P 3 δεν έχει ύψος και γεωγραφικό πλάτος.

35. Αγωνιστικά σημεία

§ 35. Αγωνιστικά σημεία

Δύο σημεία στο χώρο μπορούν να τοποθετηθούν διαφορετικά. Σε ξεχωριστή περίπτωση, μπορούν να τοποθετηθούν έτσι ώστε οι προβολές τους σε κάποιο επίπεδο προβολής να συμπίπτουν. Τέτοια σημεία λέγονται ανταγωνιστικές.Στο Σχ. 64, ΕΝΑπαρέχεται μια ολοκληρωμένη σχεδίαση των σημείων ΕΝΑΚαι ΣΕ.Τοποθετούνται έτσι ώστε οι προβολές τους να συμπίπτουν στο επίπεδο P 1 [A 1 == B 1].Τέτοια σημεία λέγονται οριζόντια ανταγωνιστική.Αν οι προβολές των σημείων Α και Βσυμπίπτουν στο αεροπλάνο

Σ 2(Εικ. 64, σι),λέγονται μετωπικά ανταγωνιστικά.Και αν οι προβολές των σημείων ΕΝΑΚαι ΣΕσυμπίπτουν στο επίπεδο P 3 [A 3 == B 3 ] (Εικ. 64, γ), ονομάζονται προφίλ ανταγωνιστών.

Η ορατότητα στο σχέδιο καθορίζεται από ανταγωνιστικά σημεία. Για οριζόντια ανταγωνιστικά σημεία, αυτό με μεγαλύτερο ύψος θα είναι ορατό, για μετωπικά ανταγωνιστικά σημεία, αυτό με μεγαλύτερο βάθος και για ανταγωνιστικά σημεία προφίλ, αυτό με μεγαλύτερο γεωγραφικό πλάτος.

64.gif

Εικόνα:

36. Αντικατάσταση επιπέδων προβολής

§ 36. Αντικατάσταση επιπέδων προβολής

Οι ιδιότητες ενός σχεδίου τριών προβολών ενός σημείου επιτρέπουν τη χρήση των οριζόντιων και μετωπικών προεξοχών του για την κατασκευή ενός τρίτου σε άλλα επίπεδα προβολής που εισάγονται για να αντικαταστήσουν τα δεδομένα.

Στο Σχ. 65, ΕΝΑσημείο προβολής ΕΝΑκαι οι προβολές του είναι οριζόντιες Α'1και μετωπική Α2.Σύμφωνα με τις συνθήκες του προβλήματος, είναι απαραίτητο να αντικατασταθούν τα επίπεδα P 2. Ας συμβολίσουμε το νέο επίπεδο προβολής P 4 και ας το τοποθετήσουμε κάθετα στο Σ 1.Στη διασταύρωση των αεροπλάνων Σ 1και P 4 παίρνουμε έναν νέο άξονα P 1 / P 4 . Νέα προβολή σημείου Α 4θα βρίσκεται στις γραμμή επικοινωνίας που διέρχεται από ένα σημείο Α'1και κάθετα στον άξονα P 1 / P 4 .

Από το νέο αεροπλάνο Σ 4αντικαθιστά το μετωπικό επίπεδο προβολής P 2, ύψος σημείου ΕΝΑαπεικονίζεται εξίσου σε πλήρες μέγεθος τόσο στο επίπεδο P 2 όσο και στο επίπεδο P 4.

Αυτή η περίσταση μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη θέση της προβολής Α 4,σε ένα σύστημα αεροπλάνων Σ 1 _|_ Σ 4(Εικ. 65, σι)σε ένα σύνθετο σχέδιο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να μετρήσετε το ύψος του σημείου στο επίπεδο που αντικαθίσταται.

ity της προβολής P 2, τοποθετήστε το σε μια νέα γραμμή σύνδεσης από τον νέο άξονα προβολών - και μια νέα προβολή του σημείου Α 4θα κατασκευαστεί.

Εάν εισαχθεί ένα νέο επίπεδο προβολής αντί για το οριζόντιο επίπεδο προβολής, δηλ. P 4 _|_ P 2 (Εικ. 66, ΕΝΑ),τότε στο νέο σύστημα επιπέδων η νέα προβολή του σημείου θα είναι στην ίδια γραμμή επικοινωνίας με την μετωπική προβολή, και A 2 A 4 _|_.Σε αυτή την περίπτωση, το βάθος του σημείου είναι το ίδιο στο επίπεδο P 1,και στο αεροπλάνο Σ 4.Σε αυτή τη βάση χτίζουν Α 4(Εικ. 66, σι)στη γραμμή επικοινωνίας Α 2 Α 4σε τέτοια απόσταση από τον νέο άξονα P 1 / P 4 σε τι Α'1που βρίσκεται από τον άξονα P 2 / P 1.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, η κατασκευή νέων πρόσθετων προβολών συνδέεται πάντα με συγκεκριμένες εργασίες. Στο μέλλον, θα εξεταστούν ορισμένα μετρικά και θέσιμα προβλήματα που μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης των επιπέδων προβολής. Σε προβλήματα όπου η εισαγωγή ενός επιπλέον επιπέδου δεν θα δώσει το επιθυμητό αποτέλεσμα, εισάγεται ένα άλλο πρόσθετο επίπεδο, το οποίο ονομάζεται P 5. Τοποθετείται κάθετα στο ήδη εισαγόμενο επίπεδο P 4 (Εικ. 67, α), δηλ. P 5 P 4 και παράγουν μια κατασκευή παρόμοια με αυτές που συζητήθηκαν προηγουμένως. Τώρα οι αποστάσεις μετρώνται στο αντικατασταθέν δεύτερο από τα κύρια επίπεδα προβολής (στο Σχ. 67, σιστην επιφάνεια P 1)και να τα αναβάλει σε νέα γραμμή επικοινωνίας Α 4 Α 5,από τον νέο άξονα προβολής P 5 / P 4. Στο νέο σύστημα επιπέδων P 4 P 5, προκύπτει ένα νέο σχέδιο δύο προεξοχών, που αποτελείται από ορθογώνιες προεξοχές Α 4και Α 5 , συνδεδεμένο με γραμμή επικοινωνίας

Όταν κατασκευάζετε ένα σημείο σε δεδομένες συντεταγμένες, πρέπει να θυμάστε ότι, σύμφωνα με τους κανόνες σχεδίασης, η κλίμακα κατά μήκος του άξονα Ω μειώνεται σε 2 φορές σε σύγκριση με την κλίμακα κατά μήκος των αξόνων OU Και Οζ.

1. Κατασκευάστε ένα σημείο: A(2; 1; 3) x A = 2; y A = 1; z A = 3

ΕΝΑ)συνήθως, πρώτα απ 'όλα, κατασκευάζουν μια προβολή ενός σημείου σε ένα επίπεδο Ωχ. Σημειώστε σημεία x A =2 Και y A =1 και χαράξτε ευθείες γραμμές μέσα από αυτές παράλληλες με τους άξονες Ω Και OU. Το σημείο τομής τους έχει τις συντεταγμένες (2;1; 0) Σημείο χτισμένο A 1 (2;1; 0.)

A(2; 1; 3)

0 y A =1

x A =2 στο

A 1 (2;1; 0) 0 y A =1στο

Χ x A =2 A 1 (2;1; 0)

Χ

σι)πιο μακριά από το σημείο A 1 (2;1; 0)επαναφορά κάθετα στο επίπεδο Ohoo (σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Οζ ) και ορίστε ένα τμήμα ίσο με τρία σε αυτό: z A = 3.

2. Κατασκευάστε ένα σημείο: B(3; - 2; 1) x B = 3; y B = -2; Z B = 1

z

y B = - 2

Β(3; -2; 1) ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕστο

B 1 (3;-2) x B =3

Χ

3. Κατασκευάστε ένα σημείο C(-2; 1; 3 ) z C (-2; 1; 3)

X A = -2; Y A = 1; Z A = 3

x C = - 2 C 1 (-2;1;0)

y A = 1 y

4.Κύβος Νταν. Α...Δ 1, του οποίου η άκρη είναι ίση 1 . Η προέλευση συμπίπτει με το σημείο ΣΕ, παϊδάκια VA, BC Και ΒΒ 1 συμπίπτουν με τις θετικές ακτίνες των αξόνων συντεταγμένων. Ονομάστε τις συντεταγμένες όλων των άλλων κορυφών του κύβου. Υπολογίστε τη διαγώνιο του κύβου.

z

AB = BC = BB 1 BD 1 = =

B 1 (0;0;1) C 1 (0;1;1) = =

A 1 (1;0;1) D 1 (1;1;1)

Β(0;0;0) C(0;1;0) y

A(1;0;0) D(1;1;0)

5.Σχεδιάστε τα σημεία A(1;1;-1) Και Β(1; -1;1). Το τμήμα τέμνει τον άξονα συντεταγμένων; αεροπλάνο συντεταγμένων; το τμήμα διέρχεται από την αρχή; Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων τομής, εάν υπάρχουν. z Τα σημεία βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο στον άξονα Ω.

Το τμήμα τέμνει τον άξονα Ω και αεροπλάνο xOy στο σημείο

B(1; -1;1)

0(0;0;0)

C(1;0;0)

A(1;1;-1)

6. Βρείτε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων: A(1;2;3) Και Β(-1;1;1).

ΕΝΑ)ΑΒ = = = =3

σι)C(3;4;0) Και D(3; -1;2).

СD = = =

Στο διάστημα, για τον προσδιορισμό των συντεταγμένων του μέσου του τμήματος, εισάγεται μια τρίτη συντεταγμένη.

B (x B; y B; z B)

ΜΕ( ; ; )

A(x A; y A; z A)

7.Βρείτε συντεταγμένες ΜΕ μεσαία σημεία τμημάτων: ΕΝΑ)AB, Αν Α(3; – 2; – 7), Β(11; – 8; 5),

x M = = 7; y M = = - 5; z M = = - 1; C(7; - 5; - 1)

8. Συντεταγμένες σημείων A(x;y;z). Γράψτε τις συντεταγμένες των σημείων που είναι συμμετρικά με αυτό ως προς:

ΕΝΑ)αεροπλάνα συντεταγμένων

σι)γραμμές συντεταγμένων

V)προέλευση

ΕΝΑ)Αν το σημείο Α'1 συμμετρικό προς το δεδομένο σε σχέση με το επίπεδο συντεταγμένων xOu, τότε η διαφορά είναι
οι συντεταγμένες των σημείων θα βρίσκονται μόνο στο σύμβολο συντεταγμένων z: A 1 (x;y;-z).

τελεία Α2 Oxz, Επειτα A 2 (x; -y; z).

τελεία Α 3 συμμετρικό με το δεδομένο σε σχέση με το επίπεδο Ουζ, Επειτα Α2 (-χ; γ; ζ).

σι)Αν το σημείο Α 4 συμμετρικό προς το δεδομένο ως προς τη γραμμή συντεταγμένων Ω, τότε η διαφορά είναι
οι συντεταγμένες των σημείων θα είναι μόνο σε πινακίδες συντεταγμένων στο Και z: A 4 (x; -y; -z).

τελεία Α 5 OU, Επειτα Α5 (-χ; γ; -ζ).

τελεία Α 6 συμμετρικό σε μια δεδομένη γραμμή Οζ, Επειτα A 6 (-x; -y; z).

V)Αν το σημείο Α 7 είναι συμμετρική με τη δεδομένη σε σχέση με την προέλευση, λοιπόν A 6 (-x; -y; -z).

ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΣΥΝΤΟΝΙΤΩΝ

Η μετάβαση από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο ονομάζεται μετασχηματισμός του συστήματος συντεταγμένων.

θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις μετατροπήςσυστήματα συντεταγμένων και εξάγουν τύπους για την εξάρτηση μεταξύ των συντεταγμένων ενός αυθαίρετου σημείου στο επίπεδο σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων. (Η τεχνική του μετασχηματισμού ενός συστήματος συντεταγμένων είναι παρόμοια με τη μετατροπή γραφημάτων).

1.Παράλληλη μεταφορά. Σε αυτή την περίπτωση, η θέση της αρχής των συντεταγμένων αλλάζει, αλλά η κατεύθυνση των αξόνων και η κλίμακα παραμένουν αμετάβλητες.

Αν η αρχή των συντεταγμένων πάει στο σημείο 0 1 με συντεταγμένες 0 1 (x 0; y 0), τότε για το σημείο M(x;y) σύνδεση μεταξύ των συντεταγμένων του συστήματος x0y Και x 0 0y 0 εκφράζεται με τους τύπους:

x = x 0 + x"

y = y 0 + y"

Οι τύποι που προκύπτουν σας επιτρέπουν να βρείτε παλιές συντεταγμένες χρησιμοποιώντας γνωστές νέες Χ" Και y" και αντίστροφα.

y M(x;y) M(x";y")

0 1 (x 0; y 0), x"

x 0 x"

2.Περιστρεφόμενοι άξονες συντεταγμένων. Σε αυτή την περίπτωση, και οι δύο άξονες περιστρέφονται με την ίδια γωνία και η αρχή και η κλίμακα παραμένουν αμετάβλητες.

M(x;y)

y 1 x 1

Συντεταγμένες σημείων Μ στο παλιό σύστημα M(x;y) Και M(x"; y") - στο νέο. Τότε η πολική ακτίνα και στα δύο συστήματα είναι ίδια και οι πολικές γωνίες είναι αντίστοιχα ίσες + Και , Οπου - πολική γωνία στο νέο σύστημα συντεταγμένων.

Σύμφωνα με τους τύπους για τη μετάβαση από τις πολικές στις ορθογώνιες συντεταγμένες, έχουμε:

x = rcos( + ) x = rcos cos - ρσιν αμαρτία

y = rsin( + ) y = rcos αμαρτία +ρσιν cos

Αλλά rcos = x" Και ρσιν = y", Να γιατί

x = x" cos - y"αμαρτία

y = x" αμαρτία + υ" συν

Απαντήστε γραπτώς στις παρακάτω ερωτήσεις:

1. Τι ονομάζεται ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων σε ένα επίπεδο; στο διάστημα;
2. Ποιος άξονας ονομάζεται άξονας εφαρμογής; Τεταγμένη; Τετμημένη;
3. Ποια είναι η σημείωση για τα διανύσματα μονάδας στους άξονες συντεταγμένων;
4. Τι ονομάζεται ορθός;
5. Πώς υπολογίζεται το μήκος ενός τμήματος που ορίζεται από τις συντεταγμένες των άκρων του σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων;
6. Πώς υπολογίζονται οι συντεταγμένες του μέσου ενός τμήματος που ορίζονται από τις συντεταγμένες των άκρων του;
7. Τι ονομάζεται πολικό σύστημα συντεταγμένων;
8. Ποια είναι η σχέση μεταξύ των συντεταγμένων ενός σημείου σε ορθογώνια και πολικά συστήματα συντεταγμένων;

Ολοκληρώστε τις εργασίες:

1. Σε ποια απόσταση από τα επίπεδα συντεταγμένων βρίσκεται το σημείο; A(1; -2; 3)

2. Σε ποια απόσταση βρίσκεται το σημείο A(1; -2; 3) από τις γραμμές συντεταγμένων ΕΝΑ)OU; σι) OU; V)Oz;

3. Ποια συνθήκη ικανοποιούνται από τις συντεταγμένες των σημείων του χώρου που είναι εξίσου απομακρυσμένα:

ΕΝΑ)από δύο επίπεδα συντεταγμένων Ohoo Και Ouz; ΑΒ

σι)και από τα τρία επίπεδα συντεταγμένων

4. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ μέσο του τμήματος ΑΒ, Α(-2; -4; 1); Β(0; -1; 2) και ονομάστε ένα σημείο συμμετρικό προς το σημείο Μ, σχετικά ΕΝΑ)τσεκούρια Ω

σι)τσεκούρια OU

V)τσεκούρια Οζ.

5. Δεδομένου ενός σημείου Β(4; - 3; - 4). Να βρείτε τις συντεταγμένες των βάσεων των καθέτων που πέφτουν από ένα σημείο του άξονα των συντεταγμένων και τα επίπεδα συντεταγμένων.

6.Στον άξονα OU βρείτε ένα σημείο σε ίση απόσταση από δύο σημεία A(1; 2; - 1) Και Β(-2; 3; 1).

7. Σε αεροπλάνο Oxz βρείτε ένα σημείο σε ίση απόσταση από τρία σημεία Α(2; 1; 0); Β(-1; 2; 3) Και C(0;3;1).

8. Να βρείτε τα μήκη των πλευρών του τριγώνου αλφάβητο και την περιοχή του , αν οι συντεταγμένες των κορυφών : Α(-2; 0; 1), Β(8; - 4; 9), C(-1; 2; 3).

9. Να βρείτε τις συντεταγμένες των προβολών των σημείων Α(2; -3; 5); Β (3;-5; ); ΜΕ(- ; - ; - ).

10. Δίνονται βαθμοί A(1; -1; 0) Και Β(-3; - 1; 2). Υπολογίστε την απόσταση από την αρχή έως τα δεδομένα σημεία.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Όλες οι ποσότητες που αντιμετωπίζονται στη φυσική, την τεχνολογία και την καθημερινή ζωή χωρίζονται σε δύο ομάδες. Τα πρώτα χαρακτηρίζονται πλήρως από την αριθμητική τους τιμή: θερμοκρασία, μήκος, μάζα, επιφάνεια, εργασία. Τέτοιες ποσότητες ονομάζονται βαθμωτό μέγεθος.

Άλλα μεγέθη, όπως δύναμη, ταχύτητα, μετατόπιση, επιτάχυνση κ.λπ. καθορίζονται όχι μόνο από την αριθμητική τους αξία, αλλά και από την κατεύθυνσή τους. Αυτές οι ποσότητες ονομάζονται διάνυσμα, ή φορείς.Μια διανυσματική ποσότητα αναπαρίσταται γεωμετρικά ως διάνυσμα.

Διάνυσμα-αυτό είναι ένα κατευθυνόμενο ευθύγραμμο τμήμα, δηλ. τμήμα που έχει
ορισμένο μήκος και κατεύθυνση.

Το σημείο είναι μια από τις βασικές έννοιες της γεωμετρίας. Στα σύγχρονα μαθηματικά, τα σημεία είναι τα στοιχεία διαφόρων φύσεων που συνθέτουν χώρους, για παράδειγμα, στον Ευκλείδειο χώρο, ένα σημείο είναι μια διατεταγμένη συλλογή από n αριθμούς.

Στην περιγραφική γεωμετρία, η θέση ενός σημείου στο χώρο μπορεί να προσδιοριστεί από τις συντεταγμένες του. Ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό είναι ότι η συντεταγμένη που χαρακτηρίζει την απόσταση ενός σημείου από το επίπεδο προβολής είναι ίδια με τον άξονα, ο οποίος δεν υπάρχει όταν σχηματίζεται αυτό το επίπεδο προβολής. Έτσι, η απόσταση ενός σημείου από το P 2 μετριέται από τη συντεταγμένη y, και το μετωπικό επίπεδο των προβολών του ίδιου του P 2 σχηματίζεται από την τομή των αξόνων OX και OZ.

Έτσι, καθεμία από τις τρεις προβολές ενός σημείου χαρακτηρίζεται από δύο συντεταγμένες, το όνομά τους αντιστοιχεί στα ονόματα των αξόνων που σχηματίζουν το αντίστοιχο επίπεδο προβολής: οριζόντια - A 1 (X A; Y A); μετωπική – A 2 (X A; Z A); προφίλ – A 3 (Y A ; Z A).

Η μετάφραση των συντεταγμένων μεταξύ των προβολών πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας γραμμές επικοινωνίας. Έτσι, στο σύστημα των επιπέδων προβολής P 1 P 2, η συντεταγμένη x κοινή στις μετωπικές και οριζόντιες προεξοχές μεταφράζεται από την κατακόρυφη γραμμή επικοινωνίας A 2 A 1, κάθετη στον άξονα OX.

Χρησιμοποιώντας αυτές τις δύο προβολές, μπορείτε να κατασκευάσετε προβολές ενός σημείου είτε χρησιμοποιώντας συντεταγμένες είτε γραφικά. Γραφικά, μια προβολή προφίλ κατασκευάζεται μεταφράζοντας την παράμετρο Z με μια οριζόντια γραμμή σύνδεσης που έχει σχεδιαστεί από την μετωπική προβολή και η παράμετρος Y μεταφέρεται από την οριζόντια προβολή χρησιμοποιώντας τη σταθερή ευθεία γραμμή του σχεδίου k - τη διχοτόμο της γωνίας της άξονας διαίρεσης: Y 1 OY 3, επί του οποίου η οριζόντια γραμμή σύνδεσης που τραβήχτηκε από τις οριζόντιες προεξοχές κάθετες στο OY 1, διαθλάστηκε σε ορθή γωνία. Στην περίπτωση αυτή, σχηματίζεται ένα τετράγωνο στην αρχή των συντεταγμένων με πλευρά ίση με τη συντεταγμένη Υ του πρωτοτύπου, η οποία εξασφαλίζει τη μεταφορά της συντεταγμένης Υ μεταξύ της οριζόντιας και της προεξοχής προφίλ. Στον πίνακα Τα 3.1 και 3.2 παρουσιάζουν γενικούς αλγόριθμους για την κατασκευή του σημείου Α από συντεταγμένες σε ένα χωρικό μοντέλο ενός συστήματος τριών επιπέδων προβολής P 1 P 2 P 3 και σε ένα μιγαδικό σχέδιο.

Πίνακας 3.1

Αλγόριθμος για την κατασκευή οπτικής εικόνας σημείου κατά συντεταγμένες
Λεκτική μορφή	Γραφική μορφή
1. Σχεδιάστε τις αντίστοιχες συντεταγμένες του σημείου Α στους άξονες X, Y, Z Λαμβάνουμε τα σημεία A x, A y, A z
2. Η οριζόντια προβολή A 1 βρίσκεται στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας από τα σημεία A x και A y που σχεδιάζονται παράλληλα με τους άξονες X και Y
3. Η μετωπική προβολή A 2 βρίσκεται στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας από τα σημεία A x και A z που σχεδιάζονται παράλληλα με τους άξονες X και Z
4. Η προβολή προφίλ A 3 βρίσκεται στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας από τα σημεία A y και A z που σχεδιάζονται παράλληλα με τους άξονες Y και Z
5. Το σημείο Α βρίσκεται στη διασταύρωση των γραμμών επικοινωνίας που προέρχονται από τα σημεία Α 1, Α 2 και Α 3

Οδηγίες

Κατασκευάστε τρία επίπεδα συντεταγμένων ώστε να έχουν την αρχή στο σημείο Ο. Στο σχέδιο, τα επίπεδα προβολής έχουν τη μορφή τριών αξόνων - oh, oy και oz, με τον άξονα oz να κατευθύνεται προς τα πάνω και τον άξονα oy προς τα δεξιά. Για να κατασκευάσετε τον τελευταίο άξονα βόδι, διαιρέστε τη γωνία μεταξύ των αξόνων oy και oz στη μέση (αν σχεδιάζετε σε ένα καρό φύλλο χαρτιού, απλώς σχεδιάστε αυτόν τον άξονα).

Σημειώστε ότι αν οι συντεταγμένες του σημείου Α γράφονται ως τρεις σε αγκύλες (a, b, c), τότε ο πρώτος αριθμός a είναι από το επίπεδο x, ο δεύτερος b είναι από το y, ο τρίτος c είναι από το z. Πρώτα πάρτε την πρώτη συντεταγμένη a και σημειώστε την στον άξονα x, αριστερά και κάτω αν το a είναι θετικό, δεξιά και πάνω αν είναι αρνητικό. Ονομάστε το γράμμα Β που προκύπτει.

Στη συνέχεια, σχεδιάστε τον τελευταίο αριθμό c προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα z εάν είναι θετικός και προς τα κάτω κατά μήκος του ίδιου άξονα εάν είναι αρνητικός. Σημειώστε το ληφθέν σημείογράμμα Δ.

Από τα ληφθέντα σημεία σχεδιάστε προβολές του επιθυμητού σημείου στα επίπεδα. Δηλαδή, στο σημείο Β, σχεδιάστε δύο ευθείες γραμμές που θα είναι παράλληλες στους άξονες oh και oz, στο σημείο C, σχεδιάστε ευθείες γραμμές παράλληλες στους άξονες ox και oz, στο σημείο D - ευθείες γραμμές παράλληλες στους άξονες ox και oz.

Αν μία από τις συντεταγμένες ενός σημείου είναι μηδέν, το σημείο βρίσκεται σε ένα από τα επίπεδα προβολής. Σε αυτήν την περίπτωση, απλώς σημειώστε τις γνωστές συντεταγμένες στο επίπεδο και βρείτε σημείοδιασταύρωση των προβολών τους. Να είστε προσεκτικοί όταν σχεδιάζετε σημεία με συντεταγμένες(a, 0, c) και (a, b, 0), μην ξεχνάτε ότι η προβολή στον άξονα x πραγματοποιείται υπό γωνία 45⁰.

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Πηγές:

• κατασκευή με συντεταγμένες

Συμβουλή 2: Πώς να ελέγξετε ότι τα σημεία δεν βρίσκονται στην ίδια γραμμή

Με βάση το αξίωμα που περιγράφει τις ιδιότητες ευθεία: όποια κι αν είναι η ευθεία, υπάρχει σημεία, που ανήκει και δεν της ανήκει. Επομένως, είναι πολύ λογικό ότι όχι όλα σημείαθα ξαπλώσει σε ένα ευθείαγραμμές.

Θα χρειαστείτε

• - μολύβι;
• - χάρακας
• - στυλό
• - σημειωματάριο;
• - αριθμομηχανή.

Οδηγίες

Αν (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) είναι μικρότερο από το μηδέν, το σημείο K βρίσκεται πάνω ή στα αριστερά της ευθείας. Με άλλα λόγια, μόνο εάν μια εξίσωση της μορφής (x - x1) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y - y1) = 0 είναι αληθής, σημείαΤα Α, Β και Κ θα βρίσκονται στο ίδιο ευθεία.

Σε άλλες περιπτώσεις, μόνο δύο σημεία(Α και Β), τα οποία, σύμφωνα με τις συνθήκες της εργασίας, βρίσκονται επάνω ευθεία, θα ανήκει σε αυτό: η ευθεία δεν θα διέρχεται από το τρίτο σημείο (σημείο Κ).

Εξετάστε μια δεύτερη επιλογή συνεργασίας σημεία prime: αυτή τη φορά πρέπει να ελέγξετε αν το σημείο C(x,y) ανήκει στο τμήμα με τα τελικά σημεία B(x1,y1) και A(x2,y2), που είναι μέρος ευθεία z.

Περιγράψτε τα σημεία του υπό εξέταση τμήματος με την εξίσωση pOB+(1-p)OA=z, με την προϋπόθεση ότι 0≤p≤1. Τα OB και OA είναι διανύσματα. Εάν υπάρχει ένας αριθμός p που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 0, αλλά μικρότερος ή ίσος του 1, τότε pOB+(1-p)OA=C και το σημείο C θα βρίσκεται στο τμήμα AB. Διαφορετικά, αυτό το σημείο δεν θα ανήκει σε αυτό το τμήμα.

Γράψτε την ισότητα pOB+(1-p)OA=C κατά συντεταγμένες: px1+(1-p)x2=x και py1+(1-p)y2=y.

Βρείτε τον αριθμό p από τον πρώτο και αντικαταστήστε την τιμή του με τη δεύτερη ισότητα. Αν η ισότητα αντιστοιχεί στις συνθήκες 0≤p≤1, τότε το σημείο Γ ανήκει στο τμήμα ΑΒ.

Σημείωση

Βεβαιωθείτε ότι οι υπολογισμοί σας είναι σωστοί!

Χρήσιμες συμβουλές

Για να βρείτε το k - την κλίση μιας γραμμής, χρειάζεστε (y2 - y1)/(x2 - x1).

Πηγές:

• Αλγόριθμος για τον έλεγχο του αν ένα σημείο ανήκει σε ένα πολύγωνο. Μέθοδος ανίχνευσης ακτίνων το 2019

Ο τρισδιάστατος χώρος αποτελείται από τρεις βασικές έννοιες που μαθαίνεις σταδιακά στο σχολικό πρόγραμμα: σημείο, γραμμή, επίπεδο. Όταν εργάζεστε με ορισμένα μαθηματικά μεγέθη, μπορεί να χρειαστεί να συνδυάσετε αυτά τα στοιχεία, για παράδειγμα, να κατασκευάσετε ένα επίπεδο στο διάστημα χρησιμοποιώντας ένα σημείο και μια ευθεία.

Οδηγίες

Για να κατανοήσετε τον αλγόριθμο για την κατασκευή επιπέδων στο διάστημα, δώστε προσοχή σε ορισμένα αξιώματα που περιγράφουν τις ιδιότητες ενός επιπέδου ή επιπέδων. Πρώτον: από τρία σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, περνά ένα επίπεδο, αλλά μόνο ένα. Επομένως, για να κατασκευάσετε ένα επίπεδο, χρειάζεστε μόνο τρία σημεία που να ικανοποιούν το αξίωμα στη θέση.

Δεύτερον: μέσα από οποιαδήποτε δύο σημεία υπάρχει μια ευθεία γραμμή, αλλά μόνο ένα. Κατά συνέπεια, ένα επίπεδο μπορεί να κατασκευαστεί μέσω μιας ευθείας γραμμής και ενός σημείου που δεν βρίσκεται σε αυτό. Αν από το αντίθετο: οποιαδήποτε ευθεία περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία από τα οποία διέρχεται, εάν είναι γνωστό ένα ακόμη σημείο, όχι σε αυτήν την ευθεία, μια ευθεία μπορεί να κατασκευαστεί μέσω αυτών των τριών σημείων, όπως στο σημείο ένα. Κάθε σημείο αυτής της γραμμής θα ανήκει στο επίπεδο.

Τρίτον: ένα επίπεδο διέρχεται από δύο τεμνόμενες γραμμές, αλλά μόνο μία. Οι τεμνόμενες γραμμές μπορούν να σχηματίσουν μόνο ένα κοινό σημείο. Εάν βρίσκονται στο διάστημα, θα έχουν άπειρο αριθμό κοινών σημείων, και επομένως θα σχηματίσουν μια ευθεία γραμμή. Όταν γνωρίζετε δύο γραμμές που έχουν σημείο τομής, μπορείτε να κατασκευάσετε το πολύ ένα επίπεδο που διέρχεται από αυτές τις γραμμές.

Τέταρτον: μέσα από δύο παράλληλες γραμμές μπορείτε να σχεδιάσετε ένα επίπεδο, αλλά μόνο μία. Αντίστοιχα, εάν γνωρίζετε ότι οι γραμμές είναι παράλληλες, μπορείτε να σχεδιάσετε ένα επίπεδο μέσα από αυτές.

Πέμπτον: ένας άπειρος αριθμός επιπέδων μπορεί να σχεδιαστεί μέσω μιας ευθείας γραμμής. Όλα αυτά τα επίπεδα μπορούν να θεωρηθούν ως περιστροφή ενός επιπέδου γύρω από μια δεδομένη ευθεία ή ως άπειρος αριθμός επιπέδων που έχουν μία γραμμή τομής.

Έτσι, μπορείτε να κατασκευάσετε ένα επίπεδο εάν έχετε βρει όλα τα στοιχεία που καθορίζουν τη θέση του στο χώρο: τρία σημεία που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία, μια ευθεία και ένα σημείο που δεν ανήκει σε μια ευθεία, δύο τεμνόμενες ή δύο παράλληλες ευθείες .

Βίντεο σχετικά με το θέμα

Γνωρίζατε ότι το ανθρώπινο σώμα είναι ένα μίνι εργοστάσιο παραγωγής ενέργειας; Ο καθένας μας παράγει μια μικρή ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας. Αυτό συμβαίνει τόσο σε κίνηση όσο και σε ηρεμία - τότε η παραγωγή ηλεκτρισμού συμβαίνει στα εσωτερικά όργανα, ένα από τα οποία είναι η καρδιά.

Μία από τις ιατρικές εξετάσεις που μπορούν να καθορίσουν την κατάσταση της καρδιάς είναι το ΗΚΓ. Ο καρδιολόγος κάνει ηλεκτροκαρδιογράφημα για να διαπιστώσει πού βρίσκονται οι κόλποι, οι βαλβίδες και οι κοιλίες στο στήθος, πώς λειτουργούν, το σχήμα τους και αν υπάρχουν λειτουργικές αλλαγές. Ένας από τους πιο σημαντικούς δείκτες του ΗΚΓ είναι η κατεύθυνση του ηλεκτρικού άξονα της καρδιάς.

Τι είναι ο καρδιακός άξονας και πώς να τον βρείτε;

Ο καρδιακός άξονας (όπως ο άξονας της γης) δεν μπορεί να φανεί ή να αγγιχτεί. Προσδιορίζεται μόνο με τη βοήθεια ηλεκτροκαρδιογράφου, γιατί καταγράφει την ηλεκτρική δραστηριότητα της καρδιάς. Όταν τα κύτταρα του καρδιακού μυός τεντώνονται και χαλαρώνουν, υπακούοντας σε παρορμήσεις που προέρχονται από το νευρικό σύστημα, σχηματίζουν ένα ηλεκτρικό πεδίο, το κέντρο του οποίου είναι το EOS (ηλεκτρικός άξονας της καρδιάς).

Αλλά αν κοιτάξετε τον ανατομικό άτλαντα, μπορείτε να σχεδιάσετε μια κάθετη γραμμή που θα χωρίσει την καρδιά σε δύο ίσα μέρη - έτσι βρίσκεται περίπου ο άξονας της καρδιάς. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το EOS συμπίπτει με τον λεγόμενο ανατομικό άξονα. Φυσικά, κάθε άτομο είναι ξεχωριστό, επομένως ο ηλεκτρικός άξονας μπορεί να βρίσκεται διαφορετικά σε διαφορετικά άτομα (για παράδειγμα, αν ξεκινήσουμε από τη στατιστική τιμή, τότε σε ένα λεπτό άτομο το EOS βρίσκεται κάθετα και σε ένα παχύσαρκο άτομο είναι οριζόντια ).

Πότε αλλάζει θέση ο καρδιακός άξονας;

Έχοντας κάνει ένα ΗΚΓ και μάθει πώς εντοπίζεται το EOS, ο καρδιολόγος μπορεί να σας πει πώς είναι στο στήθος, εάν το μυοκάρδιο (καρδιά) είναι υγιές, πώς οι νευρικές ώσεις περνούν σε διάφορα μέρη της καρδιάς.

Εάν το ηλεκτροκαρδιογράφημα δείξει ότι ο ηλεκτρικός άξονας είναι προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά, αυτό θα υποδείξει στον γιατρό κάποια παθολογική διαδικασία. Η απόκλιση προς τα δεξιά μπορεί να οδηγήσει σε υποψίες για τη λανθασμένη θέση της καρδιάς (η μετατόπισή της μπορεί να είναι συγγενής ή να οφείλεται σε επέκταση της αορτής, εμφάνιση νεοπλασμάτων και άλλες παθολογίες). Επιπλέον, η απόκλιση του EOS είναι σημάδι απειλητικών για τη ζωή καταστάσεων: δεξτροκαρδία, αποκλεισμός δεσμίδας His, έμφραγμα του μυοκαρδίου (το πρόσθιο τοίχωμα του).

Εάν το EOS έχει σημαντική απόκλιση προς τα αριστερά, αυτό μπορεί να είναι σημάδι μυοκαρδιοπάθειας, υπερτροφίας ορισμένων τμημάτων της καρδιάς, εμφράγματος κορυφής ή συγγενούς ελλείμματος.

Ορισμένες καρδιακές παθήσεις μπορεί να είναι ασυμπτωματικές προς το παρόν. Ως εκ τούτου, είναι τόσο σημαντικό να υποβάλλεστε περιοδικά σε ιατρική εξέταση, ένα από τα συστατικά της οποίας είναι ένα ΗΚΓ. Μετά από όλα, η ασθένεια είναι πιο εύκολο να αποφευχθεί. Αλλά η καρδιακή νόσος είναι απαραίτητη, γιατί αποτελεί άμεση απειλή για τη ζωή.

Διάρκεια: 1 μάθημα (45 λεπτά).
Τάξη: 6η τάξη
τεχνολογίες:

• παρουσίαση πολυμέσων Microsoft Office PowerPoint, Notebook.
• χρήση διαδραστικού πίνακα.
• φυλλάδιο για μαθητές που δημιουργήθηκε με χρήση του Microsoft Office Word και του Microsoft Office Excel.

σχόλιο:
Στον θεματικό σχεδιασμό διατίθενται 6 ώρες για το θέμα «Συντεταγμένες». Αυτό είναι το τέταρτο μάθημα με θέμα «Συντεταγμένες». Την ώρα του μαθήματος, οι μαθητές ήταν ήδη εξοικειωμένοι με την έννοια του «επίπεδου συντεταγμένων» και τους κανόνες κατασκευής ενός σημείου. Η ενημέρωση γνώσεων πραγματοποιείται με τη μορφή μετωπικής έρευνας. Στα μαθήματα αναθεώρησης όλοι οι μαθητές συμμετέχουν σε διάφορες δραστηριότητες. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούνται όλα τα κανάλια αντίληψης και αναπαραγωγής υλικού.
Η αφομοίωση της θεωρίας ελέγχεται και κατά την προφορική εργασία (το έργο της επίλυσης ενός σταυρόλεξου, σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η τελεία). Πρόσθετες εργασίες παρέχονται για δυνατούς μαθητές.
Το μάθημα χρησιμοποιεί εξοπλισμό πολυμέσων και έναν διαδραστικό πίνακα για την επίδειξη παρουσιάσεων και εργασιών σε Microsoft Office PowerPoint και Notebook. Για τη δημιουργία δοκιμαστικών εργασιών και φυλλαδίων, χρησιμοποιήθηκαν τα ακόλουθα: Microsoft Office Excel, Microsoft Office Word.
Η χρήση διαδραστικού πίνακα διευρύνει τις δυνατότητες παρουσίασης υλικού. Στο πρόγραμμα Notebook, οι μαθητές μπορούν να μετακινήσουν ανεξάρτητα αντικείμενα στην επιθυμητή θέση. Στο Microsoft Office PowerPoint, είναι δυνατή η ρύθμιση της κίνησης των αντικειμένων, επομένως παρέχονται σωματικές ασκήσεις για τα μάτια.

Το μάθημα χρησιμοποιεί:

• Έλεγχος της εργασίας στο σπίτι.
• μετωπική εργασία?
• ατομική εργασία των μαθητών?
• παρουσίαση της έκθεσης του μαθητή.
• εκτέλεση προφορικών και γραπτών ασκήσεων·
• εργασία των μαθητών με έναν διαδραστικό πίνακα.
• ανεξάρτητη εργασία.

Περίληψη μαθήματος.

Στόχος:εμπεδώστε τις δεξιότητες εύρεσης των συντεταγμένων των σημειωμένων σημείων και κατασκευής σημείων σύμφωνα με τις δεδομένες συντεταγμένες.
Στόχοι μαθήματος:
εκπαιδευτικός:

• γενίκευση των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών στο θέμα «Συντεταγμένο επίπεδο»·
• ενδιάμεσος έλεγχος των γνώσεων και των δεξιοτήτων των μαθητών.

ανάπτυξη:

• ανάπτυξη της επικοινωνιακής ικανότητας των μαθητών.
• ανάπτυξη των υπολογιστικών δεξιοτήτων των μαθητών.
• ανάπτυξη της λογικής σκέψης?
• ανάπτυξη του ενδιαφέροντος των μαθητών για το θέμα μέσω μιας μη παραδοσιακής μορφής διδασκαλίας.
• ανάπτυξη μαθηματικά εγγράμματου λόγου και προοπτικών των μαθητών.
• ανάπτυξη της ικανότητας ανεξάρτητης εργασίας με ένα σχολικό βιβλίο και πρόσθετη βιβλιογραφία.
• ανάπτυξη των αισθητικών συναισθημάτων των μαθητών.

εκπαιδευτικός:

• ενστάλαξη πειθαρχίας στην οργάνωση της εργασίας στην τάξη.
• ενθάρρυνση της γνωστικής δραστηριότητας, της αίσθησης ευθύνης και μιας κουλτούρας επικοινωνίας·
• ενίσχυση της ακρίβειας κατά την εκτέλεση κατασκευών.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων.

• Οργάνωση χρόνου.

Χαιρετισμός μαθητών Παρουσίαση του θέματος και του σκοπού του μαθήματος. Έλεγχος της ετοιμότητας της τάξης για το μάθημα. Η εργασία έχει οριστεί: να επαναλάβει, να γενικεύσει, να συστηματοποιήσει τη γνώση για το ανακοινωθέν θέμα.

2. Επικαιροποίηση γνώσεων.

Λεκτική καταμέτρηση.
1) Ατομική εργασία: πολλά άτομα κάνουν τη δουλειά στις κάρτες.

2) Εργαστείτε με την τάξη: υπολογίστε παραδείγματα και φτιάξτε μια λέξη. Ο πίνακας βρίσκεται στην οθόνη του διαδραστικού πίνακα, τα γράμματα εισάγονται στον πίνακα με ηλεκτρονικό μαρκαδόρο από τον διαδραστικό πίνακα.

Οι μαθητές πηγαίνουν εναλλάξ στον πίνακα και σημειώνουν τα γράμματα. Το αποτέλεσμα είναι η λέξη «Προμηθέας». Ένας από τους μαθητές, ο οποίος ετοίμασε μια έκθεση εκ των προτέρων, λέει τι σημαίνει αυτή η λέξη. (Ο αρχαίος Έλληνας αστρονόμος Κλαύδιος Πτολεμαίος, ο οποίος χρησιμοποιούσε το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό μήκος ως συντεταγμένες ήδη από τον 2ο αιώνα.)

Μπροστινή εργασία.

Η εργασία «Λύστε το σταυρόλεξο» θα σας βοηθήσει να θυμηθείτε τις βασικές έννοιες στο θέμα «Επίπεδο συντεταγμένων».
Ο δάσκαλος δείχνει ένα σταυρόλεξο στην οθόνη του διαδραστικού πίνακα και ζητά από τους μαθητές να το λύσουν. Οι μαθητές χρησιμοποιούν ηλεκτρονικούς μαρκαδόρους για να γράψουν λέξεις σε ένα σταυρόλεξο.
1. Δύο γραμμές συντεταγμένων σχηματίζουν μια γραμμή συντεταγμένων....
2. Οι γραμμές συντεταγμένων είναι συντεταγμένες….
3. Ποια γωνία σχηματίζεται όταν τέμνονται οι ευθείες συντεταγμένων;
4. Πώς λέγεται ένα ζεύγος αριθμών που καθορίζουν τη θέση ενός σημείου σε ένα επίπεδο;
5. Πώς λέγεται ο πρώτος αριθμός;
6. Πώς ονομάζεται ο δεύτερος αριθμός;
7. Πώς ονομάζεται το τμήμα από το 0 έως το 1;
8. Σε πόσα μέρη χωρίζεται το επίπεδο συντεταγμένων με γραμμές συντεταγμένων;

3. Εμπέδωση δεξιοτήτων και ικανοτήτων κατασκευής ενός γεωμετρικού σχήματος σύμφωνα με τις δεδομένες συντεταγμένες των κορυφών του.

Κατασκευή γεωμετρικών σχημάτων. Εργασία με ένα σχολικό βιβλίο σε σημειωματάρια.

• Αρ. 1054a «Κατασκευάστε ένα τρίγωνο αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες των κορυφών του: A(0;-3), B(6:2), C(5:2). Υποδείξτε τις συντεταγμένες των σημείων όπου οι πλευρές του τριγώνου τέμνουν τον άξονα x."
• Κατασκευάστε ένα τετράπλευρο ABCD αν A(-3;1), B(1;1), C(1;-2), D(-3;-2). Προσδιορίστε τον τύπο του τετράπλευρου. Να βρείτε τις συντεταγμένες της τομής των διαγωνίων.

4. Άσκηση για τα μάτια.

Στη διαφάνεια, οι μαθητές πρέπει να παρακολουθούν τις κινήσεις του αντικειμένου με τα μάτια τους. Στο τέλος της φυσικής συνεδρίας, τίθεται μια ερώτηση σχετικά με τα γεωμετρικά σχήματα που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα των κινήσεων των ματιών.

5. Έλεγχος της ικανότητας κατασκευής σημείων στο επίπεδο συντεταγμένων σύμφωνα με δεδομένες συντεταγμένες.

Ανεξάρτητη εργασία. Διαγωνισμός καλλιτεχνών.
Οι συντεταγμένες των σημείων καταγράφονται στη διαφάνεια. Εκτυπώνονται επίσης κάρτες για κάθε μαθητή. Εάν σημειώσετε σωστά τα σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων και τα συνδέσετε διαδοχικά, θα λάβετε ένα σχέδιο. Κάθε μαθητής ολοκληρώνει την εργασία ανεξάρτητα. Μετά την ολοκλήρωση της εργασίας, το σωστό σχέδιο ανοίγει στην οθόνη. Κάθε μαθητής λαμβάνει ένα βαθμό για ανεξάρτητη εργασία.

6. Εργασία για το σπίτι.

• Νο. 1054β, Νο. 1057α.
• Δημιουργική εργασία: σχεδιάστε μια εικόνα σημείων σε ένα επίπεδο συντεταγμένων και σημειώστε τις συντεταγμένες αυτών των σημείων.

7. Συνοψίζοντας το μάθημα.

Ερωτήσεις για μαθητές:

• Τι είναι το επίπεδο συντεταγμένων;
• Πώς ονομάζονται οι άξονες συντεταγμένων OX και OU;
• Ποια γωνία σχηματίζεται όταν τέμνονται οι γραμμές συντεταγμένων;
• Πώς ονομάζεται ένα ζευγάρι αριθμών που καθορίζουν τη θέση ενός σημείου σε ένα επίπεδο;
• Πώς λέγεται ο πρώτος αριθμός;
• Πώς λέγεται ο δεύτερος αριθμός;

Βιβλιογραφία και πηγές:

• G.V. Dorofeev, S.B Suvorova, I.F Sharygin «Μαθηματικά. 6 kl"
• Μαθηματικά. 6η τάξη: Σχέδια μαθήματος (σύμφωνα με το εγχειρίδιο του G.V. Dorofeev και άλλων)
• http://www.pereplet.ru/nauka/almagest/alm-cat/Ptolemy.htm