Εφαρμογή ολοκληρωτικού λογισμού στην επαγγελματική δραστηριότητα. Περίληψη του μαθήματος "Εφαρμογή του ολοκληρώματος"

"Κρατική Ιατρική Ακαδημία του Ομσκ"

Υπουργείο Υγείας και Κοινωνικής Ανάπτυξης της Ρωσικής Ομοσπονδίας

με θέμα: εφαρμογή ορισμένου ολοκληρώματος

στην ιατρική

ολοκληρώθηκε από φοιτητή 1ου έτους

τμήματα γενικής ιατρικής

ομάδα 102F

Glushneva N.A.

Εισαγωγή

Ένας εξαιρετικός Ιταλός φυσικός και αστρονόμος, ένας από τους ιδρυτές της ακριβούς φυσικής επιστήμης, ο Galileo Galilei (1564-1642) είπε ότι «Το Βιβλίο της Φύσης είναι γραμμένο στη γλώσσα των μαθηματικών». Σχεδόν διακόσια χρόνια αργότερα, ο ιδρυτής της γερμανικής κλασικής φιλοσοφίας, ο Καντ (1742-1804), υποστήριξε ότι «Σε κάθε επιστήμη υπάρχει τόση αλήθεια όση και τα μαθηματικά». Τελικά, μετά από σχεδόν εκατόν πενήντα χρόνια, πρακτικά ήδη στην εποχή μας, ο Γερμανός μαθηματικός και λογικός David Hilbert (1862-1943) δήλωσε: «Τα μαθηματικά είναι η βάση κάθε ακριβούς φυσικής επιστήμης».

Ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι είπε: «Να μην με διαβάσει κανείς που δεν είναι μαθηματικός στα βασικά μου». Προσπαθώντας να βρει μια μαθηματική αιτιολόγηση για τους νόμους της φύσης, θεωρώντας τα μαθηματικά ως ένα ισχυρό μέσο γνώσης, το εφαρμόζει ακόμη και σε μια τέτοια επιστήμη όπως η ανατομία.

Όλοι χρειάζονται μαθηματικά. Και οι γιατροί επίσης. Τουλάχιστον για να διαβάσετε σωστά το συνηθισμένο καρδιογράφημα. Χωρίς γνώση των βασικών μαθηματικών, είναι αδύνατο να είσαι καλός τεχνικός υπολογιστών, να χρησιμοποιείς τις δυνατότητες της αξονικής τομογραφίας... Άλλωστε, η σύγχρονη ιατρική δεν μπορεί χωρίς την πιο περίπλοκη τεχνολογία.

Σήμερα είναι αδύνατο να μελετήσουμε την αιμοδυναμική - την κίνηση του αίματος μέσω των αγγείων χωρίς τη χρήση του ολοκληρώματος.

Για μεγάλο χρονικό διάστημα, ο καθετηριασμός της δεξιάς καρδιάς ήταν η μόνη ερευνητική μέθοδος που κατέστησε δυνατή την αξιολόγηση της κατάστασης της δεξιάς καρδιάς, τη λήψη χαρακτηριστικών της ενδοκαρδιακής ροής αίματος και τον προσδιορισμό της πίεσης στη δεξιά καρδιά και τις πνευμονικές αρτηρίες.
Το κύριο πλεονέκτημα της ηχοκαρδιογραφίας (EchoCG) είναι ότι είναι δυνατό να εκτιμηθεί σε πραγματικό χρόνο μη επεμβατικά το μέγεθος και η κίνηση των καρδιακών δομών, να ληφθούν χαρακτηριστικά της ενδοκαρδιακής αιμοδυναμικής και να προσδιοριστεί η πίεση στους θαλάμους της καρδιάς και της πνευμονικής αρτηρίας. Έχει αποδειχθεί καλή συγκρισιμότητα των αποτελεσμάτων της ηχοκαρδιογραφίας με δεδομένα που ελήφθησαν κατά τον καρδιακό καθετηριασμό.
Μια ηχοκαρδιογραφική μελέτη επιτρέπει όχι μόνο την ανίχνευση της παρουσίας πνευμονικής υπέρτασης, αλλά και τον αποκλεισμό ορισμένων ασθενειών που προκαλούν δευτερογενή πνευμονική υπέρταση: ελαττώματα μιτροειδούς βαλβίδας, συγγενείς καρδιακές ανωμαλίες, διατατική μυοκαρδιοπάθεια, χρόνια μυοκαρδίτιδα.

Ωστόσο, πιο κοντά στην πρακτική. Αρχικά, ας βρούμε τη γραμμική ταχύτητα ροής του αίματος

Αλλαγή στη γραμμική ταχύτητα ροής του αίματος σε διάφορα αγγεία

Αυτή είναι η διαδρομή που διανύει ανά μονάδα χρόνου ένα σωματίδιο αίματος σε ένα αγγείο. Η γραμμική ταχύτητα σε αγγεία διαφορετικών τύπων είναι διαφορετική (βλ. σχήμα) και εξαρτάται από την ογκομετρική ταχύτητα της ροής του αίματος και την περιοχή διατομής των αγγείων. Στην πρακτική ιατρική, η γραμμική ταχύτητα ροής του αίματος μετριέται με μεθόδους υπερήχων και δεικτών, πιο συχνά προσδιορίζεται ο χρόνος πλήρους κυκλοφορίας του αίματος, ο οποίος είναι 21-23 s.

Για τον προσδιορισμό του, εισάγεται ένας δείκτης στην φλέβα (ερυθροκύτταρα επισημασμένα με ραδιενεργό ισότοπο, διάλυμα κυανού του μεθυλενίου κ.λπ.) και σημειώνεται ο χρόνος της πρώτης εμφάνισής του στο φλεβικό αίμα του ίδιου αγγείου στο άλλο άκρο.

Αρχικά, ας υπενθυμίσουμε ότι το ολοκλήρωμα είναι ένα μαθηματικό αντικείμενο που προέκυψε ιστορικά με βάση την ανάγκη επίλυσης διαφόρων εφαρμοσμένων προβλημάτων της φυσικής και της τεχνολογίας. Αυτές είναι οι φυσικές εφαρμογές ενός ορισμένου ολοκληρώματος: ο υπολογισμός της διαδρομής ενός υλικού σημείου που κινείται κατά μήκος μιας ευθύγραμμης ή καμπυλόγραμμης τροχιάς με την ταχύτητα της κίνησής του.

Αυτά τα φυσικά μεγέθη που προσδιορίζονται με τη βοήθεια ενός ολοκληρώματος ονομάζονται συνήθως ολοκληρώματα και εκείνα τα μεγέθη μέσω των οποίων εκφράζονται τα ακέραια μεγέθη ονομάζονται διαφορικά. Για παράδειγμα, η ταχύτητα ενός σώματος σε ένα σημείο είναι διαφορικό χαρακτηριστικό ενός σώματος και η μάζα ενός σώματος είναι αναπόσπαστο χαρακτηριστικό.

Τα διαφορικά χαρακτηριστικά καθορίζονται από την τιμή σε ένα σημείο και είναι συνήθως διαφορετικά σε διαφορετικά σημεία του χώρου.

Τα ολοκληρωτικά χαρακτηριστικά εκφράζουν πάντα τις ιδιότητες των αντικειμένων που σχετίζονται με ολόκληρη την περιοχή του χώρου. Για παράδειγμα, η μάζα χαρακτηρίζει ολόκληρο το σώμα ως κάποιο αντικείμενο που καταλαμβάνει μια περιοχή του χώρου. Η διαδρομή που διανύει το σώμα είναι επίσης αναπόσπαστο χαρακτηριστικό, αφού χαρακτηρίζει ολόκληρη την τροχιά, που αποτελείται από πολλά σημεία, και η ταχύτητα είναι διαφορετική σε κάθε σημείο της τροχιάς και χαρακτηρίζει κάθε σημείο ξεχωριστά.

Τίθεται το ερώτημα - πώς να υπολογίσετε την ολοκληρωτική ταχύτητα για ολόκληρο το αγγείο (αρτηρία ή φλέβα), γνωρίζοντας τη γραμμική ταχύτητα ροής του αίματος. Είναι πολύ απλό: χρειάζεστε

• να σπάσει ολόκληρη την περιοχή του χώρου σε ξεχωριστά αρκετά μικρά μέρη (για παράδειγμα, με αμοιβαία κάθετα επίπεδα). Σε αυτή την περίπτωση, θα πάρουμε πολλούς μικρούς κύβους μέσα στο σώμα, μέσα στους οποίους θεωρούμε υπό όρους το διαφορικό χαρακτηριστικό ως αμετάβλητο, σταθερό.
• πολλαπλασιάστε την τιμή του διαφορικού χαρακτηριστικού μέσα σε κάθε κύβο με την τιμή του όγκου αυτού του κύβου και αθροίστε τέτοια γινόμενα. Σε αυτό το στάδιο, παίρνουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα. Το ολοκληρωτικό άθροισμα δεν είναι ακριβώς ίσο με το ολοκλήρωμα, αλλά μπορεί να χρησιμεύσει ως η κατά προσέγγιση τιμή του.
• πηγαίνετε στο όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος όταν ο όγκος των κύβων του χωρίσματος του σώματος τείνει στο μηδέν. Σε αυτό το στάδιο, λαμβάνουμε την ακριβή τιμή του ολοκληρώματος γραμμικής ταχύτητας.

Παρακάτω είναι οι υπολογισμοί του εγκεφαλικού όγκου (πληθωρικός όγκος της καρδιάς (σύν.: όγκος συστολικού αίματος, συστολικός όγκος της καρδιάς, όγκος εγκεφαλικού αίματος) - ο όγκος του αίματος (σε ml) που εκτοξεύεται από την κοιλία της καρδιάς σε ένα συστολή) - μία από τις κύριες τιμές σε ECHOkg, που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα της γραμμικής ταχύτητας ροής αίματος.

α - Σχήματα υπολογισμού του όγκου διαδρομής, α - χρήση της εξίσωσης συνέχειας ροής, β - χρήση της εξίσωσης συνέχειας ροής παρουσία σημαντικής ανεπάρκειας μιτροειδούς.

VTI = V cp ET,

όπου CSA είναι η περιοχή διατομής, VTI είναι το ολοκλήρωμα γραμμικής ταχύτητας ροής, V cp είναι η μέση ταχύτητα ροής στην οδό εκροής της αριστερής κοιλίας, ET είναι ο χρόνος εξώθησης.

Στην περίπτωση που υπάρχει αιμοδυναμικά σημαντική ανεπάρκεια μιτροειδούς (άνω του 2ου βαθμού), ο συνολικός όγκος εγκεφαλικού επεισοδίου της αριστερής κοιλίας υπολογίζεται με τον τύπο:

TSV=FSV+RSV

[Ολοκλήρωμα γραμμικής ταχύτητας (FVI, ή VTI)] = [Χρόνος ροής αίματος (ET)] x [Μέση ταχύτητα ροής αίματος (Vmean)];

Η καρδιακή παροχή μπορεί να προσδιοριστεί από το ολοκλήρωμα της γραμμικής ταχύτητας της αορτικής και πνευμονικής ροής.

Εν κατακλείδι, θα ήθελα να προσθέσω ότι η εργασία μου δεν προορίζεται για έναν μαθηματικό που γνωρίζει καλά την ολοκλήρωση, αλλά για οποιοδήποτε άτομο που έχει δείξει ενδιαφέρον να χρησιμοποιήσει το ολοκλήρωμα στην ιατρική. Ως εκ τούτου, προσπάθησα να το κάνω όσο το δυνατόν πιο προσιτό για αντίληψη και ενδιαφέρον ακόμη και για ένα παιδί.

Βιβλιογραφία:

1. Παθήσεις της καρδιάς και των αιμοφόρων αγγείων http://old.consilium-medicum. com/media/bss/06_02/42.shtml
2. Αιμοδυναμική http://ru.wikipedia.org/wiki/% D0%93%D0%B5%D0%BC%D0%BE%D0%B4% D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC% D0%B8% D0%BA%D0%B0
3. Ολοκληρωμένο σύμβολο http://ru.wikipedia.org/wiki/% C7%ED%E0%EA_%E8%ED%F2%E5%E3% F0%E0%EB%E0
4. Ιατρικό Συμβούλιο http://www.consilium-medicum. com/article/7144
5. Βασικές Εξισώσεις - Καρδιά http://serdce.com.ua/osnovnye- uravneniya
6. Πρακτικός οδηγός για τη διάγνωση υπερήχων http://euromedcompany.ru/ ultrazvuk/prakticheskoe- rukovodstvo-po-ultrazvukovoj- diagnostike

Το σύνθημα του μαθήματος: «Τα μαθηματικά είναι η γλώσσα που μιλούν όλες οι ακριβείς επιστήμες» N.I. Λομπατσέφσκι

Σκοπός του μαθήματος: να γενικεύσει τις γνώσεις των μαθητών για το θέμα "Ολοκληρωμένο", "Εφαρμογή του ολοκληρώματος", να διευρύνει τους ορίζοντές τους, τη γνώση σχετικά με την πιθανή εφαρμογή του ολοκληρώματος στον υπολογισμό διαφόρων μεγεθών. να εδραιώσει τις δεξιότητες για τη χρήση του ολοκληρώματος για την επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων. να ενσταλάξει ένα γνωστικό ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, να αναπτύξει μια κουλτούρα επικοινωνίας και μια κουλτούρα μαθηματικού λόγου. να μπορούν να μάθουν να μιλάνε σε μαθητές και δασκάλους.

Είδος μαθήματος: επαναληπτικό-γενικευτικό.

Είδος μαθήματος: μάθημα - υπεράσπιση του έργου "Εφαρμογή του ολοκληρώματος".

Εξοπλισμός: μαγνητικός πίνακας, αφίσες «Εφαρμογή του ολοκληρώματος», κάρτες με τύπους και εργασίες για ανεξάρτητη εργασία.

Πλάνο μαθήματος:

1. Προστασία έργου:

1. από την ιστορία του ολοκληρωτικού λογισμού.
2. αναπόσπαστες ιδιότητες?
3. Εφαρμογή του ολοκληρώματος στα μαθηματικά.
4. εφαρμογή του ολοκληρώματος στη φυσική.

2. Λύση ασκήσεων.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

Δάσκαλος: Ένα ισχυρό εργαλείο έρευνας στα μαθηματικά, τη φυσική, τη μηχανική και άλλους κλάδους είναι ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα - μία από τις βασικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Η γεωμετρική έννοια του ολοκληρώματος είναι η περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Η φυσική έννοια του ολοκληρώματος είναι 1) η μάζα μιας ανομοιογενούς ράβδου με πυκνότητα, 2) η μετατόπιση ενός σημείου που κινείται σε ευθεία γραμμή με ταχύτητα σε μια χρονική περίοδο.

Δάσκαλος: Τα παιδιά στην τάξη μας έκαναν εξαιρετική δουλειά, έπιασαν εργασίες όπου εφαρμόζεται ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα. Έχουν μια λέξη.

2 μαθητής: Ιδιότητες του ολοκληρώματος

3 μαθητής: Εφαρμογή του ολοκληρώματος (πίνακας στον μαγνητικό πίνακα).

4 μαθητής: Εξετάζουμε τη χρήση του ολοκληρώματος στα μαθηματικά για τον υπολογισμό του εμβαδού των ψηφίων.

Το εμβαδόν οποιουδήποτε επίπεδου σχήματος, που θεωρείται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, μπορεί να αποτελείται από τις περιοχές των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών που γειτνιάζουν με τον άξονα Ωκαι τσεκούρια OU.Περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από μια καμπύλη y = f(x),άξονας Ωκαι δύο ευθείες x=aκαι x=b,όπου α x β, f(x) 0υπολογίζεται με τον τύπο εκ. ρύζι.Αν το καμπυλόγραμμο τραπέζιο είναι γειτονικό με τον άξονα OU, τότε το εμβαδόν του υπολογίζεται με τον τύπο , εκ. ρύζι.Κατά τον υπολογισμό των εμβαδών των σχημάτων, μπορεί να προκύψουν οι ακόλουθες περιπτώσεις: α) Το σχήμα βρίσκεται πάνω από τον άξονα Ox και περιορίζεται από τον άξονα Ox, την καμπύλη y \u003d f (x) και δύο ευθείες x \u003d a και x \u003d β. (Βλ. ρύζι.) Το εμβαδόν αυτού του σχήματος βρίσκεται με τον τύπο 1 ή 2. β) Το σχήμα βρίσκεται κάτω από τον άξονα Ox και περιορίζεται από τον άξονα Ox, την καμπύλη y \u003d f (x) και δύο ευθείες γραμμές x \u003d a και x \u003d b (βλ. ρύζι.). Η περιοχή βρίσκεται από τον τύπο . γ) Το σχήμα βρίσκεται πάνω και κάτω από τον άξονα Ox και περιορίζεται από τον άξονα Ox, την καμπύλη y \u003d f (x) και δύο ευθείες x \u003d a και x \u003d b ( ρύζι.). δ) Η περιοχή οριοθετείται από δύο τεμνόμενες καμπύλες y \u003d f (x) και y \u003d (x) ( ρύζι.)

5 μαθητής: Λύστε το πρόβλημα

x-2y+4=0 και x+y-5+0 και y=0

7 μαθητής: Ένα ολοκλήρωμα που χρησιμοποιείται ευρέως στη φυσική. Μια λέξη στους φυσικούς.

1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΔΡΟΜΗΣ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ

Η διαδρομή που διανύθηκε από ένα σημείο κατά τη διάρκεια της ανομοιόμορφης κίνησης σε ευθεία γραμμή με μεταβλητή ταχύτητα για ένα χρονικό διάστημα από έως υπολογίζεται από τον τύπο.

Παραδείγματα:

1. Σημείο ταχύτητας κίνησης Κυρία. Βρείτε τη διαδρομή που διανύει το σημείο σε 4 δευτερόλεπτα.

Λύση: σύμφωνα με την συνθήκη, . Συνεπώς,

2. Δύο σώματα άρχισαν να κινούνται ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο προς την ίδια κατεύθυνση σε ευθεία γραμμή. Το πρώτο σώμα κινείται με ταχύτητα m / s, το δεύτερο - με ταχύτητα v = (4t+5)Κυρία. Πόσο μακριά θα είναι μεταξύ τους μετά από 5 δευτερόλεπτα;

Λύση: είναι προφανές ότι η επιθυμητή τιμή είναι η διαφορά μεταξύ των αποστάσεων που διανύουν το πρώτο και το δεύτερο σώμα σε 5 δευτερόλεπτα:

3. Ένα σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς τα πάνω από την επιφάνεια της γης με ταχύτητα u = (39,2-9,8^) m/s. Βρείτε το μέγιστο ύψος του σώματος.

Λύση: το σώμα θα φτάσει στο υψηλότερο ύψος ανύψωσης τη στιγμή t όταν v = 0, δηλ. 39,2- 9,8t = 0, εξ ου και το I= 4 δευτ. Με τον τύπο (1), βρίσκουμε

2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΤΙΚΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ

Το έργο που επιτελεί η μεταβλητή δύναμη f(x) όταν κινείται κατά μήκος του άξονα Ωυλικό σημείο από x = έναπριν x=b,βρίσκεται σύμφωνα με τον τύπο Κατά την επίλυση προβλημάτων για τον υπολογισμό του έργου μιας δύναμης, χρησιμοποιείται συχνά ο νόμος G y k a: F=kx, (3)όπου Φ - δύναμη N; Χ-απόλυτη επιμήκυνση του ελατηρίου, m, που προκαλείται από τη δύναμη φά, ένα κ- συντελεστής αναλογικότητας, N/m.

Παράδειγμα:

1. Ένα ελατήριο σε ηρεμία έχει μήκος 0,2 μ. Δύναμη 50 Ν τεντώνει το ελατήριο κατά 0,01 μ. Τι δουλειά πρέπει να γίνει για να τεντωθεί από 0,22 έως 0,32 μ.;

Λύση: χρησιμοποιώντας την ισότητα (3), έχουμε 50=0,01k, δηλαδή kK = 5000 N/m. Βρίσκουμε τα όρια ολοκλήρωσης: a = 0,22 - 0,2 = 0,02 (m), b=0,32- 0,2 = 0,12 (m). Τώρα, σύμφωνα με τον τύπο (2), λαμβάνουμε

3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΟΥ ΕΚΤΕΛΕΣΕΤΑΙ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΑΝΥΨΩΣΗ ΤΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ

Μια εργασία. Μια κυλινδρική δεξαμενή με ακτίνα βάσης 0,5 m και ύψος 2 m γεμίζει με νερό. Υπολογίστε την εργασία που πρέπει να γίνει για την άντληση νερού από τη δεξαμενή.

Λύση: επιλέξτε ένα οριζόντιο στρώμα σε βάθος x με ύψος dx ( ρύζι.). Το έργο Α που πρέπει να γίνει για να ανυψωθεί ένα στρώμα νερού βάρους P σε ύψος x είναι ίσο με Px.

Μια αλλαγή στο βάθος x κατά μια μικρή ποσότητα dx θα προκαλέσει μια αλλαγή στον όγκο V κατά dV = pr 2 dx και μεταβολή του βάρους Р κατά * dР = 9807 r 2 dх; Σε αυτήν την περίπτωση, η εργασία που εκτελείται A θα αλλάξει κατά την τιμή dА=9807пr 2 xdх. Ενσωματώνοντας αυτή την ισότητα καθώς το x αλλάζει από 0 σε Η, λαμβάνουμε

4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΙΕΣΗΣ ΥΓΡΟΥ

Η έννοια της δύναμης RΗ πίεση του υγρού σε μια οριζόντια πλατφόρμα εξαρτάται από το βάθος βύθισης Χαυτή η θέση, δηλ. από την απόσταση της θέσης στην επιφάνεια του υγρού.

Η δύναμη πίεσης (Ν) σε μια οριζόντια πλατφόρμα υπολογίζεται από τον τύπο P = 9807Sx,

όπου - πυκνότητα υγρού, kg/m 3 ; S - περιοχή τοποθεσίας, m 2; Χ -βάθος βύθισης πλατφόρμας, m

Εάν η πλατφόρμα υπό πίεση υγρού δεν είναι οριζόντια, τότε η πίεση σε αυτήν είναι διαφορετική σε διαφορετικά βάθη, επομένως, η δύναμη πίεσης στην πλατφόρμα είναι συνάρτηση του βάθους της βύθισής της Ρ(χ).

5. ΜΗΚΟΣ ΤΟΞΟΥ

Αφήστε μια επίπεδη καμπύλη ΑΒ(ρύζι.)δίνεται από την εξίσωση y \u003d f (x) (αΧσι)και f(x)και f ?(x)είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [а,b]. Μετά το διαφορικό δλμήκος τόξου ΑΒεκφράζεται με τον τύπο ή , και το μήκος τόξου ΑΒυπολογίζεται με τον τύπο (4)

όπου a και b είναι οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής Χστα σημεία Α και Β. Αν η καμπύλη δίνεται από την εξίσωση x =(y) (με yρε)τότε το μήκος του τόξου ΑΒ υπολογίζεται από τον τύπο (5) όπου Μεκαι ρεανεξάρτητες τιμές μεταβλητών στοσε σημεία ΑΛΛΑκαι V.

6. ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ

Κατά την εύρεση του κέντρου μάζας, χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κανόνες:

1) x συντεταγμένη ? το κέντρο μάζας του συστήματος των υλικών σημείων А 1 , А 2 ,..., А n με μάζες m 1 , m 2 , ..., m n που βρίσκεται σε ευθεία γραμμή σε σημεία με συντεταγμένες x 1 , x 2 , ..., x n , βρίσκονται από τον τύπο

(*); 2) Κατά τον υπολογισμό της συντεταγμένης του κέντρου μάζας, οποιοδήποτε μέρος του σχήματος μπορεί να αντικατασταθεί από ένα υλικό σημείο, τοποθετώντας το στο κέντρο μάζας αυτού του τμήματος και ορίζοντας σε αυτό μια μάζα ίση με τη μάζα του εξεταζόμενου μέρους του σχήματος. Παράδειγμα. Έστω κατά μήκος του τμήματος ράβδου [a;b] του άξονα Ox - η μάζα κατανέμεται με την πυκνότητα (x), όπου το (x) είναι μια συνεχής συνάρτηση. Ας το δείξουμε α) η συνολική μάζα M της ράβδου είναι ίση με; β) συντεταγμένη του κέντρου μάζας x " είναι ίσο με .

Ας χωρίσουμε το τμήμα [a; b] σε n ίσα μέρη με σημεία a= x 0< х 1 < х 2 < ... <х n = b (ρύζι.). Σε καθένα από αυτά τα n τμήματα, η πυκνότητα μπορεί να θεωρηθεί σταθερή για μεγάλα n και περίπου ίση με (x k - 1) στο k-ο τμήμα (λόγω της συνέχειας του (x). Στη συνέχεια η μάζα του k-ου τμήματος είναι περίπου ίσο με και η μάζα ολόκληρης της ράβδου είναι

Θεωρώντας καθένα από τα n μικρά τμήματα ως υλικό σημείο μάζας m k , τοποθετημένο στο σημείο , προκύπτει από τον τύπο (*) ότι η συντεταγμένη του κέντρου μάζας είναι περίπου η εξής

Τώρα μένει να σημειώσουμε ότι για n -> ο αριθμητής τείνει στο ολοκλήρωμα και ο παρονομαστής (που εκφράζει τη μάζα ολόκληρης της ράβδου) τείνει στο ολοκλήρωμα

Για να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας ενός συστήματος υλικών σημείων σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα, χρησιμοποιείται επίσης ο τύπος (*).

Δάσκαλος: Έχετε ένα τραπέζι και εργασίες στα τραπέζια σας, χρησιμοποιώντας τον πίνακα βρείτε: α) την ποσότητα ηλεκτρικής ενέργειας. β) τη μάζα της ράβδου από την πυκνότητά της.

Ποσότητες

Υπολογισμός παραγώγων

Ολοκληρωμένος υπολογισμός Επιλογή 1 Επιλογή 2 Το αποτέλεσμα του μαθήματος: Ολοκληρώσαμε το θέμα "Ολοκληρωμένο", μάθαμε πώς να υπολογίζουμε αντιπαράγωγα, ολοκληρώματα, περιοχές ψηφίων, θεωρήσαμε τη χρήση του ολοκληρώματος στην πράξη, αυτές οι εργασίες μπορούν να βρεθούν στην εξέταση, νομίζω ότι μπορείτε να τις χειριστείτε .

Ο ολοκληρωτικός λογισμός προέκυψε σε σχέση με την επίλυση προβλημάτων προσδιορισμού περιοχών και όγκων. 2000 π.Χ οι κάτοικοι της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας γνώριζαν ήδη πώς να προσδιορίζουν την κατά προσέγγιση περιοχή ενός κύκλου και γνώριζαν τον κανόνα για τον υπολογισμό του όγκου μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Η θεωρητική τεκμηρίωση των κανόνων υπολογισμού εμβαδών και όγκων πρωτοεμφανίστηκε στους αρχαίους Έλληνες. Ο υλιστής φιλόσοφος Δημόκριτος V αιώνα π.Χ θεωρεί ότι τα σώματα αποτελούνται από μεγάλο αριθμό μικρών σωματιδίων. Δηλαδή, ο κώνος είναι ένα σύνολο πολύ λεπτών κυλινδρικών δίσκων διαφορετικών ακτίνων. Ένας τεράστιος ρόλος στην ιστορία του ολοκληρωτικού λογισμού έπαιξε το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου(τετραγωνισμός κύκλου - κατασκευή τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν είναι ίσο με το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου). Το ακριβές τετράγωνο πολλών καμπυλόγραμμων μορφών βρέθηκε από τον Ιπποκράτη (μέσο 5ος αιώνας).

Η πρώτη γνωστή μέθοδος για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος είναι η μέθοδος εξάντλησης του Εύδοξου (περίπου 370 π.Χ.). Προσπάθησε να βρει περιοχές και όγκους, σπάζοντάς τους σε άπειρα μέρη για τα οποία η περιοχή ή ο όγκος είναι ήδη γνωστός. Αυτή η μέθοδος επιλέχτηκε και αναπτύχθηκε από τον Αρχιμήδη, χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό των περιοχών των παραβολών και τον κατά προσέγγιση υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου.Στο δοκίμιό του Quadrature of a Parabola, ο Αρχιμήδης χρησιμοποιεί τη μέθοδο εξάντλησης για να υπολογίσει το εμβαδόν ενός τομέα μιας παραβολής. Εκείνοι. Ο Αρχιμήδης ήταν ο πρώτος που συνέταξε αθροίσματα, τα οποία στην εποχή μας ονομάζονται ακέραια αθροίσματα. Οι πρώτες σημαντικές προσπάθειες ανάπτυξης των μεθόδων ολοκλήρωσης του Αρχιμήδη, οι οποίες στέφθηκαν με επιτυχία, έγιναν το XVII αιώνα, όταν, αφενός, σημειώθηκε σημαντική πρόοδος στον τομέα της άλγεβρας, και αφετέρου, η οικονομία, η τεχνολογία, οι φυσικές επιστήμες αναπτύχθηκαν όλο και πιο εντατικά και απαιτούνταν εκεί εκτενείς και βαθιές μέθοδοι μελέτης και υπολογισμού ποσοτήτων. .

Κατά τον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούςΟ Newton και ο Leibniz έρχονται στην ιδέααντιπαράγωγη (ή πρωτόγονη) συνάρτηση για μια δεδομένη παράγωγη συνάρτησηφά(Χ),όπουΑΠΟθα μπορούσε να είναι οτιδήποτε. Taνα καλέσει σήμερα τύποςΤο Newton-Leibniz σας επιτρέπει να μειώσετε τον μάλλον περίπλοκο υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων, δηλ. βρίσκοντας τα όρια των ολοκληρωτικών αθροισμάτων, σε μια σχετικά απλή πράξη εύρεσης αντιπαραγώγων.Ο Leibniz κατέχει το σύμβολο διαφορικούένα σελ Αργότερα εμφανίστηκε και το ακέραιο σύμβολοΟρισμένο αναπόσπαστο σύμβολοεισήγαγε τον J. Fourier και τον όρο «ολοκληρωμένο» (από τα λατινικάακέραιος αριθμός - ολόκληρο) προτάθηκε από τον I. Bernoulli.

Οι εργασίες για τη μελέτη των θεμελίων του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού ξεκινούν XIX αιώνα από τα έργα των O. Cauchy και B. Bolzano. Την ίδια στιγμή, οι Ρώσοι μαθηματικοί M.V. συνέβαλαν σημαντικά στην ανάπτυξη του ολοκληρωτικού λογισμού. Ostrogradsky, V.Ya. Bunyakovsky, V.Ya. Chebyshev. Αυτή ήταν η εποχή που μόλις δημιουργήθηκε η σύγχρονη μαθηματική ανάλυση. Αυτή ήταν, ίσως, η μόνη εποχή της μαθηματικής δημιουργικότητας ως προς την έντασή της, και ο Euler ένωσε το εκτενές, αλλά ανόμοιο υλικό της νέας ανάλυσης σε μια ολοκληρωμένη επιστήμη.

Με τον καιρό, Ο άνθρωπος αποκτούσε όλο και περισσότερη δύναμη πάνω στη φύση, αλλά το όνειρο να πετάξει στα αστέρια παρέμενε το ίδιο απραγματοποίητο. Συγγραφείς επιστημονικής φαντασίας έχουν αναφέρει πυραύλους για διαστημική πτήση. Ωστόσο, αυτοί οι πύραυλοι ήταν τεχνικά ένα αβάσιμο όνειρο. Η τιμή να ανοίξει το δρόμο προς τα αστέρια στον κόσμο έπεσε στην κλήρο του συμπατριώτη μας Κ. Ε. Τσιολκόφσκι. Ένας ολόκληρος γαλαξίας επιστημόνων, με επικεφαλής τον S.P. Κορολιόφ.

Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν προβλήματα που είναι το πρωτότυπο των προβλημάτων για τον υπολογισμό των τροχιών των διαστημικών σκαφών που εισέρχονται σε μια δεδομένη τροχιά, για την εύρεση του ύψους και της ταχύτητας ανόδου ή καθόδου ενός σώματος και ορισμένα άλλα προβλήματα με χρήση ολοκληρωτικού λογισμού.

Εργασία 1. Δίνεται η ταχύτητα της ευθύγραμμης κίνησης του σώματος

εξίσωση . Να βρείτε την εξίσωση της διαδρομής S αν το σώμα διένυσε 20m σε χρόνο t = 2sec.

Λύση: όπου Ενσωματώνουμε: όπου Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα, βρίσκουμε С = 4. Δηλαδή, η εξίσωση κίνησης του σώματος έχει τη μορφή .

Όταν πετάτε στο διάστημα, είναι απαραίτητο να λάβουμε υπόψη όλους τους παράγοντες του περιβάλλοντος γύρω μας και για να φτάσετε εκεί που πρέπει, πρέπει να υπολογίσετε την τροχιά της κίνησης χρησιμοποιώντας τα αρχικά δεδομένα. Όλα αυτά πρέπει να γίνουν πριν πραγματοποιηθεί η πτήση.Το 2016 σηματοδοτεί την 55η επέτειο από την πτήση του πρώτου κοσμοναύτη Γιούρι Αλεξέεβιτς Γκαγκάριν σε τροχιά. Κατά τον υπολογισμό, ήταν απαραίτητο να λυθούν τέτοια προβλήματα.

Εργασία 2. Είναι απαραίτητο να εκτοξευτεί ένας πύραυλος ζύγισης P \u003d 2 10 4 H (T)από την επιφάνεια της γης σε ύψοςη= 1500 χλμ.Υπολογίστε την εργασία που απαιτείται για την εκτέλεση του.

Λύση.στ - η δύναμη έλξης του σώματος από τη Γη είναι συνάρτηση της απόστασής του Χστο κέντρο της Γης: , όπου Στην επιφάνεια της Γης όπου η δύναμη της βαρύτητας είναι ίση με το βάρος του σώματος R, ένα x = R- ακτίνα της Γης, επομένως, και Κατά την ανύψωση ενός πυραύλου από την επιφάνεια της Γης σε ένα ύψος ημεταβλητός Χαλλάζει απόΧ = Rπριν Χ= R+ η. Βρίσκουμε τη δουλειά που αναζητούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο: Τότε παίρνουμε: η εργασία για την εκτόξευση ενός πυραύλου είναι ίση με

Εργασία 3. δύναμη μέσα 10 Ντεντώνει το ελατήριο 2 εκ. Τι δουλειά είναι αυτή

το κάνει?

Λύση . Σύμφωνα με το νόμο του Χουκ, η δύναμηφά , το τέντωμα του ελατηρίου, είναι ανάλογο με το τέντωμα του ελατηρίου, δηλ.φά =kh.Από την κατάσταση του προβλήματος

k= 10/0,02(N/m),έπειτα φά= 500x. Δουλειά: .

Εργασία 4. Από ένα ορυχείο βαθιάμεγάλο= 100 μείναι απαραίτητο να σηκώσετε το κλουβί ομοιόμορφα με ένα βάρος R 1 = 10 4 H, που κρέμεται σε ένα σχοινί τυλιγμένο σε ένα τύμπανο. Υπολογίστε τη συνολική εργασία Ενα γεμάτοαπαιτείται για την ανύψωση του κλουβιού εάν το βάρος ενός γραμμικού μέτρου σχοινιού R 2= 20H.

Λύση . Εργαστείτε για την ανύψωση του κλουβιού: και η ανύψωση του σχοινιού είναι ανάλογη με το βάρος του σχοινιού, δηλ. Επομένως, η πλήρης εργασία έχει ολοκληρωθεί:

Εργασία 5. Το ελατήριο κάμπτεται υπό την επίδραση δύναμης 1,5 10 4 Hκατά 1 cm. Πόση δουλειά πρέπει να γίνει για να παραμορφωθεί το ελατήριο κατά 3 cm; (Η δύναμη παραμόρφωσης είναι ανάλογη με την εκτροπή του ελατηρίου.)

Λύση . φά\u003d kx,όπου Χ- εκτροπή ελατηρίου. Στο x = 0,01μέχουμε: . Τότε η εργασία που γίνεται για την παραμόρφωση είναι:

Είναι δύσκολο και ανασφαλές να ανέβεις στο διάστημα, αλλά όχι λιγότερο δύσκολη είναι η επιστροφή στη Γη, όταν το διαστημόπλοιο πρέπει να προσγειωθεί με ταχύτητα όχι μεγαλύτερη από 2 m/s. Μόνο σε αυτήν την περίπτωση, η συσκευή, τα όργανα σε αυτήν, και το σημαντικότερο, τα μέλη του πληρώματος, δεν θα υποστούν ένα απότομο δυνατό χτύπημα. Ο Konstantin Eduardovich Tsiolkovsky αποφάσισε να χρησιμοποιήσει την επιβράδυνση του διαστημικού σκάφους από το εναέριο κέλυφος της Γης. Κινούμενο με ταχύτητα 8 m/s, το διαστημόπλοιο δεν πέφτει στη Γη. Το πρώτο στάδιο καθόδου είναι η συμπερίληψη ενός κινητήρα πέδησης για μικρό χρονικό διάστημα. Η ταχύτητα μειώνεται κατά 0,2 km/s και η κάθοδος ξεκινά αμέσως. Εξετάστε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της κατάρτισης του νόμου της κίνησης υπό δεδομένες συνθήκες.

Εργασία 6. Να βρείτε τον νόμο της κίνησης ενός σώματος που πέφτει ελεύθερα με σταθερή επιτάχυνση g, αν το σώμα βρισκόταν σε ηρεμία τη στιγμή της κίνησης.

Λύση:Είναι γνωστό ότι η επιτάχυνση ενός ευθύγραμμα κινούμενου σώματος είναι η δεύτερη παράγωγος της διαδρομής S σε σχέση με το χρόνο t , ή παράγωγο της ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο t : , αλλά, επομένως, , από πού . Ενσωματώνουμε: , και Από την συνθήκη: , από όπου βρίσκουμε και την ταχύτητα κίνησης: . Ας βρούμε τον νόμο της κίνησης του σώματος: , ή . Ενσωματώνουμε: , . Σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες: , από όπου βρίσκουμε Έχουμε την εξίσωση κίνησης ενός σώματος που πέφτει: - αυτός είναι ένας γνωστός τύπος της φυσικής.

Εργασία 7. Ένα σώμα εκτοξεύεται κάθετα προς τα πάνω με αρχική ταχύτητα

Βρείτε την εξίσωση κίνησης αυτού του σώματος (παραμέληση της αντίστασης του αέρα).

Λύση:Ας πάρουμε: η κατακόρυφη κατεύθυνση προς τα πάνω είναι θετική και η επιτάχυνση της βαρύτητας, όπως κατευθύνεται προς τα κάτω, είναι αρνητική. Έχουμε: από πού. Ενσωματώνουμε: τότε . Επειδή και μετά C 1: και Εξίσωση Ταχύτητας: Βρίσκουμε τον νόμο της κίνησης του σώματος: αφού. και μετά όπου .Ενσωματώνουν: ή Πότε και βρες , και Έχουμε την εξίσωση της κίνησης του σώματος: ή .

Το παρακάτω παράδειγμα δείχνει τον υπολογισμό της τροχιάς για την εκφόρτιση δαπανημένων τμημάτων, περιττών συσκευών, υλικών. Σε αυτή την περίπτωση, αποστέλλονται στη Γη, έχοντας υπολογίσει την τροχιά έτσι ώστε όταν περνούν από τα ατμοσφαιρικά στρώματα να καούν και τα άκαυστα υπολείμματα να πέσουν στη Γη (συχνότερα στον ωκεανό), χωρίς να προκαλέσουν βλάβη.

Εργασία 8. Γράψτε μια εξίσωση για μια καμπύλη που διέρχεται από το σημείο M (2; -3) και έχει μια εφαπτομένη με κλίση .

Λύση:Η προϋπόθεση της εργασίας δίνεται: ή Ενσωματώνοντας, έχουμε: Στο x = 2και y \u003d -3, C \u003d - 5και η τροχιά της κίνησης έχει τη μορφή: .

Οι οικοδόμοι μερικές φορές πρέπει να λύσουν προβλήματα υπολογισμού των περιοχών ασυνήθιστων αριθμών για τα οποία δεν υπάρχουν γνωστοί τύποι. Σε αυτή την περίπτωση, τα ολοκληρώματα έρχονται και πάλι στη διάσωση.

Εργασία 9. Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές: και

Λύση: Ας φτιάξουμε ένα σχέδιο (Εικ. 1), για το οποίο θα λύσουμε ένα σύστημα εξισώσεων. Ας βρούμε τα σημεία τομής των ευθειών: Α(-2;4) και Β(4;16). Η επιθυμητή περιοχή είναι η διαφορά μεταξύ των περιοχών με τα όρια ολοκλήρωσης, a \u003d x 1 \u003d -2και σε \u003d x 2 \u003d 4.Τότε έχουμε την περιοχή:

.

Κοσμοναύτες και επιστήμονες, που εργάζονται στον τροχιακό σταθμό, για την καθαρότητα του πειράματος, λύνουν και διερευνούν πολλά θέματα αστρονομίας, φυσικής, χημείας, ιατρικής, βιολογίας κ.λπ. Το παρακάτω πρόβλημα θα το συνοδεύσουμε με ένα λογοτεχνικό παράδειγμα. Το γνωστό μυθιστόρημα επιστημονικής φαντασίας του HG Wells «War of the Worlds» περιγράφει την επίθεση των Αρειανών στον πλανήτη Γη, που αποφάσισαν να επεκτείνουν τις υπερπληθυσμένες περιοχές τους καταλαμβάνοντας τις δικές μας, γιατί. Οι κλιματικές συνθήκες της γης ήταν κατάλληλες. Άρχισε η κατάληψη εδαφών και η καταστροφή των γήινων, που έλαβαν βοήθεια από εκεί που δεν περίμεναν καθόλου. Τα «εγγενή» μας βακτήρια, με τα οποία έχουμε ήδη μάθει να πολεμάμε, έχοντας εισχωρήσει στο σώμα των Αρειανών με αέρα, τροφή, νερό, βρήκαν σε αυτό ένα ευνοϊκό περιβάλλον για την ανάπτυξη και την αναπαραγωγή τους, προσαρμόστηκαν γρήγορα και, έχοντας καταστρέψει τους Αρειανούς, απαλλάξει τη Γη από τους εισβολείς. Εξετάστε τη λύση του προβλήματος που δίνει την έννοια αυτού.

Εργασία 10.Ο ρυθμός αναπαραγωγής ορισμένων βακτηρίων είναι ανάλογος με τον αριθμό των διαθέσιμων βακτηρίων την εξεταζόμενη χρονική στιγμή t. Ο αριθμός των βακτηρίων τριπλασιάστηκε μέσα σε 5 ώρες. Βρείτε την εξάρτηση του αριθμού των βακτηρίων από την ώρα.

Λύση:Έστω x(t ) είναι ο αριθμός των βακτηρίων τη στιγμή t, και στην αρχική στιγμή τότε ο ρυθμός αναπαραγωγής τους. Κατά συνθήκη, έχουμε: ή τα ακόλουθα: Ας βρούμε С: και συνάρτηση Είναι γνωστό ότι η τ.ε. ή από όπου ο συντελεστής αναλογικότητας είναι: και η συνάρτηση έχει τη μορφή: .

Στο διάσημο μυθιστόρημα του Α.Ν. Το «Υπερβολοειδές του Μηχανικού Γκαρίν» του Τολστόι Θα ήθελα να νιώσω, να νιώσω αυτό που είναι - ένα υπερβολοειδές; Ποιες είναι οι διαστάσεις, το σχήμα, η επιφάνεια, ο όγκος του; Η επόμενη εργασία αφορά αυτό.

Εργασία 11.Υπερβολικό περιορισμό από γραμμές: y=0, x= ένα, x = 2aπεριστρέφεται γύρω από τον άξονα x. Βρείτε τον όγκο του υπερβολοειδούς που προκύπτει (Εικ. 2).

Λύση.Χρησιμοποιούμε τον τύπο για να υπολογίσουμε τον όγκο των σωμάτων περιστροφής γύρω από τον άξονα OX χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα:

Οι ουφολόγοι μελετούν τα γεγονότα που επικαλούνται «αυτόπτες μάρτυρες», λέγοντας ότι είδαν ένα ιπτάμενο διαστημόπλοιο με τη μορφή ενός τεράστιου φωτεινού δίσκου («πιάτο»), περίπου ίδιου σχήματος όπως στο σχήμα 3. Εξετάστε το ενδεχόμενο να λύσετε το πρόβλημα του προσδιορισμού του όγκου του ένα τέτοιο «πιάτο»».

Εργασία 12. Υπολογίστε τον όγκο του σώματος που σχηματίζεται από την περιστροφή γύρω από τον άξονα OX της περιοχής που οριοθετείται από τις γραμμές y \u003d x 2 - 9και y = 0.

Λύση: Όταν σχεδιάζουμε ένα παραβολοειδές (Εικ. 3), έχουμε τα όρια ολοκλήρωσης από x = -3πριν x = 3. Ας αντικαταστήσουμε τα όρια ολοκλήρωσης λόγω της συμμετρίας του σχήματος ως προς τον άξονα y από x = 0και x = 3και διπλασιάζει το αποτέλεσμα. Επομένως, ο όγκος του δίσκου είναι:

Η οικονομική σημασία ενός ορισμένου ολοκληρώματος εκφράζει τον όγκο παραγωγής με μια γνωστή συνάρτηση f(t ) - παραγωγικότητα εργασίας αυτή τη στιγμή t . Στη συνέχεια, ο όγκος της παραγωγής για την περίοδο υπολογίζεται με τον τύπο Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα για μια επιχείρηση.

Εργασία 13. Βρείτε τον όγκο παραγωγής που παράγεται σε 4 χρόνια εάν η συνάρτηση Cobb-Douglas έχει τη μορφή

Λύση. Ο όγκος των προϊόντων που παράγει η επιχείρηση ισούται με:

Συνοψίζοντας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η χρήση του ολοκληρώματος ανοίγει μεγάλες ευκαιρίες. Όταν μελετούν τη γεωμετρία, λαμβάνουν υπόψη τον υπολογισμό των εμβαδών των επίπεδων σχημάτων που περιορίζονται από ευθύγραμμα τμήματα (τρίγωνα, παραλληλόγραμμα, τραπεζοειδή, πολύγωνα) και τους όγκους των σωμάτων που λαμβάνονται κατά την περιστροφή τους. Το καθορισμένο ολοκλήρωμα σάς επιτρέπει να υπολογίσετε τις περιοχές μιγαδικών σχημάτων που οριοθετούνται από οποιεσδήποτε καμπύλες γραμμές, καθώς και να βρείτε τους όγκους των σωμάτων που λαμβάνονται με την περιστροφή καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών γύρω από οποιονδήποτε άξονα.

Θα ήθελα επίσης να σημειώσω ότι η χρήση ενός ορισμένου ολοκληρώματος δεν περιορίζεται μόνο στον υπολογισμό διαφόρων γεωμετρικών μεγεθών, αλλά χρησιμοποιείται επίσης για την επίλυση προβλημάτων από διάφορους τομείς της φυσικής, της αεροδυναμικής, της αστρονομίας, της χημείας και της ιατρικής, της αστροναυτικής, καθώς και ως οικονομικά προβλήματα.

Βιβλιογραφία:

1. Apanasov, P.T. Συλλογή προβλημάτων στα μαθηματικά: σχολικό βιβλίο. επίδομα / Π.Τ. Apanasov, M.I. Ορλόφ. - Μ.: Ανώτατο Σχολείο, 1987.- 303 σελ.
2. Bedenko, N.K. Μαθήματα άλγεβρας και οι απαρχές της ανάλυσης: μεθοδολογικός οδηγός / Ν.Κ. Bedenko, L.O. Ντενίστσεφ. - Μ.: Ανώτερο σχολείο, 1988. - 239 σελ.
3. Bogomolov, N.V. Πρακτικά μαθήματα ανώτερων μαθηματικών: σχολικό βιβλίο. επίδομα / N.V. Μπογκομόλοφ. - Μ.: Ανώτερο σχολείο, 1973. - 348 σελ.
4. Ανώτερα μαθηματικά για οικονομολόγους: εγχειρίδιο / εκδ. N.Sh. Κρέμερ. - 3η έκδ. – Μ.: UNITI-DANA, 2008.- 479 σελ.
5. Zaporozhets, G.I. Οδηγός επίλυσης προβλημάτων στη μαθηματική ανάλυση: σχολικό βιβλίο. επίδομα / Γ.Ι. Zaporozhets - M .: Ανώτατο Σχολείο, 1966. - 460 σελ.

Προβολή περιεχομένου εγγράφου
"MR του συνδυασμένου μαθήματος για τον καθηγητή "Βασικές αρχές του ολοκληρωτικού λογισμού. Ορισμένο ολοκλήρωμα."

ΚΡΑΤΙΚΟΣ ΑΥΤΟΝΟΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ

ΦΟΡΕΑΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΕΡΙΟΧΗ ΝΟΒΟΣΙΜΠΙΡΣΚ

"ΙΑΤΡΙΚΟ ΚΟΛΕΓΙΟ ΜΠΑΡΑΜΠΙΝΣΚΙ"

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ

συνδυασμένο μάθημα για τον δάσκαλο

ΠΕΙΘΑΡΧΙΑ "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ"

Τμήμα 1.Μαθηματική ανάλυση

Θέμα1.6. Βασικές αρχές του ολοκληρωτικού λογισμού. Ορισμένο ολοκλήρωμα

Ειδικότητα

060101 Γενική ιατρική

Καλά- ο πρώτος

Μεθοδικό φύλλο

Διαμόρφωση των απαιτήσεων του SES κατά τη μελέτη του θέματος

« Βασικές αρχές του ολοκληρωτικού λογισμού. Ορισμένο ολοκλήρωμα"

πρέπει να ξέρω:

τη σημασία των μαθηματικών στις επαγγελματικές δραστηριότητες και στην ανάπτυξη ενός επαγγελματικού εκπαιδευτικού προγράμματος·

βασικές μαθηματικές μέθοδοι για την επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων.

βασικά στοιχεία του ολοκληρωτικού και του διαφορικού λογισμού.

Ως αποτέλεσμα της μελέτης του θέματος, ο μαθητής θα πρέπει να είναι σε θέση:

επίλυση εφαρμοζόμενων προβλημάτων στον τομέα της επαγγελματικής δραστηριότητας ·

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικοί στόχοι:επανάληψη και ενοποίηση των δεξιοτήτων υπολογισμού του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος, εξέταση μεθόδων υπολογισμού ορισμένων ολοκληρωμάτων, εδραίωση της ικανότητας εύρεσης ορισμένου ολοκληρώματος

εκπαιδευτικούς στόχους: να προωθήσει τη διαμόρφωση μιας κουλτούρας επικοινωνίας, προσοχής, ενδιαφέροντος για το θέμα, να προωθήσει την κατανόηση του μαθητή για την ουσία και την κοινωνική σημασία του μελλοντικού επαγγέλματός του, την εκδήλωση βιώσιμου ενδιαφέροντος για αυτό.

Στόχοι ανάπτυξης:

προάγω

ο σχηματισμός δεξιοτήτων για την εφαρμογή μεθόδων σύγκρισης, γενίκευσης, τονίζοντας το κύριο πράγμα.

ανάπτυξη μαθηματικών οριζόντων, σκέψης και ομιλίας, προσοχής και μνήμης.

Τύπος τάξης: συνδυασμένο μάθημα

Διάρκεια μαθήματος: 90 λεπτά

Διεπιστημονικές συνδέσεις:φυσική, γεωμετρία και όλα τα μαθήματα στα οποία χρησιμοποιείται η μαθηματική συσκευή

Βιβλιογραφία:

Gilyarova M.G. Μαθηματικά για ιατρικές σχολές. - Rostov n / D: Phoenix, 2011. - 410, σελ. - (Το φάρμακο)

Μαθηματικά: σχολικό βιβλίο. επίδομα / V.S. Mikheev [και άλλοι]? εκδ. Ν.Μ. Demin. - Rostov n / D: Phoenix, 2009. - 896 p. – (Δευτεροβάθμια επαγγελματική εκπαίδευση).

Εξοπλισμός μαθήματος:

Ελεημοσύνη

Πρόοδος μαθήματος

№ p/n	Στάδιο μαθήματος	χρόνος (λεπτά)	Κατευθυντήριες γραμμές
	Οργανωτικό μέρος		Έλεγχος προσέλευσης και εμφάνισης των μαθητών. Παρουσίαση του θέματος, του σκοπού και του σχεδίου του μαθήματος.
	Κίνητρο		Η έννοια του ολοκληρώματος είναι μια από τις βασικές έννοιες στα μαθηματικά. Μέχρι τα τέλη του 17ου αιώνα. Οι Newton και Leibniz δημιούργησαν τη συσκευή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού, που αποτελεί τη βάση της μαθηματικής ανάλυσης. Η μελέτη αυτού του θέματος ολοκληρώνει το σχολικό μάθημα της μαθηματικής ανάλυσης, εισάγει τους μαθητές σε ένα νέο εργαλείο για την κατανόηση του κόσμου και η εξέταση στο σχολείο της εφαρμογής του ολοκληρωτικού λογισμού στα πιο σημαντικά τμήματα της φυσικής δείχνει στους μαθητές τη σημασία και τη δύναμη των ανώτερων μαθηματικών . Η ανάγκη για πλήρη μελέτη των πιο σημαντικών στοιχείων του ολοκληρωτικού λογισμού συνδέεται με τη μεγάλη σημασία και σημασία αυτού του υλικού στην ανάπτυξη ενός επαγγελματικού εκπαιδευτικού προγράμματος. Στο μέλλον, η γνώση ενός ορισμένου ολοκληρώματος θα σας είναι χρήσιμη όταν βρίσκετε μια λύση σε εξισώσεις που καθορίζουν το ρυθμό ραδιενεργού αποσύνθεσης, την αναπαραγωγή βακτηρίων, τη συστολή των μυών, τη διάλυση μιας φαρμακευτικής ουσίας σε ένα δισκίο και πολλά άλλα προβλήματα διαφορικού λογισμού χρησιμοποιείται στην ιατρική πρακτική.
	Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων		Είναι απαραίτητο να δοκιμαστούν οι υπολογιστικές δεξιότητες και οι γνώσεις του πίνακα των ολοκληρωμάτων (Παράρτημα 1)
	Παρουσίαση νέου υλικού		Σχέδιο παρουσίασης (Παράρτημα 2) Ορισμένο ολοκλήρωμα Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος Τύπος Newton-Leibniz Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με διάφορες μεθόδους Εφαρμογή ορισμένου ολοκληρώματος στον υπολογισμό διαφόρων μεγεθών. Υπολογισμός του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος
	Πρακτικό μέρος Εκτέλεση ασκήσεων εμπέδωσης της ύλης του θέματος		(Παράρτημα 3) Πρωτογενής εμπέδωση αποκτηθεισών γνώσεων και δεξιοτήτων Κατανόηση των γνώσεων και δεξιοτήτων που αποκτήθηκαν
	Συνοψίζοντας το μάθημα		Δίνοντας βαθμούς, σχολιάζοντας τα λάθη που έγιναν στην πορεία της δουλειάς
	Εργασία για το σπίτι		Ετοιμάστε θεωρητικό υλικό για πρακτικό μάθημα και ολοκληρώστε τις εργασίες της ενότητας "Αυτοέλεγχος" (Παράρτημα 4)

Συνημμένο 1

Επικαιροποίηση βασικών γνώσεων

Μαθηματική υπαγόρευση

1 επιλογή

Εγώ.

II.

Επιλογή 2

ΕΓΩ.Υπολογίστε αόριστα ολοκληρώματα

II. Ονομάστε τη μέθοδο για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων

Παράρτημα 2

Πληροφορίες και υλικό αναφοράς

Ορισμένο ολοκλήρωμα

Η έννοια του ολοκληρώματος συνδέεται με το αντίστροφο πρόβλημα της διαφοροποίησης μιας συνάρτησης. Είναι βολικό να εξετάσουμε την έννοια ενός ορισμένου ολοκληρώματος για την επίλυση του προβλήματος του υπολογισμού του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται και στις δύο πλευρές από κάθετες που έχουν αποκατασταθεί σε σημεία ένακαι σι, κορυφή της συνεχούς καμπύλης y=φά(Χ)και κάτω άξονας Ω, χωρίστε το τμήμα [ένα,σι] σε μικρά τμήματα:

ένα = Χ 0 Χ 1 Χ 2 ... Χ n -1 Χ n = σι.

Επαναφέρετε τις κάθετες από αυτά τα σημεία στην τομή με την καμπύλη y=φά(Χ). Τότε το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος θα είναι περίπου ίσο με το άθροισμα των στοιχειωδών ορθογωνίων που έχουν βάση ίση με  Χ Εγώ = x Εγώ -Χ Εγώ -1 , και το ύψος ίσο με την τιμή της συνάρτησης φά(Χ)μέσα σε κάθε ορθογώνιο. Όσο μικρότερη είναι η τιμή  Χ Εγώ, τόσο ακριβέστερα θα προσδιοριστεί η περιοχή του σχήματος μικρό . Συνεπώς:

Ορισμός.Εάν υπάρχει ένα όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος, το οποίο δεν εξαρτάται από τη μέθοδο κατάτμησης του τμήματος [a,σι] και επιλογή σημείου, τότε αυτό το όριο ονομάζεται οριστικό ολοκλήρωμα της συνάρτησηςφά(Χ) στο τμήμα [a,σι] και δηλώνουν:

όπουφά(Χ) είναι το ολοκλήρωμα, x είναι η μεταβλητή ολοκλήρωσης και καισι- όρια ολοκλήρωσης (διαβάστε: οριστικό ολοκλήρωμα τουέναρεο σιεφ από χ δε χ).

Με αυτόν τον τρόπο, γεωμετρική αίσθησηενός ορισμένου ολοκληρώματος σχετίζεται με τον ορισμό της περιοχής ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από πάνω από τη συνάρτηση y=φά(Χ), κάτω άξονας Ω, και στα πλάγια - από κάθετες που αποκαταστάθηκαν σε σημεία ένακαι σι.

Η διαδικασία υπολογισμού ορισμένου ολοκληρώματος ονομάζεται ενσωμάτωση.Αριθμοί α καισι καλούνται αντίστοιχα κατώτερα και ανώτερα όρια ολοκλήρωσης.

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

Αν τα όρια της ολοκλήρωσης είναι ίσα, τότε το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ίσο με μηδέν:



Αν αναδιατάξουμε τα όρια της ολοκλήρωσης, τότε το πρόσημο του ολοκληρώματος θα αλλάξει στο αντίθετο:



Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο ενός ορισμένου ολοκληρώματος:



Ορισμένο ολοκλήρωμα του αθροίσματος ενός πεπερασμένου αριθμού συνεχών συναρτήσεωνφά 1 (Χ), φά 2 (Χ)... φά n (Χ) που ορίζεται στο τμήμα [α,σι], ισούται με το άθροισμα ορισμένων ολοκληρωμάτων των όρων των συναρτήσεων:

Το τμήμα της ολοκλήρωσης μπορεί να χωριστεί σε μέρη:



Εάν η συνάρτηση είναι πάντα θετική ή πάντα αρνητική στο τμήμα [a,σι], τότε το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός του ίδιου πρόσημου με τη συνάρτηση:

Τύπος Newton-Leibniz

Ο τύπος Newton-Leibniz δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ ορισμένων και αόριστων ολοκληρωμάτων.

Θεώρημα.Η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος της συνάρτησηςφά(Χ) στο τμήμα [a,σι] ισούται με την αύξηση οποιουδήποτε από τα αντιπαράγωγα για αυτή τη συνάρτηση σε ένα δεδομένο τμήμα:

Από αυτό το θεώρημα προκύπτει ότι το οριστικό ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός, ενώ το αόριστο ολοκλήρωμα είναι ένα σύνολο αντιπαραγώγων συναρτήσεων. Έτσι, σύμφωνα με τον τύπο, για να βρεθεί ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, είναι απαραίτητο:

1. Να βρείτε το αόριστο ολοκλήρωμα μιας δεδομένης συνάρτησης με ρύθμιση C = 0.

2. Αντικαταστήστε το αντιπαράγωγο στην έκφραση αντί για το όρισμα Χανώτατο όριο πρώτα σι, μετά κατώτερο όριο ένα,και αφαιρούμε το δεύτερο από το πρώτο αποτέλεσμα.

Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων με διάφορες μεθόδους

Κατά τον υπολογισμό ορισμένων ολοκληρωμάτων, χρησιμοποιούνται οι μέθοδοι που εξετάζονται για την εύρεση αόριστων ολοκληρωμάτων.

Μέθοδος άμεσης ολοκλήρωσης

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη χρήση των ολοκληρωμάτων σε πίνακα και στις βασικές ιδιότητες ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ:

1) Εύρημα

Λύση:

2) Εύρημα

Λύση:

3) Εύρημα

Λύση:

Μέθοδος αλλαγής μεταβλητής ολοκλήρωσης

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:

Λύση.Για να βρούμε το ολοκλήρωμα, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο αλλαγής μεταβλητής. Εισάγουμε μια νέα μεταβλητή

u=3 Χ ‑ 1 , έπειτα du = 3 dx, dx = . Κατά την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής, είναι απαραίτητο να αλλάξετε τα όρια ολοκλήρωσης, καθώς η νέα μεταβλητή θα έχει διαφορετικά όρια αλλαγής. Βρίσκονται από την αλλαγή του τύπου μεταβλητής. Άρα το ανώτατο όριο θα είναι και σι = 32 ‑ 1 = 5 , πιο χαμηλα - και ένα =31 ‑ 1 = 2 . Αντικαθιστώντας τη μεταβλητή και τα όρια ολοκλήρωσης, παίρνουμε:

Τρόπος ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στη χρήση του τύπου ολοκλήρωσης ανά εξαρτήματα για ένα συγκεκριμένο ολοκλήρωμα:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ:

1) Εύρημα

Λύση:

Αφήνω u = ln Χ, dv = xdx, έπειτα

Εφαρμογή ορισμένου ολοκληρώματος στον υπολογισμό διαφόρων μεγεθών.

Υπολογισμός του εμβαδού ενός επίπεδου σχήματος

Είχε φανεί προηγουμένως ότι το καθορισμένο ολοκλήρωμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του εμβαδού του σχήματος που περικλείεται μεταξύ του γραφήματος της συνάρτησης y=φά(Χ), άξονας Ωκαι δύο ευθείες Χ = a και x =σι.

Εάν η συνάρτηση y=φά(Χ) είναι κάτω από τη γραμμή της τετμημένης, δηλ. φά(Χ)

Εάν η συνάρτηση y=φά(Χ) αρκετές φορές διασχίζει τον άξονα Ω, τότε είναι απαραίτητο να βρεθούν χωριστά οι περιοχές για τα οικόπεδα όταν φά(Χ) 0, και προσθέστε τις στις απόλυτες τιμές των περιοχών όταν η συνάρτηση φά(Χ)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1.Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από μια συνάρτηση y= αμαρτίαΧκαι άξονα ΩΤοποθεσία ενεργοποιημένη 0  Χ 2.

Λύση.Το εμβαδόν του σχήματος θα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών:

μικρό = μικρό 1 + | μικρό 2 |,

όπου S 1 - ; περιοχή στο στο0 ; μικρό 2 - περιοχή στο στο 0.

S=2 + 2 = 4 τετραγωνικές μονάδες

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.Βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος που περικλείεται μεταξύ μιας καμπύλης y = x 2 , άξονας Ωκαι άμεση x=0, x=2.

Λύση.Ας φτιάξουμε γραφήματα συναρτήσεων στο= x 2 και x = 2.

Η σκιασμένη περιοχή θα είναι η επιθυμητή περιοχή του σχήματος. Επειδή φά(Χ) 0 τότε

Υπολογισμός του μήκους τόξου μιας επίπεδης καμπύλης

Αν η καμπύλη y=φά(Χ)στο τμήμα [ένα,σι] έχει μια συνεχή παράγωγο, τότε το μήκος του τόξου αυτής της καμπύλης βρίσκεται με τον τύπο:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Βρείτε το μήκος του τόξου μιας καμπύλης y 2 = Χ 3 στο τμήμα (y0)

Λύση

Εξίσωση καμπύλης y = x 3/2, μετά y’ = 1,5 x 1/2.

Κάνοντας την αντικατάσταση 1+ παίρνουμε:

Ας επιστρέψουμε στην αρχική μεταβλητή:

υπολογισμός σώμα της επανάστασης

Αν ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές οριοθετημένο από καμπύλη y=φά(Χ) και άμεση x=aκαι x=σι, περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα Ω, τότε ο όγκος περιστροφής υπολογίζεται από τον τύπο:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Να βρείτε τον όγκο ενός σώματος που σχηματίζεται με περιστροφή γύρω από έναν άξονα Ωημιτονοειδές κύμα
y= αμαρτία Χ, στο 0≤ x≤.

Λύση

Σύμφωνα με τον τύπο, έχουμε:

Για να υπολογίσουμε αυτό το ολοκλήρωμα, κάνουμε τους ακόλουθους μετασχηματισμούς:

Παράρτημα 3

Πρωτογενής εμπέδωση του υλικού που μελετήθηκε

1. Υπολογισμός ορισμένων ολοκληρωμάτων

2. Εφαρμογές ορισμένου ολοκληρώματος

περιοχή σχήματος

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που περιορίζεται από γραμμές:

Η διαδρομή που διανύει ένα σώμα (σημείο) κατά την ευθύγραμμη κίνηση σε χρονικό διάστημα απόt 1 πρινt 2 (

v =3 t 2 +2 t -1 (tσε s,vσε m/s).Βρείτε τη διαδρομή που έχει διανύσει το σώμα σε 10 δευτερόλεπτα από την έναρξη της κίνησης.

Η ταχύτητα του σημείου αλλάζει σύμφωνα με το νόμο v =6 t 2 +4 (tσε s,vσε m/s).Βρείτε τη διαδρομή που διανύθηκε από το σημείο σε 5 δευτερόλεπτα από την αρχή της κίνησης.

Σημειακή ταχύτητα κίνησης v =12 t -3 t 2 (tσε s,vσε m/s).Βρείτε το μονοπάτι που διένυσε το σημείο από την αρχή της κίνησης μέχρι τη στάση του.

Δύο σώματα άρχισαν να κινούνται ταυτόχρονα από το ίδιο σημείο προς την ίδια κατεύθυνση σε ευθεία γραμμή. Το πρώτο σώμα κινείται με ταχύτητα v =6 t 2 +2 t(Κυρία),δεύτερος
v =4 t+5 (m/s).Πόσο θα απέχουν μεταξύ τους σε 5 δευτερόλεπτα;

Παράρτημα 4

Αυτοέλεγχος στο θέμα

"Ορισμένο ολοκλήρωμα και η εφαρμογή του"

1 επιλογή 1. Υπολογίστε Ολοκληρώματα 2. y = - Χ 2 + Χ + 6 και y = 0 3. Η ταχύτητα του σημείου αλλάζει σύμφωνα με το νόμο v =9 t 2 -8 t (tσε s,vσε m/s).Βρείτε τη διαδρομή που διένυσε το σώμα στο τέταρτο δευτερόλεπτο από την έναρξη της κίνησης.

Επιλογή 2 1. Υπολογίστε Ολοκληρώματα 2. Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y = - Χ 2 + 2 Χ + 3 και y = 0 3. Η ταχύτητα του σημείου αλλάζει σύμφωνα με το νόμο v = 8 t - 3 t 2 (tσε s,vσε m/s).Βρείτε τη διαδρομή που έχει διανύσει το σώμα σε πέντε δευτερόλεπτα από την έναρξη της κίνησης.

Ι. Στη φυσική

Δυνατότητα εργασίας

(A=FScos, cos 1)

Εάν μια δύναμη F επιδράσει σε ένα σωματίδιο, η κινητική ενέργεια δεν παραμένει σταθερή. Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με

η αύξηση της κινητικής ενέργειας του σωματιδίου σε χρόνο dt είναι ίση με το κλιμακωτό γινόμενο Fds, όπου ds είναι η μετατόπιση του σωματιδίου σε χρόνο dt. αξία

ονομάζεται το έργο που εκτελεί η δύναμη F.

Έστω ένα σημείο να κινείται κατά μήκος του άξονα OX υπό την επίδραση μιας δύναμης της οποίας η προβολή στον άξονα OX είναι συνάρτηση f(x) (f-συνεχής συνάρτηση). Κάτω από τη δράση της δύναμης, το σημείο μετακινήθηκε από το σημείο S1(a) στο S2(b). Διαιρέστε το τμήμα σε n τμήματα του ίδιου μήκους

Το έργο της δύναμης θα είναι ίσο με το άθροισμα του έργου της δύναμης στα τμήματα που προκύπτουν. Επειδή f(x) -συνεχής, τότε για ένα μικρό εργατικό δυναμικό σε αυτό το τμήμα είναι ίσο με

Ομοίως, στο δεύτερο τμήμα f(x1)(x2-x1), στο ντο τμήμα --

f(xn-1)(b-xn-1).

Επομένως, η εργασία ισούται με:

Και An = f(a)x +f(x1)x+...+f(xn-1)x= ((b-a)/n)(f(a)+f(x1)+...+f( xn-1))

Η κατά προσέγγιση ισότητα γίνεται ακριβής για το n

A = lim [(b-a)/n] (f(a)+...+f(xn-1))= f(x)dx (εξ ορισμού)

Αφήστε ένα ελατήριο ακαμψίας C και μήκους l να συμπιεστεί κατά το ήμισυ του μήκους του. Προσδιορίστε το μέγεθος της δυναμικής ενέργειας Ep ίσο με το έργο A που εκτελείται από τη δύναμη -F (s) την ελαστικότητα του ελατηρίου όταν συμπιέζεται, τότε

Ep \u003d A \u003d - (-F (s)) dx

Είναι γνωστό από το μάθημα της μηχανικής ότι

Από εδώ βρίσκουμε

En \u003d - (-Cs) ds \u003d CS2 / 2 | = C/2 l2/4

Απάντηση: Cl2/8.

Τι δουλειά πρέπει να γίνει για να τεντώσει το ελατήριο κατά 4 cm, αν είναι γνωστό ότι από φορτίο 1 N τεντώνεται κατά 1 cm.

Σύμφωνα με το νόμο του Hooke, η δύναμη X N, που τεντώνει το ελατήριο κατά x, είναι ίση με

Βρίσκουμε τον συντελεστή αναλογικότητας k από την συνθήκη: αν x=0,01 m, τότε X=1 N, επομένως, k=1/0,01=100 και X=100x. Επειτα

Απάντηση: A=0,08 J

Με τη βοήθεια γερανού αφαιρείται αυλάκι από οπλισμένο σκυρόδεμα από τον πυθμένα του ποταμού βάθους 5 μ. Τι δουλειά θα γίνει αν το αυλάκι έχει σχήμα κανονικού τετραέδρου με ακμή 1 m; Η πυκνότητα του οπλισμένου σκυροδέματος είναι 2500 kg/m3, η πυκνότητα του νερού είναι 1000 kg/m3.

Ύψος τετραέδρου

όγκος ενός τετραέδρου

Το βάρος της γόμας στο νερό, λαμβάνοντας υπόψη τη δράση της Αρχιμήδειας δύναμης, είναι ίσο με

Τώρα ας βρούμε τη δουλειά Αϊ όταν βγάζουμε το γκαζόν από το νερό. Αφήστε την κορυφή του τετραέδρου να βγει σε ύψος 5+y, τότε ο όγκος του μικρού τετραέδρου που βγήκε από το νερό είναι ίσος και το βάρος του τετραέδρου είναι:

Συνεπώς,

Ως εκ τούτου A=A0+A1=7227,5 J + 2082,5 J = 9310 J = 9,31 kJ

Απάντηση: Α=9,31 (J).

Ποια δύναμη πίεσης δέχεται μια ορθογώνια πλάκα μήκους a και πλάτους b (a>b) εάν έχει κλίση στην οριζόντια επιφάνεια του υγρού υπό γωνία b και η μεγαλύτερη πλευρά της βρίσκεται σε βάθος h;

Κέντρο συντεταγμένων μάζας

Το κέντρο μάζας είναι το σημείο από το οποίο διέρχεται το προκύπτον βάρος για οποιαδήποτε χωρική διάταξη του σώματος.

Έστω η ομοιογενής πλάκα του υλικού o έχει σχήμα καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς (x; y |axb; 0yf(x)) και η συνάρτηση

είναι συνεχής στο , και το εμβαδόν αυτού του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι ίσο με S, τότε οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας της πλάκας o βρίσκονται από τους τύπους:

x0 = (1/S) x f(x) dx; y0 = (1/2S) f 2(x) dx;

Βρείτε το κέντρο μάζας ενός ομογενούς ημικυκλίου ακτίνας R.

Σχεδιάστε ένα ημικύκλιο στο σύστημα συντεταγμένων OXY.

y = (1/2S) (R2-x2)dx = (1/R2) (R2-x2)dx = (1/R2)(R2x-x3/3)|= 4R/3

Απάντηση: M(0; 4R/3).

Να βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου βάρους του σχήματος που οριοθετείται από το τόξο της έλλειψης x=acost, y=bsint, που βρίσκεται στο πρώτο τεταρτημόριο, και τους άξονες συντεταγμένων.

Στο πρώτο τρίμηνο, καθώς το x αυξάνεται από 0 σε a, το t μειώνεται από p/2 σε 0, άρα

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την περιοχή της έλλειψης S \u003d rab, παίρνουμε

Το μονοπάτι που διανύθηκε από ένα υλικό σημείο

Αν ένα υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα = (t) και σε χρόνο

T=t2-t1 (t2>t1)

πέρασε το μονοπάτι S, λοιπόν

Στη γεωμετρία

Ο όγκος είναι ένα ποσοτικό χαρακτηριστικό ενός χωρικού σώματος. Ως μονάδα όγκου λαμβάνεται ένας κύβος με ακμή 1mm (1dm, 1m κ.λπ.).

Ο αριθμός των κύβων μιας μονάδας όγκου που τοποθετούνται σε ένα δεδομένο σώμα είναι ο όγκος του σώματος.

Αξιώματα όγκου:

Ο όγκος είναι μια μη αρνητική τιμή.

Ο όγκος ενός σώματος είναι ίσος με το άθροισμα των όγκων των σωμάτων που το αποτελούν.

Ας βρούμε τον τύπο για τον υπολογισμό του όγκου:

επιλέξτε τον άξονα OX προς την κατεύθυνση της θέσης αυτού του σώματος.

προσδιορίστε τα όρια της θέσης του σώματος σε σχέση με το OX.

Ας εισαγάγουμε μια βοηθητική συνάρτηση S(x) που ορίζει την ακόλουθη αντιστοιχία: σε κάθε x από το τμήμα, βάζουμε σε αντιστοιχία την περιοχή τομής του δεδομένου σχήματος από το επίπεδο που διέρχεται από το δεδομένο σημείο x κάθετα στον άξονα OX.

ας χωρίσουμε το τμήμα σε n ίσα μέρη και ας σχεδιάσουμε ένα επίπεδο κάθετο στον άξονα OX σε κάθε σημείο της διαίρεσης, ενώ το σώμα μας θα χωριστεί σε μέρη. Σύμφωνα με το αξίωμα

V=V1+V2+...+Vn=lim(S(x1)x +S(x2)x+...+S(xn)x

και ο όγκος του τμήματος που περικλείεται μεταξύ δύο γειτονικών επιπέδων είναι ίσος με τον όγκο του κυλίνδρου Vc = SonH.

Έχουμε το άθροισμα των γινομένων των τιμών της συνάρτησης στα σημεία κατάτμησης από το βήμα κατάτμησης, δηλ. αναπόσπαστο ποσό. Με τον ορισμό ενός ορισμένου ολοκληρώματος, το όριο αυτού του αθροίσματος στο n ονομάζεται ολοκλήρωμα

όπου S(x) είναι το τμήμα του επιπέδου που διέρχεται από το επιλεγμένο σημείο κάθετο στον άξονα OX.

Για να βρείτε τον τόμο που χρειάζεστε:

• 1) Επιλέξτε τον άξονα OX με βολικό τρόπο.
• 2) Προσδιορίστε τα όρια της θέσης αυτού του σώματος σε σχέση με τον άξονα.
• 3) Κατασκευάστε μια τομή ενός δεδομένου σώματος με επίπεδο κάθετο στον άξονα ΟΧ και που διέρχεται από το αντίστοιχο σημείο.
• 4) Εκφράστε με όρους γνωστών μεγεθών μια συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν ενός δεδομένου τμήματος.
• 5) Κάντε ένα ολοκλήρωμα.
• 6) Έχοντας υπολογίσει το ολοκλήρωμα, βρείτε τον όγκο.

Βρείτε τον όγκο μιας τριαξονικής έλλειψης

Επίπεδες τομές ενός ελλειψοειδούς που είναι παράλληλες στο επίπεδο xOz και απέχουν από αυτό σε απόσταση y=h αντιπροσωπεύουν έλλειψη