Επέκταση Taylor 1 x. Επέκταση λειτουργιών σε σειρές ισχύος

Εάν η συνάρτηση f(x)έχει σε κάποιο διάστημα που περιέχει ένα σημείο ένα, παράγωγα όλων των εντολών, τότε ο τύπος Taylor μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτό:

που rn- ο αποκαλούμενος υπολειπόμενος όρος ή το υπόλοιπο της σειράς, μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο Lagrange:

, όπου ο αριθμός x περικλείεται μεταξύ Χκαι ένα.

Αν για κάποια αξία x r n®0 σε n®¥, τότε στο όριο ο τύπος Taylor για αυτήν την τιμή μετατρέπεται σε συγκλίνοντα τύπο Σειρά Taylor:

Η συνάρτηση λοιπόν f(x)μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Taylor στο εξεταζόμενο σημείο Χ, αν:

1) έχει παράγωγα όλων των παραγγελιών.

2) η κατασκευασμένη σειρά συγκλίνει σε αυτό το σημείο.

Στο ένα=0 παίρνουμε μια σειρά που ονομάζεται κοντά στο Maclaurin:

Παράδειγμα 1 f(x)= 2Χ.

Απόφαση. Ας βρούμε τις τιμές της συνάρτησης και των παραγώγων της στο Χ=0

f(x) = 2Χ, φά( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2Χ ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2ΧΣτο 2 2, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2= log 2 2;

f(n)(x) = 2Χ ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Αντικαθιστώντας τις λαμβανόμενες τιμές των παραγώγων στον τύπο της σειράς Taylor, παίρνουμε:

Η ακτίνα σύγκλισης αυτής της σειράς είναι ίση με το άπειρο, επομένως αυτή η επέκταση ισχύει για -¥<Χ<+¥.

Παράδειγμα 2 Χ+4) για τη συνάρτηση f(x)=μι Χ.

Απόφαση. Εύρεση των παραγώγων της συνάρτησης e Χκαι τις αξίες τους στο σημείο Χ=-4.

f(x)= ε Χ, φά(-4) = ε -4 ;

f¢(x)= ε Χ, f¢(-4) = ε -4 ;

f¢¢(x)= ε Χ, f¢¢(-4) = ε -4 ;

f(n)(x)= ε Χ, f(n)( -4) = ε -4 .

Επομένως, η επιθυμητή σειρά Taylor της συνάρτησης έχει τη μορφή:

Αυτή η αποσύνθεση ισχύει επίσης για -¥<Χ<+¥.

Παράδειγμα 3 . Λειτουργία επέκτασης f(x)=ln Χσε μια σειρά με βαθμούς ( Χ- 1),

(δηλαδή σε μια σειρά Taylor κοντά στο σημείο Χ=1).

Απόφαση. Βρίσκουμε τις παραγώγους αυτής της συνάρτησης.

Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο, λαμβάνουμε την επιθυμητή σειρά Taylor:

Με τη βοήθεια του τεστ του d'Alembert, μπορεί κανείς να επαληθεύσει ότι η σειρά συγκλίνει όταν

½ Χ- 1½<1. Действительно,

Η σειρά συγκλίνει εάν ½ Χ- 1½<1, т.е. при 0<Χ<2. При Χ=2 λαμβάνουμε μια εναλλασσόμενη σειρά που ικανοποιεί τις συνθήκες του τεστ Leibniz. Στο ΧΗ συνάρτηση =0 δεν έχει οριστεί. Έτσι, η περιοχή σύγκλισης της σειράς Taylor είναι το μισάνοιχτο διάστημα (0;2].

Ας παρουσιάσουμε τις επεκτάσεις που λαμβάνονται με αυτόν τον τρόπο στη σειρά Maclaurin (δηλαδή σε μια γειτονιά του σημείου Χ=0) για ορισμένες στοιχειώδεις συναρτήσεις:

(2) ,

(3) ,

(η τελευταία επέκταση ονομάζεται διωνυμική σειρά)

Παράδειγμα 4 . Επεκτείνετε τη λειτουργία σε μια σειρά ισχύος

Απόφαση. Στην αποσύνθεση (1), αντικαθιστούμε Χεπί - Χ 2, παίρνουμε:

Παράδειγμα 5 . Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Maclaurin

Απόφαση. Εχουμε

Χρησιμοποιώντας τον τύπο (4), μπορούμε να γράψουμε:

αντικαθιστώντας αντί για Χστον τύπο -Χ, παίρνουμε:

Από εδώ βρίσκουμε:

Επεκτείνοντας τις αγκύλες, αναδιατάσσοντας τους όρους της σειράς και κάνοντας μείωση παρόμοιων όρων, παίρνουμε

Αυτή η σειρά συγκλίνει στο διάστημα

(-1;1) αφού προέρχεται από δύο σειρές, καθεμία από τις οποίες συγκλίνει σε αυτό το διάστημα.

Σχόλιο .

Οι τύποι (1)-(5) μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για την επέκταση των αντίστοιχων συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor, π.χ. για την επέκταση των συναρτήσεων σε θετικές ακέραιες δυνάμεις ( Χα). Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν τέτοιοι πανομοιότυποι μετασχηματισμοί σε μια δεδομένη συνάρτηση προκειμένου να ληφθεί μία από τις συναρτήσεις (1) - (5), στην οποία αντί για Χκοστίζει k( Χα) m , όπου k είναι σταθερός αριθμός, m είναι θετικός ακέραιος. Συχνά είναι βολικό να αλλάξετε τη μεταβλητή t=Χακαι επεκτείνετε τη συνάρτηση που προκύπτει ως προς το t στη σειρά Maclaurin.

Αυτή η μέθοδος επεξηγεί το θεώρημα για τη μοναδικότητα της επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος. Η ουσία αυτού του θεωρήματος είναι ότι στην περιοχή του ίδιου σημείου, δεν μπορούν να ληφθούν δύο διαφορετικές σειρές ισχύος που θα συγκλίνουν στην ίδια συνάρτηση, ανεξάρτητα από το πώς εκτελείται η επέκτασή της.

Παράδειγμα 6 . Αναπτύξτε τη συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σε μια γειτονιά ενός σημείου Χ=3.

Απόφαση. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί, όπως και πριν, χρησιμοποιώντας τον ορισμό της σειράς Taylor, για την οποία είναι απαραίτητο να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων και οι τιμές τους στο Χ=3. Ωστόσο, θα είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσετε την υπάρχουσα αποσύνθεση (5):

Η σειρά που προκύπτει συγκλίνει στο ή -3<Χ- 3<3, 0<Χ< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Παράδειγμα 7 . Γράψτε μια σειρά Taylor σε δυνάμεις ( Χ-1) χαρακτηριστικά .

Απόφαση.

Η σειρά συγκλίνει στο , ή 2< Χ£5.

Αποσύνθεση μιας συνάρτησης σε μια σειρά από Taylor, Maclaurin και Laurent στον ιστότοπο για εκπαίδευση πρακτικών δεξιοτήτων. Αυτή η επέκταση σειράς μιας συνάρτησης δίνει στους μαθηματικούς μια ιδέα για την εκτίμηση της κατά προσέγγιση τιμής μιας συνάρτησης σε κάποιο σημείο στον τομέα ορισμού της. Είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστεί μια τέτοια τιμή συνάρτησης, σε σύγκριση με τη χρήση του πίνακα Bredis, ο οποίος είναι τόσο ξεπερασμένος στην εποχή των υπολογιστών. Για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σημαίνει να υπολογίσετε τους συντελεστές μπροστά από τις γραμμικές συναρτήσεις αυτής της σειράς και να τις γράψετε στη σωστή μορφή. Οι μαθητές μπερδεύουν αυτές τις δύο σειρές, μη κατανοώντας τι είναι γενική περίπτωση και τι ειδική περίπτωση της δεύτερης. Θυμίζουμε μια για πάντα, η σειρά Maclaurin είναι μια ειδική περίπτωση της σειράς Taylor, είναι δηλαδή η σειρά Taylor, αλλά στο σημείο x = 0. Όλες οι σύντομες εγγραφές της επέκτασης γνωστών συναρτήσεων, όπως π.χ. ^x, Sin(x), Cos(x) και άλλα, αυτά είναι επεκτάσεις σε μια σειρά Taylor, αλλά στο σημείο 0 για το όρισμα. Για συναρτήσεις ενός σύνθετου ορίσματος, η σειρά Laurent είναι το πιο κοινό πρόβλημα στο TFKT, καθώς αντιπροσωπεύει μια άπειρη σειρά δύο όψεων. Είναι το άθροισμα δύο σειρών. Σας προτείνουμε να δείτε ένα παράδειγμα αποσύνθεσης απευθείας στον ιστότοπο, είναι πολύ εύκολο να το κάνετε κάνοντας κλικ στο "Παράδειγμα" με οποιοδήποτε αριθμό και μετά στο κουμπί "Λύση". Σε αυτήν την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά συνδέεται η μείζονα σειρά, η οποία περιορίζει την αρχική συνάρτηση σε μια συγκεκριμένη περιοχή κατά μήκος του άξονα τεταγμένων, εάν η μεταβλητή ανήκει στην περιοχή της τετμημένης. Η διανυσματική ανάλυση έρχεται σε σύγκριση με έναν άλλο ενδιαφέρον κλάδο των μαθηματικών. Δεδομένου ότι κάθε όρος πρέπει να διερευνηθεί, απαιτείται πολύς χρόνος για τη διαδικασία. Οποιαδήποτε σειρά Taylor μπορεί να συσχετιστεί με μια σειρά Maclaurin αντικαθιστώντας το x0 με μηδέν, αλλά για τη σειρά Maclaurin, η αντίστροφη αναπαράσταση της σειράς Taylor μερικές φορές δεν είναι προφανής. Ανεξάρτητα από το πώς δεν απαιτείται να γίνει στην καθαρή του μορφή, είναι ενδιαφέρον για τη γενική αυτο-ανάπτυξη. Κάθε σειρά Laurent αντιστοιχεί σε μια διπλής όψης άπειρη σειρά ισχύος σε ακέραιες δυνάμεις z-a, με άλλα λόγια, μια σειρά του ίδιου τύπου Taylor, αλλά ελαφρώς διαφορετική στον υπολογισμό των συντελεστών. Για την περιοχή σύγκλισης της σειράς Laurent θα μιλήσουμε λίγο αργότερα, μετά από αρκετούς θεωρητικούς υπολογισμούς. Όπως και τον περασμένο αιώνα, μια σταδιακή επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά δύσκολα μπορεί να επιτευχθεί μόνο με την αναγωγή των όρων σε έναν κοινό παρονομαστή, καθώς οι συναρτήσεις στους παρονομαστές είναι μη γραμμικές. Ο κατά προσέγγιση υπολογισμός της συναρτησιακής τιμής απαιτεί τη διατύπωση προβλημάτων. Σκεφτείτε το γεγονός ότι όταν το όρισμα της σειράς Taylor είναι μια γραμμική μεταβλητή, τότε η επέκταση λαμβάνει χώρα σε πολλά βήματα, αλλά μια εντελώς διαφορετική εικόνα, όταν μια σύνθετη ή μη γραμμική συνάρτηση λειτουργεί ως όρισμα της διευρυμένης συνάρτησης, τότε η διαδικασία αναπαράστασης μιας τέτοιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος είναι προφανής, επειδή, με τέτοιο τρόπο Έτσι, είναι εύκολο να υπολογιστεί, αν και κατά προσέγγιση, η τιμή σε οποιοδήποτε σημείο του τομέα ορισμού, με ένα ελάχιστο σφάλμα που έχει ελάχιστο επίδραση σε περαιτέρω υπολογισμούς. Αυτό ισχύει και για τη σειρά Maclaurin. όταν είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η συνάρτηση στο σημείο μηδέν. Ωστόσο, η ίδια η σειρά Laurent αντιπροσωπεύεται εδώ από μια επίπεδη επέκταση με φανταστικές μονάδες. Επίσης, όχι χωρίς επιτυχία θα είναι η σωστή λύση του προβλήματος στην πορεία της συνολικής διαδικασίας. Στα μαθηματικά, αυτή η προσέγγιση δεν είναι γνωστή, αλλά αντικειμενικά υπάρχει. Ως αποτέλεσμα, μπορείτε να καταλήξετε στο συμπέρασμα των λεγόμενων σημειακών υποσυνόλων και στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά, πρέπει να εφαρμόσετε μεθόδους γνωστές για αυτήν τη διαδικασία, όπως η εφαρμογή της θεωρίας των παραγώγων. Για άλλη μια φορά είμαστε πεπεισμένοι για την ορθότητα του καθηγητή, ο οποίος έκανε τις υποθέσεις του σχετικά με τα αποτελέσματα των μετα-υπολογιστικών υπολογισμών. Ας σημειώσουμε ότι η σειρά Taylor, που λαμβάνεται σύμφωνα με όλους τους κανόνες των μαθηματικών, υπάρχει και ορίζεται σε ολόκληρο τον αριθμητικό άξονα, ωστόσο, αγαπητοί χρήστες της υπηρεσίας ιστότοπου, μην ξεχνάτε τη μορφή της αρχικής συνάρτησης, γιατί μπορεί να αποδειχθεί ότι αρχικά είναι απαραίτητο να ορίσουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης, δηλαδή να γράψουμε και να εξαιρέσουμε από περαιτέρω σκέψεις εκείνα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση δεν ορίζεται στο πεδίο των πραγματικών αριθμών. Έτσι για να το πούμε, αυτό θα δείξει την ταχύτητά σας στην επίλυση του προβλήματος. Η κατασκευή της σειράς Maclaurin με μηδενική τιμή του επιχειρήματος δεν θα αποτελέσει εξαίρεση σε όσα ειπώθηκαν. Ταυτόχρονα, κανείς δεν ακύρωσε τη διαδικασία εύρεσης του πεδίου ορισμού μιας συνάρτησης και πρέπει να προσεγγίσετε αυτήν τη μαθηματική ενέργεια με κάθε σοβαρότητα. Εάν η σειρά Laurent περιέχει το κύριο μέρος, η παράμετρος "a" θα ονομάζεται απομονωμένο μοναδικό σημείο και η σειρά Laurent θα επεκταθεί στον δακτύλιο - αυτή είναι η τομή των περιοχών σύγκλισης των μερών της, από την οποία η αντίστοιχη θα ακολουθήσει θεώρημα. Αλλά δεν είναι όλα τόσο δύσκολα όσο μπορεί να φαίνονται με την πρώτη ματιά σε έναν άπειρο μαθητή. Έχοντας μελετήσει μόνο τη σειρά Taylor, μπορεί κανείς να καταλάβει εύκολα τη σειρά Laurent - μια γενικευμένη περίπτωση για την επέκταση του χώρου των αριθμών. Οποιαδήποτε επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά μπορεί να γίνει μόνο σε ένα σημείο στον τομέα της συνάρτησης. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη οι ιδιότητες τέτοιων συναρτήσεων, για παράδειγμα, η περιοδικότητα ή η άπειρη διαφοροποίηση. Προτείνουμε επίσης να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα των έτοιμων επεκτάσεων στη σειρά στοιχειωδών συναρτήσεων Taylor, καθώς μια συνάρτηση μπορεί να αναπαρασταθεί με έως και δεκάδες διαφορετικές σειρές ισχύος, κάτι που φαίνεται από τη χρήση της ηλεκτρονικής αριθμομηχανής μας. Η διαδικτυακή σειρά του Maclaurin είναι ευκολότερο από ποτέ να προσδιορίσει εάν χρησιμοποιείτε τη μοναδική υπηρεσία τοποθεσίας, απλά πρέπει να εισαγάγετε τη σωστή γραπτή λειτουργία και θα λάβετε την παρουσιαζόμενη απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, θα είναι εγγυημένη ακριβής και σε τυπική γραπτή μορφή . Μπορείτε να ξαναγράψετε το αποτέλεσμα αμέσως σε καθαρό αντίγραφο για παράδοση στον δάσκαλο. Θα ήταν σωστό να προσδιορίσουμε πρώτα την αναλυτικότητα της υπό εξέταση συνάρτησης στους δακτυλίους και στη συνέχεια να δηλώνουμε ξεκάθαρα ότι μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Laurent σε όλους αυτούς τους δακτυλίους. Μια σημαντική στιγμή είναι να μην χάσετε τα μέλη της σειράς Laurent που περιέχουν αρνητικούς βαθμούς. Εστιάστε σε αυτό όσο το δυνατόν περισσότερο. Χρησιμοποιήστε σωστά το θεώρημα του Laurent για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά σε ακέραιες δυνάμεις.

"Βρείτε την επέκταση Maclaurin του f(x)"- έτσι ακριβώς ακούγεται η εργασία στα ανώτερα μαθηματικά, την οποία ορισμένοι μαθητές μπορούν να κάνουν, ενώ άλλοι δεν μπορούν να αντιμετωπίσουν παραδείγματα. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι επέκτασης μιας σειράς σε ισχύ, εδώ θα δώσουμε μια μέθοδο επέκτασης συναρτήσεων σε μια σειρά Maclaurin. Όταν αναπτύσσετε μια συνάρτηση σε μια σειρά, πρέπει να είστε καλοί στον υπολογισμό των παραγώγων.

Παράδειγμα 4.7 Αναπτύξτε μια συνάρτηση σε μια σειρά σε δυνάμεις x

Υπολογισμοί: Εκτελούμε την επέκταση της συνάρτησης σύμφωνα με τον τύπο Maclaurin. Αρχικά, επεκτείνουμε τον παρονομαστή της συνάρτησης σε μια σειρά

Τέλος, πολλαπλασιάζουμε την επέκταση με τον αριθμητή.
Ο πρώτος όρος είναι η τιμή της συνάρτησης στο μηδέν f (0) = 1/3.
Να βρείτε τις παραγώγους της πρώτης και ανώτερης τάξης συναρτήσεις f (x) και την τιμή αυτών των παραγώγων στο σημείο x=0

Περαιτέρω, με το μοτίβο αλλαγής της τιμής των παραγώγων σε 0, γράφουμε τον τύπο για την n-η παράγωγο

Έτσι, αντιπροσωπεύουμε τον παρονομαστή ως επέκταση στη σειρά Maclaurin

Πολλαπλασιάζουμε με τον αριθμητή και παίρνουμε την επιθυμητή επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά σε δυνάμεις x

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο εδώ.
Όλα τα βασικά σημεία βασίζονται στην ικανότητα υπολογισμού παραγώγων και γρήγορης γενίκευσης της τιμής του παραγώγου υψηλότερων τάξεων στο μηδέν. Τα ακόλουθα παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να μάθετε πώς να επεκτείνετε γρήγορα μια συνάρτηση σε μια σειρά.

Παράδειγμα 4.10 Βρείτε την επέκταση Maclaurin μιας συνάρτησης

Υπολογισμοί: Όπως ίσως έχετε μαντέψει, θα επεκτείνουμε το συνημίτονο στον αριθμητή σε μια σειρά. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τύπους για απειροελάχιστες τιμές ή μπορείτε να εξαγάγετε την επέκταση συνημιτόνου σε όρους παραγώγων. Ως αποτέλεσμα, φτάνουμε στην επόμενη σειρά σε δυνάμεις x

Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε ελάχιστους υπολογισμούς και μια συμπαγή αναπαράσταση της επέκτασης της σειράς.

Παράδειγμα 4.16 Αναπτύξτε μια συνάρτηση σε μια σειρά σε δυνάμεις x:
7/(12-x-x^2)
Υπολογισμοί: Σε αυτού του είδους τα παραδείγματα, είναι απαραίτητο να επεκτείνουμε το κλάσμα μέσω του αθροίσματος απλών κλασμάτων.
Πώς να το κάνουμε αυτό, δεν θα δείξουμε τώρα, αλλά με τη βοήθεια αόριστων συντελεστών θα φτάσουμε στο άθροισμα των κλασμάτων ex.
Στη συνέχεια, γράφουμε τους παρονομαστές σε εκθετική μορφή

Απομένει να επεκταθούν οι όροι χρησιμοποιώντας τον τύπο Maclaurin. Συνοψίζοντας τους όρους με τις ίδιες δυνάμεις του "x", συνθέτουμε τον τύπο για τον γενικό όρο της επέκτασης της συνάρτησης σε μια σειρά

Το τελευταίο μέρος της μετάβασης στη σειρά στην αρχή είναι δύσκολο να εφαρμοστεί, καθώς είναι δύσκολο να συνδυαστούν οι τύποι για ζευγαρωμένους και μη ζευγαρωμένους δείκτες (δυνάμεις), αλλά με εξάσκηση θα γίνετε καλύτεροι σε αυτό.

Παράδειγμα 4.18 Βρείτε την επέκταση Maclaurin μιας συνάρτησης

Υπολογισμοί: Βρείτε την παράγωγο αυτής της συνάρτησης:

Επεκτείνουμε τη συνάρτηση σε μια σειρά χρησιμοποιώντας έναν από τους τύπους McLaren:

Συνοψίζουμε τη σειρά κατά όρο με βάση ότι και οι δύο συμπίπτουν απολύτως. Ενσωματώνοντας ολόκληρη τη σειρά όρο προς όρο, λαμβάνουμε την επέκταση της συνάρτησης σε μια σειρά σε δυνάμεις x

Ανάμεσα στις δύο τελευταίες γραμμές αποσύνθεσης υπάρχει μια μετάβαση που στην αρχή θα σας πάρει πολύ χρόνο. Η γενίκευση μιας φόρμουλας σειράς δεν είναι εύκολη για όλους, επομένως μην ανησυχείτε μήπως δεν μπορείτε να αποκτήσετε μια ωραία και συμπαγή φόρμουλα.

Παράδειγμα 4.28 Βρείτε την επέκταση Maclaurin της συνάρτησης:

Γράφουμε τον λογάριθμο ως εξής

Χρησιμοποιώντας τον τύπο Maclaurin, επεκτείνουμε τον λογάριθμο της συνάρτησης σε μια σειρά σε δυνάμεις x

Το τελικό δίπλωμα είναι με την πρώτη ματιά περίπλοκο, αλλά όταν εναλλάσσετε χαρακτήρες, θα έχετε πάντα κάτι παρόμοιο. Ολοκληρώθηκε το εισαγωγικό μάθημα με θέμα τον προγραμματισμό συναρτήσεων στη σειρά. Άλλα όχι λιγότερο ενδιαφέροντα σχήματα αποσύνθεσης θα συζητηθούν λεπτομερώς στα ακόλουθα υλικά.

Στη θεωρία των συναρτησιακών σειρών, η ενότητα που είναι αφιερωμένη στην επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά κατέχει κεντρική θέση.

Έτσι, τίθεται το πρόβλημα: για μια δεδομένη συνάρτηση απαιτείται να βρεθεί μια τέτοια σειρά ισχύος

που συνέκλινε σε κάποιο διάστημα και το άθροισμά του ήταν ίσο με
, εκείνοι.

= ..

Αυτή η εργασία ονομάζεται το πρόβλημα της επέκτασης μιας συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος.

Απαραίτητη προϋπόθεση για την επέκταση μιας συνάρτησης σε σειρά ισχύοςείναι η διαφορικότητά του άπειρες φορές - αυτό προκύπτει από τις ιδιότητες της συγκλίνουσας σειράς ισχύος. Αυτή η συνθήκη ικανοποιείται, κατά κανόνα, για στοιχειώδεις συναρτήσεις στον τομέα ορισμού τους.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η συνάρτηση
έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης. Μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος, εάν ναι, πώς να βρείτε αυτήν τη σειρά; Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι πιο εύκολο να λυθεί, οπότε ας ξεκινήσουμε με αυτό.

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση
μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα μιας σειράς ισχύος που συγκλίνει σε ένα διάστημα που περιέχει ένα σημείο Χ 0 :

= .. (*)

που ένα 0 ,ένα 1 ,ένα 2 ,...,ένα Π ,... – αβέβαιοι (ακόμα) συντελεστές.

Ας βάλουμε στην ισότητα (*) την τιμή x = x 0 , τότε παίρνουμε

Διαφοροποιούμε τη σειρά ισχύος (*) όρο προς όρο

= ..

και βάζοντας εδώ x = x 0 , παίρνουμε

Με την επόμενη διαφοροποίηση, παίρνουμε τη σειρά

= ..

υποθέτοντας x = x 0 , παίρνουμε
, που
.

Μετά Π-διπλάσια διαφοροποίηση παίρνουμε

Υποθέτοντας στην τελευταία ισότητα x = x 0 , παίρνουμε
, που

Βρίσκονται λοιπόν οι συντελεστές

,
,
, …,
,….,

αντικαθιστώντας το σε μια σειρά (*), παίρνουμε

Η σειρά που προκύπτει ονομάζεται κοντά στον Τέιλορ για λειτουργία
.

Έτσι, το έχουμε διαπιστώσει εάν η συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά ισχύος σε ισχύ (x - x 0 ), τότε αυτή η επέκταση είναι μοναδική και η σειρά που προκύπτει είναι απαραίτητα μια σειρά Taylor.

Σημειώστε ότι η σειρά Taylor μπορεί να ληφθεί για οποιαδήποτε συνάρτηση έχει παράγωγα οποιασδήποτε τάξης στο σημείο x = x 0 . Αλλά αυτό δεν σημαίνει ακόμη ότι μπορεί να τεθεί ένα σύμβολο ίσου μεταξύ της συνάρτησης και της σειράς που προκύπτει, δηλ. ότι το άθροισμα της σειράς είναι ίσο με την αρχική συνάρτηση. Πρώτον, μια τέτοια ισότητα μπορεί να έχει νόημα μόνο στην περιοχή σύγκλισης και η σειρά Taylor που λαμβάνεται για τη συνάρτηση μπορεί να αποκλίνει, και δεύτερον, εάν η σειρά Taylor συγκλίνει, τότε το άθροισμά της μπορεί να μην συμπίπτει με την αρχική συνάρτηση.

3.2. Επαρκείς συνθήκες για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor

Ας διατυπώσουμε μια δήλωση με τη βοήθεια της οποίας θα λυθεί το αναφερόμενο πρόβλημα.

Εάν η συνάρτηση
σε κάποια γειτονιά του σημείου x 0 έχει παράγωγα μέχρι (n+ 1)-η τάξη συμπεριλαμβανομένου, τότε σε αυτή τη γειτονιά έχουμετύπος Τέιλορ

πουR n (Χ)- υπολειπόμενος όρος του τύπου Taylor - έχει τη μορφή (μορφή Lagrange)

που τελείαξ βρίσκεται μεταξύ x και x 0 .

Σημειώστε ότι υπάρχει διαφορά μεταξύ της σειράς Taylor και του τύπου Taylor: ο τύπος Taylor είναι ένα πεπερασμένο άθροισμα, δηλ. Π -σταθερό αριθμό.

Θυμηθείτε ότι το άθροισμα της σειράς μικρό(Χ) μπορεί να οριστεί ως το όριο της συναρτησιακής ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων μικρό Π (Χ) σε κάποιο διάστημα Χ:

Σύμφωνα με αυτό, για να επεκτείνετε μια συνάρτηση σε μια σειρά Taylor σημαίνει να βρείτε μια σειρά τέτοια ώστε για οποιαδήποτε ΧΧ

Γράφουμε τον τύπο Taylor με τη μορφή όπου

σημειώσε ότι
ορίζει το σφάλμα που λαμβάνουμε, αντικαταστήστε τη συνάρτηση φά(Χ) πολυώνυμος μικρό n (Χ).

Αν
, έπειτα
,εκείνοι. η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor. Αντίθετα, εάν
, έπειτα
.

Έτσι, έχουμε αποδείξει κριτήριο για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

Για να σε κάποιο διάστημα η συνάρτησηφά(x) επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor, είναι απαραίτητο και επαρκές ότι σε αυτό το διάστημα
, πουR n (Χ) είναι το υπόλοιπο της σειράς Taylor.

Με τη βοήθεια του διατυπωμένου κριτηρίου, μπορεί κανείς να αποκτήσει επαρκήςπροϋποθέσεις για την επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor.

Αν μέσακάποια γειτονιά του σημείου x 0 οι απόλυτες τιμές όλων των παραγώγων μιας συνάρτησης περιορίζονται από τον ίδιο αριθμό M≥ 0, δηλ.

, to σε αυτή τη γειτονιά, η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά Taylor.

Από τα παραπάνω προκύπτει αλγόριθμοςεπέκταση λειτουργίας φά(Χ) σε μια σειρά Taylorστην περιοχή του σημείου Χ 0 :

1. Εύρεση παραγώγων συναρτήσεων φά(Χ):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (Χ),…

2. Υπολογίζουμε την τιμή της συνάρτησης και τις τιμές των παραγώγων της στο σημείο Χ 0

f(x 0 ), στ'(χ 0 ), f”(x 0 ), στ» (χ 0 ), στ (n) (Χ 0 ),…

3. Γράφουμε τυπικά τη σειρά Taylor και βρίσκουμε την περιοχή σύγκλισης της σειράς ισχύος που προκύπτει.

4. Ελέγχουμε την εκπλήρωση επαρκών προϋποθέσεων, π.χ. καθιερώστε για το οποίο Χαπό την περιοχή σύγκλισης, υπόλοιπος όρος R n (Χ) τείνει στο μηδέν στο
ή
.

Η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά Taylor σύμφωνα με αυτόν τον αλγόριθμο ονομάζεται επέκταση μιας συνάρτησης σε μια σειρά Taylor εξ ορισμούή άμεση αποσύνθεση.

16.1. Επέκταση στοιχειωδών συναρτήσεων στη σειρά Taylor και

Maclaurin

Ας δείξουμε ότι εάν οριστεί μια αυθαίρετη συνάρτηση στο σύνολο
, στην περιοχή του σημείου
έχει πολλές παραγώγους και είναι το άθροισμα μιας σειράς ισχύος:

τότε μπορείτε να βρείτε τους συντελεστές αυτής της σειράς.

Αντικατάσταση σε σειρά ισχύος
. Επειτα
.

Βρείτε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης
:

Στο
:
.

Για τη δεύτερη παράγωγο παίρνουμε:

Στο
:
.

Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία nμόλις πάρουμε:
.

Έτσι, πήραμε μια σειρά ισχύος της μορφής:

η οποία ονομάζεται κοντά στον Τέιλοργια λειτουργία
γύρω από το σημείο
.

Μια ιδιαίτερη περίπτωση της σειράς Taylor είναι Σειρά Maclaurinστο
:

Το υπόλοιπο της σειράς Taylor (Maclaurin) λαμβάνεται με την απόρριψη της κύριας σειράς nτους πρώτους όρους και συμβολίζεται ως
. Στη συνέχεια η συνάρτηση
μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα nτα πρώτα μέλη της σειράς
και το υπόλοιπο
:,

Τα υπόλοιπα είναι συνήθως
εκφράζεται σε διαφορετικούς τύπους.

Ένα από αυτά είναι στη μορφή Lagrange:

, που
.
.

Σημειώστε ότι στην πράξη η σειρά Maclaurin χρησιμοποιείται πιο συχνά. Έτσι, για να γραφτεί η συνάρτηση
με τη μορφή αθροίσματος μιας σειράς ισχύος, είναι απαραίτητο:

1) βρείτε τους συντελεστές της σειράς Maclaurin (Taylor).

2) βρείτε την περιοχή σύγκλισης της προκύπτουσας σειράς ισχύος.

3) να αποδείξετε ότι η δεδομένη σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση
.

Θεώρημα1 (απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη σύγκλιση της σειράς Maclaurin). Αφήστε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς
. Για να συγκλίνει αυτή η σειρά στο διάστημα
για να λειτουργήσει
, είναι απαραίτητο και επαρκές να πληρούται η ακόλουθη προϋπόθεση:
εντός του καθορισμένου χρονικού διαστήματος.

Θεώρημα 2.Αν παράγωγοι οποιασδήποτε τάξης συνάρτησης
σε κάποιο διάστημα
περιορισμένη σε απόλυτη τιμή στον ίδιο αριθμό Μ, αυτό είναι
, τότε σε αυτό το διάστημα η συνάρτηση
μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Maclaurin.

Παράδειγμα1 . Επέκταση σε μια σειρά Taylor γύρω από το σημείο
λειτουργία.

Απόφαση.

,
;

.......................................................................................................................................

,
;

Περιοχή σύγκλισης
.

Παράδειγμα2 . Λειτουργία επέκτασης σε μια σειρά Taylor γύρω από ένα σημείο
.

Απόφαση:

Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της στο
.

,
;

...........……………………………

,
.

Αντικαταστήστε αυτές τις τιμές στη σειρά. Παίρνουμε:

ή
.

Ας βρούμε την περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς. Σύμφωνα με το τεστ d'Alembert, η σειρά συγκλίνει αν

Επομένως, για οποιαδήποτε αυτό το όριο είναι μικρότερο από 1 και επομένως η περιοχή σύγκλισης της σειράς θα είναι:
.

Ας εξετάσουμε αρκετά παραδείγματα της επέκτασης στη σειρά βασικών στοιχειωδών συναρτήσεων στη σειρά Maclaurin. Θυμηθείτε ότι η σειρά Maclaurin:

συγκλίνει στο διάστημα
για να λειτουργήσει
.

Σημειώστε ότι για να επεκτείνετε τη συνάρτηση σε μια σειρά, είναι απαραίτητο:

α) βρείτε τους συντελεστές της σειράς Maclaurin για μια δεδομένη συνάρτηση.

β) να υπολογίσετε την ακτίνα σύγκλισης για την προκύπτουσα σειρά.

γ) να αποδείξετε ότι η σειρά που προκύπτει συγκλίνει στη συνάρτηση
.

Παράδειγμα 3Εξετάστε τη συνάρτηση
.

Απόφαση.

Ας υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της για
.

Τότε οι αριθμητικοί συντελεστές της σειράς έχουν τη μορφή:

Για οποιονδηποτε n.Αντικαθιστούμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στη σειρά Maclaurin και παίρνουμε:

Βρείτε την ακτίνα σύγκλισης της σειράς που προκύπτει, δηλαδή:

Επομένως, η σειρά συγκλίνει στο διάστημα
.

Αυτή η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση για οποιεσδήποτε αξίες , γιατί σε οποιοδήποτε διάστημα
λειτουργία και οι παράγωγοι απόλυτης αξίας του περιορίζονται από τον αριθμό .

Παράδειγμα4 . Εξετάστε τη συνάρτηση
.

Απόφαση.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι παράγωγα άρτιας τάξης
, και παράγωγα περιττής τάξης. Αντικαθιστούμε τους συντελεστές που βρέθηκαν στη σειρά Maclaurin και παίρνουμε την επέκταση:

Ας βρούμε το διάστημα σύγκλισης αυτής της σειράς. Σύμφωνα με τον d'Alembert:

Για οποιονδηποτε . Επομένως, η σειρά συγκλίνει στο διάστημα
.

Αυτή η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση
, γιατί όλα τα παράγωγά του περιορίζονται σε ένα.

Παράδειγμα5 .
.

Απόφαση.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της στο
:

Έτσι, οι συντελεστές αυτής της σειράς:
και
, Συνεπώς:

Ομοίως με την προηγούμενη σειρά, η περιοχή σύγκλισης
. Η σειρά συγκλίνει στη συνάρτηση
, γιατί όλα τα παράγωγά του περιορίζονται σε ένα.

Σημειώστε ότι η συνάρτηση
περιττές και σειρές επέκταση σε περιττές δυνάμεις, συνάρτηση
– άρτια και επέκταση σε σειρά σε ζυγές δυνάμεις.

Παράδειγμα6 . Διωνυμική σειρά:
.

Απόφαση.

Ας βρούμε την τιμή της συνάρτησης και των παραγώγων της στο
:

Αυτό δείχνει ότι:

Αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές των συντελεστών στη σειρά Maclaurin και λαμβάνουμε την επέκταση αυτής της συνάρτησης σε μια σειρά ισχύος:

Ας βρούμε την ακτίνα σύγκλισης αυτής της σειράς:

Επομένως, η σειρά συγκλίνει στο διάστημα
. Στα οριακά σημεία στο
και
Οι σειρές μπορεί να συγκλίνουν ή όχι ανάλογα με τον εκθέτη
.

Η υπό μελέτη σειρά συγκλίνει στο διάστημα
για να λειτουργήσει
, δηλαδή το άθροισμα της σειράς
στο
.

Παράδειγμα7 . Ας επεκτείνουμε τη λειτουργία σε μια σειρά Maclaurin
.

Απόφαση.

Για να επεκτείνουμε αυτή τη συνάρτηση σε μια σειρά, χρησιμοποιούμε τη διωνυμική σειρά για
. Παίρνουμε:

Με βάση την ιδιότητα της σειράς ισχύος (μια σειρά ισχύος μπορεί να ενσωματωθεί στην περιοχή της σύγκλισής της), βρίσκουμε το ολοκλήρωμα του αριστερού και του δεξιού μέρους αυτής της σειράς:

Βρείτε την περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς:
,

δηλαδή η περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς είναι το διάστημα
. Ας προσδιορίσουμε τη σύγκλιση της σειράς στα άκρα του διαστήματος. Στο

. Αυτή η σειρά είναι μια αρμονική σειρά, δηλαδή αποκλίνει. Στο
παίρνουμε μια σειρά αριθμών με έναν κοινό όρο
.

Η σειρά Leibniz συγκλίνει. Έτσι, η περιοχή σύγκλισης αυτής της σειράς είναι το διάστημα
.

16.2. Εφαρμογή σειρών ισχύος δυνάμεων σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς

Οι σειρές ισχύος παίζουν εξαιρετικά σημαντικό ρόλο στους κατά προσέγγιση υπολογισμούς. Με τη βοήθειά τους, συντάχθηκαν πίνακες τριγωνομετρικών συναρτήσεων, πίνακες λογαρίθμων, πίνακες τιμών άλλων συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται σε διάφορους γνωστικούς τομείς, για παράδειγμα, στη θεωρία πιθανοτήτων και στη μαθηματική στατιστική. Επιπλέον, η επέκταση των συναρτήσεων σε μια σειρά ισχύος είναι χρήσιμη για τη θεωρητική μελέτη τους. Το κύριο ζήτημα κατά τη χρήση σειρών ισχύος σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς είναι το ζήτημα της εκτίμησης του σφάλματος κατά την αντικατάσταση του αθροίσματος μιας σειράς από το άθροισμα της πρώτης nμέλη.

Εξετάστε δύο περιπτώσεις:

η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια εναλλασσόμενη σειρά.

η συνάρτηση επεκτείνεται σε μια σειρά σταθερού προσήμου.

Υπολογισμός με χρήση εναλλασσόμενων σειρών

Αφήστε τη λειτουργία
επεκτάθηκε σε σειρά εναλλασσόμενης ισχύος. Στη συνέχεια, κατά τον υπολογισμό αυτής της συνάρτησης για μια συγκεκριμένη τιμή παίρνουμε μια σειρά αριθμών στην οποία μπορούμε να εφαρμόσουμε το τεστ Leibniz. Σύμφωνα με αυτό το κριτήριο, εάν το άθροισμα μιας σειράς αντικατασταθεί από το άθροισμα της πρώτης της nμέλη, τότε το απόλυτο σφάλμα δεν υπερβαίνει τον πρώτο όρο του υπολοίπου αυτής της σειράς, δηλαδή:
.

Παράδειγμα8 . Υπολογίζω
με ακρίβεια 0,0001.

Απόφαση.

Θα χρησιμοποιήσουμε τη σειρά Maclaurin για
, αντικαθιστώντας την τιμή της γωνίας σε ακτίνια:

Αν συγκρίνουμε το πρώτο και το δεύτερο μέλος της σειράς με δεδομένη ακρίβεια, τότε: .

Τρίτη περίοδος επέκτασης:

μικρότερη από την καθορισμένη ακρίβεια υπολογισμού. Επομένως, για να υπολογίσετε
αρκεί να αφήσουμε δύο όρους της σειράς, δηλ.

Ετσι
.

Παράδειγμα9 . Υπολογίζω
με ακρίβεια 0,001.

Απόφαση.

Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο διωνυμικής σειράς. Για αυτό γράφουμε
όπως και:
.

Σε αυτή την έκφραση
,

Ας συγκρίνουμε κάθε έναν από τους όρους της σειράς με την ακρίβεια που δίνεται. Είναι ξεκάθαρο ότι
. Επομένως, για να υπολογίσετε
αρκεί να αφήσουμε τρία μέλη της σειράς.

ή
.

Υπολογισμός με χρήση θετικών σειρών

Παράδειγμα10 . Υπολογίστε τον αριθμό με ακρίβεια 0,001.

Απόφαση.

Στη σειρά για μια συνάρτηση
υποκατάστατο
. Παίρνουμε:

Ας υπολογίσουμε το σφάλμα που προκύπτει όταν το άθροισμα της σειράς αντικαθίσταται από το άθροισμα της πρώτης μέλη. Ας γράψουμε την προφανή ανισότητα:

δηλαδή 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, πρέπει να βρείτε nέτσι ώστε να ισχύει η ακόλουθη ανισότητα:
ή
.

Είναι εύκολο να το ελέγξετε όταν n= 6:
.

Συνεπώς,
.

Παράδειγμα11 . Υπολογίζω
με ακρίβεια 0,0001.

Απόφαση.

Σημειώστε ότι για τον υπολογισμό των λογαρίθμων, θα μπορούσε κανείς να εφαρμόσει τη σειρά για τη συνάρτηση
, αλλά αυτή η σειρά συγκλίνει πολύ αργά και θα έπρεπε να ληφθούν 9999 όροι για να επιτευχθεί η δεδομένη ακρίβεια! Επομένως, για τον υπολογισμό των λογαρίθμων, κατά κανόνα χρησιμοποιείται μια σειρά για τη συνάρτηση
, το οποίο συγκλίνει στο διάστημα
.