Λύση τριγωνομετρικών εξισώσεων της μορφής cosx α. Τριγωνομετρικές εξισώσεις

Στο κέντρο σε ένα σημείο ΕΝΑ.
α είναι μια γωνία που εκφράζεται σε ακτίνια.

Ορισμός
Κόλποςείναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του απέναντι σκέλους |BC| στο μήκος της υποτείνουσας |AC|.

συνημίτονο (συν α)είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση που εξαρτάται από τη γωνία α μεταξύ της υποτείνουσας και του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου, ίση με τον λόγο του μήκους του διπλανού σκέλους |AB| στο μήκος της υποτείνουσας |AC|.

Αποδεκτοί χαρακτηρισμοί

;
;
.

;
;
.

Γράφημα της συνάρτησης ημιτόνου, y = sin x

Γράφημα της συνημίτονος, y = cos x

Ιδιότητες ημιτόνου και συνημιτόνου

Περιοδικότης

Συναρτήσεις y= αμαρτία xκαι y= cos xπεριοδική με περίοδο 2 pi.

Ισοτιμία

Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι περιττή. Η συνημίτονο είναι άρτια.

Τομέας ορισμού και τιμών, άκρα, αύξηση, μείωση

Οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους, δηλαδή για όλα τα x (δείτε την απόδειξη της συνέχειας). Οι κύριες ιδιότητές τους παρουσιάζονται στον πίνακα (n - ακέραιος).

	y= αμαρτία x	y= cos x
Πεδίο εφαρμογής και συνέχεια	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Εύρος τιμών	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Αύξουσα
Φθίνων
Μέγιστα, y= 1
Ελάχιστα, y = - 1
Μηδενικά, y= 0
Σημεία τομής με τον άξονα y, x = 0	y= 0	y= 1

Βασικές φόρμουλες

Άθροισμα τετραγώνου ημιτόνου και συνημιτόνου

Τύποι ημιτόνου και συνημιτόνου για άθροισμα και διαφορά

;
;

Τύποι για το γινόμενο ημιτόνων και συνημιτόνων

Τύποι αθροίσματος και διαφοράς

Έκφραση ημιτόνου μέσω συνημιτόνου

;
;
;
.

Έκφραση συνημιτόνου μέσω ημιτονοειδούς

;
;
;
.

Έκφραση ως προς την εφαπτομένη

; .

Για , έχουμε:
; .

Στο:
; .

Πίνακας ημιτόνων και συνημιτόνων, εφαπτομένων και συνεφαπτομένων

Αυτός ο πίνακας δείχνει τις τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων για ορισμένες τιμές του ορίσματος.

Εκφράσεις μέσω μιγαδικών μεταβλητών

;

Φόρμουλα Euler

Εκφράσεις ως προς τις υπερβολικές συναρτήσεις

;
;

Παράγωγα

; . Παραγωγή τύπων > > >

Παράγωγα νης τάξης:
{ -∞ < x < +∞ }

Secant, συνοδευτικό

Αντίστροφες συναρτήσεις

Οι αντίστροφες συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημίτονου είναι το αρξίνη και η αρκοσίνη, αντίστοιχα.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο Μαθηματικών για Μηχανικούς και Φοιτητές Ανώτατων Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων, Lan, 2009.

Γνωρίζουμε ότι οι τιμές συνημιτόνου είναι στην περιοχή [-1; 1], δηλ. -1 ≤ cos α ≤ 1. Επομένως, αν |а| > 1, τότε η εξίσωση cos x = a δεν έχει ρίζες. Για παράδειγμα, η εξίσωση cos x = -1,5 δεν έχει ρίζες.

Ας εξετάσουμε διάφορες εργασίες.

Λύστε την εξίσωση cos x = 1/2.

Απόφαση.

Θυμηθείτε ότι το cos x είναι η τετμημένη ενός κυκλικού σημείου με ακτίνα ίση με 1, που προκύπτει από την περιστροφή του σημείου P (1, 0) μέσω μιας γωνίας x γύρω από την αρχή.

Η τετμημένη 1/2 έχει δύο σημεία του κύκλου Μ 1 και Μ 2. Δεδομένου ότι 1/2 \u003d cos π / 3, τότε μπορούμε να πάρουμε το σημείο M 1 από το σημείο P (1; 0) περιστρέφοντας τη γωνία x 1 \u003d π / 3, καθώς και μέσω των γωνιών x \u003d π / 3 + 2πk, όπου k = +/-1, +/-2, …

Το σημείο M 2 προκύπτει από το σημείο P (1; 0) με περιστροφή μέσω της γωνίας x 2 = -π/3, καθώς και μέσω των γωνιών -π/3 + 2πk, όπου k = +/-1, + /-2, ...

Έτσι, όλες οι ρίζες της εξίσωσης cos x = 1/2 μπορούν να βρεθούν από τους τύπους
x = π/3 + 2πk
x \u003d -π / 3 + 2πk,

Οι δύο τύποι που παρουσιάζονται μπορούν να συνδυαστούν σε έναν:

x = +/-π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Λύστε την εξίσωση cos x = -1/2.

Απόφαση.

Μια τετμημένη ίση με - 1/2 έχει δύο σημεία του κύκλου M 1 και M 2. Δεδομένου ότι -1/2 \u003d cos 2π / 3, τότε η γωνία x 1 \u003d 2π / 3, και επομένως η γωνία x 2 \u003d -2π / 3.

Επομένως, όλες οι ρίζες της εξίσωσης cos x = -1/2 μπορούν να βρεθούν με τον τύπο: x = +/-2π/3 + 2πk, k ∈ Z.

Έτσι, καθεμία από τις εξισώσεις cos x = 1/2 και cos x = -1/2 έχει άπειρο αριθμό ριζών. Στο διάστημα 0 ≤ x ≤ π, καθεμία από αυτές τις εξισώσεις έχει μόνο μία ρίζα: x 1 \u003d π / 3 - η ρίζα της εξίσωσης cos x \u003d 1/2 και x 1 \u003d 2π / 3 - η ρίζα του η εξίσωση cos x \u003d -1/2.

Ο αριθμός π/3 ονομάζεται τόξο συνημίτονο του αριθμού 1/2 και γράφεται: arccos 1/2 = π/3, και ο αριθμός 2π/3 είναι το τόξο συνημίτονο του αριθμού (-1/2) και είναι γράφτηκε: arccos (-1/2) = 2π/3 .

Γενικά, η εξίσωση cos x \u003d a, όπου -1 ≤ a ≤ 1, έχει μόνο μία ρίζα στο τμήμα 0 ≤ x ≤ π. Εάν a ≥ 0, τότε η ρίζα περικλείεται στο διάστημα. αν ένα< 0, то в промежутке (π/2; π]. Этот корень называют арккосинусом числа а и обозначают: arccos а.

Έτσι, το συνημίτονο τόξου του αριθμού a € [-1; 1] ένας τέτοιος αριθμός ονομάζεται €, το συνημίτονο του οποίου είναι ίσο με a:

arccos a = α αν cos α = a και 0 ≤ a ≤ π (1).

Για παράδειγμα, arccos √3/2 = π/6, αφού cos π/6 = √3/2 και 0 ≤ π/6 ≤ π;
τόξο (-√3/2) = 5π/6 αφού cos 5π/6 = -√3/2 και 0 ≤ 5π/6 ≤ π.

Ομοίως με το πώς έγινε στη διαδικασία επίλυσης των προβλημάτων 1 και 2, μπορεί να φανεί ότι όλες οι ρίζες της εξίσωσης cos x = a, όπου |a| ≤ 1 εκφράζονται με τον τύπο

x = +/- arccos a + 2 πn, n ∈ Z (2).

Λύστε την εξίσωση cos x = -0,75.

Απόφαση.

Σύμφωνα με τον τύπο (2), βρίσκουμε x = +/- arccos (-0,75) + 2 πn, n € Z.

Η τιμή του arcos (-0,75) μπορεί να βρεθεί περίπου στο σχήμα μετρώντας τη γωνία με ένα μοιρογνωμόνιο. Οι κατά προσέγγιση τιμές του συνημιτονοειδούς τόξου μπορούν επίσης να βρεθούν χρησιμοποιώντας ειδικούς πίνακες (πίνακες Bradis) ή μικροαριθμομηχανή. Για παράδειγμα, η τιμή του arccos (-0,75) μπορεί να υπολογιστεί σε έναν μικροϋπολογιστή, λαμβάνοντας μια κατά προσέγγιση τιμή 2,4188583. Άρα, τόξο (-0,75) ≈ 2,42. Επομένως, τόξο (-0,75) ≈ 139°.

Απάντηση: τόξο (-0,75) ≈ 139°.

Λύστε την εξίσωση (4cos x - 1)(2cos 2x + 1) = 0.

Απόφαση.

1) 4cos x - 1 = 0, cos x = 1/4, x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, n € Z.

2) 2cos 2x + 1 = 0, cos 2x = -1/2, 2x = +/-2π/3 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn, n ∈ Z.

Απάντηση. x = +/-arcos 1/4 + 2 πn, x = +/-π/3 + πn.

Μπορεί να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε € [-1; 1] ισχύει ο τύπος arccos (-a) = π - arccos a (3).

Αυτός ο τύπος σας επιτρέπει να εκφράσετε τις τιμές των αντίστροφων συνημιτόνων αρνητικών αριθμών ως προς τις τιμές των αντίστροφων συνημιτόνων θετικών αριθμών. Για παράδειγμα:

arccos (-1/2) \u003d π - arccos 1/2 \u003d π - π / 3 \u003d 2π / 3;

τόξο (-√2/2) = π - τόξο √2/2 = π - π/4 = 3π/4

από τον τύπο (2) προκύπτει ότι οι ρίζες της εξίσωσης, cos x \u003d a για a \u003d 0, a \u003d 1 και a \u003d -1 μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας απλούστερους τύπους:

cos x \u003d 0 x \u003d π / 2 + πn, n € Z (4)

cos x = 1 x = 2πn, n € Z (5)

cos x \u003d -1 x \u003d π + 2πn, n € Z (6).

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.

Οι απλούστερες τριγωνομετρικές εξισώσεις συνήθως λύνονται με τύπους. Να σας υπενθυμίσω ότι οι παρακάτω τριγωνομετρικές εξισώσεις ονομάζονται απλούστερες:

sinx = α

cosx = α

tgx = α

ctgx = α

x είναι η γωνία που πρέπει να βρεθεί,
α είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Και εδώ είναι οι τύποι με τους οποίους μπορείτε να γράψετε αμέσως τις λύσεις αυτών των απλούστερων εξισώσεων.

Για τα ιγμόρεια:

Για το συνημίτονο:

x = ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Για εφαπτομένη:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Για συμεφαπτομένη:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτό είναι το θεωρητικό μέρος της επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων. Και, το σύνολο!) Τίποτα απολύτως. Ωστόσο, ο αριθμός των σφαλμάτων σε αυτό το θέμα απλώς ανανεώνεται. Ειδικά, με μια μικρή απόκλιση του παραδείγματος από το πρότυπο. Γιατί;

Ναι, επειδή πολλοί άνθρωποι γράφουν αυτά τα γράμματα, χωρίς να καταλαβαίνω καθόλου τη σημασία τους!Με τρόμο καταγράφει, ανεξάρτητα από το πώς συμβαίνει κάτι ...) Αυτό πρέπει να διευθετηθεί. Τριγωνομετρία για τους ανθρώπους ή άνθρωποι για τριγωνομετρία τελικά!;)

Ας το καταλάβουμε;

Μια γωνία θα είναι ίση με τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Και έτσι θα λειτουργεί πάντα.Για κάθε ένα.

Αν δεν με πιστεύετε, τοποθετήστε το ποντίκι σας πάνω από την εικόνα ή αγγίξτε την εικόνα στο tablet.) Άλλαξα τον αριθμό ένα σε κάποια αρνητικά. Τέλος πάντων, έχουμε μια γωνία τόξο α, δεύτερος: -arccos α.

Επομένως, η απάντηση μπορεί πάντα να γραφτεί ως δύο σειρές ριζών:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Συνδυάζουμε αυτές τις δύο σειρές σε μία:

x= ± τόξο a + 2π n, n ∈ Z

Και όλα τα πράγματα. Λάβαμε έναν γενικό τύπο για την επίλυση της απλούστερης τριγωνομετρικής εξίσωσης με συνημίτονο.

Αν καταλαβαίνετε ότι δεν πρόκειται για κάποιου είδους υπερεπιστημονική σοφία, αλλά απλώς μια συντομευμένη εγγραφή δύο σειρών απαντήσεων,εσείς και οι εργασίες "C" θα βρίσκονται στον ώμο. Με τις ανισότητες, με την επιλογή των ριζών από ένα δεδομένο διάστημα ... Εκεί, η απάντηση με συν / πλην δεν κυλά. Και αν αντιμετωπίσετε την απάντηση επαγγελματικά και τη χωρίσετε σε δύο ξεχωριστές απαντήσεις, όλα αποφασίζονται.) Στην πραγματικότητα, αυτό το καταλαβαίνουμε. Τι, πώς και πού.

Στην απλούστερη τριγωνομετρική εξίσωση

sinx = α

πάρτε επίσης δύο σειρές ριζών. Είναι πάντα. Και αυτές οι δύο σειρές μπορούν επίσης να ηχογραφηθούν μία γραμμή. Μόνο αυτή η γραμμή θα είναι πιο έξυπνη:

x = (-1) n τόξο a + π n, n ∈ Z

Όμως η ουσία παραμένει η ίδια. Οι μαθηματικοί απλώς κατασκεύασαν έναν τύπο για να κάνουν μία αντί για δύο εγγραφές σειρών ριζών. Και τέλος!

Ας ελέγξουμε τους μαθηματικούς; Και αυτό δεν είναι αρκετό...)

Στο προηγούμενο μάθημα αναλύθηκε αναλυτικά η λύση (χωρίς τύπους) της τριγωνομετρικής εξίσωσης με ημίτονο:

Η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν δύο σειρές ριζών:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Αν λύσουμε την ίδια εξίσωση χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε την απάντηση:

x = (-1) n τόξο 0,5 + π n, n ∈ Z

Στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια μισοτελειωμένη απάντηση.) Ο μαθητής πρέπει να το γνωρίζει αυτό τόξο 0,5 = π /6.Η πλήρης απάντηση θα ήταν:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Εδώ προκύπτει ένα ενδιαφέρον ερώτημα. Απάντηση μέσω x 1; x 2 (αυτή είναι η σωστή απάντηση!) και μέσα από το μοναχικό Χ (και αυτή είναι η σωστή απάντηση!) - το ίδιο πράγμα, ή όχι; Ας μάθουμε τώρα.)

Αντικαταστήστε σε απάντηση με x 1 αξίες n =0; ένας; 2; κ.λπ., θεωρούμε, παίρνουμε μια σειρά από ρίζες:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 και τα λοιπά.

Με την ίδια αντικατάσταση σε απάντηση x 2 , παίρνουμε:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 και τα λοιπά.

Και τώρα αντικαθιστούμε τις αξίες n (0; 1; 2; 3; 4...) στη γενική φόρμουλα για τους μοναχικούς Χ . Δηλαδή, ανεβάζουμε το μείον ένα στη μηδενική ισχύ, μετά στην πρώτη, δεύτερη και ούτω καθεξής. Και, φυσικά, αντικαθιστούμε το 0 στον δεύτερο όρο. ένας; 2 3; 4 κλπ. Και σκεφτόμαστε. Παίρνουμε μια σειρά:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 και τα λοιπά.

Αυτό είναι το μόνο που μπορείτε να δείτε.) Ο γενικός τύπος μας δίνει ακριβώς τα ίδια αποτελέσματαπου είναι οι δύο απαντήσεις χωριστά. Όλα ταυτόχρονα, με τη σειρά. Οι μαθηματικοί δεν εξαπάτησαν.)

Μπορούν επίσης να ελεγχθούν τύποι για την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων με εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Αλλά ας μην το κάνουμε.) Είναι τόσο ανεπιτήδευτοι.

Ζωγράφισα όλη αυτή την αντικατάσταση και την επαλήθευση επίτηδες. Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ένα απλό πράγμα εδώ: υπάρχουν τύποι για την επίλυση στοιχειωδών τριγωνομετρικών εξισώσεων, μόνο μια περίληψη των απαντήσεων.Για αυτή τη συντομία, έπρεπε να εισαγάγω συν/πλην στο συνημιτονικό διάλυμα και (-1) n στο ημιτονικό διάλυμα.

Αυτά τα ένθετα δεν παρεμβαίνουν με κανέναν τρόπο σε εργασίες όπου χρειάζεται απλώς να γράψετε την απάντηση σε μια στοιχειώδη εξίσωση. Αλλά αν πρέπει να λύσετε μια ανισότητα ή τότε πρέπει να κάνετε κάτι με την απάντηση: επιλέξτε ρίζες σε ένα διάστημα, ελέγξτε για ODZ κ.λπ., αυτά τα ένθετα μπορούν εύκολα να αναστατώσουν ένα άτομο.

Και τι να κάνουμε; Ναι, είτε ζωγραφίστε την απάντηση σε δύο σειρές, είτε λύστε την εξίσωση / ανισότητα σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Τότε αυτά τα ένθετα εξαφανίζονται και η ζωή γίνεται ευκολότερη.)

Μπορείτε να συνοψίσετε.

Για την επίλυση των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, υπάρχουν έτοιμοι τύποι απαντήσεων. Τέσσερα κομμάτια. Είναι καλοί για τη στιγμιαία εγγραφή της λύσης μιας εξίσωσης. Για παράδειγμα, πρέπει να λύσετε τις εξισώσεις:

sinx = 0,3

Ανετα: x = (-1) n τόξο 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Κανένα πρόβλημα: x = ± τόξο 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Εύκολα: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Ένα έμεινε: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Αν λάμπεις από γνώση, γράψε αμέσως την απάντηση:

x= ± τόξο 1,8 + 2π n, n ∈ Z

τότε ήδη λάμπεις, αυτό ... αυτό ... από μια λακκούβα.) Η σωστή απάντηση είναι: δεν υπάρχουν λύσεις. Δεν καταλαβαίνετε γιατί; Διαβάστε τι είναι αρκοσίνη. Επιπλέον, εάν στη δεξιά πλευρά της αρχικής εξίσωσης υπάρχουν πινακικές τιμές του ημιτόνου, του συνημιτίου, της εφαπτομένης, της συνεφαπτομένης, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 και τα λοιπά. - η απάντηση μέσα από τις καμάρες θα είναι ημιτελής. Τα τόξα πρέπει να μετατραπούν σε ακτίνια.

Και αν συναντήσετε ήδη μια ανισότητα, κάντε like

τότε η απάντηση είναι:

x πn, n ∈ Z

υπάρχει μια σπάνια ανοησία, ναι ...) Εδώ είναι απαραίτητο να αποφασίσετε για έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Τι θα κάνουμε στο αντίστοιχο θέμα.

Για όσους διαβάζουν ηρωικά μέχρι αυτές τις γραμμές. Δεν μπορώ παρά να εκτιμήσω τις τιτάνιες προσπάθειές σας. έχετε ένα μπόνους.)

Δώρο:

Όταν γράφετε τύπους σε μια αγωνιώδη κατάσταση μάχης, ακόμη και οι σκληραγωγημένοι σπασίκλες συχνά μπερδεύονται πού pn, Και που 2πn. Εδώ είναι ένα απλό κόλπο για εσάς. Σε όλαΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι pn. Εκτός από τη μοναδική φόρμουλα με συνημίτονο τόξου. Στέκεται εκεί 2πn. Δύοπιέν. Λέξη-κλειδί - δύο.Στον ίδιο ενιαίο τύπο βρίσκονται δύουπογράψει στην αρχή. Συν και πλην. Εδώ και εκεί - δύο.

Αν έγραψες λοιπόν δύοσημάδι μπροστά από το συνημίτονο τόξου, είναι πιο εύκολο να θυμάστε τι θα συμβεί στο τέλος δύοπιέν. Και το αντίστροφο συμβαίνει. Περάστε το σημάδι του άντρα ± , φτάστε στο τέλος, γράψτε σωστά δύοπιέν, ναι, και πιάσε το. Μπροστά από κάτι δύοσημάδι! Το άτομο θα επιστρέψει στην αρχή, αλλά θα διορθώσει το λάθος! Σαν αυτό.)

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Τύπος μαθήματος:ορίζοντας μια μαθησιακή εργασία.

Στόχοι μαθήματος:

εκπαιδευτικός: να συστηματοποιήσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με τις μεθόδους επίλυσης των απλούστερων τριγωνομετρικών εξισώσεων, να εμπεδώσει τις δεξιότητες εργασίας με κύκλο και πίνακα.

Εκπαιδευτικός: να συνεχίσει την εργασία για τη διαμόρφωση δημιουργικών πνευματικών ικανοτήτων των μαθητών μέσω της χρήσης διαφόρων μεθόδων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων.

Εκπαιδευτικός: να αναπτύξει τις δεξιότητες συλλογικής ψυχικής δραστηριότητας, αλληλοϋποστήριξης και αποδοχής διαφορετικής από τη δική του άποψης.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Η κατάσταση της επιτυχίας.

Λύστε την εξίσωση: cosx=1; cox=0; cosx = -1.

2. Κατάσταση, χάσμα» μεταξύ γνώσης και άγνοιας.

Λύστε την εξίσωση: cosx=½; cosx=a.

Συζήτηση.

3. Δήλωση της μαθησιακής εργασίας.

Πώς να λύσετε αυτό το είδος εξίσωσης;

1) Ποια είναι η τετμημένη του μοναδιαίου σημείου κύκλου που προκύπτει περιστρέφοντας το σημείο (1; 0) γύρω από την αρχή κατά γωνία ίση με: ;

2). Τι ισούται με: ?

Απάντηση:

3) Τι ισούται με: .

Απάντηση:

;

;

(1) .

Λόγια δασκάλου: οι μαθηματικοί αποκαλούσαν λέξεις, αντίστροφα cos «η λέξη arccosine (arccos). Η αρκοσίνη ενός αριθμού είναι ένας αριθμός του οποίου το συνημίτονο είναι ίσο με a:
arccosa=α εάν cosα=a και 0≤α≤π.

4). Γράψτε την ισότητα (1) χρησιμοποιώντας το σύμβολο arccos .

πέντε). Λύστε εξισώσεις: cosx=½, cosx=α.

Απάντηση: x=arccos½, x=arccosa.

6). Ονομάστε τις γωνίες περιστροφής του σημείου (1, 0) του μοναδιαίου κύκλου με την τετμημένη ίση με ½.

Απάντηση: η τετμημένη είναι ½ όταν το σημείο περιστρέφεται κατά γωνία ίση με π / 3 και -π / 3.

δηλαδή cosx=½ για x=±arccos½
cosx=a όταν x=±arccosa.

7). Ποια είναι τα τετμημένα των σημείων που λαμβάνονται στρέφοντας το σημείο (1; 0) στις γωνίες: π/3+2π; π/3+6π; -π/3+4π; -π/3+8π; π/3+2πn; -π/3+2πn.

Απάντηση: η τετμημένη είναι ½ και cosx=½ για x=±arccos½+2πn,.
cosx=a για x=±arccosa+2πn,.

οκτώ). Συμπέρασμα: εξίσωση cosx=a

1) έχει ρίζες αν ≤1,
2) δεν έχει ρίζες αν >1.

εννέα). Περίληψη μαθήματος:

α) Για ποιες τιμές των α και α έχει νόημα η ισότητα arccosа=α;
β) Τι ονομάζεται συνημίτονο τόξου του αριθμού α;
γ) Για ποιες τιμές του a έχει ρίζες η εξίσωση cosx=a;
δ) Ο τύπος για την εύρεση των ριζών της εξίσωσης cosx=a.

Παραδείγματα:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Πώς να λύσετε τριγωνομετρικές εξισώσεις:

Οποιαδήποτε τριγωνομετρική εξίσωση πρέπει να μειωθεί σε έναν από τους ακόλουθους τύπους:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

όπου \(t\) είναι μια παράσταση με x, \(a\) είναι ένας αριθμός. Τέτοιες τριγωνομετρικές εξισώσεις ονομάζονται πρωτόζωα. Είναι εύκολο να λυθούν χρησιμοποιώντας () ή ειδικούς τύπους:

Δείτε τα γραφήματα για την επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων εδώ: , και .

Παράδειγμα . Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Απόφαση:

Απάντηση: \(\αριστερά[ \αρχή(συγκεντρώθηκε)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(συγκεντρώθηκε)\δεξιά.\) \(k,n∈Z\)

Τι σημαίνει κάθε σύμβολο στον τύπο για τις ρίζες των τριγωνομετρικών εξισώσεων, βλ.

Προσοχή!Οι εξισώσεις \(\sin⁡x=a\) και \(\cos⁡x=a\) δεν έχουν λύσεις εάν \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Επειδή το ημίτονο και το συνημίτονο για οποιοδήποτε x είναι μεγαλύτερο ή ίσο με \(-1\) και μικρότερο ή ίσο με \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Παράδειγμα . Λύστε την εξίσωση \(\cos⁡x=-1,1\).
Απόφαση: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Απάντηση : Δεν υπάρχουν λύσεις.

Παράδειγμα . Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση tg\(⁡x=1\).
Απόφαση:

Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν κύκλο αριθμών. Για αυτό: 1) Ας φτιάξουμε έναν κύκλο) 2) Κατασκευάστε τους άξονες \(x\) και \(y\) και τον άξονα των εφαπτομένων (διέρχεται από το σημείο \((0;1)\) παράλληλα με τον άξονα \(y\)). 3) Στον άξονα των εφαπτομένων, σημειώστε το σημείο \(1\). 4) Συνδέστε αυτό το σημείο και την αρχή - μια ευθεία γραμμή. 5) Σημειώστε τα σημεία τομής αυτής της ευθείας και τον αριθμητικό κύκλο. 6) Ας υπογράψουμε τις τιμές αυτών των σημείων: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\) 7) Καταγράψτε όλες τις τιμές αυτών των σημείων. Δεδομένου ότι είναι ακριβώς \(π\) χωριστά το ένα από το άλλο, όλες οι τιμές μπορούν να γραφτούν σε έναν τύπο:

Απάντηση: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Παράδειγμα . Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Απόφαση:

Ας χρησιμοποιήσουμε ξανά τον αριθμητικό κύκλο. 1) Ας κατασκευάσουμε έναν κύκλο, άξονες \(x\) και \(y\). 2) Στον άξονα συνημιτόνου (άξονας \(x\)) σημειώστε \(0\). 3) Σχεδιάστε μια κάθετη στον άξονα συνημιτόνου μέσω αυτού του σημείου. 4) Σημειώστε τα σημεία τομής της κάθετης και του κύκλου. 5) Ας υπογράψουμε τις τιμές αυτών των σημείων: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\). 6) Ας γράψουμε ολόκληρη την τιμή αυτών των σημείων και ας τα εξισώσουμε με το συνημίτονο (σε αυτό που βρίσκεται μέσα στο συνημίτονο). \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\) \(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) 8) Ως συνήθως, θα εκφράσουμε το \(x\) σε εξισώσεις. Θυμηθείτε να χειρίζεστε αριθμούς με \(π\) καθώς και με \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\), κ.λπ. Αυτοί είναι οι ίδιοι αριθμοί με όλους τους άλλους. Καμία αριθμητική διάκριση! \(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\)\(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Απάντηση: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Η μείωση των τριγωνομετρικών εξισώσεων στις απλούστερες είναι μια δημιουργική εργασία, εδώ πρέπει να χρησιμοποιήσετε και τις δύο και ειδικές μεθόδους για την επίλυση εξισώσεων:
- Μέθοδος (η πιο δημοφιλής στις εξετάσεις).
- Μέθοδος.
- Μέθοδος βοηθητικών ορισμάτων.

Εξετάστε ένα παράδειγμα επίλυσης τετραγωνικής-τριγωνομετρικής εξίσωσης

Παράδειγμα . Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Απόφαση:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Ας κάνουμε την αλλαγή \(t=\cos⁡x\).
	Η εξίσωσή μας έχει γίνει τυπική. Μπορείτε να το λύσετε με .
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Κάνουμε αντικατάσταση.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Λύνουμε την πρώτη εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν κύκλο αριθμών. Η δεύτερη εξίσωση δεν έχει λύσεις από τότε \(\cos⁡x∈[-1;1]\) και δεν μπορεί να είναι ίσο με δύο για οποιοδήποτε x.
	Ας γράψουμε όλους τους αριθμούς που βρίσκονται σε αυτά τα σημεία.

Απάντηση: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Ένα παράδειγμα επίλυσης τριγωνομετρικής εξίσωσης με τη μελέτη του ODZ:

Παράδειγμα (ΧΡΗΣΗ) . Λύστε την τριγωνομετρική εξίσωση \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Υπάρχει ένα κλάσμα και υπάρχει μια συνεφαπτομένη - επομένως πρέπει να γράψετε. Επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι η συνεφαπτομένη είναι στην πραγματικότητα ένα κλάσμα: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Επομένως, το DPV για ctg\(x\): \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Σημειώστε τις "μη λύσεις" στον κύκλο αριθμών.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Ας απαλλαγούμε από τον παρονομαστή στην εξίσωση πολλαπλασιάζοντάς τον με ctg\(x\). Μπορούμε να το κάνουμε αυτό γιατί γράψαμε παραπάνω ότι ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Εφαρμόστε τον τύπο διπλής γωνίας για το ημίτονο: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Εάν τα χέρια σας απλώνουν τα χέρια σας για να διαιρεθούν με συνημίτονο - τραβήξτε τα πίσω! Μπορείτε να διαιρέσετε με μια παράσταση με μια μεταβλητή εάν σίγουρα δεν είναι ίση με το μηδέν (για παράδειγμα, όπως: \(x^2+1,5^x\)). Αντίθετα, αφαιρούμε το \(\cos⁡x\) από αγκύλες.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Ας χωρίσουμε την εξίσωση στα δύο.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Λύνουμε την πρώτη εξίσωση χρησιμοποιώντας έναν αριθμητικό κύκλο. Διαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση με το \(2\) και μετακινήστε το \(\sin⁡x\) στη δεξιά πλευρά.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Οι ρίζες που αποδείχτηκαν δεν περιλαμβάνονται στο ODZ. Ως εκ τούτου, δεν θα τα γράψουμε ως απάντηση. Η δεύτερη εξίσωση είναι χαρακτηριστική. Διαιρέστε το με \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) δεν μπορεί να είναι λύση στην εξίσωση γιατί σε αυτήν την περίπτωση \(\cos⁡x=1\) ή \(\cos⁡ x =-1\)).
	Και πάλι χρησιμοποιούμε έναν κύκλο.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Αυτές οι ρίζες δεν αποκλείονται από το ODZ, επομένως μπορούν να γραφτούν ως απάντηση.

Απάντηση: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).