Πρόσθεση απλών κλασμάτων. Ενέργειες με κλάσματα

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές
Η έννοια της NOC
Φέρνοντας κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή
Πώς να προσθέσετε έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλάσμα

1 Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή ίδιο, για παράδειγμα:

Για να αφαιρέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή τον ίδιο, για παράδειγμα:

Για να προσθέσετε μικτά κλάσματα, πρέπει να προσθέσετε χωριστά ολόκληρα τα μέρη τους και στη συνέχεια να προσθέσετε τα κλασματικά τους μέρη και να γράψετε το αποτέλεσμα ως μικτό κλάσμα,

Εάν, κατά την προσθήκη των κλασματικών μερών, προκύπτει ένα ακατάλληλο κλάσμα, επιλέγουμε το ακέραιο μέρος από αυτό και το προσθέτουμε στο ακέραιο μέρος, για παράδειγμα:

2 Προσθήκη και αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές, πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο παρονομαστή και στη συνέχεια να προχωρήσετε όπως υποδεικνύεται στην αρχή αυτού του άρθρου. Ο κοινός παρονομαστής πολλών κλασμάτων είναι το LCM (ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο). Για τον αριθμητή καθενός από τα κλάσματα, βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες διαιρώντας το LCM με τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος. Θα δούμε ένα παράδειγμα αργότερα, αφού καταλάβουμε τι είναι το LCM.

3 Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM)

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο δύο αριθμών (LCM) είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται και με τους δύο αυτούς αριθμούς χωρίς υπόλοιπο. Μερικές φορές το LCM μπορεί να βρεθεί προφορικά, αλλά πιο συχνά, ειδικά όταν εργάζεστε με μεγάλους αριθμούς, πρέπει να βρείτε το LCM γραπτώς, χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο αλγόριθμο:

Για να βρείτε το LCM πολλών αριθμών, χρειάζεστε:

Διασπάστε αυτούς τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες
Πάρτε τη μεγαλύτερη επέκταση και γράψτε αυτούς τους αριθμούς ως γινόμενο
Επιλέξτε σε άλλες επεκτάσεις τους αριθμούς που δεν εμφανίζονται στη μεγαλύτερη επέκταση (ή εμφανίζονται σε αυτήν μικρότερες φορές) και προσθέστε τους στο γινόμενο.
Πολλαπλασιάστε όλους τους αριθμούς στο γινόμενο, αυτό θα είναι το LCM.

Για παράδειγμα, ας βρούμε το LCM των αριθμών 28 και 21:

4 Αναγωγή κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή

Ας επιστρέψουμε στην προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές.

Όταν ανάγουμε κλάσματα στον ίδιο παρονομαστή, ίσο με το LCM και των δύο παρονομαστών, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές αυτών των κλασμάτων με πρόσθετους πολλαπλασιαστές. Μπορείτε να τα βρείτε διαιρώντας το LCM με τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος, για παράδειγμα:

Έτσι, για να φέρετε τα κλάσματα σε έναν δείκτη, πρέπει πρώτα να βρείτε τον LCM (δηλαδή τον μικρότερο αριθμό που διαιρείται και με τους δύο παρονομαστές) των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων και στη συνέχεια να βάλετε πρόσθετους παράγοντες στους αριθμητές των κλασμάτων. Μπορείτε να τα βρείτε διαιρώντας τον κοινό παρονομαστή (LCD) με τον παρονομαστή του αντίστοιχου κλάσματος. Στη συνέχεια, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή κάθε κλάσματος με έναν επιπλέον παράγοντα και να βάλετε το LCM ως παρονομαστή.

5 Πώς να προσθέσετε έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλάσμα

Για να προσθέσετε έναν ακέραιο αριθμό και ένα κλάσμα, πρέπει απλώς να προσθέσετε αυτόν τον αριθμό μπροστά από το κλάσμα και θα έχετε ένα μικτό κλάσμα, για παράδειγμα.

Για να προσθέσετε έναν ακέραιο σε ένα κλάσμα, αρκεί να εκτελέσετε μια σειρά ενεργειών, ή μάλλον, υπολογισμούς.

Για παράδειγμα, έχετε 7 - έναν ακέραιο, πρέπει να τον προσθέσετε στο κλάσμα 1/2.

Ενεργούμε ως εξής:

Πολλαπλασιάζουμε το 7 με τον παρονομαστή (2), προκύπτει 14,
στο 14 προσθέτουμε το πάνω μέρος (1), βγαίνει 15,
και αντικαθιστούμε τον παρονομαστή.
το αποτέλεσμα είναι 15/2.

Με αυτόν τον απλό τρόπο, μπορείτε να προσθέσετε ακέραιους αριθμούς σε κλασματικούς.

Και για να επιλέξετε έναν ακέραιο από ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή και το υπόλοιπο θα είναι κλάσμα.

Η λειτουργία της προσθήκης ενός ακέραιου σε ένα κανονικό κλάσμα δεν είναι δύσκολη και μερικές φορές συνίσταται απλώς στον σχηματισμό ενός μικτού κλάσματος, στο οποίο το ακέραιο μέρος τοποθετείται στα αριστερά του κλασματικού μέρους, για παράδειγμα, ένα τέτοιο κλάσμα θα αναμιχθεί :

Ωστόσο, πιο συχνά, όταν προσθέτετε έναν ακέραιο σε ένα κλάσμα, παίρνετε ένα ακατάλληλο κλάσμα, στο οποίο ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Αυτή η λειτουργία εκτελείται ως εξής: ένας ακέραιος αναπαρίσταται ως ακατάλληλο κλάσμα με τον ίδιο παρονομαστή με το κλάσμα που προστίθεται και στη συνέχεια προστίθενται απλώς οι αριθμητές και των δύο κλασμάτων. Για παράδειγμα, θα μοιάζει με αυτό:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Νομίζω ότι είναι πολύ απλό.

Για παράδειγμα, έχουμε ένα κλάσμα 1/4 (αυτό είναι το ίδιο με το 0,25, δηλαδή το ένα τέταρτο ενός ακέραιου αριθμού).

Και σε αυτό το τέταρτο μπορείτε να προσθέσετε οποιονδήποτε ακέραιο, για παράδειγμα 3. Αποδεικνύεται τρία και ένα τέταρτο:

3.25. Ή σε ένα κλάσμα εκφράζεται ως εξής: 3 1/4

Εδώ, ακολουθώντας το παράδειγμα αυτού του παραδείγματος, μπορείτε να προσθέσετε τυχόν κλάσματα με οποιονδήποτε ακέραιο.

Πρέπει να αυξήσετε έναν ακέραιο σε ένα κλάσμα με παρονομαστή 10 (6/10). Στη συνέχεια, φέρτε το υπάρχον κλάσμα σε κοινό παρονομαστή 10 (35=610). Λοιπόν, εκτελέστε την πράξη όπως με τα συνηθισμένα κλάσματα 610+610=1210 σύνολο 12.

Μπορείτε να το κάνετε αυτό με δύο τρόπους.

ένας). Ένα κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε ακέραιο αριθμό και να προστεθεί. Για παράδειγμα, το 1/2 είναι 0,5. 1/4 ισούται με 0,25; 2/5 είναι 0,4 και ούτω καθεξής.

Παίρνουμε τον ακέραιο αριθμό 5, στον οποίο πρέπει να προσθέσουμε το κλάσμα 4/5. Ας μετατρέψουμε το κλάσμα: 4/5 είναι 4 διαιρούμενο με 5 και παίρνουμε 0,8. Προσθέστε 0,8 στο 5 και λάβετε 5,8 ή 5 4/5.

2). Δεύτερος τρόπος: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Η προσθήκη κλασμάτων είναι μια απλή μαθηματική πράξη, για παράδειγμα, πρέπει να προσθέσετε τον ακέραιο αριθμό 3 και το κλάσμα 1/7. Για να προσθέσετε αυτούς τους δύο αριθμούς, πρέπει να έχετε έναν παρονομαστή, άρα πρέπει να πολλαπλασιάσετε το τρία με το επτά και να διαιρέσετε με αυτόν τον αριθμό, τότε παίρνετε 21/7 + 1/7, ο παρονομαστής είναι ένας, προσθέστε 21 και 1, παίρνετε την απάντηση 22/7 .

Απλώς πάρτε και προσθέστε έναν ακέραιο σε αυτό το κλάσμα, ας πούμε 6+1/2=6 1/2. Λοιπόν, αν αυτό είναι ένα δεκαδικό κλάσμα, τότε για παράδειγμα, 6 + 1,2 = 7,2.

Για να προσθέσετε ένα κλάσμα και έναν ακέραιο, πρέπει να προσθέσετε έναν κλασματικό αριθμό σε έναν ακέραιο και να τον γράψετε ως μιγαδικό αριθμό, για παράδειγμα, όταν προσθέτουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε έναν ακέραιο, παίρνουμε: 1/2 +3 \u003d 3 1/2; όταν προσθέτετε ένα δεκαδικό κλάσμα: 0,5 +3 \u003d 3,5.

Ένα κλάσμα από μόνο του δεν είναι ακέραιος, γιατί δεν το φτάνει σε ποσότητα, και επομένως δεν χρειάζεται να μετατρέψουμε έναν ακέραιο σε αυτό το κλάσμα. Επομένως, ο ακέραιος παραμένει ακέραιος και δείχνει πλήρως την πλήρη ονομασία, και το κλάσμα προστίθεται σε αυτό, και δείχνει πόσο λείπει από αυτόν τον ακέραιο πριν προστεθεί το επόμενο πλήρες σημείο.

ακαδημαϊκό παράδειγμα.

10 + 7/3 = 10 ακέραιοι και 7/3.

Αν βέβαια υπάρχουν ακέραιοι, τότε αθροίζονται με ακέραιους.

12 + 5 7/9 = 17 και 7/9.

Τι είναι ακέραιος αριθμός και τι κλάσμα.

Αν ένα και οι δύο όροι είναι θετικοί, αυτό το κλάσμα πρέπει να αντιστοιχιστεί σε έναν ακέραιο. Παίρνεις έναν μικτό αριθμό. Επιπλέον, μπορεί να υπάρχουν 2 περιπτώσεις.

Περίπτωση 1

Το κλάσμα είναι σωστό, δηλ. ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Τότε ο μικτός αριθμός που λαμβάνεται μετά την απόδοση θα είναι η απάντηση.

4/9 + 10 = 10 4/9 (δέκα πόντοι τέσσερα ένατα).

Περίπτωση 2

Το κλάσμα είναι λάθος, δηλ. ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή. Τότε απαιτείται μια μικρή μεταμόρφωση. Ένα ακατάλληλο κλάσμα θα πρέπει να μετατραπεί σε μικτό αριθμό, με άλλα λόγια, να επισημάνετε ολόκληρο το μέρος. Γίνεται ως εξής:

Μετά από αυτό, πρέπει να προσθέσετε το ακέραιο μέρος του ακατάλληλου κλάσματος στον ακέραιο και να προσθέσετε το κλασματικό μέρος του στο προκύπτον ποσό. Με τον ίδιο τρόπο προστίθεται ένα σύνολο σε έναν μικτό αριθμό.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 ολόκληρα τρία τέταρτα).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 ολόκληρα ένα δευτερόλεπτο).

Εάν ένας από τους όρους ή και οι δύο αρνητικός, τότε η πρόσθεση εκτελείται σύμφωνα με τους κανόνες για την πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά ή πανομοιότυπα πρόσημα. Ένας ακέραιος αντιπροσωπεύεται ως η αναλογία αυτού του αριθμού και του 1, και στη συνέχεια και ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό ίσο με τον παρονομαστή του κλάσματος στο οποίο προστίθεται ο ακέραιος αριθμός.

3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (μείον 1 ολόκληρο τέσσερα πέμπτα).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (μείον 8 βαθμοί ένα τρίτο).

Σχόλιο.

Αφού εξοικειωθούν με τους αρνητικούς αριθμούς, όταν μελετούν ενέργειες μαζί τους, οι μαθητές της 6ης τάξης θα πρέπει να καταλάβουν ότι η προσθήκη ενός θετικού ακέραιου σε ένα αρνητικό κλάσμα είναι το ίδιο με την αφαίρεση ενός κλάσματος από έναν φυσικό αριθμό. Αυτή η ενέργεια, όπως γνωρίζετε, εκτελείται ως εξής:

Στην πραγματικότητα, για να προσθέσετε ένα κλάσμα και έναν ακέραιο, πρέπει απλώς να μειώσετε τον υπάρχοντα ακέραιο σε κλασματικό, και αυτό είναι τόσο εύκολο όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών. Απλά πρέπει να πάρετε τον παρονομαστή του κλάσματος (διαθέσιμο στο παράδειγμα) και να το κάνετε παρονομαστή ενός ακέραιου πολλαπλασιάζοντάς το με αυτόν τον παρονομαστή και διαιρώντας το, εδώ είναι ένα παράδειγμα:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3

Βρείτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή.Ένα κλάσμα αποτελείται από δύο αριθμούς: ο αριθμός πάνω από τη γραμμή ονομάζεται αριθμητής και ο αριθμός κάτω από τη γραμμή ονομάζεται παρονομαστής. Ο παρονομαστής δείχνει τον συνολικό αριθμό των μερών στα οποία διασπάται ένα σύνολο και ο αριθμητής είναι ο θεωρούμενος αριθμός τέτοιων μερών.

Για παράδειγμα, στο κλάσμα ½, ο αριθμητής είναι 1 και ο παρονομαστής είναι 2.

Προσδιορίστε τον παρονομαστή.Εάν δύο ή περισσότερα κλάσματα έχουν κοινό παρονομαστή, τέτοια κλάσματα έχουν τον ίδιο αριθμό κάτω από τη γραμμή, δηλαδή, σε αυτή την περίπτωση, κάποιο σύνολο χωρίζεται στον ίδιο αριθμό μερών. Η προσθήκη κλασμάτων με κοινό παρονομαστή είναι πολύ εύκολη, αφού ο παρονομαστής του συνολικού κλάσματος θα είναι ίδιος με αυτόν των κλασμάτων που προστίθενται. Για παράδειγμα:

Τα κλάσματα 3/5 και 2/5 έχουν κοινό παρονομαστή 5.
Τα κλάσματα 3/8, 5/8, 17/8 έχουν κοινό παρονομαστή 8.

Προσδιορίστε τους αριθμητές.Για να προσθέσετε κλάσματα με κοινό παρονομαστή, προσθέστε τους αριθμητές τους και γράψτε το αποτέλεσμα πάνω από τον παρονομαστή των προστιθέμενων κλασμάτων.

Τα κλάσματα 3/5 και 2/5 έχουν αριθμητές 3 και 2.
Τα κλάσματα 3/8, 5/8, 17/8 έχουν αριθμητές 3, 5, 17.

Προσθέστε τους αριθμητές.Στο πρόβλημα 3/5 + 2/5 προσθέστε τους αριθμητές 3 + 2 = 5. Στο πρόβλημα 3/8 + 5/8 + 17/8 προσθέστε τους αριθμητές 3 + 5 + 17 = 25.

Καταγράψτε το σύνολο.Θυμηθείτε ότι όταν προσθέτετε κλάσματα με κοινό παρονομαστή, αυτό παραμένει αμετάβλητο - προστίθενται μόνο οι αριθμητές.

3/5 + 2/5 = 5/5
3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Μετατρέψτε το κλάσμα εάν χρειάζεται.Μερικές φορές ένα κλάσμα μπορεί να γραφτεί ως ακέραιος αριθμός παρά ως κοινό ή δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, το κλάσμα 5/5 μετατρέπεται εύκολα σε 1, αφού κάθε κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι ίσος με τον παρονομαστή είναι 1. Φανταστείτε μια πίτα κομμένη σε τρία μέρη. Αν φας και τα τρία μέρη, τότε θα φας ολόκληρη (μία) πίτα.

Οποιοδήποτε κοινό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό. Για να το κάνετε αυτό, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Για παράδειγμα, το κλάσμα 5/8 μπορεί να γραφτεί ως εξής: 5 ÷ 8 = 0,625.

Απλοποιήστε το κλάσμα αν είναι δυνατόν.Απλοποιημένο κλάσμα είναι ένα κλάσμα του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν έχουν κοινό διαιρέτη.

Για παράδειγμα, θεωρήστε το κλάσμα 3/6. Εδώ, τόσο ο αριθμητής όσο και ο παρονομαστής έχουν κοινό διαιρέτη ίσο με 3, δηλαδή ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται πλήρως με το 3. Επομένως, το κλάσμα 3/6 μπορεί να γραφτεί ως εξής: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Εάν είναι απαραίτητο, μετατρέψτε το ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό κλάσμα (μικτός αριθμός).Για ένα ακατάλληλο κλάσμα, ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή, για παράδειγμα, 25/8 (για ένα σωστό κλάσμα, ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή). Ένα ακατάλληλο κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε μικτό κλάσμα, το οποίο αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος (δηλαδή έναν ακέραιο αριθμό) και ένα κλασματικό μέρος (δηλαδή ένα σωστό κλάσμα). Για να μετατρέψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα όπως το 25/8 σε μικτό αριθμό, ακολουθήστε τα εξής βήματα:

Διαιρέστε τον αριθμητή του ακατάλληλου κλάσματος με τον παρονομαστή του. γράψτε το ημιτελές πηλίκο (όλη την απάντηση). Στο παράδειγμά μας: 25 ÷ 8 = 3 συν κάποιο υπόλοιπο. Στην περίπτωση αυτή, ολόκληρη η απάντηση είναι το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού.
Βρείτε τα υπόλοιπα. Στο παράδειγμά μας: 8 x 3 = 24; αφαιρέστε το αποτέλεσμα από τον αρχικό αριθμητή: 25 - 24 \u003d 1, δηλαδή, το υπόλοιπο είναι 1. Σε αυτήν την περίπτωση, το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής του κλασματικού μέρους του μικτού αριθμού.
Να γράψετε ένα μικτό κλάσμα. Ο παρονομαστής δεν αλλάζει (δηλαδή είναι ίσος με τον παρονομαστή του ακατάλληλου κλάσματος), άρα 25/8 = 3 1/8.

Ένα από τα πιο δύσκολα πράγματα για να καταλάβει ένας μαθητής είναι διαφορετικές ενέργειες με απλά κλάσματα. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι εξακολουθεί να είναι δύσκολο για τα παιδιά να σκέφτονται αφηρημένα και τα κλάσματα, στην πραγματικότητα, μοιάζουν ακριβώς έτσι για αυτά. Επομένως, κατά την παρουσίαση του υλικού, οι δάσκαλοι συχνά καταφεύγουν σε αναλογίες και εξηγούν την αφαίρεση και την πρόσθεση κλασμάτων κυριολεκτικά στα δάχτυλα. Αν και ούτε ένα μάθημα σχολικών μαθηματικών δεν μπορεί να κάνει χωρίς κανόνες και ορισμούς.

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Πριν ξεκινήσετε οποιοδήποτε, καλό είναι να μάθετε μερικούς βασικούς ορισμούς και κανόνες. Αρχικά, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε τι είναι ένα κλάσμα. Με τον όρο αυτό εννοείται ένας αριθμός που αντιπροσωπεύει ένα ή περισσότερα κλάσματα μιας μονάδας. Για παράδειγμα, αν κόψετε ένα καρβέλι σε 8 μέρη και βάλετε 3 φέτες από αυτά σε ένα πιάτο, τότε τα 3/8 θα είναι κλάσμα. Επιπλέον, σε αυτή τη γραφή θα είναι ένα απλό κλάσμα, όπου ο αριθμός πάνω από τη γραμμή είναι ο αριθμητής και κάτω από αυτόν είναι ο παρονομαστής. Αν όμως γραφτεί ως 0,375, θα είναι ήδη δεκαδικό κλάσμα.

Επιπλέον, τα απλά κλάσματα χωρίζονται σε κανονικά, ακατάλληλα και μικτά. Το πρώτο περιλαμβάνει όλα εκείνα των οποίων ο αριθμητής είναι μικρότερος από τον παρονομαστή. Αν, αντίθετα, ο παρονομαστής είναι μικρότερος από τον αριθμητή, θα είναι ήδη ένα ακατάλληλο κλάσμα. Αν υπάρχει ακέραιος μπροστά από τον σωστό, μιλούν για μεικτούς αριθμούς. Έτσι, το κλάσμα 1/2 είναι σωστό, αλλά το 7/2 όχι. Και αν το γράψετε με αυτή τη μορφή: 3 1/2, τότε θα γίνει μεικτό.

Για να καταλάβετε ευκολότερα τι είναι η πρόσθεση των κλασμάτων και να την εκτελέσετε εύκολα, είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε την ουσία της παρακάτω. Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε το κλάσμα δεν θα αλλάξει. Είναι αυτή η ιδιότητα που σας επιτρέπει να εκτελείτε τις πιο απλές ενέργειες με συνηθισμένα και άλλα κλάσματα. Στην πραγματικότητα, αυτό σημαίνει ότι το 1/15 και το 3/45 είναι, στην πραγματικότητα, ο ίδιος αριθμός.

Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Η εκτέλεση αυτής της ενέργειας συνήθως δεν προκαλεί μεγάλη δυσκολία. Η προσθήκη κλασμάτων σε αυτή την περίπτωση μοιάζει πολύ με παρόμοια ενέργεια με ακέραιους αριθμούς. Ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος και οι αριθμητές απλώς προστίθενται. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να προσθέσετε κλάσματα 2/7 και 3/7, τότε η λύση σε ένα σχολικό πρόβλημα σε ένα σημειωματάριο θα είναι η εξής:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Επιπλέον, μια τέτοια προσθήκη κλασμάτων μπορεί να εξηγηθεί με ένα απλό παράδειγμα. Πάρτε ένα συνηθισμένο μήλο και κόψτε, για παράδειγμα, σε 8 μέρη. Απλώστε χωριστά πρώτα 3 μέρη και μετά προσθέστε άλλα 2 σε αυτά και ως αποτέλεσμα, τα 5/8 ενός ολόκληρου μήλου θα βρίσκονται στο φλιτζάνι. Το ίδιο το αριθμητικό πρόβλημα γράφεται όπως φαίνεται παρακάτω:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Αλλά συχνά υπάρχουν πιο δύσκολες εργασίες όπου πρέπει να προσθέσετε μαζί, για παράδειγμα, 5/9 και 3/5. Εδώ εμφανίζονται οι πρώτες δυσκολίες σε ενέργειες με κλάσματα. Εξάλλου, η προσθήκη τέτοιων αριθμών θα απαιτήσει πρόσθετες γνώσεις. Τώρα θα πρέπει να ανακαλέσετε πλήρως την κύρια ιδιότητά τους. Για να προσθέσετε τα κλάσματα από το παράδειγμα, πρέπει πρώτα να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή. Για να γίνει αυτό, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσετε το 9 και το 5 μεταξύ τους, να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή "5" με 5 και το "3", αντίστοιχα, με 9. Έτσι, τέτοια κλάσματα έχουν ήδη προστεθεί: 25/45 και 27/45. Τώρα μένει μόνο να προσθέσουμε τους αριθμητές και να πάρουμε την απάντηση 52/45. Σε ένα κομμάτι χαρτί, ένα παράδειγμα θα μοιάζει με αυτό:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Αλλά η προσθήκη κλασμάτων με τέτοιους παρονομαστές δεν απαιτεί πάντα έναν απλό πολλαπλασιασμό των αριθμών κάτω από τη γραμμή. Ψάξτε πρώτα για τον χαμηλότερο κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα, όπως για τα κλάσματα 2/3 και 5/6. Για αυτούς, αυτός θα είναι ο αριθμός 6. Αλλά η απάντηση δεν είναι πάντα προφανής. Σε αυτήν την περίπτωση, αξίζει να θυμηθούμε τον κανόνα για την εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (συντομογραφία LCM) δύο αριθμών.

Εννοείται ως ο λιγότερο κοινός παράγοντας δύο ακεραίων. Για να το βρείτε, αποσυνθέστε το καθένα σε πρώτους παράγοντες. Τώρα γράψτε εκείνα από αυτά που εμφανίζονται τουλάχιστον μία φορά σε κάθε αριθμό. Πολλαπλασιάστε τα μαζί και λάβετε τον ίδιο παρονομαστή. Στην πραγματικότητα, όλα φαίνονται λίγο πιο απλά.

Για παράδειγμα, πρέπει να προσθέσετε τα κλάσματα 4/15 και 1/6. Έτσι, το 15 προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τους απλούς αριθμούς 3 και 5, και έξι - δύο και τρία. Αυτό σημαίνει ότι το LCM για αυτούς θα είναι 5 x 3 x 2 \u003d 30. Τώρα, διαιρώντας το 30 με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος, παίρνουμε έναν παράγοντα για τον αριθμητή του - 2. Και για το δεύτερο κλάσμα θα είναι ο αριθμός 5. Έτσι, μένει να προσθέσουμε τα συνηθισμένα κλάσματα 8/30 και 5/30 και να λάβουμε απάντηση στις 13/30. Όλα είναι εξαιρετικά απλά. Στο σημειωματάριό σας, θα πρέπει να γράψετε αυτήν την εργασία ως εξής:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM (15, 6) = 30.

Πρόσθεση μικτών αριθμών

Τώρα, γνωρίζοντας όλα τα βασικά κόλπα για την προσθήκη απλών κλασμάτων, μπορείτε να δοκιμάσετε το χέρι σας σε πιο περίπλοκα παραδείγματα. Και αυτοί θα είναι μικτοί αριθμοί, με τους οποίους εννοούν ένα κλάσμα αυτού του είδους: 2 2 / 3. Εδώ, το ακέραιο μέρος γράφεται πριν από το σωστό κλάσμα. Και πολλοί μπερδεύονται όταν εκτελούν ενέργειες με τέτοιους αριθμούς. Στην πραγματικότητα, οι ίδιοι κανόνες ισχύουν και εδώ.

Για να προσθέσετε μικτούς αριθμούς, προσθέστε τα ολόκληρα μέρη και τα σωστά κλάσματα χωριστά. Και τότε αυτά τα 2 αποτελέσματα συνοψίζονται ήδη. Στην πράξη, όλα είναι πολύ πιο απλά, απλά πρέπει να εξασκηθείτε λίγο. Για παράδειγμα, σε ένα πρόβλημα πρέπει να προσθέσετε τους ακόλουθους μικτούς αριθμούς: 1 1 / 3 και 4 2 / 5 . Για να το κάνετε αυτό, προσθέστε πρώτα 1 και 4 για να πάρετε 5. Στη συνέχεια προσθέστε 1/3 και 2/5 χρησιμοποιώντας την τεχνική του ελάχιστου κοινού παρονομαστή. Η απόφαση θα είναι 15/11. Και η τελική απάντηση είναι 5 11/15. Σε ένα σχολικό τετράδιο, αυτό θα φαίνεται πολύ πιο σύντομο:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Προσθήκη δεκαδικών αριθμών

Εκτός από τα συνηθισμένα κλάσματα, υπάρχουν και δεκαδικοί. Παρεμπιπτόντως, είναι πολύ πιο συνηθισμένοι στη ζωή. Για παράδειγμα, η τιμή σε ένα κατάστημα συχνά μοιάζει με αυτό: 20,3 ρούβλια. Αυτό είναι το ίδιο κλάσμα. Φυσικά, αυτά διπλώνονται πολύ πιο εύκολα από τα συνηθισμένα. Κατ 'αρχήν, πρέπει απλώς να προσθέσετε 2 συνηθισμένους αριθμούς, το πιο σημαντικό, να βάλετε κόμμα στη σωστή θέση. Εδώ προκύπτουν οι δυσκολίες.

Για παράδειγμα, πρέπει να προσθέσετε τέτοια 2,5 και 0,56. Για να το κάνετε σωστά, πρέπει να προσθέσετε μηδέν στο πρώτο στο τέλος και όλα θα είναι εντάξει.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε ότι οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε απλό κλάσμα, αλλά δεν μπορεί να γραφτεί κάθε απλό κλάσμα ως δεκαδικό. Έτσι, από το παράδειγμά μας, 2,5 = 2 1/2 και 0,56 = 14/25. Αλλά ένα κλάσμα σαν το 1/6 θα είναι μόνο περίπου ίσο με 0,16667. Η ίδια κατάσταση θα είναι και με άλλους παρόμοιους αριθμούς - 2/7, 1/9 και ούτω καθεξής.

συμπέρασμα

Πολλοί μαθητές, μη κατανοώντας την πρακτική πλευρά των ενεργειών με κλάσματα, αντιμετωπίζουν αυτό το θέμα απρόσεκτα. Ωστόσο, περισσότερο αυτή η βασική γνώση θα σας επιτρέψει να κάνετε κλικ σαν καρύδια σε σύνθετα παραδείγματα με λογάριθμους και εύρεση παραγώγων. Και επομένως, αξίζει μια φορά να κατανοήσετε καλά τις ενέργειες με τα κλάσματα, ώστε αργότερα να μην δαγκώσετε τους αγκώνες σας από ενόχληση. Εξάλλου, είναι απίθανο ένας δάσκαλος στο λύκειο να επιστρέψει σε αυτό το θέμα που έχει ήδη καλυφθεί. Κάθε μαθητής γυμνασίου θα πρέπει να μπορεί να εκτελεί τέτοιες ασκήσεις.

Περιεχόμενο μαθήματος

Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Η προσθήκη κλασμάτων είναι δύο τύπων:

Πρόσθεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να προσθέσετε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Για παράδειγμα, ας προσθέσουμε τα κλάσματα και . Προσθέτουμε τους αριθμητές και αφήνουμε αμετάβλητο τον παρονομαστή:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Αν προσθέσετε πίτσα στην πίτσα, παίρνετε πίτσα:

Παράδειγμα 2Προσθέστε κλάσματα και .

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Εάν έρθει το τέλος της εργασίας, τότε είναι συνηθισμένο να απαλλαγείτε από ακατάλληλα κλάσματα. Για να απαλλαγείτε από ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό. Στην περίπτωσή μας, το ακέραιο μέρος κατανέμεται εύκολα - δύο διαιρούμενο με δύο ισούται με ένα:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε δύο μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα:

Παράδειγμα 3. Προσθέστε κλάσματα και .

Και πάλι, προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν προσθέσετε περισσότερες πίτσες στην πίτσα, θα λάβετε πίτσες:

Παράδειγμα 4Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Οι αριθμητές πρέπει να προστεθούν και ο παρονομαστής να παραμείνει αμετάβλητος:

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα και προσθέσετε περισσότερες πίτσες, θα λάβετε 1 ολόκληρη πίτσα και περισσότερες πίτσες.

Όπως μπορείτε να δείτε, η προσθήκη κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές δεν είναι δύσκολη. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

Για να προσθέσετε κλάσματα με τον ίδιο παρονομαστή, πρέπει να προσθέσετε τους αριθμητές τους και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Τώρα θα μάθουμε πώς να προσθέτουμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Όταν προσθέτουμε κλάσματα, οι παρονομαστές αυτών των κλασμάτων πρέπει να είναι οι ίδιοι. Δεν είναι όμως πάντα τα ίδια.

Για παράδειγμα, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν επειδή έχουν τους ίδιους παρονομαστές.

Αλλά τα κλάσματα δεν μπορούν να προστεθούν ταυτόχρονα, επειδή αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι αναγωγής κλασμάτων στον ίδιο παρονομαστή. Σήμερα θα εξετάσουμε μόνο ένα από αυτά, καθώς οι υπόλοιπες μέθοδοι μπορεί να φαίνονται περίπλοκες για έναν αρχάριο.

Η ουσία αυτής της μεθόδου έγκειται στο γεγονός ότι αναζητείται πρώτα (LCM) από τους παρονομαστές και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Κάνουν το ίδιο με το δεύτερο κλάσμα - το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας.

Τότε οι αριθμητές και οι παρονομαστές των κλασμάτων πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των ενεργειών, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1. Προσθέστε κλάσματα και

Πρώτα απ 'όλα, βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 6

LCM (2 και 3) = 6

Τώρα πίσω στα κλάσματα και . Αρχικά, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρέστε το 6 με το 3, παίρνουμε 2.

Ο αριθμός 2 που προκύπτει είναι ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το κλάσμα και σημειώνουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα. Το LCM είναι ο αριθμός 6 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρέστε το 6 με το 2, παίρνουμε 3.

Ο αριθμός 3 που προκύπτει είναι ο δεύτερος πρόσθετος παράγοντας. Το γράφουμε στο δεύτερο κλάσμα. Και πάλι, κάνουμε μια μικρή πλάγια γραμμή πάνω από το δεύτερο κλάσμα και γράφουμε τον πρόσθετο παράγοντα που βρέθηκε πάνω από αυτό:

Τώρα είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Κοιτάξτε προσεκτικά σε τι έχουμε καταλήξει. Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να προσθέτουμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Έτσι τελειώνει το παράδειγμα. Για να προσθέσω αποδεικνύεται.

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Εάν προσθέσετε πίτσες σε μια πίτσα, θα έχετε μια ολόκληρη πίτσα και ένα άλλο έκτο της πίτσας:

Η αναγωγή των κλασμάτων στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας τα κλάσματα και σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα δύο κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας. Η μόνη διαφορά θα είναι ότι αυτή τη φορά θα διαιρεθούν σε ίσα μερίδια (μειωμένα στον ίδιο παρονομαστή).

Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (τέσσερα κομμάτια από τα έξι) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα έξι). Συνδυάζοντας αυτά τα κομμάτια παίρνουμε (επτά κομμάτια στα έξι). Αυτό το κλάσμα είναι λανθασμένο, επομένως έχουμε επισημάνει το ακέραιο μέρος σε αυτό. Το αποτέλεσμα ήταν (μία ολόκληρη πίτσα και άλλη έκτη πίτσα).

Σημειώστε ότι έχουμε ζωγραφίσει αυτό το παράδειγμα με πάρα πολλές λεπτομέρειες. Στα εκπαιδευτικά ιδρύματα δεν συνηθίζεται να γράφουμε με τόσο λεπτομερή τρόπο. Πρέπει να είστε σε θέση να βρείτε γρήγορα το LCM τόσο των παρονομαστών όσο και των πρόσθετων παραγόντων σε αυτούς, καθώς και να πολλαπλασιάσετε γρήγορα τους πρόσθετους παράγοντες που βρέθηκαν από τους αριθμητές και τους παρονομαστές σας. Στο σχολείο, θα έπρεπε να γράψουμε αυτό το παράδειγμα ως εξής:

Υπάρχει όμως και η άλλη όψη του νομίσματος. Εάν δεν γίνονται αναλυτικές σημειώσεις στα πρώτα στάδια της μελέτης των μαθηματικών, τότε ερωτήσεις του είδους «Από πού προέρχεται αυτός ο αριθμός;», «Γιατί τα κλάσματα μετατρέπονται ξαφνικά σε εντελώς διαφορετικά κλάσματα; «.

Για να διευκολύνετε την προσθήκη κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις παρακάτω οδηγίες βήμα προς βήμα:

Να βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων.
Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα.
Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές τους.
Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές.
Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος του.

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης .

Ας χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω οδηγίες.

Βήμα 1. Βρείτε το LCM των παρονομαστών των κλασμάτων

Βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 2, 3 και 4

Βήμα 2. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος και λάβετε έναν επιπλέον πολλαπλασιαστή για κάθε κλάσμα

Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 2. Διαιρούμε το 12 με το 2, παίρνουμε 6. Πήραμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 6. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Πήραμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 4. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρούμε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Πήραμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 3. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:

Βήμα 3. Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων με τους πρόσθετους συντελεστές σας

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους πρόσθετους συντελεστές μας:

Βήμα 4. Προσθέστε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Απομένει να προσθέσουμε αυτά τα κλάσματα. Προσθέτω:

Η προσθήκη δεν χωρούσε σε μία γραμμή, οπότε μετακινήσαμε την υπόλοιπη έκφραση στην επόμενη γραμμή. Αυτό επιτρέπεται στα μαθηματικά. Όταν μια έκφραση δεν ταιριάζει σε μια γραμμή, μεταφέρεται στην επόμενη γραμμή και είναι απαραίτητο να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) στο τέλος της πρώτης γραμμής και στην αρχή μιας νέας γραμμής. Το σύμβολο ίσου στη δεύτερη γραμμή υποδηλώνει ότι πρόκειται για συνέχεια της έκφρασης που υπήρχε στην πρώτη γραμμή.

Βήμα 5. Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι είναι ακατάλληλο κλάσμα, επιλέξτε ολόκληρο το μέρος σε αυτό

Η απάντησή μας είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Πρέπει να ξεχωρίσουμε ολόκληρο το κομμάτι του. Τονίζουμε:

Πήρε μια απάντηση

Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές

Υπάρχουν δύο τύποι αφαίρεσης κλασμάτων:

Αφαίρεση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές
Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Αρχικά, ας μάθουμε πώς να αφαιρούμε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές. Όλα είναι απλά εδώ. Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή τον ίδιο.

Για παράδειγμα, ας βρούμε την τιμή της έκφρασης . Για να λύσετε αυτό το παράδειγμα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο. Ας το κάνουμε:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τέσσερα μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Και πάλι, από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό το παράδειγμα μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό αν σκεφτούμε μια πίτσα που χωρίζεται σε τρία μέρη. Εάν κόψετε πίτσες από μια πίτσα, θα πάρετε πίτσες:

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτό το παράδειγμα επιλύεται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως τα προηγούμενα. Από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος, πρέπει να αφαιρέσετε τους αριθμητές των υπόλοιπων κλασμάτων:

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στην αφαίρεση των κλασμάτων με τους ίδιους παρονομαστές. Αρκεί να κατανοήσουμε τους ακόλουθους κανόνες:

Για να αφαιρέσετε ένα άλλο από ένα κλάσμα, πρέπει να αφαιρέσετε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.
Εάν η απάντηση αποδείχθηκε ότι ήταν ακατάλληλο κλάσμα, τότε πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Αφαίρεση κλασμάτων με διαφορετικούς παρονομαστές

Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, αφού αυτά τα κλάσματα έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Αλλά ένα κλάσμα δεν μπορεί να αφαιρεθεί από ένα κλάσμα, γιατί αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα κλάσματα πρέπει να ανάγονται στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Ο κοινός παρονομαστής βρίσκεται σύμφωνα με την ίδια αρχή που χρησιμοποιήσαμε όταν προσθέταμε κλάσματα με διαφορετικούς παρονομαστές. Πρώτα απ 'όλα, βρείτε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Στη συνέχεια το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος και προκύπτει ο πρώτος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο πρώτο κλάσμα. Ομοίως, το LCM διαιρείται με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος και προκύπτει ένας δεύτερος πρόσθετος παράγοντας, ο οποίος γράφεται πάνω στο δεύτερο κλάσμα.

Τα κλάσματα στη συνέχεια πολλαπλασιάζονται με τους πρόσθετους συντελεστές τους. Ως αποτέλεσμα αυτών των πράξεων, τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατρέπονται σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης:

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Αρχικά, βρίσκουμε το LCM των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 12

LCM (3 και 4) = 12

Τώρα πίσω στα κλάσματα και

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 12 με το 3, παίρνουμε 4. Γράφουμε τα τέσσερα στο πρώτο κλάσμα:

Το ίδιο κάνουμε και με το δεύτερο κλάσμα. Διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 12 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 4. Διαιρέστε το 12 με το 4, παίρνουμε 3. Γράψτε ένα τριπλό στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα είμαστε όλοι έτοιμοι για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που είχαν τους ίδιους παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας συμπληρώσουμε αυτό το παράδειγμα μέχρι το τέλος:

Πήρε μια απάντηση

Ας προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε τη λύση μας χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Αν κόψεις πίτσες από πίτσα, παίρνεις πίτσες.

Αυτή είναι η λεπτομερής έκδοση της λύσης. Όντας στο σχολείο, θα έπρεπε να λύσουμε αυτό το παράδειγμα με πιο σύντομο τρόπο. Μια τέτοια λύση θα μοιάζει με αυτό:

Η αναγωγή των κλασμάτων και σε έναν κοινό παρονομαστή μπορεί επίσης να απεικονιστεί χρησιμοποιώντας μια εικόνα. Φέρνοντας αυτά τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή, παίρνουμε τα κλάσματα και . Αυτά τα κλάσματα θα αντιπροσωπεύονται από τις ίδιες φέτες πίτσας, αλλά αυτή τη φορά θα χωριστούν στα ίδια κλάσματα (ανάγεται στον ίδιο παρονομαστή):

Το πρώτο σχέδιο δείχνει ένα κλάσμα (οκτώ κομμάτια από τα δώδεκα) και η δεύτερη εικόνα δείχνει ένα κλάσμα (τρία κομμάτια από τα δώδεκα). Κόβοντας τρία κομμάτια από οκτώ, παίρνουμε πέντε από τα δώδεκα. Το κλάσμα περιγράφει αυτά τα πέντε κομμάτια.

Παράδειγμα 2Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Αυτά τα κλάσματα έχουν διαφορετικούς παρονομαστές, επομένως πρέπει πρώτα να τα φέρετε στον ίδιο (κοινό) παρονομαστή.

Βρείτε το LCM των παρονομαστών αυτών των κλασμάτων.

Οι παρονομαστές των κλασμάτων είναι οι αριθμοί 10, 3 και 5. Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο αυτών των αριθμών είναι το 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Τώρα βρίσκουμε πρόσθετους παράγοντες για κάθε κλάσμα. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το LCM με τον παρονομαστή κάθε κλάσματος.

Ας βρούμε έναν επιπλέον παράγοντα για το πρώτο κλάσμα. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος είναι ο αριθμός 10. Διαιρούμε το 30 με το 10, παίρνουμε τον πρώτο πρόσθετο παράγοντα 3. Τον γράφουμε πάνω στο πρώτο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το δεύτερο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος είναι ο αριθμός 3. Διαιρούμε το 30 με το 3, παίρνουμε τον δεύτερο πρόσθετο παράγοντα 10. Το γράφουμε πάνω στο δεύτερο κλάσμα:

Τώρα βρίσκουμε έναν πρόσθετο παράγοντα για το τρίτο κλάσμα. Διαιρέστε το LCM με τον παρονομαστή του τρίτου κλάσματος. Το LCM είναι ο αριθμός 30 και ο παρονομαστής του τρίτου κλάσματος είναι ο αριθμός 5. Διαιρούμε το 30 με το 5, παίρνουμε τον τρίτο πρόσθετο παράγοντα 6. Το γράφουμε πάνω στο τρίτο κλάσμα:

Τώρα όλα είναι έτοιμα για αφαίρεση. Απομένει να πολλαπλασιάσουμε τα κλάσματα με τους πρόσθετους συντελεστές τους:

Καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι τα κλάσματα που είχαν διαφορετικούς παρονομαστές μετατράπηκαν σε κλάσματα που έχουν τους ίδιους (κοινούς) παρονομαστές. Και ξέρουμε ήδη πώς να αφαιρούμε τέτοια κλάσματα. Ας τελειώσουμε αυτό το παράδειγμα.

Η συνέχεια του παραδείγματος δεν χωράει σε μια γραμμή, οπότε μεταφέρουμε τη συνέχεια στην επόμενη γραμμή. Μην ξεχνάτε το σύμβολο ίσου (=) στη νέα γραμμή:

Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα και όλα φαίνονται να μας ταιριάζουν, αλλά είναι πολύ δυσκίνητη και άσχημη. Θα πρέπει να το κάνουμε πιο εύκολο. Τί μπορεί να γίνει? Μπορείτε να μειώσετε αυτό το κλάσμα.

Για να μειώσετε ένα κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με (gcd) τους αριθμούς 20 και 30.

Έτσι, βρίσκουμε το GCD των αριθμών 20 και 30:

Τώρα επιστρέφουμε στο παράδειγμά μας και διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με το GCD που βρέθηκε, δηλαδή με το 10

Πήρε μια απάντηση

Πολλαπλασιάζοντας ένα κλάσμα με έναν αριθμό

Για να πολλαπλασιάσετε ένα κλάσμα με έναν αριθμό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή του δεδομένου κλάσματος με αυτόν τον αριθμό και να αφήσετε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Παράδειγμα 1. Πολλαπλασιάστε το κλάσμα με τον αριθμό 1.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με τον αριθμό 1

Η είσοδος μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη μισού 1 χρόνου. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσα 1 φορά, θα πάρετε πίτσα

Από τους νόμους του πολλαπλασιασμού, γνωρίζουμε ότι εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής ανταλλάσσονται, τότε το γινόμενο δεν θα αλλάξει. Εάν η έκφραση γραφτεί ως , τότε το γινόμενο θα εξακολουθεί να είναι ίσο με . Και πάλι, ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός ακέραιου και ενός κλάσματος λειτουργεί:

Αυτή η καταχώρηση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη του μισού της μονάδας. Για παράδειγμα, αν υπάρχει 1 ολόκληρη πίτσα και πάρουμε τη μισή, τότε θα έχουμε πίτσα:

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του κλάσματος με το 4

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο τετάρτων 4 φορές. Για παράδειγμα, αν πάρετε πίτσες 4 φορές, θα πάρετε δύο ολόκληρες πίτσες.

Και αν ανταλλάξουμε τον πολλαπλασιαστή και τον πολλαπλασιαστή σε θέσεις, παίρνουμε την έκφραση. Θα είναι επίσης ίσο με 2. Αυτή η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή ως λήψη δύο πίτσες από τέσσερις ολόκληρες πίτσες:

Ένας αριθμός που πολλαπλασιάζεται με ένα κλάσμα και ο παρονομαστής του κλάσματος επιλύονται αν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο του ενός.

Για παράδειγμα, μια έκφραση μπορεί να αξιολογηθεί με δύο τρόπους.

Πρώτος τρόπος. Πολλαπλασιάστε τον αριθμό 4 με τον αριθμητή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή του κλάσματος αμετάβλητος:

Δεύτερος τρόπος. Ο τετραπλασιασμός που πολλαπλασιάζεται και ο τετραπλασιασμός στον παρονομαστή του κλάσματος μπορούν να μειωθούν. Μπορείτε να μειώσετε αυτά τα τέσσερα κατά 4, αφού ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης για δύο τέσσερα είναι το ίδιο το τέσσερα:

Πήραμε το ίδιο αποτέλεσμα 3. Μετά τη μείωση των τεσσάρων, στη θέση τους σχηματίζονται νέοι αριθμοί: δύο ένας. Αλλά ο πολλαπλασιασμός ενός με ένα τριπλό και μετά η διαίρεση με ένα δεν αλλάζει τίποτα. Επομένως, η λύση μπορεί να γραφτεί πιο σύντομα:

Η μείωση μπορεί να πραγματοποιηθεί ακόμη και όταν αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε την πρώτη μέθοδο, αλλά στο στάδιο του πολλαπλασιασμού του αριθμού 4 και του αριθμητή 3, αποφασίσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη μείωση:

Αλλά για παράδειγμα, η έκφραση μπορεί να υπολογιστεί μόνο με τον πρώτο τρόπο - πολλαπλασιάστε το 7 με τον παρονομαστή του κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο:

Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο αριθμός 7 και ο παρονομαστής του κλάσματος δεν έχουν κοινό διαιρέτη μεγαλύτερο από ένα και, κατά συνέπεια, δεν μειώνονται.

Μερικοί μαθητές συντομεύουν κατά λάθος τον αριθμό που πολλαπλασιάζεται και τον αριθμητή του κλάσματος. Δεν μπορείς να το κάνεις αυτό. Για παράδειγμα, η ακόλουθη καταχώριση δεν είναι σωστή:

Η αναγωγή του κλάσματος συνεπάγεται ότι και αριθμητής και παρονομαστήςθα διαιρεθεί με τον ίδιο αριθμό. Στην κατάσταση με την έκφραση, η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή, αφού η γραφή αυτού είναι ίδια με τη σύνταξη . Βλέπουμε ότι η διαίρεση εκτελείται μόνο στον αριθμητή και δεν γίνεται διαίρεση στον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε τα κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές τους. Εάν η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, πρέπει να επιλέξετε ολόκληρο το μέρος σε αυτό.

Παράδειγμα 1Βρείτε την τιμή της έκφρασης.

Πήρε μια απάντηση. Είναι επιθυμητό να μειωθεί αυτό το κλάσμα. Το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 2. Τότε το τελικό διάλυμα θα πάρει την ακόλουθη μορφή:

Η έκφραση μπορεί να γίνει κατανοητή σαν να παίρνεις μια πίτσα από μισή πίτσα. Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Πώς να πάρετε τα δύο τρίτα από αυτό το μισό; Πρώτα πρέπει να χωρίσετε αυτό το μισό σε τρία ίσα μέρη:

Και πάρτε δύο από αυτά τα τρία κομμάτια:

Θα πάρουμε πίτσα. Θυμηθείτε πώς μοιάζει μια πίτσα χωρισμένη σε τρία μέρη:

Μια φέτα από αυτή την πίτσα και οι δύο φέτες που πήραμε θα έχουν τις ίδιες διαστάσεις:

Μιλάμε δηλαδή για το ίδιο μέγεθος πίτσας. Επομένως, η αξία της έκφρασης είναι

Παράδειγμα 2. Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος:

Η απάντηση είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα. Ας πάρουμε ένα ολόκληρο μέρος του:

Παράδειγμα 3Βρείτε την τιμή μιας έκφρασης

Η απάντηση αποδείχθηκε σωστό κλάσμα, αλλά θα είναι καλό αν μειωθεί. Για να μειώσετε αυτό το κλάσμα, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη (GCD) των αριθμών 105 και 450.

Ας βρούμε λοιπόν το GCD των αριθμών 105 και 450:

Τώρα διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή της απάντησής μας στο GCD που βρήκαμε τώρα, δηλαδή, με το 15

Αναπαράσταση ακέραιου ως κλάσματος

Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 5 μπορεί να αναπαρασταθεί ως . Από αυτό, το πέντε δεν θα αλλάξει το νόημά του, αφού η έκφραση σημαίνει "ο αριθμός πέντε διαιρούμενος με ένα", και αυτό, όπως γνωρίζετε, είναι ίσο με πέντε:

Αντίστροφοι αριθμοί

Τώρα θα εξοικειωθούμε με ένα πολύ ενδιαφέρον θέμα στα μαθηματικά. Ονομάζεται «αντίστροφοι αριθμοί».

Ορισμός. Αντίστροφη στον αριθμόένα είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί μεένα δίνει μια μονάδα.

Ας αντικαταστήσουμε σε αυτόν τον ορισμό αντί για μια μεταβλητή ένανούμερο 5 και προσπαθήστε να διαβάσετε τον ορισμό:

Αντίστροφη στον αριθμό 5 είναι ο αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με 5 δίνει μια μονάδα.

Είναι δυνατόν να βρεθεί ένας αριθμός που πολλαπλασιαζόμενος με το 5 να δίνει ένα; Αποδεικνύεται ότι μπορείτε. Ας αντιπροσωπεύσουμε το πέντε ως κλάσμα:

Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε αυτό το κλάσμα από μόνο του, απλώς αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Με άλλα λόγια, ας πολλαπλασιάσουμε το κλάσμα από μόνο του, μόνο ανεστραμμένο:

Ποιο θα είναι το αποτέλεσμα από αυτό; Αν συνεχίσουμε να λύνουμε αυτό το παράδειγμα, θα έχουμε ένα:

Αυτό σημαίνει ότι το αντίστροφο του αριθμού 5 είναι ο αριθμός, αφού όταν το 5 πολλαπλασιαστεί με ένα, προκύπτει ένα.

Το αντίστροφο μπορεί επίσης να βρεθεί για οποιονδήποτε άλλο ακέραιο.

Μπορείτε επίσης να βρείτε το αντίστροφο για οποιοδήποτε άλλο κλάσμα. Για να γίνει αυτό, αρκεί να το αναποδογυρίσετε.

Διαίρεση ενός κλάσματος με έναν αριθμό

Ας πούμε ότι έχουμε μισή πίτσα:

Ας το χωρίσουμε εξίσου στα δύο. Πόσες πίτσες θα πάρει ο καθένας;

Μπορεί να φανεί ότι μετά το χωρισμό της μισής πίτσας, προέκυψαν δύο ίσα κομμάτια, καθένα από τα οποία αποτελεί μια πίτσα. Έτσι όλοι παίρνουν μια πίτσα.