Πίνακας ιδιοτήτων συναρτήσεων ισχύος και γραφήματα. Λειτουργία ισχύος

Λειτουργία όπου Χ – μεταβλητή ποσότητα, ΕΝΑ– καλείται ένας δεδομένος αριθμός Λειτουργία ισχύος .

Αν τότε είναι μια γραμμική συνάρτηση, η γραφική παράσταση της είναι μια ευθεία γραμμή (βλ. παράγραφο 4.3, Εικ. 4.7).

Αν τότε - τετραγωνική λειτουργία, η γραφική παράσταση του είναι παραβολή (βλ. παράγραφο 4.3, Εικ. 4.8).

Αν τότε η γραφική παράσταση του είναι μια κυβική παραβολή (βλ. παράγραφο 4.3, Εικ. 4.9).

Λειτουργία ισχύος

Αυτό αντίστροφη συνάρτησηΓια

1. Τομέα:

2. Πολλαπλές έννοιες:

3. Ζυγός και περιττός:η συνάρτηση είναι περίεργη.

4. Συχνότητα λειτουργίας:μη περιοδική.

5. Μηδενικά συναρτήσεων: Χ= 0 – το μόνο μηδέν.

6. Η συνάρτηση δεν έχει μέγιστη ή ελάχιστη τιμή.

7.

8. Γράφημα μιας συνάρτησηςΣυμμετρικό με τη γραφική παράσταση μιας κυβικής παραβολής σε σχέση με μια ευθεία γραμμή Υ=Χκαι φαίνεται στο Σχ. 5.1.

Λειτουργία ισχύος

1. Τομέα:

2. Πολλαπλές έννοιες:

3. Ζυγός και περιττός:η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.

4. Συχνότητα λειτουργίας:μη περιοδική.

5. Μηδενικά συναρτήσεων:ενιαίο μηδέν Χ = 0.

6. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης:παίρνει τη μικρότερη τιμή για Χ= 0, είναι ίσο με 0.

7. Αύξηση και μείωση διαστημάτων:η συνάρτηση μειώνεται στο διάστημα και αυξάνεται στο διάστημα

8. Γράφημα μιας συνάρτησης(για κάθε Ν Î Ν) είναι "παρόμοιο" με το γράφημα τετραγωνική παραβολή(τα γραφήματα συναρτήσεων φαίνονται στην Εικ. 5.2).

Λειτουργία ισχύος

1. Τομέα:

2. Πολλαπλές έννοιες:

3. Ζυγός και περιττός:η συνάρτηση είναι περίεργη.

4. Συχνότητα λειτουργίας:μη περιοδική.

5. Μηδενικά συναρτήσεων: Χ= 0 – το μόνο μηδέν.

6. Υψηλότερες και χαμηλότερες τιμές:

7. Αύξηση και μείωση διαστημάτων:η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

8. Γράφημα μιας συνάρτησης(για κάθε ) είναι «παρόμοιο» με τη γραφική παράσταση μιας κυβικής παραβολής (τα γραφήματα συναρτήσεων φαίνονται στο Σχ. 5.3).

Λειτουργία ισχύος

1. Τομέα:

2. Πολλαπλές έννοιες:

3. Ζυγός και περιττός:η συνάρτηση είναι περίεργη.

4. Συχνότητα λειτουργίας:μη περιοδική.

5. Μηδενικά συναρτήσεων:δεν έχει μηδενικά.

6. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης:η συνάρτηση δεν έχει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές για καμία

7. Αύξηση και μείωση διαστημάτων:η συνάρτηση μειώνεται στο πεδίο ορισμού της.

8. Ασύμπτωτες:(άξονας OU) – κατακόρυφη ασύμπτωτη.

(άξονας Ω) – οριζόντια ασύμπτωτη.

9. Γράφημα μιας συνάρτησης(Για οποιονδηποτε Ν) είναι «παρόμοιο» με το γράφημα μιας υπερβολής (τα γραφήματα συναρτήσεων φαίνονται στο Σχ. 5.4).

Λειτουργία ισχύος

1. Τομέα:

2. Πολλαπλές έννοιες:

3. Ζυγός και περιττός:η λειτουργία είναι ομοιόμορφη.

4. Συχνότητα λειτουργίας:μη περιοδική.

5. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης:η συνάρτηση δεν έχει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές για καμία

6. Αύξηση και μείωση διαστημάτων:η συνάρτηση αυξάνεται κατά και μειώνεται κατά

7. Ασύμπτωτες: Χ= 0 (άξονας OU) – κατακόρυφη ασύμπτωτη.

Υ= 0 (άξονας Ω) – οριζόντια ασύμπτωτη.

8. Γραφήματα συναρτήσεωνΕίναι τετραγωνικές υπερβολές (Εικ. 5.5).

Λειτουργία ισχύος

1. Τομέα:

2. Πολλαπλές έννοιες:

3. Ζυγός και περιττός:η συνάρτηση δεν έχει την ιδιότητα του άρτιου και του περιττού.

4. Συχνότητα λειτουργίας:μη περιοδική.

5. Μηδενικά συναρτήσεων: Χ= 0 – το μόνο μηδέν.

6. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης:η συνάρτηση παίρνει τη μικρότερη τιμή ίση με 0 στο σημείο Χ= 0; υψηλότερη τιμήδεν έχει.

7. Αύξηση και μείωση διαστημάτων:η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

8. Κάθε τέτοια συνάρτηση για έναν ορισμένο εκθέτη είναι το αντίστροφο της συνάρτησης που παρέχεται

9. Γράφημα μιας συνάρτησης"μοιάζει" με το γράφημα μιας συνάρτησης για οποιαδήποτε Νκαι φαίνεται στο Σχ. 5.6.

Λειτουργία ισχύος

1. Τομέα:

2. Πολλαπλές έννοιες:

3. Ζυγός και περιττός:η συνάρτηση είναι περίεργη.

4. Συχνότητα λειτουργίας:μη περιοδική.

5. Μηδενικά συναρτήσεων: Χ= 0 – το μόνο μηδέν.

6. Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές της συνάρτησης:η συνάρτηση δεν έχει τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές για καμία

7. Αύξηση και μείωση διαστημάτων:η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

8. Γράφημα μιας συνάρτησηςΕμφανίζεται στο Σχ. 5.7.

Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητες και γράφημα Υλικό επίδειξηςΜάθημα-διάλεξη Έννοια λειτουργίας. Ιδιότητες λειτουργίας. Συνάρτηση ισχύος, ιδιότητες και γράφημα. Βαθμός 10 Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Πνευματικά δικαιώματα με πνευματικά δικαιώματα με

Πρόοδος μαθήματος: Επανάληψη. Λειτουργία. Ιδιότητες συναρτήσεων. Εκμάθηση νέου υλικού. 1. Ορισμός συνάρτησης ισχύος. Ορισμός συνάρτησης ισχύος. 2. Ιδιότητες και γραφήματα συναρτήσεων ισχύος Ιδιότητες και γραφήματα συναρτήσεων ισχύος. Εμπέδωση της ύλης που μελετήθηκε. Λεκτική καταμέτρηση. Λεκτική καταμέτρηση. Περίληψη μαθήματος. Ανάθεση εργασίας για το σπίτι.

Τομέας ορισμού και τομέας τιμών συνάρτησης Όλες οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής αποτελούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης x y=f(x) f Τομέας ορισμού της συνάρτησης Τομέας τιμών της συνάρτησης Όλα τιμές που παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή από τον τομέα των τιμών της συνάρτησης Συνάρτηση. Ιδιότητες συνάρτησης

Γράφημα συνάρτησης Έστω μια συνάρτηση όπου xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των σημείων επίπεδο συντεταγμένων, οι τετμημένες των οποίων είναι ίσες με τις τιμές του ορίσματος και οι τεταγμένες ίσες με τις αντίστοιχες τιμές της συνάρτησης. Λειτουργία. Ιδιότητες συνάρτησης

Y x Τομέας ορισμού και εύρος τιμών της συνάρτησης 4 y=f(x) Τομέας ορισμού της συνάρτησης: Τομέας τιμών της συνάρτησης: Συνάρτηση. Ιδιότητες συνάρτησης

Ζυγή συνάρτηση y x y=f(x) Γράφημα ομοιόμορφη λειτουργίαείναι συμμετρική ως προς τον άξονα του op-amp Η συνάρτηση y=f(x) καλείται ακόμα και αν f(-x) = f(x) για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Συνάρτηση. Ιδιότητες συνάρτησης

Περιττή συνάρτηση y x y=f(x) Γράφημα περιττή συνάρτησησυμμετρική ως προς την αρχή των συντεταγμένων O(0;0) Η συνάρτηση y=f(x) ονομάζεται περιττή αν f(-x) = -f(x) για οποιοδήποτε x από το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Συνάρτηση. Ιδιότητες συνάρτησης

Ορισμός συνάρτησης ισχύος Μια συνάρτηση όπου p είναι ένας δεδομένος πραγματικός αριθμός ονομάζεται συνάρτηση ισχύος. p y=x p P=x y 0 Πρόοδος μαθήματος

Συνάρτηση ισχύος x y 1. Το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών των συναρτήσεων ισχύος της φόρμας, όπου n – φυσικός αριθμός, είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί. 2. Αυτές οι συναρτήσεις είναι περιττές. Η γραφική παράσταση τους είναι συμμετρική ως προς την προέλευση. Ιδιότητες και γραφήματα συναρτήσεων ισχύος

Συναρτήσεις ισχύος με ορθολογικό θετικό εκθέτη Το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι θετικοί αριθμοί και ο αριθμός 0. Το εύρος τιμών των συναρτήσεων με έναν τέτοιο εκθέτη είναι επίσης όλοι οι θετικοί αριθμοί και ο αριθμός 0. Αυτές οι συναρτήσεις δεν είναι ούτε ζυγοί ούτε περιττοί . y x Ιδιότητες και γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων ισχύος

Λειτουργία ισχύος με ορθολογική αρνητικός δείκτης. Ο τομέας ορισμού και το εύρος τιμών τέτοιων συναρτήσεων είναι όλοι θετικοί αριθμοί. Οι συναρτήσεις δεν είναι ούτε ζυγές ούτε περιττές. Τέτοιες συναρτήσεις μειώνονται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού τους. y x Ιδιότητες και γραφήματα συναρτήσεων ισχύος Πρόοδος μαθήματος

Ας θυμηθούμε τις ιδιότητες και τα γραφήματα των συναρτήσεων ισχύος με αρνητικό ακέραιο εκθέτη.

Για ακόμη n, :

Παράδειγμα συνάρτησης:

Όλα τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων διέρχονται από δύο σταθερά σημεία: (1;1), (-1;1). Η ιδιαιτερότητα των συναρτήσεων αυτού του τύπου είναι η ισοτιμία τους· τα γραφήματα είναι συμμετρικά σε σχέση με τον άξονα op-amp.

Ρύζι. 1. Γράφημα συνάρτησης

Για περιττό n, :

Παράδειγμα συνάρτησης:

Όλα τα γραφήματα τέτοιων συναρτήσεων διέρχονται από δύο σταθερά σημεία: (1;1), (-1;-1). Η ιδιαιτερότητα των συναρτήσεων αυτού του τύπου είναι ότι είναι περιττές· οι γραφικές παραστάσεις είναι συμμετρικές ως προς την αρχή.

Ρύζι. 2. Γράφημα συνάρτησης

Ας θυμηθούμε τον βασικό ορισμό.

Η ισχύς ενός μη αρνητικού αριθμού α με ρητό θετικό εκθέτη ονομάζεται αριθμός.

Βαθμός θετικός αριθμόςκαι με λογικό αρνητικό εκθέτη λέγεται αριθμός.

Για την ισότητα:

Για παράδειγμα: ; - η έκφραση δεν υπάρχει εξ ορισμού δύναμης με αρνητικό ορθολογικός δείκτης; υπάρχει επειδή ο εκθέτης είναι ακέραιος,

Ας προχωρήσουμε στην εξέταση συναρτήσεων ισχύος με λογικό αρνητικό εκθέτη.

Για παράδειγμα:

Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα αυτής της συνάρτησης, μπορείτε να δημιουργήσετε έναν πίνακα. Θα το κάνουμε διαφορετικά: πρώτα θα κατασκευάσουμε και θα μελετήσουμε το γράφημα του παρονομαστή - μας είναι γνωστό (Εικόνα 3).

Ρύζι. 3. Γράφημα συνάρτησης

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης παρονομαστή διέρχεται από ένα σταθερό σημείο (1;1). Όταν σχεδιάζετε την αρχική λειτουργία δεδομένο σημείοπαραμένει, όταν η ρίζα τείνει επίσης στο μηδέν, η συνάρτηση τείνει στο άπειρο. Και, αντίστροφα, καθώς το x τείνει στο άπειρο, η συνάρτηση τείνει στο μηδέν (Εικόνα 4).

Ρύζι. 4. Γράφημα συνάρτησης

Ας εξετάσουμε μια άλλη συνάρτηση από την οικογένεια των συναρτήσεων που μελετάμε.

Είναι σημαντικό ότι εξ ορισμού

Ας εξετάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στον παρονομαστή: , η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι γνωστή σε εμάς, αυξάνεται στο πεδίο ορισμού της και διέρχεται από το σημείο (1;1) (Εικόνα 5).

Ρύζι. 5. Γράφημα συνάρτησης

Κατά τη σχεδίαση της γραφικής παράστασης της αρχικής συνάρτησης, το σημείο (1;1) παραμένει, ενώ η ρίζα τείνει επίσης στο μηδέν, η συνάρτηση τείνει στο άπειρο. Και, αντίστροφα, καθώς το x τείνει στο άπειρο, η συνάρτηση τείνει στο μηδέν (Εικόνα 6).

Ρύζι. 6. Γράφημα συνάρτησης

Τα εξεταζόμενα παραδείγματα βοηθούν να κατανοήσουμε πώς ρέει το γράφημα και ποιες είναι οι ιδιότητες της συνάρτησης που μελετάται - μια συνάρτηση με αρνητικό ορθολογικό εκθέτη.

Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων αυτής της οικογένειας περνούν από το σημείο (1;1), η συνάρτηση μειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

Πεδίο λειτουργίας:

Η λειτουργία δεν περιορίζεται από πάνω, αλλά περιορίζεται από κάτω. Η συνάρτηση δεν έχει ούτε μέγιστο ούτε χαμηλότερη τιμή.

Η λειτουργία είναι συνεχής, δέχεται τα πάντα θετικές αξίεςαπό το μηδέν στο συν άπειρο.

Η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω (Εικόνα 15.7)

Τα σημεία Α και Β λαμβάνονται στην καμπύλη, ένα τμήμα τραβιέται μέσα από αυτά, ολόκληρη η καμπύλη είναι κάτω από το τμήμα, αυτή η συνθήκη ικανοποιείται για αυθαίρετα δύο σημεία της καμπύλης, επομένως η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω. Ρύζι. 7.

Ρύζι. 7. Κυρτότητα συνάρτησης

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι οι συναρτήσεις αυτής της οικογένειας οριοθετούνται από κάτω με μηδέν, αλλά δεν έχουν τη μικρότερη τιμή.

Παράδειγμα 1 - βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης στο διάστημα \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Γράφημα (Εικ. 2).

Εικόνα 2. Γράφημα της συνάρτησης $f\left(x\right)=x^(2n)$

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με φυσικό περιττό εκθέτη

Το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- η συνάρτηση είναι περιττή.

Το $f(x)$ είναι συνεχές σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

Το εύρος είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Η συνάρτηση αυξάνεται σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

$f\left(x\right)0$, για $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right)"=2 \αριστερά(2n-1\δεξιά)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Η συνάρτηση είναι κοίλη για $x\in (-\infty ,0)$ και κυρτή για $x\in (0,+\infty)$.

Γράφημα (Εικ. 3).

Εικόνα 3. Γράφημα της συνάρτησης $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη

Αρχικά, ας εισαγάγουμε την έννοια του βαθμού με ακέραιο εκθέτη.

Ορισμός 3

Βαθμός πραγματικός αριθμόςΤο $a$ με ακέραιο εκθέτη $n$ καθορίζεται από τον τύπο:

Εικόνα 4.

Ας εξετάσουμε τώρα μια συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη, τις ιδιότητες και το γράφημά της.

Ορισμός 4

Η $f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ ονομάζεται συνάρτηση ισχύος με ακέραιο εκθέτη.

Αν το πτυχίο Πάνω απο το μηδέν, τότε ερχόμαστε στην περίπτωση μιας συνάρτησης ισχύος με φυσικός δείκτης. Το έχουμε ήδη συζητήσει παραπάνω. Για $n=0$ παίρνουμε γραμμική συνάρτηση$y=1$. Θα αφήσουμε την εκτίμησή του στον αναγνώστη. Απομένει να εξετάσουμε τις ιδιότητες μιας συνάρτησης ισχύος με αρνητικό ακέραιο εκθέτη

Ιδιότητες συνάρτησης ισχύος με αρνητικό ακέραιο εκθέτη

Ο τομέας ορισμού είναι $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Αν ο εκθέτης είναι άρτιος, τότε η συνάρτηση είναι άρτια, αν είναι περιττή, τότε η συνάρτηση είναι περιττή.

Το $f(x)$ είναι συνεχές σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού.

Πεδίο εφαρμογής:

Αν ο εκθέτης είναι άρτιος, τότε $(0,+\infty)$· αν είναι μονός, τότε $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Αν όχι άρτιος δείκτηςη συνάρτηση μειώνεται ως $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. Εάν ο εκθέτης είναι άρτιος, η συνάρτηση μειώνεται ως $x\in (0,+\infty)$. και αυξάνεται ως $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού