Η θεωρία των δεκαδικών κλασμάτων. Πολλαπλασιασμός δυαδικών αριθμών

1. Ένα συνηθισμένο κλάσμα, του οποίου ο παρονομαστής είναι 10, 100, 1000 κ.λπ., ονομάζεται δεκαδικό κλάσμα.

2. Τα κλάσματα με παρονομαστή 10 n μπορούν να γραφούν ως δεκαδικό κλάσμα.

3. Αν προσθέσετε ένα ή περισσότερα μηδενικά στο δεκαδικό κλάσμα στα δεξιά, τότε θα έχετε ένα κλάσμα ίσο με αυτό.

4. Εάν ένα ή περισσότερα μηδενικά απορριφθούν στα δεξιά σε δεκαδικό κλάσμα, τότε θα προκύψει ένα κλάσμα ίσο με αυτό.

5. Το ακέραιο μέρος από το κλασματικό μέρος στον δεκαδικό συμβολισμό ενός αριθμού χωρίζεται με κόμμα.

6. Το κλασματικό μέρος από το ακέραιο μέρος στη δεκαδική σημειογραφία του αριθμού χωρίζεται με κόμμα.

7. Ένα δεκαδικό κλάσμα που έχει πεπερασμένο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή λέγεται τελικό δεκαδικό κλάσμα.

8. Ένα δεκαδικό που έχει άπειρο αριθμό ψηφίων μετά την υποδιαστολή ονομάζεται άπειρο δεκαδικό.

9. Τα άπειρα δεκαδικά κλάσματα χωρίζονται σε δεκαδικά περιοδικά και σε μη περιοδικά κλάσματα

10. Ένα διαδοχικά επαναλαμβανόμενο ψηφίο ή η ελάχιστη ομάδα ψηφίων στην εγγραφή ενός άπειρου δεκαδικού κλάσματος μετά την υποδιαστολή ονομάζεται περίοδος αυτού του άπειρου δεκαδικού κλάσματος.

11. Τα μη αναγώγιμα κοινά κλάσματα, των οποίων οι παρονομαστές δεν περιέχουν άλλους πρώτους παράγοντες, εκτός από τον 2 και τον 5, γράφονται ως τελικό δεκαδικό κλάσμα.

12. Τα μη αναγώγιμα συνηθισμένα κλάσματα, στον παρονομαστή των οποίων, εκτός από το 2 και το 5, υπάρχουν και άλλοι απλοί παράγοντες, γράφονται ως άπειρο δεκαδικό κλάσμα.

13. Ο κανόνας για τη μετατροπή ενός δεκαδικού σε κοινό κλάσμα.

Για να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα, πρέπει:

1) αφήστε ολόκληρο το μέρος αμετάβλητο.

2) γράψτε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή στον αριθμητή και στον παρονομαστή - ένα και τόσα μηδενικά όσα ψηφία υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα.

14. Ο κανόνας για τη μετατροπή ενός κοινού κλάσματος σε δεκαδικό.

1) (1ος τρόπος) Για να γράψετε ένα μη αναγώγιμο συνηθισμένο κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου δεν περιέχει άλλους απλούς παράγοντες, εκτός από το 2 και το 5, ως δεκαδικό, πρέπει να το παραστήσετε ως κλάσμα με παρονομαστή 10.100, 1000, κλπ.

(2ος τρόπος) - Διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

2) Για να γράψετε ένα μη αναγώγιμο συνηθισμένο κλάσμα, στον παρονομαστή του οποίου, εκτός από το 2 και το 5, υπάρχουν και άλλοι απλοί παράγοντες ως δεκαδικός, πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

15. Δεκαδικά ψηφία - ... εκατοντάδες, δεκάδες, μονάδες, δέκατα, εκατοστά, χιλιοστά ... δέκα χιλιοστά ....

16. Οι αριθμοί στα δεξιά της υποδιαστολής ονομάζονται δεκαδικά ψηφία.

17. Δεκαδική Σύγκριση:

1) (1 τρόπος) Στη δέσμη συντεταγμένων - το μικρότερο δεκαδικό κλάσμα βρίσκεται στα αριστερά και το μεγαλύτερο είναι στα δεξιά. Τα ίσα δεκαδικά κλάσματα απεικονίζονται στην ακτίνα συντεταγμένων στο ίδιο σημείο.

2) (2ος τρόπος) Τα δεκαδικά κλάσματα συγκρίνονται σπιθαμή προς μπιτ, ξεκινώντας από το υψηλότερο ψηφίο.

1) Εάν τα ακέραια μέρη των δεκαδικών κλασμάτων είναι διαφορετικά, τότε το δεκαδικό κλάσμα του οποίου το ακέραιο μέρος είναι μεγαλύτερο είναι μεγαλύτερο και το δεκαδικό κλάσμα του οποίου το ακέραιο μέρος είναι μικρότερο είναι μικρότερο.

2) αν τα ακέραια μέρη των δεκαδικών κλασμάτων είναι τα ίδια, τότε τόσο μεγαλύτερο είναι το δεκαδικό κλάσμα, το οποίο έχει περισσότερα από τα πρώτα ψηφία που δεν ταιριάζουν μετά την υποδιαστολή.

18. Κανόνες στρογγυλοποίησης του ακέραιου μέρους ενός δεκαδικού κλάσματος.Στρογγυλοποίηση δεκαδικού σε ψηφίο δεκάδες, εκατοντάδες κ.λπ., μπορείτε να απορρίψετε το κλασματικό τμήμα του και να εφαρμόσετε τον κανόνα στρογγυλοποίησης για φυσικούς αριθμούς στον εκμαθημένο αριθμό.

19. Κανόνες στρογγυλοποίησης του κλασματικού μέρους ενός δεκαδικού κλάσματος.Για να στρογγυλοποιήσετε ένα δεκαδικό σε μονάδες, δέκατα, εκατοστά και ούτω καθεξής, μπορείτε:

1) Απορρίψτε όλους τους αριθμούς που ακολουθούν αυτό το ψηφίο.

2) εάν το πρώτο ψηφίο που απορρίπτεται είναι 5, 6, 7, 8, 9, τότε αυξήστε τον αριθμό που προκύπτει κατά ένα ψηφίο, στο οποίο στρογγυλοποιούμε.

3) εάν το πρώτο απορριφθέν ψηφίο είναι 0,1,2,3,4. στη συνέχεια αφήστε τον αριθμό που προκύπτει αμετάβλητο.

20. Κανόνας πρόσθεσης (αφαίρεσης) δεκαδικών κλασμάτων.Για να προσθέσετε (αφαίρεση) δεκαδικούς αριθμούς:

1) εξισώστε σε δεκαδικά κλάσματα τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων.

2) γράψτε τα το ένα κάτω από το άλλο έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα και οι αριθμοί των ίδιων ψηφίων να είναι ο ένας κάτω από τον άλλο.

3) Εκτελέστε πρόσθεση (αφαίρεση) bit-bit.

4) βάλτε στην λαμβανόμενη τιμή του αθροίσματος (διαφορά) ένα κόμμα κάτω από τα κόμματα των όρων (μείωση και αφαίρεση).

21. Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό.Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό, χρειάζεστε:

1) πολλαπλασιάστε το με αυτόν τον αριθμό, αγνοώντας το κόμμα.

2) στο γινόμενο που προκύπτει, διαχωρίστε με κόμμα τόσα ψηφία στα δεξιά όσα χωρίζονται με κόμμα σε δεκαδικό κλάσμα.

22. Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με τους αριθμούς 10,100,1000 κ.λπ.Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό με 10,100,1000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά σε αυτό με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στη μονάδα bit.

23. Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων με τους αριθμούς 0,1. 0,01; 0,01 κ.λπ.Πολλαπλασιασμός ενός δεκαδικού επί 0,1. 0,01; 0,01, κ.λπ., είναι απαραίτητο να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά σε αυτό κατά τόσα ψηφία όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία στον διαιρέτη.

24. Κανόνας δεκαδικού πολλαπλασιασμού.Για να πολλαπλασιάσετε δεκαδικούς αριθμούς:

1) πολλαπλασιάστε τα, αγνοώντας το κόμμα.

2) στο γινόμενο που προκύπτει, διαχωρίστε με κόμμα τόσα ψηφία στα δεξιά όσα χωρίζονται με κόμμα σε δύο παράγοντες μαζί.

25. Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με τους αριθμούς 10,100,1000 κ.λπ.Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό κλάσμα με 10.100.1000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά σε αυτό με τόσα ψηφία όσα μηδενικά υπάρχουν στη μονάδα bit.

26. Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος σε αριθμούς 0,1. 0,01; 0,01 κ.λπ.Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με 0,1. 0,01; 0,01, κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά σε αυτό κατά τόσα ψηφία όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία στον διαιρέτη.

27. Ο κανόνας για τη διαίρεση ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό. Για να διαιρέσετε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό, χρειάζεστε:

1) διαιρέστε το με αυτόν τον αριθμό, αγνοώντας το κόμμα. 2) στο πηλίκο που προκύπτει, χωρίστε με κόμμα τόσα ψηφία στα δεξιά όσα χωρίζονται με κόμμα σε δεκαδικό κλάσμα.

28. Διαίρεση δεκαδικού με δεκαδικό.Για να διαιρέσετε έναν αριθμό με δεκαδικό, πρέπει:

1) στο μέρισμα και στο διαιρέτη, μετακινήστε το κόμμα προς τα δεξιά κατά τόσα ψηφία όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στον διαιρέτη.

2) διαιρέστε με έναν φυσικό αριθμό.

Σχόλιο:

Για παράδειγμα, 0,333...=0,(3) Διαβάζουν: "Περίπου τρεις στην περίοδο." Εάν σε ένα άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα, η περίοδος αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή, τότε ονομάζεται καθαρό δεκαδικό περιοδικό κλάσμα. Εάν υπάρχουν άλλα δεκαδικά ψηφία μεταξύ του κόμματος και της τελείας σε ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό κλάσμα, τότε ονομάζεται μεικτό επαναλαμβανόμενο δεκαδικό κλάσμα. Οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να γραφτούν ως καθαρό δεκαδικό περιοδικό κλάσμα με τελεία ίση με τον αριθμό μηδέν. Τα άπειρα δεκαδικά μη περιοδικά κλάσματα ονομάζονται άρρητοι αριθμοί. Οι παράλογοι αριθμοί γράφονται μόνο ως άπειρο δεκαδικό μη περιοδικό κλάσμα.

Math-Calculator-Online v.1.0

Η αριθμομηχανή εκτελεί τις ακόλουθες πράξεις: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό, διαίρεση, εργασία με δεκαδικούς αριθμούς, εξαγωγή της ρίζας, αύξηση σε ισχύ, υπολογισμός ποσοστών και άλλες πράξεις.

Λύση:

Πώς να χρησιμοποιήσετε τη μαθηματική αριθμομηχανή

Κλειδί	Ονομασία	Εξήγηση
5	αριθμοί 0-9	Αραβικοί αριθμοί. Εισαγάγετε φυσικούς ακέραιους, μηδέν. Για να λάβετε έναν αρνητικό ακέραιο, πατήστε το πλήκτρο +/-
.	άνω τελεία)	Ένα δεκαδικό διαχωριστικό. Εάν δεν υπάρχει ψηφίο πριν από την τελεία (κόμμα), η αριθμομηχανή θα αντικαταστήσει αυτόματα ένα μηδέν πριν από την τελεία. Για παράδειγμα: θα γραφτεί 0,5 - 0,5
+	σύμβολο συν	Πρόσθεση αριθμών (ακέραια, δεκαδικά κλάσματα)
-	σύμβολο μείον	Αφαίρεση αριθμών (ακέραια, δεκαδικά κλάσματα)
÷	σημάδι διαίρεσης	Διαίρεση αριθμών (ακέραια, δεκαδικά κλάσματα)
Χ	σημάδι πολλαπλασιασμού	Πολλαπλασιασμός αριθμών (ακέραιοι, δεκαδικοί)
√	ρίζα	Εξαγωγή της ρίζας από έναν αριθμό. Όταν πατήσετε ξανά το κουμπί "root", η ρίζα υπολογίζεται από το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα: τετραγωνική ρίζα 16 = 4; τετραγωνική ρίζα 4 = 2
x2	τετραγωνισμός	Τετράγωνο ενός αριθμού. Όταν πατήσετε ξανά το κουμπί "τετραγωνισμός", το αποτέλεσμα τετραγωνίζεται. Για παράδειγμα: τετράγωνο 2 = 4; τετράγωνο 4 = 16
1/x	κλάσμα	Έξοδος σε δεκαδικά ψηφία. Στον αριθμητή 1, στον παρονομαστή τον αριθμό εισαγωγής
%	τοις εκατό	Πάρτε ένα ποσοστό ενός αριθμού. Για να εργαστείτε, πρέπει να εισαγάγετε: τον αριθμό από τον οποίο θα υπολογιστεί το ποσοστό, το πρόσημο (συν, πλην, διαίρεση, πολλαπλασιασμός), πόσα τοις εκατό σε αριθμητική μορφή, το κουμπί "%"
(	ανοιχτή αγκύλη	Μια ανοιχτή παρένθεση για τον καθορισμό της προτεραιότητας αξιολόγησης. Απαιτείται κλειστή παρένθεση. Παράδειγμα: (2+3)*2=10
)	κλειστή αγκύλη	Μια κλειστή παρένθεση για τον καθορισμό της προτεραιότητας αξιολόγησης. Υποχρεωτική ανοιχτή αγκύλη
±	συν πλην	Αλλάζει το πρόσημο σε αντίθετο
=	ισοδυναμεί	Εμφανίζει το αποτέλεσμα της λύσης. Επίσης, οι ενδιάμεσοι υπολογισμοί και το αποτέλεσμα εμφανίζονται πάνω από την αριθμομηχανή στο πεδίο "Λύση".
←	διαγραφή χαρακτήρα	Διαγράφει τον τελευταίο χαρακτήρα
ΑΠΟ	επαναφορά	Κουμπί επαναφοράς. Επαναφέρει πλήρως την αριθμομηχανή στο "0"

Ο αλγόριθμος της ηλεκτρονικής αριθμομηχανής με παραδείγματα

Πρόσθεση.

Πρόσθεση ακέραιων φυσικών αριθμών ( 5 + 7 = 12 )

Πρόσθεση ακέραιων φυσικών και αρνητικών αριθμών ( 5 + (-2) = 3 )

Προσθήκη δεκαδικών κλασματικών αριθμών ( 0,3 + 5,2 = 5,5 )

Αφαίρεση.

Αφαίρεση ακέραιων φυσικών αριθμών ( 7 - 5 = 2 )

Αφαίρεση ακέραιων φυσικών και αρνητικών αριθμών ( 5 - (-2) = 7 )

Αφαίρεση δεκαδικών κλασματικών αριθμών ( 6,5 - 1,2 = 4,3 )

Πολλαπλασιασμός.

Γινόμενο ακέραιων φυσικών αριθμών ( 3 * 7 = 21 )

Το γινόμενο ακέραιων φυσικών και αρνητικών αριθμών ( 5 * (-3) = -15 )

Το γινόμενο δεκαδικών κλασματικών αριθμών ( 0,5 * 0,6 = 0,3 )

Διαίρεση.

Διαίρεση ακέραιων φυσικών αριθμών ( 27 / 3 = 9 )

Διαίρεση ακέραιων φυσικών και αρνητικών αριθμών ( 15 / (-3) = -5 )

Διαίρεση δεκαδικών κλασματικών αριθμών ( 6,2 / 2 = 3,1 )

Εξαγωγή της ρίζας από έναν αριθμό.

Εξαγωγή της ρίζας ενός ακέραιου αριθμού (ρίζα(9) = 3)

Εξαγωγή της ρίζας των δεκαδικών αριθμών (ρίζα(2,5) = 1,58)

Εξαγωγή της ρίζας από το άθροισμα των αριθμών (ρίζα(56 + 25) = 9)

Εξαγωγή της ρίζας της διαφοράς στους αριθμούς (ρίζα (32 - 7) = 5)

Τετράγωνο ενός αριθμού.

Τετράγωνο ακέραιου αριθμού ( (3) 2 = 9 )

Τετράγωνο δεκαδικών ( (2,2) 2 = 4,84 )

Μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα.

Υπολογισμός ποσοστών ενός αριθμού

Αύξηση 230 κατά 15% ( 230 + 230 * 0,15 = 264,5 )

Μειώστε τον αριθμό 510 κατά 35% ( 510 - 510 * 0,35 = 331,5 )

Το 18% του αριθμού 140 είναι ( 140 * 0,18 = 25,2 )

Στο τελευταίο μάθημα, μάθαμε πώς να προσθέτουμε και να αφαιρούμε δεκαδικά κλάσματα (δείτε το μάθημα "Προσθήκη και αφαίρεση δεκαδικών κλασμάτων"). Ταυτόχρονα, υπολόγισαν πόσο απλοποιούνται οι υπολογισμοί σε σύγκριση με τα συνηθισμένα κλάσματα «διώροφων».

Δυστυχώς, με τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων, αυτό το φαινόμενο δεν εμφανίζεται. Σε ορισμένες περιπτώσεις, ο δεκαδικός συμβολισμός περιπλέκει ακόμη και αυτές τις λειτουργίες.

Αρχικά, ας εισαγάγουμε έναν νέο ορισμό. Θα τον συναντάμε αρκετά συχνά, και όχι μόνο σε αυτό το μάθημα.

Το σημαντικό μέρος ενός αριθμού είναι οτιδήποτε μεταξύ του πρώτου και του τελευταίου μη μηδενικού ψηφίου, συμπεριλαμβανομένων των τρέιλερ. Μιλάμε μόνο για αριθμούς, η υποδιαστολή δεν λαμβάνεται υπόψη.

Τα ψηφία που περιλαμβάνονται στο σημαντικό μέρος του αριθμού ονομάζονται σημαντικά ψηφία. Μπορούν να επαναληφθούν και να είναι ίσες με μηδέν.

Για παράδειγμα, εξετάστε πολλά δεκαδικά κλάσματα και γράψτε τα αντίστοιχα σημαντικά μέρη τους:

91,25 → 9125 (σημαντικοί αριθμοί: 9; 1; 2; 5);
0,008241 → 8241 (σημαντικοί αριθμοί: 8; 2; 4; 1);
15.0075 → 150075 (σημαντικοί αριθμοί: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
0,0304 → 304 (σημαντικοί αριθμοί: 3; 0; 4);
3000 → 3 (υπάρχει μόνο ένας σημαντικός αριθμός: 3).

Σημειώστε: τα μηδενικά μέσα στο σημαντικό μέρος του αριθμού δεν πηγαίνουν πουθενά. Έχουμε ήδη συναντήσει κάτι παρόμοιο όταν μάθαμε να μετατρέπουμε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα (δείτε το μάθημα «Δεκαδικά κλάσματα»).

Αυτό το σημείο είναι τόσο σημαντικό και γίνονται λάθη τόσο συχνά που θα δημοσιεύσω μια δοκιμή για αυτό το θέμα στο εγγύς μέλλον. Φροντίστε να εξασκηθείτε! Και εμείς, οπλισμένοι με την έννοια του σημαντικού μέρους, θα προχωρήσουμε, στην πραγματικότητα, στο θέμα του μαθήματος.

Δεκαδικός πολλαπλασιασμός

Η λειτουργία πολλαπλασιασμού αποτελείται από τρία διαδοχικά βήματα:

Για κάθε κλάσμα σημειώστε το σημαντικό μέρος. Θα λάβετε δύο συνηθισμένους ακέραιους αριθμούς - χωρίς παρονομαστές και δεκαδικά ψηφία.
Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς με οποιονδήποτε βολικό τρόπο. Απευθείας, αν οι αριθμοί είναι μικροί, ή σε στήλη. Παίρνουμε το σημαντικό μέρος του επιθυμητού κλάσματος.
Μάθετε πού και με πόσα ψηφία μετατοπίζεται η υποδιαστολή στα αρχικά κλάσματα για να λάβετε το αντίστοιχο σημαντικό μέρος. Εκτελέστε αντίστροφες μετατοπίσεις στο σημαντικό μέρος που λήφθηκε στο προηγούμενο βήμα.

Να θυμίσω για άλλη μια φορά ότι τα μηδενικά στις πλευρές του σημαντικού μέρους δεν λαμβάνονται ποτέ υπόψη. Η παράβλεψη αυτού του κανόνα οδηγεί σε σφάλματα.

0,28 12,5;

6,3 1,08;

132,5 0,0034;

0,0108 1600,5;

5,25 10.000.

Δουλεύουμε με την πρώτη έκφραση: 0,28 12,5.

Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη για τους αριθμούς από αυτήν την έκφραση: 28 και 125.
Το γινόμενο τους: 28 125 = 3500;
Στον πρώτο πολλαπλασιαστή, η υποδιαστολή μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά (0,28 → 28) και στο δεύτερο - κατά άλλο 1 ψηφίο. Συνολικά, χρειάζεται μια μετατόπιση προς τα αριστερά κατά τρία ψηφία: 3500 → 3.500 = 3.5.

Ας ασχοληθούμε τώρα με την έκφραση 6.3 1.08.

Ας γράψουμε τα σημαντικά μέρη: 63 και 108.
Το γινόμενο τους: 63 108 = 6804;
Και πάλι, δύο μετατοπίσεις προς τα δεξιά: κατά 2 και 1 ψηφία, αντίστοιχα. Συνολικά - πάλι 3 ψηφία προς τα δεξιά, οπότε η αντίστροφη μετατόπιση θα είναι 3 ψηφία προς τα αριστερά: 6804 → 6.804. Αυτή τη φορά δεν υπάρχουν μηδενικά στο τέλος.

Φτάσαμε στην τρίτη έκφραση: 132,5 0,0034.

Σημαντικά μέρη: 1325 και 34;
Το γινόμενο τους: 1325 34 = 45.050;
Στο πρώτο κλάσμα, η υποδιαστολή πηγαίνει προς τα δεξιά κατά 1 ψηφίο και στο δεύτερο - κατά 4. Σύνολο: 5 προς τα δεξιά. Εκτελούμε μια μετατόπιση κατά 5 προς τα αριστερά: 45050 → .45050 = 0,4505. Το μηδέν αφαιρέθηκε στο τέλος και προστέθηκε στο μπροστινό μέρος για να μην αφήσει μια «γυμνή» υποδιαστολή.

Η ακόλουθη έκφραση: 0,0108 1600,5.

Γράφουμε σημαντικά μέρη: 108 και 16 005.
Τα πολλαπλασιάζουμε: 108 16 005 = 1 728 540;
Μετράμε τους αριθμούς μετά την υποδιαστολή: στον πρώτο αριθμό υπάρχουν 4, στον δεύτερο - 1. Συνολικά - πάλι 5. Έχουμε: 1.728.540 → 17,28540 = 17,2854. Στο τέλος αφαιρέθηκε το «έξτρα» μηδέν.

Τέλος, η τελευταία έκφραση: 5,25 10.000.

Σημαντικά μέρη: 525 και 1;
Τα πολλαπλασιάζουμε: 525 1 = 525;
Το πρώτο κλάσμα μετατοπίζεται 2 ψηφία προς τα δεξιά και το δεύτερο κλάσμα μετατοπίζεται 4 ψηφία προς τα αριστερά (10.000 → 1.0000 = 1). Σύνολο 4 − 2 = 2 ψηφία προς τα αριστερά. Εκτελούμε αντίστροφη μετατόπιση κατά 2 ψηφία προς τα δεξιά: 525, → 52 500 (έπρεπε να προσθέσουμε μηδενικά).

Δώστε προσοχή στο τελευταίο παράδειγμα: εφόσον η υποδιαστολή κινείται προς διαφορετικές κατευθύνσεις, η συνολική μετατόπιση γίνεται μέσω της διαφοράς. Αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα:

Θεωρήστε τους αριθμούς 1,5 και 12,500. Έχουμε: 1,5 → 15 (μετατόπιση κατά 1 προς τα δεξιά); 12 500 → 125 (μετατόπιση 2 προς τα αριστερά). Περνάμε 1 ψηφίο προς τα δεξιά και μετά 2 ψηφία προς τα αριστερά. Ως αποτέλεσμα, περάσαμε 2 − 1 = 1 ψηφίο προς τα αριστερά.

Δεκαδική διαίρεση

Η διαίρεση είναι ίσως η πιο δύσκολη επιχείρηση. Φυσικά, εδώ μπορείτε να ενεργήσετε αναλογικά με τον πολλαπλασιασμό: διαιρέστε τα σημαντικά μέρη και, στη συνέχεια, «μετακινήστε» την υποδιαστολή. Αλλά σε αυτή την περίπτωση, υπάρχουν πολλές λεπτές αποχρώσεις που αναιρούν τις πιθανές εξοικονομήσεις.

Ας δούμε λοιπόν έναν γενικό αλγόριθμο που είναι λίγο μεγαλύτερος, αλλά πολύ πιο αξιόπιστος:

Μετατρέψτε όλα τα δεκαδικά σε κοινά κλάσματα. Με λίγη εξάσκηση, αυτό το βήμα θα σας πάρει μερικά δευτερόλεπτα.
Διαιρέστε τα κλάσματα που προκύπτουν με τον κλασικό τρόπο. Με άλλα λόγια, πολλαπλασιάστε το πρώτο κλάσμα με το "ανεστραμμένο" δεύτερο (δείτε το μάθημα " Πολλαπλασιασμός και διαίρεση αριθμητικών κλασμάτων").
Εάν είναι δυνατόν, επιστρέψτε το αποτέλεσμα ως δεκαδικό. Αυτό το βήμα είναι επίσης γρήγορο, γιατί συχνά ο παρονομαστής έχει ήδη ισχύ δέκα.

Μια εργασία. Βρείτε την τιμή της έκφρασης:

3,51: 3,9;

1,47: 2,1;

6,4: 25,6:

0,0425: 2,5;

0,25: 0,002.

Θεωρούμε την πρώτη έκφραση. Αρχικά, ας μετατρέψουμε τα κλάσματα obi σε δεκαδικούς:

Κάνουμε το ίδιο με τη δεύτερη έκφραση. Ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος αναλύεται και πάλι σε παράγοντες:

Υπάρχει ένα σημαντικό σημείο στο τρίτο και τέταρτο παράδειγμα: αφού απαλλαγούμε από τον δεκαδικό συμβολισμό, εμφανίζονται ακυρώσιμα κλάσματα. Ωστόσο, δεν θα πραγματοποιήσουμε αυτή τη μείωση.

Το τελευταίο παράδειγμα είναι ενδιαφέρον γιατί ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι πρώτος αριθμός. Απλώς δεν υπάρχει τίποτα να παραγοντοποιήσουμε εδώ, επομένως το θεωρούμε "κενό":

Μερικές φορές η διαίρεση καταλήγει σε έναν ακέραιο (μιλάω για το τελευταίο παράδειγμα). Σε αυτή την περίπτωση, το τρίτο βήμα δεν εκτελείται καθόλου.

Επιπλέον, κατά τη διαίρεση, εμφανίζονται συχνά «άσχημα» κλάσματα που δεν μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικά. Εδώ διαφέρει η διαίρεση από τον πολλαπλασιασμό, όπου τα αποτελέσματα εκφράζονται πάντα σε δεκαδική μορφή. Φυσικά, σε αυτή την περίπτωση, το τελευταίο βήμα και πάλι δεν εκτελείται.

Δώστε επίσης προσοχή στο 3ο και 4ο παράδειγμα. Σε αυτά, σκόπιμα δεν μειώνουμε τα συνηθισμένα κλάσματα που λαμβάνονται από δεκαδικούς. Διαφορετικά, θα περιπλέξει το αντίστροφο πρόβλημα - αντιπροσωπεύοντας την τελική απάντηση ξανά σε δεκαδική μορφή.

Θυμηθείτε: η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος (όπως κάθε άλλος κανόνας στα μαθηματικά) από μόνη της δεν σημαίνει ότι πρέπει να εφαρμόζεται παντού και πάντα, με κάθε ευκαιρία.

Όπως γνωρίζετε, ο πολλαπλασιασμός των αριθμών μειώνεται στο άθροισμα των μερικών γινομένων που λαμβάνονται πολλαπλασιάζοντας το τρέχον ψηφίο του πολλαπλασιαστή ΣΤΟστον πολλαπλασιαστή L. Για δυάδικοςαριθμοί, τα επιμέρους γινόμενα είναι ίσα με τον πολλαπλασιαστή ή το μηδέν. Επομένως, ο πολλαπλασιασμός των δυαδικών αριθμών ανάγεται στο διαδοχικό άθροισμα μερικών γινομένων με μετατόπιση. Για δεκαδικόςαριθμοί, τα επιμέρους προϊόντα μπορούν να λάβουν 10 διαφορετικές τιμές, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός. Επομένως, για να ληφθούν μερικά γινόμενα, αντί για πολλαπλασιασμό, μπορεί να χρησιμοποιηθεί πολλαπλή διαδοχική άθροιση του πολλαπλασιαστή L. Για να επεξηγήσουμε τον αλγόριθμο πολλαπλασιασμού δεκαδικών αριθμών, θα χρησιμοποιήσουμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 2.26. Pa εικ. 2.15, έναδίνεται ο πολλαπλασιασμός των ακεραίων δεκαδικών αριθμών L x b \u003d 54 x 23, ξεκινώντας με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο του πολλαπλασιαστή. Για τον πολλαπλασιασμό χρησιμοποιείται ο ακόλουθος αλγόριθμος:

Ως αρχική κατάσταση λαμβάνεται το 0. Το πρώτο άθροισμα προκύπτει με την προσθήκη του πολλαπλασιαστή A = 54 στο μηδέν. Στη συνέχεια ο πολλαπλασιαστής προστίθεται ξανά στο πρώτο άθροισμα ΑΛΛΑ\u003d 54. Και τέλος, μετά την τρίτη άθροιση, προκύπτει το πρώτο μερικό γινόμενο, ίσο με 0 "+ 54 + 54 + 54 \u003d 162;

Ρύζι. 2.15. Αλγόριθμος για τον πολλαπλασιασμό ακεραίων δεκαδικών αριθμών 54 x 23(ένα) και την αρχή της εφαρμογής του(σι)

το πρώτο μερικό γινόμενο μετατοπίζεται ένα bit προς τα δεξιά (ή ο πολλαπλασιαστής προς τα αριστερά).
ο πολλαπλασιαστής προστίθεται δύο φορές στα αρχικά ψηφία του πρώτου μερικού γινομένου: 16 + 54 + 54 = 124.
Αφού συνδυαστεί το προκύπτον άθροισμα 124 με το λιγότερο σημαντικό ψηφίο 2 του πρώτου μερικού γινομένου, βρίσκεται το γινόμενο 1242.

Εξετάστε το παράδειγμα της δυνατότητας υλοποίησης κυκλώματος του αλγορίθμου χρησιμοποιώντας τις πράξεις άθροισης, αφαίρεσης και μετατόπισης.

Παράδειγμα 2.27.Αφήστε το μητρώο R t Α = 54. Στην αρχική κατάσταση στο μητρώο R 2 βάλε τον πολλαπλασιαστή ΣΤΟ= 23 και εγγραφείτε RΤο 3 είναι φορτωμένο με μηδενικά. Για να λάβουμε το πρώτο μερικό γινόμενο (162), προσθέτουμε τον πολλαπλασιαστή τρεις φορές στα περιεχόμενα του καταχωρητή Α = 54, ενώ μειώνεται το περιεχόμενο του μητρώου κατά ένα κάθε φορά R T Μετά το λιγότερο σημαντικό ψηφίο του μητρώου R.,γίνεται ίσο με μηδέν, μετατοπίζουμε προς τα δεξιά κατά ένα ψηφίο των περιεχομένων και των δύο καταχωρητών /?., και R.,.Η παρουσία του 0 στο λιγότερο σημαντικό bit RΤο 2c δείχνει ότι ο σχηματισμός του μερικού προϊόντος έχει ολοκληρωθεί και είναι απαραίτητο να γίνει μια μετατόπιση. Στη συνέχεια εκτελούμε δύο πράξεις πρόσθεσης του πολλαπλασιαστή ΑΛΛΑ= 54 με τα περιεχόμενα του μητρώου και αφαιρέστε ένα από τα περιεχόμενα του μητρώου R 0. Μετά τη δεύτερη λειτουργία, το λιγότερο σημαντικό bit του καταχωρητή R.,θα γίνει μηδέν. Επομένως, μετατοπίζοντας προς τα δεξιά κατά ένα bit των περιεχομένων των καταχωρητών R 3 και R Y παίρνουμε το επιθυμητό προϊόν P = 1242.

Η υλοποίηση του αλγορίθμου για τον πολλαπλασιασμό δεκαδικών αριθμών σε δυαδικούς-δεκαδικούς κωδικούς (Εικ. 2.16) έχει χαρακτηριστικά που σχετίζονται με την εκτέλεση πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης

Ρύζι. 2.16.

(βλ. παράγραφο 2.3), καθώς και μετατόπιση της τετραάδας κατά τέσσερα ψηφία. Εξετάστε τα υπό τις συνθήκες του Παραδείγματος 2.27.

Παράδειγμα 2.28. Πολλαπλασιασμός αριθμών κινητής υποδιαστολής.Για να πάρετε το γινόμενο των αριθμών Α και Β μεπρέπει να οριστεί κινητή υποδιαστολή Μγ = Μ l x Μ n, RΜε = Π{ + R n. Σε αυτή την περίπτωση χρησιμοποιούνται οι κανόνες πολλαπλασιασμού και αλγεβρικής πρόσθεσης αριθμών σταθερού σημείου. Στο γινόμενο αποδίδεται πρόσημο «+» εάν ο πολλαπλασιαστής και ο πολλαπλασιαστής έχουν τα ίδια πρόσημα, και ένα σύμβολο «-» εάν τα πρόσημά τους είναι διαφορετικά. Εάν είναι απαραίτητο, η μάντισσα που προκύπτει κανονικοποιείται με κατάλληλη διόρθωση παραγγελίας.

Παράδειγμα 2.29.Πολλαπλασιασμός δυαδικών κανονικοποιημένων αριθμών:

Κατά την εκτέλεση μιας λειτουργίας πολλαπλασιασμού, μπορεί να υπάρχει ειδικές περιπτώσεις, τα οποία επεξεργάζονται με ειδικές οδηγίες επεξεργαστή. Για παράδειγμα, εάν ένας από τους παράγοντες είναι ίσος με μηδέν, η λειτουργία πολλαπλασιασμού δεν εκτελείται (μπλοκάρεται) και σχηματίζεται αμέσως ένα μηδενικό αποτέλεσμα.

Το θέμα «Πολλαπλασιασμός δεκαδικών αριθμών» περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με έναν φυσικό αριθμό, τον πολλαπλασιασμό ενός δεκαδικού κλάσματος με ένα δεκαδικό κλάσμα και ορισμένες σημαντικές ειδικές περιπτώσεις. Ας γράψουμε όλους τους κανόνες αυτού του θέματος σε μια σελίδα.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό, χρειάζεστε

στο γινόμενο που προκύπτει, διαχωρίστε τόσα ψηφία μετά την υποδιαστολή όσα υπάρχουν μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα.

Παραδείγματα πολλαπλασιασμού δεκαδικού κλάσματος με φυσικό αριθμό.

Πολλαπλασιάζουμε χωρίς να προσέχουμε το κόμμα, δηλαδή 342∙7=2394. Υπάρχουν δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα 3.42. Επομένως, στο γινόμενο που προκύπτει, μετά την υποδιαστολή, χωρίζουμε δύο ψηφία: 23,94.

Έτσι, 3,42∙7=23,94.

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς χωρίς να προσέχουμε το κόμμα: 7135∙2=14270. Στο αποτέλεσμα που προκύπτει, τα δύο τελευταία ψηφία πρέπει να χωριστούν με κόμμα: 142,70. Αφού τα μηδενικά μετά την υποδιαστολή στο τέλος της δεκαδικής εγγραφής δεν γράφονται, τότε

71,35∙2=142,70=142,7.

3) 0, 000836∙17=?

Πολλαπλασιάζουμε χωρίς να λάβουμε υπόψη το κόμμα: 836∙17=14212. Δεδομένου ότι υπάρχουν 6 ψηφία μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα, πρέπει επίσης να υπάρχουν 6 ψηφία στο γινόμενο που προκύπτει μετά την υποδιαστολή. Δεδομένου ότι υπάρχουν μόνο 5 ψηφία στο αποτέλεσμα, συμπληρώνουμε το ένα ψηφίο που λείπει με μηδέν. Αποδίδουμε αυτό το μηδέν πριν από τον αριθμό: 01412. Με τη λήψη μιας τέτοιας καταχώρισης, γράφεται ένα μηδέν πριν από το κόμμα στο ακέραιο μέρος: 0,01412.

Για να πολλαπλασιάσετε δύο δεκαδικά ψηφία, χρειάζεστε:

πολλαπλασιάστε τους αριθμούς, αγνοώντας το κόμμα.
στο γινόμενο που προκύπτει, διαχωρίστε τόσα ψηφία μετά το κόμμα όσα υπάρχουν μετά τα κόμματα και στους δύο παράγοντες μαζί.

Παραδείγματα δεκαδικού πολλαπλασιασμού.

Πολλαπλασιάζουμε τους αριθμούς χωρίς να προσέχουμε το κόμμα: 13∙4=52. Στο γινόμενο που προκύπτει, μετά την υποδιαστολή, γράψτε όσα ψηφία υπάρχουν μετά την υποδιαστολή και στους δύο παράγοντες μαζί. Στον πρώτο παράγοντα 1,3 υπάρχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή, στον δεύτερο παράγοντα 0,4 υπάρχει ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή, συνολικά 1 + 1 = 2 ψηφία ως αποτέλεσμα πρέπει να χωριστούν με κόμμα: 0,52 (προσθέτοντας μηδέν πριν από την υποδιαστολή):

2) 3,00504∙0,025=?

Πολλαπλασιάζουμε χωρίς να λάβουμε υπόψη το κόμμα: 300504∙25=7512600. Στο γινόμενο που προκύπτει, μετά την υποδιαστολή, πρέπει να λάβετε τόσα ψηφία όσα υπάρχουν και στους δύο παράγοντες μετά την υποδιαστολή μαζί, δηλαδή 5 + 3 = 8 ψηφία. Ο αριθμός των ψηφίων που λείπουν συμπληρώνεται με μηδέν. Τα μηδενικά μετά την υποδιαστολή στο τέλος της δεκαδικής εγγραφής απορρίπτονται.

3,00504∙0,025=0,07512600=0,075126.

3) 1,37∙0,0061=?

Προϊόν χωρίς κόμμα 137∙61=8357. Η υποδιαστολή πρέπει να ακολουθείται από 2+4=6 ψηφία. Ο αριθμός των ψηφίων που λείπουν μέχρι το 6 συμπληρώνεται με δύο μηδενικά (τα γράφουμε μπροστά από τον αριθμό 8357. Αρχικά, πριν από το κόμμα στο ακέραιο μέρος, γράφουμε μηδέν:

1,37∙0,0061=0,008357.

3.Ειδικές περιπτώσεις πολλαπλασιασμού δεκαδικών κλασμάτων.

Για να πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό με 10, 100, 1000, 10000 κ.λπ., πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά στην εγγραφή κλασμάτων κατά 1, 2, 3, 4, κ.λπ. ψηφία προς τα δεξιά.

Παραδείγματα.

Μετακινήστε το ψηφίο του κόμματος 1 προς τα δεξιά:

1) 7,9∙10=79 (εδώ 79,=79);

2) 8,53∙10=85,3;