Στην πραγματικότητα, για να βρείτε την περιοχή ενός σχήματος, δεν χρειάζεστε τόση γνώση του αόριστου και ορισμένου ολοκληρώματος. Η εργασία "υπολογισμός της περιοχής χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα" περιλαμβάνει πάντα την κατασκευή ενός σχεδίου, έτσι οι γνώσεις και οι δεξιότητές σας στο σχέδιο θα είναι πολύ πιο σχετικό θέμα. Από αυτή την άποψη, είναι χρήσιμο να ανανεώσετε τη μνήμη των γραφημάτων των κύριων βασικών συναρτήσεων και, τουλάχιστον, να μπορέσετε να δημιουργήσετε μια ευθεία γραμμή και μια υπερβολή.

Ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από έναν άξονα, ευθείες γραμμές και ένα γράφημα μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα τμήμα που δεν αλλάζει πρόσημο σε αυτό το διάστημα. Αφήστε αυτό το σχήμα να βρίσκεται όχι λιγότεροτετμημένη:

Επειτα το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με ένα ορισμένο ολοκλήρωμα. Οποιοδήποτε οριστικό ολοκλήρωμα (που υπάρχει) έχει πολύ καλή γεωμετρική σημασία.

Όσον αφορά τη γεωμετρία, το οριστικό ολοκλήρωμα είναι η ΠΕΡΙΟΧΗ.

Αυτό είναι,το οριστικό ολοκλήρωμα (αν υπάρχει) αντιστοιχεί γεωμετρικά στο εμβαδόν κάποιου σχήματος. Για παράδειγμα, θεωρήστε το οριστικό ολοκλήρωμα . Το ολοκλήρωμα ορίζει μια καμπύλη στο επίπεδο που βρίσκεται πάνω από τον άξονα (όσοι επιθυμούν μπορούν να ολοκληρώσουν το σχέδιο) και το ίδιο το καθορισμένο ολοκλήρωμα είναι αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του αντίστοιχου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς.

Παράδειγμα 1

Αυτή είναι μια τυπική δήλωση εργασίας. Η πρώτη και πιο σημαντική στιγμή της απόφασης είναι η κατασκευή ενός σχεδίου. Επιπλέον, το σχέδιο πρέπει να κατασκευαστεί ΣΩΣΤΑ.

Κατά την κατασκευή ενός σχεδιαγράμματος, προτείνω την ακόλουθη σειρά: πρώταείναι καλύτερο να κατασκευάζονται όλες οι γραμμές (αν υπάρχουν) και μόνο μετά- παραβολές, υπερβολές, γραφικές παραστάσεις άλλων συναρτήσεων. Τα γραφήματα συναρτήσεων είναι πιο κερδοφόρα στην κατασκευή κατά σημείο.

Σε αυτό το πρόβλημα, η λύση μπορεί να μοιάζει με αυτό.
Ας κάνουμε ένα σχέδιο (σημειώστε ότι η εξίσωση ορίζει τον άξονα):

Στο τμήμα, βρίσκεται το γράφημα της συνάρτησης πάνω από τον άξονα, να γιατί:

Απάντηση:

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάτε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτήν την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα πληκτρολογηθούν περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν είχαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε, προφανώς, έγινε κάπου ένα λάθος - 20 κελιά σαφώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση ήταν αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές και άξονες συντεταγμένων.

Λύση: Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Αν βρίσκεται το καμπυλόγραμμο τραπέζιο κάτω από τον άξονα(ή τουλάχιστον όχι υψηλότεραδεδομένου άξονα), τότε η περιοχή του μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Σε αυτήν την περίπτωση:

Προσοχή! Μην συγχέετε τους δύο τύπους εργασιών:

1) Εάν σας ζητηθεί να λύσετε μόνο ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις εξετάστηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω ημιεπίπεδο, και ως εκ τούτου, από τα απλούστερα σχολικά προβλήματα, προχωράμε σε πιο ουσιαστικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 4

Βρείτε το εμβαδόν μιας επίπεδης φιγούρας που οριοθετείται από γραμμές, .

Λύση: Πρώτα πρέπει να ολοκληρώσετε το σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Ας βρούμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας. Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι αναλυτικός. Λύνουμε την εξίσωση:

Ως εκ τούτου, το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης, το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης.

Είναι καλύτερο να μην χρησιμοποιήσετε αυτήν τη μέθοδο εάν είναι δυνατόν..

Είναι πολύ πιο επικερδές και πιο γρήγορο να χτίζετε τις γραμμές σημείο προς σημείο, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης ανακαλύπτονται σαν «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης των ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η κατασκευή με σπείρωμα δεν αποκάλυψε τα όρια ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα). Και θα εξετάσουμε επίσης ένα τέτοιο παράδειγμα.

Επιστρέφουμε στο καθήκον μας: είναι πιο λογικό να κατασκευάσουμε πρώτα μια ευθεία γραμμή και μόνο μετά μια παραβολή. Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Και τώρα η φόρμουλα εργασίας: Εάν υπάρχει κάποια συνεχής λειτουργία στο διάστημα μεγαλύτερο ή ίσοκάποια συνεχής συνάρτηση, τότε η περιοχή του σχήματος που οριοθετείται από τα γραφήματα αυτών των συναρτήσεων και τις ευθείες γραμμές, μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Εδώ δεν χρειάζεται πλέον να σκεφτόμαστε πού βρίσκεται η φιγούρα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, και, χοντρικά, σημασία έχει ποιο γράφημα είναι ΠΑΝΩ(σε σχέση με άλλο γράφημα), και ποιο είναι ΠΑΡΑΚΑΤΩ.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Η ολοκλήρωση της λύσης μπορεί να μοιάζει με αυτό:

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή από πάνω και μια ευθεία γραμμή από κάτω.
Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Παράδειγμα 4

Υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από τις γραμμές , , , .

Λύση: Ας κάνουμε πρώτα ένα σχέδιο:

Η φιγούρα της οποίας η περιοχή πρέπει να βρούμε είναι σκιασμένη με μπλε.(δείτε προσεκτικά την κατάσταση - πώς είναι περιορισμένη η φιγούρα!). Αλλά στην πράξη, λόγω απροσεξίας, εμφανίζεται συχνά ένα "πρόβλημα", ότι πρέπει να βρείτε την περιοχή της φιγούρας που είναι σκιασμένη με πράσινο!

Αυτό το παράδειγμα είναι επίσης χρήσιμο στο ότι σε αυτό η περιοχή του σχήματος υπολογίζεται χρησιμοποιώντας δύο καθορισμένα ολοκληρώματα.

Πραγματικά:

1) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα ευθύγραμμο γράφημα.

2) Στο τμήμα πάνω από τον άξονα υπάρχει ένα γράφημα υπερβολής.

Είναι προφανές ότι οι περιοχές μπορούν (και πρέπει) να προστεθούν, επομένως:

Εργασία 1(για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς).

Στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων xOy, δίνεται ένα σχήμα (βλέπε σχήμα), οριοθετημένο από τον άξονα x, ευθείες x \u003d a, x \u003d b (ένα καμπυλόγραμμο τραπέζιο. Απαιτείται να υπολογιστεί το εμβαδόν του \ το καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές.
Λύση.Η Γεωμετρία μας δίνει συνταγές για τον υπολογισμό των εμβαδών των πολυγώνων και ορισμένων τμημάτων ενός κύκλου (τομέας, τμήμα). Χρησιμοποιώντας γεωμετρικές εκτιμήσεις, θα μπορέσουμε να βρούμε μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή της απαιτούμενης περιοχής, υποστηρίζοντας ως εξής.

Ας χωρίσουμε το τμήμα [a; β] (βάση καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς) σε n ίσα μέρη. αυτή η κατάτμηση είναι εφικτή με τη βοήθεια των σημείων x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Ας τραβήξουμε γραμμές μέσα από αυτά τα σημεία παράλληλες στον άξονα y. Τότε το δεδομένο καμπυλόγραμμο τραπέζιο θα χωριστεί σε n μέρη, σε n στενές στήλες. Το εμβαδόν ολόκληρου του τραπεζοειδούς είναι ίσο με το άθροισμα των περιοχών των στηλών.

Θεωρήστε χωριστά την k-η στήλη, δηλ. καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές, η βάση του οποίου είναι ένα τμήμα. Ας το αντικαταστήσουμε με ένα ορθογώνιο με την ίδια βάση και ύψος ίσο με f(x k) (βλ. σχήμα). Η περιοχή του ορθογωνίου είναι \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), όπου \(\Delta x_k \) είναι το μήκος του τμήματος. είναι φυσικό να θεωρηθεί το μεταγλωττισμένο προϊόν ως κατά προσέγγιση τιμή του εμβαδού της kth στήλης.

Αν τώρα κάνουμε το ίδιο με όλες τις άλλες στήλες, τότε καταλήγουμε στο εξής αποτέλεσμα: το εμβαδόν S ενός δεδομένου καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι περίπου ίσο με το εμβαδόν S n ενός κλιμακωτού σχήματος που αποτελείται από n ορθογώνια (βλ. σχήμα):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Εδώ, για λόγους ομοιομορφίας σημειογραφίας, θεωρούμε ότι a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Δέλτα x_0 \) - μήκος τμήματος , \(\Δέλτα x_1 \) - μήκος τμήματος κ.λπ. ενώ, όπως συμφωνήσαμε παραπάνω, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Άρα, \(S \περίπου S_n \), και αυτή η κατά προσέγγιση ισότητα είναι όσο πιο ακριβής, τόσο μεγαλύτερο είναι το n.
Εξ ορισμού, θεωρείται ότι η επιθυμητή περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι ίση με το όριο της ακολουθίας (S n):
$$ S = \lim_(n \έως \infty) S_n $$

Εργασία 2(σχετικά με τη μετακίνηση ενός σημείου)
Ένα υλικό σημείο κινείται σε ευθεία γραμμή. Η εξάρτηση της ταχύτητας από το χρόνο εκφράζεται με τον τύπο v = v(t). Να βρείτε τη μετατόπιση ενός σημείου στο χρονικό διάστημα [a; σι].
Λύση.Αν η κίνηση ήταν ομοιόμορφη, τότε το πρόβλημα θα λυνόταν πολύ απλά: s = vt, δηλ. s = v(b-a). Για ανομοιόμορφη κίνηση, πρέπει κανείς να χρησιμοποιήσει τις ίδιες ιδέες στις οποίες βασίστηκε η λύση του προηγούμενου προβλήματος.
1) Διαιρέστε το χρονικό διάστημα [a; β] σε n ίσα μέρη.
2) Θεωρήστε ένα χρονικό διάστημα και υποθέστε ότι σε αυτό το χρονικό διάστημα η ταχύτητα ήταν σταθερή, όπως τη χρονική στιγμή t k . Άρα, υποθέτουμε ότι v = v(t k).
3) Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της μετατόπισης σημείου στο χρονικό διάστημα , αυτή η κατά προσέγγιση τιμή θα συμβολίζεται με s k
\(s_k = v(t_k) \Δέλτα t_k \)
4) Βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή της μετατόπισης s:
\(s \περίπου S_n \) όπου
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Δέλτα t_(n-1) \)
5) Η απαιτούμενη μετατόπιση είναι ίση με το όριο της ακολουθίας (S n):
$$ s = \lim_(n \έως \infty) S_n $$

Ας συνοψίσουμε. Οι λύσεις διαφόρων προβλημάτων περιορίστηκαν στο ίδιο μαθηματικό μοντέλο. Πολλά προβλήματα από διάφορους τομείς της επιστήμης και της τεχνολογίας οδηγούν στο ίδιο μοντέλο στη διαδικασία επίλυσης. Άρα, αυτό το μαθηματικό μοντέλο θα πρέπει να μελετηθεί ειδικά.

Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος

Ας δώσουμε μια μαθηματική περιγραφή του μοντέλου που κατασκευάστηκε στα τρία εξεταζόμενα προβλήματα για τη συνάρτηση y = f(x), η οποία είναι συνεχής (αλλά όχι απαραίτητα μη αρνητική, όπως υποτέθηκε στα εξεταζόμενα προβλήματα) στο τμήμα [ ένα; σι]:
1) χωρίστε το τμήμα [a; β] σε n ίσα μέρη.
2) άθροισμα $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) υπολογίστε $$ \lim_(n \έως \infty) S_n $$

Κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης, αποδείχθηκε ότι αυτό το όριο υπάρχει στην περίπτωση μιας συνεχούς (ή τμηματικά συνεχούς) συνάρτησης. Ονομάζεται ένα ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης y = f(x) πάνω από το τμήμα [a; σι]και συμβολίζονται ως εξής:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Οι αριθμοί a και b ονομάζονται όρια ολοκλήρωσης (κάτω και άνω, αντίστοιχα).

Ας επιστρέψουμε στις εργασίες που συζητήθηκαν παραπάνω. Ο ορισμός της περιοχής που δίνεται στο πρόβλημα 1 μπορεί τώρα να ξαναγραφτεί ως εξής:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
εδώ S είναι η περιοχή του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που φαίνεται στο παραπάνω σχήμα. Αυτό είναι τι γεωμετρική σημασία του οριστικού ολοκληρώματος.

Ο ορισμός της μετατόπισης s ενός σημείου που κινείται σε ευθεία γραμμή με ταχύτητα v = v(t) στο χρονικό διάστημα από t = a έως t = b, που δίνεται στο Πρόβλημα 2, μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

Τύπος Newton - Leibniz

Αρχικά, ας απαντήσουμε στο ερώτημα: ποια είναι η σχέση ενός ορισμένου ολοκληρώματος και ενός αντιπαραγώγου;

Η απάντηση βρίσκεται στο πρόβλημα 2. Αφενός, η μετατόπιση s ενός σημείου που κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής με ταχύτητα v = v(t) σε ένα χρονικό διάστημα από t = a έως t = b και υπολογίζεται με ο τύπος
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Από την άλλη πλευρά, η συντεταγμένη του κινούμενου σημείου είναι η αντιπαράγωγος για την ταχύτητα - ας τη συμβολίσουμε s(t). επομένως η μετατόπιση s εκφράζεται με τον τύπο s = s(b) - s(a). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
όπου s(t) είναι το αντιπαράγωγο για v(t).

Το παρακάτω θεώρημα αποδείχθηκε κατά τη διάρκεια της μαθηματικής ανάλυσης.
Θεώρημα. Αν η συνάρτηση y = f(x) είναι συνεχής στο τμήμα [a; β], μετά ο τύπος
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
όπου F(x) είναι το αντιπαράγωγο για f(x).

Αυτός ο τύπος συνήθως ονομάζεται Τύπος Newton-Leibnizπρος τιμήν του Άγγλου φυσικού Ισαάκ Νεύτωνα (1643-1727) και του Γερμανού φιλοσόφου Γκότφριντ Λάιμπνιτς (1646-1716), οι οποίοι το έλαβαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλον και σχεδόν ταυτόχρονα.

Στην πράξη, αντί να γράφουν F(b) - F(a), χρησιμοποιούν τον συμβολισμό \(\left. F(x)\right|_a^b \) (μερικές φορές ονομάζεται διπλή αντικατάσταση) και, κατά συνέπεια, ξαναγράψτε τον τύπο Newton-Leibniz με αυτή τη μορφή:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \αριστερά. F(x)\right|_a^b \)

Υπολογίζοντας ένα ορισμένο ολοκλήρωμα, βρείτε πρώτα το αντιπαράγωγο και μετά πραγματοποιήστε διπλή αντικατάσταση.

Με βάση τον τύπο Newton-Leibniz, μπορεί κανείς να αποκτήσει δύο ιδιότητες ενός ορισμένου ολοκληρώματος.

Ιδιοκτησία 1.Το ολοκλήρωμα του αθροίσματος των συναρτήσεων είναι ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Ιδιοκτησία 2.Ο σταθερός παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από το ολοκλήρωμα:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Υπολογισμός των εμβαδών των επίπεδων σχημάτων με χρήση ορισμένου ολοκληρώματος

Χρησιμοποιώντας το ολοκλήρωμα, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή όχι μόνο των καμπυλόγραμμων τραπεζοειδών, αλλά και των επίπεδων σχημάτων ενός πιο σύνθετου τύπου, όπως αυτό που φαίνεται στο σχήμα. Το σχήμα P οριοθετείται από ευθείες x = a, x = b και γραφήματα συνεχών συναρτήσεων y = f(x), y = g(x), και στο τμήμα [a; b] ισχύει η ανισότητα \(g(x) \leq f(x) \). Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν S ενός τέτοιου σχήματος, θα προχωρήσουμε ως εξής:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Άρα, το εμβαδόν S του σχήματος που οριοθετείται από τις ευθείες x = a, x = b και τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y = f(x), y = g(x), συνεχές στο τμήμα και τέτοιο ώστε για κάθε x από το τμήμα [a; β] η ανισότητα \(g(x) \leq f(x) \) ικανοποιείται, υπολογίζεται από τον τύπο
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Πίνακας αόριστων ολοκληρωμάτων (αντιπαράγωγα) ορισμένων συναρτήσεων

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch )x+C $$

Αριθμός εργασίας 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

Εφαρμογή του ολοκληρώματος στην επίλυση εφαρμοσμένων προβλημάτων

Υπολογισμός επιφάνειας

Το οριστικό ολοκλήρωμα μιας συνεχούς μη αρνητικής συνάρτησης f(x) είναι αριθμητικά ίσο μεη περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από την καμπύλη y \u003d f (x), τον άξονα O x και τις ευθείες x \u003d a και x \u003d b. Συνεπώς, ο τύπος εμβαδού γράφεται ως εξής:

Εξετάστε μερικά παραδείγματα υπολογισμού των επιφανειών των επίπεδων σχημάτων.

Αριθμός εργασίας 1. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις γραμμές y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Λύση.Ας φτιάξουμε ένα σχήμα, το εμβαδόν του οποίου θα πρέπει να υπολογίσουμε.

y \u003d x 2 + 1 είναι μια παραβολή της οποίας οι κλάδοι κατευθύνονται προς τα πάνω και η παραβολή μετατοπίζεται προς τα πάνω κατά μία μονάδα σε σχέση με τον άξονα O y (Εικόνα 1).

Εικόνα 1. Γράφημα της συνάρτησης y = x 2 + 1

Αριθμός εργασίας 2. Υπολογίστε την περιοχή που οριοθετείται από τις γραμμές y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 στην περιοχή από 0 έως 1.

Λύση.Η γραφική παράσταση αυτής της συνάρτησης είναι η παραβολή του κλάδου, η οποία κατευθύνεται προς τα πάνω, και η παραβολή μετατοπίζεται προς τα κάτω κατά μία μονάδα σε σχέση με τον άξονα O y (Εικόνα 2).

Εικόνα 2. Γράφημα της συνάρτησης y \u003d x 2 - 1

Αριθμός εργασίας 3. Κάντε ένα σχέδιο και υπολογίστε το εμβαδόν του σχήματος που οριοθετείται από γραμμές

y = 8 + 2x - x 2 και y = 2x - 4.

Λύση.Η πρώτη από αυτές τις δύο ευθείες είναι μια παραβολή με κλάδους στραμμένους προς τα κάτω, αφού ο συντελεστής x 2 είναι αρνητικός και η δεύτερη γραμμή είναι μια ευθεία γραμμή που διασχίζει και τους δύο άξονες συντεταγμένων.

Για να κατασκευάσουμε μια παραβολή, ας βρούμε τις συντεταγμένες της κορυφής της: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – τετμημένη κορυφή; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 είναι η τεταγμένη του, N(1;9) είναι η κορυφή του.

Τώρα βρίσκουμε τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων:

Εξίσωση των δεξιών πλευρών μιας εξίσωσης της οποίας οι αριστερές πλευρές είναι ίσες.

Παίρνουμε 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ή x 2 - 12 \u003d 0, από όπου .

Άρα, τα σημεία είναι τα σημεία τομής της παραβολής και της ευθείας (Εικόνα 1).

Σχήμα 3 Γραφήματα συναρτήσεων y = 8 + 2x – x 2 και y = 2x – 4

Ας φτιάξουμε μια ευθεία γραμμή y = 2x - 4. Διέρχεται από τα σημεία (0;-4), (2; 0) στους άξονες συντεταγμένων.

Για να φτιάξετε μια παραβολή, μπορείτε επίσης να έχετε τα σημεία τομής της με τον άξονα 0x, δηλαδή τις ρίζες της εξίσωσης 8 + 2x - x 2 = 0 ή x 2 - 2x - 8 = 0. Με το θεώρημα Vieta, είναι εύκολο να βρείτε τις ρίζες του: x 1 = 2, x 2 = τέσσερις.

Το σχήμα 3 δείχνει ένα σχήμα (παραβολικό τμήμα M 1 N M 2) που οριοθετείται από αυτές τις γραμμές.

Το δεύτερο μέρος του προβλήματος είναι να βρεθεί η περιοχή αυτού του σχήματος. Το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας ένα ορισμένο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας τον τύπο .

Σε σχέση με αυτήν την συνθήκη, λαμβάνουμε το ολοκλήρωμα:

2 Υπολογισμός του όγκου ενός σώματος περιστροφής

Ο όγκος του σώματος που λαμβάνεται από την περιστροφή της καμπύλης y \u003d f (x) γύρω από τον άξονα O x υπολογίζεται από τον τύπο:

Όταν περιστρέφεται γύρω από τον άξονα O y, ο τύπος μοιάζει με:

Εργασία αριθμός 4. Προσδιορίστε τον όγκο του σώματος που λαμβάνεται από την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από ευθείες γραμμές x \u003d 0 x \u003d 3 και μια καμπύλη y \u003d γύρω από τον άξονα O x.

Λύση.Ας φτιάξουμε ένα σχέδιο (Εικόνα 4).

Εικόνα 4. Γράφημα της συνάρτησης y =

Ο επιθυμητός όγκος είναι ίσος με

Εργασία αριθμός 5. Να υπολογίσετε τον όγκο του σώματος που προκύπτει από την περιστροφή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς που οριοθετείται από καμπύλη y = x 2 και ευθείες y = 0 και y = 4 γύρω από τον άξονα O y .

Λύση.Εχουμε:

Επιθεώρηση των ερωτήσεων

ένα)

Λύση.

Η πρώτη και πιο σημαντική στιγμή της απόφασης είναι η κατασκευή ενός σχεδίου.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο:

Η εξίσωση y=0 ορίζει τον άξονα x.

- x=-2 και x=1 - ευθεία, παράλληλα προς τον άξονα OU;

- y \u003d x 2 +2 - παραβολή της οποίας οι κλάδοι είναι στραμμένοι προς τα πάνω, με κορυφή στο σημείο (0;2).

Σχόλιο.Για την κατασκευή μιας παραβολής αρκεί να βρούμε τα σημεία τομής της με τους άξονες συντεταγμένων, δηλ. βάζοντας x=0 βρείτε την τομή με τον άξονα OU και λύνοντας την αντίστοιχη τετραγωνική εξίσωση, να βρείτε την τομή με τον άξονα Ω .

Η κορυφή μιας παραβολής μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους τύπους:

Μπορείτε να σχεδιάσετε γραμμές και σημείο προς σημείο.

Στο διάστημα [-2;1] η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=x 2 +2 που βρίσκεται πάνω από τον άξονα Βόδι , να γιατί:

Απάντηση: μικρό \u003d 9 τετραγωνικές μονάδες

Αφού ολοκληρωθεί η εργασία, είναι πάντα χρήσιμο να κοιτάτε το σχέδιο και να καταλάβετε εάν η απάντηση είναι πραγματική. Σε αυτήν την περίπτωση, "με το μάτι" μετράμε τον αριθμό των κελιών στο σχέδιο - καλά, θα πληκτρολογηθούν περίπου 9, φαίνεται να είναι αλήθεια. Είναι απολύτως σαφές ότι αν είχαμε, ας πούμε, την απάντηση: 20 τετραγωνικές μονάδες, τότε, προφανώς, έγινε κάπου ένα λάθος - 20 κελιά σαφώς δεν χωρούν στο εν λόγω σχήμα, το πολύ μια ντουζίνα. Εάν η απάντηση ήταν αρνητική, τότε η εργασία λύθηκε επίσης εσφαλμένα.

Τι να κάνετε εάν εντοπίζεται το καμπυλόγραμμο τραπέζιο κάτω από τον άξονα Ω;

σι)Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y=-e x , x=1 και άξονες συντεταγμένων.

Λύση.

Ας κάνουμε ένα σχέδιο.

Αν ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές εντελώς κάτω από τον άξονα Ω , τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί με τον τύπο:

Απάντηση: S=(e-1) τ. μονάδα" 1,72 τ. μονάδα

Προσοχή! Μην συγχέετε τους δύο τύπους εργασιών:

1) Εάν σας ζητηθεί να λύσετε μόνο ένα οριστικό ολοκλήρωμα χωρίς γεωμετρική σημασία, τότε μπορεί να είναι αρνητικό.

2) Αν σας ζητηθεί να βρείτε το εμβαδόν ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο ολοκλήρωμα, τότε το εμβαδόν είναι πάντα θετικό! Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το μείον εμφανίζεται στον τύπο που μόλις εξετάστηκε.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές το σχήμα βρίσκεται τόσο στο άνω όσο και στο κάτω μισό επίπεδο.

Με)Βρείτε το εμβαδόν ενός επίπεδου σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Λύση.

Πρώτα πρέπει να κάνετε ένα σχέδιο. Γενικά, όταν κατασκευάζουμε ένα σχέδιο σε προβλήματα περιοχής, μας ενδιαφέρουν περισσότερο τα σημεία τομής των γραμμών. Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής και άμεση Αυτό μπορεί να γίνει με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι αναλυτικός.

Λύνουμε την εξίσωση:

Άρα το κατώτερο όριο ολοκλήρωσης a=0 , το ανώτερο όριο ολοκλήρωσης b=3 .

Κατασκευάζουμε τις δοσμένες γραμμές: 1. Παραβολή - κορυφή στο σημείο (1;1); διασταύρωση άξονα Ω -σημεία (0;0) και (0;2). 2. Ευθεία - η διχοτόμος της 2ης και 4ης συντεταγμένης γωνίας. Και τώρα Προσοχή! Εάν στο τμήμα [ α;β] κάποια συνεχής λειτουργία f(x)μεγαλύτερη ή ίση με κάποια συνεχή συνάρτηση g(x), τότε η περιοχή του αντίστοιχου σχήματος μπορεί να βρεθεί με τον τύπο: . Και δεν έχει σημασία πού βρίσκεται το σχήμα - πάνω από τον άξονα ή κάτω από τον άξονα, αλλά είναι σημαντικό ποιο γράφημα είναι ΥΨΗΛΟΤΕΡΟ (σε σχέση με άλλο γράφημα) και ποιο είναι ΚΑΤΩ. Στο υπό εξέταση παράδειγμα, είναι προφανές ότι στο τμήμα η παραβολή βρίσκεται πάνω από την ευθεία γραμμή, και επομένως είναι απαραίτητο να αφαιρεθεί από

Είναι δυνατή η κατασκευή γραμμών σημείο προς σημείο, ενώ τα όρια της ολοκλήρωσης διαπιστώνονται σαν «από μόνα τους». Ωστόσο, η αναλυτική μέθοδος εύρεσης των ορίων πρέπει να χρησιμοποιείται μερικές φορές εάν, για παράδειγμα, το γράφημα είναι αρκετά μεγάλο ή η κατασκευή με σπείρωμα δεν αποκάλυψε τα όρια ολοκλήρωσης (μπορεί να είναι κλασματικά ή παράλογα).

Το επιθυμητό σχήμα περιορίζεται από μια παραβολή από πάνω και μια ευθεία γραμμή από κάτω.

Στο τμήμα , σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση: μικρό \u003d Μονάδες 4,5 τ.μ

Σε αυτό το άρθρο, θα μάθετε πώς να βρίσκετε την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές χρησιμοποιώντας ολοκληρωμένους υπολογισμούς. Για πρώτη φορά, συναντάμε τη διατύπωση ενός τέτοιου προβλήματος στο λύκειο, όταν η μελέτη ορισμένων ολοκληρωμάτων μόλις έχει ολοκληρωθεί και είναι καιρός να ξεκινήσει η γεωμετρική ερμηνεία των γνώσεων που αποκτήθηκαν στην πράξη.

Έτσι, τι απαιτείται για την επιτυχή επίλυση του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα:

• Δυνατότητα σωστής σχεδίασης σχεδίων.
• Ικανότητα επίλυσης ορισμένου ολοκληρώματος χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο Newton-Leibniz.
• Η ικανότητα να "δούμε" μια πιο κερδοφόρα λύση - δηλ. για να καταλάβετε πώς σε αυτήν ή εκείνη την περίπτωση θα είναι πιο βολικό να πραγματοποιηθεί η ενσωμάτωση; Κατά μήκος του άξονα x (OX) ή του άξονα y (OY);
• Λοιπόν, πού χωρίς σωστούς υπολογισμούς;) Αυτό περιλαμβάνει την κατανόηση του τρόπου επίλυσης αυτού του άλλου τύπου ολοκληρωμάτων και τους σωστούς αριθμητικούς υπολογισμούς.

Αλγόριθμος για την επίλυση του προβλήματος του υπολογισμού του εμβαδού ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές:

1. Χτίζουμε ένα σχέδιο. Συνιστάται να το κάνετε αυτό σε ένα κομμάτι χαρτί σε ένα κλουβί, σε μεγάλη κλίμακα. Υπογράφουμε με ένα μολύβι πάνω από κάθε γράφημα το όνομα αυτής της συνάρτησης. Η υπογραφή των γραφημάτων γίνεται αποκλειστικά για τη διευκόλυνση περαιτέρω υπολογισμών. Έχοντας λάβει το γράφημα του επιθυμητού σχήματος, στις περισσότερες περιπτώσεις θα είναι αμέσως σαφές ποια όρια ολοκλήρωσης θα χρησιμοποιηθούν. Έτσι, λύνουμε το πρόβλημα γραφικά. Ωστόσο, συμβαίνει ότι οι τιμές των ορίων είναι κλασματικές ή παράλογες. Επομένως, μπορείτε να κάνετε πρόσθετους υπολογισμούς, μεταβείτε στο δεύτερο βήμα.

2. Εάν τα όρια ολοκλήρωσης δεν ορίζονται ρητά, τότε βρίσκουμε τα σημεία τομής των γραφημάτων μεταξύ τους και βλέπουμε αν η γραφική μας λύση ταιριάζει με την αναλυτική.

3. Στη συνέχεια, πρέπει να αναλύσετε το σχέδιο. Ανάλογα με το πώς βρίσκονται τα γραφήματα των συναρτήσεων, υπάρχουν διαφορετικές προσεγγίσεις για την εύρεση της περιοχής του σχήματος. Εξετάστε διάφορα παραδείγματα εύρεσης του εμβαδού ενός σχήματος χρησιμοποιώντας ολοκληρώματα.

3.1. Η πιο κλασική και απλούστερη εκδοχή του προβλήματος είναι όταν πρέπει να βρείτε την περιοχή ενός καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς. Τι είναι ένα καμπυλόγραμμο τραπεζοειδές; Αυτό είναι ένα επίπεδο σχήμα που οριοθετείται από τον άξονα x (y=0), ευθεία x = a, x = bκαι οποιαδήποτε καμπύλη συνεχή στο διάστημα από έναπριν σι. Ταυτόχρονα, αυτός ο αριθμός είναι μη αρνητικός και δεν βρίσκεται χαμηλότερα από τον άξονα x. Σε αυτήν την περίπτωση, το εμβαδόν του καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς είναι αριθμητικά ίσο με το οριστικό ολοκλήρωμα που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz:

Παράδειγμα 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Ποιες γραμμές ορίζουν το σχήμα; Έχουμε παραβολή y = x2 - 3x + 3, που βρίσκεται πάνω από τον άξονα OH, είναι μη αρνητικό, γιατί όλα τα σημεία αυτής της παραβολής είναι θετικά. Στη συνέχεια, δίνονται ευθείες γραμμές x = 1και x = 3που τρέχουν παράλληλα με τον άξονα OU, είναι οι οριογραμμές του σχήματος αριστερά και δεξιά. Καλά y = 0, αυτή είναι ο άξονας x, που περιορίζει το σχήμα από κάτω. Το σχήμα που προκύπτει είναι σκιασμένο, όπως φαίνεται στο σχήμα στα αριστερά. Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να αρχίσετε αμέσως να λύνετε το πρόβλημα. Μπροστά μας είναι ένα απλό παράδειγμα καμπυλόγραμμου τραπεζοειδούς, το οποίο στη συνέχεια λύνουμε χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz.

3.2. Στην προηγούμενη παράγραφο 3.1, αναλύθηκε η περίπτωση όταν το καμπυλόγραμμο τραπέζιο βρίσκεται πάνω από τον άξονα x. Τώρα εξετάστε την περίπτωση όταν οι συνθήκες του προβλήματος είναι οι ίδιες, εκτός από το ότι η συνάρτηση βρίσκεται κάτω από τον άξονα x. Ένα μείον προστίθεται στον τυπικό τύπο Newton-Leibniz. Πώς να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, θα εξετάσουμε περαιτέρω.

Παράδειγμα 2 . Υπολογίστε το εμβαδόν ενός σχήματος που οριοθετείται από γραμμές y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.

Σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε μια παραβολή y=x2+6x+2, που πηγάζει κάτω από τον άξονα OH, ευθεία x=-4, x=-1, y=0. Εδώ y = 0περιορίζει το επιθυμητό σχήμα από πάνω. Απευθείας x = -4και x = -1αυτά είναι τα όρια μέσα στα οποία θα υπολογιστεί το οριστικό ολοκλήρωμα. Η αρχή της επίλυσης του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός σχήματος συμπίπτει σχεδόν πλήρως με το παράδειγμα αριθμό 1. Η μόνη διαφορά είναι ότι η δεδομένη συνάρτηση δεν είναι θετική και είναι επίσης συνεχής στο διάστημα [-4; -1] . Τι σημαίνει όχι θετικό; Όπως φαίνεται από το σχήμα, το σχήμα που βρίσκεται μέσα στο δεδομένο x έχει αποκλειστικά «αρνητικές» συντεταγμένες, κάτι που πρέπει να δούμε και να θυμόμαστε όταν λύνουμε το πρόβλημα. Αναζητούμε την περιοχή του σχήματος χρησιμοποιώντας τον τύπο Newton-Leibniz, μόνο με ένα σύμβολο μείον στην αρχή.

Το άρθρο δεν έχει ολοκληρωθεί.