Είδη γραμμικών εξισώσεων. Επίλυση απλών γραμμικών εξισώσεων

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι μια ένωση n γραμμικών εξισώσεων, καθεμία από τις οποίες περιέχει k μεταβλητές. Είναι γραμμένο έτσι:

Πολλοί, όταν έρχονται αντιμέτωποι με υψηλότερη άλγεβρα για πρώτη φορά, πιστεύουν λανθασμένα ότι ο αριθμός των εξισώσεων πρέπει απαραίτητα να συμπίπτει με τον αριθμό των μεταβλητών. Στη σχολική άλγεβρα αυτό συμβαίνει συνήθως, αλλά για την ανώτερη άλγεβρα αυτό, γενικά, δεν ισχύει.

Η λύση ενός συστήματος εξισώσεων είναι μια ακολουθία αριθμών (k 1 , k 2 , ..., k n ), η οποία είναι η λύση σε κάθε εξίσωση του συστήματος, δηλ. όταν αντικαθιστούμε σε αυτήν την εξίσωση αντί για τις μεταβλητές x 1 , x 2 , ..., το x n δίνει τη σωστή αριθμητική ισότητα.

Κατά συνέπεια, για να λύσετε ένα σύστημα εξισώσεων σημαίνει να βρείτε το σύνολο όλων των λύσεών του ή να αποδείξετε ότι αυτό το σύνολο είναι κενό. Δεδομένου ότι ο αριθμός των εξισώσεων και ο αριθμός των αγνώστων μπορεί να μην είναι ίδιοι, είναι δυνατές τρεις περιπτώσεις:

Το σύστημα είναι ασυνεπές, δηλ. το σύνολο όλων των λύσεων είναι κενό. Μια αρκετά σπάνια περίπτωση που εντοπίζεται εύκολα ανεξάρτητα από τη μέθοδο επίλυσης του συστήματος.
Το σύστημα είναι συνεπές και καθορισμένο, δηλ. έχει ακριβώς μια λύση. Η κλασική εκδοχή, γνωστή από το σχολείο.
Το σύστημα είναι συνεπές και απροσδιόριστο, δηλ. έχει άπειρες λύσεις. Αυτή είναι η πιο δύσκολη επιλογή. Δεν αρκεί να δηλώσουμε ότι "το σύστημα έχει ένα άπειρο σύνολο λύσεων" - είναι απαραίτητο να περιγράψουμε πώς είναι διατεταγμένο αυτό το σύνολο.

Η μεταβλητή x i ονομάζεται επιτρεπόμενη εάν περιλαμβάνεται μόνο σε μία εξίσωση του συστήματος, και με συντελεστή 1. Με άλλα λόγια, στις υπόλοιπες εξισώσεις, ο συντελεστής για τη μεταβλητή x i πρέπει να είναι ίσος με μηδέν.

Εάν επιλέξουμε μία επιτρεπόμενη μεταβλητή σε κάθε εξίσωση, παίρνουμε ένα σύνολο επιτρεπόμενων μεταβλητών για ολόκληρο το σύστημα εξισώσεων. Το ίδιο το σύστημα, γραμμένο σε αυτή τη μορφή, θα ονομάζεται επίσης επιτρεπόμενο. Σε γενικές γραμμές, ένα και το αυτό αρχικό σύστημα μπορεί να περιοριστεί σε διαφορετικά επιτρεπόμενα συστήματα, αλλά αυτό δεν μας αφορά τώρα. Ακολουθούν παραδείγματα επιτρεπόμενων συστημάτων:

Και τα δύο συστήματα επιτρέπονται σε σχέση με τις μεταβλητές x 1 , x 3 και x 4 . Ωστόσο, με την ίδια επιτυχία μπορεί να υποστηριχθεί ότι το δεύτερο σύστημα επιτρέπεται σε σχέση με τα x 1 , x 3 και x 5 . Αρκεί να ξαναγράψουμε την τελευταία εξίσωση με τη μορφή x 5 = x 4 .

Τώρα εξετάστε μια γενικότερη περίπτωση. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε k μεταβλητές συνολικά, από τις οποίες επιτρέπονται τα r. Τότε είναι δυνατές δύο περιπτώσεις:

Ο αριθμός των επιτρεπόμενων μεταβλητών r είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό των μεταβλητών k : r = k . Παίρνουμε ένα σύστημα k εξισώσεων στο οποίο r = k επιτρεπόμενες μεταβλητές. Ένα τέτοιο σύστημα είναι συνεργατικό και οριστικό, γιατί x 1 \u003d b 1, x 2 \u003d b 2, ..., x k \u003d b k;
Ο αριθμός των επιτρεπόμενων μεταβλητών r είναι μικρότερος από τον συνολικό αριθμό των μεταβλητών k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Άρα, στα παραπάνω συστήματα, οι μεταβλητές x 2 , x 5 , x 6 (για το πρώτο σύστημα) και x 2 , x 5 (για το δεύτερο) είναι ελεύθερες. Η περίπτωση που υπάρχουν ελεύθερες μεταβλητές διατυπώνεται καλύτερα ως θεώρημα:

Παρακαλώ σημειώστε: αυτό είναι ένα πολύ σημαντικό σημείο! Ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο γράφετε το τελικό σύστημα, η ίδια μεταβλητή μπορεί να επιτρέπεται και δωρεάν. Οι περισσότεροι προχωρημένοι καθηγητές μαθηματικών συνιστούν να γράψετε τις μεταβλητές με λεξικογραφική σειρά, δηλ. αύξων δείκτης. Ωστόσο, δεν χρειάζεται να ακολουθήσετε καθόλου αυτή τη συμβουλή.

Θεώρημα. Εάν σε ένα σύστημα n εξισώσεων οι μεταβλητές x 1 , x 2 , ..., x r επιτρέπονται και x r + 1 , x r + 2 , ..., x k είναι ελεύθερες, τότε:

Αν ορίσουμε τις τιμές των ελεύθερων μεταβλητών (x r + 1 = t r + 1 , x r + 2 = t r + 2 , ..., x k = t k ), και στη συνέχεια βρούμε τις τιμές x 1 , x 2 , . .., x r , παίρνουμε μία από τις λύσεις.

Εάν οι τιμές των ελεύθερων μεταβλητών σε δύο λύσεις είναι ίδιες, τότε οι τιμές των επιτρεπόμενων μεταβλητών είναι επίσης ίδιες, δηλ. οι λύσεις είναι ίσες.

Ποιο είναι το νόημα αυτού του θεωρήματος; Για να ληφθούν όλες οι λύσεις του επιτρεπόμενου συστήματος εξισώσεων, αρκεί να ξεχωρίσουμε τις ελεύθερες μεταβλητές. Στη συνέχεια, εκχωρώντας διαφορετικές τιμές σε ελεύθερες μεταβλητές, θα λάβουμε έτοιμες λύσεις. Αυτό είναι όλο - με αυτόν τον τρόπο μπορείτε να πάρετε όλες τις λύσεις του συστήματος. Δεν υπάρχουν άλλες λύσεις.

Συμπέρασμα: το επιτρεπόμενο σύστημα εξισώσεων είναι πάντα συνεπές. Εάν ο αριθμός των εξισώσεων στο επιτρεπόμενο σύστημα είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών, το σύστημα θα είναι καθορισμένο, εάν είναι μικρότερο, θα είναι αόριστο.

Και όλα θα ήταν καλά, αλλά τίθεται το ερώτημα: πώς να λάβετε το επιλυμένο από το αρχικό σύστημα εξισώσεων; Για αυτό υπάρχει

Πρώτα πρέπει να καταλάβετε τι είναι.

Υπάρχει ένας απλός ορισμός γραμμική εξίσωση, που δίνεται σε ένα συνηθισμένο σχολείο: «μια εξίσωση στην οποία μια μεταβλητή εμφανίζεται μόνο στον πρώτο βαθμό». Αλλά δεν είναι εντελώς αλήθεια: η εξίσωση δεν είναι γραμμική, δεν ανάγεται καν σε τέτοια, ανάγεται σε τετραγωνική.

Ένας πιο ακριβής ορισμός είναι: γραμμική εξίσωσηείναι μια εξίσωση που ισοδύναμους μετασχηματισμούςμπορεί να μειωθεί στη μορφή όπου title="(!LANG:a,b σε bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Στην πραγματικότητα, για να καταλάβουμε αν μια εξίσωση είναι γραμμική ή όχι, πρέπει πρώτα να απλοποιηθεί, δηλαδή να έλθει σε μια μορφή όπου η ταξινόμησή της θα είναι σαφής. Θυμηθείτε, μπορείτε να κάνετε οτιδήποτε με την εξίσωση που δεν αλλάζει τις ρίζες της - αυτό είναι ισοδύναμο μετασχηματισμό. Από τους απλούστερους ισοδύναμους μετασχηματισμούς, μπορούμε να διακρίνουμε:

επέκταση παρένθεσης
φέρνοντας παρόμοια
πολλαπλασιασμός ή/και διαίρεση και των δύο πλευρών της εξίσωσης με έναν μη μηδενικό αριθμό
πρόσθεση ή/και αφαίρεση και από τα δύο μέρη του ίδιου αριθμού ή έκφρασης*

Μπορείς να κάνεις αυτές τις μεταμορφώσεις ανώδυνα, χωρίς να σκέφτεσαι αν «χαλάς» την εξίσωση ή όχι.
*Μια ιδιαίτερη ερμηνεία του τελευταίου μετασχηματισμού είναι η «μεταφορά» όρων από το ένα μέρος στο άλλο με αλλαγή πρόσημου.

Παράδειγμα 1:
(ανοιχτές αγκύλες)
(προσθέστε και στα δύο μέρη και αφαιρέστε / μεταφέρετε με αλλαγή του πρόσημου του αριθμού προς τα αριστερά και των μεταβλητών προς τα δεξιά)
(Δώστε παρόμοια)
(διαιρέστε με 3 και τις δύο πλευρές της εξίσωσης)

Έτσι πήραμε μια εξίσωση που έχει τις ίδιες ρίζες με την αρχική. Θυμίζουμε στον αναγνώστη ότι "λύσει την εξίσωση"σημαίνει να βρεις όλες τις ρίζες του και να αποδείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλες, και "ρίζα της εξίσωσης"- αυτός είναι ένας αριθμός που, όταν αντικατασταθεί με το άγνωστο, θα μετατρέψει την εξίσωση σε αληθινή ισότητα. Λοιπόν, στην τελευταία εξίσωση, η εύρεση ενός αριθμού που μετατρέπει την εξίσωση στη σωστή ισότητα είναι πολύ απλή - αυτός είναι ο αριθμός. Κανένας άλλος αριθμός δεν θα κάνει αυτή την εξίσωση ταυτότητα. Απάντηση:

Παράδειγμα 2:
(πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με , φροντίζοντας να μην πολλαπλασιάζουμε με : title="(!LANG:x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(ανοιχτές αγκύλες)
(όροι μετακίνησης)
(Δώστε παρόμοια)
(διαιρέστε και τα δύο μέρη με )

Έτσι λύνονται όλες οι γραμμικές εξισώσεις. Για τους νεότερους αναγνώστες, πιθανότατα, αυτή η εξήγηση φάνηκε περίπλοκη, οπότε προσφέρουμε την έκδοση "γραμμικές εξισώσεις για την τάξη 5"

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται ευρέως στην οικονομική βιομηχανία στη μαθηματική μοντελοποίηση διαφόρων διαδικασιών. Για παράδειγμα, κατά την επίλυση προβλημάτων διαχείρισης και προγραμματισμού παραγωγής, διαδρομών logistics (πρόβλημα μεταφοράς) ή τοποθέτησης εξοπλισμού.

Τα συστήματα εξισώσεων χρησιμοποιούνται όχι μόνο στον τομέα των μαθηματικών, αλλά και στη φυσική, τη χημεία και τη βιολογία, κατά την επίλυση προβλημάτων εύρεσης του μεγέθους του πληθυσμού.

Ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένας όρος για δύο ή περισσότερες εξισώσεις με πολλές μεταβλητές για τις οποίες είναι απαραίτητο να βρεθεί μια κοινή λύση. Μια τέτοια ακολουθία αριθμών για την οποία όλες οι εξισώσεις γίνονται αληθινές ισότητες ή αποδεικνύουν ότι η ακολουθία δεν υπάρχει.

Γραμμική εξίσωση

Οι εξισώσεις της μορφής ax+by=c ονομάζονται γραμμικές. Οι χαρακτηρισμοί x, y είναι οι άγνωστοι, η τιμή των οποίων πρέπει να βρεθεί, b, a είναι οι συντελεστές των μεταβλητών, c είναι ο ελεύθερος όρος της εξίσωσης.
Η επίλυση της εξίσωσης σχεδιάζοντας τη γραφική της παράσταση θα μοιάζει με ευθεία γραμμή, της οποίας όλα τα σημεία είναι η λύση του πολυωνύμου.

Είδη συστημάτων γραμμικών εξισώσεων

Τα πιο απλά είναι παραδείγματα συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με δύο μεταβλητές X και Y.

F1(x, y) = 0 και F2(x, y) = 0, όπου F1,2 είναι συναρτήσεις και (x, y) είναι μεταβλητές συνάρτησης.

Λύστε ένα σύστημα εξισώσεων - σημαίνει να βρούμε τέτοιες τιμές (x, y) για τις οποίες το σύστημα γίνεται αληθινή ισότητα ή να διαπιστωθεί ότι δεν υπάρχουν κατάλληλες τιμές των x και y.

Ένα ζεύγος τιμών (x, y), γραμμένο ως συντεταγμένες σημείου, ονομάζεται λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων.

Εάν τα συστήματα έχουν μία κοινή λύση ή δεν υπάρχει λύση, ονομάζονται ισοδύναμα.

Ομογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων είναι συστήματα των οποίων η δεξιά πλευρά είναι ίση με μηδέν. Εάν το δεξί μέρος μετά το πρόσημο "ίσο" έχει τιμή ή εκφράζεται με συνάρτηση, ένα τέτοιο σύστημα δεν είναι ομοιογενές.

Ο αριθμός των μεταβλητών μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερος από δύο, τότε θα πρέπει να μιλήσουμε για ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με τρεις ή περισσότερες μεταβλητές.

Αντιμέτωποι με συστήματα, οι μαθητές υποθέτουν ότι ο αριθμός των εξισώσεων πρέπει απαραίτητα να συμπίπτει με τον αριθμό των αγνώστων, αλλά αυτό δεν είναι έτσι. Ο αριθμός των εξισώσεων στο σύστημα δεν εξαρτάται από τις μεταβλητές, μπορεί να υπάρχει ένας αυθαίρετα μεγάλος αριθμός από αυτές.

Απλές και σύνθετες μέθοδοι επίλυσης συστημάτων εξισώσεων

Δεν υπάρχει γενικός αναλυτικός τρόπος επίλυσης τέτοιων συστημάτων, όλες οι μέθοδοι βασίζονται σε αριθμητικές λύσεις. Το σχολικό μάθημα των μαθηματικών περιγράφει λεπτομερώς μεθόδους όπως η μετάθεση, η αλγεβρική πρόσθεση, η αντικατάσταση, καθώς και η μέθοδος γραφικής και μήτρας, η λύση με τη μέθοδο Gauss.

Το κύριο καθήκον στις διδακτικές μεθόδους επίλυσης είναι να διδάξουμε πώς να αναλύουμε σωστά το σύστημα και να βρίσκουμε τον βέλτιστο αλγόριθμο λύσης για κάθε παράδειγμα. Το κύριο πράγμα δεν είναι να απομνημονεύσετε ένα σύστημα κανόνων και ενεργειών για κάθε μέθοδο, αλλά να κατανοήσετε τις αρχές της εφαρμογής μιας συγκεκριμένης μεθόδου.

Η λύση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων της 7ης τάξης του σχολικού προγράμματος γενικής εκπαίδευσης είναι αρκετά απλή και εξηγείται με μεγάλη λεπτομέρεια. Σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο για τα μαθηματικά, δίνεται αρκετή προσοχή σε αυτή την ενότητα. Η λύση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο των Gauss και Cramer μελετάται λεπτομερέστερα στα πρώτα μαθήματα των ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο υποκατάστασης

Οι ενέργειες της μεθόδου αντικατάστασης στοχεύουν στην έκφραση της τιμής μιας μεταβλητής μέσω της δεύτερης. Η έκφραση αντικαθίσταται στην υπόλοιπη εξίσωση και στη συνέχεια ανάγεται σε μια ενιαία μεταβλητή μορφή. Η ενέργεια επαναλαμβάνεται ανάλογα με τον αριθμό των αγνώστων στο σύστημα

Ας δώσουμε ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων της 7ης τάξης με τη μέθοδο αντικατάστασης:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, η μεταβλητή x εκφράστηκε μέσω F(X) = 7 + Y. Η προκύπτουσα έκφραση, που αντικαταστάθηκε στη 2η εξίσωση του συστήματος στη θέση του X, βοήθησε να ληφθεί μία μεταβλητή Y στη 2η εξίσωση . Η λύση αυτού του παραδείγματος δεν προκαλεί δυσκολίες και σας επιτρέπει να λάβετε την τιμή Y. Το τελευταίο βήμα είναι να ελέγξετε τις λαμβανόμενες τιμές.

Δεν είναι πάντα δυνατό να λυθεί ένα παράδειγμα συστήματος γραμμικών εξισώσεων με αντικατάσταση. Οι εξισώσεις μπορεί να είναι σύνθετες και η έκφραση της μεταβλητής ως προς το δεύτερο άγνωστο θα είναι πολύ επαχθής για περαιτέρω υπολογισμούς. Όταν υπάρχουν περισσότερα από 3 άγνωστα στο σύστημα, η λύση αντικατάστασης είναι επίσης μη πρακτική.

Λύση παραδείγματος συστήματος γραμμικών ανομοιογενών εξισώσεων:

Λύση με αλγεβρική πρόσθεση

Κατά την αναζήτηση μιας λύσης σε συστήματα με τη μέθοδο της πρόσθεσης, εκτελούνται προσθήκη όρου προς όρο και πολλαπλασιασμός των εξισώσεων με διάφορους αριθμούς. Ο απώτερος στόχος των μαθηματικών πράξεων είναι μια εξίσωση με μία μεταβλητή.

Οι εφαρμογές αυτής της μεθόδου απαιτούν εξάσκηση και παρατήρηση. Δεν είναι εύκολο να λυθεί ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πρόσθεσης με τον αριθμό των μεταβλητών 3 ή περισσότερες. Η αλγεβρική πρόσθεση είναι χρήσιμη όταν οι εξισώσεις περιέχουν κλάσματα και δεκαδικούς αριθμούς.

Αλγόριθμος δράσης λύσης:

Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με κάποιο αριθμό. Ως αποτέλεσμα της αριθμητικής πράξης, ένας από τους συντελεστές της μεταβλητής πρέπει να γίνει ίσος με 1.
Προσθέστε την προκύπτουσα έκφραση όρο προς όρο και βρείτε ένα από τα άγνωστα.
Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στη 2η εξίσωση του συστήματος για να βρείτε την υπόλοιπη μεταβλητή.

Μέθοδος επίλυσης με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής

Μια νέα μεταβλητή μπορεί να εισαχθεί εάν το σύστημα χρειάζεται να βρει μια λύση για όχι περισσότερες από δύο εξισώσεις, ο αριθμός των αγνώστων δεν πρέπει επίσης να είναι μεγαλύτερος από δύο.

Η μέθοδος χρησιμοποιείται για να απλοποιήσει μία από τις εξισώσεις εισάγοντας μια νέα μεταβλητή. Η νέα εξίσωση λύνεται σε σχέση με το εισαγόμενο άγνωστο και η τιμή που προκύπτει χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της αρχικής μεταβλητής.

Μπορεί να φανεί από το παράδειγμα ότι με την εισαγωγή μιας νέας μεταβλητής t, ήταν δυνατό να αναχθεί η 1η εξίσωση του συστήματος σε ένα τυπικό τετράγωνο τριώνυμο. Μπορείτε να λύσετε ένα πολυώνυμο βρίσκοντας το διαχωριστικό.

Είναι απαραίτητο να βρούμε την τιμή του διαχωριστή χρησιμοποιώντας τον γνωστό τύπο: D = b2 - 4*a*c, όπου D είναι η επιθυμητή διάκριση, b, a, c είναι οι πολλαπλασιαστές του πολυωνύμου. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, a=1, b=16, c=39, άρα D=100. Εάν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, τότε υπάρχουν δύο λύσεις: t = -b±√D / 2*a, εάν η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν, τότε υπάρχει μόνο μία λύση: x= -b / 2*a.

Η λύση για τα συστήματα που προκύπτουν βρίσκεται με τη μέθοδο της προσθήκης.

Μια οπτική μέθοδος για την επίλυση συστημάτων

Κατάλληλο για συστήματα με 3 εξισώσεις. Η μέθοδος συνίσταται στην γραφική παράσταση κάθε εξίσωσης που περιλαμβάνεται στο σύστημα στον άξονα συντεταγμένων. Οι συντεταγμένες των σημείων τομής των καμπυλών θα είναι η γενική λύση του συστήματος.

Η γραφική μέθοδος έχει μια σειρά από αποχρώσεις. Εξετάστε διάφορα παραδείγματα επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με οπτικό τρόπο.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, κατασκευάστηκαν δύο σημεία για κάθε γραμμή, οι τιμές της μεταβλητής x επιλέχθηκαν αυθαίρετα: 0 και 3. Με βάση τις τιμές του x, βρέθηκαν οι τιμές για το y: 3 και 0. Σημεία με συντεταγμένες (0, 3) και (3, 0) σημειώθηκαν στο γράφημα και συνδέθηκαν με μια γραμμή.

Τα βήματα πρέπει να επαναληφθούν για τη δεύτερη εξίσωση. Το σημείο τομής των ευθειών είναι η λύση του συστήματος.

Στο παρακάτω παράδειγμα, απαιτείται να βρεθεί μια γραφική λύση στο σύστημα των γραμμικών εξισώσεων: 0,5x-y+2=0 και 0,5x-y-1=0.

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, το σύστημα δεν έχει λύση, γιατί οι γραφικές παραστάσεις είναι παράλληλες και δεν τέμνονται σε όλο τους το μήκος.

Τα συστήματα από τα Παραδείγματα 2 και 3 είναι παρόμοια, αλλά όταν κατασκευάζονται, γίνεται προφανές ότι οι λύσεις τους είναι διαφορετικές. Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι δεν είναι πάντα δυνατό να πούμε εάν το σύστημα έχει λύση ή όχι, είναι πάντα απαραίτητο να δημιουργηθεί ένα γράφημα.

Το Matrix και οι ποικιλίες του

Οι πίνακες χρησιμοποιούνται για να καταγράψουν εν συντομία ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων. Ο πίνακας είναι ένας ειδικός τύπος πίνακα γεμάτο με αριθμούς. Το n*m έχει n - γραμμές και m - στήλες.

Ένας πίνακας είναι τετράγωνος όταν ο αριθμός των στηλών και των γραμμών είναι ίσος. Ένας πίνακας-διάνυσμα είναι ένας πίνακας μονής στήλης με έναν απεριόριστο δυνατό αριθμό σειρών. Ένας πίνακας με μονάδες κατά μήκος μιας από τις διαγωνίους και άλλα μηδενικά στοιχεία ονομάζεται ταυτότητα.

Ένας αντίστροφος πίνακας είναι ένας τέτοιος πίνακας, όταν πολλαπλασιαστεί με τον οποίο ο αρχικός μετατρέπεται σε μονάδα, ένας τέτοιος πίνακας υπάρχει μόνο για τον αρχικό τετράγωνο.

Κανόνες μετατροπής συστήματος εξισώσεων σε πίνακα

Όσον αφορά τα συστήματα εξισώσεων, οι συντελεστές και τα ελεύθερα μέλη των εξισώσεων γράφονται ως αριθμοί του πίνακα, μια εξίσωση είναι μια σειρά του πίνακα.

Μια γραμμή πίνακα ονομάζεται μη μηδενική εάν τουλάχιστον ένα στοιχείο της γραμμής δεν είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, εάν σε κάποια από τις εξισώσεις ο αριθμός των μεταβλητών διαφέρει, τότε είναι απαραίτητο να εισαγάγετε μηδέν στη θέση του αγνώστου που λείπει.

Οι στήλες του πίνακα πρέπει να αντιστοιχούν αυστηρά στις μεταβλητές. Αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές της μεταβλητής x μπορούν να γραφτούν μόνο σε μία στήλη, για παράδειγμα η πρώτη, ο συντελεστής του αγνώστου y - μόνο στη δεύτερη.

Κατά τον πολλαπλασιασμό ενός πίνακα, όλα τα στοιχεία του πίνακα πολλαπλασιάζονται διαδοχικά με έναν αριθμό.

Επιλογές για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα

Ο τύπος για την εύρεση του αντίστροφου πίνακα είναι αρκετά απλός: K -1 = 1 / |K|, όπου K -1 είναι ο αντίστροφος πίνακας και |K| - ορίζουσα μήτρας. |Κ| δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν, τότε το σύστημα έχει μια λύση.

Η ορίζουσα υπολογίζεται εύκολα για έναν πίνακα δύο προς δύο, είναι απαραίτητο μόνο να πολλαπλασιαστούν τα στοιχεία διαγώνια μεταξύ τους. Για την επιλογή "τρία επί τρία", υπάρχει ένας τύπος |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο ή μπορείτε να θυμάστε ότι πρέπει να πάρετε ένα στοιχείο από κάθε γραμμή και κάθε στήλη, έτσι ώστε οι αριθμοί στηλών και γραμμών των στοιχείων να μην επαναλαμβάνονται στο γινόμενο.

Επίλυση παραδειγμάτων συστημάτων γραμμικών εξισώσεων με τη μέθοδο του πίνακα

Η μέθοδος μήτρας για την εύρεση λύσης καθιστά δυνατή τη μείωση των δυσκίνητων εγγραφών κατά την επίλυση συστημάτων με μεγάλο αριθμό μεταβλητών και εξισώσεων.

Στο παράδειγμα, a nm είναι οι συντελεστές των εξισώσεων, ο πίνακας είναι διάνυσμα x n είναι οι μεταβλητές και b n είναι οι ελεύθεροι όροι.

Επίλυση συστημάτων με τη μέθοδο Gauss

Στα ανώτερα μαθηματικά, η μέθοδος Gauss μελετάται μαζί με τη μέθοδο Cramer και η διαδικασία εύρεσης λύσης σε συστήματα ονομάζεται μέθοδος επίλυσης Gauss-Cramer. Αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιούνται για την εύρεση των μεταβλητών συστημάτων με μεγάλο αριθμό γραμμικών εξισώσεων.

Η μέθοδος Gauss μοιάζει πολύ με τις λύσεις αντικατάστασης και αλγεβρικής προσθήκης, αλλά είναι πιο συστηματική. Στο σχολικό μάθημα χρησιμοποιείται η Gaussian λύση για συστήματα 3 και 4 εξισώσεων. Ο σκοπός της μεθόδου είναι να φέρει το σύστημα στη μορφή ενός ανεστραμμένου τραπεζοειδούς. Με αλγεβρικούς μετασχηματισμούς και αντικαταστάσεις, η τιμή μιας μεταβλητής βρίσκεται σε μια από τις εξισώσεις του συστήματος. Η δεύτερη εξίσωση είναι μια έκφραση με 2 άγνωστα, και 3 και 4 - με 3 και 4 μεταβλητές, αντίστοιχα.

Αφού φέρει το σύστημα στην περιγραφόμενη μορφή, η περαιτέρω λύση ανάγεται στη διαδοχική αντικατάσταση γνωστών μεταβλητών στις εξισώσεις του συστήματος.

Στα σχολικά εγχειρίδια για την 7η τάξη, ένα παράδειγμα μιας λύσης Gauss περιγράφεται ως εξής:

Όπως φαίνεται από το παράδειγμα, στο βήμα (3) προέκυψαν δύο εξισώσεις 3x 3 -2x 4 =11 και 3x 3 +2x 4 =7. Η λύση οποιασδήποτε από τις εξισώσεις θα σας επιτρέψει να βρείτε μία από τις μεταβλητές x n.

Το θεώρημα 5, το οποίο αναφέρεται στο κείμενο, αναφέρει ότι εάν μία από τις εξισώσεις του συστήματος αντικατασταθεί από μια ισοδύναμη, τότε το σύστημα που θα προκύψει θα είναι επίσης ισοδύναμο με το αρχικό.

Η μέθοδος Gaussian είναι δύσκολο να κατανοηθεί από τους μαθητές του γυμνασίου, αλλά είναι ένας από τους πιο ενδιαφέροντες τρόπους για την ανάπτυξη της εφευρετικότητας των παιδιών που σπουδάζουν στο προχωρημένο πρόγραμμα σπουδών στα μαθήματα μαθηματικών και φυσικής.

Για ευκολία στην καταγραφή των υπολογισμών, συνηθίζεται να κάνετε τα εξής:

Οι συντελεστές εξισώσεων και οι ελεύθεροι όροι γράφονται με τη μορφή πίνακα, όπου κάθε σειρά του πίνακα αντιστοιχεί σε μία από τις εξισώσεις του συστήματος. χωρίζει την αριστερή πλευρά της εξίσωσης από τη δεξιά πλευρά. Οι λατινικοί αριθμοί δηλώνουν τους αριθμούς των εξισώσεων στο σύστημα.

Πρώτα, γράφουν τη μήτρα με την οποία θα εργαστούν και μετά όλες τις ενέργειες που πραγματοποιήθηκαν με μία από τις σειρές. Ο προκύπτων πίνακας γράφεται μετά το σύμβολο "βέλος" και συνεχίζει να εκτελεί τις απαραίτητες αλγεβρικές πράξεις μέχρι να επιτευχθεί το αποτέλεσμα.

Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να ληφθεί ένας πίνακας στον οποίο μία από τις διαγώνιες είναι 1 και όλοι οι άλλοι συντελεστές είναι ίσοι με μηδέν, δηλαδή ο πίνακας μειώνεται σε μία ενιαία μορφή. Δεν πρέπει να ξεχνάμε να κάνουμε υπολογισμούς με τους αριθμούς και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

Αυτή η σημείωση είναι λιγότερο επαχθής και σας επιτρέπει να μην αποσπάτε την προσοχή αναφέροντας πολλά άγνωστα.

Η δωρεάν εφαρμογή οποιασδήποτε μεθόδου λύσης θα απαιτήσει προσοχή και κάποια εμπειρία. Δεν εφαρμόζονται όλες οι μέθοδοι. Ορισμένοι τρόποι εύρεσης λύσεων είναι πιο προτιμότεροι σε έναν συγκεκριμένο τομέα της ανθρώπινης δραστηριότητας, ενώ άλλοι υπάρχουν για σκοπούς μάθησης.

Γραμμικές εξισώσεις. Λύση, παραδείγματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Γραμμικές εξισώσεις.

Οι γραμμικές εξισώσεις δεν είναι το πιο δύσκολο θέμα στα σχολικά μαθηματικά. Υπάρχουν όμως κάποια κόλπα εκεί που μπορούν να προβληματίσουν ακόμη και έναν εκπαιδευμένο μαθητή. Θα το καταλάβουμε;)

Μια γραμμική εξίσωση ορίζεται συνήθως ως εξίσωση της μορφής:

τσεκούρι + σι = 0 όπου α και β- τυχόν αριθμούς.

2x + 7 = 0. Εδώ a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Εδώ a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Εδώ a=12, b=1/2

Τίποτα περίπλοκο, σωστά; Ειδικά αν δεν προσέξετε τις λέξεις: "όπου α και β είναι οποιοιδήποτε αριθμοί"... Και αν παρατηρήσετε, αλλά απρόσεκτα το σκεφτείτε;) Άλλωστε, αν a=0, b=0(είναι δυνατοί αριθμοί;), τότε παίρνουμε μια αστεία έκφραση:

Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Αν, ας πούμε, a=0,ένα b=5,αποδεικνύεται κάτι πολύ παράλογο:

Αυτό που καταπονεί και υπονομεύει την εμπιστοσύνη στα μαθηματικά, ναι...) Ειδικά στις εξετάσεις. Αλλά από αυτές τις περίεργες εκφράσεις, πρέπει επίσης να βρείτε το Χ! Που δεν υπάρχει καθόλου. Και, παραδόξως, αυτό το Χ είναι πολύ εύκολο να βρεθεί. Θα μάθουμε πώς να το κάνουμε. Σε αυτό το μάθημα.

Πώς να αναγνωρίσετε μια γραμμική εξίσωση στην εμφάνιση; Εξαρτάται από την εμφάνιση.) Το κόλπο είναι ότι οι γραμμικές εξισώσεις δεν ονομάζονται μόνο εξισώσεις της μορφής τσεκούρι + σι = 0 , αλλά και τυχόν εξισώσεις που ανάγονται σε αυτή τη μορφή με μετασχηματισμούς και απλοποιήσεις. Και ποιος ξέρει αν μειώνεται ή όχι;)

Μια γραμμική εξίσωση μπορεί να αναγνωριστεί ξεκάθαρα σε ορισμένες περιπτώσεις. Ας πούμε, αν έχουμε μια εξίσωση στην οποία υπάρχουν μόνο άγνωστοι στον πρώτο βαθμό, ναι αριθμοί. Και η εξίσωση όχι κλάσματα διαιρούμενα με άγνωστος , είναι σημαντικό! Και διαίρεση κατά αριθμός,ή ένα αριθμητικό κλάσμα - αυτό είναι! Για παράδειγμα:

Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση. Υπάρχουν κλάσματα εδώ, αλλά δεν υπάρχουν x στο τετράγωνο, στον κύβο κ.λπ., και δεν υπάρχουν x στους παρονομαστές, δηλ. Οχι διαίρεση με x. Και εδώ είναι η εξίσωση

δεν μπορεί να ονομαστεί γραμμικό. Εδώ τα x είναι όλα στον πρώτο βαθμό, αλλά υπάρχει διαίρεση με έκφραση με x. Μετά από απλοποιήσεις και μετασχηματισμούς, μπορείτε να πάρετε μια γραμμική εξίσωση και μια τετραγωνική και οτιδήποτε σας αρέσει.

Αποδεικνύεται ότι είναι αδύνατο να βρείτε μια γραμμική εξίσωση σε κάποιο περίπλοκο παράδειγμα μέχρι να την λύσετε σχεδόν. Είναι αναστατωμένο. Αλλά στις εργασίες, κατά κανόνα, δεν ρωτούν για τη μορφή της εξίσωσης, σωστά; Στις εργασίες, οι εξισώσεις ταξινομούνται αποφασίζω.Αυτό με κάνει χαρούμενο.)

Επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Παραδείγματα.

Ολόκληρη η λύση των γραμμικών εξισώσεων αποτελείται από πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εξισώσεων. Παρεμπιπτόντως, αυτοί οι μετασχηματισμοί (όσο και δύο!) αποτελούν τη βάση των λύσεων όλες οι εξισώσεις των μαθηματικών.Με άλλα λόγια, η απόφαση όποιοςΗ εξίσωση ξεκινά με αυτούς τους ίδιους μετασχηματισμούς. Στην περίπτωση των γραμμικών εξισώσεων, αυτή (η λύση) σε αυτούς τους μετασχηματισμούς τελειώνει με μια πλήρη απάντηση. Είναι λογικό να ακολουθήσετε τον σύνδεσμο, σωστά;) Επιπλέον, υπάρχουν και παραδείγματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων.

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό παράδειγμα. Χωρίς καμία παγίδα. Ας πούμε ότι πρέπει να λύσουμε την παρακάτω εξίσωση.

x - 3 = 2 - 4x

Αυτή είναι μια γραμμική εξίσωση. Τα X είναι όλα στην πρώτη δύναμη, δεν υπάρχει διαίρεση με το X. Αλλά, στην πραγματικότητα, δεν μας ενδιαφέρει ποια είναι η εξίσωση. Πρέπει να το λύσουμε. Το σχέδιο εδώ είναι απλό. Συλλέξτε τα πάντα με x στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, όλα χωρίς x (αριθμούς) στη δεξιά.

Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να κάνετε μεταφορά - 4 φορές προς τα αριστερά, με αλλαγή ταμπέλας, φυσικά, αλλά - 3 - δεξιά. Παρεμπιπτόντως, αυτό είναι πρώτος ταυτόσημος μετασχηματισμός εξισώσεων.Εκπληκτος? Έτσι, δεν ακολούθησαν τον σύνδεσμο, αλλά μάταια ...) Παίρνουμε:

x + 4x = 2 + 3

Δίνουμε παρόμοια, θεωρούμε:

Τι χρειαζόμαστε για να είμαστε απόλυτα ευτυχισμένοι; Ναι, για να υπάρχει ένα καθαρό Χ στα αριστερά! Πέντε μπαίνουν εμπόδιο. Ξεφορτωθείτε τα πέντε με δεύτερος ταυτόσημος μετασχηματισμός εξισώσεων.Δηλαδή, διαιρούμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης με το 5. Παίρνουμε μια έτοιμη απάντηση:

Ένα στοιχειώδες παράδειγμα, φυσικά. Αυτό είναι για προθέρμανση.) Δεν είναι πολύ σαφές γιατί θυμήθηκα πανομοιότυπες μεταμορφώσεις εδώ; ΕΝΤΑΞΕΙ. Παίρνουμε τον ταύρο από τα κέρατα.) Ας αποφασίσουμε κάτι πιο εντυπωσιακό.

Για παράδειγμα, εδώ είναι αυτή η εξίσωση:

Από πού ξεκινάμε; Με Χ - προς τα αριστερά, χωρίς Χ - προς τα δεξιά; Θα μπορούσε να είναι έτσι. Μικρά βήματα στον μακρύ δρόμο. Και μπορείτε αμέσως, με παγκόσμιο και ισχυρό τρόπο. Εκτός, φυσικά, αν στο οπλοστάσιό σας υπάρχουν πανομοιότυποι μετασχηματισμοί εξισώσεων.

Σας κάνω μια βασική ερώτηση: Τι δεν σας αρέσει περισσότερο σε αυτή την εξίσωση;

95 άτομα στα 100 θα απαντήσουν: κλάσματα ! Η απάντηση είναι σωστή. Ας τα ξεφορτωθούμε λοιπόν. Ξεκινάμε λοιπόν αμέσως με δεύτερος ταυτόσημος μετασχηματισμός. Τι χρειάζεστε για να πολλαπλασιάσετε το κλάσμα στα αριστερά επί, ώστε ο παρονομαστής να μειωθεί εντελώς; Σωστά, 3. Και στα δεξιά; Με 4. Αλλά τα μαθηματικά μας επιτρέπουν να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές κατά τον ίδιο αριθμό. Πώς βγαίνουμε; Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές επί 12! Εκείνοι. σε έναν κοινό παρονομαστή. Τότε τα τρία θα μειωθούν και τα τέσσερα. Μην ξεχνάτε ότι πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε μέρος εξ ολοκλήρου. Δείτε πώς φαίνεται το πρώτο βήμα:

Επέκταση των παρενθέσεων:

Σημείωση! Αριθμητής (x+2)Πήρα σε αγκύλες! Αυτό συμβαίνει γιατί κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, ο αριθμητής πολλαπλασιάζεται με το σύνολο, εξ ολοκλήρου! Και τώρα μπορείτε να μειώσετε τα κλάσματα και να μειώσετε:

Ανοίγοντας τις υπόλοιπες παρενθέσεις:

Όχι ένα παράδειγμα, αλλά καθαρή απόλαυση!) Τώρα θυμόμαστε το ξόρκι από τις κατώτερες τάξεις: με x - προς τα αριστερά, χωρίς x - προς τα δεξιά!Και εφαρμόστε αυτόν τον μετασχηματισμό:

Εδώ είναι μερικά όπως:

Και διαιρούμε και τα δύο μέρη με το 25, δηλ. εφαρμόστε ξανά τον δεύτερο μετασχηματισμό:

Αυτό είναι όλο. Απάντηση: Χ=0,16

Λάβετε υπόψη: για να φέρουμε την αρχική μπερδεμένη εξίσωση σε μια ευχάριστη μορφή, χρησιμοποιήσαμε δύο (μόνο δύο!) πανομοιότυπες μετατροπές- μετάφραση αριστερά-δεξιά με αλλαγή προσήμου και πολλαπλασιασμός-διαίρεση της εξίσωσης με τον ίδιο αριθμό. Αυτός είναι ο καθολικός τρόπος! Θα εργαστούμε με αυτόν τον τρόπο όποιος εξισώσεις! Απολύτως οποιαδήποτε. Γι' αυτό επαναλαμβάνω συνεχώς αυτές τις πανομοιότυπες μετατροπές.)

Όπως μπορείτε να δείτε, η αρχή της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων είναι απλή. Παίρνουμε την εξίσωση και την απλοποιούμε με τη βοήθεια πανομοιότυπων μετασχηματισμών μέχρι να πάρουμε την απάντηση. Τα κύρια προβλήματα εδώ είναι στους υπολογισμούς και όχι στην αρχή της λύσης.

Αλλά... Υπάρχουν τέτοιες εκπλήξεις στη διαδικασία επίλυσης των πιο στοιχειωδών γραμμικών εξισώσεων που μπορούν να οδηγήσουν σε μια ισχυρή αηδία...) Ευτυχώς, μπορεί να υπάρχουν μόνο δύο τέτοιες εκπλήξεις. Ας τις πούμε ειδικές περιπτώσεις.

Ειδικές περιπτώσεις στην επίλυση γραμμικών εξισώσεων.

Πρώτα η έκπληξη.

Ας υποθέσουμε ότι συναντάτε μια στοιχειώδη εξίσωση, κάτι σαν:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Ελαφρώς βαριόμαστε, μεταφέρουμε με Χ προς τα αριστερά, χωρίς Χ - προς τα δεξιά ... Με αλλαγή πρόσημου, όλα είναι τσινάρ... Παίρνουμε:

2x-5x+3x=5-2-3

Πιστεύουμε, και ... ω! Παίρνουμε:

Αυτή η ισότητα από μόνη της δεν είναι απαράδεκτη. Το μηδέν είναι πραγματικά μηδέν. Αλλά το Χ έφυγε! Και πρέπει να γράψουμε στην απάντηση, με τι x ισούται.Αλλιώς δεν μετράει η λύση, ναι...) Αδιέξοδο;

Ηρεμία! Σε τέτοιες αμφίβολες περιπτώσεις, οι πιο γενικοί κανόνες σώζουν. Πώς να λύσετε εξισώσεις; Τι σημαίνει να λύνεις μια εξίσωση; Αυτό σημαίνει, βρείτε όλες τις τιμές του x που, όταν αντικατασταθούν στην αρχική εξίσωση, θα μας δώσουν τη σωστή ισότητα.

Αλλά έχουμε τη σωστή ισότητα ήδησυνέβη! 0=0, πού αλήθεια;! Μένει να καταλάβουμε σε τι x προκύπτει αυτό. Σε ποιες τιμές του x μπορούν να αντικατασταθούν πρωτότυποεξίσωση αν αυτά τα x ακόμα συρρικνώνεται στο μηδέν;Ελα?)

Ναί!!! Τα X μπορούν να αντικατασταθούν όποιος!Εσυ τι θελεις. Τουλάχιστον 5, τουλάχιστον 0,05, τουλάχιστον -220. Ακόμα θα συρρικνωθούν. Εάν δεν με πιστεύετε, μπορείτε να το ελέγξετε.) Αντικαταστήστε οποιεσδήποτε τιμές x πρωτότυποεξίσωση και υπολογισμός. Όλη την ώρα θα λαμβάνεται η καθαρή αλήθεια: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 και ούτω καθεξής.

Εδώ είναι η απάντησή σας: x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Η απάντηση μπορεί να γραφτεί με διαφορετικά μαθηματικά σύμβολα, η ουσία δεν αλλάζει. Αυτή είναι μια απολύτως σωστή και πλήρης απάντηση.

Έκπληξη δύο.

Ας πάρουμε την ίδια στοιχειώδη γραμμική εξίσωση και ας αλλάξουμε μόνο έναν αριθμό σε αυτήν. Αυτό θα αποφασίσουμε:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Μετά από τους ίδιους ίδιους μετασχηματισμούς, έχουμε κάτι ενδιαφέρον:

Σαν αυτό. Έλυσε μια γραμμική εξίσωση, πήρε μια περίεργη ισότητα. Μαθηματικά μιλώντας, έχουμε λάθος ισότητα.Και με απλά λόγια, αυτό δεν είναι αλήθεια. Ουρλιάζω. Ωστόσο, αυτή η ανοησία είναι ένας πολύ καλός λόγος για τη σωστή λύση της εξίσωσης.)

Και πάλι, σκεφτόμαστε με βάση γενικούς κανόνες. Τι θα μας δώσει το x, όταν αντικατασταθεί στην αρχική εξίσωση σωστόςισότητα? Ναι, κανένα! Δεν υπάρχουν τέτοια ξε. Ό,τι και να αντικαταστήσετε, όλα θα μειωθούν, η ανοησία θα παραμείνει.)

Εδώ είναι η απάντησή σας: δεν υπάρχουν λύσεις.

Αυτή είναι επίσης μια απολύτως έγκυρη απάντηση. Στα μαθηματικά, τέτοιες απαντήσεις εμφανίζονται συχνά.

Σαν αυτό. Τώρα, ελπίζω, η απώλεια των X στη διαδικασία επίλυσης οποιασδήποτε (όχι μόνο γραμμικής) εξίσωσης δεν θα σας ενοχλήσει καθόλου. Το θέμα είναι γνωστό.)

Τώρα που αντιμετωπίσαμε όλες τις παγίδες στις γραμμικές εξισώσεις, είναι λογικό να τις λύσουμε.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Και ούτω καθεξής, είναι λογικό να εξοικειωθείτε με εξισώσεις άλλων τύπων. Επόμενοι στη σειρά είναι γραμμικές εξισώσεις, η σκόπιμη μελέτη του οποίου ξεκινά στα μαθήματα άλγεβρας στην 7η τάξη.

Είναι σαφές ότι πρώτα πρέπει να εξηγήσετε τι είναι μια γραμμική εξίσωση, να δώσετε έναν ορισμό μιας γραμμικής εξίσωσης, τους συντελεστές της, να δείξετε τη γενική της μορφή. Στη συνέχεια, μπορείτε να υπολογίσετε πόσες λύσεις έχει μια γραμμική εξίσωση ανάλογα με τις τιμές των συντελεστών και πώς βρίσκονται οι ρίζες. Αυτό θα σας επιτρέψει να προχωρήσετε στην επίλυση παραδειγμάτων και έτσι να εδραιώσετε τη θεωρία που μελετήθηκε. Σε αυτό το άρθρο θα κάνουμε αυτό: θα σταθούμε αναλυτικά σε όλα τα θεωρητικά και πρακτικά σημεία σχετικά με τις γραμμικές εξισώσεις και τη λύση τους.

Ας πούμε αμέσως ότι εδώ θα εξετάσουμε μόνο γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή και σε ξεχωριστό άρθρο θα μελετήσουμε τις αρχές της επίλυσης γραμμικές εξισώσεις σε δύο μεταβλητές.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι είναι μια γραμμική εξίσωση;

Ο ορισμός μιας γραμμικής εξίσωσης δίνεται από τη μορφή της σημειογραφίας της. Επιπλέον, σε διαφορετικά εγχειρίδια μαθηματικών και άλγεβρας, οι διατυπώσεις των ορισμών των γραμμικών εξισώσεων έχουν κάποιες διαφορές που δεν επηρεάζουν την ουσία του ζητήματος.

Για παράδειγμα, σε ένα εγχειρίδιο άλγεβρας για την τάξη 7 από τον Yu. N. Makarycheva και άλλους, μια γραμμική εξίσωση ορίζεται ως εξής:

Ορισμός.

Εξίσωση τύπου τσεκούρι=β, όπου x είναι μια μεταβλητή, a και b είναι κάποιοι αριθμοί, καλείται γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή.

Ας δώσουμε παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων που αντιστοιχούν στον εκφρασμένο ορισμό. Για παράδειγμα, το 5 x=10 είναι μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή x, εδώ ο συντελεστής a είναι 5 και ο αριθμός b είναι 10. Ένα άλλο παράδειγμα: −2,3 y=0 είναι επίσης γραμμική εξίσωση, αλλά με τη μεταβλητή y , όπου a=−2,3 και b=0 . Και στις γραμμικές εξισώσεις x=−2 και −x=3,33 a δεν υπάρχουν ρητά και ισούνται με 1 και −1, αντίστοιχα, ενώ στην πρώτη εξίσωση b=−2 και στη δεύτερη - b=3,33 .

Ένα χρόνο νωρίτερα, στο σχολικό βιβλίο μαθηματικών του N. Ya. Vilenkin, γραμμικές εξισώσεις με έναν άγνωστο, εκτός από εξισώσεις της μορφής a x = b, θεωρήθηκαν επίσης εξισώσεις που μπορούν να αναχθούν σε αυτή τη μορφή μεταφέροντας όρους από ένα μέρος της εξίσωσης σε άλλο με το αντίθετο πρόσημο, καθώς και με αναγωγή όμοιων όρων. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό, εξισώσεις της μορφής 5 x=2 x+6 κ.λπ. είναι επίσης γραμμικά.

Με τη σειρά του, ο ακόλουθος ορισμός δίνεται στο εγχειρίδιο άλγεβρας για 7 τάξεις από τον A. G. Mordkovich:

Ορισμός.

Γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή xείναι μια εξίσωση της μορφής a x+b=0 , όπου a και b είναι κάποιοι αριθμοί, που ονομάζονται συντελεστές της γραμμικής εξίσωσης.

Για παράδειγμα, οι γραμμικές εξισώσεις αυτού του είδους είναι 2 x−12=0, εδώ ο συντελεστής a είναι ίσος με 2, και b είναι ίσος με −12, και 0,2 y+4,6=0 με συντελεστές a=0,2 και b =4,6. Αλλά ταυτόχρονα, υπάρχουν παραδείγματα γραμμικών εξισώσεων που έχουν τη μορφή όχι x+b=0 , αλλά x=b , για παράδειγμα, 3 x=12 .

Ας, για να μην έχουμε αποκλίσεις στο μέλλον, κάτω από μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή x και συντελεστές a και b θα κατανοήσουμε μια εξίσωση της μορφής a x+b=0 . Αυτός ο τύπος γραμμικής εξίσωσης φαίνεται να είναι ο πιο δικαιολογημένος, αφού οι γραμμικές εξισώσεις είναι αλγεβρικές εξισώσειςπρώτου βαθμού. Και όλες οι άλλες εξισώσεις που αναφέρονται παραπάνω, καθώς και οι εξισώσεις που ανάγονται στη μορφή x+b=0 με τη βοήθεια ισοδύναμων μετασχηματισμών, θα ονομάζονται εξισώσεις που ανάγεται σε γραμμικές εξισώσεις. Με αυτήν την προσέγγιση, η εξίσωση 2 x+6=0 είναι γραμμική εξίσωση και 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12, κ.λπ. είναι γραμμικές εξισώσεις.

Πώς να λύσετε γραμμικές εξισώσεις;

Τώρα ήρθε η ώρα να καταλάβουμε πώς λύνονται οι γραμμικές εξισώσεις a x+b=0. Με άλλα λόγια, είναι καιρός να μάθουμε αν η γραμμική εξίσωση έχει ρίζες, και αν ναι, πόσες και πώς να τις βρούμε.

Η παρουσία ριζών μιας γραμμικής εξίσωσης εξαρτάται από τις τιμές των συντελεστών a και b. Σε αυτή την περίπτωση, η γραμμική εξίσωση a x+b=0 έχει

η μόνη ρίζα στο a≠0,
δεν έχει ρίζες για a=0 και b≠0,
έχει άπειρες ρίζες για a=0 και b=0 , οπότε οποιοσδήποτε αριθμός είναι ρίζα γραμμικής εξίσωσης.

Ας εξηγήσουμε πώς προέκυψαν αυτά τα αποτελέσματα.

Γνωρίζουμε ότι για να λύσουμε εξισώσεις, είναι δυνατόν να περάσουμε από την αρχική εξίσωση σε ισοδύναμες εξισώσεις, δηλαδή σε εξισώσεις με τις ίδιες ρίζες ή, όπως η αρχική, χωρίς ρίζες. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τους ακόλουθους ισοδύναμους μετασχηματισμούς:

μεταφορά ενός όρου από το ένα μέρος της εξίσωσης σε ένα άλλο με το αντίθετο πρόσημο,
και επίσης πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό.

Άρα, σε μια γραμμική εξίσωση με μία μεταβλητή της μορφής x+b=0, μπορούμε να μετακινήσουμε τον όρο b από την αριστερή πλευρά στη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο. Στην περίπτωση αυτή, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή a x=−b.

Και τότε υποδηλώνεται η διαίρεση και των δύο μερών της εξίσωσης με τον αριθμό α. Αλλά υπάρχει ένα πράγμα: ο αριθμός a μπορεί να είναι ίσος με μηδέν, οπότε μια τέτοια διαίρεση είναι αδύνατη. Για να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα, θα υποθέσουμε πρώτα ότι ο αριθμός a είναι διαφορετικός από το μηδέν και θα εξετάσουμε την περίπτωση του μηδέν a ξεχωριστά λίγο αργότερα.

Έτσι, όταν το a δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε μπορούμε να διαιρέσουμε και τα δύο μέρη της εξίσωσης a x=−b με το a , αφού μετατραπεί στη μορφή x=(−b):a , αυτό το αποτέλεσμα μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας ένα συμπαγής γραμμή ως .

Έτσι, για a≠0, η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 είναι ισοδύναμη με την εξίσωση , από την οποία φαίνεται η ρίζα της.

Είναι εύκολο να δείξουμε ότι αυτή η ρίζα είναι μοναδική, δηλαδή η γραμμική εξίσωση δεν έχει άλλες ρίζες. Αυτό σας επιτρέπει να κάνετε την αντίθετη μέθοδο.

Ας συμβολίσουμε τη ρίζα ως x 1 . Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια άλλη ρίζα της γραμμικής εξίσωσης, την οποία συμβολίζουμε x 2, και x 2 ≠ x 1, η οποία, λόγω ορισμοί ίσων αριθμών μέσω της διαφοράςείναι ισοδύναμη με τη συνθήκη x 1 − x 2 ≠0 . Εφόσον τα x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της γραμμικής εξίσωσης a x+b=0, τότε λαμβάνουν χώρα οι αριθμητικές ισότητες a x 1 +b=0 και a x 2 +b=0. Μπορούμε να αφαιρέσουμε τα αντίστοιχα μέρη αυτών των ισοτήτων, κάτι που μας επιτρέπουν οι ιδιότητες των αριθμητικών ισοτήτων, έχουμε x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , από όπου a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 και μετά a (x 1 − x 2)=0 . Και αυτή η ισότητα είναι αδύνατη, αφού τόσο a≠0 όσο και x 1 − x 2 ≠0. Άρα καταλήξαμε σε μια αντίφαση, η οποία αποδεικνύει τη μοναδικότητα της ρίζας της γραμμικής εξίσωσης a·x+b=0 για a≠0 .

Άρα έχουμε λύσει τη γραμμική εξίσωση a x+b=0 με a≠0 . Το πρώτο αποτέλεσμα που δίνεται στην αρχή αυτής της υποενότητας είναι δικαιολογημένο. Υπάρχουν δύο ακόμη που πληρούν την προϋπόθεση a=0 .

Για a=0 η γραμμική εξίσωση a·x+b=0 γίνεται 0·x+b=0 . Από αυτή την εξίσωση και την ιδιότητα του πολλαπλασιασμού των αριθμών με το μηδέν, προκύπτει ότι ανεξάρτητα από τον αριθμό που πάρουμε ως x, όταν τον αντικαταστήσουμε στην εξίσωση 0 x+b=0, παίρνουμε την αριθμητική ισότητα b=0. Αυτή η ισότητα είναι αληθής όταν b=0 , και σε άλλες περιπτώσεις όταν b≠0 αυτή η ισότητα είναι ψευδής.

Επομένως, για a=0 και b=0, οποιοσδήποτε αριθμός είναι η ρίζα της γραμμικής εξίσωσης a x+b=0, αφού υπό αυτές τις συνθήκες, αντικαθιστώντας οποιονδήποτε αριθμό αντί του x προκύπτει η σωστή αριθμητική ισότητα 0=0. Και για a=0 και b≠0, η γραμμική εξίσωση a x+b=0 δεν έχει ρίζες, αφού υπό αυτές τις συνθήκες, η αντικατάσταση οποιουδήποτε αριθμού αντί του x οδηγεί σε λανθασμένη αριθμητική ισότητα b=0.

Οι παραπάνω αιτιολογήσεις καθιστούν δυνατό τον σχηματισμό μιας ακολουθίας ενεργειών που επιτρέπει την επίλυση οποιασδήποτε γραμμικής εξίσωσης. Ετσι, αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικής εξίσωσηςείναι:

Αρχικά, γράφοντας μια γραμμική εξίσωση, βρίσκουμε τις τιμές των συντελεστών a και b.
Αν a=0 και b=0 , τότε αυτή η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, δηλαδή, οποιοσδήποτε αριθμός είναι ρίζα αυτής της γραμμικής εξίσωσης.
Αν το α είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε

ο συντελεστής b μεταφέρεται στη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο, ενώ η γραμμική εξίσωση μετατρέπεται στη μορφή a x=−b ,
μετά την οποία και τα δύο μέρη της εξίσωσης που προκύπτει διαιρούνται με έναν μη μηδενικό αριθμό α, ο οποίος δίνει την επιθυμητή ρίζα της αρχικής γραμμικής εξίσωσης.

Ο γραπτός αλγόριθμος είναι μια εξαντλητική απάντηση στο ερώτημα πώς να λύσουμε γραμμικές εξισώσεις.

Κλείνοντας αυτής της παραγράφου, αξίζει να πούμε ότι ένας παρόμοιος αλγόριθμος χρησιμοποιείται για την επίλυση εξισώσεων της μορφής a x=b. Η διαφορά του έγκειται στο γεγονός ότι όταν a≠0, και τα δύο μέρη της εξίσωσης διαιρούνται αμέσως με αυτόν τον αριθμό, εδώ το b βρίσκεται ήδη στο επιθυμητό μέρος της εξίσωσης και δεν χρειάζεται να μεταφερθεί.

Για την επίλυση εξισώσεων της μορφής a x=b χρησιμοποιείται ο παρακάτω αλγόριθμος:

Αν a=0 και b=0 , τότε η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, που είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
Αν a=0 και b≠0 , τότε η αρχική εξίσωση δεν έχει ρίζες.
Εάν το α είναι μη μηδενικό, τότε και οι δύο πλευρές της εξίσωσης διαιρούνται με έναν μη μηδενικό αριθμό α, από τον οποίο βρίσκεται η μόνη ρίζα της εξίσωσης ίση με b / a.

Παραδείγματα επίλυσης γραμμικών εξισώσεων

Ας προχωρήσουμε στην εξάσκηση. Ας αναλύσουμε πώς εφαρμόζεται ο αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Ας παρουσιάσουμε λύσεις τυπικών παραδειγμάτων που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιμές των συντελεστών γραμμικών εξισώσεων.

Παράδειγμα.

Να λύσετε τη γραμμική εξίσωση 0 x−0=0 .

Λύση.

Σε αυτή τη γραμμική εξίσωση, a=0 και b=−0 , που είναι ίδιο με το b=0 . Επομένως, αυτή η εξίσωση έχει άπειρες ρίζες, οποιοσδήποτε αριθμός είναι η ρίζα αυτής της εξίσωσης.

Απάντηση:

x είναι οποιοσδήποτε αριθμός.

Παράδειγμα.

Η γραμμική εξίσωση 0 x+2,7=0 έχει λύσεις;

Λύση.

Στην περίπτωση αυτή, ο συντελεστής α είναι ίσος με μηδέν και ο συντελεστής b αυτής της γραμμικής εξίσωσης είναι ίσος με 2,7, δηλαδή είναι διαφορετικός από το μηδέν. Επομένως, η γραμμική εξίσωση δεν έχει ρίζες.