Τύποι πινάκων. Προβολή μήτρας σταδιακά

ΕΑΒ. Ορθογώνιο τραπέζι με tγραμμές και Πκαλούνται στήλες πραγματικών αριθμών μήτραΜέγεθος t×n. Οι πίνακες συμβολίζονται με κεφαλαία λατινικά γράμματα: A, B, ..., και ένας πίνακας αριθμών διακρίνεται με στρογγυλές ή τετράγωνες αγκύλες.

Οι αριθμοί που περιλαμβάνονται στον πίνακα ονομάζονται στοιχεία μήτρας και συμβολίζονται με μικρά λατινικά γράμματα με διπλό δείκτη, όπου Εγώ- αριθμός σειράς ι– αριθμός της στήλης στη διασταύρωση της οποίας βρίσκεται το στοιχείο. Γενικά, ο πίνακας γράφεται ως εξής:

Λαμβάνονται υπόψη δύο πίνακες ίσοςαν τα αντίστοιχα στοιχεία τους είναι ίσα.

Αν ο αριθμός των σειρών του πίνακα tίσο με τον αριθμό των στηλών του Π, τότε καλείται ο πίνακας τετράγωνο(αλλιώς ορθογώνιο).

Πίνακας μεγέθους
ονομάζεται πίνακας γραμμών. Πίνακας μεγέθους

ονομάζεται πίνακας στήλης.

Στοιχεία μήτρας με ίσους δείκτες (
κ.λπ.), μορφή κύρια διαγώνιομήτρες. Η άλλη διαγώνιος ονομάζεται πλευρική διαγώνιος.

Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται διαγώνιοςαν όλα τα στοιχεία του που βρίσκονται έξω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν.

Ένας διαγώνιος πίνακας του οποίου οι διαγώνιες εγγραφές είναι ίσες με μία ονομάζεται μονόκλινομήτρα και έχει την τυπική σημείωση E:

Εάν όλα τα στοιχεία ενός πίνακα που βρίσκονται πάνω (ή κάτω) από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν, ο πίνακας λέγεται ότι έχει τριγωνική μορφή:

§2. Λειτουργίες μήτρας

1. Μεταφορά πίνακα - ένας μετασχηματισμός στον οποίο οι σειρές του πίνακα γράφονται ως στήλες διατηρώντας τη σειρά τους. Για έναν τετράγωνο πίνακα, αυτός ο μετασχηματισμός είναι ισοδύναμος με μια συμμετρική αντιστοίχιση σε σχέση με την κύρια διαγώνιο:

.

2. Πίνακες της ίδιας διάστασης μπορούν να αθροιστούν (να αφαιρεθούν). Το άθροισμα (διαφορά) των πινάκων είναι ένας πίνακας της ίδιας διάστασης, κάθε στοιχείο του οποίου είναι ίσο με το άθροισμα (διαφορά) των αντίστοιχων στοιχείων των αρχικών πινάκων:

3. Οποιοσδήποτε πίνακας μπορεί να πολλαπλασιαστεί με έναν αριθμό. Το γινόμενο ενός πίνακα με έναν αριθμό είναι ένας πίνακας της ίδιας τάξης, κάθε στοιχείο του οποίου είναι ίσο με το γινόμενο του αντίστοιχου στοιχείου του αρχικού πίνακα με αυτόν τον αριθμό:

.

4. Εάν ο αριθμός των στηλών ενός πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των σειρών ενός άλλου, τότε μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τον πρώτο πίνακα με τον δεύτερο. Το γινόμενο τέτοιων πινάκων είναι ένας πίνακας, κάθε στοιχείο του οποίου είναι ίσο με το άθροισμα των κατά ζεύγη γινομένων των στοιχείων της αντίστοιχης σειράς του πρώτου πίνακα και των στοιχείων της αντίστοιχης στήλης του δεύτερου πίνακα.

Συνέπεια. Εκτίμηση μήτρας προς την>1 είναι το γινόμενο του πίνακα Α προς τηνμια φορά. Ορίζεται μόνο για τετραγωνικούς πίνακες.

Παράδειγμα.

Ιδιότητες πράξεων σε πίνακες.

1. (Α+Β)+C=A+(B+C);

   k(A+B)=kA+kV;

   A(B+C)=AB+AC;

   (A+B)C=AC+BC;

   k(AB)=(kA)B=A(kV);

   A(BC)=(AB)C;

2. (kA) T =kA Τ;

   (A + B) T \u003d A T + B T;

   (AB) T =B T A T;

Οι ιδιότητες που αναφέρονται παραπάνω είναι παρόμοιες με τις ιδιότητες των πράξεων σε αριθμούς. Υπάρχουν επίσης συγκεκριμένες ιδιότητες των πινάκων. Αυτά περιλαμβάνουν, για παράδειγμα, τη διακριτική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού πίνακα. Εάν υπάρχει το προϊόν ΑΒ, τότε το προϊόν ΒΑ

Μπορεί να μην υπάρχει

Μπορεί να διαφέρει από το AB.

Παράδειγμα. Η εταιρεία κατασκευάζει προϊόντα δύο τύπων Α και Β και χρησιμοποιεί τρεις τύπους πρώτων υλών S 1 , S 2 , και S 3 . Οι ρυθμοί κατανάλωσης πρώτων υλών δίνονται από τον πίνακα N=
, όπου n ij- ποσότητα πρώτων υλών ιδαπανώνται για την παραγωγή μιας μονάδας παραγωγής Εγώ. Το σχέδιο παραγωγής δίνεται από τον πίνακα C = (100 200) και το μοναδιαίο κόστος κάθε τύπου πρώτης ύλης δίνεται από τον πίνακα . Προσδιορίστε το κόστος των πρώτων υλών που απαιτούνται για την προγραμματισμένη παραγωγή και το συνολικό κόστος των πρώτων υλών.

Λύση. Το κόστος των πρώτων υλών ορίζεται ως το γινόμενο των πινάκων C και N:

Υπολογίζουμε το συνολικό κόστος των πρώτων υλών ως το γινόμενο των S και P.

Ένας πίνακας είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών, που αποτελείται από Μ χορδές ίδιου μήκους ή n στήλες ίδιου μήκους.

aij- στοιχείο του πίνακα, το οποίο βρίσκεται μέσα Εγώ -η γραμμή και ι -η στήλη.

Για συντομία, ο πίνακας μπορεί να υποδηλωθεί με ένα μόνο κεφαλαίο γράμμα, για παράδειγμα, ΑΛΛΑή ΣΤΟ.

Γενικά, μια μήτρα μεγέθους Μ× nγράψε έτσι

Παραδείγματα:

Εάν ο αριθμός των γραμμών σε έναν πίνακα είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών, τότε ο πίνακας καλείται τετράγωνο, και καλείται ο αριθμός των γραμμών ή στηλών του για ναμήτρες. Στα παραπάνω παραδείγματα, ο δεύτερος πίνακας είναι τετράγωνος - η σειρά του είναι 3 και ο τέταρτος πίνακας - η σειρά του είναι 1.

Καλείται ένας πίνακας στον οποίο ο αριθμός των γραμμών δεν είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών ορθογώνιος. Στα παραδείγματα, αυτός είναι ο πρώτος πίνακας και ο τρίτος.

κύρια διαγώνιοΈνας τετράγωνος πίνακας είναι η διαγώνιος που πηγαίνει από την επάνω αριστερή στην κάτω δεξιά γωνία.

Ονομάζεται τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν τριγωνικόςμήτρα.

.

Ένας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία, εκτός ίσως από αυτά στην κύρια διαγώνιο, είναι ίσα με μηδέν, ονομάζεται διαγώνιοςμήτρα. Για παράδειγμα, ή.

Καλείται ένας διαγώνιος πίνακας στον οποίο όλες οι διαγώνιες εγγραφές είναι ίσες με μία μονόκλινο matrix και συμβολίζεται με το γράμμα E. Για παράδειγμα, ο πίνακας ταυτότητας 3ης τάξης έχει τη μορφή .

επιστροφή στο περιεχόμενο

(36)85 Τι είναι οι γραμμικές πράξεις σε πίνακες; Παραδείγματα.

Σε όλες τις περιπτώσεις που εισάγονται νέα μαθηματικά αντικείμενα, είναι απαραίτητο να συμφωνηθούν οι κανόνες δράσης σε αυτά και επίσης να καθοριστούν ποια αντικείμενα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους.

Η φύση των αντικειμένων είναι άσχετη. Μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί, διανύσματα, πίνακες, συμβολοσειρές ή κάτι άλλο.

Οι τυπικές πράξεις περιλαμβάνουν γραμμικές πράξεις, δηλαδή: πολλαπλασιασμό με έναν αριθμό και πρόσθεση. στη συγκεκριμένη περίπτωση - πολλαπλασιασμός πινάκων με έναν αριθμό και πρόσθεση πινάκων.

Όταν πολλαπλασιάζεται ένας πίνακας με έναν αριθμό, κάθε στοιχείο πίνακα πολλαπλασιάζεται με αυτόν τον αριθμό και η προσθήκη πίνακα συνεπάγεται κατά ζεύγη πρόσθεση στοιχείων που βρίσκονται σε ισοδύναμες θέσεις.

Ορολογική έκφραση «γραμμικός συνδυασμός<" (векторов, матриц, строк, столбцов и так далее) всегда означает одно и тоже: алгебраическая сумма этих векторов (или матриц, строк, столбцов и так далее), предварительно умноженных на числовые коэффициенты.

μήτρες ΕΝΑ = || ένα i j|| και σι = || ένα i j|| θεωρούνται ίσα αν έχουν τις ίδιες διαστάσεις και τα αντίστοιχα στοιχεία μήτρας είναι ίσα ανά ζεύγη:

Προσθήκη μήτραςΗ πράξη πρόσθεσης ορίζεται μόνο για πίνακες ίδιου μεγέθους. Το αποτέλεσμα της προσθήκης μήτρας A = || ένα i j|| και Β = || σι i j|| είναι η μήτρα C = || ντο i j|| , τα στοιχεία του οποίου είναι ίσα με το άθροισμα των αντίστοιχων στοιχείων του πίνακα.

Ο πίνακας συμβολίζεται με κεφαλαία λατινικά γράμματα ( ΑΛΛΑ, ΣΤΟ, ΑΠΟ,...).

Ορισμός 1. Ορθογώνιος πίνακας της φόρμας,

που αποτελείται από Μγραμμές και nστήλες ονομάζεται μήτρα.

Στοιχείο μήτρας, i – αριθμός σειράς, j – αριθμός στήλης.

Τύποι πινάκων:

στοιχεία στην κύρια διαγώνιο:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. Ορίζουσες 2ης, 3ης και νης τάξης

Έστω δύο τετραγωνικοί πίνακες:

Ορισμός 1. Ορίζουσα της δεύτερης τάξης ενός πίνακα ΑΛΛΑ 1 είναι ο αριθμός που συμβολίζεται με Δ και ίσος με , όπου

Παράδειγμα. Υπολογίστε την ορίζουσα 2ης τάξης:

Ορισμός 2. Ορίζουσα 3ης τάξης τετραγωνικού πίνακα ΑΛΛΑ 2 καλείται ένας αριθμός της φόρμας:

Αυτός είναι ένας τρόπος υπολογισμού της ορίζουσας.

Παράδειγμα. Υπολογίζω

Ορισμός 3. Εάν μια ορίζουσα αποτελείται από n-γραμμές και n-στήλες, τότε ονομάζεται ορίζουσα ν-ης τάξης.

Ιδιότητες προσδιοριστικών παραγόντων:

Η ορίζουσα δεν αλλάζει κατά τη μεταφορά (δηλαδή, εάν οι σειρές και οι στήλες σε αυτήν εναλλάσσονται διατηρώντας τη σειρά).

Εάν οποιεσδήποτε δύο σειρές ή δύο στήλες εναλλάσσονται στην ορίζουσα, τότε η ορίζουσα αλλάζει μόνο το πρόσημο.

Ο κοινός παράγοντας οποιασδήποτε σειράς (στήλης) μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο της ορίζουσας.

Αν όλα τα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης) της ορίζουσας είναι ίσα με μηδέν, τότε η ορίζουσα είναι ίση με μηδέν.

Η ορίζουσα είναι μηδέν εάν τα στοιχεία οποιωνδήποτε δύο σειρών είναι ίσα ή ανάλογα.

Η ορίζουσα δεν αλλάζει εάν τα αντίστοιχα στοιχεία μιας άλλης σειράς (στήλης) πολλαπλασιασμένα με τον ίδιο αριθμό προστεθούν στα στοιχεία οποιασδήποτε σειράς (στήλης).

Παράδειγμα.

Ορισμός 4.Η ορίζουσα που προκύπτει από ένα δεδομένο διαγράφοντας μια στήλη και μια γραμμή ονομάζεται ανήλικοςτο αντίστοιχο στοιχείο. M ij στοιχείο α ij .

Ορισμός 5. Αλγεβρική πρόσθεσηστοιχείο a ij , ονομάζεται έκφραση

§3. Δράσεις Matrix

Γραμμικές πράξεις

1) Κατά την προσθήκη πινάκων, προστίθενται τα ομώνυμα στοιχεία τους.

Κατά την αφαίρεση των πινάκων, αφαιρούνται τα ομώνυμα στοιχεία τους.

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα με έναν αριθμό, κάθε στοιχείο του πίνακα πολλαπλασιάζεται με αυτόν τον αριθμό:

3.2 Πολλαπλασιασμός πίνακα.

Δουλειάμήτρες ΑΛΛΑσε μήτρα ΣΤΟείναι ένας νέος πίνακας του οποίου τα στοιχεία είναι ίσα με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων της i-ης σειράς του πίνακα ΑΛΛΑστα αντίστοιχα στοιχεία της jης στήλης του πίνακα ΣΤΟ. Προϊόν μήτρας ΑΛΛΑσε μήτρα ΣΤΟμπορεί να βρεθεί μόνο εάν ο αριθμός των στηλών του πίνακα ΑΛΛΑισούται με τον αριθμό των σειρών του πίνακα ΣΤΟ.Διαφορετικά, η εργασία είναι αδύνατη.

Σχόλιο:

(δεν υπόκειται στην ιδιότητα ανταλλαγής)

§ 4. Αντίστροφος πίνακας

Ο αντίστροφος πίνακας υπάρχει μόνο για έναν τετράγωνο πίνακα και ο πίνακας πρέπει να είναι μη ενικός.

Ορισμός 1. Matrix ΑΛΛΑπου ονομάζεται μη εκφυλισμένοςεάν η ορίζουσα αυτού του πίνακα δεν είναι ίση με μηδέν

Ορισμός 2. ΑΛΛΑ-1 κάλεσε αντίστροφη μήτραγια έναν δεδομένο μη ενικό τετράγωνο πίνακα ΑΛΛΑ, εάν κατά τον πολλαπλασιασμό αυτού του πίνακα με τον δεδομένο και στα δεξιά, τότε στα αριστερά, προκύπτει ο πίνακας ταυτότητας.

Αλγόριθμος για τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα

1 τρόπος (χρησιμοποιώντας αλγεβρικές προσθήκες)

Παράδειγμα 1:

Πίνακες. Τύποι πινάκων. Πράξεις σε πίνακες και τις ιδιότητές τους.

Ορίζουσα του πίνακα της νης τάξης. N, Z, Q, R, C,

Ένας πίνακας τάξης m*n είναι ένας ορθογώνιος πίνακας αριθμών που περιέχει m-γραμμές και n-στήλες.

Ισότητα πίνακα:

Δύο πίνακες ονομάζονται ίσοι εάν ο αριθμός των γραμμών και των στηλών της μίας είναι ίσος, αντίστοιχα, με τον αριθμό των γραμμών και στηλών της άλλης και, αντίστοιχα. τα στοιχεία αυτών των πινάκων είναι ίσα.

Σημείωση: Τα στοιχεία με τους ίδιους δείκτες αντιστοιχίζονται.

Τύποι πινάκων:

Τετράγωνος πίνακας: Ένας πίνακας λέγεται ότι είναι τετράγωνος εάν ο αριθμός των σειρών είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών.

Ορθογώνιος: Ένας πίνακας λέγεται ότι είναι ορθογώνιος εάν ο αριθμός των σειρών δεν είναι ίσος με τον αριθμό των στηλών.

Πίνακας σειρών: ένας πίνακας τάξης 1*n (m=1) έχει τη μορφή a11,a12,a13 και ονομάζεται πίνακας γραμμής.

Στήλη μήτρας:………….

Διαγώνιος: η διαγώνιος ενός τετραγωνικού πίνακα, που πηγαίνει από την επάνω αριστερή γωνία στην κάτω δεξιά γωνία, δηλαδή, που αποτελείται από στοιχεία a11, a22 ...... - ονομάζεται κύρια διαγώνιος. (ορισμός: ένας τετραγωνικός πίνακας, του οποίου όλα τα στοιχεία είναι ίσα με μηδέν, εκτός από αυτά που βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο, ονομάζεται διαγώνιος πίνακας.

Ταυτότητα: Ένας διαγώνιος πίνακας ονομάζεται ταυτότητα εάν όλα τα στοιχεία βρίσκονται στην κύρια διαγώνιο και είναι ίσα με 1.

Επάνω τριγωνικό: A=||aij|| ονομάζεται ανώτερος τριγωνικός πίνακας αν aij=0. Παρέχεται i>j.

Κάτω τριγωνικό: aij=0. Εγώ

Μηδέν: Αυτός είναι ένας πίνακας του οποίου τα El είναι 0.

Πράξεις σε πίνακες.

1. Μεταφορά.

2. Πολλαπλασιασμός πίνακα με έναν αριθμό.

3. Προσθήκη μήτρας.

4. Πολλαπλασιασμός πίνακα.

Βασική δράση sv-va σε πίνακες.

1.A+B=B+A (ανταλλαγή)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (συνειρμότητα)

3.a(A+B)=aA+aB (διανομή)

4.(a+b)A=aA+bA (κατανεμητικό)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoot.)

6.AB≠BA (χωρίς επικοινωνία)

7.A(BC)=(AB)C (συσχετικός) – εκτελείται αν ορ. Εκτελούνται προϊόντα μήτρας.

8.A(B+C)=AB+AC (διανεμητικό)

(B+C)A=BA+CA (διανεμητική)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Ορίζουσα τετραγωνικού πίνακα - ορισμός και οι ιδιότητές του. Αποσύνθεση της ορίζουσας σε γραμμές και στήλες. Μέθοδοι υπολογισμού οριζόντων.

Εάν ο πίνακας Α έχει τάξη m>1, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι ένας αριθμός.

Το αλγεβρικό συμπλήρωμα Aij του στοιχείου aij του πίνακα Α είναι το δευτερεύον Mij πολλαπλασιασμένο με τον αριθμό

ΘΕΩΡΗΜΑ1: Η ορίζουσα του πίνακα Α ισούται με το άθροισμα των γινομένων όλων των στοιχείων μιας αυθαίρετης σειράς (στήλης) και των αλγεβρικών συμπληρωμάτων τους.

Βασικές ιδιότητες των οριζόντων.

1. Η ορίζουσα ενός πίνακα δεν θα αλλάξει όταν μεταφερθεί.

2. Κατά τη μετάθεση δύο σειρών (στήλων), η ορίζουσα αλλάζει πρόσημο, αλλά η απόλυτη τιμή της δεν αλλάζει.

3. Η ορίζουσα ενός πίνακα που έχει δύο ίδιες σειρές (στήλες) είναι 0.

4. Κατά τον πολλαπλασιασμό μιας σειράς (στήλης) ενός πίνακα με έναν αριθμό, η ορίζουσα του πολλαπλασιάζεται με αυτόν τον αριθμό.

5. Εάν μία από τις σειρές (στήλες) του πίνακα αποτελείται από 0, τότε η ορίζουσα αυτού του πίνακα είναι 0.

6. Αν όλα τα στοιχεία της i-ης σειράς (στήλης) ενός πίνακα παρουσιάζονται ως άθροισμα δύο όρων, τότε η ορίζοντή του μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα οριζόντων δύο πινάκων.

7. Η ορίζουσα δεν θα αλλάξει εάν, αντίστοιχα, τα στοιχεία μιας στήλης (σειράς) προστεθούν στα στοιχεία μιας άλλης στήλης (σειράς) με προπολλαπλασιασμό. για τον ίδιο αριθμό.

8. Το άθροισμα των αυθαίρετων στοιχείων οποιασδήποτε στήλης (σειράς) της ορίζουσας προς το αντίστοιχο αλγεβρικό συμπλήρωμα στοιχείων μιας άλλης στήλης (γραμμής) είναι 0.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image004_81.gif" width="46" height="27">

Μέθοδοι υπολογισμού της ορίζουσας:

1. Εξ ορισμού ή Θεώρημα 1.

2. Αναγωγή σε τριγωνική μορφή.

Ορισμός και ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα. Υπολογισμός του αντίστροφου πίνακα. Εξισώσεις μήτρας.

Ορισμός: Ένας τετραγωνικός πίνακας τάξης n ονομάζεται αντίστροφος πίνακας Α ίδιας τάξης και συμβολίζεται

Για να έχει ο πίνακας Α αντίστροφο πίνακα, είναι απαραίτητο και αρκετό η ορίζουσα του πίνακα Α να είναι διαφορετική από το 0.

Ιδιότητες αντίστροφου πίνακα:

1. Μοναδικότητα: για έναν δεδομένο πίνακα Α, το αντίστροφό του είναι μοναδικό.

2. ορίζουσα μήτρας

3. Η πράξη λήψης της μεταφοράς και λήψης του αντίστροφου πίνακα.

Εξισώσεις μήτρας:

Έστω Α και Β δύο τετράγωνοι πίνακες ίδιας τάξης.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image008_56.gif" width="163" height="11 src=">

Η έννοια της γραμμικής εξάρτησης και ανεξαρτησίας στηλών μήτρας. Ιδιότητες γραμμικής εξάρτησης και γραμμικής ανεξαρτησίας του συστήματος στηλών.

Οι στήλες А1, А2…Aν ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενες εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με την 0η στήλη.

Οι στήλες А1, А2…Aν ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητες εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με την 0η στήλη.

Ένας γραμμικός συνδυασμός ονομάζεται τετριμμένος εάν όλοι οι συντελεστές С(l) είναι ίσοι με 0 και μη τετριμμένοι διαφορετικά.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image010_52.gif" width="88" height="24">

2. Για να εξαρτώνται γραμμικά οι στήλες, είναι απαραίτητο και αρκετό κάποια στήλη να είναι γραμμικός συνδυασμός άλλων στηλών.

Έστω 1 από τις στήλες https://pandia.ru/text/78/365/images/image014_42.gif" width="13" height="23 src="> ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων στηλών.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" height="24"> εξαρτώνται γραμμικά, τότε όλες οι στήλες εξαρτώνται γραμμικά.

4. Εάν ένα σύστημα στηλών είναι γραμμικά ανεξάρτητο, τότε οποιοδήποτε υποσύστημά του είναι επίσης γραμμικά ανεξάρτητο.

(Όλα όσα λέγονται για τις στήλες ισχύουν και για τις γραμμές).

Ανήλικοι Matrix. Βάση ανήλικοι. Κατάταξη μήτρας. Η μέθοδος περιθωρίου ανηλίκων για τον υπολογισμό της κατάταξης ενός πίνακα.

Η ελάσσονα τάξης του πίνακα Α είναι η ορίζουσα της οποίας τα στοιχεία βρίσκονται στη διασταύρωση των σειρών k και των k σειρών του πίνακα Α.

Αν όλα τα ελάσσονα τάξης k του πίνακα A = 0, τότε κάθε δευτερεύον της τάξης k + 1 ισούται επίσης με 0.

Βασικό δευτερεύον.

Η κατάταξη ενός πίνακα Α είναι η τάξη του ελάσσονος βάσης του.

Η μέθοδος οριοθέτησης δευτερευόντων: - Επιλέγουμε ένα μη μηδενικό στοιχείο του πίνακα A (Εάν δεν υπάρχει τέτοιο στοιχείο, τότε η κατάταξη A \u003d 0)

Συνορεύουμε την προηγούμενη ελάσσονα 1ης τάξης με την ελάσσονα της 2ης τάξης. (Αν αυτό το δευτερεύον δεν είναι ίσο με 0, τότε η κατάταξη >=2) Εάν η κατάταξη αυτού του δευτερεύοντος είναι =0, τότε συνορεύουμε το επιλεγμένο δευτερεύον 1ης τάξης με άλλα δευτερεύοντα 2ης τάξης. (Αν όλα τα δευτερεύοντα της 2ης τάξης = 0, τότε η κατάταξη του πίνακα = 1).

Κατάταξη μήτρας. Μέθοδοι εύρεσης της κατάταξης ενός πίνακα.

Η κατάταξη ενός πίνακα Α είναι η τάξη του ελάσσονος βάσης του.

Μέθοδοι υπολογισμού:

1) Η μέθοδος οριοθέτησης δευτερευόντων: -Επιλέξτε ένα μη μηδενικό στοιχείο του πίνακα Α (αν δεν υπάρχει τέτοιο στοιχείο, τότε κατάταξη = 0) - Περιγράψτε το προηγούμενο δευτερεύον 1ης τάξης με το δευτερεύον 2ης τάξης..gif" width= "40" height="22" >r+1 Mr+1=0.

2) Φέρνοντας έναν πίνακα σε κλιμακωτή μορφή: αυτή η μέθοδος βασίζεται σε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς. Κάτω από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, η κατάταξη του πίνακα δεν αλλάζει.

Οι παρακάτω μετασχηματισμοί ονομάζονται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί:

Μετάθεση δύο σειρών (στήλων).

Πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων κάποιας στήλης (γραμμής) με έναν αριθμό όχι =0.

Προσθήκη σε όλα τα στοιχεία μιας συγκεκριμένης στήλης (σειράς) στοιχείων μιας άλλης στήλης (σειράς), πολλαπλασιασμένα προηγουμένως με τον ίδιο αριθμό.

Θεώρημα ελάσσονος βάσης. Απαραίτητη και επαρκής συνθήκη η ορίζουσα να είναι ίση με το μηδέν.

Η ελάσσονα βάσης του πίνακα Α είναι η ελάσσονα της μεγαλύτερης k-ης τάξης διαφορετική από το 0.

Θεώρημα δευτερεύοντος βάσης:

Οι βασικές σειρές (στήλες) είναι γραμμικά ανεξάρτητες. Οποιαδήποτε σειρά (στήλη) του πίνακα Α είναι ένας γραμμικός συνδυασμός βασικών σειρών (στήλες).

Σημειώσεις: Οι γραμμές και οι στήλες στην τομή των οποίων υπάρχει βασικό δευτερεύον ονομάζονται βασικές γραμμές και στήλες, αντίστοιχα.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Απαραίτητες και επαρκείς συνθήκες ώστε η ορίζουσα να είναι ίση με μηδέν:

Για να είναι η ορίζουσα της νης τάξης = 0, είναι απαραίτητο και αρκετό οι σειρές (στήλες) της να είναι γραμμικά εξαρτημένες.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων, ταξινόμηση και μορφές σημειογραφίας τους. Ο κανόνας του Cramer.

Θεωρήστε ένα σύστημα 3 γραμμικών εξισώσεων με τρεις άγνωστους:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image020_29.gif" alt="(!LANG:l14image048" width="64" height="38 id=">!}

ονομάζεται ορίζουσα του συστήματος.

Συνθέτουμε τρεις ακόμη ορίζουσες ως εξής: αντικαθιστούμε διαδοχικά 1, 2 και 3 στήλες στην ορίζουσα D με μια στήλη ελεύθερων μελών

https://pandia.ru/text/78/365/images/image022_23.gif" alt="(!LANG:l14image052" width="93" height="22 id=">!}

Απόδειξη. Έτσι, θεωρήστε ένα σύστημα 3 εξισώσεων με τρεις αγνώστους. Πολλαπλασιάζουμε την 1η εξίσωση του συστήματος με το αλγεβρικό συμπλήρωμα A11 του στοιχείου a11, τη 2η εξίσωση με την A21 και την 3η με την A31:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image024_24.gif" alt="(!LANG:l14image056" width="247" height="31 id=">!}

Εξετάστε κάθε μία από τις αγκύλες και τη δεξιά πλευρά αυτής της εξίσωσης. Με το θεώρημα για την επέκταση της ορίζουσας ως προς τα στοιχεία της 1ης στήλης

https://pandia.ru/text/78/365/images/image026_23.gif" alt="(!LANG:l14image060" width="324" height="42 id=">!}

Ομοίως, μπορεί να αποδειχθεί ότι και .

Τέλος, είναι εύκολο να το δει κανείς

Έτσι, παίρνουμε την ισότητα: .

Συνεπώς, .

Οι ισότητες και εξάγονται ομοίως, από όπου και ακολουθεί ο ισχυρισμός του θεωρήματος.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Συνθήκη συμβατότητας για γραμμικές εξισώσεις. Το θεώρημα Kronecker-Capelli.

Η λύση ενός συστήματος αλγεβρικών εξισώσεων είναι ένα τέτοιο σύνολο n αριθμών C1,C2,C3……Cn, το οποίο, όταν αντικατασταθεί στο αρχικό σύστημα στη θέση του x1,x2,x3…..xn, μετατρέπει όλες τις εξισώσεις του το σύστημα σε ταυτότητες.

Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ονομάζεται συνεπές εάν έχει τουλάχιστον μία λύση.

Ένα κοινό σύστημα ονομάζεται οριστικό εάν έχει μια μοναδική λύση και αόριστο εάν έχει άπειρες λύσεις.

Προϋποθέσεις συμβατότητας συστημάτων γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn bn

ΘΕΩΡΗΜΑ: Για να είναι συνεπές ένα σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n αγνώστους, είναι απαραίτητο και αρκετό η κατάταξη του εκτεταμένου πίνακα να είναι ίση με την κατάταξη του πίνακα Α.

Σημείωση: Αυτό το θεώρημα δίνει μόνο κριτήρια για την ύπαρξη λύσης, αλλά δεν υποδεικνύει τρόπο εύρεσης λύσης.

10 ερώτηση.

Συστήματα γραμμικών εξισώσεων. Η βασική ελάσσονα μέθοδος είναι μια γενική μέθοδος για την εύρεση όλων των λύσεων σε συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

A=a21 a22…..a2n

Μέθοδος δευτερεύουσας βάσης:

Αφήστε το σύστημα να είναι συμβατό και RgA=RgA’=r. Αφήστε το βασικό ελάσσονα να ζωγραφιστεί στην επάνω αριστερή γωνία της μήτρας Α.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">…...gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Παρατηρήσεις: Εάν η κατάταξη του κύριου πίνακα και του εξεταζόμενου είναι ίση με r=n, τότε σε αυτήν την περίπτωση dj=bj και το σύστημα έχει μια μοναδική λύση.

Ομοιογενή συστήματα γραμμικών εξισώσεων.

Ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων ονομάζεται ομοιογενές αν όλοι οι ελεύθεροι όροι του είναι ίσοι με μηδέν.

Το AX=0 είναι ένα ομοιογενές σύστημα.

Το AX = B είναι ένα ανομοιογενές σύστημα.

Τα ομοιογενή συστήματα είναι πάντα συμβατά.

X1 =x2 =..=xn =0

Θεώρημα 1.

Τα ομοιογενή συστήματα έχουν μη ομοιογενείς λύσεις όταν η κατάταξη του πίνακα συστήματος είναι μικρότερη από τον αριθμό των αγνώστων.

Θεώρημα 2.

Ένα ομοιογενές σύστημα n-γραμμικών εξισώσεων με n-άγνωστα έχει μη μηδενική λύση όταν η ορίζουσα του πίνακα Α είναι ίση με μηδέν. (detA=0)

Ιδιότητες διαλυμάτων ομοιογενών συστημάτων.

Οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός μιας λύσης σε ένα ομοιογενές σύστημα είναι από μόνος του μια λύση σε αυτό το σύστημα.

α1C1 +α2C2; Οι α1 και α2 είναι κάποιοι αριθμοί.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(A C1) + α2(AC2) = 0, δηλ. κ. (A C1) = 0; (AC2) = 0

Για ένα ανομοιογενές σύστημα, αυτή η ιδιότητα δεν ισχύει.

Σύστημα θεμελιωδών αποφάσεων.

Θεώρημα 3.

Εάν η κατάταξη ενός συστήματος μήτρας μιας εξίσωσης με n-άγνωστα είναι r, τότε αυτό το σύστημα έχει n-r γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις.

Αφήστε το βασικό μινόρε να βρίσκεται στην επάνω αριστερή γωνία. Αν r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1, 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Ένα σύστημα n-r γραμμικά ανεξάρτητων λύσεων ενός ομοιογενούς συστήματος γραμμικών εξισώσεων με n-άγνωστα της τάξης r ονομάζεται θεμελιώδες σύστημα λύσεων.

Θεώρημα 4.

Οποιαδήποτε λύση σε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι ένας γραμμικός συνδυασμός μιας λύσης στο θεμελιώδες σύστημα.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Αν r

12 ερώτηση.

Γενική λύση ανομοιογενούς συστήματος.

Sleep (γεν. μη ομοιόμορφη) \u003d COO + SCH (ιδιωτικό)

AX=B (ετερογενές σύστημα); AX=0

(ASoo) + ASch = ASch = B, επειδή (ASoo) = 0

Ύπνος \u003d α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r + Mid

Μέθοδος Gauss.

Αυτή είναι μια μέθοδος διαδοχικής εξάλειψης αγνώστων (μεταβλητών) - συνίσταται στο γεγονός ότι με τη βοήθεια στοιχειωδών μετασχηματισμών, το αρχικό σύστημα εξισώσεων ανάγεται σε ένα ισοδύναμο σύστημα σταδιακής μορφής, από το οποίο βρίσκονται όλες οι άλλες μεταβλητές διαδοχικά , ξεκινώντας από τις τελευταίες μεταβλητές.

Έστω a≠0 (αν δεν ισχύει αυτό, τότε αυτό επιτυγχάνεται με την αναδιάταξη των εξισώσεων).

1) εξαιρούμε τη μεταβλητή x1 από τη δεύτερη, τρίτη ... ν-η εξίσωση, πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση με κατάλληλους αριθμούς και προσθέτοντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν στη 2η, 3η ... ν-η εξίσωση, τότε παίρνουμε:

Παίρνουμε ένα σύστημα ισοδύναμο με το αρχικό.

2) εξαιρέστε τη μεταβλητή x2

3) εξαιρούμε τη μεταβλητή x3 κ.λπ.

Συνεχίζοντας τη διαδικασία διαδοχικής εξάλειψης των μεταβλητών x4;x5...xr-1 παίρνουμε για το (r-1)-ο βήμα.

Ο αριθμός μηδέν του τελευταίου n-r στις εξισώσεις σημαίνει ότι η αριστερή τους πλευρά μοιάζει με: 0x1 +0x2+..+0xn

Εάν τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς вr+1, вr+2… δεν είναι ίσος με μηδέν, τότε η αντίστοιχη ισότητα είναι ασυνεπής και το σύστημα (1) δεν είναι συνεπές. Έτσι, για οποιοδήποτε συνεπές σύστημα, αυτό το vr+1 … vm είναι ίσο με μηδέν.

Οι τελευταίες n-r εξισώσεις στο σύστημα (1;r-1) είναι ταυτότητες και μπορούν να αγνοηθούν.

Δύο περιπτώσεις είναι δυνατές:

α) ο αριθμός των εξισώσεων του συστήματος (1; r-1) είναι ίσος με τον αριθμό των αγνώστων, δηλ. r \u003d n (στην περίπτωση αυτή, το σύστημα έχει τριγωνική μορφή).

β)ρ

Η μετάβαση από το σύστημα (1) σε ένα ισοδύναμο σύστημα (1; r-1) ονομάζεται άμεση κίνηση της μεθόδου Gauss.

Σχετικά με την εύρεση μιας μεταβλητής από το σύστημα (1; r-1) - με την αντίστροφη πορεία της μεθόδου Gauss.

Οι Gaussian μετασχηματισμοί πραγματοποιούνται εύκολα εφαρμόζοντάς τους όχι με εξισώσεις, αλλά με έναν εκτεταμένο πίνακα των συντελεστών τους.

13 ερώτηση.

παρόμοιους πίνακες.

Θα εξετάσουμε μόνο τετράγωνους πίνακες τάξης n/

Ένας πίνακας A λέγεται ότι είναι παρόμοιος με τον πίνακα B (A~B) εάν υπάρχει ένας μη μοναδικός πίνακας S τέτοιος ώστε A=S-1BS.

Ιδιότητες παρόμοιων πινάκων.

1) Ο πίνακας Α είναι παρόμοιος με τον εαυτό του. (A~A)

Αν S=E τότε ΕΑΕ=Ε-1ΑΕ=Α

2) Αν A~B, τότε B~A

Αν A=S-1BS => SAS-1= (SS-1)B(SS-1)=B

3) Αν A~B και ταυτόχρονα B~C, τότε A~C

Δεδομένου ότι A=S1-1BS1, και B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, όπου S3 = S2S1

4) Οι ορίζουσες όμοιων πινάκων είναι ίσες.

Δεδομένου ότι A~B, είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι detA=detB.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (μείωση) = detB.

5) Οι τάξεις παρόμοιων πινάκων είναι ίδιες.

Ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων.

Ο αριθμός λ ονομάζεται ιδιοτιμή του πίνακα A εάν υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα X (στήλη μήτρας) τέτοιο ώστε AX = λ X, το διάνυσμα X ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A και το σύνολο όλων των ιδιοτιμών ​ονομάζεται φάσμα του πίνακα Α.

Ιδιότητες ιδιοδιανυσμάτων.

1) Όταν πολλαπλασιάζουμε ένα ιδιοδιάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε ένα ιδιοδιάνυσμα με την ίδια ιδιοτιμή.

AX \u003d λ X; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Τα ιδιοδιανύσματα με διαφορετικές ιδιοτιμές ανά ζεύγη είναι γραμμικά ανεξάρτητα λ1, λ2,.. λk.

Έστω ότι το σύστημα αποτελείται από το 1ο διάνυσμα, ας κάνουμε ένα επαγωγικό βήμα:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - πολλαπλασιάστε με Α.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn \u003d 0

С1 λ1 Χ1 +С2 λ2 Χ2 + .. +Сn λn Χn = 0

Πολλαπλασιάστε με λn+1 και αφαιρέστε

C1 X1 +C2 X2 + .. +Cn Xn+ Cn+1 Xn+1 = 0

С1 λ1 Χ1 +С2 λ2 Χ2 + .. +Сn λn Χn+ Сn+1 λn+1 Χn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Είναι απαραίτητο το C1 \u003d C2 \u003d ... \u003d Cn \u003d 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Χαρακτηριστική εξίσωση.

Το A-λE ονομάζεται χαρακτηριστικός πίνακας για τον πίνακα A.

Προκειμένου ένα μη μηδενικό διάνυσμα X να είναι ιδιοδιάνυσμα του πίνακα A, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, είναι απαραίτητο να είναι λύση σε ένα ομοιογενές σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων (A - λE)X = 0

Το σύστημα έχει μια μη τετριμμένη λύση όταν det (A - XE) = 0 - αυτή είναι μια χαρακτηριστική εξίσωση.

Δήλωση!

Οι χαρακτηριστικές εξισώσεις παρόμοιων πινάκων συμπίπτουν.

det(S-1AS - λΕ) = det(S-1AS - λ S-1ΕS) = det(S-1 (A - λΕ)S) = det S-1 det(A - λΕ) detS= det(A - λΕ)

Χαρακτηριστικό πολυώνυμο.

det(A – λΕ) - συνάρτηση ως προς την παράμετρο λ

det(A – λΕ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Αυτό το πολυώνυμο ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α.

Συνέπεια:

1) Αν οι πίνακες είναι A~B, τότε το άθροισμα των διαγώνιων στοιχείων τους είναι το ίδιο.

a11+a22+..+ann = в11+в22+..+вnn

2) Το σύνολο των ιδιοτιμών παρόμοιων πινάκων συμπίπτει.

Εάν οι χαρακτηριστικές εξισώσεις των πινάκων είναι ίδιες, τότε δεν είναι απαραίτητα παρόμοιες.

Για τον πίνακα Α

Για τον πίνακα Β

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Για να μπορεί να διαγωνιοποιηθεί ένας πίνακας Α τάξης n, είναι απαραίτητο να υπάρχουν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα του πίνακα Α.

Συνέπεια.

Εάν όλες οι ιδιοτιμές του πίνακα A είναι διαφορετικές, τότε είναι διαγωνιοποιήσιμος.

Αλγόριθμος για την εύρεση ιδιοδιανυσμάτων και ιδιοτιμών.

1) Να συνθέσετε τη χαρακτηριστική εξίσωση

2) βρείτε τις ρίζες των εξισώσεων

3) να συνθέσετε ένα σύστημα εξισώσεων για να προσδιορίσετε το ιδιοδιάνυσμα.

λi (A-λi E)X = 0

4) βρείτε το θεμελιώδες σύστημα λύσεων

x1,x2..xn-r, όπου r είναι η κατάταξη του χαρακτηριστικού πίνακα.

r = Rg(A - λi E)

5) ιδιοδιάνυσμα, οι ιδιοτιμές λi γράφονται ως:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, όπου C12 + C22 + ... C2n ≠0

6) ελέγχουμε αν ο πίνακας μπορεί να αναχθεί σε διαγώνια μορφή.

7) βρείτε τον Αγ

Ag = S-1AS S=

15 ερώτηση.

Βάση γραμμής, επίπεδο, διάστημα.

DIV_ADBLOCK410">

Το δομοστοιχείο ενός διανύσματος είναι το μήκος του, δηλαδή η απόσταση μεταξύ Α και Β (││, ││). Το μέτρο ενός διανύσματος είναι ίσο με μηδέν, όταν αυτό το διάνυσμα είναι μηδέν (│ō│=0)

4.Orth διάνυσμα.

Το ορθό ενός δεδομένου διανύσματος είναι ένα διάνυσμα που έχει την ίδια κατεύθυνση με το δεδομένο διάνυσμα και έχει μια ενότητα ίση με ένα.

Τα ίσα διανύσματα έχουν ίσα orts.

5. Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Αυτό είναι το μικρότερο τμήμα της περιοχής, που οριοθετείται από δύο ακτίνες που προέρχονται από το ίδιο σημείο και κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση με τα δεδομένα διανύσματα.

Προσθήκη διανυσμάτων. Πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό.

1) Πρόσθεση δύο διανυσμάτων

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με ένα βαθμωτό.

Το γινόμενο ενός διανύσματος και ενός βαθμωτή είναι ένα νέο διάνυσμα που έχει:

α) = γινόμενα του συντελεστή του πολλαπλασιαζόμενου διανύσματος επί την απόλυτη τιμή του βαθμωτή.

β) η κατεύθυνση είναι ίδια με το πολλαπλασιασμένο διάνυσμα αν η κλιμακωτή είναι θετική και αντίθετη αν η κλιμακωτή είναι αρνητική.

λ a(διάνυσμα)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Ιδιότητες γραμμικών πράξεων σε διανύσματα.

1. Ο νόμος της κοινοτικότητας.

2. Ο νόμος της συνειρμικότητας.

3. Πρόσθεση με μηδέν.

a(διάνυσμα)+ō= a(διάνυσμα)

4. Πρόσθεση με το αντίθετο.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Νόμος της κατανομής.

Έκφραση ενός διανύσματος ως προς το μέτρο του και το μοναδιαίο του διάνυσμα.

Ο μέγιστος αριθμός γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων ονομάζεται βάση.

Μια βάση σε μια γραμμή είναι οποιοδήποτε διάνυσμα που δεν είναι μηδενικό.

Μια βάση στο επίπεδο είναι οποιαδήποτε δύο μη-callenary διανύσματα.

Μια βάση στο χώρο είναι ένα σύστημα οποιωνδήποτε τριών μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων.

Ο συντελεστής διαστολής ενός διανύσματος σε κάποια βάση ονομάζεται συνιστώσες ή συντεταγμένες του διανύσματος στη δεδομένη βάση.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image075_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> εκτελέστε πρόσθεση και πολλαπλασιασμό με ένα βαθμωτό, στη συνέχεια ως αποτέλεσμα οποιουδήποτε αριθμού τέτοιων ενεργειών έχουμε:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 Τα src="> ονομάζονται γραμμικά εξαρτώμενα εάν υπάρχει ένας μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους ίσος με ō.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 Τα src="> ονομάζονται γραμμικά ανεξάρτητα αν δεν υπάρχει μη τετριμμένος γραμμικός συνδυασμός τους.

Ιδιότητες γραμμικά εξαρτημένων και ανεξάρτητων διανυσμάτων:

1) το σύστημα των διανυσμάτων που περιέχουν το μηδενικό διάνυσμα εξαρτάται γραμμικά.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> εξαρτώνται γραμμικά, κάποιο διάνυσμα πρέπει να είναι ένας γραμμικός συνδυασμός άλλων διανυσμάτων.

3) εάν ορισμένα από τα διανύσματα από το σύστημα a1 (διάνυσμα), a2 (διάνυσμα) ... ak (διάνυσμα) είναι γραμμικά εξαρτώμενα, τότε όλα τα διανύσματα εξαρτώνται γραμμικά.

4)αν όλα τα διανύσματα https://pandia.ru/text/78/365/images/image076_9.gif" height="11 src=">.gif" width="75" height="11">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Γραμμικές πράξεις σε συντεταγμένες.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">+ (λα3)DIV_ADBLOCK413">

Το κλιμακωτό γινόμενο 2 διανυσμάτων είναι ένας αριθμός ίσος με το γινόμενο των διανυσμάτων και το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image090_8.gif" width="48" height="13">

3. (a;b)=0 αν και μόνο αν τα διανύσματα είναι ορθογώνια ή κάποιο από τα διανύσματα είναι ίσο με 0.

4. Κατανομή (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Έκφραση του βαθμωτού γινόμενου των a και b ως προς τις συντεταγμένες τους

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Όταν η συνθήκη () , h, l=1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> και ονομάζεται το τρίτο διάνυσμα που ικανοποιεί τις ακόλουθες εξισώσεις:

3. - σωστά

Ιδιότητες του διανυσματικού προϊόντος:

4. Διανυσματικό γινόμενο διανυσμάτων συντεταγμένων

ορθοκανονική βάση.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Συχνά 3 σύμβολα χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν τα όρτια μιας ορθοκανονικής βάσης

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Εάν είναι μια ορθοκανονική βάση, τότε

DIV_ADBLOCK414">

Ευθεία γραμμή σε ένα αεροπλάνο. Αμοιβαία διάταξη 2 ευθειών. Η απόσταση από ένα σημείο σε μια ευθεία γραμμή. Γωνία μεταξύ δύο γραμμών. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας 2 ευθειών.

1. Ειδική περίπτωση εντοπισμού 2 ευθειών σε επίπεδο.

1) - η εξίσωση ευθύγραμμου παράλληλου άξονα ΟΧ

2) - η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής παράλληλης προς τον άξονα του ΛΣ

2. Αμοιβαία διάταξη 2 ευθειών.

Θεώρημα 1 Έστω οι εξισώσεις των ευθειών ως προς το συγγενικό σύστημα συντεταγμένων

Α) Τότε η απαραίτητη και επαρκής συνθήκη όταν τέμνονται είναι:

Β) Τότε η απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για το γεγονός ότι οι ευθείες είναι παράλληλες είναι η συνθήκη:

Β) Τότε μια απαραίτητη και επαρκής συνθήκη για να συγχωνευτούν οι γραμμές σε μία είναι η συνθήκη:

3. Απόσταση από σημείο σε ευθεία.

Θεώρημα. Απόσταση από σημείο σε ευθεία σε σχέση με το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Γωνία μεταξύ δύο ευθειών. Κάθετη κατάσταση.

Έστω 2 ευθείες γραμμές ως προς το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με γενικές εξισώσεις.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Αν , τότε οι γραμμές είναι κάθετες.

24 ερώτηση.

αεροπλάνο στο διάστημα. Συνθήκη συμπλοκότητας για ένα διάνυσμα και ένα επίπεδο. Η απόσταση από ένα σημείο σε ένα επίπεδο. Συνθήκη παραλληλισμού και καθετότητας δύο επιπέδων.

1. Συνθήκη πολυμορφικότητας για ένα διάνυσμα και ένα επίπεδο.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:Untitled4.jpg" width="111" height="39">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image144_6.gif" width="148" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image145.jpg" alt="(!LANG:Untitled5.jpg" width="88" height="57">!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image147_6.gif" width="31" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image148_4.gif" width="328" height="24 src=">

3. Γωνία μεταξύ 2 επιπέδων. Κάθετη κατάσταση.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Αν , τότε τα επίπεδα είναι κάθετα.

25 ερώτηση.

Ευθεία γραμμή στο διάστημα. Διάφοροι τύποι εξισώσεων ευθείας στο χώρο.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Διανυσματική εξίσωση ευθείας στο χώρο.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Η κανονική εξίσωση είναι άμεση.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:Untitled3.jpg" width="56" height="51"> !}

28 ερώτηση.

Ελλειψη. Παραγωγή της κανονικής εξίσωσης έλλειψης. Η μορφή. Ιδιότητες

Μια έλλειψη είναι ο τόπος των σημείων για τα οποία το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερές αποστάσεις, που ονομάζονται εστίες, είναι ένας δεδομένος αριθμός 2a μεγαλύτερος από την απόσταση 2c μεταξύ των εστιών.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image195_4.gif" alt="(!LANG:image002" width="17" height="23 id=">.gif" alt="εικόνα043" width="81 height=44" height="44"> 0=!}

στο Σχ.2 r1=a+ex r2=a-ex

Ur-e εφαπτομένη στην έλλειψη

DIV_ADBLOCK417">

Κανονική εξίσωση υπερβολής

Μορφή και Αγ.

y=±b/a πολλαπλασιασμός με τη ρίζα του (x2-a2)

Ο άξονας συμμετρίας μιας υπερβολής είναι οι άξονές της

Τμήμα 2α - ο πραγματικός άξονας της υπερβολής

Εκκεντρότητα e=2c/2a=c/a

Αν b=a παίρνουμε ισοσκελή υπερβολή

Μια ασύμπτωτη είναι μια ευθεία γραμμή εάν, με απεριόριστη αφαίρεση του σημείου Μ1 κατά μήκος της καμπύλης, η απόσταση από το σημείο στην ευθεία τείνει στο μηδέν.

lim d=0 για x-> ∞

d=ba2/(x1+(x21-a2)1/2/c)

εφαπτομένη της υπερβολής

xx0/a2 - yy0/b2 = 1

παραβολή - ο τόπος των σημείων που βρίσκονται σε ίση απόσταση από ένα σημείο που ονομάζεται εστία και μια δεδομένη ευθεία που ονομάζεται ευθεία

Κανονική εξίσωση παραβολής

ιδιότητες

ο άξονας συμμετρίας της παραβολής διέρχεται από την εστία της και είναι κάθετος στη διεύθυνση

αν περιστρέψετε την παραβολή, θα έχετε ένα ελλειπτικό παραβολοειδές

όλες οι παραβολές είναι παρόμοιες

Ερώτηση 30. Διερεύνηση της εξίσωσης της γενικής μορφής μιας καμπύλης δεύτερης τάξης.

Τύπος καμπύλης def. με κορυφαίους όρους Α1, Β1, Γ1

A1x12+2Bx1y1+C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

1. AC=0 ->καμπύλη παραβολικού τύπου

A=C=0 => 2Dx+2Ey+F=0

A≠0 C=0 => Ax2+2Dx+2Ey+F=0

Αν E=0 => Ax2+2Dx+F=0

τότε x1=x2 - συγχωνεύεται σε ένα

x1≠x2 - οι γραμμές είναι παράλληλες Oy

x1≠x2 και φανταστικές ρίζες, δεν έχει γεωμετρική εικόνα

C≠0 A=0 =>C1y12+2D1x1+2E1y1+F1=0

Συμπέρασμα: μια παραβολική καμπύλη είναι είτε παραβολή, είτε 2 παράλληλες γραμμές, είτε φανταστική, είτε συγχωνεύονται σε μία.

2.AC>0 -> καμπύλη ελλειπτικού τύπου

Συμπληρώνοντας την αρχική εξίσωση στο πλήρες τετράγωνο, τη μετατρέπουμε στην κανονική και μετά παίρνουμε τις περιπτώσεις

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=1 - έλλειψη

(x-x0)2/a2+(y-y0)2/b2=-1 - φανταστική έλλειψη

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 - σημείο με συντεταγμένη x0 y0

Συμπέρασμα: καμπύλη ελ. Ο τύπος είναι είτε έλλειψη, είτε φανταστικός, είτε σημείο

3. AC<0 - кривая гиперболического типа

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=1 υπερβολή, ο πραγματικός άξονας είναι παράλληλος

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=-1 υπερβολή, πραγματικός άξονας παράλληλος στο Oy

(x-x0)2/a2-(y-y0)2/b2=0 ur-e δύο γραμμών

Συμπέρασμα: μια καμπύλη υπερβολικού τύπου είναι είτε υπερβολή είτε δύο ευθείες γραμμές

Οι πίνακες στα μαθηματικά είναι ένα από τα πιο σημαντικά αντικείμενα εφαρμοσμένης σημασίας. Συχνά μια εκδρομή στη θεωρία των πινάκων ξεκινά με τις λέξεις: "Μια μήτρα είναι ένα ορθογώνιο τραπέζι ...". Θα ξεκινήσουμε αυτή την εκδρομή από μια ελαφρώς διαφορετική οπτική γωνία.

Οι τηλεφωνικοί κατάλογοι οποιουδήποτε μεγέθους και με οποιοδήποτε αριθμό δεδομένων συνδρομητών δεν είναι παρά πίνακες. Αυτοί οι πίνακες μοιάζουν με αυτό:

Είναι σαφές ότι όλοι χρησιμοποιούμε τέτοιες μήτρες σχεδόν καθημερινά. Αυτοί οι πίνακες διατίθενται σε διάφορους αριθμούς σειρών (που διακρίνονται ως κατάλογος που εκδίδεται από την τηλεφωνική εταιρεία, ο οποίος μπορεί να περιέχει χιλιάδες, εκατοντάδες χιλιάδες, ακόμη και εκατομμύρια γραμμές, και ένα νέο σημειωματάριο που μόλις ξεκινήσατε, το οποίο έχει λιγότερες από δέκα γραμμές) και στήλες (ένας κατάλογος υπαλλήλων κάποιου οργανισμού στον οποίο μπορεί να υπάρχουν στήλες όπως ο αριθμός θέσης και γραφείου και το ίδιο το σημειωματάριό σας, όπου μπορεί να μην υπάρχουν άλλα δεδομένα εκτός από το όνομα και, επομένως, έχει μόνο δύο στήλες - όνομα και αριθμό τηλεφώνου).

Μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν όλων των ειδών οι πίνακες και μπορούν να εκτελεστούν άλλες λειτουργίες σε αυτούς, αλλά δεν χρειάζεται να προσθέτετε και να πολλαπλασιάζετε τηλεφωνικούς καταλόγους, δεν υπάρχει κανένα όφελος από αυτό, και επιπλέον, μπορείτε να μετακινήσετε το μυαλό σας.

Αλλά πάρα πολλοί πίνακες μπορούν και πρέπει να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν και διάφορες επείγουσες εργασίες μπορούν να επιλυθούν με αυτόν τον τρόπο. Παρακάτω είναι παραδείγματα τέτοιων πινάκων.

Πίνακες στους οποίους οι στήλες είναι η έξοδος μονάδων ενός συγκεκριμένου τύπου προϊόντος και οι σειρές είναι τα έτη κατά τα οποία καταγράφεται η έξοδος αυτού του προϊόντος:

Μπορείτε να προσθέσετε πίνακες αυτού του είδους, οι οποίοι λαμβάνουν υπόψη την παραγωγή παρόμοιων προϊόντων από διάφορες επιχειρήσεις, προκειμένου να λάβετε συνοπτικά δεδομένα για τον κλάδο.

Ή πίνακες, που αποτελούνται, για παράδειγμα, από μία στήλη, στην οποία οι σειρές είναι το μέσο κόστος ενός συγκεκριμένου τύπου προϊόντος:

Οι πίνακες των δύο τελευταίων τύπων μπορούν να πολλαπλασιαστούν και το αποτέλεσμα είναι ένας πίνακας σειρών που περιέχει το κόστος όλων των τύπων προϊόντων ανά έτη.

Πίνακες, βασικοί ορισμοί

Ορθογώνιος πίνακας που αποτελείται από αριθμούς διατεταγμένους Μγραμμές και nστήλες ονομάζεται mn-μήτρα (ή απλά μήτρα ) και γράφτηκε ως εξής:

(1)

Στον πίνακα (1) οι αριθμοί ονομάζονται του στοιχεία (όπως στην ορίζουσα, ο πρώτος δείκτης σημαίνει τον αριθμό της σειράς, ο δεύτερος - η στήλη, στη διασταύρωση της οποίας υπάρχει ένα στοιχείο. Εγώ = 1, 2, ..., Μ; ι = 1, 2, n).

Ο πίνακας ονομάζεται ορθογώνιος , αν .

Αν Μ = n, τότε καλείται ο πίνακας τετράγωνο , και ο αριθμός n είναι του για να .

Η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα Α λέγεται η ορίζουσα της οποίας τα στοιχεία είναι τα στοιχεία του πίνακα ΕΝΑ. Συμβολίζεται με το σύμβολο | ΕΝΑ|.

Ο τετραγωνικός πίνακας ονομάζεται μη ειδικός (ή μη εκφυλισμένος , μη ενικός ) αν η ορίζουσα του δεν είναι ίση με μηδέν, και ειδικός (ή εκφυλισμένος , ενικός ) αν η ορίζουσα του είναι μηδέν.

Οι πίνακες καλούνται ίσος εάν έχουν τον ίδιο αριθμό σειρών και στηλών και όλα τα στοιχεία που ταιριάζουν είναι τα ίδια.

Ο πίνακας ονομάζεται μηδενικό αν όλα τα στοιχεία του είναι ίσα με μηδέν. Ο μηδενικός πίνακας θα συμβολίζεται με το σύμβολο 0 ή .

Για παράδειγμα,

μήτρα σειρών (ή πεζά γράμματα ) ονομάζεται 1 n-μήτρα, και μήτρα στήλης (ή κιονοειδής ) – Μ 1-μήτρα.

Μήτρα ΕΝΑ" , το οποίο λαμβάνεται από τη μήτρα ΕΝΑη εναλλαγή γραμμών και στηλών σε αυτό ονομάζεται μεταφερθεί σε σχέση με τη μήτρα ΕΝΑ. Έτσι, για τον πίνακα (1), ο μετατιθέμενος πίνακας είναι

Μετάβαση στη λειτουργία μήτρας ΕΝΑ" , μεταφερθεί σε σχέση με τον πίνακα ΕΝΑ, ονομάζεται μετάθεση του πίνακα ΕΝΑ. Για μν-μήτρα που μετατίθεται είναι nm-μήτρα.

Ο πίνακας που μετατίθεται σε σχέση με τον πίνακα είναι ΕΝΑ, αυτό είναι

(ΕΝΑ")" = ΕΝΑ .

Παράδειγμα 1Βρείτε Matrix ΕΝΑ" , μεταφερθεί σε σχέση με τον πίνακα

και βρείτε αν οι ορίζουσες του αρχικού και του μετατιθέμενου πίνακα είναι ίσοι.

κύρια διαγώνιο Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι μια νοητή γραμμή που συνδέει τα στοιχεία του, για την οποία και οι δύο δείκτες είναι ίδιοι. Αυτά τα στοιχεία ονομάζονται διαγώνιος .

Ονομάζεται τετράγωνος πίνακας στον οποίο όλα τα στοιχεία έξω από την κύρια διαγώνιο είναι ίσα με μηδέν διαγώνιος . Δεν είναι απαραίτητα όλα τα διαγώνια στοιχεία ενός διαγώνιου πίνακα μη μηδενικά. Μερικά από αυτά μπορεί να είναι ίσα με μηδέν.

Ένας τετραγωνικός πίνακας στον οποίο τα στοιχεία στην κύρια διαγώνιο είναι ίσα με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό και όλα τα άλλα είναι ίσα με μηδέν, ονομάζεται βαθμωτός πίνακας .

μήτρα ταυτότητας ονομάζεται διαγώνιος πίνακας στον οποίο όλα τα διαγώνια στοιχεία είναι ίσα με ένα. Για παράδειγμα, ο πίνακας ταυτότητας τρίτης τάξης είναι ο πίνακας

Παράδειγμα 2Δεδομένα μήτρας:

Λύση. Ας υπολογίσουμε τις ορίζουσες αυτών των πινάκων. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα των τριγώνων, βρίσκουμε

Καθοριστική μήτρα σιυπολογίστε με τον τύπο

Το καταλαβαίνουμε εύκολα

Επομένως, οι πίνακες ΕΝΑκαι είναι μη ενικό (μη εκφυλισμένο, μη ενικό), και η μήτρα σι- ειδικός (εκφυλισμένος, ενικός).

Η ορίζουσα ενός πίνακα ταυτότητας οποιασδήποτε τάξης είναι προφανώς ίση με ένα.

Λύστε μόνοι σας το πρόβλημα του πίνακα και, στη συνέχεια, δείτε τη λύση

Παράδειγμα 3Δεδομένα μήτρας

,

,

Προσδιορίστε ποιες από αυτές είναι μη ενικές (non-degenerate, non-singular).

Εφαρμογή πινάκων στη μαθηματική και οικονομική μοντελοποίηση

Με τη μορφή πινάκων, τα δομημένα δεδομένα για ένα συγκεκριμένο αντικείμενο γράφονται απλά και άνετα. Τα μοντέλα μήτρας δημιουργούνται όχι μόνο για την αποθήκευση αυτών των δομημένων δεδομένων, αλλά και για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων με αυτά τα δεδομένα χρησιμοποιώντας γραμμική άλγεβρα.

Έτσι, το γνωστό μοντέλο matrix της οικονομίας είναι το μοντέλο εισροών-εκροών που εισήγαγε ο ρωσικής καταγωγής Αμερικανός οικονομολόγος Wassily Leontiev. Αυτό το μοντέλο βασίζεται στην υπόθεση ότι ολόκληρος ο μεταποιητικός τομέας της οικονομίας χωρίζεται σε nκαθαρές βιομηχανίες. Κάθε μία από τις βιομηχανίες παράγει μόνο έναν τύπο προϊόντος και διαφορετικές βιομηχανίες παράγουν διαφορετικά προϊόντα. Λόγω αυτού του καταμερισμού εργασίας μεταξύ των βιομηχανιών, υπάρχουν διβιομηχανικές σχέσεις, η έννοια των οποίων είναι ότι μέρος της παραγωγής κάθε κλάδου μεταφέρεται σε άλλους κλάδους ως παραγωγικός πόρος.

Όγκος παραγωγής Εγώ-ο κλάδος (μετρούμενος με μια συγκεκριμένη μονάδα μέτρησης) που παρήχθη κατά την περίοδο αναφοράς, που συμβολίζεται με και ονομάζεται συνολική παραγωγή Εγώου κλάδου. Τα ζητήματα τοποθετούνται βολικά n-Σειρά συστατικού του πίνακα.

Αριθμός μονάδων προϊόντος Εγώ-η βιομηχανία που θα δαπανηθεί ι-η βιομηχανία για την παραγωγή μιας μονάδας της παραγωγής της, συμβολίζεται και ονομάζεται συντελεστής άμεσου κόστους.