Εκπτώσεις 2. Εκπτώσεις, κανόνες, παραδείγματα

μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα: 5+5+5+5+5+5=5x6. Λένε για μια τέτοια έκφραση ότι το άθροισμα των ίσων όρων έχει διπλωθεί σε ένα γινόμενο. Και αντίστροφα, αν διαβάσουμε αυτή την ισότητα από δεξιά προς τα αριστερά, παίρνουμε ότι έχουμε διευρύνει το άθροισμα των ίσων όρων. Ομοίως, μπορείτε να διπλώσετε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων 5x5x5x5x5x5=5 6 .

Δηλαδή, αντί να πολλαπλασιάσουν έξι πανομοιότυπους παράγοντες 5x5x5x5x5x5, γράφουν 5 6 και λένε «πέντε στην έκτη δύναμη».

Η έκφραση 5 6 είναι δύναμη ενός αριθμού, όπου:

5 - βάση πτυχίου?

6 - εκθέτης.

Οι πράξεις με τις οποίες το γινόμενο ίσων παραγόντων αναδιπλώνεται σε δύναμη ονομάζονται εκθέσεως.

Γενικά, μια δύναμη με βάση "a" και εκθέτη "n" γράφεται ως

Η αύξηση του αριθμού a στη δύναμη του n σημαίνει εύρεση του γινόμενου n παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a

Εάν η βάση του βαθμού "a" είναι 1, τότε η τιμή του βαθμού για οποιοδήποτε φυσικό n θα είναι ίση με 1. Για παράδειγμα, 1 5 \u003d 1, 1 256 \u003d 1

Εάν σηκώσετε τον αριθμό "a" αυξήστε το σε πρώτου βαθμού, τότε παίρνουμε τον ίδιο τον αριθμό a: α 1 = α

Εάν αυξήσετε οποιοδήποτε αριθμό σε μηδέν βαθμό, τότε ως αποτέλεσμα των υπολογισμών παίρνουμε ένα. a 0 = 1

Η δεύτερη και η τρίτη δύναμη ενός αριθμού θεωρούνται ειδικές. Τους βρήκαν ονόματα: το δεύτερο πτυχίο λέγεται το τετράγωνο ενός αριθμού, τρίτο - κύβοςαυτός ο αριθμός.

Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να αυξηθεί σε ισχύ - θετικό, αρνητικό ή μηδέν. Ωστόσο, δεν χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κανόνες:

Κατά την εύρεση του βαθμού ενός θετικού αριθμού, προκύπτει ένας θετικός αριθμός.

Όταν υπολογίζουμε το μηδέν σε είδος, παίρνουμε μηδέν.

x m х n = x m + n

για παράδειγμα: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Προς την διαιρέστε τις δυνάμεις με την ίδια βάσηΔεν αλλάζουμε τη βάση, αλλά αφαιρούμε τους εκθέτες:

x m / x n \u003d x m - n , όπου, m > n

π.χ.: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Κατά τον υπολογισμό εκθέσεωςΔεν αλλάζουμε τη βάση, αλλά πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες μεταξύ τους.

(στο μ ) n = y m n

για παράδειγμα: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(Χ · y) n = x n · Μ ,

για παράδειγμα: (2 3) 3 = 2 n 3 m ,

Κατά την εκτέλεση υπολογισμών για εκφορά ενός κλάσματοςανεβάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος στη δεδομένη δύναμη

(x/y)n = x n / y n

για παράδειγμα: (2/5) 3 = (2/5) (2/5) (2/5) = 2 3/5 3 .

Η ακολουθία εκτέλεσης υπολογισμών κατά την εργασία με εκφράσεις που περιέχουν βαθμό.

Κατά την εκτέλεση υπολογισμών παραστάσεων χωρίς αγκύλες, αλλά που περιέχουν δυνάμεις, πρώτα απ 'όλα, εκτελείται η εκθετικότητα, μετά οι πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και μόνο τότε οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης.

Εάν είναι απαραίτητο να αξιολογήσουμε μια έκφραση που περιέχει αγκύλες, τότε πρώτα, με τη σειρά που υποδεικνύεται παραπάνω, κάνουμε τους υπολογισμούς σε αγκύλες και, στη συνέχεια, τις υπόλοιπες ενέργειες με την ίδια σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

Πολύ ευρέως στους πρακτικούς υπολογισμούς, για την απλοποίηση των υπολογισμών, χρησιμοποιούνται έτοιμοι πίνακες βαθμών.

Στη συνέχεια της κουβέντας για το βαθμό ενός αριθμού, είναι λογικό να ασχοληθούμε με την εύρεση της τιμής του βαθμού. Αυτή η διαδικασία έχει ονομαστεί εκθέσεως. Σε αυτό το άρθρο, θα μελετήσουμε απλώς τον τρόπο με τον οποίο εκτελείται η εκθετική ικανότητα, ενώ θα θίξουμε όλους τους πιθανούς εκθέτες - φυσικούς, ακέραιους, ορθολογικούς και παράλογους. Και κατά παράδοση, θα εξετάσουμε λεπτομερώς τις λύσεις σε παραδείγματα αύξησης αριθμών σε διάφορους βαθμούς.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Τι σημαίνει «εκθετικότητα»;

Ας ξεκινήσουμε εξηγώντας αυτό που ονομάζεται εκθετικότητα. Εδώ είναι ο σχετικός ορισμός.

Ορισμός.

Εκθεσιμότηταείναι να βρούμε την τιμή της δύναμης ενός αριθμού.

Έτσι, η εύρεση της τιμής της δύναμης του a με τον εκθέτη r και η αύξηση του αριθμού a στη δύναμη του r είναι το ίδιο πράγμα. Για παράδειγμα, εάν η εργασία είναι "υπολογίστε την τιμή της ισχύος (0,5) 5", τότε μπορεί να αναδιατυπωθεί ως εξής: "Αυξήστε τον αριθμό 0,5 στη δύναμη του 5".

Τώρα μπορείτε να μεταβείτε απευθείας στους κανόνες με τους οποίους εκτελείται η εκτόξευση.

Αύξηση ενός αριθμού σε φυσική δύναμη

Στην πράξη, η ισότητα με βάση συνήθως εφαρμόζεται στη μορφή . Δηλαδή, κατά την αύξηση του αριθμού a σε μια κλασματική ισχύ m / n, εξάγεται πρώτα η ρίζα του nου βαθμού από τον αριθμό a, μετά την οποία το αποτέλεσμα αυξάνεται σε μια ακέραια ισχύ m.

Εξετάστε λύσεις σε παραδείγματα αύξησης σε κλασματική δύναμη.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε την τιμή του πτυχίου.

Λύση.

Δείχνουμε δύο λύσεις.

Πρώτος τρόπος. Εξ ορισμού του βαθμού με κλασματικό εκθέτη. Υπολογίζουμε την τιμή του βαθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας, μετά την οποία εξάγουμε την κυβική ρίζα: .

Ο δεύτερος τρόπος. Εξ ορισμού ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη και με βάση τις ιδιότητες των ριζών, οι ισότητες είναι αληθείς . Τώρα εξαγάγετε τη ρίζα Τέλος, ανεβάζουμε σε μια ακέραια δύναμη .

Προφανώς, τα ληφθέντα αποτελέσματα της αύξησης σε κλασματική ισχύ συμπίπτουν.

Απάντηση:

Σημειώστε ότι ένας κλασματικός εκθέτης μπορεί να γραφεί ως δεκαδικό κλάσμα ή μεικτός αριθμός, σε αυτές τις περιπτώσεις θα πρέπει να αντικατασταθεί από το αντίστοιχο συνηθισμένο κλάσμα και στη συνέχεια να εκτελεστεί η εκθετική ικανότητα.

Παράδειγμα.

Υπολογίστε (44,89) 2,5 .

Λύση.

Γράφουμε τον εκθέτη με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος (αν χρειάζεται, δείτε το άρθρο): . Τώρα εκτελούμε αύξηση σε κλασματική ισχύ:

Απάντηση:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Θα πρέπει επίσης να ειπωθεί ότι η αύξηση των αριθμών σε λογικές δυνάμεις είναι μια μάλλον επίπονη διαδικασία (ειδικά όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλασματικού εκθέτη είναι αρκετά μεγάλοι αριθμοί), η οποία συνήθως πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τεχνολογία υπολογιστών.

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, θα σταθούμε στην κατασκευή του αριθμού μηδέν σε κλασματική δύναμη. Δώσαμε την εξής σημασία στον κλασματικό βαθμό μηδέν της μορφής: για έχουμε , ενώ το μηδέν στην ισχύ m/n δεν ορίζεται. Έτσι, το μηδέν σε μια θετική κλασματική ισχύ είναι μηδέν, για παράδειγμα, . Και το μηδέν σε μια κλασματική αρνητική ισχύ δεν έχει νόημα, για παράδειγμα, οι εκφράσεις και το 0 -4,3 δεν έχουν νόημα.

Ανέβασμα σε μια παράλογη δύναμη

Μερικές φορές καθίσταται απαραίτητο να μάθουμε την τιμή του βαθμού ενός αριθμού με έναν παράλογο εκθέτη. Σε αυτή την περίπτωση, για πρακτικούς λόγους, αρκεί συνήθως να ληφθεί η τιμή του πτυχίου μέχρι ένα συγκεκριμένο πρόσημο. Σημειώνουμε αμέσως ότι στην πράξη αυτή η τιμή υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τεχνολογία ηλεκτρονικών υπολογιστών, καθώς η χειροκίνητη αύξηση σε μια παράλογη ισχύ απαιτεί μεγάλο αριθμό δυσκίνητων υπολογισμών. Ωστόσο, θα περιγράψουμε με γενικούς όρους την ουσία των ενεργειών.

Για να ληφθεί μια κατά προσέγγιση τιμή της ισχύος του a με έναν παράλογο εκθέτη, λαμβάνεται κάποια δεκαδική προσέγγιση του εκθέτη και υπολογίζεται η τιμή του εκθέτη. Αυτή η τιμή είναι η κατά προσέγγιση τιμή του βαθμού του αριθμού α με έναν παράλογο εκθέτη. Όσο πιο ακριβής είναι η δεκαδική προσέγγιση του αριθμού αρχικά, τόσο πιο ακριβής θα είναι η τιμή του βαθμού στο τέλος.

Για παράδειγμα, ας υπολογίσουμε την κατά προσέγγιση τιμή της ισχύος του 2 1,174367... . Ας πάρουμε την ακόλουθη δεκαδική προσέγγιση ενός παράλογου δείκτη: . Τώρα ανεβάζουμε το 2 σε μια λογική δύναμη 1,17 (περιγράψαμε την ουσία αυτής της διαδικασίας στην προηγούμενη παράγραφο), παίρνουμε 2 1,17 ≈ 2,250116. Με αυτόν τον τρόπο, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Αν πάρουμε μια πιο ακριβή δεκαδική προσέγγιση ενός παράλογου εκθέτη, για παράδειγμα, τότε παίρνουμε μια πιο ακριβή τιμή του αρχικού βαθμού: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Μαθηματικά Zh εγχειρίδιο για 5 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για 7 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: εγχειρίδιο για 8 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Άλγεβρα: ένα εγχειρίδιο για 9 κελιά. Εκπαιδευτικά ιδρύματα.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Ένα εγχειρίδιο για τις τάξεις 10-11 των Γενικών Εκπαιδευτικών Ιδρυμάτων.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για υποψήφιους σε τεχνικές σχολές).

Η αριθμομηχανή σάς βοηθά να αυξήσετε γρήγορα έναν αριθμό σε ισχύ στο διαδίκτυο. Η βάση του βαθμού μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός (και ακέραιος και πραγματικός). Ο εκθέτης μπορεί επίσης να είναι ακέραιος ή πραγματικός, και επίσης θετικός και αρνητικός. Θα πρέπει να θυμάστε ότι η αύξηση σε μια μη ακέραια ισχύ δεν ορίζεται για αρνητικούς αριθμούς και επομένως η αριθμομηχανή θα αναφέρει ένα σφάλμα εάν προσπαθήσετε να το κάνετε αυτό.

Αριθμομηχανή πτυχίου

Ανέβασε σε μια δύναμη

Εκπτώσεις: 28402

Τι είναι η φυσική δύναμη ενός αριθμού;

Ο αριθμός p ονομάζεται η ν η ισχύς του αριθμού a αν p είναι ίσος με τον αριθμό a πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του n φορές: p \u003d a n \u003d a ... a
n - κάλεσε εκθέτηςκαι ο αριθμός α - βάση πτυχίου.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη;

Για να κατανοήσετε πώς να αυξήσετε διάφορους αριθμούς σε φυσικές δυνάμεις, εξετάστε μερικά παραδείγματα:

Παράδειγμα 1. Ανεβάστε τον αριθμό τρία στην τέταρτη δύναμη. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το 3 4
Λύση: όπως αναφέρθηκε παραπάνω, 3 4 = 3 3 3 3 = 81 .
Απάντηση: 3 4 = 81 .

Παράδειγμα 2. Ανεβάστε τον αριθμό πέντε στην πέμπτη δύναμη. Δηλαδή, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το 5 5
Λύση: ομοίως, 5 5 = 5 5 5 5 5 = 3125 .
Απάντηση: 5 5 = 3125 .

Έτσι, για να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια φυσική δύναμη, αρκεί απλώς να τον πολλαπλασιάσετε από τον εαυτό του n φορές.

Ποια είναι η αρνητική δύναμη ενός αριθμού;

Η αρνητική δύναμη -n του a διαιρείται με το a στη δύναμη του n: a -n = .

Σε αυτήν την περίπτωση, αρνητικός εκθέτης υπάρχει μόνο για αριθμούς διαφορετικούς από το μηδέν, αφού διαφορετικά θα γινόταν διαίρεση με το μηδέν.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε έναν αρνητικό ακέραιο;

Για να αυξήσετε έναν μη μηδενικό αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή αυτού του αριθμού στην ίδια θετική ισχύ και να διαιρέσετε έναν με το αποτέλεσμα.

Παράδειγμα 1. Ανεβάστε τον αριθμό δύο στην μείον τέταρτη δύναμη. Δηλαδή είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε 2 -4

Λύση: όπως αναφέρθηκε παραπάνω, 2 -4 = = = 0,0625 .

Απάντηση: 2 -4 = 0.0625 .

Καταλάβαμε γενικά ποιος είναι ο βαθμός ενός αριθμού. Τώρα πρέπει να καταλάβουμε πώς να το υπολογίσουμε σωστά, δηλ. ανεβάσουν τους αριθμούς σε δυνάμεις. Σε αυτό το υλικό, θα αναλύσουμε τους βασικούς κανόνες για τον υπολογισμό του βαθμού στην περίπτωση ενός ακέραιου, φυσικού, κλασματικού, ορθολογικού και παράλογου εκθέτη. Όλοι οι ορισμοί θα επεξηγηθούν με παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Η έννοια της εκθέσεως

Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση βασικών ορισμών.

Ορισμός 1

Εκθεσιμότηταείναι ο υπολογισμός της τιμής της ισχύος κάποιου αριθμού.

Δηλαδή, οι λέξεις «υπολογισμός της αξίας του βαθμού» και «εκθετική» σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Έτσι, εάν η εργασία είναι "Αύξηση του αριθμού 0 , 5 στην πέμπτη δύναμη", αυτό θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως "υπολογίστε την τιμή της ισχύος (0 , 5) 5 .

Τώρα δίνουμε τους βασικούς κανόνες που πρέπει να ακολουθούνται σε τέτοιους υπολογισμούς.

Θυμηθείτε τι είναι η δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη. Για μια ισχύ με βάση a και εκθέτη n, αυτό θα είναι το γινόμενο του nου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Για να υπολογίσετε την τιμή του βαθμού, πρέπει να εκτελέσετε τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις του βαθμού τον καθορισμένο αριθμό φορών. Η ίδια η έννοια ενός πτυχίου με φυσικό δείκτη βασίζεται στην ικανότητα γρήγορου πολλαπλασιασμού. Ας δώσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση: Ανύψωση - 2 στην ισχύ του 4 .

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό, γράφουμε: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να ακολουθήσουμε αυτά τα βήματα και να πάρουμε 16 .

Ας πάρουμε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε την τιμή 3 2 7 2

Λύση

Αυτή η καταχώρηση μπορεί να ξαναγραφτεί ως 3 2 7 · 3 2 7 . Νωρίτερα εξετάσαμε πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους μικτούς αριθμούς που αναφέρονται στη συνθήκη.

Εκτελέστε αυτά τα βήματα και λάβετε την απάντηση: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Εάν η εργασία υποδεικνύει την ανάγκη αύξησης των παράλογων αριθμών σε μια φυσική ισχύ, θα πρέπει πρώτα να στρογγυλοποιήσουμε τις βάσεις τους σε ένα ψηφίο που θα μας επιτρέψει να λάβουμε μια απάντηση της επιθυμητής ακρίβειας. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 3

Εκτελέστε τον τετραγωνισμό του αριθμού π .

Λύση

Ας το στρογγυλοποιήσουμε πρώτα στα εκατοστά. Τότε π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Αν π ≈ 3 . 14159, τότε θα έχουμε ένα πιο ακριβές αποτέλεσμα: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Σημειώστε ότι η ανάγκη υπολογισμού των δυνάμεων των παράλογων αριθμών στην πράξη προκύπτει σχετικά σπάνια. Μπορούμε στη συνέχεια να γράψουμε την απάντηση ως την ίδια την ισχύ (ln 6) 3 ή να μετατρέψουμε αν είναι δυνατόν: 5 7 = 125 5 .

Ξεχωριστά, θα πρέπει να αναφέρεται ποια είναι η πρώτη δύναμη ενός αριθμού. Εδώ μπορείτε απλώς να θυμάστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός αυξηθεί στην πρώτη δύναμη θα παραμείνει ο ίδιος:

Αυτό είναι ξεκάθαρο από το αρχείο. .

Δεν εξαρτάται από τη βάση του πτυχίου.

Παράδειγμα 4

Άρα, (− 9) 1 = − 9 , και το 7 3 ανυψωμένο στην πρώτη δύναμη παραμένει ίσο με 7 3 .

Για ευκολία, θα αναλύσουμε τρεις περιπτώσεις χωριστά: αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιος, αν είναι μηδέν και αν είναι αρνητικός ακέραιος.

Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι το ίδιο με την αύξηση σε μια φυσική δύναμη: τελικά, οι θετικοί ακέραιοι ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Έχουμε ήδη περιγράψει τον τρόπο εργασίας με τέτοιους τίτλους σπουδών παραπάνω.

Τώρα ας δούμε πώς να αυξήσετε σωστά τη μηδενική ισχύ. Με μια βάση που δεν είναι μηδενική, αυτός ο υπολογισμός παράγει πάντα μια έξοδο 1 . Έχουμε εξηγήσει προηγουμένως ότι η 0η δύναμη του a μπορεί να οριστεί για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό που δεν ισούται με 0, και a 0 = 1.

Παράδειγμα 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - δεν ορίζεται.

Μας μένει μόνο η περίπτωση ενός βαθμού με αρνητικό ακέραιο εκθέτη. Έχουμε ήδη συζητήσει ότι τέτοιοι βαθμοί μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα 1 a z, όπου a είναι οποιοσδήποτε αριθμός και z είναι αρνητικός ακέραιος. Βλέπουμε ότι ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος δεν είναι παρά ένας συνηθισμένος βαθμός με θετικό ακέραιο και έχουμε ήδη μάθει πώς να τον υπολογίζουμε. Ας δώσουμε παραδείγματα εργασιών.

Παράδειγμα 6

Ανεβάστε το 3 στην ισχύ -2.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό, γράφουμε: 2 - 3 = 1 2 3

Υπολογίζουμε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος και παίρνουμε 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Τότε η απάντηση είναι: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Παράδειγμα 7

Ανεβάστε το 1, 43 στην ισχύ -2.

Λύση

Αναδιατύπωση: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Υπολογίζουμε το τετράγωνο στον παρονομαστή: 1,43 1,43. Οι δεκαδικοί μπορούν να πολλαπλασιαστούν με αυτόν τον τρόπο:

Ως αποτέλεσμα, πήραμε (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Απομένει να γράψουμε αυτό το αποτέλεσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος, για το οποίο είναι απαραίτητο να το πολλαπλασιάσουμε με 10 χιλιάδες (δείτε το υλικό για τη μετατροπή των κλασμάτων).

Απάντηση: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Μια ξεχωριστή περίπτωση είναι η αύξηση ενός αριθμού στην μείον πρώτη δύναμη. Η τιμή ενός τέτοιου βαθμού είναι ίση με τον αριθμό αντίθετο από την αρχική τιμή της βάσης: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Παράδειγμα 8

Παράδειγμα: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε κλασματική δύναμη

Για να εκτελέσουμε μια τέτοια πράξη, πρέπει να θυμηθούμε τον βασικό ορισμό ενός βαθμού με κλασματικό εκθέτη: a m n \u003d a m n για κάθε θετικό a, ακέραιο m και φυσικό n.

Ορισμός 2

Έτσι, ο υπολογισμός ενός κλασματικού βαθμού πρέπει να εκτελεστεί σε δύο βήματα: αύξηση σε ακέραιο αριθμό και εύρεση της ρίζας του nου βαθμού.

Έχουμε την ισότητα a m n = a m n , η οποία, δεδομένων των ιδιοτήτων των ριζών, χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση προβλημάτων με τη μορφή a m n = a n m . Αυτό σημαίνει ότι αν αυξήσουμε τον αριθμό a σε μια κλασματική ισχύ m / n, τότε πρώτα εξάγουμε τη ρίζα του nου βαθμού από το a, μετά ανεβάζουμε το αποτέλεσμα σε δύναμη με ακέραιο εκθέτη m.

Ας το διευκρινίσουμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 9

Υπολογίστε 8 - 2 3 .

Λύση

Μέθοδος 1. Σύμφωνα με τον βασικό ορισμό, μπορούμε να το αναπαραστήσουμε ως: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Τώρα ας υπολογίσουμε τον βαθμό κάτω από τη ρίζα και ας εξαγάγουμε την τρίτη ρίζα από το αποτέλεσμα: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Μέθοδος 2. Ας μετατρέψουμε τη βασική ισότητα: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Μετά από αυτό, εξάγουμε τη ρίζα 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 και τετραγωνίζουμε το αποτέλεσμα: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Βλέπουμε ότι οι λύσεις είναι πανομοιότυπες. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όποιον τρόπο θέλετε.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο βαθμός έχει δείκτη που εκφράζεται ως μικτός αριθμός ή δεκαδικό κλάσμα. Για ευκολία υπολογισμού, είναι καλύτερο να το αντικαταστήσετε με ένα συνηθισμένο κλάσμα και να μετρήσετε όπως υποδεικνύεται παραπάνω.

Παράδειγμα 10

Ανεβάστε το 44,89 στη δύναμη του 2,5.

Λύση

Ας μετατρέψουμε την τιμή του δείκτη σε ένα συνηθισμένο κλάσμα - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Και τώρα εκτελούμε όλες τις ενέργειες που υποδεικνύονται παραπάνω με τη σειρά: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 501 = 67 10 501 = 5 13 501, 25107

Απάντηση: 13501, 25107.

Εάν υπάρχουν μεγάλοι αριθμοί στον αριθμητή και στον παρονομαστή ενός κλασματικού εκθέτη, τότε ο υπολογισμός τέτοιων εκθετών με ορθολογικούς εκθέτες είναι μια αρκετά δύσκολη δουλειά. Συνήθως απαιτεί τεχνολογία υπολογιστών.

Ξεχωριστά, μένουμε στον βαθμό με μηδενική βάση και κλασματικό εκθέτη. Σε μια έκφραση της μορφής 0 m n μπορεί να δοθεί η ακόλουθη έννοια: εάν m n > 0, τότε 0 m n = 0 m n = 0 ; αν m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια παράλογη δύναμη

Η ανάγκη υπολογισμού της τιμής του βαθμού, στον δείκτη του οποίου υπάρχει ένας παράλογος αριθμός, δεν προκύπτει τόσο συχνά. Στην πράξη, η εργασία συνήθως περιορίζεται στον υπολογισμό μιας κατά προσέγγιση τιμής (μέχρι ένα ορισμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων). Αυτό συνήθως υπολογίζεται σε υπολογιστή λόγω της πολυπλοκότητας τέτοιων υπολογισμών, επομένως δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτό, θα αναφέρουμε μόνο τις κύριες διατάξεις.

Εάν πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του βαθμού a με έναν παράλογο εκθέτη a , τότε παίρνουμε τη δεκαδική προσέγγιση του εκθέτη και μετράμε από αυτήν. Το αποτέλεσμα θα είναι μια κατά προσέγγιση απάντηση. Όσο πιο ακριβής είναι η δεκαδική προσέγγιση, τόσο πιο ακριβής είναι η απάντηση. Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα:

Παράδειγμα 11

Υπολογίστε μια κατά προσέγγιση τιμή 21 , 174367 ....

Λύση

Περιοριζόμαστε στη δεκαδική προσέγγιση a n = 1 , 17 . Ας κάνουμε τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας αυτόν τον αριθμό: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Αν πάρουμε, για παράδειγμα, την προσέγγιση a n = 1 , 1743 , τότε η απάντηση θα είναι λίγο πιο ακριβής: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Στο κανάλι youtube του site μας για να ενημερωθείτε για όλα τα νέα μαθήματα βίντεο.

Αρχικά, ας θυμηθούμε τους βασικούς τύπους των βαθμών και τις ιδιότητές τους.

Προϊόν ενός αριθμού ένασυμβαίνει στον εαυτό του n φορές, μπορούμε να γράψουμε αυτή την έκφραση ως a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Ισχύς ή εκθετικές εξισώσεις- αυτές είναι εξισώσεις στις οποίες οι μεταβλητές είναι σε δυνάμεις (ή εκθέτες) και η βάση είναι ένας αριθμός.

Παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων:

Σε αυτό το παράδειγμα, ο αριθμός 6 είναι η βάση, είναι πάντα στο κάτω μέρος και η μεταβλητή Χβαθμό ή μέτρο.

Ας δώσουμε περισσότερα παραδείγματα εκθετικών εξισώσεων.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Τώρα ας δούμε πώς λύνονται οι εκθετικές εξισώσεις;

Ας πάρουμε μια απλή εξίσωση:

2 x = 2 3

Ένα τέτοιο παράδειγμα μπορεί να λυθεί ακόμα και στο μυαλό. Μπορεί να φανεί ότι x=3. Εξάλλου, για να είναι ίσες η αριστερή και η δεξιά πλευρά, πρέπει να βάλετε τον αριθμό 3 αντί για το x.
Ας δούμε τώρα πώς πρέπει να ληφθεί αυτή η απόφαση:

2 x = 2 3
x = 3

Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, αφαιρέσαμε ίδιους λόγους(δηλαδή αποσπάσματα) και έγραψε ό,τι απέμεινε, αυτά είναι μοίρες. Πήραμε την απάντηση που ψάχναμε.

Τώρα ας συνοψίσουμε τη λύση μας.

Αλγόριθμος για την επίλυση της εκθετικής εξίσωσης:
1. Χρειάζεται έλεγχος το ίδιοείτε οι βάσεις της εξίσωσης δεξιά και αριστερά. Εάν οι λόγοι δεν είναι οι ίδιοι, αναζητούμε επιλογές για να λύσουμε αυτό το παράδειγμα.
2. Αφού οι βάσεις είναι ίδιες, εξισώνωβαθμό και λύστε τη νέα εξίσωση που προκύπτει.

Τώρα ας λύσουμε μερικά παραδείγματα:

Ας ξεκινήσουμε απλά.

Οι βάσεις στην αριστερή και δεξιά πλευρά είναι ίσες με τον αριθμό 2, που σημαίνει ότι μπορούμε να απορρίψουμε τη βάση και να εξισώσουμε τις μοίρες τους.

x+2=4 Έχει βγει η απλούστερη εξίσωση.
x=4 - 2
x=2
Απάντηση: x=2

Στο παρακάτω παράδειγμα, μπορείτε να δείτε ότι οι βάσεις είναι διαφορετικές, αυτές είναι 3 και 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Αρχικά, μεταφέρουμε τα εννέα στη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:

Τώρα πρέπει να φτιάξετε τις ίδιες βάσεις. Γνωρίζουμε ότι 9=3 2 . Ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο ισχύος (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Παίρνουμε 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 τώρα είναι σαφές ότι οι βάσεις στην αριστερή και τη δεξιά πλευρά είναι ίδιες και ίσες με τρεις, πράγμα που σημαίνει ότι μπορούμε να τις απορρίψουμε και να εξισώσουμε τις μοίρες.

3x=2x+16 πήρε την απλούστερη εξίσωση
3x-2x=16
x=16
Απάντηση: x=16.

Ας δούμε το παρακάτω παράδειγμα:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Πρώτα απ 'όλα, κοιτάμε τις βάσεις, οι βάσεις είναι διαφορετικές δύο και τέσσερις. Και πρέπει να είμαστε ίδιοι. Μετασχηματίζουμε το τετραπλό σύμφωνα με τον τύπο (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Και χρησιμοποιούμε επίσης έναν τύπο a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Προσθέστε στην εξίσωση:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Δώσαμε ένα παράδειγμα για τους ίδιους λόγους. Μας παρεμβαίνουν όμως άλλοι αριθμοί 10 και 24. Τι να τους κάνουμε; Αν κοιτάξετε προσεκτικά, μπορείτε να δείτε ότι στην αριστερή πλευρά επαναλαμβάνουμε 2 2x, εδώ είναι η απάντηση - μπορούμε να βάλουμε 2 2x εκτός παρενθέσεων:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Ας υπολογίσουμε την έκφραση σε αγκύλες:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Διαιρούμε ολόκληρη την εξίσωση με το 6:

Φανταστείτε 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 βάσεις είναι ίδιες, πετάξτε τις και εξισώστε τις μοίρες.
Το 2x \u003d 2 αποδείχθηκε η απλούστερη εξίσωση. Το διαιρούμε με το 2, παίρνουμε
x = 1
Απάντηση: x = 1.

Ας λύσουμε την εξίσωση:

9 x - 12*3 x +27= 0

Ας μεταμορφώσουμε:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Παίρνουμε την εξίσωση:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Οι βάσεις μας είναι ίδιες, ίσες με τρεις Σε αυτό το παράδειγμα, είναι ξεκάθαρο ότι η πρώτη τριάδα έχει βαθμό διπλάσια (2x) από τη δεύτερη (μόλις x). Σε αυτή την περίπτωση, μπορείτε να αποφασίσετε μέθοδος αντικατάστασης. Ο αριθμός με τον μικρότερο βαθμό αντικαθίσταται από:

Στη συνέχεια 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Αντικαθιστούμε όλες τις μοίρες με x στην εξίσωση με t:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Παίρνουμε μια τετραγωνική εξίσωση. Επιλύουμε μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Επιστροφή στη Μεταβλητή Χ.

Παίρνουμε το t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Αυτό είναι,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Βρέθηκε μια ρίζα. Ψάχνουμε για το δεύτερο, από το t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Απάντηση: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Στον ιστότοπο μπορείτε στην ενότητα ΒΟΗΘΕΙΑ ΑΠΟΦΑΣΙΣΤΕ να κάνετε ερωτήσεις που σας ενδιαφέρουν, σίγουρα θα σας απαντήσουμε.

Εγγραφείτε σε μια ομάδα