Υπολογισμός του Nου ψηφίου του Pi χωρίς υπολογισμό των προηγούμενων. Αυτός είναι ο μαγικός αριθμός pi

Μελετώντας Αριθμοί Piξεκινά στις δημοτικές τάξεις όταν οι μαθητές μαθαίνουν για τον κύκλο, την περιφέρεια και την τιμή του Pi. Δεδομένου ότι η τιμή του Pi είναι μια σταθερή που σημαίνει την αναλογία του μήκους του ίδιου του κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου ενός δεδομένου κύκλου. Για παράδειγμα, αν πάρουμε έναν κύκλο του οποίου η διάμετρος είναι ίση με ένα, τότε το μήκος του είναι ίσο με Αριθμός Pi. Αυτή η τιμή του Pi είναι άπειρη στη μαθηματική συνέχεια, αλλά υπάρχει επίσης ένας γενικά αποδεκτός προσδιορισμός. Προέρχεται από μια απλοποιημένη ορθογραφία της τιμής του Pi, μοιάζει με 3.14.

Η ιστορική γέννηση του Πι

Ο αριθμός Πι υποτίθεται ότι πήρε τις ρίζες του στην Αρχαία Αίγυπτο. Δεδομένου ότι οι αρχαίοι Αιγύπτιοι επιστήμονες υπολόγισαν την περιοχή ενός κύκλου χρησιμοποιώντας τη διάμετρο D, η οποία πήρε την τιμή D - D/92. Το οποίο αντιστοιχούσε σε 16/92, ή 256/81, που σημαίνει ότι το Pi είναι 3.160.
Η Ινδία τον έκτο αιώνα π.Χ. άγγιξε επίσης τον αριθμό Pi, στη θρησκεία του Τζαϊνισμού, βρέθηκαν αρχεία που ανέφεραν ότι ο αριθμός Pi είναι ίσος με 10 στην τετραγωνική ρίζα, που σημαίνει 3.162.

Οι διδασκαλίες του Αρχιμήδη για τη μέτρηση του κύκλου τον τρίτο αιώνα π.Χ. τον οδήγησαν στα ακόλουθα συμπεράσματα:

Αργότερα, τεκμηρίωσε τα συμπεράσματά του με μια ακολουθία υπολογισμών χρησιμοποιώντας παραδείγματα σωστά εγγεγραμμένων ή περιγραφόμενων πολυγωνικών σχημάτων με διπλασιασμό του αριθμού των πλευρών αυτών των σχημάτων. Σε ακριβείς υπολογισμούς, ο Αρχιμήδης συμπέρανε την αναλογία διαμέτρου και περιφέρειας σε αριθμούς μεταξύ 3 * 10/71 και 3 * 1/7, επομένως η τιμή του Pi είναι 3,1419... Εφόσον έχουμε ήδη μιλήσει για την άπειρη μορφή αυτής της τιμής, μοιάζει με 3, 1415927... Και αυτό δεν είναι το όριο, γιατί ο μαθηματικός Kashi τον δέκατο πέμπτο αιώνα υπολόγισε την τιμή του Pi ως δεκαεξαψήφια τιμή.
Ο Άγγλος μαθηματικός Johnson W. το 1706, άρχισε να χρησιμοποιεί το σύμβολο pi για το σύμβολο; (από τα ελληνικά είναι το πρώτο γράμμα στη λέξη κύκλος).

Μυστηριώδες νόημα.

Η τιμή του Pi είναι παράλογη και δεν μπορεί να εκφραστεί σε μορφή κλασμάτων, επειδή τα κλάσματα χρησιμοποιούν ολόκληρες τιμές. Δεν μπορεί να είναι μια ρίζα στην εξίσωση, γι' αυτό και αποδεικνύεται υπερβατικό· εντοπίζεται εξετάζοντας οποιεσδήποτε διεργασίες, βελτιώνοντας λόγω του μεγάλου αριθμού θεωρούμενων βημάτων μιας δεδομένης διαδικασίας. Έχουν γίνει πολλές προσπάθειες να υπολογιστεί ο μεγαλύτερος αριθμός δεκαδικών ψηφίων στο Pi, οι οποίες είχαν ως αποτέλεσμα δεκάδες τρισεκατομμύρια ψηφία μιας δεδομένης δεκαδικής τιμής.

Ενδιαφέρον γεγονός: Παραδόξως, η αξία του Πι έχει τις δικές της διακοπές. Ονομάζεται Διεθνής Ημέρα Πι. Εορτάζει στις 14 Μαρτίου. Η ημερομηνία εμφανίστηκε χάρη στην ίδια την αξία του Pi 3,14 (mm.yy) και τον φυσικό Larry Shaw, ο οποίος ήταν ο πρώτος που γιόρτασε αυτή τη γιορτή το 1987.

Σημείωση: Νομική βοήθεια για την απόκτηση πιστοποιητικού απουσίας (παρουσίας) ποινικού μητρώου για όλους τους πολίτες της Ρωσικής Ομοσπονδίας. Ακολουθήστε τον σύνδεσμο προς το πιστοποιητικό μη ποινικού μητρώου της κρατικής υπηρεσίας (http://conviction certificate.rf/) νόμιμα, γρήγορα και χωρίς ουρές!

14 Μαρτίου 2012

Στις 14 Μαρτίου, οι μαθηματικοί γιορτάζουν μια από τις πιο ασυνήθιστες διακοπές - Διεθνής Ημέρα Πι.Αυτή η ημερομηνία δεν επιλέχθηκε τυχαία: η αριθμητική έκφραση π (Pi) είναι 3,14 (3ος μήνας (Μάρτιος) 14).

Για πρώτη φορά, οι μαθητές συναντούν αυτόν τον ασυνήθιστο αριθμό στις δημοτικές τάξεις όταν μελετούν κύκλους και περιφέρειες. Ο αριθμός π είναι μια μαθηματική σταθερά που εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του. Δηλαδή, αν πάρετε έναν κύκλο με διάμετρο ίση με ένα, τότε η περιφέρεια θα είναι ίση με τον αριθμό "Pi". Ο αριθμός π έχει άπειρη μαθηματική διάρκεια, αλλά στους καθημερινούς υπολογισμούς χρησιμοποιείται μια απλοποιημένη ορθογραφία του αριθμού, αφήνοντας μόνο δύο δεκαδικά ψηφία - 3,14.

Το 1987 γιορτάστηκε για πρώτη φορά αυτή η ημέρα. Ο φυσικός Larry Shaw από το Σαν Φρανσίσκο παρατήρησε ότι στο αμερικανικό σύστημα ημερομηνιών (μήνας/ημέρα), η ημερομηνία 14 Μαρτίου - 3/14 συμπίπτει με τον αριθμό π (π = 3,1415926...). Συνήθως οι εορτασμοί ξεκινούν στις 1:59:26 μ.μ. (π = 3,14 15926 …).

Ιστορία του Πι

Υποτίθεται ότι η ιστορία του αριθμού π ξεκινά στην Αρχαία Αίγυπτο. Αιγύπτιοι μαθηματικοί προσδιόρισαν το εμβαδόν ενός κύκλου με διάμετρο D ως (D-D/9) 2. Από αυτό το λήμμα είναι σαφές ότι εκείνη την εποχή ο αριθμός π ισοδυναμούσε με το κλάσμα (16/9) 2, ή 256/81, δηλ. π 3.160...

Τον VI αιώνα. ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. στην Ινδία, στο θρησκευτικό βιβλίο του Τζαϊνισμού, υπάρχουν καταχωρήσεις που υποδεικνύουν ότι ο αριθμός π εκείνη την εποχή λήφθηκε ίσος με την τετραγωνική ρίζα του 10, που δίνει το κλάσμα 3,162...
Τον 3ο αιώνα. Ο Αρχιμήδης στο σύντομο έργο του «Μέτρηση ενός κύκλου» τεκμηρίωσε τρεις προτάσεις:

Κάθε κύκλος έχει μέγεθος ίσο με ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τα σκέλη του οποίου είναι αντίστοιχα ίσα με το μήκος του κύκλου και την ακτίνα του.
Οι περιοχές ενός κύκλου σχετίζονται με ένα τετράγωνο χτισμένο σε διάμετρο από 11 έως 14.
Ο λόγος οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του είναι μικρότερος από 3 1/7 και μεγαλύτερος από 3 10/71.

Ο Αρχιμήδης δικαιολόγησε την τελευταία θέση υπολογίζοντας διαδοχικά τις περιμέτρους των κανονικών εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων πολυγώνων διπλασιάζοντας τον αριθμό των πλευρών τους. Σύμφωνα με τους ακριβείς υπολογισμούς του Αρχιμήδη, ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι μεταξύ των αριθμών 3 * 10 / 71 και 3 * 1/7, που σημαίνει ότι ο αριθμός "pi" είναι 3,1419... Η πραγματική τιμή αυτής της αναλογίας είναι 3.1415922653...
Τον 5ο αιώνα ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ. Ο Κινέζος μαθηματικός Zu Chongzhi βρήκε μια πιο ακριβή τιμή για αυτόν τον αριθμό: 3,1415927...
Στο πρώτο μισό του 15ου αι. Ο αστρονόμος και μαθηματικός Kashi υπολόγισε το π με 16 δεκαδικά ψηφία.

Ενάμιση αιώνα αργότερα στην Ευρώπη, ο F. Viet βρήκε τον αριθμό π με μόνο 9 κανονικά δεκαδικά ψηφία: έκανε 16 διπλασιασμούς του αριθμού των πλευρών των πολυγώνων. Ο F. Viet ήταν ο πρώτος που παρατήρησε ότι το π μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τα όρια ορισμένων σειρών. Αυτή η ανακάλυψη είχε μεγάλη σημασία· κατέστησε δυνατό τον υπολογισμό του π με οποιαδήποτε ακρίβεια.

Το 1706, ο Άγγλος μαθηματικός W. Johnson εισήγαγε τη σημειογραφία για την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του και τον όρισε με το σύγχρονο σύμβολο π, το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης periferia - κύκλος.

Για μεγάλο χρονικό διάστημα, επιστήμονες σε όλο τον κόσμο προσπαθούσαν να ξετυλίξουν το μυστήριο αυτού του μυστηριώδους αριθμού.

Ποια είναι η δυσκολία στον υπολογισμό της τιμής του π;

Ο αριθμός π είναι παράλογος: δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα p/q, όπου τα p και q είναι ακέραιοι· αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να είναι η ρίζα μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Είναι αδύνατο να προσδιοριστεί μια αλγεβρική ή διαφορική εξίσωση της οποίας η ρίζα θα είναι π, επομένως αυτός ο αριθμός ονομάζεται υπερβατικός και υπολογίζεται εξετάζοντας μια διαδικασία και βελτιώνεται αυξάνοντας τα βήματα της διαδικασίας που εξετάζουμε. Πολλαπλές προσπάθειες υπολογισμού του μέγιστου αριθμού ψηφίων του αριθμού π οδήγησαν στο γεγονός ότι σήμερα, χάρη στη σύγχρονη υπολογιστική τεχνολογία, είναι δυνατός ο υπολογισμός της ακολουθίας με ακρίβεια 10 τρισεκατομμυρίων ψηφίων μετά την υποδιαστολή.

Τα ψηφία της δεκαδικής αναπαράστασης του π είναι αρκετά τυχαία. Στη δεκαδική επέκταση ενός αριθμού, μπορείτε να βρείτε οποιαδήποτε ακολουθία ψηφίων. Υποτίθεται ότι αυτός ο αριθμός περιέχει όλα τα γραπτά και άγραφα βιβλία σε κρυπτογραφημένη μορφή· οποιαδήποτε πληροφορία μπορεί να φανταστεί κανείς βρίσκεται στον αριθμό π.

Μπορείτε να προσπαθήσετε να ξετυλίξετε μόνοι σας το μυστήριο αυτού του αριθμού. Φυσικά, δεν θα είναι δυνατό να σημειωθεί πλήρως ο αριθμός "Pi". Αλλά για τους πιο περίεργους, προτείνω να εξετάσουν τα πρώτα 1000 ψηφία του αριθμού π = 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Θυμηθείτε τον αριθμό "Pi"

Επί του παρόντος, με τη βοήθεια της τεχνολογίας υπολογιστών, έχουν υπολογιστεί δέκα τρισεκατομμύρια ψηφία του αριθμού «Pi». Ο μέγιστος αριθμός αριθμών που μπορεί να θυμηθεί ένα άτομο είναι εκατό χιλιάδες.

Για να θυμάστε τον μέγιστο αριθμό ψηφίων του αριθμού "Pi", χρησιμοποιούνται διάφορες ποιητικές "μνήμες", στις οποίες οι λέξεις με ορισμένο αριθμό γραμμάτων είναι διατεταγμένες με την ίδια σειρά με τους αριθμούς στον αριθμό "Pi": 3.1415926535897932384626433832795…. Για να επαναφέρετε τον αριθμό, πρέπει να μετρήσετε τον αριθμό των χαρακτήρων σε κάθε λέξη και να τον σημειώσετε με τη σειρά.

Ξέρω λοιπόν τον αριθμό που ονομάζεται «Πι». Μπράβο! (7 ψηφία)

Ο Misha και η Anyuta λοιπόν ήρθαν τρέχοντας
Ήθελαν να μάθουν τον αριθμό Pi. (11 ψηφία)

Αυτό ξέρω και θυμάμαι τέλεια:
Και πολλά σημάδια είναι περιττά για μένα, μάταια.
Ας εμπιστευτούμε τις τεράστιες γνώσεις μας
Αυτοί που μέτρησαν τα νούμερα της αρμάδας. (21 ψηφία)

Μια φορά στον Κόλια και την Αρίνα
Σκίσαμε τα πουπουλένια κρεβάτια.
Το λευκό χνούδι πετούσε και στριφογύριζε,
Ντους, παγωμένος,
Ικανοποιημένοι
Μας το έδωσε
Πονοκέφαλος των ηλικιωμένων.
Ουάου, το πνεύμα του χνουδιού είναι επικίνδυνο! (25 χαρακτήρες)

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ομοιοκαταληξίες για να θυμάστε τον σωστό αριθμό.

Για να μην κάνουμε λάθη,
Πρέπει να το διαβάσετε σωστά:
Ενενήντα δύο και έξι

Αν προσπαθήσεις πολύ σκληρά,
Μπορείτε να διαβάσετε αμέσως:
Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε,
Ενενήντα δύο και έξι.

Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε,
Εννιά, δύο, έξι, πέντε, τρία, πέντε.
Να κάνω επιστήμη,
Αυτό πρέπει να το γνωρίζουν όλοι.

Μπορείτε απλά να δοκιμάσετε
Και επαναλάβετε πιο συχνά:
«Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε,
Εννιά, είκοσι έξι και πέντε».

Έχετε ακόμα ερωτήσεις; Θέλετε να μάθετε περισσότερα για το Pi;
Για να λάβετε βοήθεια από έναν δάσκαλο, εγγραφείτε.
Το πρώτο μάθημα είναι δωρεάν!

Η ιστορία του αριθμού Πι ξεκινά από την Αρχαία Αίγυπτο και πηγαίνει παράλληλα με την ανάπτυξη όλων των μαθηματικών. Είναι η πρώτη φορά που συναντάμε αυτή την ποσότητα μέσα στους τοίχους του σχολείου.

Ο αριθμός Pi είναι ίσως ο πιο μυστηριώδης από τον άπειρο αριθμό άλλων. Ποιήματα είναι αφιερωμένα σε αυτόν, καλλιτέχνες τον απεικονίζουν, ακόμη και μια ταινία γυρίστηκε για αυτόν. Στο άρθρο μας θα δούμε το ιστορικό ανάπτυξης και υπολογισμού, καθώς και τους τομείς εφαρμογής της σταθεράς Pi στη ζωή μας.

Το Pi είναι μια μαθηματική σταθερά ίση με τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του. Αρχικά ονομαζόταν αριθμός Λούντολφ και προτάθηκε να συμβολίζεται με το γράμμα Πι από τον Βρετανό μαθηματικό Τζόουνς το 1706. Μετά το έργο του Leonhard Euler το 1737, αυτός ο χαρακτηρισμός έγινε γενικά αποδεκτός.

Το Pi είναι ένας παράλογος αριθμός, που σημαίνει ότι η τιμή του δεν μπορεί να εκφραστεί με ακρίβεια ως κλάσμα m/n, όπου τα m και n είναι ακέραιοι. Αυτό αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Johann Lambert το 1761.

Η ιστορία της ανάπτυξης του αριθμού Pi πηγαίνει πίσω περίπου 4000 χρόνια. Ακόμη και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι και Βαβυλώνιοι μαθηματικοί γνώριζαν ότι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι ο ίδιος για οποιονδήποτε κύκλο και η τιμή του είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από τρεις.

Ο Αρχιμήδης πρότεινε μια μαθηματική μέθοδο για τον υπολογισμό του Πι, στην οποία εγγράφιζε κανονικά πολύγωνα σε κύκλο και τα περιέγραψε γύρω του. Σύμφωνα με τους υπολογισμούς του, το Pi ήταν περίπου ίσο με 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Τον 2ο αιώνα, ο Zhang Heng πρότεινε δύο τιμές για το Pi: ≈ 3,1724 και ≈ 3,1622.

Οι Ινδοί μαθηματικοί Aryabhata και Bhaskara βρήκαν μια κατά προσέγγιση τιμή 3,1416.

Η πιο ακριβής προσέγγιση του Pi για 900 χρόνια ήταν ένας υπολογισμός του Κινέζου μαθηματικού Zu Chongzhi τη δεκαετία του 480. Συνήγαγε ότι Pi ≈ 355/113 και έδειξε ότι 3,1415926< Пи < 3,1415927.

Πριν από τη 2η χιλιετία, δεν υπολογίζονταν περισσότερα από 10 ψηφία του Pi. Μόνο με την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, και ειδικά με την ανακάλυψη των σειρών, έγιναν μετέπειτα σημαντικές πρόοδοι στον υπολογισμό της σταθεράς.

Το 1400, η Madhava ήταν σε θέση να υπολογίσει το Pi=3,14159265359. Το ρεκόρ του κατέρριψε ο Πέρσης μαθηματικός Al-Kashi το 1424. Στο έργο του "Treatise on the Circle", ανέφερε 17 ψηφία του Pi, 16 από τα οποία αποδείχθηκαν σωστά.

Ο Ολλανδός μαθηματικός Ludolf van Zeijlen έφτασε τους 20 αριθμούς στους υπολογισμούς του, αφιερώνοντας 10 χρόνια από τη ζωή του σε αυτό. Μετά τον θάνατό του, 15 ακόμη ψηφία του Πι ανακαλύφθηκαν στις σημειώσεις του. Κληροδότησε να σκαλιστούν αυτοί οι αριθμοί στην ταφόπλακά του.

Με την έλευση των υπολογιστών, ο αριθμός Pi σήμερα έχει πολλά τρισεκατομμύρια ψηφία και αυτό δεν είναι το όριο. Όμως, όπως επισημαίνει το Fractals for the Classroom, όσο σημαντικό είναι το Pi, «είναι δύσκολο να βρεθούν περιοχές σε επιστημονικούς υπολογισμούς που απαιτούν περισσότερα από είκοσι δεκαδικά ψηφία».

Στη ζωή μας, ο αριθμός Pi χρησιμοποιείται σε πολλά επιστημονικά πεδία. Φυσική, ηλεκτρονικά, θεωρία πιθανοτήτων, χημεία, κατασκευές, πλοήγηση, φαρμακολογία - αυτά είναι μόνο μερικά από αυτά που είναι απλά αδύνατο να φανταστεί κανείς χωρίς αυτόν τον μυστηριώδη αριθμό.

Θέλετε να μάθετε και να μπορείτε να κάνετε περισσότερα μόνοι σας;

Σας προσφέρουμε εκπαίδευση στους ακόλουθους τομείς: υπολογιστές, προγράμματα, διοίκηση, διακομιστές, δίκτυα, κατασκευή ιστοσελίδων, SEO και άλλα. Μάθετε τις λεπτομέρειες τώρα!

Με βάση υλικά από τον ιστότοπο Calculator888.ru - Αριθμός Pi - έννοια, ιστορία, ποιος τον επινόησε.

αριθμός pi pi, αριθμός pi fibonacci
(παρατίθενται με σειρά αυξανόμενης ακρίβειας)

Συνεχιζόμενο κλάσμα

(Αυτό το συνεχιζόμενο κλάσμα δεν είναι περιοδικό. Γράφεται με γραμμικό συμβολισμό)

Τριγωνομετρία ακτίνιο = 180°

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Τα πρώτα 1000 δεκαδικά ψηφία του αριθμού π Αυτός ο όρος έχει άλλες έννοιες, βλέπε Pi. Αν πάρουμε τη διάμετρο ενός κύκλου ως μία, τότε η περιφέρεια είναι ο αριθμός "pi" Pi σε προοπτική

(σαφής "πι") είναι μια μαθηματική σταθερά ίση με τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του. Συμβολίζεται με το γράμμα «πι» του ελληνικού αλφαβήτου. Παλιό όνομα - Αριθμός Λούντολφ.

1 Ιδιότητες
- 1.1 Υπερβατικότητα και παραλογισμός
- 1.2 Σχέσεις
2 Ιστορία
- 2.1 Γεωμετρική περίοδος
- 2.2 Κλασική περίοδος
- 2.3 Εποχή των υπολογιστών
3 Ορθολογικές προσεγγίσεις
4 Άλυτα προβλήματα
5 Μέθοδος βελόνας Buffon
6 Μνημονικοί κανόνες
7 Πρόσθετα στοιχεία
8 πολιτισμός
9 Βλ
10 Σημειώσεις
11 Λογοτεχνία
12 Σύνδεσμοι

Ιδιότητες

Υπερβατικότητα και παραλογισμός

- ένας παράλογος αριθμός, δηλαδή η τιμή του δεν μπορεί να εκφραστεί με ακρίβεια ως κλάσμα m/n, όπου m και n είναι ακέραιοι. Επομένως, η δεκαδική αναπαράστασή του δεν τελειώνει ποτέ και δεν είναι περιοδική. Ο παραλογισμός ενός αριθμού αποδείχθηκε για πρώτη φορά από τον Johann Lambert το 1761 με την αποσύνθεση του αριθμού σε ένα συνεχές κλάσμα. Το 1794, ο Legendre έδωσε μια πιο αυστηρή απόδειξη του παραλογισμού των αριθμών και.
- ένας υπερβατικός αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να είναι η ρίζα οποιουδήποτε πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές. Η υπέρβαση του αριθμού αποδείχθηκε το 1882 από τον Lindemann, καθηγητή στο Πανεπιστήμιο του Königsberg και αργότερα στο Πανεπιστήμιο του Μονάχου. Η απόδειξη απλοποιήθηκε από τον Felix Klein το 1894.
- Δεδομένου ότι στην Ευκλείδεια γεωμετρία το εμβαδόν ενός κύκλου και η περιφέρεια ενός κύκλου είναι συναρτήσεις αριθμού, η απόδειξη της υπέρβασης έβαλε τέλος στη διαμάχη για τον τετραγωνισμό του κύκλου, η οποία διήρκεσε περισσότερα από 2,5 χιλιάδες χρόνια.
Το 1934 ο Gelfond απέδειξε την υπέρβαση του αριθμού. Το 1996, ο Yuri Nesterenko απέδειξε ότι για οποιονδήποτε φυσικό αριθμό και είναι αλγεβρικά ανεξάρτητοι, κάτι που, ειδικότερα, συνεπάγεται την υπέρβαση των αριθμών και.
είναι ένα στοιχείο του δακτυλίου της περιόδου (και επομένως ένας υπολογίσιμος και αριθμητικός αριθμός). Άγνωστο όμως αν ανήκει στο δαχτυλίδι των περιόδων.

Αναλογίες

Υπάρχουν πολλοί τύποι αριθμών:

Φρανσουά Βιέτ:

Φόρμουλα Wallis:

Σειρά Leibniz:

Άλλες σειρές:

Πολλαπλές σειρές:

Όρια:

εδώ είναι πρώτοι αριθμοί

Ταυτότητα Euler:

Άλλες συνδέσεις μεταξύ σταθερών:

Τ.ν. "ολοκλήρωμα Poisson" ή "ολοκλήρωμα Gauss"

Ολοκληρωμένο ημίτονο:

Έκφραση μέσω διλογάριθμου:

Μέσα από ένα ακατάλληλο ολοκλήρωμα

Ιστορία

Σταθερό σύμβολο

Ο Βρετανός μαθηματικός Τζόουνς χρησιμοποίησε για πρώτη φορά τον προσδιορισμό του ελληνικού γράμματος για αυτόν τον αριθμό το 1706 και έγινε γενικά αποδεκτός μετά το έργο του Λέονχαρντ Όιλερ το 1737.

Ο προσδιορισμός αυτός προέρχεται από το αρχικό γράμμα των ελληνικών λέξεων περιφέρεια - κύκλος, περιφέρεια και περίμετρος - περίμετρος.

Η ιστορία των αριθμών κινήθηκε παράλληλα με την ανάπτυξη όλων των μαθηματικών. Ορισμένοι συγγραφείς χωρίζουν την όλη διαδικασία σε 3 περιόδους: την αρχαία περίοδο, κατά την οποία μελετήθηκε από τη σκοπιά της γεωμετρίας, την κλασική εποχή, που ακολούθησε την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης στην Ευρώπη τον 17ο αιώνα, και την εποχή των ψηφιακών υπολογιστών.

Γεωμετρική περίοδος

Το γεγονός ότι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο είναι ο ίδιος για οποιονδήποτε κύκλο και ότι αυτός ο λόγος είναι λίγο μεγαλύτερος από 3, ήταν γνωστό στους αρχαίους Αιγύπτιους, Βαβυλώνιους, αρχαίους Ινδούς και αρχαίους Έλληνες γεωμέτρους. Η παλαιότερη γνωστή προσέγγιση χρονολογείται από το 1900 π.Χ. μι.; αυτές είναι 25/8 (Βαβυλώνα) και 256/81 (Αίγυπτος), και οι δύο τιμές διαφέρουν από την πραγματική τιμή κατά όχι περισσότερο από 1%. Το βεδικό κείμενο "Shatapatha-brahmana" δίνει ως 339/108 ≈ 3.139.

Ο αλγόριθμος του Liu Hui για υπολογιστές

Ο Αρχιμήδης ίσως ήταν ο πρώτος που πρότεινε μια μαθηματική μέθοδο υπολογισμού. Για να γίνει αυτό, έγραψε κανονικά πολύγωνα σε κύκλο και τα περιέγραψε γύρω του. Λαμβάνοντας τη διάμετρο ενός κύκλου ως ένα, ο Αρχιμήδης θεώρησε την περίμετρο του εγγεγραμμένου πολυγώνου ως κατώτερο όριο για την περιφέρεια του κύκλου και την περίμετρο του περιγεγραμμένου πολυγώνου ως άνω φράγμα. Θεωρώντας ένα κανονικό 96-gon, ο Αρχιμήδης υπολόγισε και μάντευε ότι ήταν περίπου ίσο με 22/7 ≈ 3,142857142857143.

Ο Zhang Heng τον 2ο αιώνα διευκρίνισε την έννοια του αριθμού, προτείνοντας δύο ισοδύναμα: 1) 92/29 ≈ 3,1724...; 2) ≈ 3,1622.

Στην Ινδία, η Aryabhata και η Bhaskara χρησιμοποίησαν την προσέγγιση 3,1416. Η Varahamihira τον 6ο αιώνα χρησιμοποιεί την προσέγγιση στην Pancha Siddhantika.

Γύρω στο 265 μ.Χ μι. Ο μαθηματικός Liu Hui από το βασίλειο Wei παρείχε έναν απλό και ακριβή επαναληπτικό αλγόριθμο (Αγγλικά: Liu Hui's π αλγόριθμος) για υπολογισμούς με οποιοδήποτε βαθμό ακρίβειας. Πραγματοποίησε ανεξάρτητα τον υπολογισμό για το 3072-gon και έλαβε μια κατά προσέγγιση τιμή για σύμφωνα με ακόλουθη αρχή:

Ο Liu Hui αργότερα βρήκε μια γρήγορη μέθοδο υπολογισμού και έλαβε μια κατά προσέγγιση τιμή 3,1416 με μόλις 96-gon, εκμεταλλευόμενος το γεγονός ότι η διαφορά στην περιοχή των διαδοχικών πολυγώνων σχηματίζει μια γεωμετρική πρόοδο με παρονομαστή 4.

Στη δεκαετία του 480, ο Κινέζος μαθηματικός Zu Chongzhi έδειξε ότι ≈ 355/113 και έδειξε ότι 3,1415926< < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа в течение последующих 900 лет.

Κλασική περίοδος

Πριν από τη 2η χιλιετία, δεν ήταν γνωστά περισσότερα από 10 ψηφία. Περαιτέρω σημαντικά επιτεύγματα στη μελέτη σχετίζονται με την ανάπτυξη της μαθηματικής ανάλυσης, ιδιαίτερα με την ανακάλυψη σειρών που καθιστούν δυνατό τον υπολογισμό με οποιαδήποτε ακρίβεια αθροίζοντας τον κατάλληλο αριθμό όρων της σειράς. Στη δεκαετία του 1400, ο Madhava του Sangamagrama βρήκε την πρώτη από αυτές τις σειρές:

Αυτό το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως σειρά Madhava-Leibniz ή σειρά Gregory-Leibniz (αφού ανακαλύφθηκε εκ νέου από τους James Gregory και Gottfried Leibniz τον 17ο αιώνα). Ωστόσο, αυτή η σειρά συγκλίνει σε πολύ αργά, γεγονός που καθιστά δύσκολο τον υπολογισμό πολλών ψηφίων του αριθμού στην πράξη - περίπου 4000 όροι της σειράς πρέπει να προστεθούν για να βελτιωθεί η εκτίμηση του Αρχιμήδη. Ωστόσο, μετατρέποντας αυτή τη σειρά σε

Η Madhava μπόρεσε να υπολογίσει ως 3,14159265359, αναγνωρίζοντας σωστά 11 ψηφία στη σημείωση του αριθμού. Αυτό το ρεκόρ έσπασε το 1424 από τον Πέρση μαθηματικό Jamshid al-Kashi, ο οποίος στο έργο του με τίτλο «Treatise on the Circle» έδωσε 17 ψηφία του αριθμού, εκ των οποίων τα 16 ήταν σωστά.

Η πρώτη σημαντική ευρωπαϊκή συνεισφορά από τον Αρχιμήδη ήταν αυτή του Ολλανδού μαθηματικού Ludolf van Zeijlen, ο οποίος πέρασε δέκα χρόνια υπολογίζοντας έναν αριθμό με 20 δεκαδικά ψηφία (αυτό το αποτέλεσμα δημοσιεύτηκε το 1596). Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Αρχιμήδη, έφερε τον διπλασιασμό σε ένα n-gon, όπου n = 60 229. Έχοντας περιγράψει τα αποτελέσματά του στο δοκίμιο «On the Circle» («Van den Circkel»), ο Λούντολφ το τελείωσε με τις λέξεις: «Όποιος έχει την επιθυμία, ας πάει παρακάτω». Μετά το θάνατό του, 15 ακόμη ακριβή ψηφία του αριθμού ανακαλύφθηκαν στα χειρόγραφά του. Ο Λούντολφ κληροδότησε τα σημάδια που βρήκε να είναι σκαλισμένα στην ταφόπλακά του. Προς τιμήν του, ο αριθμός ονομαζόταν μερικές φορές «αριθμός Λούντολφ» ή «σταθερά του Λούντολφ».

Την ίδια περίπου εποχή, στην Ευρώπη άρχισαν να αναπτύσσονται μέθοδοι για την ανάλυση και τον προσδιορισμό των άπειρων σειρών. Η πρώτη τέτοια αναπαράσταση ήταν ο τύπος του Vieta:

που βρέθηκε από τον François Viète το 1593. Ένα άλλο διάσημο αποτέλεσμα ήταν ο τύπος Wallis:

που εκτράφηκε από τον John Wallis το 1655.

Παρόμοιες εργασίες:

Ένα προϊόν που αποδεικνύει τη σχέση του με τον αριθμό Euler:

Στη σύγχρονη εποχή, για υπολογισμούς χρησιμοποιούνται αναλυτικές μέθοδοι που βασίζονται σε ταυτότητες. Οι τύποι που αναφέρονται παραπάνω είναι ελάχιστα χρήσιμοι για υπολογιστικούς σκοπούς, καθώς είτε χρησιμοποιούν αργά συγκλίνουσες σειρές είτε απαιτούν μια πολύπλοκη λειτουργία εξαγωγής της τετραγωνικής ρίζας.

Η πρώτη αποτελεσματική φόρμουλα βρέθηκε το 1706 από τον John Machin.

Επεκτείνοντας την εφαπτομένη σε μια σειρά Taylor

μπορείτε να αποκτήσετε μια γρήγορα συγκλίνουσα σειρά κατάλληλη για τον υπολογισμό αριθμών με μεγάλη ακρίβεια.

Οι τύποι αυτού του τύπου, τώρα γνωστοί ως τύποι τύπου Machin, χρησιμοποιήθηκαν για τον καθορισμό πολλών διαδοχικών ρεκόρ και παρέμειναν οι πιο γνωστές μέθοδοι για γρήγορους υπολογισμούς στην εποχή των υπολογιστών. Ένα εξαιρετικό ρεκόρ σημειώθηκε από τον εκπληκτικό κοντέρ Johann Dase, ο οποίος το 1844, κατόπιν εντολής του Gauss, χρησιμοποίησε τον τύπο του Machin για να υπολογίσει 200 ψηφία στο κεφάλι του. Το καλύτερο αποτέλεσμα μέχρι το τέλος του 19ου αιώνα είχε ο Άγγλος William Shanks, ο οποίος χρειάστηκε 15 χρόνια για να υπολογίσει 707 ψηφία, αν και λόγω λάθους μόνο τα πρώτα 527 ήταν σωστά. Για την αποφυγή τέτοιων σφαλμάτων, σύγχρονοι υπολογισμοί αυτού του είδους πραγματοποιούνται δύο φορές. Εάν τα αποτελέσματα ταιριάζουν, τότε είναι πολύ πιθανό να είναι σωστά. Το σφάλμα του Shanks ανακαλύφθηκε από έναν από τους πρώτους υπολογιστές το 1948. μέτρησε 808 χαρακτήρες μέσα σε λίγες ώρες.

Οι θεωρητικές πρόοδοι τον 18ο αιώνα οδήγησαν σε μια κατανόηση της φύσης του αριθμού που δεν μπορούσε να επιτευχθεί μόνο μέσω αριθμητικού υπολογισμού. Ο Johann Heinrich Lambert απέδειξε τον παραλογισμό το 1761 και η Adrienne Marie Legendre απέδειξε ότι ήταν παραλογισμός το 1774. Το 1735, δημιουργήθηκε μια σύνδεση μεταξύ των πρώτων αριθμών και όταν ο Leonhard Euler έλυσε το περίφημο πρόβλημα της Βασιλείας - το πρόβλημα της εύρεσης της ακριβούς τιμής

που συνιστά. Τόσο ο Legendre όσο και ο Euler πρότειναν ότι θα μπορούσε να είναι υπερβατικό, κάτι που τελικά αποδείχθηκε το 1882 από τον Ferdinand von Lindemann.

Το A New Introduction to Mathematics του William Jones από το 1706 πιστεύεται ότι ήταν το πρώτο που εισήγαγε το ελληνικό γράμμα για να αντιπροσωπεύει αυτή τη σταθερά, αλλά αυτή η σημειογραφία έγινε ιδιαίτερα δημοφιλής μετά την υιοθέτηση του Leonhard Euler το 1737. Εγραψε:

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι εύρεσης των μηκών ή των περιοχών της αντίστοιχης καμπύλης ή επίπεδου σχήματος, οι οποίοι μπορούν να διευκολύνουν σημαντικά την εξάσκηση. για παράδειγμα, σε έναν κύκλο, η διάμετρος σχετίζεται με την περιφέρεια ως 1 προς

Δείτε επίσης: Ιστορία της μαθηματικής σημειογραφίας

Εποχή των Υπολογιστών

Η εποχή της ψηφιακής τεχνολογίας στον 20ο αιώνα οδήγησε σε αύξηση του ρυθμού εμφάνισης των υπολογιστικών εγγραφών. Ο John von Neumann και άλλοι χρησιμοποίησαν το ENIAC το 1949 για να υπολογίσουν 2037 ψηφία, που χρειάστηκαν 70 ώρες. Άλλα χίλια ψηφία ελήφθησαν τις επόμενες δεκαετίες και το σήμα εκατομμυρίου πέρασε το 1973 (δέκα ψηφία του αριθμού επαρκούν για όλους τους πρακτικούς σκοπούς). Αυτή η πρόοδος έχει σημειωθεί όχι μόνο λόγω του ταχύτερου υλικού, αλλά και χάρη στους αλγόριθμους. Ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα ήταν η ανακάλυψη το 1960 του γρήγορου μετασχηματισμού Fourier, ο οποίος κατέστησε δυνατή τη γρήγορη εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε πολύ μεγάλους αριθμούς.

Στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Ινδός μαθηματικός Srinivasa Ramanujan ανακάλυψε πολλούς νέους τύπους, μερικοί από τους οποίους έγιναν διάσημοι λόγω της κομψότητας και του μαθηματικού τους βάθους. Ένας από αυτούς τους τύπους είναι η σειρά:

Οι αδελφοί Chudnovsky βρήκαν ένα παρόμοιο με αυτό το 1987:

που δίνει περίπου 14 ψηφία για κάθε μέλος της σειράς. Οι Τσουντόφσκι χρησιμοποίησαν αυτόν τον τύπο για να ορίσουν αρκετά αρχεία υπολογισμού στα τέλη της δεκαετίας του 1980, συμπεριλαμβανομένου ενός που παρήγαγε 1.011.196.691 δεκαδικά ψηφία επέκτασης το 1989. Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται σε προγράμματα που υπολογίζουν σε προσωπικούς υπολογιστές, σε αντίθεση με τους υπερυπολογιστές που θέτουν σύγχρονα ρεκόρ.

Ενώ μια ακολουθία συνήθως βελτιώνει την ακρίβεια κατά ένα σταθερό ποσό με κάθε διαδοχικό όρο, υπάρχουν επαναληπτικοί αλγόριθμοι που πολλαπλασιάζουν τον αριθμό των σωστών ψηφίων σε κάθε βήμα, αν και με υψηλό υπολογιστικό κόστος σε κάθε βήμα. Μια σημαντική ανακάλυψη έγινε το 1975, όταν ο Richard Brent και ο Eugene Salamin (μαθηματικός) ανακάλυψαν ανεξάρτητα τον αλγόριθμο Gauss–Legendre, ο οποίος, χρησιμοποιώντας μόνο αριθμητική, κάθε βήμα διπλασιάζει τον αριθμό των γνωστών σημείων. Ο αλγόριθμος αποτελείται από τον καθορισμό αρχικών τιμών

και επαναλήψεις:

έως ότου τα an και bn είναι αρκετά κοντά. Στη συνέχεια η εκτίμηση δίνεται από τον τύπο

Χρησιμοποιώντας αυτό το σχήμα, αρκούν 25 επαναλήψεις για την παραγωγή 45 εκατομμυρίων δεκαδικών ψηφίων. Ένας παρόμοιος αλγόριθμος που τετραπλασιάζει την ακρίβεια σε κάθε βήμα βρέθηκε από τους Jonathan Borwein και Peter Borwein. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους, ο Γιασουμάσα Καναδά και η ομάδα του, ξεκινώντας το 1980, έθεσαν τα περισσότερα από τα υπολογιστικά ρεκόρ, έως και 206.158.430.000 χαρακτήρες το 1999. Το 2002, ο Καναδάς και η ομάδα του σημείωσαν νέο ρεκόρ 1.241.100.000.000 δεκαδικών ψηφίων. Αν και τα περισσότερα προηγούμενα καναδικά ρεκόρ σημειώθηκαν χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Brent-Salamin, ο υπολογισμός του 2002 χρησιμοποίησε δύο τύπους τύπου Machin που ήταν πιο αργοί αλλά μείωσαν ριζικά τη χρήση μνήμης. Ο υπολογισμός έγινε σε έναν υπερυπολογιστή Hitachi 64 κόμβων με 1 terabyte RAM, ικανό για 2 τρισεκατομμύρια λειτουργίες ανά δευτερόλεπτο.

Μια σημαντική πρόσφατη εξέλιξη είναι η φόρμουλα Bailey-Borwain-Plouffe, που ανακαλύφθηκε το 1997 από τον Simon Plouffe και πήρε το όνομά του από τους συγγραφείς της εργασίας στην οποία δημοσιεύτηκε για πρώτη φορά. Αυτή η φόρμουλα

είναι αξιοσημείωτο στο ότι σας επιτρέπει να εξαγάγετε οποιοδήποτε συγκεκριμένο δεκαεξαδικό ή δυαδικό ψηφίο ενός αριθμού χωρίς να υπολογίζετε τα προηγούμενα. Από το 1998 έως το 2000, το διανεμημένο έργο PiHex χρησιμοποίησε μια τροποποιημένη εκδοχή του τύπου BBP του Fabrice Bellard για να υπολογίσει το τετράδιλιοστο bit ενός αριθμού που αποδείχθηκε μηδέν.

Το 2006, ο Simon Plouffe βρήκε μια σειρά από όμορφες φόρμουλες χρησιμοποιώντας το PSLQ. Έστω q = eπ, τότε

και άλλα είδη

όπου q = eπ, k είναι περιττός αριθμός και a, b, c είναι ρητικοί αριθμοί. Εάν το k είναι της μορφής 4m + 3, τότε αυτός ο τύπος έχει μια ιδιαίτερα απλή μορφή:

για το ορθολογικό p, του οποίου ο παρονομαστής είναι ένας αριθμός που μπορεί να παραγοντοποιηθεί καλά, αν και δεν έχει ακόμη παρασχεθεί αυστηρή απόδειξη.

Τον Αύγουστο του 2009, επιστήμονες από το Ιαπωνικό Πανεπιστήμιο της Τσουκούμπα υπολόγισαν μια ακολουθία 2.576.980.377.524 δεκαδικών ψηφίων.

Στις 31 Δεκεμβρίου 2009, ο Γάλλος προγραμματιστής Fabrice Bellard υπολόγισε μια ακολουθία 2.699.999.990.000 δεκαδικών ψηφίων σε έναν προσωπικό υπολογιστή.

Στις 2 Αυγούστου 2010, ο Αμερικανός φοιτητής Alexander Yee και ο Ιάπωνας ερευνητής Shigeru Kondo (Ιάπωνας) Ρώσος. υπολόγισε την ακολουθία με ακρίβεια 5 τρισεκατομμυρίων δεκαδικών ψηφίων.

Στις 19 Οκτωβρίου 2011, οι Alexander Yee και Shigeru Kondo υπολόγισαν την ακολουθία με ακρίβεια 10 τρισεκατομμυρίων δεκαδικών ψηφίων.

Ορθολογικές προσεγγίσεις

- Αρχιμήδης (III αιώνας π.Χ.) - αρχαίος Έλληνας μαθηματικός, φυσικός και μηχανικός.

- Aryabhata (5ος αιώνας μ.Χ.) - Ινδός αστρονόμος και μαθηματικός.

- Zu Chongzhi (5ος αιώνας μ.Χ.) - Κινέζος αστρονόμος και μαθηματικός.

Σύγκριση ακρίβειας προσέγγισης:

Άλυτα προβλήματα

Δεν είναι γνωστό αν οι αριθμοί είναι αλγεβρικά ανεξάρτητοι.
Το ακριβές μέτρο του παραλογισμού για τους αριθμούς και είναι άγνωστο (αλλά είναι γνωστό ότι για αυτό δεν ξεπερνά το 7,6063).
Το μέτρο του παραλογισμού είναι άγνωστο για κανέναν από τους παρακάτω αριθμούς: Για κανέναν από αυτούς δεν είναι καν γνωστό αν είναι ρητός αριθμός, αλγεβρικός άρρητος αριθμός ή υπερβατικός αριθμός.
Δεν είναι γνωστό εάν ένας ακέραιος αριθμός είναι ακέραιος για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο (βλ. τετραλογία).
Άγνωστο αν ανήκει στο δαχτυλίδι της περιόδου.
Μέχρι στιγμής, τίποτα δεν είναι γνωστό για την κανονικότητα του αριθμού. δεν είναι καν γνωστό ποια από τα ψηφία 0-9 εμφανίζονται στη δεκαδική παράσταση ενός αριθμού άπειρες φορές.

Η μέθοδος της βελόνας του Μπουφόν

Μια βελόνα ρίχνεται τυχαία σε ένα επίπεδο που είναι επενδεδυμένο με ίσες ευθείες γραμμές, το μήκος της οποίας είναι ίσο με την απόσταση μεταξύ γειτονικών ευθειών, έτσι ώστε με κάθε ρίψη η βελόνα είτε να μην τέμνει τις ευθείες είτε να τέμνει ακριβώς μία. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η αναλογία του αριθμού των τομών της βελόνας με οποιαδήποτε γραμμή προς τον συνολικό αριθμό των ρίψεων τείνει να καθώς ο αριθμός των ρίψεων αυξάνεται στο άπειρο. Αυτή η μέθοδος βελόνας βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων και είναι η βάση της μεθόδου Monte Carlo.

Μνημονικοί κανόνες

Ποιήματα για την απομνημόνευση 8-11 σημείων του αριθμού π:

Η απομνημόνευση μπορεί να βοηθηθεί με την παρατήρηση του ποιητικού μέτρου:

Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε, εννιά δύο, έξι πέντε, τρία πέντε
Οκτώ εννιά, επτά και εννιά, τρία δύο, τρία οκτώ, σαράντα έξι
Δύο έξι τέσσερα, τρία τρία οκτώ, τρία δύο επτά εννιά, πέντε μηδέν δύο
Οκτώ οκτώ και τέσσερα, δεκαεννιά, επτά, ένα

Υπάρχουν ποιήματα στα οποία τα πρώτα ψηφία του αριθμού π κρυπτογραφούνται ως ο αριθμός των γραμμάτων στις λέξεις:

Παρόμοια ποιήματα υπήρχαν και στην προμεταρρυθμιστική ορθογραφία. στο παρακάτω ποίημα, για να βρείτε το αντίστοιχο ψηφίο του αριθμού π, πρέπει να μετρήσετε και το γράμμα «er»:

Που θα ευχηθεί χαριτολογώντας και σύντομα
Μάθετε, ξέρει ήδη τον αριθμό.

Υπάρχουν στίχοι που διευκολύνουν τη μνήμη του αριθμού π σε άλλες γλώσσες. Για παράδειγμα, αυτό το ποίημα στα γαλλικά σας επιτρέπει να θυμάστε τα πρώτα 126 ψηφία του αριθμού π.

Πρόσθετα στοιχεία

Μνημείο Pi στα σκαλιά του Μουσείου Τέχνης του Σιάτλ

Οι αρχαίοι Αιγύπτιοι και ο Αρχιμήδης αποδέχονταν τιμές από 3 έως 3.160 και οι Άραβες μαθηματικοί υπολόγισαν τον αριθμό.
Το παγκόσμιο ρεκόρ απομνημόνευσης δεκαδικών ψηφίων ανήκει στον Κινέζο Liu Chao, ο οποίος το 2006 αναπαρήγαγε 67.890 δεκαδικά ψηφία χωρίς σφάλμα μέσα σε 24 ώρες και 4 λεπτά. Το ίδιο 2006, ο Ιάπωνας Akira Haraguchi είπε ότι θυμόταν τον αριθμό μέχρι το 100-χιλιό δεκαδικό ψηφίο, αλλά αυτό δεν μπορούσε να επαληθευτεί επίσημα.
Στην πολιτεία της Ιντιάνα (ΗΠΑ), εκδόθηκε ένα νομοσχέδιο το 1897 (βλ.: en:Indiana Pi Bill), το οποίο καθόριζε νομικά την αξία του Pi ίση με 3,2. Αυτό το νομοσχέδιο εμποδίστηκε να γίνει νόμος λόγω της έγκαιρης παρέμβασης ενός καθηγητή του Πανεπιστημίου Purdue που ήταν παρών στο νομοθετικό σώμα της πολιτείας κατά την εξέταση αυτού του νόμου.
«Ο αριθμός Pi για τις φάλαινες με τόξο είναι τρεις» είναι γραμμένο στο Εγχειρίδιο Whaler της δεκαετίας του 1960.
Μέχρι το 2010, έχουν υπολογιστεί 5 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία.
Μέχρι το 2011, έχουν υπολογιστεί 10 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία.
Μέχρι το 2014, έχουν υπολογιστεί 13,3 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία.

Στον πολιτισμό

Υπάρχει μια ταινία μεγάλου μήκους που ονομάζεται από τον αριθμό Pi.
Η ανεπίσημη αργία «Ημέρα Πι» γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, η οποία σε αμερικανική μορφή ημερομηνίας (μήνας/ημέρα) γράφεται ως 3,14, που αντιστοιχεί στην κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού. Πιστεύεται ότι οι διακοπές επινοήθηκε το 1987 από τον φυσικό του Σαν Φρανσίσκο Larry Shaw, ο οποίος παρατήρησε ότι στις 14 Μαρτίου ακριβώς στη 01:59 η ημερομηνία και η ώρα συνέπιπταν με τα πρώτα ψηφία του αριθμού Pi = 3,14159.
Μια άλλη ημερομηνία που σχετίζεται με τον αριθμό είναι η 22η Ιουλίου, η οποία ονομάζεται "Ημέρα προσέγγισης Pi", καθώς στην ευρωπαϊκή μορφή ημερομηνίας αυτή η ημέρα γράφεται ως 22/7 και η τιμή αυτού του κλάσματος είναι μια προσέγγιση του αριθμού .

δείτε επίσης

Τετράγωνο κύκλου
Ορθολογική τριγωνομετρία
Σημείο Feynman

Σημειώσεις

Αυτός ο ορισμός είναι κατάλληλος μόνο για την Ευκλείδεια γεωμετρία. Σε άλλες γεωμετρίες, ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του μπορεί να είναι αυθαίρετος. Για παράδειγμα, στη γεωμετρία Lobachevsky αυτή η αναλογία είναι μικρότερη από
Lambert, Johann Heinrich. Mémoire sur quelques proprietés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, σελ. 265–322.
Η απόδειξη του Klein επισυνάπτεται στο έργο «Questions of Elementary and Higher Mathematics», Μέρος 1, που δημοσιεύτηκε στο Göttingen το 1908.
Weisstein, Eric W. The Gelfond Constant (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
1 2 Weisstein, Eric W. Irrational number (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
Αρθρωτές συναρτήσεις και ζητήματα υπέρβασης
Weisstein, Eric W. Pi Squared (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
Στις μέρες μας, με τη βοήθεια υπολογιστή, ο αριθμός υπολογίζεται με ακρίβεια έως και ενός εκατομμυρίου ψηφίων, κάτι που έχει περισσότερο τεχνικό παρά επιστημονικό ενδιαφέρον, γιατί γενικά κανείς δεν χρειάζεται τέτοια ακρίβεια.
Η ακρίβεια του υπολογισμού συνήθως περιορίζεται από τους διαθέσιμους πόρους του υπολογιστή - πιο συχνά χρόνο, κάπως λιγότερο συχνά - την ποσότητα της μνήμης.
Brent, Richard (1975), Traub, J F, ed., "Multiple-precision zero-finding method and the complexity of elementary function rating", Analytic Computational Complexity (New York: Academic Press): 151–176, (Αγγλικά)
Τζόναθαν Μ Μπορβάιν. Pi: A Source Book. - Springer, 2004. - ISBN 0387205713. (Αγγλικά)
1 2 David H. Bailey, Peter B. Borwein, Simon Plouffe. Σχετικά με τον Ταχύ Υπολογισμό Διάφορων Πολυλογαριθμικών Σταθερών // Μαθηματικά Υπολογισμού. - 1997. - Τ. 66, τεύχος. 218. - σσ. 903-913. (Αγγλικά)
Φαμπρίς Μπελάρ. Ένας νέος τύπος για τον υπολογισμό του nου δυαδικού ψηφίου του pi (Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Ιανουαρίου 2010. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Αυγούστου 2011.
Simon Plouffe. Indentities εμπνευσμένα από Ramanujan’s Notebooks (μέρος 2) (Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Ιανουαρίου 2010. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Αυγούστου 2011.
Σημειώθηκε νέο ρεκόρ για την ακρίβεια υπολογισμού του αριθμού π
Εγγραφή Υπολογισμού Pi
Ο αριθμός "Pi" υπολογίζεται με ακρίβεια ρεκόρ
1 2 5 τρισεκατομμύρια ψηφία του Pi - Νέο παγκόσμιο ρεκόρ
Ορίζονται 10 τρισεκατομμύρια ψηφία δεκαδικής επέκτασης για π
1 2 Γύρος 2…10 τρισεκατομμύρια ψηφία του Pi
Weisstein, Eric W. The Measure of Irrationality (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Pi (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
el:Irrational number#Ανοιχτές ερωτήσεις
Μερικά άλυτα προβλήματα στη θεωρία αριθμών
Weisstein, Eric W. Transcendental number (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
Εισαγωγή στις μεθόδους του παραλογισμού και της υπέρβασης
Απάτη ή αυταπάτη; Quantum Νο. 5 1983
G. A. Galperin. Δυναμικό σύστημα μπιλιάρδου για pi.
Ο αριθμός του Λούντολφ. Πι. Πι.
Κινέζος μαθητής σπάει το ρεκόρ Γκίνες απαγγέλλοντας 67.890 ψηφία του pi
Συνέντευξη με τον κ. Τσάο Λου
Πώς μπορεί κανείς να θυμηθεί 100.000 αριθμούς; - The Japan Times, 17/12/2006.
Παγκόσμια λίστα κατάταξης Pi
The Indiana Pi Bill, 1897
Ο V.I. Arnold θέλει να αναφέρει αυτό το γεγονός, βλέπε για παράδειγμα το βιβλίο What is Mathematics (ps), σελίδα 9.
Alexander J. Yee. y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program. y-cruncher.
Άρθρο των Los Angeles Times «Woud You Like a Piece»; (το όνομα παίζει με την ομοιότητα στην ορθογραφία του αριθμού και της λέξης pie (αγγλική πίτα)) (απρόσιτος σύνδεσμος από 22/05/2013 (859 ημέρες) - ιστορικό, αντίγραφο) (Αγγλικά).

Βιβλιογραφία

Zhukov A.V. Σχετικά με τον αριθμό π. - Μ.: MCMNO, 2002. - 32 σελ. - ISBN 5-94057-030-5.
Zhukov A.V. Ο πανταχού παρών αριθμός "pi". - 2η έκδ. - Μ.: Εκδοτικός Οίκος ΛΚΙ, 2007. - 216 σελ. - ISBN 978-5-382-00174-6.
Perelman Ya. I. Τετραγωνικό του κύκλου. - L.: House of Entertaining Science, 1941.

Συνδέσεις

Weisstein, Eric W. Pi Formulas (Αγγλικά) στον ιστότοπο Wolfram MathWorld.
Διαφορετικές αναπαραστάσεις του Pi στο Wolfram Alpha
ακολουθία A000796 στο OEIS

Αριθμοί με σωστά ονόματα
Δυνάμεις χιλίων	Χίλια εκατομμύρια δισεκατομμύρια τρισεκατομμύρια τετρασεκατομμύρια… Centillion
Παλιοί ρωσικοί αριθμοί	Darkness Legion (αδαής) Leodr Vran (κοράκι) Deck
Άλλες δυνάμεις του δέκα	Myriad Googol Asankheya Googolplex
Δυνάμεις δώδεκα	Μια ντουζίνα ακαθάριστη μάζα
Άλλα φυσικά	Devil's Dozen Number of the Beast Ramanujan-Hardy Number Graham Number Skewes Number Αριθμός Moser
Άλλοι αριθμοί	ΠιΧρυσή αναλογία Ασημένιος λόγος e (αριθμός Euler) Σταθερά του Euler - Σταθερές Mascheroni Feigenbaum Σταθερά Gelfond Σταθερά Brun Σταθερά Καταλανού Σταθερά Apéry Φανταστική μονάδα

Το pi είναι ο αριθμός του θηρίου, το pi είναι ο αριθμός των mach, το pi είναι ο αριθμός του pi, ο pi είναι ο αριθμός Fibonacci

Pi (αριθμός) Πληροφορίες Σχετικά με

Με τι ισούται το Pi;ξέρουμε και θυμόμαστε από το σχολείο. Είναι ίσο με 3,1415926 και ούτω καθεξής... Αρκεί ένας απλός άνθρωπος να γνωρίζει ότι αυτός ο αριθμός προκύπτει διαιρώντας την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του. Αλλά πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν ότι ο αριθμός Pi εμφανίζεται σε απροσδόκητους τομείς όχι μόνο των μαθηματικών και της γεωμετρίας, αλλά και στη φυσική. Λοιπόν, αν εμβαθύνετε στις λεπτομέρειες της φύσης αυτού του αριθμού, θα παρατηρήσετε πολλά εκπληκτικά πράγματα ανάμεσα στις ατελείωτες σειρές αριθμών. Είναι πιθανό ο Πι να κρύβει τα πιο βαθιά μυστικά του σύμπαντος;

Άπειρος αριθμός

Ο ίδιος ο αριθμός Pi εμφανίζεται στον κόσμο μας ως το μήκος ενός κύκλου του οποίου η διάμετρος είναι ίση με ένα. Όμως, παρά το γεγονός ότι το τμήμα ίσο με το Pi είναι αρκετά πεπερασμένο, ο αριθμός Pi αρχίζει ως 3,1415926 και πηγαίνει στο άπειρο σε σειρές αριθμών που δεν επαναλαμβάνονται ποτέ. Το πρώτο εκπληκτικό γεγονός είναι ότι αυτός ο αριθμός, που χρησιμοποιείται στη γεωμετρία, δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα ακέραιων αριθμών. Με άλλα λόγια, δεν μπορείτε να το γράψετε ως λόγο δύο αριθμών a/b. Επιπλέον, ο αριθμός Pi είναι υπερβατικός. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει εξίσωση (πολυώνυμο) με ακέραιους συντελεστές των οποίων η λύση θα ήταν ο αριθμός Pi.

Το γεγονός ότι ο αριθμός Πι είναι υπερβατικός αποδείχθηκε το 1882 από τον Γερμανό μαθηματικό von Lindemann. Ήταν αυτή η απόδειξη που έγινε η απάντηση στο ερώτημα εάν είναι δυνατόν, χρησιμοποιώντας μια πυξίδα και έναν χάρακα, να σχεδιάσουμε ένα τετράγωνο του οποίου η περιοχή είναι ίση με την περιοχή ενός δεδομένου κύκλου. Αυτό το πρόβλημα είναι γνωστό ως αναζήτηση τετραγωνισμού ενός κύκλου, που ανησυχούσε την ανθρωπότητα από την αρχαιότητα. Φαινόταν ότι αυτό το πρόβλημα είχε μια απλή λύση και επρόκειτο να λυθεί. Αλλά ήταν ακριβώς η ακατανόητη ιδιότητα του αριθμού Πι που έδειξε ότι δεν υπήρχε λύση στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Για τουλάχιστον τεσσερισήμισι χιλιετίες, η ανθρωπότητα προσπαθεί να αποκτήσει μια ολοένα και πιο ακριβή τιμή για τον Πι. Για παράδειγμα, στη Βίβλο στο Τρίτο Βιβλίο των Βασιλέων (7:23), ο αριθμός Pi θεωρείται 3.

Η τιμή Pi της αξιοσημείωτης ακρίβειας μπορεί να βρεθεί στις πυραμίδες της Γκίζας: ο λόγος της περιμέτρου και του ύψους των πυραμίδων είναι 22/7. Αυτό το κλάσμα δίνει μια κατά προσέγγιση τιμή του Pi ίση με 3,142... Εκτός, φυσικά, αν οι Αιγύπτιοι ορίσουν αυτή την αναλογία τυχαία. Η ίδια τιμή είχε ήδη ληφθεί σε σχέση με τον υπολογισμό του αριθμού Πι τον 3ο αιώνα π.Χ. από τον μεγάλο Αρχιμήδη.

Στον Πάπυρο του Ahmes, ένα αρχαίο αιγυπτιακό εγχειρίδιο μαθηματικών που χρονολογείται από το 1650 π.Χ., το Pi υπολογίζεται ως 3,160493827.

Στα αρχαία ινδικά κείμενα γύρω στον 9ο αιώνα π.Χ., η πιο ακριβής τιμή εκφράστηκε με τον αριθμό 339/108, που ήταν ίσος με 3,1388...

Για σχεδόν δύο χιλιάδες χρόνια μετά τον Αρχιμήδη, οι άνθρωποι προσπαθούσαν να βρουν τρόπους να υπολογίσουν το Pi. Ανάμεσά τους ήταν και διάσημοι και άγνωστοι μαθηματικοί. Για παράδειγμα, ο Ρωμαίος αρχιτέκτονας Marcus Vitruvius Pollio, ο Αιγύπτιος αστρονόμος Claudius Ptolemy, ο Κινέζος μαθηματικός Liu Hui, ο Ινδός σοφός Aryabhata, ο μεσαιωνικός μαθηματικός Leonardo της Πίζας, γνωστός ως Fibonacci, ο Άραβας επιστήμονας Al-Khwarizmi, από το όνομα του οποίου η λέξη Εμφανίστηκε ο "αλγόριθμος". Όλοι αυτοί και πολλοί άλλοι άνθρωποι αναζητούσαν τις πιο ακριβείς μεθόδους για τον υπολογισμό του Pi, αλλά μέχρι τον 15ο αιώνα δεν είχαν ποτέ περισσότερα από 10 δεκαδικά ψηφία λόγω της πολυπλοκότητας των υπολογισμών.

Τελικά, το 1400, ο Ινδός μαθηματικός Madhava από το Sangamagram υπολόγισε το Pi με ακρίβεια 13 ψηφίων (αν και ακόμα έκανε λάθος στα δύο τελευταία).

Αριθμός πινακίδων

Τον 17ο αιώνα, ο Leibniz και ο Newton ανακάλυψαν την ανάλυση των απειροελάχιστων μεγεθών, η οποία κατέστησε δυνατό τον υπολογισμό του Pi πιο προοδευτικά - μέσω σειρών ισχύος και ολοκληρωμάτων. Ο ίδιος ο Νεύτωνας υπολόγισε 16 δεκαδικά ψηφία, αλλά δεν το ανέφερε στα βιβλία του - αυτό έγινε γνωστό μετά τον θάνατό του. Ο Newton ισχυρίστηκε ότι υπολόγισε το Pi καθαρά από πλήξη.

Περίπου την ίδια εποχή, άλλοι λιγότερο γνωστοί μαθηματικοί εμφανίστηκαν επίσης και πρότειναν νέους τύπους για τον υπολογισμό του αριθμού Pi μέσω τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Για παράδειγμα, αυτός είναι ο τύπος που χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό του Pi από τον δάσκαλο αστρονομίας John Machin το 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Χρησιμοποιώντας αναλυτικές μεθόδους, ο Machin εξήγαγε τον αριθμό Pi σε εκατό δεκαδικά ψηφία από αυτόν τον τύπο.

Παρεμπιπτόντως, το ίδιο 1706, ο αριθμός Pi έλαβε επίσημη ονομασία με τη μορφή ελληνικού γράμματος: ο William Jones τον χρησιμοποίησε στην εργασία του στα μαθηματικά, παίρνοντας το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης "περιφέρεια", που σημαίνει "κύκλος". .» Ο μεγάλος Leonhard Euler, γεννημένος το 1707, έκανε δημοφιλή αυτή την ονομασία, γνωστή πλέον σε κάθε μαθητή.

Πριν από την εποχή των υπολογιστών, οι μαθηματικοί επικεντρώνονταν στον υπολογισμό όσο το δυνατόν περισσότερων σημείων. Από αυτή την άποψη, μερικές φορές προέκυψαν αστεία πράγματα. Ο ερασιτέχνης μαθηματικός W. Shanks υπολόγισε 707 ψηφία του Pi το 1875. Αυτά τα επτακόσια σημάδια απαθανατίστηκαν στον τοίχο του Palais des Discoverys στο Παρίσι το 1937. Ωστόσο, εννέα χρόνια αργότερα, παρατηρητικοί μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι μόνο οι πρώτοι 527 χαρακτήρες είχαν υπολογιστεί σωστά. Το μουσείο χρειάστηκε να κάνει σημαντικά έξοδα για να διορθώσει το λάθος - τώρα όλα τα στοιχεία είναι σωστά.

Όταν εμφανίστηκαν οι υπολογιστές, ο αριθμός των ψηφίων του Πι άρχισε να υπολογίζεται με εντελώς ασύλληπτες παραγγελίες.

Ένας από τους πρώτους ηλεκτρονικούς υπολογιστές, ο ENIAC, που δημιουργήθηκε το 1946, ήταν τεράστιος σε μέγεθος και παρήγαγε τόση θερμότητα που το δωμάτιο θερμάνθηκε έως και 50 βαθμούς Κελσίου, υπολόγισε τα πρώτα 2037 ψηφία του Pi. Αυτός ο υπολογισμός πήρε το μηχάνημα 70 ώρες.

Καθώς οι υπολογιστές βελτιώνονταν, οι γνώσεις μας για το Pi προχωρούσαν όλο και περισσότερο στο άπειρο. Το 1958 υπολογίστηκαν 10 χιλιάδες ψηφία του αριθμού. Το 1987, οι Ιάπωνες υπολόγισαν 10.013.395 χαρακτήρες. Το 2011, ο Ιάπωνας ερευνητής Shigeru Hondo ξεπέρασε το όριο των 10 τρισεκατομμυρίων χαρακτήρων.

Πού αλλού μπορείτε να συναντήσετε τον Pi;

Έτσι, συχνά οι γνώσεις μας για τον αριθμό Pi παραμένουν σε σχολικό επίπεδο και γνωρίζουμε με βεβαιότητα ότι αυτός ο αριθμός είναι αναντικατάστατος κυρίως στη γεωμετρία.

Εκτός από τους τύπους για το μήκος και το εμβαδόν ενός κύκλου, ο αριθμός Pi χρησιμοποιείται σε τύπους για ελλείψεις, σφαίρες, κώνους, κυλίνδρους, ελλειψοειδή κ.λπ.: σε ορισμένα σημεία οι τύποι είναι απλοί και εύκολο να θυμούνται, αλλά σε άλλα περιέχουν πολύ σύνθετα ολοκληρώματα.

Τότε μπορούμε να συναντήσουμε τον αριθμό Pi σε μαθηματικούς τύπους, όπου, με την πρώτη ματιά, η γεωμετρία δεν είναι ορατή. Για παράδειγμα, το αόριστο ολοκλήρωμα του 1/(1-x^2) είναι ίσο με το Pi.

Το Pi χρησιμοποιείται συχνά στην ανάλυση σειρών. Για παράδειγμα, εδώ είναι μια απλή σειρά που συγκλίνει στο Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Μεταξύ της σειράς, ο Pi εμφανίζεται πιο απροσδόκητα στη διάσημη συνάρτηση ζήτα Riemann. Είναι αδύνατο να μιλήσουμε για αυτό με λίγα λόγια, ας πούμε απλώς ότι κάποια μέρα ο αριθμός Pi θα βοηθήσει να βρεθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό των πρώτων αριθμών.

Και εντελώς εκπληκτικά: το Pi εμφανίζεται σε δύο από τους πιο όμορφους «βασιλικούς» τύπους των μαθηματικών - τον τύπο του Stirling (που βοηθά να βρεθεί η κατά προσέγγιση τιμή της συνάρτησης παραγοντικής και γάμμα) και ο τύπος του Euler (που συνδέει έως και πέντε μαθηματικές σταθερές).

Ωστόσο, η πιο απροσδόκητη ανακάλυψη περίμενε τους μαθηματικούς στη θεωρία πιθανοτήτων. Ο αριθμός Pi είναι επίσης εκεί.

Για παράδειγμα, η πιθανότητα δύο αριθμοί να είναι σχετικά πρώτοι είναι 6/PI^2.

Ο Πι εμφανίζεται στο πρόβλημα της ρίψης βελόνας του Μπουφόν, που διατυπώθηκε τον 18ο αιώνα: ποια είναι η πιθανότητα μια βελόνα που πετιέται σε ένα γραμμωμένο κομμάτι χαρτί να διασχίσει μια από τις γραμμές. Εάν το μήκος της βελόνας είναι L και η απόσταση μεταξύ των γραμμών είναι L και r > L, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση την τιμή του Pi χρησιμοποιώντας τον τύπο πιθανότητας 2L/rPI. Απλά φανταστείτε - μπορούμε να πάρουμε το Pi από τυχαία συμβάντα. Και παρεμπιπτόντως, το Pi είναι παρόν στην κανονική κατανομή πιθανοτήτων, εμφανίζεται στην εξίσωση της διάσημης καμπύλης Gauss. Σημαίνει αυτό ότι το Pi είναι ακόμα πιο θεμελιώδες από απλώς τον λόγο της περιφέρειας προς τη διάμετρο;

Μπορούμε να συναντήσουμε τον Pi στη φυσική. Ο Πι εμφανίζεται στο νόμο του Κουλόμπ, ο οποίος περιγράφει τη δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο φορτίων, στον τρίτο νόμο του Κέπλερ, που δείχνει την περίοδο περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον Ήλιο και εμφανίζεται ακόμη και στη διάταξη των τροχιακών ηλεκτρονίων του ατόμου του υδρογόνου. Και αυτό που είναι και πάλι το πιο απίστευτο είναι ότι ο αριθμός Pi κρύβεται στον τύπο της αρχής της αβεβαιότητας του Heisenberg - τον θεμελιώδη νόμο της κβαντικής φυσικής.

Τα μυστικά του Πι

Στο μυθιστόρημα Contact του Carl Sagan, στο οποίο βασίζεται η ομώνυμη ταινία, οι εξωγήινοι λένε στην ηρωίδα ότι ανάμεσα στα ζώδια του Πι υπάρχει ένα μυστικό μήνυμα από τον Θεό. Από μια συγκεκριμένη θέση, οι αριθμοί στον αριθμό παύουν να είναι τυχαίοι και αντιπροσωπεύουν έναν κωδικό στον οποίο είναι γραμμένα όλα τα μυστικά του Σύμπαντος.

Αυτό το μυθιστόρημα αντανακλούσε στην πραγματικότητα ένα μυστήριο που έχει απασχολήσει το μυαλό των μαθηματικών σε όλο τον κόσμο: είναι το Pi ένας κανονικός αριθμός στον οποίο τα ψηφία είναι διάσπαρτα με ίση συχνότητα ή υπάρχει κάτι λάθος με αυτόν τον αριθμό; Και παρόλο που οι επιστήμονες τείνουν στην πρώτη επιλογή (αλλά δεν μπορούν να το αποδείξουν), ο αριθμός Pi φαίνεται πολύ μυστηριώδης. Κάποτε ένας Ιάπωνας υπολόγισε πόσες φορές εμφανίζονται οι αριθμοί από το 0 έως το 9 στα πρώτα τρισεκατομμύρια ψηφία του Pi. Και είδα ότι οι αριθμοί 2, 4 και 8 ήταν πιο συνηθισμένοι από τους άλλους. Αυτό μπορεί να είναι ένας από τους υπαινιγμούς ότι το Pi δεν είναι απολύτως φυσιολογικό και ότι οι αριθμοί σε αυτό δεν είναι πράγματι τυχαίοι.

Ας θυμηθούμε όλα όσα διαβάσαμε παραπάνω και ας αναρωτηθούμε, ποιος άλλος παράλογος και υπερβατικός αριθμός βρίσκεται τόσο συχνά στον πραγματικό κόσμο;

Και υπάρχουν κι άλλα παράξενα στο επιφυλάσσο. Για παράδειγμα, το άθροισμα των πρώτων είκοσι ψηφίων του Pi είναι 20 και το άθροισμα των πρώτων 144 ψηφίων είναι ίσο με τον «αριθμό του θηρίου» 666.

Ο κύριος χαρακτήρας της αμερικανικής τηλεοπτικής σειράς "Suspect", ο καθηγητής Finch, είπε στους μαθητές ότι λόγω του άπειρου αριθμού Pi, μπορεί να βρεθεί οποιοσδήποτε συνδυασμός αριθμών, που κυμαίνονται από τους αριθμούς της ημερομηνίας γέννησής σας έως πιο σύνθετους αριθμούς. . Για παράδειγμα, στη θέση 762 υπάρχει μια ακολουθία έξι εννέα. Αυτή η θέση ονομάζεται σημείο Feynman από τον διάσημο φυσικό που παρατήρησε αυτόν τον ενδιαφέροντα συνδυασμό.

Γνωρίζουμε επίσης ότι ο αριθμός Pi περιέχει την ακολουθία 0123456789, αλλά βρίσκεται στο 17.387.594.880ο ψηφίο.

Όλα αυτά σημαίνουν ότι στο άπειρο του αριθμού Πι μπορεί κανείς να βρει όχι μόνο ενδιαφέροντες συνδυασμούς αριθμών, αλλά και το κωδικοποιημένο κείμενο του «Πόλεμος και Ειρήνη», η Βίβλος και ακόμη και το Κύριο Μυστικό του Σύμπαντος, αν υπάρχει.

Παρεμπιπτόντως, για τη Βίβλο. Ο διάσημος εκλαϊκευτής των μαθηματικών, Μάρτιν Γκάρντνερ, δήλωσε το 1966 ότι το εκατομμυριοστό ψηφίο του Πι (τότε άγνωστο ακόμα) θα ήταν ο αριθμός 5. Εξήγησε τους υπολογισμούς του με το γεγονός ότι στην αγγλική έκδοση της Βίβλου, στο 3ο βιβλίο, 14ο κεφάλαιο, 16 στίχος (3-14-16) η έβδομη λέξη περιέχει πέντε γράμματα. Ο εκατομμυριοστός αριθμός έφτασε οκτώ χρόνια αργότερα. Ήταν το νούμερο πέντε.

Αξίζει να υποστηρίξουμε μετά από αυτό ότι ο αριθμός Pi είναι τυχαίος;