Kesksed (perspektiivsed) projektsioonid.

Keskprojektsioonides on kuvatava objekti servad, mis on paralleelsed pildi tasapinnaga, kujutatud kuju moonutamata, kuid moonutades suurust.

Joonis 24 Kuubi keskprojektsioonid: a) ühepunktilised, b) kahepunktilised, c) kolmepunktilised.

Mis tahes paralleelsete joonte komplekti keskprojektsioonid, mis ei ole pilditasandiga paralleelsed, lähenevad punktile kadumispunkt. Nimetatakse ühe koordinaatteljega paralleelsete sirgete kadumispunkti peamine kadumise koht. Sest Koordinaatide telgesid on kolm, siis ei saa olla rohkem kui kolm peamist kadumispunkti.

Olenevalt koordinaattelgede asukohast ja pilditasandist on ühe-, kahe- ja kolmepunktilised kesksed projektsioonid.

Üks punkt projektsioon saadakse siis, kui pilditasand langeb kokku (või on paralleelne) ühe koordinaattasandiga. See tähendab, et ainult üks koordinaatide telg ei ole paralleelne pildi tasapinnaga ja sellel on peamine kadumispunkt.

Punkt-punkti projektsioon saadakse siis, kui ainult üks koordinaattelgedest on paralleelne pildi tasapinnaga. Ülejäänud kaks koordinaattelge ei ole paralleelsed pilditasandiga ja neil on kaks peamist kadumispunkti. Maa pinnal asuvate objektide kujutamisel kasutatakse kõige sagedamini kahepunktiprojektsiooni, mille puhul pilditasand on paralleelne vertikaaltelg koordinaadid Mõlemad peamised kadumispunktid asuvad samal horisontaaljoonel – horisondijoonel (joonis 6.5). Kell kolmepunktiline kõik kolm projektsiooni koordinaatteljed ei ole paralleelsed pilditasandiga ja seetõttu on kolm peamist kadumispunkti.

Vaatleme üksikasjalikumalt punkti ühepunktiprojektsiooni juhtumit R lennukile z= 0 projektsioonikeskmega KOOS, lamades teljel z(joonis 25).

Punkt A projitseeritakse ekraanile kui A. Kaugus vaatlejast projektsioonitasandini on k. On vaja määrata punkti koordinaadid Aekraanil. Tähistagem neid x e ja y e. Kolmnurkade sarnasusest A y A z N Ja y uh SEES leiame selle

(x.9)

samamoodi x jaoks:

.

(x.10)

Riis. 25. Keskprojektsioonivalemite tuletamine.

Riis. 26. Teine võimalus keskse perspektiivprojektsiooni punktide koordinaatide arvutamiseks. N= (0,0,-Tuletame meelde, et k on kaugus ja vaatleja on punktis k ). Kui vaatluspunkt on paigutatud koordinaatide alguspunkti ja projektsioonitasand kaugusele a x uh ja y võtab kujul:

,
(x.11)

Valemid (x.10) on mugavamad, kui on vaja vaatlejat lihtsalt projektsioonitasandile lähemale või kaugemale nihutada. Valemid (x.11) nõuavad liitmistoimingu puudumise tõttu arvutuste tegemiseks vähem aega.

Vaatleme punkti kolmemõõtmelises ruumis ( ). Kui vaatluspunkt on paigutatud koordinaatide alguspunkti ja projektsioonitasand kaugusele, b, c). Kui kujutame seda punkti ette kahemõõtmelise ruumi punkti homogeense esitusena, siis on selle koordinaadid ( ). Kui vaatluspunkt on paigutatud koordinaatide alguspunkti ja projektsioonitasand kaugusele/ c, b/ c). Võrreldes neid koordinaate keskse perspektiivprojektsiooni jaoks tuletatud teist tüüpi valemitega, on lihtne märgata, et punkti kahemõõtmeline esitus koordinaatidega ( ). Kui vaatluspunkt on paigutatud koordinaatide alguspunkti ja projektsioonitasand kaugusele, b, c) näeb välja nagu selle projektsioon tasapinnale z= 1, nagu on näidatud joonisel fig. 27.

Riis. 27. Punkti projektsioon ( ). Kui vaatluspunkt on paigutatud koordinaatide alguspunkti ja projektsioonitasand kaugusele, b, c) tasapinnale z = 1.

Samamoodi, võttes arvesse homogeensete koordinaatide kasutamist kolmemõõtmelises ruumis vektorite jaoks, võib kolmemõõtmelist ruumi kujutada neljamõõtmelise ruumi projektsioonina hüpertasandile. w= 1 kui ( x, y, z)(wx, wy, wz, w) = (x, y, z, 1). .

Homogeensetes koordinaatides saab keskperspektiivi teisenduse määrata maatrikstehtega. See maatriks on kirjutatud järgmiselt:

Näitame, et see maatriks määrab homogeensetes koordinaatides määratud objektipunkti teisendamise perspektiivprojektsiooni punktiks (ka homogeensetes koordinaatides). Lase lk= (x, y, z) – punkti juures kolm mõõtmete ruum. Selle homogeenne esitus v= (wx, wy, wz, w). Korruta v-ga P:

see kordab täpselt keskse perspektiivi jaoks tuletatud valemeid (x.10).

Inimese nägemise iseärasuste tõttu on parem vaatlejast kaugemal asuvatele objektidele rakendada perspektiivprojektsiooni, üsna lähedal asuvatele (käevarre kaugusel) ortograafilist või aksonomeetrilist ning veelgi lähemal asuvatele objektidele pöördperspektiiviprojektsiooni.

Loomiseks stereopildid kasutatakse kahte keskprojektsiooni, mille keskpunktid langevad kokku hüpoteetilise vaatleja silmade asukohaga, s.t. need asuvad üksteisest mingil kaugusel pilditasandiga paralleelsel sirgel. Pärast projektsiooni lõpetamist saadakse objektist kaks pilti - vasaku ja parema silma jaoks. Väljundseade peab andma need kujutised kasutaja igale silmale eraldi. Sel eesmärgil saab kasutada värvi- või polariseerivate filtrite süsteemi. Keerulisemad väljundseadmed (nt kiivrid) esitavad iga pildi iga silma jaoks eraldi ekraanile.

Kõik eespool käsitletud projektsioonid kuuluvad lamedate geomeetriliste projektsioonide klassi, sest projektsioon tehakse tasapinnale (mitte kõverale pinnale) ja kasutades rida sirgjooni (mitte kõveraid). Seda projektsioonide klassi kasutatakse kõige sagedamini arvutigraafikas. Seevastu kartograafias kasutatakse sageli mittetasapinnalisi või mittegeomeetrilisi projektsioone.

Punkti tunnuste jälgimise, kaamera kalibreerimise ja 3D objekti rekonstrueerimise meetodite üksikasjalikuks kirjeldamiseks on vaja tutvustada perspektiivse disaini mudelit ja kirjeldada geomeetrilised omadused see transformatsioon. Mitme perspektiivprojektsiooni abil saadud kujutise punktid on sees eriline suhe omavahel, mida kirjeldab epipolaarne geomeetria. Nende suhete mudeleid tuleb üksikasjalikult uurida, sest Peaaegu kõik kolmemõõtmelised rekonstrueerimismeetodid nõuavad vastavate mudelite hindamist ja tuginevad nende omadustele.

Eraldi tuleb ära märkida eeldus, et kõik lähtepildid jäädvustavad sama stseeni, s.t. iga pilt on stseeni vaade konkreetsest kaamerast. Seetõttu tutvustatakse kirjeldamise hõlbustamiseks vaate mõistet kui kujutist koos seotud kaameramudeliga, millest see saadi.

Perspektiivne projektsioon

Perspektiiviprojektsiooni mudel vastab ideaalsele aukukaamerale. See mudel ühtib üsna täpselt enamiku moodsate foto- ja videokaamerate pildiehitusprotsessiga. Kaasaegse optika piirangute tõttu erineb tegelik protsess siiski aukukaamera mudelist mõnevõrra. Erinevusi tegeliku protsessi ja mudeli vahel nimetatakse moonutusteks ja neid modelleeritakse eraldi.

Lihtsaima nööpaugukaamera mudel on mugav selle poolest, et seda kirjeldab täielikult projektsiooni keskpunkt ja pilditasandi asukoht. Seetõttu võib kujutise mis tahes stseenipunkti projektsiooni leida kui projektsiooni keskpunkti ja stseenipunkti pilditasandiga ühendava kiire ristumiskohta.

Perspektiiviprojektsiooni lihtsaim mudel

Vaatleme lihtsaimat juhust, kui kaamera projektsiooni keskpunkt (fookus) on paigutatud koordinaatsüsteemi alguspunkti ja pilditasand langeb kokku Z=1 tasapinnaga. Olgu (X,Y,Z) punkti koordinaadid 3-mõõtmelises ruumis ja (x,y) selle punkti projektsioon kujutisele I. Perspektiiviprojektsiooni kirjeldatakse sel juhul järgmiste võrranditega:

Maatriksi kujul, kasutades homogeenseid koordinaate, kirjutatakse need võrrandid ümber järgmiselt:

(2.2)

Tasapinda, mis asub projektsiooni keskpunktist 1 kaugusel ja on risti optilise teljega, nimetatakse ideaalseks kujutise tasapinnaks. Optiline telg lõikub ideaalse kujutise tasapinnaga punktis c, mida nimetatakse põhipunktiks. Perspektiiviprojektsiooni kõige lihtsama juhtumi illustratsioon on näidatud joonisel fig. 1.

Sisekaamera kalibreerimine

Lihtsaim perspektiivprojektsiooni juhtum ei vasta peaaegu alati tegelikule kaamerale. Kaugus projektsiooni keskpunktist kujutise tasapinnani, s.o. fookuskaugus, mida tähistatakse f-ga, ei ole tavaliselt võrdne 1-ga. Samuti ei pruugi kujutise tasapinna punkti koordinaadid absoluutsete koordinaatidega kokku langeda. Digikaamera kasutamisel määrab pildil oleva punkti koordinaatide ja ideaalsel tasapinnal oleva punkti absoluutkoordinaatide vahelise seose maatriksi pikslite kuju ja suurus.

Tähistagem digikaamera maatriksi pikslimõõtmed p x , p y , piksli kaldenurka α ja põhipunkti , joonis 2. Seejärel määratakse ideaalse tasapinna punktile (x R , y R) vastava pildi punkti (x,y) koordinaadid avaldisega:

(2.3)

Kui f x ,f y on fookuskaugus f, mõõdetuna pikslite laiustes ja kõrgustes ning tan(α)*f/p y on tähistatud kui s, siis valem 2.3 teisendatakse järgmiseks:

(2.4)

K-maatriksit nimetatakse kaamera sisemiseks kalibreerimismaatriksiks. Enamasti on päris digikaamerates pikslinurk sirgele lähedane, s.t. parameeter s=0 ning piksli laius ja kõrgus on võrdsed. Põhipunkt asub tavaliselt pildi keskel. Seetõttu saab maatriksi K kirjutada järgmiselt:

(2.5)

Seda eeldust K-maatriksi vormi kohta kasutatakse laialdaselt kaamera sisemise kalibreerimise määramise algoritmide lihtsustamiseks, samuti sünteetilise kujutise modelleerimisel, mis on vajalik 3D-rekonstrueerimismeetodite kvaliteedi ja tõhususe hindamiseks.

Välise kaamera kalibreerimine

Olgu M stseenipunkt 3-mõõtmelises ruumis. Igasugune liikumine on ruumi eukleidiline teisendus, seetõttu väljendatakse seda homogeensetes koordinaatides järgmiselt:

(2.6)

kus R on pöörlemismaatriks, T= T on translatsioonivektor.

Kaamera liikumine stseeni suhtes on samaväärne stseeni punktide pöördliikumisega kaamera suhtes, seega on see võrdne:

(2.7)

kus R, T on pöördemaatriks ja kaamera liikumise vektor stseeni suhtes. Maatriksit C nimetatakse maatriksiks väline kalibreerimine kaamerad. Maatriksit C -1 nimetatakse maatriksiks kaamera liigutused. Seega tõlgib välise kaamera kalibreerimismaatriks stseenipunktide koordinaadid stseeni koordinaatsüsteemist kaameraga seotud koordinaatsüsteemi.

Täielik perspektiivprojektsioonimudel

Avaldistest 2.1, 2.4, 2.7 saame tuletada suvalise perspektiivprojektsiooni avaldise mis tahes kaamera jaoks, millel on suvaline orientatsioon ja asukoht ruumis:

Ülevaatlikumal kujul, võttes arvesse eelmist tähistust, saab selle valemi kirjutada järgmiselt:

Maatriksit P nimetatakse kaamera projektsioonimaatriksiks.

Analoogiliselt üldperspektiiviteisendusega vaatleme esmalt tasapinna perspektiivi teisenduse kõige lihtsamat juhtumit. Tasand p ühtib tasapinnaga Z=0, siis homogeenne 3D koordinaadid mis tahes selle punktidest M=. Iga projektsioonimaatriksiga P kaamera puhul kirjeldatakse tasandi perspektiivi teisendust 3*3 maatriksiga:

Kuna mistahes tasandit 3-mõõtmelises ruumis saab üle kanda Z = 0 tasapinnale pöörlemise ja translatsiooni eukleidilise teisendusega, mis võrdub kaamera maatriksi P korrutamisega teisendusmaatriksiga L, siis suvalise tasandi perspektiivkuva ruumi kirjeldab lineaarne teisendus 3*3 maatriksiga.

Nimetatakse ka perspektiivtasandi teisendust homograafia. Maatrikskujul on tasandi perspektiivteisendus kirjutatud kujul m = HM.

Kahe pildi geomeetria

Kõigil lähtepiltidel jäädvustatud stseeni peetakse liikumatuks, mistõttu ei saa stseenipunktide projektsioonide suhteline asend erinevatel kaadritel suvaliselt muutuda. Punktprojektsioonide asukohale seatud piirangud sõltuvad ilmselgelt kaamerate parameetritest ja nende asendist üksteise suhtes. Seetõttu annab selliste piirangute mudelite kindlaksmääramine teavet suhteline positsioon kaamerad, millest pildid saadi.

Perspektiivitasandi teisendus

Kui kahe kaamera keskpunktid langevad kokku, tõlgitakse mõlema kaamera pilditasandil olevad punktid üksteiseks tasapinna perspektiivi teisendusega. Sel juhul ei sõltu punktide teisenemine piltide vahel 3-mõõtmelise stseeni kujust, vaid sõltub ainult pilditasandite suhtelisest asendist.

Kui kogu stseen või osa sellest on tasapind, siis on selle pildid sisse lülitatud erinevat tüüpi mittekattuvate kaamerakeskustega saab homograafilise teisenduse abil üksteiseks teisendada. Olgu p vaadeldav tasand, H 1 homograafiline teisendus tasapinna p ja kujutise vahel ma 1, H 2 - homograafia teisendus tasapinna p ja kujutise vahel ma 2. Seejärel homograafia teisendus H 12 piltide vahel ma 1 Ja ma 2 saab väljastada järgmiselt:

H 12 ei sõltu tasandi p parameetritest ja seetõttu ei sõltu ruumi koordinaatsüsteemist

Enamik meetodeid 3D-punktide koordinaatide määramiseks nende projektsioonide põhjal ja meetodeid 3D-stseeni rekonstrueerimiseks põhinevad eeldusel, et kaamera keskpunkt liigub vaadete vahel. Seega, kui mitut tüüpi kaamerate keskpunktid langevad kokku, annavad need meetodid valesid tulemusi. Selliseid kaamerakonfiguratsioone tuleb tuvastada ja käsitleda erilisel viisil.

Kuna homograafiline teisendus on kirjutatud homogeensetes koordinaatides, on maatriks H defineeritud kuni mõõtkavani. Sellel on 8 vabadusastet ja parameetrid on 8 muutujaga. Iga teadaolev vastavate punktide paar m 1 Ja m 2 esimesel ja teisel pildil annab vastavalt 2 lineaarvõrrandid maatriksi H elementidest. Seetõttu piisab 4 teadaolevast vastavate punktide paarist 8 võrrandist koosneva 8 tundmatuga lineaarvõrrandisüsteemi koostamiseks. Selle süsteemi kohaselt saab homograafiat H üheselt määrata, kui kolm punkti ei asu samal sirgel.

Põhiline maatriks

Vaatleme juhtumit, kui kahte tüüpi kaamerate keskpunktid ei lange kokku. Lase C 1 Ja C 2- kahe kaamera keskpunktid, M - stseeni kolmemõõtmeline punkt, m 1 Ja m 2- punkti M projektsioonid vastavalt esimesele ja teisele pildile. Olgu P tasand, mis läbib punkti M ja kaamerate keskpunkte C 1 Ja C 2. Tasand P lõikab esimese ja teise vaate kujutise tasapinda mööda sirgeid jooni l 1 Ja l 2. Alates kiirtest C 1 M Ja C 2 M asuvad tasapinnal P, siis on ilmne, et punktid m 1 Ja m 2 lamada sirgjoontel l 1 Ja l 2 vastavalt. Saame anda üldisema väite, et tasapinnal Π asuva punkti M" projektsioonid mõlemale kujutisele peavad asetsema sirgel. l 1 Ja l 2. Neid jooni nimetatakse epipolaarseteks joonteks. Tasapinda P nimetatakse epipolaarseks tasapinnaks.

Sama stseeni kahte vaadet nimetatakse stereopaariks ja segmendiks C 1 C 2, nimetatakse kaamerate keskpunktide ühendamist stereopaari (baasline) baasiks või stereoaluseks. Iga epipolaarne tasapind läbib segmenti C 1 C 2. Lase C 1 C 2 lõikub punktides esimest ja teist kujutist e 1 Ja e 2 vastavalt. Punktid e 1 Ja e 2 nimetatakse epipolaarseteks punktideks või epipoolideks. Kõik epipolaarsed jooned lõikuvad punktides e 1 Ja e 2 vastavalt esimesel ja teisel pildil. Epipolaarsete tasandite kogum on kiir, mis lõikub piki stereopõhist alust C 1 C 2. Paljud epipolaarsed jooned mõlemal pildil tähistavad ka sirgjoonte kimpe, mis ristuvad punktis e 1 Ja e 2 .

Punktid m 1 Ja m 2 nimetatakse vastavateks, kui need on sama stseenipunkti M projektsioonid. Epipolaarsed jooned l 1 Ja l 2 nimetatakse vastavateks, kui nad asuvad samal epipolaartasandil P. Kui epipolaarne tasand P läbib punkti m 1, siis epipolaarsed jooned l 1 Ja l 2, selles lebavaid nimetatakse punktile vastavateks m 1.

Vastavate punktide asukoha piirang m 1 Ja m 2, mis tuleneb epipolaarsest geomeetriast, võib sõnastada järgmiselt: punkt m 2, vastav m 1, peab asuma epipolaarsel joonel l 2, vastav m 1. Seda seisundit nimetatakse epipolaarseks piiranguks. Homogeensetes koordinaatides on tingimus, et punkt m asub joonel l kirjutatud kui l T m = 0. Epipolaarne joon läbib ka epipolaarset punkti. Punkte läbiva sirge võrrand m 1 Ja e 1 võib kirjutada järgmiselt:

l 1 ∼ x m 1,

Kus x- antisümmeetriline maatriks mõõtmetega 3*3, nii et x m 1- vektorprodukt m 1 Ja e 1.

Vastavate epipolaarsete joonte jaoks l 1 Ja l 2õige:

Kus P+- maatriksi P pseudoinversioon.

Maatriksit F nimetatakse põhimaatriksiks. See on lineaarne operaator, mis seob iga punkti m 1 sellele vastav epipolaarne joon l 2. Iga vastavate punktide paari kohta m 1 Ja m 2õige

m T 2 Fm 1 =0

See on epipolaarse piirangu sõnastus põhimaatriksi kaudu.

Põhimaatriksil on 7 vabadusastet. Iga vastavate punktide paar m 1 Ja m 2 defineerib maatriksi elementide jaoks ühe lineaarvõrrandi, nii et seda saab arvutada teadaolevate 7 vastavate punktide paari põhjal.

Epipolaarne piirang kehtib mis tahes vastavate punktide paaride puhul, mis asuvad kahte tüüpi ideaalsetel tasapindadel. Kui sisemised kalibreerimismaatriksid on teada K 1 Ja K2 mõlemat tüüpi kaamerate puhul kirjutatakse ideaalsete tasandite vastavate punktide epipolaarne piirang järgmiselt:

Maatriksit E nimetatakse märkimisväärne maatriks. Saab näidata, et olulise maatriksi saab kätte ka kaamerate suhteliste asendite järgi.

Lase P 1 =(I|0) Ja P 2 =(R|-RT)- kaks arvutusmaatriksit kalibreerimisega K = I. Seejärel kirjutatakse mõlema kaamera ideaalse tasapinna arvutusvõrrandid kujul:

Leiame teisest vaatest punktile vastava epipolaarse joone m" 1 esimesel. Selleks piisab, kui projitseerida teisele vaatele kaks kiirel asuvat punkti (C 1, m" 1) teisele vaatele, näiteks esimese kaamera keskele (0,0,0,1)T ja punkt lõpmatuse tasandil (x" 1 ,y" 1 ,z" 1 ,0) T. Nende punktide projektsioonid on -RT ja R(x"1,y"1,z"1,0) T. Epipolaarse joone võrrand l 2, mõlema punkti läbimine on antud vektorkorrutisena:

l 2 = RT×R(x"1,y"1,z"1)T =R(T×(x"1,y"1,z"1)T)

Maatriksi kujul ei ole vektor korrutis T×(x"1,y"1,z"1)T saab kirjutada maatriksi S abil:

Seejärel kirjutatakse ideaalse tasapinna punktide epipolaarne piirang järgmiselt:

Kaamerate suhteliste asukohtade arvutamiseks kasutatakse põhimaatriksi väljendamist kahe kaamera väliste kalibreerimisparameetrite kaudu.

Kolme või enama pildi geomeetrilised omadused

Lase C 1,C 2 Ja C 3- sama kolmemõõtmelise stseeni kolme vaate keskpunktid. Sel juhul kehtestatakse mis tahes liigipaari vastavatele punktidele epipolaarsed piirangud. Kui on teada kahe punkti projektsioonid m 1 Ja m 2 esimesele ja teisele vaatele, siis saab projektsiooni asukoha kolmandale pildile leida kahe punktidele vastava epipolaarse vaate ristumiskohana m 1 Ja m 2.

Kahe teadaoleva prognoosi kohaselt m 1 Ja m 2 Kasutades kahte teadaoleva kalibreerimisega pilti, saab määrata punkti M asukoha ruumis. Seega, kui on teada kolmanda kujutise kalibreerimine, saab punkti M projektsiooni kolmandale vaatele määrata lihtsa projektsiooniga.

Rohkem kui kahe pildi vastavate punktide asukohale seatud piiranguid saab kirjutada ka lineaarselt. Kolme tüübi puhul on need piirangud kirjutatud trifokaalse tensori kujul, nelja tüübi puhul - kvadrifokaalse tensori kujul. Nende piirangute arvutamine on aga samaväärne kõigi kolme või nelja vaate gabariidi arvutamisega projektiivses ruumis. Seda tüüpi piiranguid käesolevas töös ei kasutata ja seetõttu ei käsitleta neid ka lähemalt.

Aastate teosed. Vološin Maximilian. POEEDI VÄÄRSUS. 1. Redigeerige luuletust nagu välismaale saadetud teksti: kuivus, selgus, surve – iga sõna on valvel.

Kõval ja kitsal kivil täht-tähe haaval lõikamine: Mida hõredamad on sõnad, seda intensiivsem on nende jõud. Mõtte tahtlik laeng võrdub vaikivate stroofidega.

Kustutage sõnastikust sõnad "Ilu", "Inspiratsioon" - riimide alatu kõnepruuk - arusaamad: Tõde, kujundus, plaan, samaväärsus, kokkuvõtlikkus ja täpsus. Kaines ja raskes töös on luuletaja inspiratsioon ja au: kurttummas aines transtsendentaalse valvsuse teravdamiseks. Voloshin M.A. Raamatukogu: nime saanud Oryoli piirkondlik teaduslik universaalne avalik raamatukogu. I.A. Bunina. - M., ; Valitud teosed: 2 köites.

M., ; Punane suits: lood. - M., ; Gladõšev luurefirmast: lood. - M., ; Ešelon; Paratamatus: romaanid. Ta tegi palju tõlkeid mari ja udmurdi luuletajaid. Aeg-ajalt proovisin kätt ka proosas. Op. Maximilian Aleksandrovitš Vološin () on 20. sajandi esimese kolmandiku üks suurimaid luuletajaid. Ta on andekas kunstnik, mitmekülgne lüürik, kes on läbinud tee sümbolistlikest, esoteerilistest luuletustest kodanikuajakirjandusliku ja teadusfilosoofilise luuleni, antroposoofiliste eelsoodumuste kaudu – “Jumala linna ideaalini”.

Kavandatav väljaanne annab lugejale võimaluse tutvuda mitte ainult Vološini parimate poeetiliste teostega, vaid ka tema kõige huvitavamate esteetikateostega, memuaariproosaga, ajakirjandusega ja kirjadega, mis on seotud dramaatiliste sündmustega riikide elus. Autor. Vološin Maximilian. Kõik autori luuletused. Töö. Luuletaja vaprus. 2. Tähed. Looge autorite ja luuletuste lemmikkogusid!

Vestelge mõttekaaslastega! Kirjutage arvustusi, osalege luuleduellidel ja -võistlustel! Liituge parimatega! Täname Luuleraamatuga liitumise eest! Sinu meilile on saadetud kiri konto juurdepääsuandmetega!

Peate sisse logima 24 tunni jooksul. Vastasel juhul konto kustutatakse! Registreeritud kasutajad saavad palju eeliseid: avaldage luulet – realiseerige oma talent! Looge autorite ja luuletuste lemmikkogusid! Vestelge mõttekaaslastega! Kirjutage arvustusi, osalege luuleduellidel ja -võistlustel! Maximilian Vološin. Kirjeldus. Maximilian Aleksandrovitš Vološin on 20. sajandi esimese kolmandiku üks suurimaid luuletajaid.

Ta on andekas kunstnik, mitmekülgne lüürik, kes on läbinud tee sümbolistlikest, esoteerilistest luuletustest kodanikuajakirjandusliku ja teadusfilosoofilise luuleni, antroposoofiliste eelsoodumuste kaudu – “Jumala linna ideaalini”. Kavandatav väljaanne annab lugejale võimaluse tutvuda mitte ainult Vološini parimate poeetiliste teostega, vaid ka tema kõige huvitavamate esteetikateostega, memuaarproosa, ajakirjanduse ja draamaga seotud kirjadega.

Valitud teosed ja kirjad. M. A. Vološin. Hind. hõõruda. Maximilian Aleksandrovitš Vološin on 20. sajandi esimese kolmandiku üks suurimaid luuletajaid. Ta on andekas kunstnik, mitmekülgne lüürik, kes on läbinud tee sümbolistlikest, esoteerilistest luuletustest kodanikuajakirjandusliku ja teadusfilosoofilise luuleni, antroposoofiliste eelsoodumuste kaudu – “Jumala linna ideaalini”.

Voloshin M.A., Poeedi vaprus: valitud teosed ja kirjad. sari: Uus vene klassika raamatukogu: nõutav eksemplar Paraad, linn, leht, Raamatu kirjeldus. Maximilian Aleksandrovitš Vološin () on 20. sajandi esimese kolmandiku üks suurimaid luuletajaid. Ta on andekas kunstnik, mitmetahuline lüürik, kes on läbinud tee sümbolistlikust, esoteerilisest luuletusest kodanikuajakirjandusliku ja teadusfilosoofilise luuleni, läbi antroposoofiliste eelsoodumuste – “Jumala linna ideaalini”.

Kategooriad Postituse navigeerimine

Perspektiivsed prognoosid

Tasapinnalise perspektiivprojektsiooni määrab üheselt vaatluspunkti asukoht ja kaugus sellest projektsioonitasandini (d). Vaatluspunkti asukoha saab määrata vektorina V, mis ühendab vaatluspunkti ja kolmemõõtmelise koordinaatsüsteemi alguspunkti, millest projektsioon teostatakse. Kolmemõõtmelist koordinaatsüsteemi, millest projektsioon teostatakse, nimetatakse maailma koordinaatsüsteemiks.

Vektor V saab määrata ühel kahest vormist (joonis 6.2-1):

1) polaarkoordinaatide süsteemis parameetrite kaudu:

R-vektori moodul V;

Q - nurk X-koordinaatide telje ja vektori projektsiooni vahel V maailma koordinaatsüsteemi XY koordinaattasandile;

J-nurk vektori vahel V ja maailma koordinaatsüsteemi Z-telg;

2) Descartes'i koordinaatsüsteemis vektorprojektsioonide kaudu V maailma koordinaatsüsteemi koordinaattelgedele:

V x – vektorprojektsioon V X-teljele;

V y – vektorprojektsioon V X-teljele;

V z – vektorprojektsioon V X-teljele.

Riis.6.2 ‑ 1

Graafilise objekti projitseerimise ülesanne taandub lõpuks objekti projektsioonitasandi üksikute punktide X,Y koordinaatide määramisele, mis on maailma koordinaatsüsteemis algselt määratud kolme koordinaadiga.

Projektsioonitasandi punkti koordinaatide määramine

Jagame perspektiivprojektsiooni üldprobleemi kaheks koordinaatide teisendusülesandeks:

Teisendus maailma koordinaatsüsteemist koordinaatsüsteemi vaatamiseks

Teisendused liikumiseks vaatekoordinaadisüsteemist projektsioontasandil koordinaatidele.

Lülitutakse koordinaatide süsteemi vaatamiseks

Üleminek vaate koordinaatsüsteemile on näidatud alloleval joonisel (joonis 6.2-2).

Vaatekoordinaatsüsteem on kolmemõõtmeline koordinaatide süsteem koordinaattelgedega X in , Y in , Z in , mis on antud projektsiooni jaoks “mugav”, s.t. millest on kõige lihtsam üleminek projektsioonitasandil kahemõõtmelisele süsteemile (näiteks ekraanile). Seda tüüpi perspektiivprojektsiooni puhul peab vaate koordinaatsüsteemi alguspunkt olema punktis E, selle Z-telg peab ühtima projektsioonivektoriga V, selle X-telg tuleks projitseerida X-teljele e ja Y-telg Y-teljele e.

Riis.6.2 ‑ 2

Selle põhjal saab ülemineku maailma koordinaatsüsteemist vaate koordinaatsüsteemile läbi järgmise põhiteisenduste jada:

1) maailma koordinaatsüsteemi ülekandmine vektorisse V, mille tulemusena saadakse koordinaatsüsteem, mille alguspunkt on punktis E ja koordinaatteljed on X 1, Y 1, Z 1 (rakendatud maatriksiga T -1 (-V x, -V y, -V z) );

2) saadud süsteemi pööramine oma koordinaattelje Z 1 suhtes nurga (-(90 0 -q)) all, mille tulemusena saadakse süsteem koordinaattelgedega X 2, Y 2, Z 2 (rakendatud maatriksiga R z -1 (-( 90 0 -q)), milles vektor V asub koordinaattasandil Y 2, Z 2;

3) saadud süsteemi E, X 1, Y 1, Z 1 pööramine nurga ((180 0 - j)) võrra oma koordinaattelje X 2 suhtes, mille tulemuseks on süsteem koordinaattelgedega X 3, Y 3, Z 3, mille algus on punktis E, (realiseeritud maatriksiga R x -1 (180 0 - j)), milles vektor V asub Z 3 teljel;

4) koordinaattelje X 3 suuna muutmine, mille tulemusena saadakse soovitud vaate koordinaatsüsteem koordinaattelgedega X in, Y in, Z in (realiseeritud maatriksiga R (-x)).

Seega, võttes arvesse nelja põhikoordinaatide teisendust, on vaate koordinaatsüsteemi ülekandmiseks vaja kasutada järgmist maatriksite korrutist:

Kasutatavate maatriksite täpsustamiseks esitame kõik nende elemendid trigonomeetriliste funktsioonide sin j, cos j, sin q, cos q kaudu ja tutvustame tähistust:

cos j= a; sin j = b ; cos q = c; sin q = d;

u x = -r bc ; u y = -r bd ; u z =-r a .

Selleks esitame ülaltoodud avaldises loetletud maatriksid järgmisel kujul.

Transfer Matrix:

T -1 (u x, u y, u z)= T (-u x, -u y, -u z).

See esitus on legitiimne, kuna pöördülekande maatriks vektorile on samaväärne otseülekande maatriksiga samale vektorile vastupidises suunas.

Võttes arvesse sisseviidud tähistusi, saame:

Pöörlemismaatriksid Z-telje 1 suhtes:

Rz-1 (-(90 0 -Q)) = Rz (90 0 -Q),

ja arvestades, et patt (90 0 -a)= cos a, võime kirjutada:

Pöörlemismaatriksid koordinaattelje X 2 suhtes:

R x -1 ((180 0 -j)) = R x (-(180 0 -j)),

ja võttes arvesse, et sin (-(180 0 -j)) =- sin j, cos (-(180 0 -j)) =- cos j, on meil:

Maatriks koordinaatide telje suuna muutmiseks X2 näeb välja selline:

Leiame vaate teisendusmaatriksi R järgmiseks:

Määrame maatriksi korrutamise järjekorra tähistuses olevate sulgude järgi:

Leiame R1:

Leiame toote:

Vaate teisendusmaatriksi R leidmisel võtame arvesse vajadust laiendada maatriksit R 2 mõõtmetelt 3*3 mõõtmeteni 4*4:

Seega on vaate teisendusmaatriksil järgmine vorm:

(6.2-1)

Üleminek vaatesüsteemist projektsioonitasandi koordinaatidele.

Selle etapi lõpuleviimiseks kasutage allolevat joonist (joonis 6.2-3).

Joonisel on kasutatud järgmisi nimetusi:

E – vaate koordinaatsüsteemi alguspunkt koordinaattelgedega X sisse, Y sisse, Z sisse;

T1 – punkt vaate koordinaatsüsteemis, mis asub koordinaattasandil X in Z in ;

T2 – punkt vaate koordinaatsüsteemis, mis asub koordinaattasandil Y in Z in ;

D - kaugus vaate koordinaatsüsteemi alguspunktist projektsioonitasapinnani;

Xuh, Yuh- koordinaatsüsteemi teljed projektsioonitasandil (ekraanil).

Ülaltoodud jooniselt on näha, et:

See tähendab ekraanil oleva punkti koordinaatide järgmist sõltuvust selle punkti koordinaatidest vaate koordinaatsüsteemis:

(6.2-2)

Seega, kasutades avaldisega (6.2-1) defineeritud vaateteisendusmaatriksit R to , ja avaldistele (6.2-2) vastavaid seoseid, on võimalik arvutada antud punktide koordinaadid.

Kaduvad punktid ja jooned

Perspektiiviprojektsioonis on sirge AA’ kadumispunkt projektsioonitasandi punkt, kuhu kaldub mööda sirget AA’ lõpmatuseni “jookseva” punkti projektsioon. Kaduvate punktide geomeetrilise tähenduse esitamiseks vaadake allolevat joonist (joonis 6.2-4).

Joonisel on kasutatud järgmisi sümboleid:

E - vaate koordinaatsüsteemi alguspunkt;

“PP” - projektsioonitasand (ekraan) koordinaattelgedega X ja Y.

Riis.6.2 ‑ 4

Joonistame projektsioonitasandiga risti läbi punkti E joone Ea’. See sirge lõikub projektsioonitasapinnaga punktis a n, mis on sirge Ea' kõigi punktide projektsioonipunkt, sealhulgas punkt, mis kulgeb mööda seda sirget lõpmatuseni. Seetõttu on punkt a n sirge Ea’ kadumispunkt.

Võtame projektsioonitasandil teatud punkti b p ja joonestame selle kaudu paralleelselt sirgega Ea’ sirge b p b’. Joonistame läbi sirgete Ea ’ ja b p b ’ tasapinna, mis lõikub projektsioonitasandiga piki sirget b p a p . Võtame punkti b b sirgel b p b ‘ ja suuname selle mööda sirget lõpmatuseni.

Kui jooksev punkt liigub mööda sirget lõpmatuseni, liigub selle projektsioon b bp mööda sirget b p a p, kaldudes punkti a p, kuna punkt b p kaldub lõpmatusse. Seega on punkt a p sirge b p b ' kadumispunkt.

Ainus tingimus sirge bb ’ valimisel oli, et see oleks paralleelne joonega Ea ’. Järelikult on kõigi Ea ’-ga paralleelsete sirgete kadumispunktiks sama punkt a n.

Tõmbame sirge läbi projektsioonitasandi punkti a p paralleelselt projektsioonitasandi X-teljega ja võtame sellele suvalise punkti d p. Joonistame sirge läbi punktide E ja d p. Seejärel võtame projektsioonitasandil veel ühe suvalise punkti c n ja joonestame selle kaudu vaate koordinaatsüsteemis sirgjoonega E paralleelse sirge c n c d lk.

Saadud paralleelsirgete kaudu joonistame tasapinna, mis lõikub projektsioonitasapinnaga piki sirget d p c p . Võtame sirgel c n c punkti c b ja suuname selle lõpmatusse. Nagu jooniselt näha, nagu punkt c b.

lõpmatuseni, selle projektsioon liigub piki sirget c p d p., kaldudes punkti d p. Sellest järeldub, et punkt d n on sirge c n c kadumispunkt.

Sarnasel viisil argumenteerides on lihtne näidata, et kõigi punkti E ja sirget d p a p läbiva tasapinnaga paralleelsete sirgete puhul on kadumispunktid punkte d p a p läbival sirgel.

Eelnevast järeldub, et sirge d p a p on kõigi horisontaaltasapindade kaduv joon. Seda sirget nimetatakse horisondi jooneks. Eeltoodust saame ka järeldada, et kõigil paralleelsetel sirgetel, olenemata nende asukohast, on üks kadumispunkt. Ülaltoodu kehtib ka vertikaalsete joonte kohta, millel on üks kadumispunkt nimega.

seniidipunkt

Sarnasel viisil arutledes võib näidata, et kõigil paralleeltasanditel on üks kaduv joon.

Olgu vaja koostada vertikaalsete külgpindadega rööptahuka projektsioon, mille ülemine serv on määratletud kinnituspunktidega 1, 2, 3, 4 ja alumine külg, mis on määratletud kinnituspunktidega 5, 6, 7, 8 (joonis fig. 6,2–5).

Pane tähele, et antud objekti omadustest on sõlmpunktidega määratud servad 1,2; 3,4; 5,6; 7.8, paralleelsed ja seetõttu koonduvad neid kandvad sirged ühes punktis (punkt Tc1). Sirged, toetavad külgribid 3,7; 4,8; 2.6 ja 1.5 on samuti sama kadumispunktiga (punkt T3). Sama võib öelda ribide 1,3 kohta; 2,4; 5,7; 6,8 – neid kandvad sirged on üksteisega paralleelsed ja seetõttu on neil üks kadumispunkt (punkt Tc2).

Antud objekti projektsiooni ühemõtteliseks konstrueerimiseks piisab, kui määrata projektsioonil kolm ülalmainitud kadumispunkti (T3, Ts1, Ts2) ja punktide 2,5,6,8 projektsioonid (joonis 6.2- 6).

Riis.6.2 ‑ 5

Projektsiooni saab konstrueerida järgmises järjestuses.

Läbi punktide 5 ja Tc2 tõmbame sirge, mis kannab servi 5.7. Selle lõikepunkt punkte Tc1 ja 8 läbiva joonega (sirge,

Riis.6.2 ‑ 6

laagriserv 7.8), on punkt 7. Külgribide laagrid 3.7; 4,8; 2,6 ja 1,5 saadakse, kui tõmmata sirgjooned läbi seniitpunkti T3 ja rööptahuka alumise serva juba olemasoleva nelja sõlmpunkti (jooned T3.6; T3.7; T3.8; T3.5).

Seejärel tõmbame sirgjooned Tc1,2. Selle lõikepunktiks sirgega T3.5 saab punkt 1. Joonistame sirged Tc1,4. Selle lõikepunktiks sirgega T 3.7 saab punkt 3.

Nii leitakse projektsiooniks määratud objekti kõikide sõlmpunktide projektsioonid, millest saab projektsioonitasandile üheselt konstrueerida kogu projitseeritud rööptahuka.

Selleks, et projitseerimisel saada objektist pilt, mis on lähedane sellele, kuidas inimene seda subjektiivselt tajub, on vaja piirata projektsiooninurka (vaatleja kolmemõõtmelise objekti vaatenurk vaatlusest punkt, st vaate koordinaatsüsteemi lähtepunktist). Reeglina saadakse vastuvõetav projektsioonitulemus, kui projektsiooninurk ei ületa 30-40 kraadi.

Vaadeldav projektsioonimeetod on vastuvõetav ainult suhteliselt lihtsate objektide puhul.