Homogeenne lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem. Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendus

Lase M 0 on lineaarvõrrandisüsteemi (4) lahenduste hulk.

Definitsioon 6.12. Vektorid Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p, mis on homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendid, nimetatakse põhiline lahenduste kogum(lühendatult FNR) kui

1) vektorid Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p lineaarselt sõltumatud (st ühtki neist ei saa väljendada teistega);

2) mis tahes muud homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendit saab väljendada lahenditena Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p.

Pange tähele, et kui Koos 1 ,Koos 2 , …, koos p on mingi f.n.r., siis väljendi järgi k 1× Koos 1 + k 2× Koos 2 + … + kp× koos p võib kirjeldada kogu komplekti M 0 lahendusi süsteemile (4), nii nimetatakse seda süsteemilahenduse üldvaade (4).

Teoreem 6.6. Igal ebamäärasel homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on põhiline lahenduste komplekt.

Põhilahenduste komplekti leidmise viis on järgmine:

Leida homogeense lineaarvõrrandisüsteemi üldlahend;

Ehita ( n – r) selle süsteemi osalahendused, samas kui vabade tundmatute väärtused peavad moodustama identiteedimaatriksi;

Kirjutage välja lisatud lahenduse üldvorm M 0 .

Näide 6.5. Leidke järgmise süsteemi põhilahenduste komplekt:

Lahendus. Leiame selle süsteemi üldise lahenduse.

~ ~ ~ ~ Þ Þ Þ Sellel süsteemil on viis tundmatut ( n= 5), millest on kaks peamist tundmatut ( r= 2), kolm vaba tundmatut ( n – r), see tähendab, et põhilahenduste hulk sisaldab kolme lahendusvektorit. Ehitame need üles. Meil on x 1 ja x 3 - peamised tundmatud, x 2 , x 4 , x 5 - tasuta tundmatud

Vabade tundmatute väärtused x 2 , x 4 , x 5 moodustavad identiteedimaatriksi E kolmas järjekord. Sain need vektorid Koos 1 ,Koos 2 , Koos 3 vorm f.n.r. see süsteem. Siis on selle homogeense süsteemi lahenduste hulk M 0 = {k 1× Koos 1 + k 2× Koos 2 + k 3× Koos 3 , k 1 , k 2 , k 3 О R).

Uurime nüüd homogeense lineaarvõrrandisüsteemi nullist mittevastavate lahendite olemasolu tingimusi ehk teisisõnu fundamentaalse lahendite hulga olemasolu tingimusi.

Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinevad lahendid, see tähendab, et see on määramatu, kui

1) süsteemi põhimaatriksi aste on väiksem kui tundmatute arv;

2) homogeenses lineaarvõrrandisüsteemis on võrrandite arv väiksem kui tundmatute arv;

3) kui homogeenses lineaarvõrrandisüsteemis võrdub võrrandite arv tundmatute arvuga ja põhimaatriksi determinant on võrdne nulliga (st | A| = 0).

Näide 6.6. Millise parameetri väärtuse juures a homogeenne lineaarvõrrandisüsteem on nullist erinevad lahendused?

Lahendus. Koostame selle süsteemi põhimaatriksi ja leiame selle determinandi: = = 1×(–1) 1+1 × = – a– 4. Selle maatriksi determinant on võrdne nulliga, kui a = –4.

Vastus: –4.

7. Aritmeetika n-mõõtmeline vektorruum

Põhimõisted

Eelmistes osades kohtasime juba teatud järjekorras reaalarvude hulga mõistet. See on reamaatriks (või veerumaatriks) ja lineaarvõrrandisüsteemi lahendus n teadmata. Selle teabe võib kokku võtta.

Definitsioon 7.1. n-dimensiooniline aritmeetiline vektor nimetatakse järjestatud komplektiks n reaalarvud.

Tähendab a= (a 1 , a 2 , …, a n), kus a iО R, i = 1, 2, …, n on vektori üldvaade. Number n helistas dimensioon vektor ja arvud a i helistas talle koordinaadid.

Näiteks: a= (1, –8, 7, 4, ) on viiemõõtmeline vektor.

Kõik seatud n-mõõtmelisi vektoreid tähistatakse tavaliselt kui R n.

Definitsioon 7.2. Kaks vektorit a= (a 1 , a 2 , …, a n) ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) sama mõõtmega võrdne siis ja ainult siis, kui nende vastavad koordinaadid on võrdsed, st a 1 = b 1 , a 2 = b 2 , …, a n= b n.

Definitsioon 7.3.summa kaks n-mõõtmelised vektorid a= (a 1 , a 2 , …, a n) ja b= (b 1 , b 2 , …, b n) nimetatakse vektoriks a + b= (a 1 + b 1, a 2 + b 2, …, a n+b n).

Definitsioon 7.4. tööd tegelik arv k vektori kohta a= (a 1 , a 2 , …, a n) nimetatakse vektoriks k× a = (k×a 1, k×a 2, …, k×a n)

Definitsioon 7.5. Vektor umbes= (0, 0, …, 0) kutsutakse null(või nullvektor).

Lihtne on kontrollida, kas vektorite liitmise ja reaalarvuga korrutamise toimingutel (operatsioonidel) on järgmised omadused: a, b, c Î R n, " k, lОR:

1) a + b = b + a;

2) a + (b+ c) = (a + b) + c;

3) a + umbes = a;

4) a+ (–a) = umbes;

5) 1× a = a, 1 О R;

6) k×( l× a) = l×( k× a) = (l× k)× a;

7) (k + l)× a = k× a + l× a;

8) k×( a + b) = k× a + k× b.

Definitsioon 7.6. Palju R n vektorite liitmise ja sellel antud reaalarvuga korrutamise operatsioonidega nimetatakse aritmeetiline n-mõõtmeline vektorruum.

Homogeenne süsteem on alati järjepidev ja sellel on triviaalne lahendus
. Mittetriviaalse lahenduse olemasoluks on vajalik, et maatriksi auaste oli väiksem kui tundmatute arv:

.

Fundamentaalne otsustussüsteem homogeenne süsteem
nimetame lahenduste süsteemi veeruvektorite kujul
, mis vastavad kanoonilisele alusele, s.o. alus, milles suvalised konstandid
vaheldumisi seatakse võrdseks ühega, ülejäänud aga nulliga.

Siis on homogeense süsteemi üldlahendus järgmine:

kus
on suvalised konstandid. Teisisõnu, üldlahendus on põhilahenduste süsteemi lineaarne kombinatsioon.

Seega saab põhilahendused saada üldlahendist, kui anda vabadele tundmatutele vaheldumisi ühtsuse väärtus, eeldades, et kõik teised on võrdsed nulliga.

Näide. Leiame süsteemile lahenduse

Aktsepteerime , siis saame lahenduse kujul:

Koostame nüüd fundamentaalse lahenduste süsteemi:

.

Üldise lahenduse saab kirjutada järgmiselt:

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemi lahendustel on järgmised omadused:

Teisisõnu, iga homogeense süsteemi lahenduste lineaarne kombinatsioon on jällegi lahendus.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine on matemaatikutele huvi pakkunud juba mitu sajandit. Esimesed tulemused saadi XVIII sajandil. 1750. aastal avaldas G. Kramer (1704–1752) oma tööd ruutmaatriksite determinantide kohta ja pakkus välja algoritmi pöördmaatriksi leidmiseks. 1809. aastal tõi Gauss välja uue lahendusmeetodi, mida tuntakse eliminatsioonimeetodina.

Gaussi meetod ehk tundmatute järjestikuse kõrvaldamise meetod seisneb selles, et elementaarteisenduste abil taandatakse võrrandisüsteem astmelise (või kolmnurkse) vormiga samaväärseks süsteemiks. Sellised süsteemid võimaldavad järjekindlalt leida kõik tundmatud kindlas järjekorras.

Oletame, et süsteemis (1)
(mis on alati võimalik).

(1)

Korrutades esimese võrrandi omakorda nn sobivad numbrid

ja liites korrutamise tulemuse süsteemi vastavate võrranditega, saame samaväärse süsteemi, milles kõigil võrranditel, välja arvatud esimene, pole tundmatut X 1

(2)

Nüüd korrutame süsteemi (2) teise võrrandi sobivate arvudega, eeldades, et

,

ja lisades selle madalamatele, elimineerime muutuja kõigist võrranditest, alustades kolmandast.

Seda protsessi jätkates, pärast
sammud, mille saame:

(3)

Kui vähemalt üks numbritest
ei ole võrdne nulliga, siis on vastav võrdsus ebajärjekindel ja süsteem (1) on vastuolus. Ja vastupidi, mis tahes ühendarvusüsteemi jaoks
on võrdsed nulliga. Number pole midagi muud kui süsteemimaatriksi auaste (1).

Üleminekut süsteemist (1) süsteemile (3) nimetatakse sirgjoonel Gaussi meetod ja tundmatute leidmine punktist (3) - tagurpidi .

Kommenteeri : Mugavam on teisendusi sooritada mitte võrrandite endi, vaid süsteemi laiendatud maatriksiga (1).

Näide. Leiame süsteemile lahenduse

.

Kirjutame süsteemi liitmaatriksi:

.

Liidame ridadele 2,3,4 esimene, korrutatuna vastavalt (-2), (-3), (-2):

.

Vahetame read 2 ja 3, seejärel lisame saadud maatriksis rida 2 4. reale, korrutatuna :

.

Lisa 4. reale rida 3 korrutatuna
:

.

See on ilmne
, seega on süsteem ühilduv. Saadud võrrandisüsteemist

leiame lahenduse pöördasenduse teel:

,
,
,
.

Näide 2 Otsige süsteemilahendust:

.

On ilmne, et süsteem on ebajärjekindel, sest
, a
.

Gaussi meetodi eelised :

Vähem aeganõudev kui Crameri meetod.

Kinnitab üheselt süsteemi ühilduvuse ja võimaldab leida lahenduse.

Annab võimaluse määrata mis tahes maatriksi auaste.

Lineaaralgebralise võrrandi (SLAE) süsteemide lahendamine on kahtlemata lineaaralgebra kursuse kõige olulisem teema. Suur hulk matemaatika kõigist harudest pärit ülesandeid taandatakse lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisele. Need tegurid selgitavad selle artikli loomise põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• valida oma lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks optimaalne meetod,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, olles üksikasjalikult kaalunud tüüpiliste näidete ja ülesannete lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame mõningaid tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks ja kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise meetod). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Seejärel asume lahendama üldkuju lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme, milles võrrandite arv ei kattu tundmatute muutujate arvuga või süsteemi põhimaatriks on degenereerunud. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide lahendust (nende ühilduvuse korral) maatriksi alusmolli mõistet kasutades. Vaatleme ka Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Peatuge kindlasti lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensete ja mittehomogeensete süsteemide üldlahenduse struktuuril. Toome välja fundamentaallahenduste süsteemi mõiste ja näitame, kuidas SLAE üldlahendus kirjutatakse põhilahenduste süsteemi vektorite abil. Parema mõistmise huvides vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks vaatleme nii lineaarseteks taandatud võrrandisüsteeme kui ka erinevaid probleeme, mille lahendamisel tekivad SLAE-d.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n ) kujul

Tundmatud muutujad, - koefitsiendid (mõned reaal- või kompleksarvud), - vabaliikmed (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE vormi nimetatakse koordineerida.

AT maatriksvorm sellel võrrandisüsteemil on vorm,
kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate maatriks-veerg, - vabaliikmete maatriks-veerg.

Kui liita maatriksile A (n + 1)-ndaks veeruks vabade liikmete maatriks-veerg, siis saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse suurendatud maatriksit tähega T ja vabade liikmete veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lahendades lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Tundmatute muutujate antud väärtuste maatriksvõrrand muutub samuti identiteediks.

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda Sobimatu.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis - ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendus.

Kui süsteemivõrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis kutsume selliseid SLAE-sid elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja homogeense süsteemi korral on kõik tundmatud muutujad võrdsed nulliga.

Sellist SLAE-d hakkasime õppima keskkoolis. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv võrdub tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja on maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerus vastavalt vabade liikmete veergu:

Sellise tähistusega arvutatakse tundmatud muutujad Crameri meetodi valemitega as . Nii leitakse Crameri meetodil lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendus.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutage selle determinant (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostage ja arvutage vajalikud determinandid (determinant saadakse maatriksi A esimese veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinant - teise veeru asendamisega vabade liikmete veeruga, - maatriksi A kolmanda veeru asendamisega vabade liikmete veeruga ):

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui süsteemivõrrandite arv on suurem kui kolm.

Lineaaralgebralise võrrandi süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul , kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna , siis on maatriks A inverteeritav, st on olemas pöördmaatriks . Kui korrutada mõlemad võrdsuse osad vasakul olevaga, siis saame valemi tundmatute muutujate veerumaatriksi leidmiseks. Seega saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse maatriksmeetodil.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodil. Kasutades pöördmaatriksit, võib selle süsteemi lahenduse leida järgmiselt .

Koostame pöördmaatriksi maatriksi A elementide algebraliste täiendite maatriksi abil (vajadusel vaata artiklit):

Jääb üle arvutada - tundmatute muutujate maatriks pöördmaatriksi korrutamisega vabaliikmete maatriks-veerul (vajadusel vaata artiklit):

Vastus:

või mõnes teises tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Lineaaralgebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodil lahenduste leidmisel on põhiprobleemiks pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti kolmandast kõrgema järgu ruutmaatriksite puhul.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile, millel on n tundmatu muutuja
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus seisneb tundmatute muutujate järjestikuses välistamises: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alates teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni ainult tundmatu muutujani. x n jääb viimasesse võrrandisse. Sellist süsteemi võrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks elimineerimiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasikäigu lõppu leitakse x n viimasest võrrandist, x n-1 arvutatakse seda väärtust kasutades eelviimasest võrrandist ja nii edasi, leitakse x 1 esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Tundmatu muutuja x 1 jätame süsteemi kõikidest võrranditest välja, alates teisest. Selleks liida esimene võrrand korrutatuna süsteemi teisele võrrandile, liida esimene korrutatud võrrand kolmandale võrrandile ja nii edasi, liida esimene korrutatuna n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a .

Sama tulemuseni jõuaksime, kui väljendaksime x 1 süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendaksime saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena toimime sarnaselt, kuid ainult saadud süsteemi osaga, mis on joonisel märgitud

Selleks liida teine ​​võrrand korrutatuna süsteemi kolmandale võrrandile, teine ​​korrutatuna neljandale võrrandile ja nii edasi, liida n-ndale võrrandile teine ​​korrutatud võrrand. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamist, toimides samamoodi joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest kulgu, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist kulgu: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud väärtust x n leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame x 1 esimesest võrrandist. võrrand.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale osale esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja arvuga:

Nüüd jätame x 2 kolmandast võrrandist välja, lisades selle vasak- ja parempoolsele osale teise võrrandi vasak- ja parempoolsed osad, korrutatuna järgmisega:

Sellega on Gaussi meetodi edasiliikumine lõpetatud, alustame vastupidist kurssi.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame ülejäänud tundmatu muutuja ja see lõpetab Gaussi meetodi vastupidise käigu.

Vastus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

Üldjuhul ei lange süsteemi p võrrandite arv kokku tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruudukujuline ja degenereerunud.

Kroneckeri-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Vastus küsimusele, millal SLAE ühildub ja millal mitte, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
n tundmatuga võrrandite süsteemi p (p võib olla võrdne n ) järjepidevuse tagamiseks on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi astmega, st Rank( A)=Aste(T) .

Vaatleme näiteks Kroneckeri-Cappelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutagem alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame seda ümbritsevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste kaks.

Omakorda suurendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna kolmanda järgu moll

nullist erinev.

Sellel viisil, Vahemik(A) , seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on vastuolus.

Vastus:

Lahendussüsteemi ei ole.

Niisiis, oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida SLAE lahendus, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi põhimolli kontseptsiooni ja maatriksi järgu teoreemi.

Nimetatakse maatriksi A kõrgeimat järku minoori, mis ei ole null põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi A puhul võib olla mitu põhimolli, alati on üks põhimoll.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järku p järgi n on r, siis kõik maatriksi ridade (ja veergude) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimolli, väljendatakse lineaarselt ridade (ja veergude) vastavate elementidena. ), mis on aluseks mollile.

Mida annab meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri-Capelli teoreemi abil tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise põhimolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis ei moodustada valitud põhimoll. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvalejäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi liigsete võrrandite kõrvalejätmist võimalikud kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne kahega, kuna teist järku moll nullist erinev. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on võrdne nulliga

ja eespool vaadeldud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri-Capelli teoreemi põhjal võib väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2 .

Aluseks võtame kõrvaleriala . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seega jätame selle maatriksi auaste teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii oleme saanud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarse süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Kui saadud SLAE võrrandite arv r on väiksem kui tundmatute muutujate arv n, siis jätame põhimolli moodustavad terminid võrrandite vasakpoolsetesse osadesse ja ülejäänud liikmed kanname võrrandite parempoolsetesse osadesse. süsteem vastupidise märgiga.

Tundmatuid muutujaid (neid on r), mis jäävad võrrandite vasakule poolele, nimetatakse peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (neid on n - r), mis sattusid paremale poole tasuta.

Nüüd eeldame, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujatena ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Võtame näite.

Näide.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine .

Lahendus.

Leidke süsteemi põhimaatriksi auaste piirnevate alaealiste meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molli ümber nullist erineva teist järku molli otsimist:


Seega leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Põhiliseks võetakse kolmanda järgu leitud nullist erinev moll.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame põhimollis osalevad terminid süsteemi võrrandite vasakusse serva ja ülejäänud kanname vastasmärkidega paremale poole:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st võtame , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi lahendame Crameri meetodil:


Järelikult,.

Ärge unustage vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldkujuga lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks selgitame esmalt välja selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis järeldame, et süsteem on vastuolus.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime põhimolli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud põhimolli moodustamisel.

Kui alusmolli järjekord on võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on SLAE-l unikaalne lahendus, mille saab leida mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusmolli järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis süsteemi võrrandite vasakpoolsesse serva jätame terminid põhitundmatute muutujatega, ülejäänud liikmed kanname paremale poole ja omistame suvalised väärtused ​vabadele tundmatutele muutujatele. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit kasutades saab lahendada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme ilma nende ühilduvuse eeluuringuta. Tundmatute muutujate järjestikuse välistamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka ebakõla kohta ning kui lahendus on olemas, võimaldab see selle leida.

Arvutustöö seisukohalt eelistatakse Gaussi meetodit.

Vaata selle üksikasjalikku kirjeldust ja analüüsitud näiteid artiklist Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja ebahomogeensete lineaaralgebrasüsteemide üldlahenduse registreerimine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles jaotises keskendume lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensetele ja mittehomogeensetele ühendatud süsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne otsustussüsteem P lineaarsete algebraliste võrrandite homogeenne süsteem n tundmatu muutujaga on selle süsteemi (n – r) lineaarselt sõltumatute lahendite hulk, kus r on süsteemi põhimaatriksi alusmolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) on maatriksite veerud mõõtmetega n 1 ) , siis on selle homogeense süsteemi üldlahendus kujutatud põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvaliste konstantsete koefitsientidega С 1 , С 2 , …, С (n-r), st .

Mida tähendab mõiste homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määratleb kõik võimalikud algse SLAE lahendused, teisisõnu võttes suvaliste konstantide C 1 , C 2 , ..., C (n-r) väärtused vastavalt valemile me saab ühe algse homogeense SLAE lahendustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused seada .

Näitame homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi põhimolli, jätame süsteemist välja kõik muud võrrandid ja kanname vastasmärkidega süsteemi võrrandite paremale poolele kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad terminid. Anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks Crameri meetodil. Seega saadakse X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui anname vabadele tundmatutele väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (2) . Ja nii edasi. Kui anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,…,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (n-r) . Nii konstrueeritakse homogeense SLAE põhilahenduste süsteem ja saab kirjutada selle üldlahenduse kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend järgmiselt

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame põhimaatriksi auastme alaealiste ääristamise meetodil. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leidke teist järku ääristav nullist erinev moll:

Leitakse teist järku moll, mis erineb nullist. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik külgnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste kaks. Võtame põhilise molli. Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poolele:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Selle SLAE põhilahenduste süsteem koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on kaks. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.

Jätkame tehnika lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude järgi võib materjal tunduda igav ja tavaline, kuid see mulje on petlik. Lisaks tehnikate edasiarendamisele tuleb palju uut teavet, seega proovige mitte jätta tähelepanuta käesolevas artiklis toodud näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati ühtlane st sellel on alati lahendus. Ja ennekõike nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendust üldse ei mõista, tähendab bespontovoe. Muidugi mitte akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ... Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja elementaarteisenduste abil viia see astmelisele kujule. Pange tähele, et siin ei ole vaja vabaliikmete vertikaalset riba ja nullveergu üles kirjutada - sest mida iganes nullidega teete, need jäävad nulliks:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja Gaussi meetodi vastupidist liikumist kasutades on lihtne veenduda, et lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on ainult triviaalne lahendus, kui süsteemimaatriksi auaste(antud juhul 3) on võrdne muutujate arvuga (antud juhul 3 tk.).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete muutuste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Algoritmi lõplikuks parandamiseks analüüsime viimast ülesannet:

Näide 7

Lahendage homogeenne süsteem, kirjutage vastus vektorkujul.

Lahendus: kirjutame süsteemi maatriksi ja elementaarteisenduste abil viime selle astmelisele kujule:

(1) Esimese rea märk on muudetud. Veelkord juhin tähelepanu korduvalt kohatud tehnikale, mis võimaldab järgnevat tegevust oluliselt lihtsustada.

(1) 2. ja 3. reale lisati esimene rida. Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati 4. reale.

(3) Viimased kolm rida on proportsionaalsed, kaks neist on eemaldatud.

Selle tulemusena saadakse standardne astmemaatriks ja lahendus jätkub piki rihveldatud rada:

– põhimuutujad;
on vabad muutujad.

Põhimuutujaid väljendame vabade muutujatena. 2. võrrandist:

- asendage 1. võrrandis:

Seega on üldine lahendus:

Kuna vaadeldavas näites on kolm vaba muutujat, sisaldab põhisüsteem kolme vektorit.

Asendame kolmikväärtusi üldlahendisse ja saada vektor, mille koordinaadid rahuldavad homogeense süsteemi iga võrrandi. Ja veel kord kordan, et iga vastuvõetud vektorit on väga soovitav kontrollida - see ei võta nii palju aega, kuid säästab vigade eest sada protsenti.

Väärtuste kolmiku eest leida vektor

Ja lõpuks kolmik saame kolmanda vektori:

Vastus: , kus

Need, kes soovivad vältida murdosa väärtusi, võivad kaaluda kolmikuid ja saate vastuse samaväärsel kujul:

Rääkides murdosadest. Vaatame ülesandes saadud maatriksit ja esitage küsimus - kas edasist lahendust on võimalik lihtsustada? Siin väljendasime ju esmalt põhimuutujat murdudena, seejärel põhimuutujat murdudena ja pean ütlema, et see protsess ei olnud just kõige lihtsam ega ka kõige meeldivam.

Teine lahendus:

Mõte on proovida vali muud põhimuutujad. Vaatame maatriksit ja märkame kolmandas veerus kahte. Miks siis mitte saada tippu null? Teeme veel ühe elementaarse teisenduse:

Saate tellida oma probleemile üksikasjaliku lahenduse !!!

Et mõista, mis on põhimõtteline otsustussüsteem saate vaadata sama näite videoõpetust, klõpsates . Liigume nüüd kõigi vajalike tööde kirjelduse juurde. See aitab teil selle probleemi olemust üksikasjalikumalt mõista.

Kuidas leida lineaarvõrrandi põhilahenduste süsteem?

Võtke näiteks järgmine lineaarvõrrandisüsteem:

Leiame sellele lineaarsele võrrandisüsteemile lahenduse. Alustuseks me kirjuta üles süsteemi koefitsientmaatriks.

Teisendame selle maatriksi kolmnurkseks. Esimese rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on $a_(11)$ all, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(21)$ asemele tuleb lahutada esimene teisest realt ja kirjutada erinevus teisele reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemele tuleb lahutada esimene kolmandast reast ja kirjutada erinevus kolmandasse ritta. Nulli tegemiseks elemendi $a_(41)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada esimene korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemel lahutage viiendast realt esimene korrutatud 2-ga ja kirjutage erinevus viiendale reale.

Esimese ja teise rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on $a_(22)$ all, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(32)$ asemele tuleb kolmandast reast lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada vahe kolmandasse ritta. Nulli tegemiseks elemendi $a_(42)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(52)$ asemel lahutage viiendast realt teine ​​korrutatud 3-ga ja kirjutage erinevus viiendale reale.

Me näeme seda kolm viimast rida on samad, nii et kui lahutate neljandast ja viiendast kolmanda, muutuvad need nulliks.

Selle maatriksi jaoks kirjutage üles uus võrrandisüsteem.

Näeme, et meil on ainult kolm lineaarselt sõltumatut võrrandit ja viis tundmatut, seega koosneb põhilahenduste süsteem kahest vektorist. Nii et meie liigutage kaks viimast tundmatut paremale.

Nüüd hakkame väljendama neid tundmatuid, mis on vasakul küljel, nende kaudu, mis on paremal pool. Alustame viimasest võrrandist, kõigepealt väljendame $x_3$, seejärel asendame saadud tulemuse teise võrrandiga ja väljendame $x_2$ ning seejärel esimese võrrandiga ja siin väljendame $x_1$. Seega väljendasime kõiki vasakul pool olevaid tundmatuid paremal pool asuvate tundmatute kaudu.

Pärast seda saate $x_4$ ja $x_5$ asemel asendada mis tahes numbrid ja leida $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Iga selline viis numbrit on meie algse võrrandisüsteemi juured. Sellesse kaasatud vektorite leidmiseks FSR peame asendama $x_4$ asemel 1 ja $x_5$ asemel 0, leidma $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ ning siis vastupidi $x_4=0$ ja $x_5=1$.