MÄÄRATLUS

Kompleksarvu algebraline vorm on kirjutada kompleksarv \(\ z \) kujul \(\ z=x+i y \), kus \(\ x \) ja \(\ y \) on reaalarvud, \ (\ i \ ) on kujuteldav ühik, mis rahuldab seost \(\ i^(2)=-1 \)

Arvu \(\ x \) nimetatakse kompleksarvu \(\ z \) reaalosaks ja seda tähistatakse \(\ x=\operaatorinimi(Re) z \)

Arvu \(\ y \) nimetatakse kompleksarvu \(\ z \) imaginaarseks osaks ja seda tähistatakse \(\ y=\operaatorinimi(Im) z \)

Näiteks:

Kompleksarv \(\ z=3-2 i \) ja sellega seotud arv \(\ \overline(z)=3+2 i \) on kirjutatud algebralisel kujul.

Imaginaarväärtus \(\ z=5 i \) kirjutatakse algebralises vormis.

Lisaks saate olenevalt lahendatavast probleemist teisendada kompleksarvu trigonomeetriliseks või eksponentsiaalarvuks.

Ülesanne

Kirjutage arv \(\ z=\frac(7-i)(4)+13 \) algebralisel kujul, leidke selle reaal- ja kujuteldavad osad ning konjugaatarv.

Lahendus.

Rakendades terminit murdude jagamine ja murdude liitmise reeglit, saame:

\(\ z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1) (4) i \)

Seetõttu on kompleksarvu \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) reaalosa arv \(\ x=\operaatorinimi(Re) z= \frac(59) (4) \) , imaginaarne osa on arv \(\ y=\operaatorinimi(Im) z=-\frac(1)(4) \)

Konjugeeritud arv: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Vastus

\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operaatorinimi(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operaatorinimi(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)

Kompleksarvude tegevused algebraliste vormide võrdluses

Kaks kompleksarvu \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) on võrdsed, kui \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1)= y_ (2) \) st. Nende tegelik ja kujuteldav osa on võrdsed.

Ülesanne

Määrake, milliste x ja y puhul on kaks kompleksarvu \(\ z_(1)=13+y i \) ja \(\ z_(2)=x+5 i \) võrdsed.

Lahendus

Definitsiooni järgi on kaks kompleksarvu võrdsed, kui nende reaal- ja mõtteline osa on võrdsed, s.t. \(\ x=13 \), \(\ y=5 \).

Vastus \(\ x=13 \), \(\ y=5 \)

lisamine

Kompleksarvude \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) liitmine toimub tegeliku ja imaginaarse osa otsese liitmise teel:

\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\left(y_(1)+y_(2)\right)\)

Ülesanne

Leidke kompleksarvude summa \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)

Lahendus.

Kompleksarvu \(\ z_(1)=-7+5 i \) reaalosa on arv \(\ x_(1)=\operaatorinimi(Re) z_(1)=-7 \) , imaginaar osa on arv \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Kompleksarvu \(\ z_(2)=13-4 i \) reaal- ja kujuteldavad osad on \(\ x_(2)=\operaatorinimi(Re) z_(2)=13 \) ja \(\ y_ (2 )=\operaatorinimi(Im) z_(2)=-4 \) .

Seetõttu on kompleksarvude summa:

\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i\)

Vastus

\(\z_(1)+z_(2)=6+i \)

Lisateavet kompleksarvude lisamise kohta leiate eraldi artiklist: Kompleksarvude lisamine.

Lahutamine

Kompleksarvude \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ja \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) lahutamine toimub otse tegelike ja kujuteldavate osade lahutamine:

\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right )\)

Ülesanne

leidke kompleksarvude erinevus \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)

Lahendus.

Leidke kompleksarvude \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) reaal- ja imaginaarne osa:

\(\ x_(1)=\operaatorinimi(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operaatorinimi(Re) z_(2)=15 \)

\(\ y_(1)=\operaatorinimi(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operaatorinimi(Im) z_(2)=5 \)

Seega on kompleksarvude erinevus järgmine:

\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15) )+i(-35-5)=2-40 i \)

Vastus

\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) korrutamine

Kompleksarvude \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ja \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) korrutamine toimub otse arvude genereerimine algebralisel kujul, võttes arvesse imaginaarühiku omadust \(\ i^(2)=-1 \) :

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)= \)

\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\right) \)

Ülesanne

Leidke kompleksarvude korrutis \(\ z_(1)=1-5 i \)

Lahendus.

Kompleksarvude kompleks:

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i \)

Vastus

\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) poolitus

Kompleksarvutegur \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) ja \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) määratakse, korrutades lugeja ja nimetaja konjugeeritud arvule nimetajaga:

\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)

Ülesanne

Arvu 1 jagamiseks kompleksarvuga \(\ z=1+2 i \).

Lahendus.

Kuna reaalarvu 1 kujuteldav osa on null, on tegur:

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Vastus

\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)

Kompleksarvud on reaalarvude hulga laiendus, mida tavaliselt tähistatakse . Iga kompleksarvu saab esitada formaalse summana, kus ja on reaalarvud, on kujuteldav ühik.

Kompleksarvu kirjutamist kujul , nimetatakse kompleksarvu algebraliseks vormiks.

Kompleksarvude omadused. Kompleksarvu geomeetriline tõlgendamine.

Toimingud algebralisel kujul antud kompleksarvudele:

Mõelge reeglitele, mille järgi tehakse kompleksarvudega aritmeetilisi tehteid.

Kui on antud kaks kompleksarvu α = a + bi ja β = c + di, siis

α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,

α - β \u003d (a + bi) - (c + di) \u003d (a - c) + (b - d)i. (üksteist)

See tuleneb kahe järjestatud reaalarvude paari liitmise ja lahutamise tehte definitsioonist (vt valemid (1) ja (3)). Oleme saanud kompleksarvude liitmise ja lahutamise reeglid: kahe kompleksarvu liitmiseks tuleb eraldi liita nende reaalosad ja vastavalt ka imaginaarosad; ühest kompleksarvust teise lahutamiseks on vaja lahutada vastavalt nende reaal- ja imaginaarosa.

Arvu - α \u003d - a - bi nimetatakse arvu α \u003d a + bi vastandiks. Nende kahe arvu summa on null: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b) i = 0.

Kompleksarvude korrutusreegli saamiseks kasutame valemit (6), st asjaolu, et i2 = -1. Seda suhet arvesse võttes leiame (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, s.o.

(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)

See valem vastab valemile (2), mis määratles reaalarvude järjestatud paaride korrutamise.

Pange tähele, et kahe kompleksse konjugeeritud arvu summa ja korrutis on reaalarvud. Tõepoolest, kui α = a + bi, = a – bi, siis α = (a + bi)(a - bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2, α + = (a + bi) + (a - bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, s.o.

α + = 2a, α = a2 + b2. (13)

Kahe kompleksarvu algebralisel kujul jagamisel tuleks eeldada, et jagatis on väljendatud ka sama tüüpi arvuga, st α/β = u + vi, kus u, v R. Tuletame kompleksi jagamise reegli numbrid. Olgu arvud α = a + bi, β = c + di ja β ≠ ​​0, st c2 + d2 ≠ 0. Viimane võrratus tähendab, et c ja d ei kao korraga (juhul kui c = 0, d = 0). Rakendades valemit (12) ja teist võrdsust (13), leiame:

Seetõttu saadakse kahe kompleksarvu jagatis:

vastav valem (4).

Kasutades saadud valemit arvule β = c + di, saate leida selle pöördarvu β-1 = 1/β. Eeldades, et valemis (14) a = 1, b = 0, saame

See valem määrab antud nullist erineva kompleksarvu pöördarvu; ka see arv on keeruline.

Näiteks: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;

(6 + 5i) - (3 + 8i) = 3 - 3i;

(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;

Kompleksarvude toimingud algebralisel kujul.

55. Kompleksarvu argument. Kompleksarvu kirjutamise trigonomeetriline vorm (väljund).

Arg.comm.number. – tegeliku X-telje positiivse suuna vahel antud arvu esindava vektori abil.

trigon valem. Numbrid: ,

Keerulised numbrid

Kujutletav ja kompleksarvud. Abstsiss ja ordinaat

kompleksarv. Kompleksarvude konjugeerimine.

Tehted kompleksarvudega. Geomeetriline

kompleksarvude esitus. keeruline lennuk.

Kompleksarvu moodul ja argument. trigonomeetriline

kompleksarvu vorm. Operatsioonid kompleksiga

numbrid trigonomeetrilisel kujul. Moivre'i valem.

Põhiteave selle kohta kujuteldav ja kompleksarvud on toodud jaotises "Imaginaar- ja kompleksarvud". Vajadus nende uut tüüpi numbrite järele ilmnes juhtumi ruutvõrrandite lahendamiselD< 0 (здесь Don ruutvõrrandi diskriminant). Pikka aega ei leidnud need numbrid füüsilist kasutust, mistõttu hakati neid nimetama "imaginaarseteks" numbriteks. Nüüd aga kasutatakse neid väga laialdaselt erinevates füüsikavaldkondades.

ja tehnoloogia: elektrotehnika, hüdro- ja aerodünaamika, elastsuse teooria jne.

Keerulised numbrid on kirjutatud järgmiselt:a+bi. Siin a ja b – reaalarvud , a i – kujuteldav ühik. e. i 2 = –1. Number a helistas abstsiss, a b - ordinaatkompleksarva + b.Kaks kompleksarvua+bi ja a-bi helistas konjugaat kompleksarvud.

Peamised kokkulepped:

1. Reaalarvasaab kirjutada ka vormiskompleksarv:+ 0 i või a - 0 i. Näiteks kirjed 5 + 0i ja 5-0 itähendavad sama numbrit 5 .

2. Kompleksarv 0 + bihelistas puhtalt väljamõeldud number. Salvestaminebitähendab sama mis 0 + bi.

3. Kaks kompleksarvua+bi jac + diloetakse võrdseks, kuia = c ja b = d. Muidu kompleksarvud ei ole võrdsed.

Lisand. Kompleksarvude summaa+bi ja c + dinimetatakse kompleksarvuks (a+c ) + (b+d ) mina .Sellel viisil, kui lisada kompleksarvud, nende abstsissid ja ordinaadid liidetakse eraldi.

See määratlus järgib tavaliste polünoomide käsitlemise reegleid.

Lahutamine. Kahe kompleksarvu erinevusa+bi(vähendatud) ja c + di(lahutatud) nimetatakse kompleksarvuks (a-c ) + (b-d ) mina .

Sellel viisil, kahe kompleksarvu lahutamisel lahutatakse nende abstsissid ja ordinaadid eraldi.

Korrutamine. Kompleksarvude korrutisa+bi ja c + di nimetatakse kompleksarvuks.

(ac-bd ) + (ad+bc ) mina .See määratlus tuleneb kahest nõudest:

1) numbrid a+bi ja c + dipeaks korrutama nagu algebraline binoomid,

2) number iomab peamist omadust:i 2 = – 1.

NÄIDE ( a + bi )(a-bi) = a 2 +b 2 . Järelikult tööd

kaks konjugeeritud kompleksarvu on võrdne reaalarvuga

positiivne arv.

Jaoskond. Jagage kompleksarva+bi (jagatav) teiselec + di(jagaja) - tähendab kolmanda numbri leidmiste + fi(vestlus), mis korrutatuna jagajagac + di, mille tulemuseks on dividenda + b.

Kui jagaja ei ole null, on jagamine alati võimalik.

NÄIDE Otsi (8+i ) : (2 – 3 i) .

Lahendus. Kirjutame selle suhte ümber murruna:

Selle lugeja ja nimetaja korrutamine 2 + 3-gai

Ja pärast kõigi teisenduste sooritamist saame:

Kompleksarvude geomeetriline esitus. Reaalarvud on esitatud arvureal olevate punktidega:

Siin on mõte Atähendab numbrit -3, punktB on number 2 ja O- null. Seevastu kompleksarvud on esindatud koordinaattasandi punktidega. Selleks valime ristkülikukujulised (Cartesiuse) koordinaadid, millel on mõlemal teljel sama skaala. Siis kompleksarva+bi tähistatakse punktiga P koos abstsissiga a ja ordinaat b (vt joonis). Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse keeruline lennuk .

moodul kompleksarvu nimetatakse vektori pikkuseksOP, mis kujutab kompleksarvu koordinaadil ( integreeritud) lennuk. Kompleksarvu moodula+bi tähistatud | a+bi| või kiri r

Vaatleme ruutvõrrandit.

Määratleme selle juured.

Pole olemas reaalarvu, mille ruut on -1. Aga kui valem defineerib operaatori i kujuteldava ühikuna, siis saab selle võrrandi lahendi kirjutada kujule . Kus ja - kompleksarvud, milles -1 on reaalosa, 2 või teisel juhul -2 on imaginaarne osa. Imaginaarne osa on ka reaalne (reaal)arv. Mõtteline osa korrutatuna imaginaarse ühikuga tähendab juba kujuteldav arv.

Üldiselt on kompleksarvul vorm

z = x + iy ,

kus x, y on reaalarvud, on kujuteldav ühik. Paljudes rakendusteadustes, näiteks elektrotehnikas, elektroonikas, signaaliteoorias, tähistatakse imaginaarset ühikut j. Reaalarvud x = Re(z) ja y=im(z) helistas tegelikud ja kujuteldavad osad numbrid z. Väljendit nimetatakse algebraline vorm kompleksarvu tähistus.

Iga reaalarv on vormis oleva kompleksarvu erijuht . Imaginaararv on ka kompleksarvu erijuht. .

Kompleksarvude hulga C definitsioon

See avaldis kõlab järgmiselt: set FROM, mis koosneb sellistest elementidest, et x ja y kuuluvad reaalarvude hulka R ja on kujuteldav ühik. Pange tähele, et jne.

Kaks kompleksarvu ja on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende tegelik ja mõtteline osa on võrdsed, s.t. ja .

Keerulisi numbreid ja funktsioone kasutatakse laialdaselt teaduses ja tehnoloogias, eelkõige mehaanikas, vahelduvvooluahelate analüüsis ja arvutamises, analoogelektroonikas, signaaliteoorias ja -töötluses, automaatjuhtimise teoorias ja teistes rakendusteadustes.

1. Kompleksarvude aritmeetika

Kahe kompleksarvu liitmine seisneb nende reaal- ja imaginaarsete osade liitmises, s.o.

Vastavalt sellele kahe kompleksarvu erinevus

Kompleksnumber helistas keeruline konjugaat number z=x +i.y.

Komplekskonjugaatarvud z ja z * erinevad imaginaarse osa märkide poolest. See on ilmne

.

Mis tahes võrdsus keeruliste avaldiste vahel jääb kehtima, kui selles võrdsuses on kõikjal i asendatud - i, st. minge konjugeeritud arvude võrdusse. Numbrid i ja – i on algebraliselt eristamatud, sest .

Kahe kompleksarvu korrutise (korrutise) saab arvutada järgmiselt:

Kahe kompleksarvu jagamine:

Näide:

1. Keeruline tasapind

Kompleksarvu saab graafiliselt esitada ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Seadistage tasapinnal ristkülikukujuline koordinaatsüsteem (x, y).

teljel Ox me korraldame pärisosad x, seda nimetatakse tegelik (päris) telg, teljel Oy– mõttelised osad y kompleksarvud. Ta kannab nime kujuteldav telg. Veelgi enam, iga kompleksarv vastab teatud tasandi punktile ja sellist tasapinda nimetatakse keeruline lennuk. Punkt AGA komplekstasand vastab vektorile OA.

Number x helistas abstsiss kompleksarv, arv y – ordinaat.

Komplekssete konjugeeritud numbrite paar kuvatakse punktidena, mis paiknevad sümmeetriliselt reaaltelje ümber.

Kui lennukis seatud polaarkoordinaatide süsteem, siis iga kompleksarv z määratud polaarkoordinaatidega. Kus moodul numbrid on punkti polaarraadius ja nurk - selle polaarnurk või kompleksarvu argument z.

Kompleksarvu moodul alati mittenegatiivne. Kompleksarvu argument ei ole üheselt määratletud. Argumendi põhiväärtus peab tingimusele vastama . Komplekstasandi iga punkt vastab ka argumendi koguväärtusele. Argumente, mis erinevad 2π kordselt, loetakse võrdseteks. Arvu argument null ei ole määratletud.

Argumendi põhiväärtuse määravad avaldised:

See on ilmne

Kus
, .

Kompleksarvude esitus z nagu

helistas trigonomeetriline vorm kompleksarv.

Näide.

1. Kompleksarvude eksponentsiaalne vorm

Lagunemine sisse Maclaurin seeria tõeliste argumentide funktsioonide jaoks tundub, et:

Keerulise argumendi eksponentsiaalfunktsiooni jaoks z lagunemine on sarnane

.

Kujutatava argumendi eksponentsiaalfunktsiooni Maclaurini rea laiendust saab esitada kui

Saadud identiteeti nimetatakse Euleri valem.

Negatiivse argumendi puhul tundub

Neid avaldisi kombineerides saame siinuse ja koosinuse jaoks defineerida järgmised avaldised

.

Kasutades Euleri valemit, kompleksarvude esituse trigonomeetrilisest vormist

saadaval demonstratiivne kompleksarvu (eksponentsiaalne, polaarne) vorm, s.o. selle esitus kujul

,

kus - ristkülikukujuliste koordinaatidega punkti polaarkoordinaadid ( x,y).

Kompleksarvu konjugaat kirjutatakse eksponentsiaalsel kujul järgmiselt.

Eksponentvormi jaoks on lihtne määratleda järgmised kompleksarvude korrutamise ja jagamise valemid

See tähendab, et eksponentsiaalsel kujul on kompleksarvude korrutis ja jagamine lihtsam kui algebralisel kujul. Korrutamisel korrutatakse tegurite moodulid ja argumendid liidetakse. See reegel kehtib paljude tegurite kohta. Eelkõige kompleksarvu korrutamisel z peal i vektor z pöörleb vastupäeva 90 võrra

Jagamisel jagatakse lugeja moodul nimetaja mooduliga ja nimetaja argument lahutatakse lugeja argumendist.

Kompleksarvude eksponentsiaalset vormi kasutades on võimalik saada avaldised tuntud trigonomeetriliste identiteetide jaoks. Näiteks identiteedist

kasutades Euleri valemit, saame kirjutada

Võrdsustades selles avaldises tegeliku ja imaginaarse osa, saame avaldised nurkade summa koosinuse ja siinuse jaoks

1. Kompleksarvude astmed, juured ja logaritmid

Kompleksarvu tõstmine loomuliku astmeni n toodetud vastavalt valemile

Näide. Arvuta .

Kujutage ette numbrit trigonomeetrilisel kujul

’

Astendamisvalemit rakendades saame

Väärtuse panemine avaldisesse r= 1, saame nn De Moivre'i valem, mille abil saate määrata mitme nurga siinuste ja koosinuste avaldisi.

Juur n kompleksarvu astmes z Sellel on n väljendiga määratud erinevad väärtused

Näide. Otsime üles.

Selleks väljendame kompleksarvu () trigonomeetrilisel kujul

.

Kompleksarvu juure arvutamise valemi järgi saame

Kompleksarvu logaritm z on arv w, milleks . Kompleksarvu naturaallogaritmil on lõpmatu arv väärtusi ja see arvutatakse valemiga

Koosneb reaalsest (koosinus) ja imaginaarsest (siinus) osast. Sellist pinget saab esitada pikkuse vektorina U m, algfaas (nurk), pöörleb nurkkiirusega ω .

Veelgi enam, kui liita keerukad funktsioonid, siis liidetakse nende tegelikud ja mõttelised osad. Kui kompleksfunktsiooni korrutada konstandi või reaalfunktsiooniga, siis selle reaal- ja imaginaarne osa korrutatakse sama teguriga. Sellise keeruka funktsiooni diferentseerimine/integreerimine taandub tegelike ja kujuteldavate osade eristamisele/integreerimisele.

Näiteks kompleksse stressiavaldise diferentseerimine

on see korrutada iω on funktsiooni f(z) ja reaalosa on funktsiooni kujuteldav osa. Näited: .

Tähendus z on esindatud kompleksse z-tasandi punktiga ja vastava väärtusega w- punkt komplekstasandil w. Kui kuvatakse w = f(z) tasapinnalised jooned z lähevad lennuki joontesse w, ühe tasapinna kujundeid teise tasandi kujunditeks, kuid joonte või kujundite kuju võib oluliselt muutuda.