Kuidas arvutada vektori koordinaate. Mannekeenide vektorid

Lõpuks sain käed laiaulatuslikule ja kauaoodatud teemale analüütiline geomeetria. Esiteks natuke sellest kõrgema matemaatika osast…. Kindlasti meenus teile nüüd kooli geomeetriakursus koos arvukate teoreemide, nende tõestuste, jooniste jms. Mis seal salata, olulise osa õpilaste jaoks armastamatu ja sageli hämar teema. Kummalisel kombel võib analüütiline geomeetria tunduda huvitavam ja ligipääsetavam. Mida tähendab omadussõna "analüütiline"? Kohe meenuvad kaks tembeldatud matemaatilist pööret: “graafiline lahendusmeetod” ja “lahenduse analüütiline meetod”. Graafiline meetod, on muidugi seotud graafikute, jooniste konstrueerimisega. Analüütiline sama meetod hõlmab probleemide lahendamist valdavalt algebraliste operatsioonide kaudu. Sellega seoses on peaaegu kõigi analüütilise geomeetria probleemide lahendamise algoritm lihtne ja läbipaistev, sageli piisab vajalike valemite täpsest rakendamisest - ja vastus on valmis! Ei, loomulikult ei saa see ilma joonisteta üldse läbi, pealegi proovin materjali paremaks mõistmiseks tuua neid üle vajaduse.

Geomeetria tundide avatud kursus ei pretendeeri teoreetilisele terviklikkusele, see on keskendunud praktiliste ülesannete lahendamisele. Kaasan oma loengutesse ainult seda, mis minu seisukohast on praktilises mõttes oluline. Kui vajate mõne alajao kohta täielikumat viidet, soovitan järgmist üsna juurdepääsetavat kirjandust:

1) Asi, mis pole nali, on tuttav mitmele põlvkonnale: Geomeetria kooliõpik, autorid - L.S. Atanasyan ja ettevõte. See kooli riietusruumi riidepuu on vastu pidanud juba 20 (!) kordusväljaannet, mis muidugi pole piir.

2) Geomeetria 2 köites. Autorid L.S. Atanasjan, Bazylev V.T.. See on kõrghariduse jaoks mõeldud kirjandus, mida vajate esimene köide. Harva esinevad ülesanded võivad minu vaateväljast välja kukkuda ja õpetus on hindamatuks abiks.

Mõlemad raamatud on Internetist tasuta allalaaditavad. Lisaks saad kasutada minu arhiivi koos valmislahendustega, mille leiab lehelt Laadige alla kõrgema matemaatika näited.

Tööriistadest pakun jällegi enda arengut - tarkvarapakett analüütilise geomeetria kohta, mis lihtsustab oluliselt elu ja säästab palju aega.

Eeldatakse, et lugeja tunneb põhilisi geomeetrilisi mõisteid ja kujundeid: punkt, sirge, tasapind, kolmnurk, rööpkülik, rööptahukas, kuup jne. Soovitav on meeles pidada mõnda teoreemi, vähemalt Pythagorase teoreemi, tere kordajad)

Ja nüüd käsitleme järjestikku: vektori mõistet, toiminguid vektoritega, vektori koordinaate. Lisaks soovitan lugeda kõige olulisem artikkel Vektorite punktkorrutis, sama hästi kui Vektor ja vektorite segakorrutis. Kohalik ülesanne ei ole üleliigne - Segmendi jagamine selles osas. Ülaltoodud teabe põhjal saate tasapinna sirgjoone võrrand Koos lihtsamaid näiteid lahendustest, mis võimaldab õppida lahendama geomeetria ülesandeid. Abiks on ka järgmised artiklid: Tasapinna võrrand ruumis, Ruumi sirgjoone võrrandid, Põhiülesanded sirgel ja tasapinnal , muud analüütilise geomeetria lõigud. Loomulikult arvestatakse ka tavaülesannetega.

Vektori mõiste. vaba vektor

Kõigepealt kordame vektori koolimääratlust. Vektor helistas suunatud segment, mille algus ja lõpp on märgitud:

Sel juhul on lõigu algus punkt , lõigu lõpp punkt . Vektorit ennast tähistatakse . Suund on oluline, kui paigutate noole ümber segmendi teise otsa, saate vektori ja see on juba täiesti erinev vektor. Vektori mõistet on mugav samastada füüsilise keha liikumisega: tuleb tunnistada, et instituudi ustest sisenemine või instituudi ustest väljumine on täiesti erinevad asjad.

Tasapinna üksikuid punkte on mugav käsitleda, ruumi nn nullvektor. Sellisel vektoril on sama lõpp ja algus.

!!! Märge: Siin ja allpool võib eeldada, et vektorid asuvad samal tasapinnal või võib eeldada, et need asuvad ruumis – esitatava materjali olemus kehtib nii tasapinna kui ruumi kohta.

Nimetused: Paljud juhtisid kohe tähelepanu pulgale, mille tähistuses ei olnud noolt, ja ütlesid, et nad panid ka noole otsa! Täpselt nii, noolega võib kirjutada: , aga lubatav ja salvestus, mida kasutan hiljem. Miks? Ilmselt on selline harjumus välja kujunenud praktilistest kaalutlustest, minu tulistajad koolis ja ülikoolis osutusid liiga mitmekülgseteks ja karvalisteks. Õppekirjanduses ei vaevata mõnikord kiilkirjaga üldse vaeva, vaid tõstetakse esile paksus kirjas tähed: , andes sellega mõista, et tegemist on vektoriga.

See oli stiil ja nüüd vektorite kirjutamise viisidest:

1) Vektoreid saab kirjutada kahe suure ladina tähega:
ja nii edasi. Kuigi esimene täht tingimata tähistab vektori alguspunkti ja teine ​​täht tähistab vektori lõpp-punkti.

2) Vektorid kirjutatakse ka väikeste ladina tähtedega:
Eelkõige saab meie vektori lühiduse huvides ümber nimetada väikese ladina tähega .

Pikkus või moodul nullist erinevat vektorit nimetatakse lõigu pikkuseks. Nullvektori pikkus on null. Loogiliselt.

Vektori pikkust tähistatakse mooduli märgiga: ,

Kuidas vektori pikkust leida, õpime (või kordame, kellele kuidas) veidi hiljem.

See oli elementaarne teave vektori kohta, mis oli kõigile koolilastele tuttav. Analüütilises geomeetrias nn vaba vektor.

Kui see on üsna lihtne - vektorit saab tõmmata mis tahes punktist:

Varem nimetasime selliseid vektoreid võrdseteks (võrdsete vektorite definitsioon antakse allpool), kuid puhtalt matemaatilisest vaatenurgast on see SAMA VEKTOR või vaba vektor. Miks tasuta? Sest ülesannete lahendamise käigus saad “kinnitada” ühe või teise “kooli” vektori IGASLE vajalikule tasapinna või ruumi punktile. See on väga lahe kinnisvara! Kujutage ette suvalise pikkuse ja suunaga suunatud segmenti – seda saab "kloonida" lõpmatu arv kordi ja suvalises ruumipunktis, tegelikult on see KÕIKJAL olemas. On selline üliõpilase vanasõna: Iga lektor f ** u vektoris. Lõppude lõpuks pole see lihtsalt vaimukas riim, kõik on peaaegu õige - sinna saab kinnitada ka suunatud segmendi. Kuid ärge kiirustage rõõmustama, õpilased ise kannatavad sagedamini =)

Niisiis, vaba vektor- see on palju identsed suunalised segmendid. Lõigu alguses antud vektori koolimääratlus: "Suunatud segmenti nimetatakse vektoriks ..." tähendab spetsiifiline etteantud hulgast võetud suunatud lõik, mis kinnitub teatud punktile tasapinnas või ruumis.

Tuleb märkida, et füüsika seisukohalt on vaba vektori mõiste üldiselt vale ja rakenduspunkt loeb. Tõepoolest, minu rumala näite arendamiseks piisab sama jõu otsesest löögist nina või otsaesisele, ja sellel on erinevad tagajärjed. Kuid, mitte vaba vektoreid leidub ka vyshmati käigus (ära mine sinna :)).

Tegevused vektoritega. Vektorite kollineaarsus

Kooli geomeetria kursusel võetakse arvesse mitmeid vektoritega toiminguid ja reegleid: liitmine kolmnurga reegli järgi, liitmine rööpkülikureegli järgi, vektorite erinevuse reegel, vektori korrutamine arvuga, vektorite skalaarkorrutis jne. Seemnena kordame kahte reeglit, mis on eriti olulised analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel.

Vektorite liitmise reegel kolmnurkade reegli järgi

Vaatleme kahte suvalist nullist erinevat vektorit ja :

On vaja leida nende vektorite summa. Tulenevalt asjaolust, et kõiki vektoreid peetakse vabaks, lükkame vektori edasi lõpp vektor:

Vektorite summa on vektor . Reegli paremaks mõistmiseks on soovitatav lisada sellele füüsiline tähendus: lasta mõnel kehal teha rada mööda vektorit ja seejärel mööda vektorit . Siis vektorite summa on saadud tee vektor, mis algab lähtepunktist ja lõpeb saabumispunktis. Sarnane reegel on sõnastatud suvalise arvu vektorite summa kohta. Nagu öeldakse, võib keha minna oma teed tugevalt siksakiliselt või võib-olla autopiloodil - mööda saadud summavektorit.

Muide, kui vektor lükatakse edasi alustada vektor , siis saame ekvivalendi rööpküliku reegel vektorite liitmine.

Esiteks vektorite kollineaarsuse kohta. Neid kahte vektorit nimetatakse kollineaarne kui need asuvad samal joonel või paralleelsetel joontel. Jämedalt öeldes räägime paralleelvektoritest. Kuid nendega seoses kasutatakse alati omadussõna "kollineaarne".

Kujutage ette kahte kollineaarset vektorit. Kui nende vektorite nooled on suunatud samas suunas, siis nimetatakse selliseid vektoreid kaassuunaline. Kui nooled vaatavad eri suundades, siis vektorid on vastupidiselt suunatud.

Nimetused: vektorite kollineaarsus kirjutatakse tavalise paralleelsuse ikooniga: , samas kui detailimine on võimalik: (vektorid on kaassuunatud) või (vektorid on suunatud vastupidi).

tööd nullist erineva vektori arvu järgi on vektor, mille pikkus on võrdne , ja vektorid ja on kaassuunatud ja vastupidiselt suunatud .

Vektori arvuga korrutamise reeglit on pildiga lihtsam mõista:

Mõistame üksikasjalikumalt:

1) Suund. Kui kordaja on negatiivne, siis vektor muudab suunda vastupidisele.

2) Pikkus. Kui tegur sisaldub või , siis vektori pikkus väheneb. Seega on vektori pikkus kaks korda väiksem kui vektori pikkus. Kui mooduli kordaja on suurem kui üks, siis vektori pikkus suurenebõigel ajal.

3) Pange tähele kõik vektorid on kollineaarsed, samas kui ühte vektorit väljendatakse teise kaudu, näiteks . Tõsi on ka vastupidine: kui ühte vektorit saab väljendada teisega, siis on sellised vektorid tingimata kollineaarsed. Sellel viisil: kui korrutame vektori arvuga, saame kollineaarseks(originaal suhtes) vektor.

4) Vektorid on kaassuunalised. Vektorid ja on samuti kaassuunalised. Iga esimese rühma vektor on vastupidine teise rühma mis tahes vektorile.

Millised vektorid on võrdsed?

Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on samasuunalised ja on sama pikkusega. Pange tähele, et kaassuund tähendab, et vektorid on kollineaarsed. Määratlus on ebatäpne (ülearune), kui ütlete: "Kaks vektorit on võrdsed, kui nad on kollineaarsed, ühiselt suunatud ja on sama pikkusega."

Vaba vektori kontseptsiooni seisukohalt on võrdsed vektorid sama vektor, millest oli juttu juba eelmises lõigus.

Vektori koordinaadid tasapinnal ja ruumis

Esimene punkt on vaadelda vektoreid tasapinnal. Joonistage Descartes'i ristkülikukujuline koordinaatsüsteem ja jätke lähtepunktist kõrvale vallaline vektorid ja:

Vektorid ja ortogonaalne. Ortogonaalne = risti. Soovitan terminitega aeglaselt harjuda: paralleelsuse ja perpendikulaarsuse asemel kasutame vastavalt sõnu kollineaarsus ja ortogonaalsus.

Määramine: vektorite ortogonaalsus kirjutatakse tavalise ristimärgiga, näiteks: .

Vaadeldavaid vektoreid nimetatakse koordinaatvektorid või orts. Need vektorid moodustuvad alus pinnal. Mis on aluseks, on minu arvates paljudele intuitiivselt selge, üksikasjalikumat teavet leiate artiklist Vektorite lineaarne (mitte)sõltuvus. Vektori alus.Lihtsamalt öeldes määratlevad koordinaatide alus ja päritolu kogu süsteemi – see on omamoodi vundament, millel keeb täisväärtuslik ja rikkalik geomeetriline elu.

Mõnikord nimetatakse konstrueeritud alust ortonormaalne tasandi alus: "orto" - kuna koordinaatvektorid on ortogonaalsed, tähendab omadussõna "normaliseeritud" ühikut, s.o. baasvektorite pikkused on võrdsed ühega.

Määramine: sulgudes kirjutatakse tavaliselt alus, mille sees ranges järjekorras alusvektorid on loetletud, näiteks: . Koordinaatide vektorid see on keelatud vahetage kohad.

Ükskõik milline tasapinnaline vektor ainus viis väljendatud järgmiselt:
, kus - numbrid, mida nimetatakse vektori koordinaadid sellel alusel. Aga väljend ise helistas vektori laguneminealus .

Serveeritud õhtusöök:

Alustame tähestiku esimesest tähest: . Jooniselt on selgelt näha, et vektori aluse osas lagundamisel kasutatakse just vaadeldud:
1) vektori arvuga korrutamise reegel: ja ;
2) vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi: .

Nüüd lükake vektor vaimselt kõrvale igast teisest tasapinna punktist. On üsna ilmne, et tema korruptsioon "järeldab teda halastamatult". Siin see on, vektori vabadus – vektor "kannab kõike endaga kaasas". See omadus kehtib loomulikult iga vektori kohta. Naljakas, et baas(vabad) vektorid ise ei pea olema alguspunktist kõrvale jätnud, ühe saab joonistada näiteks all vasakule, teise aga üleval paremal ja sellest ei muutu midagi! Tõsi, te ei pea seda tegema, sest õpetaja näitab ka originaalsust ja tõmbab teile ootamatus kohas "passi".

Vektorid , illustreerivad täpselt vektori arvuga korrutamise reeglit, vektor on suunatud koos baasvektoriga , vektor on suunatud baasvektorile vastassuunas. Nende vektorite puhul on üks koordinaatidest võrdne nulliga, selle saab täpselt kirjutada järgmiselt:


Ja baasvektorid, muide, on sellised: (tegelikult väljenduvad nad iseenda kaudu).

Ja lõpuks: , . Muide, mis on vektorlahutamine ja miks ma ei rääkinud teile lahutamise reeglist? Kuskil lineaaralgebras, ma ei mäleta, kus, märkisin, et lahutamine on liitmise erijuht. Niisiis, vektorite "de" ja "e" laiendused on rahulikult kirjutatud summana: . Järgige joonist, et näha, kui hästi vana hea vektorite liitmine kolmnurga reegli järgi nendes olukordades töötab.

Arvestatud vormi lagunemine mida mõnikord nimetatakse vektori lagunemiseks süsteemis ort(ehk ühikvektorite süsteemis). Kuid see pole ainus viis vektori kirjutamiseks, tavaline on järgmine valik:

Või võrdusmärgiga:

Alusvektorid ise on kirjutatud järgmiselt: ja

See tähendab, et vektori koordinaadid on näidatud sulgudes. Praktilistes ülesannetes kasutatakse kõiki kolme salvestusvõimalust.

Kahtlesin, kas rääkida, aga ütlen siiski: vektori koordinaate ei saa ümber korraldada. Rangelt esikohal kirjuta üles koordinaat, mis vastab ühikuvektorile, rangelt teisel kohal pane kirja ühikvektorile vastav koordinaat . Tõepoolest, ja on kaks erinevat vektorit.

Leidsime lennuki koordinaadid. Nüüd kaaluge vektoreid kolmemõõtmelises ruumis, siin on kõik peaaegu sama! Lisatakse veel ainult üks koordinaat. Kolmemõõtmelisi jooniseid on raske teostada, seetõttu piirdun ühe vektoriga, mille lihtsuse huvides lükkan lähtepunktist edasi:

Ükskõik milline 3D ruumivektor ainus viis laiendada ortonormaalselt:
, kus on antud baasis vektori (arvu) koordinaadid.

Näide pildilt: . Vaatame, kuidas vektortoimingu reeglid siin töötavad. Esiteks, vektori korrutamine arvuga: (punane nool), (roheline nool) ja (magenta nool). Teiseks on siin näide mitme, antud juhul kolme vektori liitmisest: . Summavektor algab lähtepunktist (vektori algusest) ja jõuab lõpp-punkti (vektori lõppu).

Kõik kolmemõõtmelise ruumi vektorid on loomulikult ka vabad, proovige vektorit mõtteliselt edasi lükata mis tahes muust punktist ja saate aru, et selle laienemine "jääb sellega".

Sarnaselt lennuki juhtumiga, lisaks kirjutamine laialdaselt kasutatakse sulgudega versioone: kas .

Kui laienduses puudub üks (või kaks) koordinaatvektorit, siis pannakse selle asemele nullid. Näited:
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles ;
vektor (täpsemalt ) - Kirjuta üles .

Alusvektorid kirjutatakse järgmiselt:

Siin on ehk kõik minimaalsed teoreetilised teadmised, mis on vajalikud analüütilise geomeetria probleemide lahendamiseks. Võib-olla on termineid ja määratlusi liiga palju, seega soovitan mannekeenidel see teave uuesti läbi lugeda ja sellest aru saada. Ja igal lugejal on kasulik materjali paremaks assimilatsiooniks aeg-ajalt põhitunnile viidata. Kollineaarsus, ortogonaalsus, ortonormaalne alus, vektori lagunemine – neid ja teisi mõisteid kasutatakse edaspidi sageli. Märgin, et saidi materjalidest ei piisa teoreetilise testi, geomeetria kollokviumi läbimiseks, kuna kodeerin hoolikalt kõik teoreemid (peale tõenditeta) - teadusliku esitusstiili kahjuks, kuid pluss teie arusaamise jaoks teemast. Üksikasjaliku teoreetilise teabe saamiseks palun kummardada professor Atanasyani ees.

Liigume nüüd praktilise osa juurde:

Analüütilise geomeetria lihtsamad ülesanded.
Tegevused vektoritega koordinaatides

Ülesandeid, mida kaalutakse, on väga soovitav õppida, kuidas neid täielikult automaatselt lahendada, ja valemeid meelde jätta, ärge isegi meelega mäletage, nad mäletavad seda ise =) See on väga oluline, kuna muud analüütilise geomeetria probleemid põhinevad kõige lihtsamatel elementaarsetel näidetel ja etturite söömisele lisaaega kulutada on tüütu. Särgil pole vaja ülemisi nööpe kinnitada, paljud asjad on sulle koolist tuttavad.

Materjali esitlus kulgeb paralleelselt – nii tasapinna kui ruumi osas. Sel põhjusel, et kõik valemid ... näete ise.

Kuidas leida vektorit, millel on kaks punkti?

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis on vektoril järgmised koordinaadid:

See on, vektori lõpu koordinaatidest peate lahutama vastavad koordinaadid vektori algus.

Harjutus: Samade punktide jaoks kirjuta üles valemid vektori koordinaatide leidmiseks. Valemid tunni lõpus.

Näide 1

Arvestades kaks punkti lennukis ja . Leidke vektori koordinaadid

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Teise võimalusena võib kasutada järgmist tähistust:

Esteetid otsustavad järgmiselt:

Isiklikult olen harjunud plaadi esimese versiooniga.

Vastus:

Tingimuse kohaselt ei olnud vaja joonist ehitada (mis on tüüpiline analüütilise geomeetria ülesannete jaoks), kuid selleks, et mannekeenidele mõnda punkti selgitada, ei ole ma liiga laisk:

Tuleb aru saada erinevus punktikoordinaatide ja vektorkoordinaatide vahel:

Punktide koordinaadid on tavalised koordinaadid ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Ma arvan, et kõik teavad, kuidas punkte koordinaattasandil joonistada alates 5.-6. Igal punktil on lennukis range koht ja neid ei saa kuhugi teisaldada.

Sama vektori koordinaadid on selle laiendamine aluse suhtes , antud juhul . Iga vektor on vaba, seetõttu saame soovi või vajaduse korral selle hõlpsalt mõnest teisest tasandi punktist edasi lükata. Huvitav on see, et vektorite jaoks ei saa te üldse ehitada telgi, ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, vajate ainult alust, antud juhul tasapinna ortonormaalset alust.

Punktide koordinaatide ja vektorkoordinaatide kirjed tunduvad olevat sarnased: , ja koordinaatide tunnetamine absoluutselt erinev, ja peaksite sellest erinevusest hästi teadlik olema. See erinevus kehtib loomulikult ka ruumi kohta.

Daamid ja härrad, me täidame oma käed:

Näide 2

a) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
b) Punkte antakse ja . Leia vektorid ja .
c) Arvestades punkte ja . Leia vektorid ja .
d) Punkte antakse. Otsige vektoreid .

Võib-olla piisab. Need on näited iseseisvaks otsuseks, proovige neid mitte tähelepanuta jätta, see tasub end ära ;-). Jooniseid ei nõuta. Lahendused ja vastused tunni lõpus.

Mis on oluline analüütilise geomeetria ülesannete lahendamisel? Oluline on olla ERITI ETTEVAATLIK, et vältida meisterlikku “kaks pluss kaks võrdub null” viga. Vabandan juba ette, kui eksisin =)

Kuidas leida lõigu pikkust?

Pikkus, nagu juba märgitud, on näidatud mooduli märgiga.

Kui on antud kaks tasandi punkti ja, saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Kui on antud kaks punkti ruumis ja, siis saab segmendi pikkuse arvutada valemiga

Märge: Valemid jäävad õigeks, kui vahetada vastavad koordinaadid: ja , kuid esimene variant on standardsem

Näide 3

Lahendus: vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Selguse huvides teen joonise

Joonelõik – see ei ole vektor, ja te ei saa seda muidugi kuhugi liigutada. Lisaks, kui täidate joonise mõõtkavas: 1 ühik. \u003d 1 cm (kaks tetradilahtrit), siis saab vastust kontrollida tavalise joonlauaga, mõõtes otseselt segmendi pikkust.

Jah, lahendus on lühike, kuid selles on paar olulist punkti, mida tahaksin selgitada:

Esiteks määrame vastuses mõõtme: "ühikud". Seisundis pole kirjas, MIS see on, millimeetrites, sentimeetrites, meetrites või kilomeetrites. Seetõttu on üldine sõnastus matemaatiliselt pädev lahendus: "ühikud" - lühendatult "ühikud".

Teiseks kordame koolimaterjali, mis on kasulik mitte ainult käsitletava probleemi jaoks:

pööra tähelepanu oluline tehniline trikk – kordaja juure alt välja võtmine. Arvutuste tulemusena saime tulemuse ja hea matemaatiline stiil hõlmab kordaja juure alt välja võtmist (kui võimalik). Protsess näeb üksikasjalikumalt välja järgmine: . Muidugi ei tee vastuse vormile jätmine viga – aga kindlasti on see viga ja kaalukas argument õpetaja nipet-näpet.

Siin on muud levinud juhtumid:

Sageli saadakse piisavalt suur arv näiteks juure alla. Kuidas sellistel juhtudel olla? Kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub 4-ga:. Jah, jagage täielikult, nii: . Või äkki saab arvu jälle 4-ga jagada? . Sellel viisil: . Arvu viimane number on paaritu, seega pole kolmandat korda 4-ga jagamine ilmselgelt võimalik. Proovin jagada üheksaga: . Tulemusena:
Valmis.

Järeldus: kui juure alla saame täiesti mitteeraldatava arvu, siis proovime teguri juure alt välja võtta - kalkulaatoris kontrollime, kas arv jagub arvuga: 4, 9, 16, 25, 36, 49, jne.

Erinevate ülesannete lahendamise käigus leitakse sageli juured, proovige alati juure alt faktoreid välja tõmmata, et vältida väiksemat punktisummat ja tarbetuid sekeldusi oma lahenduste viimistlemisel vastavalt õpetaja märkusele.

Kordame samaaegselt juurte ja muude jõudude ruudustamist:

Üldkujul kraadidega toimingute reeglid leiate algebra kooliõpikust, kuid arvan, et kõik või peaaegu kõik on juba toodud näidetest selge.

Iseseisva lahenduse ülesanne ruumisegmendiga:

Näide 4

Antud punktid ja . Leidke lõigu pikkus.

Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Kuidas leida vektori pikkust?

Kui on antud tasapinnaline vektor, siis arvutatakse selle pikkus valemiga.

Kui ruumivektor on antud, arvutatakse selle pikkus valemiga .

Abstsissil ja ordinaattelgedel nimetatakse koordinaadid vektor. Vektori koordinaadid on tavaliselt näidatud vormis (x, y), ja vektor ise kujul: = (x, y).

Kahemõõtmeliste ülesannete vektori koordinaatide määramise valem.

Kahemõõtmelise ülesande puhul vektor, millel on teada punkti koordinaadid A(x 1; y 1) ja B(x 2 ; y 2 ) saab arvutada:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Ruumiülesannete vektori koordinaatide määramise valem.

Ruumiprobleemi korral vektor, millel on teada punkti koordinaadid A (x 1; y 1;z 1 ) ja B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) saab arvutada järgmise valemi abil:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinaadid annavad vektori põhjaliku kirjelduse, kuna koordinaatidest on võimalik konstrueerida vektor ise. Teades koordinaate, on lihtne arvutada ja vektori pikkus. (Kinnisvara 3 allpool).

Vektori koordinaatide omadused.

1. Ükskõik milline võrdsed vektoridühes koordinaatsüsteemis on võrdsed koordinaadid.

2. Koordinaadid kollineaarsed vektorid proportsionaalne. Tingimusel, et ükski vektor ei ole võrdne nulliga.

3. Iga vektori pikkuse ruut on võrdne selle ruutude summaga koordinaadid.

4.Kui operatsioon vektorkorrutised peal tegelik arv iga selle koordinaat korrutatakse selle arvuga.

5. Vektorite liitmise operatsiooni käigus arvutame vastava summa vektori koordinaadid.

6. Skalaarkorrutis Kahe vektori väärtus on võrdne nende vastavate koordinaatide korrutistega.

Vektori koordinaatide leidmine on matemaatika paljude ülesannete puhul üsna tavaline tingimus. Vektori koordinaatide leidmise oskus on abiks muudes, keerukamates sarnaste teemade probleemides. Selles artiklis käsitleme vektori koordinaatide leidmise valemit ja mitmeid ülesandeid.

Vektori koordinaatide leidmine tasapinnal

Mis on lennuk? Tasapind on kahemõõtmeline ruum, kahemõõtmeline ruum (mõõde x ja mõõde y). Näiteks paber on tasane. Laua pind on tasane. Iga mittemahuline kujund (ruut, kolmnurk, trapets) on samuti tasapind. Seega, kui ülesande tingimusel on vaja leida tasapinnal paikneva vektori koordinaadid, tuletame kohe meelde x ja y. Sellise vektori koordinaadid leiate järgmiselt: vektori AB koordinaadid = (xB - xA; yB - xA). Valemist on näha, et lõpp-punkti koordinaatidest tuleb lahutada alguspunkti koordinaadid.

Näide:

• CD vektoril on alguse (5; 6) ja lõpu (7; 8) koordinaadid.
• Leidke vektori enda koordinaadid.
• Kasutades ülaltoodud valemit, saame järgmise avaldise: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Seega CD vektori koordinaadid = (2; 2).
• Vastavalt sellele on x-koordinaat võrdne kahega, y-koordinaat on samuti kaks.

Vektori koordinaatide leidmine ruumis

Mis on ruum? Ruum on juba kolmemõõtmeline mõõde, kus on antud 3 koordinaati: x, y, z. Kui teil on vaja leida vektor, mis asub ruumis, siis valem praktiliselt ei muutu. Lisatakse ainult üks koordinaat. Vektori leidmiseks tuleb lõppkoordinaatidest lahutada alguskoordinaadid. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Näide:

• Vektoril DF on algus (2; 3; 1) ja lõpp (1; 5; 2).
• Rakendades ülaltoodud valemit, saame: Vektori koordinaadid DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Pidage meeles, et koordinaatide väärtus võib olla negatiivne, sellega pole probleemi.

Kuidas leida veebist vektorkoordinaate?

Kui te mingil põhjusel ei soovi ise koordinaate leida, võite kasutada veebikalkulaatorit. Kõigepealt vali vektori mõõde. Vektori mõõde vastutab selle mõõtmete eest. Mõõde 3 tähendab, et vektor on ruumis, mõõde 2 tähendab, et see asub tasapinnal. Järgmisena sisesta punktide koordinaadid vastavatesse väljadesse ja programm määrab ise vektori koordinaadid. Kõik on väga lihtne.

Nupule klõpsates kerib leht automaatselt alla ja annab teile õige vastuse koos lahendusetappidega.

Soovitatav on seda teemat hästi uurida, sest vektori mõistet ei leia mitte ainult matemaatikas, vaid ka füüsikas. Infotehnoloogia teaduskonna tudengid õpivad samuti vektorite teemat, kuid keerulisemal tasemel.

Analüütiline geomeetria

		Nädal	Mooduli hinne punktides
		mooduli juhtimine
			Maksimaalne		Minimaalne
1. semester
DZ nr 1, 1. osa
DZ nr 1, osa 2
Modulojuhtimine nr 1
Preemiapunktid
Modulojuhtimine nr 2
Preemiapunktid

Kontrollitegevused ja nende elluviimise ajastus 1. moodul

1. DZ nr 1 osa 1 "Vektoralgebra" Väljaandmise tähtaeg 2 nädalat, tähtaeg - 7 nädalat

2. DZ nr 1 2. osa "Jooned ja tasapinnad"

Tarneaeg 1 nädal, tarneaeg - 9 nädalat

3. Modulojuhtimine nr 1 (RK nr 1) "Vektoralgebra, sirged ja tasandid." Tähtaeg - 10 nädalat

1. DZ nr 2 "Kumerused ja pinnad 2. tellimus "Väljaandmise periood 6 nädalat, tarneaeg - 13 nädalat

5. Test "Kõverad ja pinnad 2. järjekord. Tähtaeg - 14 nädalat

6. Mooduljuht nr 2 (RK nr 2) "Lineaaralgebraliste võrrandite maatriksid ja süsteemid"

Tähtaeg - 16 nädalat

Tüüpilised ülesanded, mida kasutatakse praeguste juhtimisvõimaluste kujundamisel

1. Kodutöö number 1. "Vektoralgebra ja analüütiline geomeetria"

Antud on: punktid A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0); numbrid 30,				b1; nurk
1. Leidke vektori | pikkus		n | , kui			p aq ,	n bp q	ja p, q on ühikud

vektorid, mille vaheline nurk on võrdne.

2. Leidke vektorit AB jagava punkti M koordinaadid a :1 suhtes.

3. Kontrollige, kas see on vektorite puhul võimalik AB ja AD konstrueerivad rööpküliku. Kui jah, siis leidke rööpküliku külgede pikkused.

4. Leidke rööpküliku ABCD diagonaalide vahelised nurgad.

5. Leidke paralleelogrammi ABCD pindala.

6. Veenduge, et vektorid AB , AD , AA 1 saab ehitada rööptahuka. Leidke selle rööptahuka maht ja kõrguse pikkus.

7. Leidke vektori koordinaadid AH , mis on suunatud piki rööptahuka kõrgust ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , mis on tõmmatud punktist A alustasandini A 1 B 1 C 1 D 1 ,

punkti H koordinaadid ja ühikvektori koordinaadid, mis kattuvad suunaliselt vektoriga AH .

8. Leia vektori lagunemine AH vektoritega AB , AD , AA 1 .

9. Leidke vektori projektsioon AH vektoriks AA1.

10. Kirjutage tasandite võrrandid: a) P, mis läbib punkte A, B, D;

b) P1, mis läbib punkti A ja sirget A1 B1 ;

c) P2, mis läbib tasandiga P paralleelset punkti A1; d) P3, mis sisaldab liine AD ja AA1;

e) P4, mis läbib tasapinnaga P risti olevaid punkte A ja C1.

11. Leidke vahemaa sirgete vahel, millel asuvad servad AB ja CCüks ; kirjutada nendega risti oleva ühisosa kanoonilised ja parameetrilised võrrandid.

12. Leidke punkt A 2, mis on aluse tasandi suhtes sümmeetriline punktiga A1

13. Leidke nurk sirge vahel, millel asub diagonaal A 1 C ja alustasapind ABCD.

14. Leia teravnurk tasapindade ABC vahel 1 D (tasand P) ja ABB1 A1 (tasand P1 ).

2. Kodutöö nr 2. "Teist järku kõverad ja pinnad"

Ülesannetes 1–2 taandatakse teist järku sirge võrrand kanooniliseks vormiks ja kõver konstrueeritakse OXY koordinaatsüsteemis.

AT ülesanne 3, kasutades antud andmeid, leida kõvera võrrand OXY koordinaatsüsteemis. Ülesannete jaoks 1–3 näitavad:

1) sirgvõrrandi kanooniline vorm;

2) paralleelülekande teisendus, mis viib kanoonilise vormini;

3) ellipsi puhul: poolteljed, ekstsentrilisus, keskpunkt, tipud, fookused, kaugused punktist C fookusteni; hüperbooli puhul: poolteljed, ekstsentrilisus, tsenter, tipud, fookused, kaugused punktist C fookustesse, asümptootvõrrandid; parabooli puhul: parameeter, tipp, fookus, suunavõrrand, kaugused punktist C fookuseni ja suund;

4) punkti C puhul kontrolli antud tüüpi kõveraid iseloomustavat omadust punktide asukohana.

AT Ülesandes 4 märkige paralleeltõlketeisendus, mis taandab antud pinnavõrrandi kanooniliseks vormiks, pinnavõrrandi kanooniline vorm ja pinna tüüp. Konstrueerige pind kanoonilises koordinaatsüsteemis OXYZ.

	5x 2 a 2 20x 2 a 4, C (0;1				2) 5x 2 4a 2 20x 8a 64, C (12;14) .
		5) ;
	Parabool on sümmeetriline sirge y 1 0 suhtes, sellel on fookus							; 1 ,
	ristub punktis C OX-teljega				; 0 ja selle harud asuvad pooltasandil	x 0.
	4a 2 z 2 8a 4z 1 0 .

Mooduljuhtimine nr 1 “Vektoralgebra. Analüütiline geomeetria"

1. Vektorite parem- ja vasakkolmikud. Vektorite ristkorrutise definitsioon. Sõnasta vektorite vektorkorrutise omadused. Tuletage valem kahe vektori ristkorrutise arvutamiseks, mis on antud nende koordinaatidega ortonormaalsel alusel.

vektorid

a m n ,

m n ,

1, m, n

Võib olla,

vektori lagunemine

c 3 i

12j6k

vektorid

3 j 2 k ja b 2 i 3 j 4 k .

Kirjutage tasapinna võrrand

läbides punkte M 1 5, 1, 4,

M 2 2, 3,1 ja

tasapinnaga risti

6x 5y 4z 1 0. Seadistage kanoonilised võrrandid

sirge, mis läbib punkti M 0 0, 2,1 ja on leitud tasandiga risti.

Test "Teist järku kõverad ja pinnad"

1. Ellipsi definitsioon punktide asukohana. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamine ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis. Kõvera peamised parameetrid.

2. Pinna võrrand x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 viib kanoonilisse

meelt. Koostage joonis kanoonilises koordinaatsüsteemis. Määrake selle pinna nimi.

3. Kirjutage võrrand võrdseteljelisele hüperboolile, kui selle keskpunkt O 1 1, 1 ja üks fookustest F 1 3, 1 on teada. Tee joonistus.

Modulo kontroll nr 2 “Teist järku kurvid ja pinnad. Lineaarsete algebraliste võrrandite maatriksid ja süsteemid»

1. Homogeensed lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid (SLAE). Homogeense SLAE kirjutamise vormid. Homogeense SLAE nulllahenduste olemasolu kriteeriumi tõestus.

2. Lahendage maatriksvõrrand AX B ,

Tehke kontroll.

3. a) Lahendage SLAE. b) Leia vastava homogeense süsteemi normaalne fundamentaallahenduste süsteem, ebahomogeense süsteemi konkreetne lahendus; kirjuta nende kaudu selle ebahomogeense süsteemi üldlahendus:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Küsimused mooduli kontrollide, testide, testide ja eksamite ettevalmistamiseks

1. Geomeetrilised vektorid. Tasuta vektorid. Kollineaarsete ja koplanaarsete vektorite definitsioon. Lineaartehted vektoritega ja nende omadused.

2. Vektorite lineaarse sõltuvuse ja lineaarse sõltumatuse definitsioon. Tõendid lineaarse sõltuvuse tingimuste kohta 2 ja 3 vektorit.

3. Aluse definitsioon vektorite ruumides V1, V2, V3. Teoreemi tõestus vektori laienemise olemasolust ja kordumatusest aluse mõttes. Lineaartehted vektoritega, mis on antud nende koordinaatide alusel.

4. Vektorite skalaarkorrutise definitsioon, selle seos vektori ortogonaalprojektsiooniga teljele. Skalaarkorrutise omadused, nende tõestus. Vektorite skalaarkorrutise arvutamise valemi tuletamine ortonormaalsel alusel.

5. Ortonormaalse aluse definitsioon. Ortonormaalsel alusel oleva vektori koordinaatide ja selle aluse vektoritele suunatud ortogonaalprojektsioonide vaheline seos. Valemite tuletamine vektori pikkuse, selle suunakoosinuste, kahe vektori vahelise nurga arvutamiseks ortonormaalsel alusel.

6. Vektorite parem- ja vasakkolmikud. Vektorite ristkorrutise definitsioon, selle mehaaniline ja geomeetriline tähendus. Toote ristomadused (ilma doc-va). Valemi tuletamine ristkorrutise arvutamiseks ortonormaalsel alusel.

7. Vektorite segakorrutise definitsioon. Rööptahuka ruumala ja püramiidi ruumala, mis on ehitatud mittetasapinnalistele vektoritele. Kolme vektori võrreldavuse tingimus. Segatoote omadused. Segaprodukti ortonormaalsel alusel arvutamise valemi tuletamine.

8. Ristkülikukujulise Descartes'i koordinaatsüsteemi definitsioon. Analüütilise geomeetria lihtsamate ülesannete lahendamine.

9. Tasapinnal oleva sirgjoone erinevat tüüpi võrrandid: vektor-, parameetriline, kanooniline. Suunavektor on sirge.

10. Kaht etteantud punkti läbiva sirge võrrandi tuletamine.

11. Tõestus teoreemile, et ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis tasapinnal määratleb esimese astme võrrand sirge. Sirge normaalvektori definitsioon.

12. Võrrand kaldeteguriga, sirge võrrand “lõikudes”. Võrrandis sisalduvate parameetrite geomeetriline tähendus. Nurk kahe joone vahel. Kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused, mis on antud nende üld- või kanooniliste võrranditega.

13. Punkti ja tasapinna sirge kauguse valemi tuletamine.

14. Tõestus teoreemile, et ristkülikukujulises Descartes'i koordinaatsüsteemis ruumis määratleb esimese astme võrrand tasapinna. Tasapinna üldvõrrand. Tasapinna normaalvektori definitsioon. Kolme etteantud punkti läbiva tasandi võrrandi tuletamine. Tasapinna võrrand “segmentides”.

15. Tasapindadevaheline nurk. Kahe tasandi paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused.

16. Punkti ja tasapinna kauguse valemi tuletamine.

17. Ruumi sirgjoone üldvõrrandid. Ruumi sirgjoone vektor-, kanooniliste ja parameetriliste võrrandite tuletamine.

18. Ruumi kahe sirge vaheline nurk, kahe sirge paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused. Tingimused kahe joone kuulumiseks samale tasapinnale.

19. Nurk sirge ja tasandi vahel, sirge ja tasandi paralleelsuse ja perpendikulaarsuse tingimused. Antud tasapinna sirgjoonele kuulumise tingimus.

20. Ristuvate või paralleelsete sirgete vahelise kauguse leidmise probleem.

21. Ellipsi definitsioon punktide asukohana. Ellipsi kanoonilise võrrandi tuletamine.

22. Hüperbooli definitsioon punktide asukohana. Hüperbooli kanoonilise võrrandi tuletamine.

23. Parabooli kui punktide lookuse definitsioon. Kanoonilise parabooli võrrandi tuletamine.

24. Silindrilise pinna definitsioon. Silindriliste pindade kanoonilised võrrandid 2. järjekord.

25. Revolutsiooni pinna mõiste. Pindade kanoonilised võrrandid, mis moodustuvad ellipsi, hüperbooli ja parabooli pöörlemisel.

26. Ellipsoidi ja koonuse kanoonilised võrrandid. Nende pindade kuju uurimine sektsioonimeetodil.

27. Hüperboloidide kanoonilised võrrandid. Hüperboloidide kuju uurimine sektsioonide meetodil.

28. Paraboloidide kanoonilised võrrandid. Paraboloidide kuju uurimine läbilõigete meetodil.

29. Maatriksi mõiste. Maatriksite tüübid. Maatriksi võrdsus. Lineaartehted maatriksitega ja nende omadused. Maatriksi transpositsioon.

30. Maatrikskorrutis. Maatrikskorrutise operatsiooni omadused.

31. Pöördmaatriksi definitsioon. Pöördmaatriksi unikaalsuse tõestus. Pöördmaatriksi teoreemi tõestus kahe pööratava maatriksi korrutisele.

32. Pöördmaatriksi olemasolu kriteerium. Seotud maatriksi mõiste, seos pöördmaatriksiga.

33. Crameri valemite tuletamine lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks mittedegenereerunud ruutmaatriksiga.

34. Maatriksi ridade (veergude) lineaarne sõltuvus ja lineaarne sõltumatus. Ridade (veergude) lineaarse sõltuvuse kriteeriumi tõestus.

35. Maatriksmolli definitsioon. Põhimoll. Põhiteoreem (ilma doqua). Selle järelduse tõestus ruutmaatriksite puhul.

36. Fringing alaealiste meetod maatriksi auastme leidmiseks.

37. Maatriksi ridade (veergude) elementaarteisendused. Pöördmaatriksi leidmine elementaarteisenduste meetodil.

38. Maatriksi järgu invariantsuse teoreem elementaarteisenduste all. Maatriksi järgu leidmine elementaarteisenduste meetodil.

39. Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid (SLAE). SLAE kirjutamise erinevad vormid. Ühine ja mitteliigend SLAE. SLAE ühilduvuse Kronecker-Kapeli kriteeriumi tõestus.

40. Homogeensed lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemid (SLAE). Nende lahenduste omadused.

41. Homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (SLAE) põhilahenduste süsteemi (FSR) definitsioon. Teoreem homogeense SLAE üldlahenduse struktuuri kohta. FSRi ehitamine.

42. Lineaarsete algebraliste võrrandite (SLAE) ebahomogeensed süsteemid. Ebahomogeense SLAE üldlahenduse struktuuri teoreemi tõestus.

Juhtimissündmus	Ülesannete arv	Punktid ülesande eest
DZ nr 1, 1. osa
Kogutud punktid
Juhtimissündmus	Ülesannete arv	Punktid ülesande eest
DZ nr 1, osa 2
Kogutud punktid

Juhtimissündmus				Ülesannete arv			Punktid ülesande eest
Modulojuhtimine nr 1				1 teooria ja 3 ülesannet			teooria - 0; 3; 6
							ülesandeid - 0; üks; 2
			Kogutud punktid
Juhtimissündmus				Ülesannete arv			Punktid ülesande eest
	Kogutud punktid
Juhtimissündmus				Ülesannete arv			Punktid ülesande eest
				1 teooria ja 3 ülesannet			teooria - 0; 3; 6
							ülesandeid - 0; üks; 2
			Kogutud punktid
						01 teooria ja 3 ülesannet			teooria - 0; 3; 6
		ülesandeid - 0; üks; 2
			Kogutud punktid

Ajakirja punktiarvestuse reeglid

1. DZ punktid. DZ punktid määratakse järgmisel nädalal pärast tähtpäeva vastavalt vastavale tabelile. Õpilasel on õigus esitada enne tähtaega kontrollimiseks individuaalülesandeid ja parandada õpetaja poolt märgitud vead, saades samas vajalikku nõu. Kui üliõpilane toob DZ esitamise tähtajaks ülesande lahenduse õigesse valikusse, antakse talle selle ülesande eest maksimaalne punktisumma. Pärast DZ esitamise tähtaega saab õpilane, kes ei ole saavutanud DZ miinimumskoori, jätkata ülesandega tööd. Samas antakse õpilasele eduka töö korral DZ miinimumskoor.

2. Punkte CR eest. Kui üliõpilane ei saavuta õigel ajal CR miinimumskoori, saab ta semestri jooksul selle töö kaks korda ümber kirjutada. Positiivse tulemuse korral (punktide kogum, mis ei ole väiksem kui kehtestatud miinimum), antakse õpilasele KR miinimumskoor.

3. Punkte "mooduljuhtimise" eest.“Moodulikontrollina” on välja pakutud kirjalik töö, mis koosneb teoreetilisest ja praktilisest osast. Juhtmooduli iga osa hinnatakse eraldi. Õpilane, kes on saanud kontrolli ühes osas alammäärast mitte madalama hinde, loetakse selle osa läbinuks ja vabastatakse edaspidi selle täitmisest. Õpetaja äranägemisel võib ülesande teoreetilise osa kohta läbi viia intervjuu. Kui üliõpilane ei saa iga tööosa eest miinimumhinnet, siis on tal semestri jooksul iga osa kohta kaks katset olukorda parandada. Positiivsega

Selle tulemusena (punktide kogum, mis ei ole väiksem kui kehtestatud miinimum) antakse õpilasele "mooduli kontrolli" miinimumhind.

4. Hinne mooduli kohta. Kui üliõpilane on sooritanud kõik mooduli jooksvad kontrolltegevused (skooriks vähemalt kehtestatud miinimumhinde),

siis on mooduli hinnanguks kõigi mooduli kontrolltegevuste punktide summa (sel juhul saab üliõpilane automaatselt vähemalt miinimumlävendi). Mooduli lõplikud punktid kantakse päevikusse pärast kõigi kontrolltoimingute sooritamist.

5. Koguskoor. Kahe mooduli punktide summa.

6. Hindamine. Lõputunnistus (eksam, diferentseeritud test, kontrolltöö) viiakse läbi töötulemuste põhjal semestril pärast seda, kui üliõpilane on sooritanud planeeritud mahus õppetööd ja saanud iga mooduli kohta hinnangu, mis ei ole madalam kehtestatud miinimumist. Kõikide moodulite maksimumhinne, sh hoolsushinded, on 100, miinimumhind 60. Kõikide moodulite punktide summa moodustab distsipliini semestri hindepunkti. Kõik kontrollmeetmed läbinud üliõpilane saab semestri distsipliini lõpphinde vastavalt skaalale:

		eksami hinne,	Hindamine tasaarvestuses
		diferentseeritud edetabel
		rahuldavalt
		mitterahuldav

Saate tõsta oma hinnet ja sellest tulenevalt ka eksamihinnet lõpueksamil (distsipliini kui terviku materjali käsitlev kirjalik töö tehakse eksamisessiooni ajal), maksimaalne punktisumma on 30, minimaalne -16. Need punktid liidetakse kõigi distsipliini moodulite eest saadud punktidega. Samas peab õpilane eksami hinde „hea“ tõstmiseks koguma vähemalt 21 punkti, „suurepärase“ ─ vähemalt 26 punkti. Erialadel, kus ainepunktid on ette nähtud erialade kaupa, reitingut ei tõsteta. Üliõpilased, kelle hinnang on eksamisessiooni alguseks vahemikus 0-59, saavutavad distsipliini positiivse hinde saamiseks vajaliku miinimumi, sooritades uuesti eraldi moodulites varem arvestamata jäänud kontrollsündmused. Samal ajal võivad õpilased, kellel puudub mõjuv põhjus, lõpuks (eksamisessiooni lõpuks) saada hinde, mis ei ole kõrgem kui "rahuldav".